3과 2의 최소공배수. 공약수와 배수

두 번째 숫자: b=

숫자 구분 기호공백 구분자 " ´ 없음

결과:

최대 공약수 gcd( ㅏ,비)=6

LCM의 최소 공배수( ㅏ,비)=468

a와 b가 나머지 없이 나누어지는 가장 큰 자연수를 최대 공약수(gcd) 이 숫자의. gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) 또는 hcf(a,b)로 표시됩니다.

최소 공배수두 정수 a와 b의 (LCM)은 a와 b가 나머지 없이 나누어지는 가장 작은 자연수입니다. 최소공배수(a,b) 또는 lcm(a,b)로 표시됩니다.

정수 a와 b가 호출됩니다. 공동 프라임+1과 -1 이외의 공약수가 없는 경우.

최대 공약수

두 개를 주자 양수 ㅏ 1과 ㅏ 2 1). 이 숫자의 공통 약수를 찾아야 합니다. 그런 숫자를 찾아 λ , 숫자를 나눕니다. ㅏ 1과 ㅏ 2 동시에. 알고리즘을 설명해보자.

1) 이 글에서 number라는 단어는 정수를 의미합니다.

허락하다 ㅏ 1 ≥ ㅏ 2와 하자

어디 중 1 , ㅏ 3은 정수이고, ㅏ 3 <ㅏ 2 (나누기에서 나머지 ㅏ 1에 ㅏ 2는 작아야 한다 ㅏ 2).

그런 척하자 λ 나누다 ㅏ 1과 ㅏ 2 다음 λ 나누다 중 1 ㅏ 2와 λ 나누다 ㅏ 1 −중 1 ㅏ 2 =ㅏ 3 ("숫자의 가분성. 가분성의 부호" 기사의 주장 2). 모든 공약수는 다음과 같습니다. ㅏ 1과 ㅏ 2는 공약수입니다. ㅏ 2와 ㅏ삼 . 다음과 같은 경우도 마찬가지입니다. λ 공약수 ㅏ 2와 ㅏ 3 다음 중 1 ㅏ 2와 ㅏ 1 =중 1 ㅏ 2 +ㅏ 3개도 나뉩니다 λ . 따라서 공약수 ㅏ 2와 ㅏ 3은 또한 공약수입니다 ㅏ 1과 ㅏ 2. 왜냐하면 ㅏ 3 <ㅏ 2 ≤ㅏ 1 , 그러면 우리는 숫자의 공약수를 찾는 문제에 대한 해결책이라고 말할 수 있습니다. ㅏ 1과 ㅏ 2 숫자의 공약수를 찾는 더 간단한 문제로 축소되었습니다. ㅏ 2와 ㅏ 3 .

만약에 ㅏ 3 ≠0이면 나눌 수 있습니다. ㅏ 2에 ㅏ삼 . 그 다음에

,

어디 중 1과 ㅏ 4는 일부 정수입니다. ( ㅏ 4 나눗셈의 나머지 ㅏ 2에 ㅏ 3 (ㅏ 4 <ㅏ삼)). 유사한 추론에 의해, 우리는 숫자의 공통 약수가 다음이라는 결론에 도달합니다. ㅏ 3과 ㅏ 4는 공약수와 같습니다. ㅏ 2와 ㅏ 3 , 또한 공약수 ㅏ 1과 ㅏ 2. 왜냐하면 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , ㅏ 4 , ... 지속적으로 감소하는 숫자이며 그 사이에 유한한 정수가 있기 때문에 ㅏ 2와 0, 그리고 어느 단계에서 N, 나눗셈의 나머지 ㅏ n에 ㅏ n+1은 0( ㅏ n+2=0).

.

모든 공약수 λ 숫자 ㅏ 1과 ㅏ 2는 또한 숫자의 약수입니다 ㅏ 2와 ㅏ 3 , ㅏ 3과 ㅏ 4 , .... ㅏ엔과 ㅏ n+1 . 그 반대도 참입니다. 숫자의 공약수 ㅏ엔과 ㅏ n+1은 숫자의 약수이기도 합니다. ㅏ n-1 및 ㅏ N , .... , ㅏ 2와 ㅏ 3 , ㅏ 1과 ㅏ 2. 그러나 공약수 ㅏ엔과 ㅏ n+1은 숫자입니다 ㅏ n+1 , 때문에 ㅏ엔과 ㅏ n+1은 다음과 같이 나눌 수 있습니다. ㅏ n+1( ㅏ n+2=0). 따라서 ㅏ n+1은 숫자의 약수이기도 합니다. ㅏ 1과 ㅏ 2 .

참고 번호 ㅏ n+1은 가장 큰 수 제수입니다. ㅏ엔과 ㅏ n+1 , 최대 약수 이후 ㅏ n+1은 그 자체 ㅏ n+1 . 만약에 ㅏ n + 1은 정수의 곱으로 나타낼 수 있으며, 이 숫자는 또한 숫자의 공약수입니다. ㅏ 1과 ㅏ 2. 숫자 ㅏ n+1이 호출됨 최대 공약수숫자 ㅏ 1과 ㅏ 2 .

숫자 ㅏ 1과 ㅏ 2는 양수와 음수가 될 수 있습니다. 숫자 중 하나가 0이면 이 숫자의 최대 공약수는 다른 숫자의 절댓값과 같습니다. 0의 최대 공약수는 정의되지 않습니다.

위의 알고리즘은 유클리드 알고리즘두 정수의 최대 공약수를 구합니다.

두 숫자의 최대 공약수를 찾는 예제

두 숫자 630과 434의 최대공약수를 구하세요.

• 1단계. 숫자 630을 434로 나눕니다. 나머지는 196입니다.
• 2단계. 숫자 434를 196으로 나눕니다. 나머지는 42입니다.
• 3단계. 숫자 196을 42로 나눕니다. 나머지는 28입니다.
• 4단계. 숫자 42를 28로 나눕니다. 나머지는 14입니다.
• 5단계. 숫자 28을 14로 나눕니다. 나머지는 0입니다.

5단계에서 나누기의 나머지는 0입니다. 따라서 숫자 630과 434의 최대 공약수는 14입니다. 숫자 2와 7은 숫자 630과 434의 약수이기도 합니다.

공동소수

정의 1. 숫자의 최대 공약수를 보자 ㅏ 1과 ㅏ 2는 1과 같습니다. 그런 다음이 번호가 호출됩니다 서로소수공통 약수가 없는 것입니다.

정리 1. 만약에 ㅏ 1과 ㅏ 2개의 비교적 소수, 그리고 λ 어떤 숫자, 그 다음 숫자의 공약수 λa 1과 ㅏ 2는 또한 숫자의 공약수입니다 λ 그리고 ㅏ 2 .

증거. 숫자의 최대 공약수를 찾는 유클리드의 알고리즘을 고려하십시오. ㅏ 1과 ㅏ 2(위 참조).

.

정리의 조건으로부터 수의 최대 공약수는 다음과 같습니다. ㅏ 1과 ㅏ 2, 따라서 ㅏ엔과 ㅏ n+1은 1입니다. ㅏ n+1=1.

이 모든 등식을 다음과 같이 곱해 봅시다. λ , 그 다음에

.

공약수를 보자 ㅏ 1 λ 그리고 ㅏ 2는 δ . 그 다음에 δ 요인으로 들어간다 ㅏ 1 λ , 중 1 ㅏ 2 λ 그리고 안으로 ㅏ 1 λ -중 1 ㅏ 2 λ =ㅏ 3 λ ("숫자의 가분성", 진술 2 참조). 더 나아가 δ 요인으로 들어간다 ㅏ 2 λ 그리고 중 2 ㅏ 3 λ , 따라서 요인으로 입력 ㅏ 2 λ -중 2 ㅏ 3 λ =ㅏ 4 λ .

이런 식으로 추론함으로써 우리는 확신합니다. δ 요인으로 들어간다 ㅏ n−1 λ 그리고 중 n−1 ㅏ N λ , 따라서 ㅏ n−1 λ −중 n−1 ㅏ N λ =ㅏ n+1 λ . 왜냐하면 ㅏ n+1 =1이면 δ 요인으로 들어간다 λ . 따라서 숫자 δ 숫자의 공통 약수입니다 λ 그리고 ㅏ 2 .

정리 1의 특수한 경우를 고려하십시오.

결과 1. 허락하다 ㅏ그리고 씨소수는 상대적으로 비. 그런 다음 그들의 제품 교류에 대한 소수이다. 비.

정말. 정리 1에서 교류그리고 비와 같은 공약수를 갖는다 씨그리고 비. 그러나 숫자 씨그리고 비코 프라임, 즉 단일 공약수 1을 갖습니다. 그런 다음 교류그리고 비또한 단일 공약수 1을 갖습니다. 따라서 교류그리고 비서로 간단합니다.

결과 2. 허락하다 ㅏ그리고 비서로소수와 let 비나누다 악. 그 다음에 비나누고 케이.

정말. 주장 조건에서 악그리고 비공약수가 있다 비. 정리 1에 의해, 비공약수여야 합니다. 비그리고 케이. 따라서 비나누다 케이.

결론 1은 일반화할 수 있습니다.

결과 3. 1. 숫자를 보자 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , ..., ㅏ m은 숫자에 상대적인 소수입니다. 비. 그 다음에 ㅏ 1 ㅏ 2 , ㅏ 1 ㅏ 2 · ㅏ 3 , ..., ㅏ 1 ㅏ 2 ㅏ삼 ··· ㅏ m , 이 숫자의 곱은 숫자에 대해 소수입니다. 비.

2. 두 행의 숫자가 있다고 하자

첫 번째 행의 모든 ​​숫자는 두 번째 행의 모든 ​​숫자에 대해 소수입니다. 그런 다음 제품

각각의 수로 나누어지는 수를 찾아야 합니다.

숫자를 로 나눌 수 있는 경우 ㅏ 1 다음과 같이 보입니다. 사 1 , 여기서 에스어떤 숫자. 만약에 큐숫자의 최대 공약수입니다 ㅏ 1과 ㅏ 2 다음

어디 에스 1은 정수입니다. 그 다음에

~이다 숫자의 최소 공배수 ㅏ 1과 ㅏ 2 .

ㅏ 1과 ㅏ 2 서로소, 다음 숫자의 최소 공배수 ㅏ 1과 ㅏ 2:

이 숫자의 최소 공배수를 찾으십시오.

숫자의 배수는 위에서부터 다음과 같습니다. ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3은 숫자의 배수여야 합니다. ε 그리고 ㅏ 3 그 반대도 마찬가지입니다. 숫자의 최소 공배수를 보자 ε 그리고 ㅏ 3은 ε 1 . 또한, 숫자의 배수 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , ㅏ 4는 숫자의 배수여야 합니다. ε 1과 ㅏ 4 . 숫자의 최소 공배수를 보자 ε 1과 ㅏ 4는 ε 2. 따라서 우리는 모든 숫자의 배수가 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 ,...,ㅏ m은 특정 숫자의 배수와 일치합니다. ε n 주어진 숫자의 최소 공배수라고합니다.

특정한 경우에 숫자가 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 ,...,ㅏ m 서로소, 다음 숫자의 최소 공배수 ㅏ 1 , ㅏ 2는 위에 나타낸 바와 같이 (3)의 형태를 갖는다. 또한 이후 ㅏ숫자에 관한 3 소수 ㅏ 1 , ㅏ 2 다음 ㅏ 3은 소수의 상대수입니다. ㅏ 1 · ㅏ 2 (추론 1). 따라서 최소공배수는 ㅏ 1 ,ㅏ 2 ,ㅏ 3은 숫자 ㅏ 1 · ㅏ 2 · ㅏ삼 . 비슷한 방식으로 논의하면 다음 주장에 도달합니다.

성명 1. 서로소의 최소공배수 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 ,...,ㅏ m은 그들의 제품과 같습니다 ㅏ 1 · ㅏ 2 · ㅏ삼 ··· ㅏ중 .

성명 2. 각 서로소수로 나누어 떨어지는 모든 수 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 ,...,ㅏ m은 또한 곱으로 나눌 수 있습니다. ㅏ 1 · ㅏ 2 · ㅏ삼 ··· ㅏ중 .

수의 배수는 주어진 수로 나머지 없이 나누어지는 수입니다. 숫자 그룹의 최소 공배수(LCM)는 그룹의 각 숫자로 균등하게 나눌 수 있는 가장 작은 숫자입니다. 최소 공배수를 찾으려면 주어진 숫자의 소인수를 찾아야 합니다. 또한 최소공배수는 두 개 이상의 숫자 그룹에 적용할 수 있는 여러 다른 방법을 사용하여 계산할 수 있습니다.

단계

배수의 수

이 숫자들을 보세요.여기에 설명된 방법은 10보다 작은 두 개의 숫자가 주어질 때 가장 잘 사용됩니다. 큰 숫자가 주어지면 다른 방법을 사용하십시오.

• 예를 들어, 숫자 5와 8의 최소 공배수를 찾으십시오. 이들은 작은 숫자이므로 이 방법을 사용할 수 있습니다.

1. 배수는 주어진 수로 나머지 없이 나누어지는 수입니다. 구구단에서 여러 숫자를 찾을 수 있습니다.

   • 예를 들어 5의 배수인 숫자는 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40입니다.

2. 첫 번째 숫자의 배수인 일련의 숫자를 적으십시오.두 행의 숫자를 비교하려면 첫 번째 숫자의 배수에서 이 작업을 수행합니다.

   • 예를 들어 8의 배수인 숫자는 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64입니다.

3. 두 계열의 배수에 나타나는 가장 작은 수를 찾으십시오.총계를 찾기 위해 일련의 배수를 작성해야 할 수도 있습니다. 두 일련의 배수에 나타나는 가장 작은 숫자는 최소 공배수입니다.

   • 예를 들어 일련의 5와 8의 배수 중 가장 작은 수는 40입니다. 따라서 40은 5와 8의 최소 공배수입니다.

   소인수 분해

   1. 이 숫자들을 보세요.여기에 설명된 방법은 10보다 큰 두 개의 숫자가 주어질 때 가장 잘 사용됩니다. 더 작은 숫자가 주어지면 다른 방법을 사용하십시오.

      • 예를 들어, 숫자 20과 84의 최소 공배수를 찾으십시오. 각 숫자는 10보다 크므로 이 방법을 사용할 수 있습니다.

   2. 첫 번째 숫자를 인수분해합니다.즉, 그러한 소수를 찾아야합니다. 곱하면 주어진 숫자를 얻습니다. 소인수를 찾으면 평등으로 적으십시오.

      • 예를 들어, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)그리고 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). 따라서 숫자 20의 소인수는 숫자 2, 2, 5입니다. 다음과 같이 표현해 보세요.

   3. 두 번째 숫자를 소인수로 인수분해합니다.첫 번째 숫자를 인수분해한 것과 같은 방식으로 이를 수행합니다. 즉, 곱했을 때 이 숫자를 얻을 수 있는 소수를 찾습니다.

      • 예를 들어, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)그리고 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). 따라서 숫자 84의 소인수는 숫자 2, 7, 3 및 2입니다. 다음과 같이 표현하십시오.

   4. 두 숫자에 공통적인 요인을 적으십시오.곱셈 연산과 같은 인수를 작성하십시오. 각 요소를 적을 때 두 표현식(숫자를 소인수로 분해하는 것을 설명하는 표현식)에서 지우십시오.

      • 예를 들어, 두 숫자의 공약수는 2이므로 다음과 같이 씁니다. 2 × (\displaystyle 2\times )두 표현 모두에서 2를 지웁니다.
      • 두 숫자의 공통 인수는 2의 또 다른 인수이므로 다음과 같이 씁니다. 2 × 2(\디스플레이스타일 2\times 2)두 표현식에서 두 번째 2를 지웁니다.

   5. 나머지 인수를 곱셈 연산에 더합니다.이들은 두 식에서 줄을 그지 않은 요소, 즉 두 숫자에 공통적이지 않은 요소입니다.

      • 예를 들어 식에서 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5)두 2개(2)는 공통 인수이기 때문에 줄을 긋습니다. 인수 5는 지워지지 않으므로 다음과 같이 곱셈 연산을 작성하십시오. 2 × 2 × 5 (\디스플레이스타일 2\times 2\times 5)
      • 식에서 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2)두 듀스(2)도 모두 지워집니다. 인수 7과 3은 지우지 않았으므로 다음과 같이 곱셈 연산을 작성하십시오. 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. 최소 공배수를 계산합니다.이렇게 하려면 작성된 곱셈 연산에서 숫자를 곱하십시오.

      • 예를 들어, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). 따라서 20과 84의 최소공배수는 420입니다.

   공약수 찾기

   1. tic-tac-toe 게임처럼 그리드를 그립니다.이러한 그리드는 두 개의 다른 평행선과 교차하는(직각으로) 두 개의 평행선으로 구성됩니다. 이렇게 하면 3개의 행과 3개의 열이 생성됩니다(그리드는 # 기호와 매우 유사함). 첫 번째 행과 두 번째 열에 첫 번째 숫자를 씁니다. 첫 번째 행과 세 번째 열에 두 번째 숫자를 씁니다.

      • 예를 들어, 18과 30의 최소 공배수를 찾으십시오. 첫 번째 행과 두 번째 열에 18을 쓰고 첫 번째 행과 세 번째 열에 30을 씁니다.

   2. 두 숫자에 공통인 약수를 찾으십시오.첫 번째 행과 첫 번째 열에 적으십시오. 소인수를 찾는 것이 더 좋지만 이것이 전제 조건은 아닙니다.

      • 예를 들어 18과 30은 짝수이므로 공약수는 2입니다. 따라서 첫 번째 행과 첫 번째 열에 2를 씁니다.

   3. 각 숫자를 첫 번째 약수로 나눕니다.해당 숫자 아래에 각 몫을 쓰십시오. 몫은 두 숫자를 나눈 결과입니다.

      • 예를 들어, 18 ÷ 2 = 9 (\디스플레이스타일 18\div 2=9), 18세 이하 9세라고 적으세요.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\디스플레이스타일 30\div 2=15), 그래서 30 미만 15를 작성합니다.

   4. 두 몫에 공통인 제수를 찾으십시오.그러한 제수가 없으면 다음 두 단계를 건너뜁니다. 그렇지 않으면 두 번째 행과 첫 번째 열에 제수를 적으십시오.

      • 예를 들어 9와 15는 3으로 나누어 떨어지므로 두 번째 행과 첫 번째 열에 3을 씁니다.

   5. 각 몫을 두 번째 약수로 나눕니다.해당 몫 아래에 각 나눗셈 결과를 씁니다.

      • 예를 들어, 9 ÷ 3 = 3 (\디스플레이스타일 9\div 3=3), 그래서 9에서 3을 쓰십시오.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\디스플레이스타일 15\div 3=5), 15 미만 5를 적으십시오.

   6. 필요한 경우 추가 셀로 그리드를 보완합니다.몫이 공통 약수를 가질 때까지 위의 단계를 반복합니다.

   7. 그리드의 첫 번째 열과 마지막 행에 있는 숫자에 동그라미를 치십시오.그런 다음 강조 표시된 숫자를 곱셈 연산으로 씁니다.

      • 예를 들어 숫자 2와 3은 첫 번째 열에 있고 숫자 3과 5는 마지막 행에 있으므로 다음과 같이 곱셈 연산을 작성하십시오. 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. 숫자를 곱한 결과를 찾으십시오.이것은 주어진 두 숫자의 최소 공배수를 계산합니다.

      • 예를 들어, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). 따라서 18과 30의 최소공배수는 90입니다.

   유클리드 알고리즘

   1. 나누기 작업과 관련된 용어를 기억하십시오.피제수는 나누어지는 숫자입니다. 제수는 나눌 숫자입니다. 몫은 두 숫자를 나눈 결과입니다. 나머지는 두 수를 나눴을 때 남은 수입니다.

      • 예를 들어 식에서 15 ÷ 6 = 2 (\디스플레이스타일 15\div 6=2)나머지. 삼:
        15는 나눗셈
        6은 약수입니다.
        2는 비공개
        3은 나머지입니다.

그러나 많은 자연수는 다른 자연수로 균등하게 나눌 수 있습니다.

예를 들어:

숫자 12는 1, 2, 3, 4, 6, 12로 나눌 수 있습니다.

숫자 36은 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36으로 나눌 수 있습니다.

숫자를 나눌 수 있는 숫자(12의 경우 1, 2, 3, 4, 6 및 12)를 호출합니다. 숫자 약수. 자연수의 약수 ㅏ주어진 수를 나누는 자연수 ㅏ자취없이. 두 개 이상의 약수를 갖는 자연수를 호출합니다. 합성물 .

숫자 12와 36에는 공통 약수가 있습니다. 숫자는 1, 2, 3, 4, 6, 12입니다. 이 숫자의 가장 큰 약수는 12입니다. 이 두 숫자의 공약수는 ㅏ그리고 비주어진 두 숫자를 나머지 없이 나눌 수 있는 숫자입니다. ㅏ그리고 비.

공배수여러 개의 숫자는 이러한 각 숫자로 나눌 수 있는 숫자라고 합니다. 예를 들어, 숫자 9, 18 및 45의 공배수는 180입니다. 그러나 90 및 360도 공배수입니다. 모든 jcommon 배수 중에서 항상 가장 작은 것이 있으며 이 경우에는 90입니다. 이 숫자를 호출합니다. 최소공배수(LCM).

최소공배수는 항상 자연수이며 정의된 숫자 중 가장 큰 수보다 커야 합니다.

최소 공배수(LCM). 속성.

교환성:

연관성:

특히 와 가 서로소인 경우:

두 정수의 최소공배수 중그리고 N다른 모든 공배수의 약수입니다. 중그리고 N. 또한, 공배수의 집합 m,n LCM( m,n).

에 대한 점근선은 일부 정수론적 함수로 표현될 수 있습니다.

그래서, 체비쇼프 함수. 그리고:

이것은 Landau 함수의 정의와 속성에서 따릅니다. 지(엔).

소수 분포 법칙에서 따르는 것.

최소 공배수(LCM) 찾기.

NOC( 가, 나)는 여러 가지 방법으로 계산할 수 있습니다.

1. 최대 공약수를 알고 있는 경우 LCM과의 관계를 사용할 수 있습니다.

2. 두 숫자의 소인수로의 정식 분해를 알려줍니다.

어디 p1,...,pk다양한 소수이고, d1,...,dk그리고 e 1,...,ek음수가 아닌 정수입니다(해당 소수가 분해에 없으면 0이 될 수 있음).

그런 다음 LCM( ㅏ,비)는 다음 공식으로 계산됩니다.

즉, 최소공배수 확장은 적어도 하나의 숫자 확장에 포함된 모든 소인수를 포함합니다. 가, 나, 이 인수의 두 지수 중 가장 큰 지수를 취합니다.

예:

여러 숫자의 최소 공배수 계산은 두 숫자의 LCM에 대한 몇 가지 연속 계산으로 줄일 수 있습니다.

규칙.일련의 숫자의 최소공배수를 찾으려면 다음이 필요합니다.

- 숫자를 소인수로 분해합니다.

- 가장 큰 확장을 원하는 곱의 인수(주어진 것 중 가장 큰 수의 인수의 곱)로 옮긴 다음 첫 번째 숫자에 발생하지 않거나 그 안에 있는 다른 숫자의 확장에서 인수를 더합니다. 적은 횟수;

- 소인수의 결과 곱은 주어진 숫자의 LCM이 됩니다.

둘 이상의 자연수는 고유한 최소공배수를 가집니다. 숫자가 서로의 배수가 아니거나 확장에서 동일한 인수를 갖지 않는 경우 LCM은 이러한 숫자의 곱과 같습니다.

숫자 28의 소인수(2, 2, 7)에 인수 3(숫자 21)을 더하면 결과 곱(84)이 21과 28로 나누어 떨어지는 가장 작은 숫자가 됩니다.

가장 큰 숫자 30의 소인수에 숫자 25의 인수 5를 더하면 결과 곱 150이 가장 큰 숫자 30보다 크고 나머지 없이 주어진 모든 숫자로 나눌 수 있습니다. 주어진 모든 숫자의 배수인 가능한 가장 작은 제품(150, 250, 300...)입니다.

숫자 2,3,11,37은 소수이므로 최소공배수는 주어진 숫자의 곱과 같습니다.

규칙. 소수의 최소공배수를 계산하려면 이 숫자를 모두 곱해야 합니다.

다른 옵션:

여러 숫자의 최소 공배수(LCM)를 찾으려면 다음이 필요합니다.

1) 각 숫자를 소인수의 곱으로 나타냅니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

504 \u003d 222337,

2) 모든 소인수의 거듭제곱을 적으십시오.

504 \u003d 222337 \u003d 233271,

3) 각 숫자의 모든 소인수(승수)를 적으십시오.

4) 이 숫자의 모든 확장에서 발견되는 각각의 가장 큰 차수를 선택하십시오.

5) 이러한 힘을 곱하십시오.

예. 168, 180 및 3024의 LCM을 찾으십시오.

해결책. 168 \u003d 22237 \u003d 233171,

180 \u003d 22335 \u003d 223251,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

모든 소수 약수의 최대 거듭제곱을 쓰고 곱합니다.

최소공배수 = 24335171 = 15120.

"여러 숫자"라는 주제는 종합 학교 5 학년에서 공부합니다. 그것의 목표는 수학적 계산의 쓰기 및 구두 기술을 향상시키는 것입니다. 이 단원에서는 "다수"와 "약수", 자연수의 약수와 배수를 찾는 기술, 다양한 방법으로 LCM을 찾는 기능과 같은 새로운 개념이 소개됩니다.

이 주제는 매우 중요합니다. 이에 대한 지식은 분수로 예를 풀 때 적용할 수 있습니다. 이를 위해서는 최소 공배수(LCM)를 계산하여 공통 분모를 찾아야 합니다.

A의 배수는 나머지 없이 A로 나누어지는 정수입니다.

모든 자연수는 무한한 수의 배수를 가집니다. 가장 적은 것으로 간주됩니다. 배수는 숫자 자체보다 작을 수 없습니다.

숫자 125가 숫자 5의 배수임을 증명해야 합니다. 이렇게 하려면 첫 번째 숫자를 두 번째 숫자로 나누어야 합니다. 125가 나머지 없이 5로 나누어지면 대답은 예입니다.

이 방법은 작은 숫자에 적용할 수 있습니다.

LCM을 계산할 때 특별한 경우가 있습니다.

1. 2개의 숫자(예: 80과 20)에 대한 공배수를 찾아야 하는 경우 그중 하나(80)가 다른 숫자(20)로 나머지 없이 나눌 수 있는 경우 이 숫자(80)가 가장 작습니다. 이 두 숫자의 배수.

최소공배수(80, 20) = 80.

2. 두 수에 공약수가 없으면 LCM이 이 두 수의 곱이라고 말할 수 있습니다.

최소공배수 (6, 7) = 42.

마지막 예를 고려하십시오. 42와 관련된 6과 7은 약수입니다. 그들은 나머지 없이 배수를 나눕니다.

이 예에서 6과 7은 쌍 약수입니다. 그들의 곱은 최대 배수(42)와 같습니다.

그 자체 또는 1로만 나누어지는 수를 소수라고 합니다(3:1=3; 3:3=1). 나머지는 복합이라고합니다.

또 다른 예에서는 9가 42에 대한 제수인지 확인해야 합니다.

42:9=4(나머지 6)

답: 답에 나머지가 있기 때문에 9는 42의 약수가 아닙니다.

약수는 자연수를 나누는 수이고 배수 자체는 그 수로 나눌 수 있다는 점에서 배수와 다릅니다.

숫자의 최대 공약수 ㅏ그리고 비, 가장 작은 배수로 곱하면 숫자 자체의 곱을 제공합니다. ㅏ그리고 비.

즉: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

더 복잡한 숫자에 대한 공배수는 다음과 같은 방법으로 찾을 수 있습니다.

예를 들어 168, 180, 3024에 대한 LCM을 찾습니다.

이 숫자를 소인수로 분해하여 거듭제곱의 곱으로 작성합니다.

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

최소공배수를 계산하는 방법을 이해하려면 먼저 "다수"라는 용어의 의미를 파악해야 합니다.

A의 배수는 A가 나머지 없이 나누어지는 자연수이므로 15, 20, 25 등은 5의 배수로 볼 수 있습니다.

특정 수의 약수는 제한되어 있을 수 있지만 배수는 무한합니다.

자연수의 공배수는 나머지 없이 나누어지는 수입니다.

숫자의 최소 공배수를 찾는 방법

숫자의 최소 공배수(LCM)(2, 3 또는 그 이상)는 이러한 모든 숫자로 균등하게 나누어지는 가장 작은 자연수입니다.

NOC를 찾기 위해 여러 가지 방법을 사용할 수 있습니다.

작은 숫자의 경우 공통된 숫자가 발견될 때까지 이러한 숫자의 모든 배수를 한 줄에 기록하는 것이 편리합니다. 배수는 레코드에 대문자 K로 표시됩니다.

예를 들어, 4의 배수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

따라서 숫자 4와 6의 최소 공배수는 숫자 24임을 알 수 있습니다. 이 항목은 다음과 같이 수행됩니다.

최소공배수(4, 6) = 24

숫자가 크면 세 개 이상의 숫자의 공배수를 찾은 다음 다른 방법을 사용하여 최소공배수를 계산하는 것이 좋습니다.

작업을 완료하려면 제안된 숫자를 소인수로 분해해야 합니다.

먼저 한 줄에 가장 큰 숫자의 확장을 작성하고 그 아래에 나머지를 작성해야합니다.

각 숫자의 확장에는 다른 요소가 있을 수 있습니다.

예를 들어, 숫자 50과 20을 소인수로 분해해 봅시다.

작은 수를 전개할 때는 첫 번째 큰 수를 전개할 때 빠진 인수에 밑줄을 긋고 더해야 합니다. 제시된 예에서 듀스가 누락되었습니다.

이제 20과 50의 최소 공배수를 계산할 수 있습니다.

최소공배수(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

따라서 큰 수의 소인수와 큰 수의 분해에 포함되지 않은 두 번째 수의 ​​약수의 곱이 최소공배수가 됩니다.

세 개 이상의 숫자의 최소공배수를 찾으려면 앞의 경우와 같이 모두 소인수로 분해해야 합니다.

예를 들어, 숫자 16, 24, 36의 최소 공배수를 찾을 수 있습니다.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

따라서 16의 분해에서 나온 2개의 듀스만이 더 큰 수의 인수분해에 포함되지 않았습니다(1은 24의 분해에 있음).

따라서 더 큰 수의 분해에 추가해야 합니다.

최소공배수(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

최소 공배수를 결정하는 특별한 경우가 있습니다. 따라서 숫자 중 하나를 나머지 없이 다른 숫자로 나눌 수 있는 경우 이 숫자 중 더 큰 숫자가 최소 공배수가 됩니다.

예를 들어 12와 24의 NOC는 24가 됩니다.

동일한 약수를 가지지 않는 서로소 수의 최소 공배수를 찾아야 하는 경우 LCM은 곱과 같습니다.

예를 들어 최소공배수(10, 11) = 110입니다.