집 › 타이어 및 휠 › 불합리한 숫자의 예. 유리수와 무리수: 설명과 차이점은 무엇입니까? 숫자는 비합리적이지 않다

불합리한 숫자의 예. 유리수와 무리수: 설명과 차이점은 무엇입니까? 숫자는 비합리적이지 않다

무리수- 이것 실수, 이는 합리적이지 않습니다. 즉, 분수로 표현될 수 없습니다. 여기서 정수는 입니다. 무리수는 무한한 비주기 소수점 이하 자릿수로 표현될 수 있습니다.

무리수 집합은 일반적으로 음영 없이 굵은 라틴 대문자로 표시됩니다. 따라서: , 즉 무리수들이 많다 실수 집합과 유리수 집합의 차이.

더 정확하게는 무리수의 존재에 대해 단위 길이의 세그먼트와 비교할 수 없는 세그먼트는 이미 고대 수학자에게 알려져 있었습니다. 예를 들어 그들은 숫자의 비합리성에 해당하는 대각선과 정사각형의 변의 비공약성을 알고 있었습니다.

속성

모든 실수는 무한소수로 쓸 수 있는 반면, 무리수와 그 숫자만 비주기적 무한소수로 쓸 수 있습니다.
무리수는 하위 클래스에서 가장 큰 숫자를 갖지 않고 상위 클래스에서 가장 작은 숫자를 가지지 않는 유리수 집합에서 데데킨트 컷을 정의합니다.
모든 실제 초월수는 비합리적입니다.
모든 무리수는 대수적이거나 초월적입니다.
무리수 집합은 수직선의 모든 곳에 밀집되어 있습니다. 두 숫자 사이에는 무리수가 있습니다.
무리수 집합의 순서는 실수 초월수 집합의 순서와 동형입니다.
무리수 집합은 셀 수 없으며 두 번째 범주의 집합입니다.

예

무리수
- ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

비합리적인 것은:

비합리성 증명의 예

2의 루트

그 반대를 가정해 봅시다. 그것은 합리적입니다. 즉, 는 정수이고 는 자연수인 기약 분수의 형태로 표현됩니다. 가정된 평등을 제곱해 봅시다:

even 은 짝수이고 입니다. 전체가 있는 곳에 있게 하라. 그 다음에

그러므로 even은 even과 을 뜻한다. 우리는 와 짝수라는 것을 발견했는데, 이는 분수의 환원 불가능성과 모순됩니다. 이는 원래의 가정이 틀렸고, 무리수라는 뜻이다.

숫자 3의 이진 로그

그 반대를 가정해 봅시다: 그것은 합리적입니다. 즉, 분수로 표현되며, 여기서 과 는 정수입니다. 이후 , 및 는 양수로 선택될 수 있습니다. 그 다음에

하지만 짝수이고 홀수입니다. 우리는 모순을 얻습니다.

이자형

이야기

무리수의 개념은 기원전 7세기 인도 수학자들이 암묵적으로 채택했는데, 이때 마나바(기원전 750년경 - 기원전 690년경)는 2와 61과 같은 일부 자연수의 제곱근이 명시적으로 표현될 수 없다는 사실을 알아냈습니다. .

무리수의 존재에 대한 첫 번째 증거는 일반적으로 오각형의 변의 길이를 연구하여 이 증거를 발견한 피타고라스 학파인 메타폰투스의 히파수스(기원전 500년경)에 기인합니다. 피타고라스 시대에는 충분히 작고 분할할 수 없는 단일 길이 단위가 있다고 믿어졌으며, 이는 모든 세그먼트에 정수 횟수로 입력되었습니다. 그러나 히파수스는 길이의 단일 단위가 존재하지 않는다는 가정이 모순으로 이어지기 때문에 단일 단위가 없다고 주장했습니다. 그는 이등변 직각 삼각형의 빗변에 정수 개의 단위 세그먼트가 포함되어 있으면 이 숫자는 짝수이자 홀수여야 함을 보여주었습니다. 증명은 다음과 같았습니다.

이등변삼각형의 빗변 길이와 빗변 길이의 비는 다음과 같이 표현할 수 있습니다. ㅏ:비, 어디 ㅏ그리고 비가장 작은 것으로 선택했습니다.
피타고라스의 정리에 따르면: ㅏ² = 2 비².
왜냐하면 ㅏ- 심지어, ㅏ짝수여야 합니다(홀수의 제곱은 홀수이므로).
왜냐하면 ㅏ:비줄일 수 없는 비이상해야합니다.
왜냐하면 ㅏ심지어 우리는 ㅏ = 2와이.
그 다음에 ㅏ² = 4 와이² = 2 비².
비² = 2 와이² 그러므로 비- 그렇다하더라도 비심지어.
그러나 다음이 입증되었습니다. 비이상한. 모순.

그리스 수학자들은 이것을 통약할 수 없는 양의 비율이라고 불렀습니다. 알로고스(말할 수 없음) 그러나 전설에 따르면 그들은 히파소스에게 합당한 존경심을 표하지 않았습니다. 히파소스가 바다 항해 중에 발견했고 다른 피타고라스학파에 의해 바다에 던져졌다는 전설이 있습니다. "우주의 모든 개체가 정수와 그 비율로 축소될 수 있다는 교리를 부정하는 우주의 요소를 창조했습니다." 히파소스의 발견은 피타고라스 수학에 심각한 문제를 제기했고, 숫자와 기하학적 대상이 하나이며 분리될 수 없다는 근본적인 가정을 무너뜨렸습니다.

무리수 집합은 일반적으로 대문자로 표시됩니다. 나는 (\displaystyle \mathbb (I) )음영 없이 굵은 스타일로. 따라서: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) )즉, 무리수 집합은 실수 집합과 유리수 집합의 차이입니다.

무리수, 더 정확하게는 단위 길이의 세그먼트와 비교할 수 없는 세그먼트의 존재는 이미 고대 수학자에게 알려져 있었습니다. 예를 들어 그들은 대각선과 정사각형의 측면의 비합리성과 동일하다는 것을 알고 있었습니다. 수.

백과사전 유튜브

1 / 5
비합리적인 것은:

비합리성 증명의 예

2의 루트

반대로 가정해보자: 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))유리수, 즉 분수로 표현됨 m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), 어디 m (\표시스타일 m)는 정수이고, n (\표시스타일 n)- 자연수 .
가정된 평등을 제곱해 봅시다:
2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2 ))(n^(2)))\오른쪽 화살표 m^(2)=2n^(2)).
이야기

유물

무리수의 개념은 기원전 7세기 인도 수학자들이 암묵적으로 채택했는데, 이때 마나바(기원전 750년경 - 기원전 690년경)는 2와 61과 같은 일부 자연수의 제곱근이 명시적으로 표현될 수 없다는 사실을 알아냈습니다. [ ] .
무리수의 존재에 대한 첫 번째 증거는 일반적으로 피타고라스 학파인 Metapontus(BC 500경)의 Hippasus에 기인합니다. 피타고라스 시대에는 충분히 작고 분할할 수 없는 단일 길이 단위가 있다고 믿었으며, 이는 모든 세그먼트에 정수 횟수를 포함합니다. ] .
히파소스는 어느 숫자가 비합리적이라고 입증했는지에 대한 정확한 데이터가 없습니다. 전설에 따르면 그는 오각형의 변의 길이를 연구하여 그것을 발견했습니다. 그러므로 이것이 황금비율이었다고 가정하는 것이 타당하다. ] .
그리스 수학자들은 이것을 통약할 수 없는 양의 비율이라고 불렀습니다. 알로고스(말할 수 없음) 그러나 전설에 따르면 그들은 히파소스에게 합당한 존경심을 표하지 않았습니다. 히파소스가 바다 항해 중에 발견했고 다른 피타고라스학파에 의해 바다에 던져졌다는 전설이 있습니다. "우주의 모든 개체가 정수와 그 비율로 축소될 수 있다는 교리를 부정하는 우주의 요소를 창조했습니다." 히파소스의 발견은 피타고라스 수학에 심각한 문제를 제기했고, 숫자와 기하학적 대상이 하나이며 분리될 수 없다는 근본적인 가정을 무너뜨렸습니다.

그리고 그들은 "이성"을 의미하는 라틴어 "ratio"에서 그 뿌리를 파생했습니다. 문자 그대로의 번역을 바탕으로:
- 유리수는 "합리적인 숫자"입니다.
- 따라서 무리수는 "불합리한 수"입니다.
유리수의 일반적인 개념

유리수는 다음과 같이 쓸 수 있는 숫자입니다.
1. 일반적인 양수 분수.
2. 음의 공통 분수.
3. 숫자 영(0)으로 표시됩니다.
즉, 유리수에는 다음 정의가 적용됩니다.
- 모든 자연수는 본질적으로 유리수입니다. 왜냐하면 모든 자연수는 일반 분수로 표현될 수 있기 때문입니다.
- 숫자 0을 포함한 모든 정수는 양의 일반 분수, 음의 일반 분수 또는 숫자 0으로 쓸 수 있기 때문입니다.
- 양수인지 음수인지에 관계없이 일반적인 분수도 유리수의 정의에 직접적으로 접근합니다.
- 정의에는 대분수, 유한 소수 또는 무한 주기 분수도 포함될 수 있습니다.
유리수의 예

유리수의 예를 살펴보겠습니다.
- 자연수 - "4", "202", "200".
- 정수 - "-36", "0", "42".
- 일반 분수.
위의 예에서 볼 때 다음은 매우 분명합니다. 유리수는 양수일 수도 있고 음수일 수도 있습니다.. 당연히 유리수이기도 한 숫자 0(영)은 동시에 양수나 음수의 범주에 속하지 않습니다.

따라서 저는 다음 정의를 사용하여 일반 교육 프로그램에 상기시키고 싶습니다. "유리수"는 분수 x/y로 쓸 수 있는 숫자입니다. 여기서 x(분자)는 정수이고 y(분모)는 자연수.

무리수의 일반적인 개념과 정의

우리는 '유리수' 외에 소위 '무리수'도 알고 있습니다. 이 숫자를 간략하게 정의해 보겠습니다.

변을 따라 정사각형의 대각선을 계산하려는 고대 수학자조차도 무리수의 존재에 대해 배웠습니다.
유리수의 정의를 기반으로 논리적 체인을 구축하고 무리수에 대한 정의를 제공할 수 있습니다.
따라서 본질적으로 유리하지 않은 실수는 단순히 무리수입니다.
무리수를 표현하는 소수는 주기적이고 무한하지 않습니다.

무리수의 예

명확성을 위해 무리수의 작은 예를 고려해 보겠습니다. 우리가 이미 이해했듯이 무한 소수 비주기 분수는 비합리적이라고 불립니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
- 숫자 "-5.020020002...(2가 1, 2, 3 등의 0으로 구분되어 있음이 명확하게 표시됨)
- 숫자 “7.040044000444...(여기서는 체인에서 매번 4의 수와 0의 수가 1씩 증가한다는 것이 분명합니다).
- 누구나 Pi(3.1415...)라는 숫자를 알고 있습니다. 예, 예 - 또한 비합리적입니다.
일반적으로 모든 실수는 유리수이기도 하고 비합리적이기도 합니다. 간단히 말해서, 무리수는 공통 분수 x/y로 표현될 수 없습니다.

일반적인 결론과 숫자 간의 간략한 비교

우리는 각 숫자를 개별적으로 살펴보았지만 유리수와 무리수의 차이는 여전히 남아 있습니다.
1. 제곱근을 추출할 때, 원을 지름으로 나눌 때 무리수(irrational number)가 발생합니다.
2. 유리수는 공분수를 나타냅니다.
몇 가지 정의로 기사를 마무리하겠습니다.
- 0(영)으로 나누는 것이 아닌 유리수에 대해 수행된 산술 연산은 궁극적으로 유리수로 이어집니다.
- 무리수에 대해 산술 연산을 수행할 때 최종 결과는 유리수 값과 무리수 값 모두로 이어질 수 있습니다.
- 두 숫자가 모두 산술 연산(0으로 나누기 또는 곱하기 제외)에 참여하는 경우 결과는 무리수입니다.
예:
\(4\)는 \(\frac(4)(1)\) 로 쓸 수 있기 때문에 유리수입니다.
\(0.0157304\) 는 \(\frac(157304)(10000000)\) 형식으로 쓸 수 있기 때문에 합리적이기도 합니다.
\(0.333(3)...\) - 이것은 유리수입니다. \(\frac(1)(3)\) 으로 표시할 수 있습니다.
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) 는 \(\frac(1)(2)\) 로 표현될 수 있으므로 합리적입니다. 실제로, 일련의 변환 \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)

무리수정수 분자와 분모가 있는 분수로 쓸 수 없는 숫자입니다.

불가능하기 때문이죠 끝없는분수, 심지어 비주기적인 분수. 그러므로, 서로 나누어졌을 때 무리수가 되는 정수는 없습니다.

예:
\(\sqrt(2)≒1.414213562…\)는 무리수입니다.
\(π≒3.1415926… \)는 무리수입니다.
\(\log_(2)(5)≒2.321928…\)는 무리수입니다.

예 (OGE로부터의 할당). 어떤 표현의 의미가 유리수인가요?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

해결책:

1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) – \(14\)의 루트를 가져올 수 없습니다. 이는 숫자를 정수로 분수로 표현하는 것도 불가능하므로 그 숫자는 무리수라는 것을 의미합니다.

2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) – 남은 근이 없으며 숫자는 분수로 쉽게 표현될 수 있습니다(예: \(\frac(-5)(1)\). 이는 유리수임을 의미합니다.

3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11)\) – 루트를 추출할 수 없습니다. 숫자가 무리수입니다.

4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) 역시 비합리적이다.

무리수의 정의

무리수는 소수 표기법에서 무한한 비주기 소수 분수를 나타내는 숫자입니다.

따라서 예를 들어 자연수의 제곱근을 취하여 얻은 숫자는 무리수이며 자연수의 제곱이 아닙니다. 그러나 모든 무리수가 제곱근을 취하여 얻어지는 것은 아닙니다. 왜냐하면 나눗셈으로 얻은 숫자 pi도 무리수이고 자연수의 제곱근을 추출하려고 해서 그것을 얻을 가능성이 거의 없기 때문입니다.

무리수의 속성

무한소수로 표기되는 숫자와는 달리, 무리수만 비주기 무한소수로 표기됩니다.
음이 아닌 두 개의 무리수의 합은 결국 유리수가 될 수 있습니다.
무리수는 유리수 집합에서 데데킨트 컷을 정의하며, 하위 클래스에는 가장 큰 숫자가 없고 상위 클래스에는 더 작은 숫자가 없습니다.
실제 초월수는 비합리적입니다.
모든 무리수는 대수적이거나 초월적입니다.
한 직선의 무리수 집합은 밀집되어 있으며, 두 숫자 사이에는 반드시 무리수가 존재합니다.
무리수 집합은 무한하고 셀 수 없으며 두 번째 범주의 집합입니다.
유리수에 대해 0으로 나누는 것을 제외하고 산술 연산을 수행하면 결과는 유리수가 됩니다.
무리수에 유리수를 더하면 결과는 항상 무리수가 됩니다.
무리수를 더하면 유리수가 나올 수 있습니다.
무리수의 집합은 짝수가 아닙니다.

숫자는 비합리적이지 않다

때로는 숫자가 무리수인지에 대한 질문에 대답하는 것이 매우 어렵습니다. 특히 숫자가 소수 분수 형태이거나 수치 표현, 근 또는 로그 형태인 경우에는 더욱 그렇습니다.
따라서 어떤 숫자가 비합리적이지 않은지 아는 것은 불필요한 일이 아닙니다. 무리수의 정의를 따르면 유리수는 무리수일 수 없다는 것을 이미 알고 있습니다.
무리수는 다음이 아닙니다:
첫째, 모든 자연수;
둘째, 정수;
셋째, 일반 분수;
넷째, 다양한 대분수;
다섯째, 이것은 무한 주기 소수입니다.
위의 모든 것 외에도 무리수는 +, -, , :와 같은 산술 연산의 부호로 수행되는 유리수의 조합이 될 수 없습니다. 이 경우 두 유리수의 결과도 다음과 같기 때문입니다. 합리적인 숫자.
이제 어떤 숫자가 비합리적인지 살펴보겠습니다.

이 신비한 수학적 현상의 팬들이 Pi에 대한 점점 더 많은 정보를 찾고 그 미스터리를 풀기 위해 노력하는 팬클럽의 존재에 대해 알고 계십니까? 소수점 이하의 파이 수를 암기하는 사람이라면 누구나 이 클럽의 회원이 될 수 있습니다.
유네스코의 보호를 받는 독일에는 Pi를 계산할 수 있는 비율 덕분에 Castadel Monte 궁전이 있다는 것을 알고 계셨습니까? 프리드리히 2세 왕은 궁전 전체를 이 숫자에 바쳤습니다.
그들은 바벨탑 건설에 파이라는 숫자를 사용하려고 시도한 것으로 밝혀졌습니다. 그러나 불행하게도 그 당시 Pi의 가치에 대한 정확한 계산이 충분히 연구되지 않았기 때문에 이로 인해 프로젝트가 붕괴되었습니다.
가수 케이트 부시(Kate Bush)는 새 디스크에 'Pi'라는 노래를 녹음했는데, 이 노래에는 유명한 숫자 시리즈 3, 141…의 124개 숫자가 들렸습니다.