주어진 지점에서 함수의 곱을 파생시킵니다. 미분 찾기: 알고리즘 및 솔루션의 예

이번 강의에서는 계속해서 함수의 도함수를 공부하고, 곱과 몫의 도함수라는 좀 더 고급 주제로 넘어갑니다. 이전 강의를 시청했다면 아마도 우리가 가장 단순한 구성, 즉 거듭제곱 함수의 도함수, 합과 차이만 고려했다는 것을 깨달았을 것입니다. 특히, 우리는 합의 미분은 합과 같고 차이의 미분은 각각 차이와 같다는 것을 배웠습니다. 불행하게도 몫과 파생상품의 경우 공식은 훨씬 더 복잡해집니다. 함수 곱의 미분 공식부터 시작하겠습니다.

삼각 함수의 도함수

우선, 작은 서정적 여담을 만들어 보겠습니다. 사실 이 강의에서는 표준 거듭제곱 함수인 $y=((x)^(n))$ 외에도 $y=\sin x$ 및 $와 같은 다른 함수도 접하게 됩니다. y=\ cos x$ 및 기타 삼각법 - $y=tgx$ 및 $y=ctgx$.

우리 모두가 거듭제곱 함수의 미분, 즉 $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$을 완벽하게 잘 알고 있다면 다음과 같습니다. 삼각함수는 별도로 언급할 필요가 있습니다. 적어 봅시다:

\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\end(align)\]

하지만 여러분은 이 공식을 아주 잘 알고 있습니다. 계속해서 넘어가겠습니다.

제품의 파생물은 무엇입니까?

첫째, 가장 중요한 점은 함수가 $f\cdot g$와 같이 다른 두 함수의 곱인 경우 이 구성의 미분은 다음 표현식과 동일하다는 것입니다.

보시다시피, 이 공식은 이전에 살펴본 공식과 상당히 다르며 더 복잡합니다. 예를 들어, 합계의 도함수는 기본 방식인 $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$ 또는 다음의 도함수로 계산됩니다. $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$와 같은 기본 방식으로도 계산되는 차이입니다.

문제에서 우리에게 주어진 두 함수의 도함수를 계산하기 위해 첫 번째 공식을 적용해 봅시다. 첫 번째 예부터 시작해 보겠습니다.

분명히 다음 구성은 곱, 더 정확하게는 승수 역할을 합니다. $((x)^(3))$, $f$로 간주할 수 있으며 $\left(x-5 \right) $는 $g$로 간주할 수 있습니다. 그러면 그들의 제품은 정확히 두 가지 기능의 제품이 될 것입니다. 우리는 다음을 결정합니다:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \ 오른쪽))^(\프라임 ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(정렬)\].

이제 각 용어에 대해 자세히 살펴보겠습니다. 첫 번째와 두 번째 항 모두 $x$ 차수를 포함하고 있음을 알 수 있습니다. 첫 번째 경우에는 $((x)^(2))$이고 두 번째 항에는 $((x)^(3))입니다. $. 괄호 안에 가장 작은 차수를 빼고 괄호 안에 남겨두자:

\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2 ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2))(4x-15)\\\end(정렬)\]

그게 다야, 우리는 답을 찾았습니다.

문제로 돌아가서 해결해 보겠습니다.

이제 다시 작성해 보겠습니다.

다시 말하지만, 우리는 두 함수의 곱인 $f$로 표시될 수 있는 $x$와 $\left(\sqrt(x)-1 \right)$의 곱에 대해 이야기하고 있다는 점에 주목합니다. $g$로 표시됩니다.

따라서 우리 앞에는 두 가지 기능의 곱이 다시 있습니다. $f\left(x \right)$ 함수의 미분을 찾기 위해 우리는 다시 공식을 사용할 것입니다. 우리는 다음을 얻습니다:

\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(정렬)\]

답을 찾았습니다.

왜 파생상품을 인수하는가?

우리는 그 자체로는 파생 상품과 관련이 없지만 지식이 없으면 이 주제에 대한 모든 추가 연구는 의미가 없는 몇 가지 매우 중요한 수학적 사실을 사용했습니다.

첫째, 첫 번째 문제를 해결하고 이미 파생 상품의 모든 기호를 제거하면서 어떤 이유로 우리는 이 표현을 인수분해하기 시작했습니다.

둘째, 다음 문제를 풀 때 유리수 지수를 사용하여 근부터 거듭제곱까지 여러 번 통과했으며, 별도로 반복할 가치가 있는 8-9등급 공식을 사용했습니다.

인수분해와 관련하여 이러한 추가 노력과 변형이 필요한 이유는 무엇입니까? 실제로 문제에 단순히 "함수의 도함수를 구하세요"라고 표시되어 있으면 이러한 추가 단계가 필요하지 않습니다. 그러나 모든 종류의 시험과 테스트에서 여러분을 기다리는 실제 문제에서는 단순히 미분을 찾는 것만으로는 충분하지 않은 경우가 많습니다. 사실 도함수는 예를 들어 함수의 증가 또는 감소를 알아낼 수 있는 도구일 뿐이며 이를 위해서는 방정식을 풀고 인수분해해야 합니다. 그리고 바로 이 기술이 매우 적절할 것입니다. 그리고 일반적으로 변환이 필요한 경우 나중에 인수분해된 함수로 작업하는 것이 훨씬 더 편리하고 즐겁습니다. 따라서 규칙 1번: 도함수를 인수분해할 수 있다면 그렇게 해야 합니다. 그리고 즉시 규칙 2번(본질적으로 이것은 8~9학년 자료입니다): 문제에 근본 원인이 포함되어 있는 경우 N-차수이고 근이 분명히 2보다 큰 경우, 이 근은 유리수 지수가 있는 일반 차로 대체될 수 있으며 지수에 분수가 나타납니다. N― 바로 그 정도 ― 가 이 분수의 분모가 될 것입니다.

물론 루트 아래에 어느 정도의 학위가 있는 경우(우리의 경우 이는 학위입니다. 케이), 그러면 아무데도 가지 않고 단순히 이 정도의 분자로 끝납니다.

이제 이 모든 것을 이해했으므로 곱의 미분으로 돌아가서 몇 가지 방정식을 더 계산해 보겠습니다.

그러나 계산으로 직접 이동하기 전에 다음 패턴을 상기시켜 드리고 싶습니다.

\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\프라임 ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

첫 번째 예를 살펴보겠습니다.

우리는 다시 두 가지 함수의 곱을 얻었습니다. 첫 번째는 $f$이고 두 번째는 $g$입니다. 공식을 상기시켜 드리겠습니다.

\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

결정합시다:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end(align)\]

두 번째 기능으로 넘어가겠습니다.

다시 말하지만, $\left(3x-2 \right)$는 $f$의 함수이고, $\cos x$는 $g$의 함수입니다. 전체적으로 두 함수의 곱의 미분은 다음과 같습니다.

\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end(align)\]

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\프라임 ))\]

별도로 적어 보겠습니다.

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]

이 표현은 아직 최종 답이 아니기 때문에 인수분해하지 않습니다. 이제 두 번째 부분을 해결해야 합니다. 그것을 작성해 봅시다:

\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(align)\]

이제 원래 작업으로 돌아가서 모든 것을 단일 구조로 통합해 보겠습니다.

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]

그게 다입니다. 이것이 최종 답변입니다.

마지막 예제로 넘어가겠습니다. 계산 측면에서 가장 복잡하고 방대합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\프라임 ))-((\left(2xctgx \right))^(\프라임 ) )\]

각 부분을 별도로 계산합니다.

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(정렬)\]

\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

원래 함수로 돌아가서 전체적으로 파생물을 계산해 보겠습니다.

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\end(align)\]

사실 이것이 제가 파생 작품에 대해 여러분에게 말하고 싶은 전부입니다. 보시다시피 공식의 주요 문제점은 공식을 암기하는 것이 아니라 상당히 많은 양의 계산이 필요하다는 것입니다. 하지만 괜찮습니다. 이제 우리는 몫 미분으로 넘어가서 정말 열심히 노력해야 하기 때문입니다.

몫의 미분은 무엇입니까?

그래서, 몫의 미분에 대한 공식입니다. 이것은 아마도 파생상품에 관한 학교 과정에서 가장 복잡한 공식일 것입니다. $\frac(f)(g)$ 형식의 함수가 있다고 가정해 보겠습니다. 여기서 $f$와 $g$도 소수를 제거할 수 있는 함수입니다. 그러면 다음 공식에 따라 계산됩니다.

분자는 곱셈의 미분 공식을 연상시키지만, 항 사이에 빼기 기호가 있고 원래 분모의 제곱도 분모에 추가되었습니다. 이것이 실제로 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다.

해결해 봅시다:

\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\소수 ))=\frac(((\left (((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]

각 부분을 별도로 작성하고 적어 두는 것이 좋습니다.

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ 오른쪽))^(\소수 ))-(1)"=2x \\& ((\왼쪽(x+2 \오른쪽))^(\소수 ))=(x)"+(2)"=1 \ \\끝(정렬)\]

표현식을 다시 작성해 보겠습니다.

\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\left(x+2 \right))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\left(x+2 \right))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\left(x+2 \right ))^(2))) \\\end(정렬)\]

우리는 답을 찾았습니다. 두 번째 기능으로 넘어가겠습니다.

분자가 단순히 1이라는 사실로 판단하면 여기에서의 계산은 조금 더 간단해질 것입니다. 이제 다음과 같이 작성해 보겠습니다.

\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\프라임 ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime )))(( (\왼쪽(((x)^(2))+4 \오른쪽))^(2)))\]

예제의 각 부분을 개별적으로 계산해 보겠습니다.

\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \right))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(정렬)\]

표현식을 다시 작성해 보겠습니다.

\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)(((\left(((x)^(2) )+4 \right))^(2)))=-\frac(2x)(((\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]

우리는 답을 찾았습니다. 예상대로 계산량이 첫 번째 함수보다 훨씬 적은 것으로 나타났습니다.

명칭의 차이점은 무엇입니까?

세심한 학생들은 아마도 이미 다음과 같은 질문을 갖고 있을 것입니다. 왜 어떤 경우에는 함수를 $f\left(x \right)$로 표시하고, 다른 경우에는 단순히 $y$로 표시합니까? 실제로 수학의 관점에서는 전혀 차이가 없습니다. 첫 번째 지정과 두 번째 지정을 모두 사용할 권리가 있으며 시험이나 시험에서 불이익이 없습니다. 여전히 관심이 있는 분들을 위해 교과서 및 문제의 저자가 어떤 경우에는 $f\left(x \right)$로 쓰고 다른 경우에는(훨씬 더 자주) 단순히 $y$로 쓰는 이유를 설명하겠습니다. 사실 \ 형식으로 함수를 작성함으로써 우리는 계산을 읽는 사람들에게 함수 의존성의 대수적 해석에 대해 구체적으로 이야기하고 있음을 암시적으로 암시합니다. 즉, 특정 변수 $x$가 있으며, 이 변수에 대한 종속성을 고려하여 $f\left(x \right)$로 표시합니다. 동시에, 그러한 지정을 본 후, 예를 들어 검사관과 같이 계산을 읽는 사람은 미래에는 그래프도 기하학도 아닌 대수 변환만 그를 기다리고 있을 것이라고 무의식적으로 기대할 것입니다.

반면에, \ 형식의 표기법을 사용하여, 즉 하나의 문자로 변수를 표시함으로써 우리는 미래에 함수의 기하학적 해석에 관심이 있다는 것을 즉각적으로 분명히 합니다. 모두 그래프에 표시됩니다. 따라서 형식의 기록을 접할 때 독자는 그래픽 계산, 즉 그래프, 구성 등을 기대할 권리가 있지만 어떤 경우에도 분석적 변형은 기대할 수 없습니다.

또한 오늘 우리가 고려하고 있는 작업 설계의 한 가지 특징에 주목하고 싶습니다. 많은 학생들은 내가 너무 세세한 계산을 한다고 생각하고, 많은 학생들이 건너뛰거나 머릿속으로 간단히 풀 수 있을 것이라고 생각합니다. 그러나 예를 들어 시험이나 시험을 자체 준비하는 경우 공격적인 실수를 제거하고 올바르게 해결된 문제의 비율을 크게 높일 수 있는 것은 바로 이러한 상세한 기록입니다. 따라서 여전히 자신의 능력에 대해 확신이 없다면, 이 주제를 막 연구하기 시작했다면 서두르지 마십시오. 모든 단계를 자세히 설명하고 모든 요소, 모든 스트로크를 기록하면 곧 그러한 예를 더 잘 해결하는 방법을 배우게 될 것입니다. 많은 학교 선생님들보다 이것이 분명하기를 바랍니다. 몇 가지 예를 더 들어보겠습니다.

몇 가지 흥미로운 작업

이번에는 계산되는 파생 상품에 삼각법이 존재합니다. 그러므로 다음 사항을 상기시켜 드리겠습니다.

\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\end(align )\]

물론, 몫의 미분 없이는 할 수 없습니다. 즉,

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

첫 번째 기능을 고려해 보겠습니다.

\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\끝(정렬)\]

그래서 우리는 이 표현에 대한 해결책을 찾았습니다.

두 번째 예로 넘어가겠습니다.

분명히 이 함수의 분자와 분모 모두에 삼각법이 존재하기 때문에 그 미분은 더 복잡할 것입니다. 우리는 다음을 결정합니다:

\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right) ))^(\프라임 ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\프라임 )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]

우리는 제품의 파생 상품을 가지고 있습니다. 이 경우 다음과 같습니다.

\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \ 오른쪽))^(\프라임 ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]

계산으로 돌아가 보겠습니다. 우리는 다음을 적습니다:

\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \right))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\end(정렬)\]

그게 다야! 우리는 수학을 했습니다.

몫의 도함수를 곱의 도함수에 대한 간단한 공식으로 줄이는 방법은 무엇입니까?

그리고 여기서 나는 삼각함수에 관해 매우 중요한 말을 하고 싶습니다. 사실 우리의 원래 구성에는 $\frac(\sin x)(\cos x)$ 형식의 표현식이 포함되어 있으며 이는 $tgx$로 쉽게 대체될 수 있습니다. 따라서 우리는 몫의 도함수를 곱의 도함수에 대한 더 간단한 공식으로 줄입니다. 이 예를 다시 계산하고 결과를 비교해 보겠습니다.

이제 우리는 다음 사항을 고려해야 합니다.

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

이 사실을 고려하여 원래 함수 $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$를 다시 작성해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

세어보자:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\프라임 ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\end(정렬) \]

이제 얻은 결과를 이전에 다른 방식으로 계산하여 얻은 결과와 비교하면 동일한 표현식을 받았다고 확신할 수 있습니다. 따라서 도함수를 계산할 때 어느 방향으로 가든 모든 것이 올바르게 계산되면 답은 동일합니다.

문제 해결 시 중요한 뉘앙스

결론적으로 몫의 미분 계산과 관련된 미묘한 점을 하나 더 말씀 드리고 싶습니다. 지금 말씀드릴 내용은 영상강의 원본 대본에는 없었습니다. 그런데 촬영하기 몇 시간 전에 제 학생 중 한 명과 공부를 하고 있었는데 우리는 몫 미분이라는 주제에 관해 토론하고 있었습니다. 그리고 알고 보니 많은 학생들이 이 점을 이해하지 못하고 있었습니다. 따라서 다음 함수의 제거 스트로크를 계산해야 한다고 가정해 보겠습니다.

원칙적으로 언뜻보기에는 초자연적 인 것이 없습니다. 그러나 계산 과정에서 우리는 어리석고 공격적인 실수를 많이 할 수 있는데, 지금 이에 대해 논의하고 싶습니다.

그래서 우리는 이 파생물을 계산합니다. 우선, $3((x)^(2))$라는 용어가 있으므로 다음 공식을 기억하는 것이 적절합니다.

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

또한 $\frac(48)(x)$라는 용어가 있습니다. 즉, 몫의 미분을 통해 이를 처리합니다.

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

그럼 다음과 같이 결정합시다.

\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \right)) ^(\프라임 ))+10(0)"\]

첫 번째 용어에는 문제가 없습니다. 다음을 참조하십시오.

\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\프라임 ))=3k.2x=6x\]

그러나 첫 번째 항인 $\frac(48)(x)$에서는 별도로 작업해야 합니다. 사실 많은 학생들이 $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$를 찾아야 할 때와 $((\left를 찾아야 할 때) 상황을 혼동합니다. (\frac (48)(x) \right))^(\prime ))$. 즉, 상수가 분모에 있을 때와 분자에 상수가 있을 때, 변수가 분자에 있을 때나 분모에 있을 때를 혼동하게 됩니다.

첫 번째 옵션부터 시작해 보겠습니다.

\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\프라임 ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\프라임 ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

반면에, 두 번째 분수에 대해서도 동일한 작업을 수행하려고 하면 다음과 같은 결과를 얻게 됩니다.

\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\프라임 ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \오른쪽))^(\프라임 ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\end(정렬)\]

그러나 동일한 예를 다르게 계산할 수 있습니다. 몫의 도함수를 전달하는 단계에서 $\frac(1)(x)$를 음의 지수를 갖는 거듭제곱으로 간주할 수 있습니다. 즉, 다음을 얻습니다. :

\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(- 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\end(align)\]

그래서 우리는 같은 대답을 받았습니다.

이로써 우리는 다시 한 번 두 가지 중요한 사실을 확신하게 되었습니다. 첫째, 동일한 도함수를 완전히 다른 방식으로 계산할 수 있습니다. 예를 들어, $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$는 몫의 도함수와 거듭제곱 함수의 도함수로 간주될 수 있습니다. 또한 모든 계산이 올바르게 수행되면 답은 항상 동일합니다. 둘째, 변수와 상수를 모두 포함하는 도함수를 계산할 때 변수가 분자에 있는지 분모에 있는지가 근본적으로 중요합니다. 첫 번째 경우, 변수가 분자에 있으면 쉽게 계산할 수 있는 간단한 선형 함수를 얻습니다. 그리고 변수가 분모에 있으면 앞서 주어진 계산을 통해 더 복잡한 표현식을 얻게 됩니다.

이 시점에서 수업은 완료된 것으로 간주될 수 있으므로 몫이나 곱의 파생 상품에 대해 아무것도 이해하지 못하고 일반적으로 이 주제에 대해 질문이 있는 경우 주저하지 말고 내 웹 사이트로 이동하세요. , 편지를 쓰고 전화를 걸어 도움을 드릴 수 있도록 노력하겠습니다.

파생상품 자체는 복잡한 주제는 아니지만 매우 광범위하며, 지금 우리가 연구하고 있는 내용은 앞으로 더욱 복잡한 문제를 해결할 때 활용될 것입니다. 그렇기 때문에 몫이나 곱의 파생상품 계산과 관련된 모든 오해를 지금 당장 확인하는 것이 좋습니다. 오해라는 거대한 눈덩이일 때가 아니라, 다루기 쉬운 작은 테니스공일 때.

정의를 따르면 한 지점에서 함수의 미분은 함수 Δ 증분 비율의 한계입니다. 와이인수 증분 Δ 엑스:

모든 것이 명확한 것 같습니다. 하지만 이 공식을 사용하여 함수의 도함수를 계산해 보세요. 에프(엑스) = 엑스 2 + (2엑스+ 3) · 이자형 엑스죄 엑스. 정의에 따라 모든 작업을 수행하면 몇 페이지의 계산 후에는 잠들게됩니다. 따라서 더 간단하고 효과적인 방법이 있습니다.

우선, 우리는 다양한 기능 중에서 소위 기본 기능을 구별할 수 있다는 점에 주목합니다. 이는 상대적으로 간단한 표현으로, 그 파생어가 오랫동안 계산되고 표로 작성되었습니다. 이러한 함수는 파생 함수와 함께 기억하기 매우 쉽습니다.

기본 함수의 도함수

기본 기능은 아래 나열된 모든 기능입니다. 이러한 함수의 파생어는 암기해야 합니다. 게다가 암기하는 것도 전혀 어렵지 않습니다. 그래서 초등학생입니다.

따라서 기본 함수의 파생물은 다음과 같습니다.

이름	기능	유도체
끊임없는	에프(엑스) = 씨, 씨 ∈ 아르 자형	0(예, 0입니다!)
유리수 지수를 사용한 거듭제곱	에프(엑스) = 엑스 N	N · 엑스 N − 1
공동	에프(엑스) = 죄 엑스	코사인 엑스
코사인	에프(엑스) = 왜냐하면 엑스	-죄 엑스(마이너스 사인)
접선	에프(엑스) = TG 엑스	1/코사인 2 엑스
코탄젠트	에프(엑스) = CTG 엑스	- 1/죄 2 엑스
자연로그	에프(엑스) = 로그 엑스	1/엑스
임의 로그	에프(엑스) = 로그 ㅏ 엑스	1/(엑스에 ㅏ)
지수 함수	에프(엑스) = 이자형 엑스	이자형 엑스(아무것도 바뀌지 않았다)

기본 함수에 임의의 상수를 곱하면 새 함수의 도함수도 쉽게 계산됩니다.

(씨 · 에프)’ = 씨 · 에프 ’.

일반적으로 상수는 도함수의 부호에서 제외될 수 있습니다. 예를 들어:

(2엑스 3)' = 2 · ( 엑스 3)' = 2 3 엑스 2 = 6엑스 2 .

분명히 기본 기능을 서로 추가하고, 곱하고, 나누는 등 훨씬 더 많은 기능을 수행할 수 있습니다. 이것이 더 이상 특별히 기본적이지는 않지만 특정 규칙에 따라 차별화되는 새로운 기능이 나타나는 방식입니다. 이러한 규칙은 아래에서 설명됩니다.

합과 차이의 미분

기능을 부여하자 에프(엑스) 그리고 g(엑스), 그 파생물이 우리에게 알려져 있습니다. 예를 들어 위에서 설명한 기본 기능을 사용할 수 있습니다. 그런 다음 다음 함수의 합과 차의 미분을 찾을 수 있습니다.

1. (에프 + g)’ = 에프 ’ + g ’
2. (에프 − g)’ = 에프 ’ − g ’

따라서 두 함수의 합(차)의 도함수는 도함수의 합(차)과 같습니다. 더 많은 용어가 있을 수 있습니다. 예를 들어, ( 에프 + g + 시간)’ = 에프 ’ + g ’ + 시간 ’.

엄밀히 말하면 대수학에는 '뺄셈'이라는 개념이 없습니다. '부정적 요소'라는 개념이 있습니다. 그러므로 차이점은 에프 − g합계로 다시 쓸 수 있습니다. 에프+ (−1) g, 그러면 합계의 미분이라는 공식 하나만 남습니다.

에프(엑스) = 엑스 2 + 죄 x; g(엑스) = 엑스 4 + 2엑스 2 − 3.

기능 에프(엑스)는 두 가지 기본 함수의 합이므로 다음과 같습니다.

에프 ’(엑스) = (엑스 2 + 죄 엑스)’ = (엑스 2)' + (죄 엑스)’ = 2엑스+ 왜냐하면 x;

우리는 함수에 대해서도 비슷하게 추론합니다. g(엑스). (대수학의 관점에서) 이미 세 가지 용어가 있습니다.

g ’(엑스) = (엑스 4 + 2엑스 2 − 3)’ = (엑스 4 + 2엑스 2 + (−3))’ = (엑스 4)’ + (2엑스 2)’ + (−3)’ = 4엑스 3 + 4엑스 + 0 = 4엑스 · ( 엑스 2 + 1).

답변:
에프 ’(엑스) = 2엑스+ 왜냐하면 x;
g ’(엑스) = 4엑스 · ( 엑스 2 + 1).

제품의 파생물

수학은 논리 과학이므로 많은 사람들은 합계의 도함수가 도함수의 합과 같으면 곱의 도함수는 다음과 같다고 믿습니다. 스트라이크">파생상품의 곱과 동일합니다. 하지만 망할! 제품의 파생상품은 완전히 다른 공식을 사용하여 계산됩니다. 즉:

(에프 · g) ’ = 에프 ’ · g + 에프 · g ’

공식은 간단하지만 종종 잊어버립니다. 그리고 학생뿐만 아니라 학생도 마찬가지입니다. 결과적으로 문제가 잘못 해결되었습니다.

일. 함수의 도함수 찾기: 에프(엑스) = 엑스 3코사인 x; g(엑스) = (엑스 2 + 7엑스- 7) · 이자형 엑스 .

기능 에프(엑스)는 두 가지 기본 함수의 산물이므로 모든 것이 간단합니다.

에프 ’(엑스) = (엑스 3코 엑스)’ = (엑스 3)' 왜냐하면 엑스 + 엑스 3 (cos 엑스)’ = 3엑스 2코 엑스 + 엑스 3 (− 죄 엑스) = 엑스 2 (3cos 엑스 − 엑스죄 엑스)

기능 g(엑스) 첫 번째 승수는 조금 더 복잡하지만 일반적인 구성표는 변경되지 않습니다. 분명히, 함수의 첫 번째 요소는 g(엑스)는 다항식이고 그 도함수는 합의 도함수입니다. 우리는:

g ’(엑스) = ((엑스 2 + 7엑스- 7) · 이자형 엑스)’ = (엑스 2 + 7엑스- 7)' · 이자형 엑스 + (엑스 2 + 7엑스− 7) · ( 이자형 엑스)’ = (2엑스+ 7) · 이자형 엑스 + (엑스 2 + 7엑스- 7) · 이자형 엑스 = 이자형 엑스· (2 엑스 + 7 + 엑스 2 + 7엑스 −7) = (엑스 2 + 9엑스) · 이자형 엑스 = 엑스(엑스+ 9) · 이자형 엑스 .

답변:
에프 ’(엑스) = 엑스 2 (3cos 엑스 − 엑스죄 엑스);
g ’(엑스) = 엑스(엑스+ 9) · 이자형 엑스 .

마지막 단계에서 도함수는 인수분해됩니다. 공식적으로는 이를 수행할 필요가 없지만 대부분의 도함수는 자체적으로 계산되지 않고 함수를 검사하기 위해 수행됩니다. 즉, 도함수는 0과 동일해지고 부호가 결정되는 등의 작업이 수행됩니다. 그러한 경우에는 표현식을 인수분해하는 것이 더 좋습니다.

두 가지 기능이 있는 경우 에프(엑스) 그리고 g(엑스), 그리고 g(엑스) ≠ 0 관심 있는 집합에 대해 새로운 함수를 정의할 수 있습니다. 시간(엑스) = 에프(엑스)/g(엑스). 이러한 함수의 경우 파생물을 찾을 수도 있습니다.

약하지 않죠? 마이너스는 어디에서 왔습니까? 왜 g 2? 그리고 이렇게! 이것은 가장 복잡한 공식 중 하나입니다. 병 없이는 알아낼 수 없습니다. 그러므로 구체적인 예를 들어 공부하는 것이 좋습니다.

일. 함수의 도함수 찾기:

각 분수의 분자와 분모에는 기본 함수가 포함되어 있으므로 몫의 도함수에 대한 공식만 있으면 됩니다.

전통에 따르면 분자를 인수분해해 보겠습니다. 이렇게 하면 답이 크게 단순화됩니다.

복잡한 함수가 반드시 0.5km 길이의 공식일 필요는 없습니다. 예를 들어, 다음 기능을 수행하는 것으로 충분합니다. 에프(엑스) = 죄 엑스그리고 변수를 교체하세요 엑스, 말하자면, 에 엑스 2 + ln 엑스. 그것은 잘 될 것이다 에프(엑스) = 죄 ( 엑스 2 + ln 엑스) - 이것은 복잡한 기능입니다. 파생 상품도 있지만 위에서 설명한 규칙을 사용하여 찾는 것은 불가능합니다.

어떻게 해야 하나요? 이러한 경우 복잡한 함수의 도함수에 대한 변수와 공식을 바꾸는 것이 도움이 됩니다.

에프 ’(엑스) = 에프 ’(티) · 티', 만약에 엑스로 대체됩니다 티(엑스).

일반적으로 이 공식을 이해하는 상황은 몫의 미분보다 훨씬 더 슬프습니다. 따라서 각 단계에 대한 자세한 설명과 함께 구체적인 예를 들어 설명하는 것이 더 좋습니다.

일. 함수의 도함수 찾기: 에프(엑스) = 이자형 2엑스 + 3 ; g(엑스) = 죄 ( 엑스 2 + ln 엑스)

함수에 있는 경우 에프(엑스) 표현식 2 대신 엑스+ 3은 쉬울 거예요 엑스, 그러면 우리는 기본 함수를 얻습니다. 에프(엑스) = 이자형 엑스. 그러므로 우리는 교체를 합니다: let 2 엑스 + 3 = 티, 에프(엑스) = 에프(티) = 이자형 티. 다음 공식을 사용하여 복잡한 함수의 미분을 찾습니다.

에프 ’(엑스) = 에프 ’(티) · 티 ’ = (이자형 티)’ · 티 ’ = 이자형 티 · 티 ’

그리고 지금 - 주의! 역 교체를 수행합니다. 티 = 2엑스+ 3. 우리는 다음을 얻습니다:

에프 ’(엑스) = 이자형 티 · 티 ’ = 이자형 2엑스+ 3 (2 엑스 + 3)’ = 이자형 2엑스+ 3 2 = 2 이자형 2엑스 + 3

이제 기능을 살펴보자 g(엑스). 당연히 교체해야죠 엑스 2 + ln 엑스 = 티. 우리는:

g ’(엑스) = g ’(티) · 티’ = (죄 티)’ · 티’ = 왜냐하면 티 · 티 ’

역방향 교체: 티 = 엑스 2 + ln 엑스. 그 다음에:

g ’(엑스) = 왜냐하면 ( 엑스 2 + ln 엑스) · ( 엑스 2 + ln 엑스)' = cos ( 엑스 2 + ln 엑스) · (2 엑스 + 1/엑스).

그게 다야! 마지막 표현식에서 볼 수 있듯이 전체 문제는 미분합 계산으로 축소되었습니다.

답변:
에프 ’(엑스) = 2 · 이자형 2엑스 + 3 ;
g ’(엑스) = (2엑스 + 1/엑스) 왜냐하면 ( 엑스 2 + ln 엑스).

나는 수업에서 “파생상품”이라는 용어 대신 “소수”라는 단어를 자주 사용합니다. 예를 들어, 합의 획은 획의 합과 같습니다. 그게 더 명확해? 글쎄요.

따라서 미분 계산은 위에서 설명한 규칙에 따라 동일한 스트로크를 제거하는 것으로 귀결됩니다. 마지막 예로, 유리수 지수를 사용하여 도함수로 돌아가 보겠습니다.

(엑스 N)’ = N · 엑스 N − 1

그 역할을 아는 사람은 거의 없습니다. N분수일 수도 있습니다. 예를 들어 루트는 다음과 같습니다. 엑스 0.5. 뿌리 아래에 멋진 것이 있다면 어떨까요? 다시 말하지만 결과는 복잡한 기능이 될 것입니다. 그들은 테스트와 시험에서 그러한 구성을 제공하는 것을 좋아합니다.

일. 함수의 도함수를 구합니다:

먼저, 유리수 지수를 갖는 거듭제곱으로 근을 다시 작성해 보겠습니다.

에프(엑스) = (엑스 2 + 8엑스 − 7) 0,5 .

이제 교체 작업을 수행합니다. 엑스 2 + 8엑스 − 7 = 티. 다음 공식을 사용하여 파생 상품을 찾습니다.

에프 ’(엑스) = 에프 ’(티) · 티 ’ = (티 0.5)' · 티’ = 0.5 · 티−0.5 · 티 ’.

역 교체를 해보겠습니다. 티 = 엑스 2 + 8엑스− 7. 우리는:

에프 ’(엑스) = 0.5 · ( 엑스 2 + 8엑스− 7) −0.5 · ( 엑스 2 + 8엑스− 7)' = 0.5 · (2 엑스+ 8) ( 엑스 2 + 8엑스 − 7) −0,5 .

마지막으로, 뿌리로 돌아가서:

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수학의 물리적 문제나 예를 해결하는 것은 도함수와 이를 계산하는 방법에 대한 지식 없이는 완전히 불가능합니다. 미분은 수학적 분석에서 가장 중요한 개념 중 하나입니다. 우리는 오늘의 기사를 이 근본적인 주제에 전념하기로 결정했습니다. 도함수란 무엇이며, 물리적, 기하학적 의미는 무엇이며, 함수의 도함수를 계산하는 방법은 무엇입니까? 이 모든 질문은 하나로 결합될 수 있습니다: 파생 상품을 이해하는 방법은 무엇입니까?

도함수의 기하학적, 물리적 의미

기능이 있다고 하자 에프엑스(f(x)) , 특정 간격으로 지정 (a, b) . 점 x와 x0은 이 구간에 속합니다. x가 변경되면 함수 자체가 변경됩니다. 인수 변경 - 값의 차이 x-x0 . 이 차이는 다음과 같이 쓰여진다. 델타 x 인수 증가라고 합니다. 함수의 변경 또는 증가는 두 지점에서 함수 값의 차이입니다. 파생상품의 정의:

한 지점에서 함수의 도함수는 인수가 0이 되는 경향이 있을 때 인수의 증가에 대한 주어진 지점에서 함수의 증가 비율의 한계입니다.

그렇지 않으면 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

그러한 한계를 찾는 이유는 무엇입니까? 그리고 그 내용은 다음과 같습니다.

한 점에서 함수의 도함수는 OX 축 사이 각도의 탄젠트와 주어진 점에서 함수 그래프의 탄젠트와 같습니다.

파생어의 물리적 의미: 시간에 대한 경로의 미분은 직선 운동의 속도와 같습니다.

사실 학창 시절부터 속도는 특정한 길이라는 것을 모두가 알고 있습니다. x=f(티) 그리고 시간 티 . 특정 기간 동안의 평균 속도:

순간의 이동 속도를 알아보려면 t0 한도를 계산해야 합니다.

규칙 1: 상수를 설정하세요

상수는 도함수 기호에서 제외될 수 있습니다. 게다가 이것은 반드시 이루어져야 합니다. 수학의 예를 풀 때 원칙적으로 다음을 따르십시오. 표현식을 단순화할 수 있다면 단순화하세요. .

예. 미분을 계산해 봅시다:

규칙 2: 함수 합의 도함수

두 함수의 합의 미분은 이러한 함수의 미분의 합과 같습니다. 함수의 차의 미분에 대해서도 마찬가지이다.

우리는 이 정리에 대한 증거를 제시하지 않고 실제적인 예를 고려해 보겠습니다.

함수의 도함수를 구합니다:

규칙 3: 함수 곱의 도함수

두 개의 미분 가능한 함수의 곱의 미분은 다음 공식으로 계산됩니다.

예: 함수의 도함수 찾기:

해결책:

여기서는 복잡한 함수의 미분 계산에 관해 이야기하는 것이 중요합니다. 복소 함수의 도함수는 중간 인수에 대한 이 함수의 도함수와 독립 변수에 대한 중간 인수의 도함수를 곱한 것과 같습니다.

위의 예에서 우리는 다음과 같은 표현을 발견했습니다.

이 경우 중간 인수는 8x의 5제곱입니다. 이러한 식의 도함수를 계산하기 위해 먼저 중간 인수에 대한 외부 함수의 도함수를 계산한 다음 독립 변수에 대한 중간 인수 자체의 도함수를 곱합니다.

규칙 4: 두 함수의 몫의 도함수

두 함수의 몫의 도함수를 결정하는 공식:

우리는 인형 파생상품에 대해 처음부터 이야기하려고 했습니다. 이 주제는 보기만큼 간단하지 않으므로 주의하세요. 예제에는 종종 함정이 있으므로 도함수를 계산할 때 주의하세요.

이 주제와 기타 주제에 관해 궁금한 점이 있으면 학생 서비스에 문의하세요. 짧은 시간 안에, 이전에 미분 계산을 해본 적이 없더라도 가장 어려운 테스트를 해결하고 작업을 이해할 수 있도록 도와드립니다.

함수 u를 점의 특정 근처에서 정의하고 해당 점에서 도함수를 갖도록 합니다. 그런 다음 그들의 제품은 해당 지점에서 다음 공식에 의해 결정되는 파생 상품을 갖습니다.
(1) .

증거

다음 표기법을 소개하겠습니다.
;
.
여기에 및 변수의 함수가 있습니다. 그러나 표기의 편의를 위해 그들의 주장에 대한 명칭은 생략하겠습니다.

다음으로 우리는
;
.
조건에 따라 함수와 해당 지점에 파생 상품이 있으며 이는 다음과 같은 제한이 있습니다.
;
.
도함수의 존재로부터 함수 와 는 그 점에서 연속적이라는 것이 따릅니다. 그렇기 때문에
;
.

함수의 곱인 변수 x의 함수 y를 고려하십시오.
.
이 시점에서 이 함수의 증가를 고려해 보겠습니다.



.
이제 우리는 파생 상품을 찾습니다.


.

그래서,
.
규칙이 입증되었습니다.

변수 대신 다른 변수를 사용할 수 있습니다. x로 표시해보자. 그런 다음 파생물이 있는 경우 , 두 함수의 곱의 파생물은 다음 공식에 의해 결정됩니다.
.
아니면 더 짧은 버전으로
(1) .

결과

그것들을 독립 변수 x의 함수로 둡니다. 그 다음에
;
;
등. ...

첫 번째 공식을 증명해 보겠습니다. 먼저, 함수 및 에 대해 곱 파생 공식(1)을 적용한 다음, 함수 및 에 대해 적용합니다.

.

다른 유사한 공식도 비슷한 방식으로 증명됩니다.

예

실시예 1

파생 상품 찾기
.

해결책

두 함수의 곱을 구별하는 규칙을 적용합니다.
(1) .
.

파생상품 표에서 다음을 찾을 수 있습니다.
;
.
그 다음에
.

마지막으로 우리는 다음을 갖습니다:
.

답변

실시예 2

변수 x에서 함수의 도함수 찾기
.

해결책

우리는 두 함수의 곱의 미분 공식을 적용합니다.
(1) .
.

함수의 합과 차의 미분 공식을 적용합니다.
.
.

상수를 구별하기 위해 다음 규칙을 적용합니다.
;
.
;
.