2는 무리수이다. 무리수, 정의, 예

모든 자연수의 집합은 문자 N으로 표시됩니다. 자연수는 물체를 계산하는 데 사용하는 숫자입니다. 1,2,3,4, ... 일부 출처에서는 숫자 0도 자연수로 간주됩니다.

모든 정수 집합은 문자 Z로 표시됩니다. 정수는 모두 자연수, 0 및 음수입니다.

1,-2,-3, -4, …

이제 모든 정수 집합에 모든 일반 분수 집합(2/3, 18/17, -4/5 등)을 추가해 보겠습니다. 그런 다음 우리는 모든 유리수의 집합을 얻습니다.

유리수 세트

모든 유리수 집합은 문자 Q로 표시됩니다. 모든 유리수 집합(Q)은 m/n, -m/n 형식의 숫자와 숫자 0으로 구성된 집합입니다. 모든 자연수는 다음과 같이 작용할 수 있습니다. n, m. 모든 유리수는 유한 또는 무한의 주기적 소수로 표현될 수 있다는 점에 유의해야 합니다. 유한 또는 무한 주기 십진 분수는 유리수로 쓰여질 수 있다는 반대도 사실입니다.

하지만 예를 들어 숫자 2.0100100010...은 어떻습니까? 무한히 비주기적인 소수점 이하 자릿수입니다. 그리고 그것은 유리수에는 적용되지 않습니다.

학교 대수학 과정에서는 실수(또는 실수) 숫자만 공부합니다. 모든 실수의 집합은 문자 R로 표시됩니다. 집합 R은 모든 유리수와 모든 무리수로 구성됩니다.

무리수의 개념

무리수는 모두 무한 소수 비주기 분수입니다. 무리수에는 특별한 명칭이 없습니다.

예를 들어, 자연수의 제곱이 아닌 자연수의 제곱근을 추출하여 얻은 모든 숫자는 무리수가 됩니다. (√2, √3, √5, √6 등).

그러나 제곱근을 추출해야만 무리수를 얻을 수 있다고 생각하지 마십시오. 예를 들어, 숫자 "pi"도 무리수이며 나눗셈으로 얻습니다. 그리고 아무리 노력해도 자연수의 제곱근을 취하여 얻을 수는 없습니다.

그리고 그들은 "이성"을 의미하는 라틴어 "ratio"에서 그 뿌리를 파생했습니다. 문자 그대로의 번역을 바탕으로:

• 유리수는 "합리적인 숫자"입니다.
• 따라서 무리수는 "불합리한 수"입니다.

유리수의 일반적인 개념

유리수는 다음과 같이 쓸 수 있는 숫자입니다.

1. 일반적인 양수 분수.
2. 음의 공통 분수.
3. 숫자 영(0)으로 표시됩니다.

즉, 유리수에는 다음 정의가 적용됩니다.

• 모든 자연수는 본질적으로 유리수입니다. 왜냐하면 모든 자연수는 일반 분수로 표현될 수 있기 때문입니다.
• 숫자 0을 포함한 모든 정수는 양의 일반 분수, 음의 일반 분수 또는 숫자 0으로 쓸 수 있기 때문입니다.
• 양수인지 음수인지에 관계없이 일반적인 분수도 유리수의 정의에 직접적으로 접근합니다.
• 정의에는 대분수, 유한 소수 또는 무한 주기 분수도 포함될 수 있습니다.

유리수의 예

유리수의 예를 살펴보겠습니다.

• 자연수 - "4", "202", "200".
• 정수 - "-36", "0", "42".
• 일반 분수.

위의 예에서 볼 때 다음은 매우 분명합니다. 유리수는 양수일 수도 있고 음수일 수도 있습니다.. 당연히 유리수이기도 한 숫자 0(영)은 동시에 양수나 음수의 범주에 속하지 않습니다.

따라서 저는 다음 정의를 사용하여 일반 교육 프로그램에 상기시키고 싶습니다. "유리수"는 분수 x/y로 쓸 수 있는 숫자입니다. 여기서 x(분자)는 정수이고 y(분모)는 자연수.

무리수의 일반적인 개념과 정의

우리는 '유리수' 외에 소위 '무리수'도 알고 있습니다. 이 숫자를 간략하게 정의해 보겠습니다.

변을 따라 정사각형의 대각선을 계산하려는 고대 수학자조차도 무리수의 존재에 대해 배웠습니다.
유리수의 정의를 기반으로 논리적 체인을 구축하고 무리수에 대한 정의를 제공할 수 있습니다.
따라서 본질적으로 유리하지 않은 실수는 단순히 무리수입니다.
무리수를 표현하는 소수는 주기적이고 무한하지 않습니다.

무리수의 예

명확성을 위해 무리수의 작은 예를 고려해 보겠습니다. 우리가 이미 이해했듯이 무한 소수 비주기 분수는 비합리적이라고 불립니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

• 숫자 "-5.020020002...(2가 1, 2, 3 등의 0으로 구분되어 있음이 명확하게 표시됨)
• 숫자 “7.040044000444...(여기서는 체인에서 매번 4의 수와 0의 수가 1씩 증가한다는 것이 분명합니다).
• 누구나 Pi(3.1415...)라는 숫자를 알고 있습니다. 예, 예 - 또한 비합리적입니다.

일반적으로 모든 실수는 유리수이기도 하고 비합리적이기도 합니다. 간단히 말해서, 무리수는 공통 분수 x/y로 표현될 수 없습니다.

일반적인 결론과 숫자 간의 간략한 비교

우리는 각 숫자를 개별적으로 살펴보았지만 유리수와 무리수의 차이는 여전히 남아 있습니다.

1. 제곱근을 추출할 때, 원을 지름으로 나눌 때 무리수(irrational number)가 발생합니다.
2. 유리수는 공분수를 나타냅니다.

몇 가지 정의로 기사를 마무리하겠습니다.

• 0(영)으로 나누는 것이 아닌 유리수에 대해 수행된 산술 연산은 궁극적으로 유리수로 이어집니다.
• 무리수에 대해 산술 연산을 수행할 때 최종 결과는 유리수 값과 무리수 값 모두로 이어질 수 있습니다.
• 두 숫자가 모두 산술 연산(0으로 나누기 또는 곱하기 제외)에 참여하는 경우 결과는 무리수입니다.

모든 유리수는 공통 분수로 표현될 수 있습니다. 이는 정수(예: 12, –6, 0), 유한 소수 분수(예: 0.5, –3.8921), 무한 주기 소수 분수(예: 0.11(23), –3,(87)에 적용됩니다. )).

하지만 무한한 비주기 소수일반 분수로 표현할 수 없습니다. 그게 바로 그들이야 무리수(즉, 비합리적입니다). 그러한 숫자의 예는 대략 3.14와 같은 숫자 π입니다. 그러나 숫자 4 뒤에는 반복되는 기간을 구별할 수 없는 끝없는 일련의 다른 숫자가 있기 때문에 정확히 같은 것이 무엇인지 결정할 수 없습니다. 게다가 숫자 π는 정확하게 표현될 수는 없지만 특정한 기하학적 의미를 갖고 있습니다. 숫자 π는 원의 지름 길이에 대한 원의 길이의 비율입니다. 따라서 무리수는 유리수와 마찬가지로 실제로 자연에 존재합니다.

무리수의 또 다른 예는 양수의 제곱근입니다. 일부 숫자에서 근을 추출하면 합리적인 값이 제공되고 다른 숫자에서는 비합리적인 값이 제공됩니다. 예를 들어, √4 = 2, 즉 4의 근은 유리수입니다. 그러나 √2, √5, √7 및 기타 많은 숫자는 무리수를 생성합니다. 즉, 특정 소수점 이하 자릿수로 반올림하여 근사치를 통해서만 추출할 수 있습니다. 이 경우 분수는 비주기적이 됩니다. 즉, 이 숫자의 근원이 무엇인지 정확하고 확실하게 말하는 것은 불가능합니다.

따라서 √4 = 2이고 √9 = 3이므로 √5는 숫자 2와 3 사이에 있는 숫자입니다. 또한 √4가 √5보다 √5에 더 가깝기 때문에 √5는 3보다 2에 더 가깝다고 결론을 내릴 수 있습니다. √9 ~ √5. 실제로 √5 ≒ 2.23 또는 √5 ≒ 2.24입니다.

무리수는 다른 계산에서도 얻어지며(근을 추출할 때뿐만 아니라) 음수가 될 수도 있습니다.

무리수와 관련하여, 그러한 숫자로 표현되는 길이를 측정하기 위해 어떤 단위 세그먼트를 취하더라도 그것을 확실히 측정할 수는 없다고 말할 수 있습니다.

산술 연산에서는 유리수와 함께 무리수도 참여할 수 있습니다. 동시에 여러 가지 규칙성이 있습니다. 예를 들어, 산술 연산에 유리수만 포함된 경우 결과는 항상 유리수입니다. 비합리적인 사람만 작업에 참여하면 결과가 합리적인 숫자인지 무리수인지 명확하게 말할 수 없습니다.

예를 들어, 두 개의 무리수 √2 * √2를 곱하면 2가 됩니다. 이는 유리수입니다. 반면에 √2 * √3 = √6은 무리수입니다.

산술 연산에 유리수와 무리수가 포함되면 결과는 비합리적이 됩니다. 예를 들어 1 + 3.14... = 4.14... ; √17 – 4.

√17 – 4는 왜 무리수인가요? 유리수 x를 얻는다고 상상해 봅시다. 그러면 √17 = x + 4입니다. 그러나 x + 4는 x가 유리수라고 가정했기 때문에 유리수입니다. 숫자 4도 유리수이므로 x + 4도 유리수입니다. 그러나 유리수는 무리수 √17과 같을 수 없습니다. 따라서 √17 – 4가 합리적인 결과를 제공한다는 가정은 올바르지 않습니다. 산술 연산의 결과는 비합리적입니다.

그러나 이 규칙에는 예외가 있습니다. 무리수에 0을 곱하면 유리수 0이 됩니다.

그리고 π

따라서 무리수의 집합은 차이입니다. I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) )실수와 유리수 세트.

무리수, 더 정확하게는 단위 길이의 세그먼트와 비교할 수 없는 세그먼트의 존재는 이미 고대 수학자에게 알려져 있었습니다. 예를 들어 그들은 대각선과 정사각형의 측면의 비합리성과 동일하다는 것을 알고 있었습니다. 수 2 (\displaystyle (\sqrt (2))).

속성

• 두 개의 양의 무리수의 합은 유리수가 될 수 있습니다.
• 무리수는 하위 클래스에서 가장 큰 숫자를 갖지 않고 상위 클래스에서 가장 작은 숫자를 갖지 않는 유리수 집합의 데데킨트 섹션을 정의합니다.
• 무리수 집합은 수직선의 모든 곳에 밀집되어 있습니다. 두 개의 서로 다른 숫자 사이에는 무리수가 있습니다.
• 무리수 집합의 순서는 실수 초월수 집합의 순서와 동형입니다. [ ]

대수 및 초월수

모든 무리수는 대수적이거나 초월적입니다. 대수적 숫자의 집합은 셀 수 있는 집합입니다. 실수의 집합은 셀 수 없으므로, 무리수의 집합도 셀 수 없습니다.

무리수 집합은 두 번째 범주의 집합입니다.

가정된 평등을 제곱해 봅시다:

이야기

유물

무리수의 개념은 기원전 7세기 인도 수학자들이 암묵적으로 채택했는데, 이때 마나바(약 기원전 750-690년)는 2와 61과 같은 일부 자연수의 제곱근이 명시적으로 표현될 수 없다는 것을 알아냈습니다. ] .

무리수의 존재, 더 정확하게는 측정할 수 없는 부분의 존재에 대한 첫 번째 증거는 일반적으로 Metapontum의 피타고라스 히파수스(기원전 약 470년)에 기인합니다. 피타고라스 시대에는 충분히 작고 분할할 수 없는 단일 길이 단위가 있다고 믿었으며, 이는 모든 세그먼트에 정수 횟수를 포함합니다. ] .

히파소스는 어느 숫자가 비합리적이라고 입증했는지에 대한 정확한 데이터가 없습니다. 전설에 따르면 그는 오각형의 변의 길이를 연구하여 그것을 발견했습니다. 따라서 정오각형의 대각선과 변의 비율이므로 이것이 황금비라고 가정하는 것이 타당하다.

그리스 수학자들은 이것을 통약할 수 없는 양의 비율이라고 불렀습니다. 알로고스(말할 수 없음) 그러나 전설에 따르면 그들은 히파소스에게 합당한 존경심을 표하지 않았습니다. 히파소스가 바다 항해 중에 발견했고 다른 피타고라스학파에 의해 바다에 던져졌다는 전설이 있습니다. "우주의 모든 개체가 정수와 그 비율로 축소될 수 있다는 교리를 부정하는 우주의 요소를 창조했습니다." 히파소스의 발견은 피타고라스 수학에 심각한 문제를 제기했고, 숫자와 기하학적 대상이 하나이며 분리될 수 없다는 근본적인 가정을 무너뜨렸습니다.

나중에 Cnidus의 Eudoxus (BC 410 또는 408 – BC 355 또는 347)는 합리적 관계와 비합리적 관계를 모두 고려한 비율 이론을 개발했습니다. 이는 무리수의 근본적인 본질을 이해하는 기초가 되었습니다. 수량은 숫자가 아니라 선분, 각도, 면적, 부피, 시간 간격과 같은 개체의 지정으로 간주되기 시작했습니다. 즉, 현대적인 의미에서 지속적으로 변할 수 있는 개체입니다. 크기는 한 숫자에서 다음 숫자(예: 4에서 5)로 "점프"해야만 변경할 수 있는 숫자와 대조되었습니다. 숫자는 나눌 수 없는 가장 작은 수량으로 구성되지만 수량은 무한정 줄어들 수 있습니다.

크기와 상관관계가 있는 양적 값이 없었기 때문에 Eudoxus는 분수를 두 수량의 비율로 정의하고 비율을 두 분수의 동일성으로 정의할 때 상응하는 수량과 측정할 수 없는 수량을 모두 다룰 수 있었습니다. 그는 방정식에서 정량적 값(숫자)을 제거함으로써 비합리적인 수량을 숫자로 불러야 하는 함정을 피했습니다. Eudoxus의 이론을 통해 그리스 수학자들은 기하학에서 놀라운 발전을 이룰 수 있었고, 헤아릴 수 없는 양을 다루는 데 필요한 논리적 기초를 제공했습니다. 유클리드의 원소론 제10권은 비합리적인 양의 분류에 전념하고 있습니다.

중세

중세 시대에는 처음에는 인도인이, 그다음에는 중국 수학자들이 0, 음수, 정수, 분수와 같은 개념을 채택했습니다. 나중에 아랍 수학자들이 합류하여 음수를 (양수와 함께) 대수적 대상으로 간주한 최초의 사람들이었으며, 이는 현재 대수학이라고 불리는 학문을 발전시키는 것을 가능하게 했습니다.

아랍 수학자들은 고대 그리스의 "수"와 "크기" 개념을 실수에 대한 보다 일반적인 단일 개념으로 결합했습니다. 그들은 관계에 관한 유클리드의 생각에 비판적이었습니다; 대조적으로 그들은 임의 양의 관계 이론을 발전시켰고 수의 개념을 연속 양의 관계로 확장했습니다. 페르시아 수학자 알 마카니(약 800 CE)는 유클리드의 10권 원소에 대한 논평에서 이차 무리수(형식의 수)와 보다 일반적인 삼차 무리수를 탐구하고 분류했습니다. 그는 유리수와 무리수를 정의하고 이를 무리수라고 불렀습니다. 그는 이러한 개체를 쉽게 조작했지만 이를 별도의 개체로 설명했습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

양이 주로 선분이라는 유클리드의 개념과 달리, 알 마카니는 정수와 분수를 유리수로 간주하고 제곱근과 세제곱근을 비합리적으로 간주했습니다. 그는 또한 다음 양의 비합리성을 보여준 사람이기 때문에 무리수 집합에 대한 산술적 접근 방식을 도입했습니다.

이집트 수학자 Abu Kamil(c. 850 CE - c. 930 CE)은 무리수를 2차 방정식의 해 또는 방정식의 계수(일반적으로 2차 또는 3차 형태의 근과 근)로 인식하는 것이 허용 가능하다고 처음으로 고려했습니다. 4급. 10세기에 이라크의 수학자 알 하시미(Al Hashimi)는 곱의 비합리성, 몫, 비합리적이고 유리수에 대한 기타 수학적 변환 결과에 대한 일반적인 증거(시각적 기하학적 증명이 아닌)를 제시했습니다. 알카진(900 AD - 971 AD)은 유리수량과 비합리적 수량에 대해 다음과 같이 정의합니다.

이러한 아이디어 중 다수는 12세기에 아랍어 텍스트가 라틴어로 번역된 후 유럽 수학자들에 의해 채택되었습니다. 마그레브 출신의 아랍 수학자이자 이슬람 상속법을 전문으로 하는 알 하사르(Al Hassar)는 12세기에 분자와 분모를 가로 막대로 나누는 분수에 대한 현대적인 기호 수학적 표기법을 도입했습니다. 같은 표기법이 13세기 피보나치의 저작에도 나타났습니다. XIV-XVI 세기 동안. 산가마그라마(Sangamagrama)의 마드하바(Madhava)와 케랄라 천문학 및 수학 학교의 대표자들은 π와 같은 특정 무리수로 수렴하는 무한 급수를 조사했으며 특정 삼각 함수의 비합리성을 보여주었습니다. Jestadeva는 Yuktibhaza라는 책에서 이러한 결과를 제시했습니다. (동시에 초월수의 존재를 증명함) 이를 통해 무리수 분류에 관한 유클리드의 작업을 다시 생각해 봅니다. 이 주제에 관한 작품은 1872년에 출판되었습니다.

무리수(주어진 숫자를 나타내는 연속 분수는 숫자가 무리수인 경우에만 무한함)와 밀접하게 관련된 연분수는 1613년 Cataldi에 의해 처음으로 탐구된 후 오일러의 작업에서 다시 주목을 받았습니다. 19세기 초 - 라그랑주의 작품에서. Dirichlet은 또한 연속분수 이론의 발전에 중요한 공헌을 했습니다. 1761년에 Lambert는 연속 분수를 사용하여 다음을 보여주었습니다. π(\디스플레이스타일\pi)은 유리수가 아니며, 또한 e x (\displaystyle e^(x))그리고 tg ⁡ x (\displaystyle \operatorname (tg) x) 0이 아닌 유리수에 대해 비합리적입니다. x (\디스플레이스타일 x). Lambert의 증명은 불완전하다고 할 수 있지만, 특히 그것이 작성된 시기를 고려하면 일반적으로 상당히 엄격한 것으로 간주됩니다. 1794년 Legendre는 Bessel-Clifford 함수를 도입한 후 다음을 보여주었습니다. π 2 (\displaystyle \pi ^(2))비합리적, 비합리성은 어디서 오는가? π(\디스플레이스타일\pi)사소하게 따릅니다(유리수 제곱은 유리수를 제공합니다).

초월수의 존재는 1844~1851년 리우빌(Liouville)에 의해 입증되었습니다. 나중에 Georg Cantor(1873)는 다른 방법을 사용하여 그 존재를 보여 주었고 실수 계열의 모든 간격에는 무한한 수의 초월수가 포함되어 있다고 주장했습니다. Charles Hermite는 1873년에 다음을 증명했습니다. 이자형그리고 이 결과를 바탕으로 1882년 페르디난트 린데만(Ferdinand Lindemann)은 초월성을 보여주었다. π(\디스플레이스타일\pi) 문학

무리수 집합은 일반적으로 대문자로 표시됩니다. 나는 (\displaystyle \mathbb (I) )음영 없이 굵은 스타일로. 따라서: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) )즉, 무리수 집합은 실수 집합과 유리수 집합의 차이입니다.

무리수, 더 정확하게는 단위 길이의 세그먼트와 비교할 수 없는 세그먼트의 존재는 이미 고대 수학자에게 알려져 있었습니다. 예를 들어 그들은 대각선과 정사각형의 측면의 비합리성과 동일하다는 것을 알고 있었습니다. 수.

백과사전 유튜브

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  비합리적인 것은:

  비합리성 증명의 예

  2의 루트

  반대로 가정해보자: 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))유리수, 즉 분수로 표현됨 m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), 어디 m (\표시스타일 m)는 정수이고, n (\표시스타일 n)- 자연수 .

  가정된 평등을 제곱해 봅시다:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2 ))(n^(2)))\오른쪽 화살표 m^(2)=2n^(2)).

  이야기

  유물

  무리수의 개념은 기원전 7세기 인도 수학자들이 암묵적으로 채택했는데, 이때 마나바(기원전 750년경 - 기원전 690년경)는 2와 61과 같은 일부 자연수의 제곱근이 명시적으로 표현될 수 없다는 사실을 알아냈습니다. [ ] .

  무리수의 존재에 대한 첫 번째 증거는 일반적으로 피타고라스 학파인 Metapontus(BC 500경)의 Hippasus에 기인합니다. 피타고라스 시대에는 충분히 작고 분할할 수 없는 단일 길이 단위가 있다고 믿었으며, 이는 모든 세그먼트에 정수 횟수를 포함합니다. ] .

  히파소스는 어느 숫자가 비합리적이라고 입증했는지에 대한 정확한 데이터가 없습니다. 전설에 따르면 그는 오각형의 변의 길이를 연구하여 그것을 발견했습니다. 그러므로 이것이 황금비율이었다고 가정하는 것이 타당하다. ] .

  그리스 수학자들은 이것을 통약할 수 없는 양의 비율이라고 불렀습니다. 알로고스(말할 수 없음) 그러나 전설에 따르면 그들은 히파소스에게 합당한 존경심을 표하지 않았습니다. 히파소스가 바다 항해 중에 발견했고 다른 피타고라스학파에 의해 바다에 던져졌다는 전설이 있습니다. "우주의 모든 개체가 정수와 그 비율로 축소될 수 있다는 교리를 부정하는 우주의 요소를 창조했습니다." 히파소스의 발견은 피타고라스 수학에 심각한 문제를 제기했고, 숫자와 기하학적 대상이 하나이며 분리될 수 없다는 근본적인 가정을 무너뜨렸습니다.