두 변을 기준으로 한 삼각형 공식의 면적입니다. 삼각형의 면적

삼각형의 면적을 결정하려면 다른 공식을 사용할 수 있습니다. 모든 방법 중에서 가장 쉽고 자주 사용되는 방법은 높이에 밑면의 길이를 곱한 후 그 결과를 2로 나누는 것입니다. 그러나 이 방법이 유일한 방법은 아닙니다. 아래에서는 다양한 공식을 사용하여 삼각형의 면적을 찾는 방법을 읽을 수 있습니다.

이와 별도로 직사각형, 이등변형 및 정변형과 같은 특정 유형의 삼각형의 면적을 계산하는 방법을 살펴보겠습니다. 각 공식에는 그 본질을 이해하는 데 도움이 되는 간단한 설명이 함께 제공됩니다.

삼각형의 면적을 찾는 보편적인 방법

아래 수식은 특별한 표기법을 사용합니다. 우리는 그것들 각각을 해독할 것입니다:

• a, b, c – 우리가 고려하고 있는 그림의 세 변의 길이입니다.
• r은 삼각형에 내접할 수 있는 원의 반지름입니다.
• R은 주위에 설명할 수 있는 원의 반지름입니다.
• α는 변 b와 c가 이루는 각도의 크기입니다.
• β는 a와 c 사이의 각도의 크기입니다.
• γ는 변 a와 b가 이루는 각도의 크기입니다.
• h는 각도 α에서 변 a로 낮아진 삼각형의 높이입니다.
• p - 변 a, b, c의 합의 절반입니다.

이런 식으로 삼각형의 넓이를 구할 수 있는 이유는 논리적으로 분명합니다. 삼각형은 쉽게 평행사변형으로 완성될 수 있으며, 삼각형의 한 변이 대각선 역할을 합니다. 평행사변형의 면적은 한 변의 길이에 그려진 높이의 값을 곱하여 구합니다. 대각선은 이 조건부 평행사변형을 2개의 동일한 삼각형으로 나눕니다. 따라서 원래 삼각형의 면적은 이 보조 평행사변형 면적의 절반과 같아야 한다는 것이 매우 분명합니다.

S=½ a b sin γ

이 공식에 따르면 삼각형의 면적은 두 변, 즉 a와 b의 길이에 두 변이 이루는 각도의 사인을 곱하여 구합니다. 이 공식은 이전 공식에서 논리적으로 파생되었습니다. 각도 β에서 변 b로 높이를 낮추면 직각삼각형의 성질에 따라 변 a의 길이에 각도 γ의 사인을 곱하면 삼각형의 높이, 즉 h를 얻습니다. .

문제의 그림의 면적은 그 안에 들어갈 수 있는 원의 반경의 절반에 둘레를 곱하여 구합니다. 즉, 반경과 언급된 원의 반지름의 곱을 구합니다.

S= a b c/4R

이 공식에 따르면, 우리에게 필요한 값은 그림의 변의 곱을 그림 주위에 설명된 원의 반경 4로 나누어 찾을 수 있습니다.

이 공식은 모든 삼각형(사변형, 이등변형, 정변형, 직사각형)의 면적을 결정할 수 있으므로 보편적입니다. 이는 더 복잡한 계산을 사용하여 수행할 수 있으며 이에 대해서는 자세히 설명하지 않겠습니다.

특정 속성을 가진 삼각형 영역

직각 삼각형의 면적을 찾는 방법은 무엇입니까? 이 그림의 특징은 양면이 동시에 높이라는 것입니다. a와 b가 다리이고 c가 빗변이 되면 면적은 다음과 같습니다.

이등변삼각형의 면적을 찾는 방법은 무엇입니까? 길이가 a인 두 변과 길이가 b인 한 변이 있습니다. 결과적으로, 그 면적은 변 a의 제곱과 각도 γ의 사인의 곱을 2로 나누어 결정할 수 있습니다.

정삼각형의 면적을 찾는 방법은 무엇입니까? 그 안에서 모든 변의 길이는 a와 같고 모든 각도의 크기는 α입니다. 높이는 변 a의 길이와 루트 3의 곱의 절반과 같습니다. 정삼각형의 면적을 구하려면 변 a의 제곱에 루트 3을 곱하고 다음으로 나누어야 합니다. 4.

때로는 인생에서 오랫동안 잊혀진 학교 지식을 찾기 위해 기억을 탐구해야 하는 상황이 있습니다. 예를 들어, 삼각형 모양의 토지 면적을 결정해야 하거나 아파트나 개인 주택에서 또 다른 개조 공사를 해야 할 때가 왔고 다음과 같은 표면에 필요한 재료의 양을 계산해야 합니다. 삼각형 모양. 몇 분 안에 이런 문제를 해결할 수 있었던 때가 있었지만 지금은 삼각형의 넓이를 결정하는 방법을 기억하려고 필사적으로 노력하고 있습니까?

걱정하지 마세요! 결국, 사람의 두뇌가 오랫동안 사용하지 않은 지식을 먼 곳으로 전송하기로 결정하는 것은 매우 정상적인 일이며 때로는 추출하기가 쉽지 않습니다. 이러한 문제를 해결하기 위해 잊어버린 학교 지식을 찾는 데 어려움을 겪을 필요가 없도록 이 기사에는 필요한 삼각형 영역을 쉽게 찾을 수 있는 다양한 방법이 포함되어 있습니다.

삼각형은 가능한 최소 변의 수로 제한되는 일종의 다각형이라는 것은 잘 알려져 있습니다. 원칙적으로 모든 다각형은 정점을 측면과 교차하지 않는 세그먼트와 연결하여 여러 삼각형으로 나눌 수 있습니다. 따라서 삼각형을 알면 거의 모든 그림의 면적을 계산할 수 있습니다.

인생에서 발생할 수 있는 모든 삼각형 중에서 다음과 같은 특정 유형을 구별할 수 있습니다: 직사각형.

삼각형의 면적을 계산하는 가장 쉬운 방법은 각도 중 하나가 올바른 경우, 즉 직각 삼각형의 경우입니다. 직사각형의 절반이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 그 면적은 서로 직각을 이루는 변의 곱의 절반과 같습니다.

꼭지점 중 하나에서 반대쪽으로 낮아진 삼각형의 높이와 밑변이라고 불리는 이 변의 길이를 안다면 면적은 높이와 밑변의 곱의 절반으로 계산됩니다. 이는 다음 공식을 사용하여 작성됩니다.

S = 1/2*b*h, 여기서

S는 삼각형의 필수 면적입니다.

b, h - 각각 삼각형의 높이와 밑변입니다.

이등변삼각형의 높이는 반대쪽을 이등분하고 쉽게 측정할 수 있기 때문에 넓이를 계산하는 것은 매우 쉽습니다. 면적이 결정되면 직각을 이루는 변 중 하나의 길이를 높이로 취하는 것이 편리합니다.

물론 이 모든 것이 좋지만 삼각형의 각도 중 하나가 올바른지 여부를 어떻게 판단할 수 있습니까? 그림의 크기가 작은 경우 구성 각도, 그림 삼각형, 엽서 또는 직사각형 모양의 다른 개체를 사용할 수 있습니다.

하지만 삼각형 모양의 토지가 있다면 어떨까요? 이 경우 다음과 같이 진행하십시오. 한쪽에서 가정된 직각의 위에서부터 3의 배수(30cm, 90cm, 3m) 거리를 세고 다른 쪽에서는 동일한 거리에서 4의 배수를 측정합니다. 비율 (40cm, 160cm, 4m). 이제 이 두 세그먼트의 끝점 사이의 거리를 측정해야 합니다. 결과가 5의 배수(50cm, 250cm, 5m)이면 각도가 옳다고 말할 수 있습니다.

그림의 세 변 각각의 길이를 알고 있으면 헤론의 공식을 사용하여 삼각형의 면적을 결정할 수 있습니다. 보다 단순한 형태를 갖기 위해 반 둘레(semi-perimeter)라는 새로운 값이 사용됩니다. 이것은 삼각형의 모든 변을 반으로 나눈 값입니다. 반 둘레를 계산한 후 다음 공식을 사용하여 면적을 결정할 수 있습니다.

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), 여기서

sqrt - 제곱근;

p - 반경 값(p = (a+b+c)/2);

a, b, c - 삼각형의 모서리(변)입니다.

하지만 삼각형의 모양이 불규칙하다면 어떨까요? 여기에는 두 가지 가능한 방법이 있습니다. 그 중 첫 번째는 그러한 그림을 두 개의 직각 삼각형으로 나누고 그 면적의 합을 별도로 계산한 다음 추가하는 것입니다. 또는 두 변 사이의 각도와 이들 변의 크기를 알고 있는 경우 다음 공식을 적용합니다.

S = 0.5 * ab * sinC, 여기서

a,b - 삼각형의 변;

c는 이들 변 사이의 각도의 크기입니다.

후자의 경우는 실제로는 드물지만 그럼에도 불구하고 인생에서 모든 것이 가능하므로 위의 공식은 불필요하지 않습니다. 계산에 행운이 있기를 바랍니다!

다음과 같이:

S = ½ * a * h,

어디:
S – 삼각형의 면적,
a는 변의 길이이고,
h는 이 쪽으로 낮아진 높이입니다.

측면 길이와 높이는 동일한 측정 단위로 표시되어야 합니다. 이 경우 삼각형의 면적은 해당 " " 단위로 구해집니다.

예.
길이가 20cm인 부등변삼각형의 한 변에서 반대쪽 꼭지점의 수직선은 길이 10cm로 낮아집니다.
삼각형의 면적이 필요합니다.
해결책.
S = ½ * 20 * 10 = 100(cm²).

부등변 삼각형의 두 변의 길이와 그 사이의 각도를 알고 있으면 다음 공식을 사용하십시오.

S = ½ * a * b * sinγ,

여기서: a, b는 임의의 두 변의 길이이고, γ는 두 변 사이의 각도 값입니다.

실제로, 예를 들어 토지 면적을 측정할 때 추가 구성 및 각도 측정이 필요하기 때문에 위 공식을 사용하는 것이 때로는 어렵습니다.

부등변삼각형의 세 변의 길이를 모두 알고 있다면 헤론의 공식을 사용하세요.

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – 삼각형의 변의 길이,
p - 반주위: p = (a+b+c)/2.

모든 변의 길이 외에 삼각형에 내접하는 원의 반지름도 알고 있다면 다음과 같은 간단한 공식을 사용하세요.

여기서: r – 내접원의 반경(р – 반 둘레).

외접원의 반경과 변의 길이를 사용하여 부등변 삼각형의 면적을 계산하려면 다음 공식을 사용하십시오.

여기서: R – 외접원의 반경.

삼각형의 변 중 하나의 길이와 세 각도의 값이 알려진 경우 (원칙적으로 두 개면 충분합니다. 세 번째 값은 삼각형의 세 각도의 합의 동일성으로 계산됩니다.) 180°) 다음 공식을 사용합니다.

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

여기서 α는 측면 a에 반대되는 각도의 값입니다.
β, γ – 삼각형의 나머지 두 각도 값.

정삼각형은 세 변의 길이가 같은 삼각형입니다. 여기에는 다음과 같은 속성이 있습니다. 정삼각형의 모든 변은 서로 같고 모든 각도는 60도입니다. 정삼각형은 이등변이다.

필요할 것이예요

• 기하학에 대한 지식.

지침

길이가 a=7인 정삼각형의 한 변을 생각해 보세요. 이러한 삼각형의 변을 알면 그 면적을 쉽게 계산할 수 있습니다. 이를 위해 다음이 사용됩니다: S = (3^(1/2)*a^2)/4. a=7 값을 이 공식에 대입하여 다음을 얻습니다: S = (7*7*3^1/2)/4 = 49 * 1.7 / 4 = 20.82. 따라서 변 a=7인 정삼각형의 넓이는 S=20.82와 같다는 것을 알아냈습니다.

원의 반경이 주어지면 다음과 같습니다.
S = 3*3^(1/2)*r^2, 여기서 r은 내접원의 반지름입니다. 내접원의 반지름을 r=4로 둡니다. 이를 앞서 작성한 공식에 대입하여 다음 수식을 얻습니다. S = 3*1.7*4*4 = 81.6. 즉, 내접원의 반지름이 4라면 정삼각형의 넓이는 81.6이 됩니다.

외접원의 반경이 알려진 경우 삼각형 면적 공식은 다음과 같습니다. S = 3*3^(1/2)*R^2/4, 여기서 R은 외접원의 반경입니다. . R=5라고 가정하고 이 값을 공식 S = 3*1.7*25/4 = 31.9로 대체합니다. 외접원의 반경이 5인 경우 삼각형의 면적은 31.9입니다.

메모

삼각형의 면적은 삼각형의 한 변의 길이와 내접원과 외접원의 반지름과 마찬가지로 항상 양수입니다.

유용한 조언

정삼각형의 내접원과 외접원의 반지름은 2배만큼 다릅니다. 이를 알면 예를 들어 내접원의 반지름을 통해 단 하나의 공식만 기억하고 이 진술을 알면 두 번째 공식을 유도할 수 있습니다.

삼각형의 한 변의 길이와 인접한 각도의 값을 알면 그 면적을 여러 가지 방법으로 계산할 수 있습니다. 각 계산 공식에는 삼각 함수의 사용이 포함되지만 이는 위협적이지 않습니다. 이를 계산하려면 운영 체제에 내장된 계산기가 있다는 것은 말할 것도 없고 인터넷에 액세스할 수 있으면 충분합니다.

지침

변(A) 중 하나의 알려진 길이와 인접 각도(α 및 β)의 값으로부터 면적(S)을 계산하는 첫 번째 옵션에는 이러한 각도를 계산하는 작업이 포함됩니다. 이 경우 면적은 알려진 변의 길이의 제곱을 알려진 각도의 코탄젠트의 두 배로 나눈 값입니다. S = A*A/(2*(ctg(α)+ctg(β))). 예를 들어 알려진 변의 길이가 15cm이고 인접 각도가 40°와 60°인 경우 면적 계산은 다음과 같습니다. 15*15/(2*(ctg(40)+ctg(60) ))) = 225/(2*(-0.895082918+3.12460562)) = 225/4.4590454 = 50.4592305 제곱센티미터.

면적을 계산하는 두 번째 옵션은 코탄젠트 대신 알려진 각도의 사인을 사용합니다. 이 버전에서 면적은 알려진 변의 길이의 제곱에 각 각도의 사인을 곱하고 이러한 각도의 합의 사인의 두 배로 나눕니다. S = A*A*sin(α )*죄(β)/(2*죄(α + β)). 예를 들어, 알려진 변이 15cm이고 인접 각도가 40°와 60°인 동일한 삼각형의 경우 면적 계산은 다음과 같습니다: (15*15*sin(40)*sin(60))/( 2* sin(40+60)) = 225*0.74511316*(-0.304810621)/(2*(-0.506365641)) = -51.1016411/-1.01273128 = 50.4592305 제곱센티미터.

삼각형의 면적을 계산하는 세 번째 옵션은 각도의 탄젠트를 사용합니다. 면적은 알려진 변의 길이의 제곱에 각 각도의 접선을 곱하고 이러한 각도의 접선의 합을 두 배로 나눈 것과 같습니다. S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β)). 예를 들어, 한 변이 15cm이고 인접 각도가 40°와 60°인 이전 단계에서 사용된 삼각형의 경우 면적 계산은 다음과 같습니다. (15*15*tg(40)*tg(60) ))/(2*(tg(40)+tg(60)) = (225*(-1.11721493)*0.320040389)/(2*(-1.11721493+0.320040389)) = -80.4496277/-1.59434908 = 50.4592305제곱센티미터.

예를 들어 Google 검색 엔진 계산기를 사용하여 실용적인 계산을 할 수 있습니다. 이렇게 하려면 수식에 숫자 값을 대입하고 검색어 필드에 입력하면 됩니다.

팁 4: 삼각형과 직사각형의 넓이 구하는 방법

삼각형과 직사각형은 유클리드 기하학에서 가장 간단한 평면 기하학 도형입니다. 이 다각형의 측면으로 형성된 둘레 내부에는 평면의 특정 부분이 있으며 그 면적은 여러 가지 방법으로 결정될 수 있습니다. 각 특정 사례의 방법 선택은 그림의 알려진 매개변수에 따라 달라집니다.

기하학적 도형의 면적- 이 그림의 크기를 나타내는 기하학적 그림의 수치적 특성(이 그림의 닫힌 윤곽에 의해 제한되는 표면의 일부). 면적의 크기는 그 안에 포함된 평방 단위의 수로 표현됩니다.

삼각형 면적 공식

1. 측면과 높이에 따른 삼각형의 면적에 대한 공식
   삼각형의 면적삼각형의 한 변의 길이와 이 변에 그려진 고도의 길이의 곱의 절반과 같습니다.
   
2. 세 변과 외접원의 반지름을 기준으로 한 삼각형의 면적을 구하는 공식
   
3. 세 변과 내접원의 반지름을 기준으로 한 삼각형의 면적을 구하는 공식
   삼각형의 면적는 삼각형의 반둘레와 내접원의 반지름을 곱한 것과 같습니다.
   
여기서 S는 삼각형의 면적이고,
- 삼각형의 변의 길이,
- 삼각형의 높이,
- 측면 사이의 각도,
- 내접원의 반경,
R - 외접원의 반경,

정사각형 면적 공식

1. 변의 길이에 따른 정사각형의 면적을 구하는 공식
   광장 면적변의 길이의 제곱과 같습니다.
2. 대각선 길이를 따라 정사각형의 면적을 구하는 공식
   광장 면적대각선 길이의 제곱의 절반과 같습니다.
   

   에스=	1	2
   	2

여기서 S는 정사각형의 면적이고,
- 정사각형의 변의 길이,
- 정사각형의 대각선 길이.

직사각형 면적 공식

직사각형의 면적인접한 두 변의 길이의 곱과 같습니다.

여기서 S는 직사각형의 면적이고,
- 직사각형의 변의 길이.

평행사변형 면적 공식

1. 변의 길이와 높이를 기준으로 평행사변형의 면적을 구하는 공식
   평행사변형의 면적
2. 두 변과 그 사이의 각도를 기준으로 한 평행사변형의 면적에 대한 공식
   평행사변형의 면적변의 길이에 변 사이의 각도의 사인을 곱한 것과 같습니다.
   

   a b 죄 α

여기서 S는 평행사변형의 면적이고,
- 평행사변형의 변의 길이,
- 평행사변형 높이의 길이,
- 평행사변형의 변 사이의 각도.

마름모 면적에 대한 공식

1. 변의 길이와 높이를 기준으로 마름모의 면적을 구하는 공식
   마름모의 면적변의 길이와 이쪽으로 낮아진 높이의 길이를 곱한 것과 같습니다.
2. 변의 길이와 각도에 따른 마름모의 면적 공식
   마름모의 면적변의 길이의 제곱과 마름모의 변 사이의 각도의 사인의 곱과 같습니다.
3. 대각선의 길이를 기준으로 마름모의 면적을 구하는 공식
   마름모의 면적대각선 길이의 곱의 절반과 같습니다.
여기서 S는 마름모의 면적이고,
- 마름모의 변의 길이,
- 마름모 높이의 길이,
- 마름모의 측면 사이의 각도,
1, 2 - 대각선 길이.

사다리꼴 면적 공식

1. 사다리꼴에 대한 헤론의 공식

   여기서 S는 사다리꼴의 면적이고,
   - 사다리꼴 밑면의 길이,
   - 사다리꼴 변의 길이,
   

면적의 개념

기하학적 도형, 특히 삼각형의 면적 개념은 정사각형과 같은 도형과 연관됩니다. 기하학적 도형의 단위 면적에 대해 우리는 변이 1인 정사각형의 면적을 취합니다. 완전성을 위해 기하학적 도형의 영역 개념에 대한 두 가지 기본 속성을 기억해 보겠습니다.

속성 1:기하학적 도형이 동일하면 해당 면적도 동일합니다.

속성 2:모든 그림은 여러 그림으로 나눌 수 있습니다. 또한, 원본 도형의 면적은 모든 구성 도형의 면적의 합과 같습니다.

예를 살펴보겠습니다.

실시예 1

분명히 삼각형의 한 변은 직사각형의 대각선이고 한 변의 길이는 $5$($5$ 셀이 있으므로)이고 다른 한 변은 $6$($6$ 셀이 있으므로)입니다. 따라서 이 삼각형의 면적은 해당 직사각형의 절반과 같습니다. 직사각형의 면적은

그러면 삼각형의 면적은 다음과 같습니다.

답: $15$.

다음으로 헤론의 공식과 정삼각형의 넓이를 사용하여 높이와 밑변을 사용하여 삼각형의 면적을 찾는 여러 가지 방법을 고려해 보겠습니다.

높이와 밑변을 사용하여 삼각형의 면적을 찾는 방법

정리 1

삼각형의 넓이는 한 변의 길이와 그 변의 높이의 곱의 절반으로 구할 수 있습니다.

수학적으로는 다음과 같습니다

$S=\frac(1)(2)αh$

여기서 $a$는 측면의 길이이고, $h$는 측면에 그려진 높이입니다.

증거.

$AC=α$인 삼각형 $ABC$를 생각해 보세요. $BH$ 높이가 이 측면에 그려지며 이는 $h$와 같습니다. 그림 2와 같이 정사각형 $AXYC$까지 만들어 보겠습니다.

직사각형 $AXBH$의 넓이는 $h\cdot AH$이고, 직사각형 $HBYC$의 넓이는 $h\cdot HC$입니다. 그 다음에

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

따라서 속성 2에 따라 필요한 삼각형 면적은 다음과 같습니다.

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

정리가 입증되었습니다.

실시예 2

셀의 면적이 1과 같은 경우 아래 그림에서 삼각형의 면적을 구하십시오.

이 삼각형의 밑변은 $9$와 같습니다($9$는 $9$ 정사각형이므로). 높이도 $9$입니다. 그러면 정리 1에 의해 우리는 다음을 얻습니다.

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

답: $40.5$.

헤론의 공식

정리 2

삼각형 $α$, $β$, $γ$의 세 변이 주어지면 그 넓이는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

여기서 $ρ$는 이 삼각형의 반둘레를 의미합니다.

증거.

다음 그림을 고려하십시오.

피타고라스 정리에 의해 삼각형 $ABH$로부터 우리는 다음을 얻습니다.

피타고라스의 정리에 따르면 삼각형 $CBH$에서 다음을 얻습니다.

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

이 두 관계로부터 우리는 평등을 얻습니다.

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

$ρ=\frac(α+β+γ)(2)$이므로 $α+β+γ=2ρ$입니다.

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

정리 1에 의해 우리는 다음을 얻습니다.

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$