Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos, tikimybės apibrėžimas ir savybės. Tiesioginis tikimybių skaičiavimas

„Atsitiktinumai nėra atsitiktiniai“... Skamba kaip filosofas, bet iš tikrųjų atsitiktinumo tyrinėjimas yra didžiojo matematikos mokslo lemtis. Matematikoje atsitiktinumą sprendžia tikimybių teorija. Straipsnyje bus pateiktos formulės ir užduočių pavyzdžiai bei pagrindiniai šio mokslo apibrėžimai.

Kas yra tikimybių teorija?

Tikimybių teorija yra viena iš matematinių disciplinų, tiriančių atsitiktinius įvykius.

Kad būtų šiek tiek aiškiau, pateiksime nedidelį pavyzdį: išmetus monetą aukštyn, ji gali nukristi ant galvų ar uodegų. Kol moneta yra ore, galimos abi šios tikimybės. Tai yra, galimų pasekmių tikimybė yra 1:1. Jei iš 36 kortų kaladės ištraukiama viena, tada tikimybė bus nurodyta kaip 1:36. Atrodytų, čia nėra ko tyrinėti ir prognozuoti, ypač pasitelkus matematines formules. Tačiau jei tam tikrą veiksmą kartosite daug kartų, galėsite nustatyti tam tikrą modelį ir pagal jį numatyti įvykių baigtį kitomis sąlygomis.

Apibendrinant visa tai, kas išdėstyta aukščiau, tikimybių teorija klasikine prasme tiria galimybę, kad vienas iš galimų įvykių įvyks skaitine verte.

Iš istorijos puslapių

Tikimybių teorija, formulės ir pirmųjų užduočių pavyzdžiai atsirado tolimais viduramžiais, kai pirmą kartą buvo bandoma nuspėti kortų žaidimų baigtį.

Iš pradžių tikimybių teorija neturėjo nieko bendra su matematika. Tai buvo pateisinama empiriniais faktais arba įvykio savybėmis, kurios gali būti atkartotos praktiškai. Pirmieji darbai šioje srityje kaip matematinė disciplina pasirodė XVII a. Įkūrėjai buvo Blaise'as Pascalis ir Pierre'as Fermatas. Jie ilgą laiką mokėsi azartinių lošimų ir pamatė tam tikrus modelius, apie kuriuos nusprendė papasakoti visuomenei.

Tą pačią techniką išrado Christiaan Huygens, nors jis nebuvo susipažinęs su Pascalio ir Fermato tyrimų rezultatais. Jis pristatė „tikimybių teorijos“ sąvoką, formules ir pavyzdžius, kurie laikomi pirmaisiais disciplinos istorijoje.

Nemenką reikšmę turi ir Jacobo Bernoulli darbai, Laplaso ir Puasono teoremos. Jie pavertė tikimybių teoriją labiau panašia į matematinę discipliną. Tikimybių teorija, formulės ir pagrindinių užduočių pavyzdžiai įgavo dabartinę formą Kolmogorovo aksiomų dėka. Dėl visų pokyčių tikimybių teorija tapo viena iš matematikos šakų.

Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos. Renginiai

Pagrindinė šios disciplinos sąvoka yra „įvykis“. Yra trys įvykių tipai:

• Patikimas. Tie, kurie vis tiek įvyks (moneta nukris).
• Neįmanomas.Įvykiai, kurie neįvyks jokiomis aplinkybėmis (moneta liks kabėti ore).
• Atsitiktinis. Tie, kurie įvyks arba neįvyks. Jiems įtakos gali turėti įvairūs veiksniai, kuriuos labai sunku numatyti. Jei kalbame apie monetą, tai yra atsitiktiniai veiksniai, galintys turėti įtakos rezultatui: monetos fizinės savybės, forma, pradinė padėtis, metimo jėga ir kt.

Visi įvykiai pavyzdžiuose pažymėti didžiosiomis lotyniškomis raidėmis, išskyrus P, kurios vaidmuo skiriasi. Pavyzdžiui:

• A = „studentai atėjo į paskaitą“.
• Ā = „studentai neatėjo į paskaitą“.

Praktinėse užduotyse įvykiai dažniausiai užrašomi žodžiais.

Viena iš svarbiausių įvykių savybių yra vienoda jų galimybė. Tai yra, jei mesti monetą, galimi visi pradinio kritimo variantai, kol ji nukris. Tačiau įvykiai taip pat nėra vienodai įmanomi. Taip atsitinka, kai kas nors sąmoningai daro įtaką rezultatui. Pavyzdžiui, „pažymėtos“ žaidimo kortos ar kauliukai, kuriuose svorio centras yra perkeltas.

Įvykiai taip pat gali būti suderinami ir nesuderinami. Suderinami įvykiai neatmeta vienas kito atsiradimo. Pavyzdžiui:

• A = „studentas atėjo į paskaitą“.
• B = „studentas atėjo į paskaitą“.

Šie įvykiai yra nepriklausomi vienas nuo kito, o vieno iš jų atsiradimas neturi įtakos kito įvykimui. Nesuderinami įvykiai apibrėžiami tuo, kad įvykus vienam neleidžia įvykti kito. Jei kalbėsime apie tą pačią monetą, tada, praradus „uodegą“, tame pačiame eksperimente neįmanoma atsirasti „galvų“.

Veiksmai dėl įvykių

Įvykiai gali būti atitinkamai dauginami ir pridedami, disciplinoje įvedami loginiai ryšiai „IR“ ir „ARBA“.

Suma nustatoma atsižvelgiant į tai, kad vienu metu gali įvykti įvykis A arba B, arba du. Jei jie nesuderinami, paskutinis variantas yra neįmanomas;

Įvykių dauginimas susideda iš A ir B atsiradimo vienu metu.

Dabar galime pateikti keletą pavyzdžių, kad geriau atsimintume pagrindus, tikimybių teoriją ir formules. Toliau pateikiami problemų sprendimo pavyzdžiai.

1 pratimas: Įmonė dalyvauja konkurse gauti sutartis dėl trijų rūšių darbų. Galimi įvykiai, kurie gali įvykti:

• A = „įmonė gaus pirmąją sutartį“.
• Ir 1 = „įmonė negaus pirmosios sutarties“.
• B = „įmonė gaus antrą sutartį“.
• B 1 = „įmonė negaus antros sutarties“
• C = „įmonė gaus trečią sutartį“.
• C 1 = „įmonė negaus trečios sutarties“.

Naudodami veiksmus su įvykiais, bandysime išreikšti tokias situacijas:

• K = „įmonė gaus visas sutartis“.

Matematine forma lygtis bus tokia: K = ABC.

• M = „įmonė negaus nė vienos sutarties“.

M = A 1 B 1 C 1.

Sudėtinkite užduotį: H = „įmonė gaus vieną sutartį“. Kadangi nežinoma, kokią sutartį įmonė gaus (pirmą, antrą ar trečią), būtina įrašyti visą galimų įvykių seriją:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

O 1 BC 1 yra įvykių serija, kai firma negauna pirmos ir trečios sutarties, o gauna antrąją. Kiti galimi įvykiai buvo užfiksuoti atitinkamu metodu. Simbolis υ disciplinoje reiškia jungiamąjį „ARBA“. Jei minėtą pavyzdį išversime į žmonių kalbą, įmonė gaus arba trečią sutartį, arba antrą, arba pirmą. Panašiai galite užrašyti ir kitas sąlygas disciplinoje „Tikimybių teorija“. Aukščiau pateiktos formulės ir problemų sprendimo pavyzdžiai padės tai padaryti patiems.

Tiesą sakant, tikimybė

Galbūt šioje matematinėje disciplinoje įvykio tikimybė yra pagrindinė sąvoka. Yra 3 tikimybės apibrėžimai:

• klasika;
• statistiniai;
• geometrinis.

Kiekvienas iš jų turi savo vietą tikimybių tyrime. Tikimybių teorijoje, formulėse ir pavyzdžiuose (9 klasė) daugiausia naudojamas klasikinis apibrėžimas, kuris skamba taip:

• Situacijos A tikimybė yra lygi pasekmių, palankių jos atsiradimui, skaičiaus ir visų galimų baigčių skaičiaus santykiui.

Formulė atrodo taip: P(A)=m/n.

A iš tikrųjų yra įvykis. Jei atsiranda priešingas A atvejis, jis gali būti parašytas kaip Ā arba A 1 .

m – galimų palankių atvejų skaičius.

n – visi įvykiai, kurie gali atsitikti.

Pavyzdžiui, A = „ištrauk širdies kostiumo kortelę“. Standartinėje kaladėje yra 36 kortos, 9 iš jų yra širdelių. Atitinkamai, problemos sprendimo formulė atrodys taip:

P(A)=9/36=0,25.

Dėl to tikimybė, kad iš kaladės bus ištraukta širdies kostiumo korta, bus 0,25.

Aukštosios matematikos link

Dabar tapo mažai žinoma, kas yra tikimybių teorija, formulės ir problemų sprendimo pavyzdžiai, kurie pasitaiko mokyklos mokymo programoje. Tačiau tikimybių teorija aptinkama ir aukštojoje matematikoje, kuri dėstoma universitetuose. Dažniausiai jie veikia su geometriniais ir statistiniais teorijos apibrėžimais ir sudėtingomis formulėmis.

Tikimybių teorija yra labai įdomi. Geriau pradėti studijuoti formules ir pavyzdžius (aukštoji matematika) nuo mažų – su statistiniu (arba dažniniu) tikimybės apibrėžimu.

Statistinis požiūris neprieštarauja klasikiniam, bet šiek tiek jį išplečia. Jei pirmuoju atveju reikėjo nustatyti, su kokia tikimybe įvyks įvykis, tai šiuo metodu būtina nurodyti, kaip dažnai jis įvyks. Čia pristatoma nauja „santykinio dažnio“ sąvoka, kurią galima žymėti W n (A). Formulė nesiskiria nuo klasikinės:

Jei prognozei skaičiuojama klasikinė formulė, tai statistinė apskaičiuojama pagal eksperimento rezultatus. Paimkime, pavyzdžiui, nedidelę užduotį.

Technologinės kontrolės skyrius tikrina gaminių kokybę. Iš 100 gaminių 3 buvo nustatyti nekokybiški. Kaip sužinoti kokybiško produkto dažnumo tikimybę?

A = „kokybiško produkto išvaizda“.

Wn (A) = 97/100 = 0,97

Taigi kokybiško produkto dažnis yra 0,97. Iš kur gavai 97? Iš 100 patikrintų gaminių 3 buvo nustatyti nekokybiški. Iš 100 atimame 3 ir gauname 97, tai kokybiškų prekių kiekis.

Šiek tiek apie kombinatoriką

Kitas tikimybių teorijos metodas vadinamas kombinatorika. Jo pagrindinis principas yra tas, kad jei tam tikras pasirinkimas A gali būti atliktas m skirtingais būdais, o pasirinkimas B gali būti atliktas n skirtingų būdų, tai A ir B pasirinkimas gali būti atliktas dauginant.

Pavyzdžiui, iš miesto A į miestą B veda 5 keliai. Iš miesto B į miestą C yra 4 takai. Keliais būdais galite patekti iš miesto A į miestą C?

Tai paprasta: 5x4 = 20, tai yra, dvidešimt skirtingų būdų galite patekti iš taško A į tašką C.

Apsunkinkime užduotį. Kiek yra būdų, kaip išdėlioti kortas pasjansoje? Kaledėje yra 36 kortos – tai yra atskaitos taškas. Norėdami sužinoti būdų skaičių, turite „atimti“ po vieną kortelę nuo pradžios taško ir padauginti.

Tai yra, 36x35x34x33x32...x2x1= rezultatas netelpa skaičiuotuvo ekrane, todėl jį galima tiesiog pažymėti 36!. Pasirašykite "!" šalia skaičiaus rodo, kad visa skaičių serija yra padauginta.

Kombinatorikoje yra tokių sąvokų kaip permutacija, išdėstymas ir derinys. Kiekvienas iš jų turi savo formulę.

Sutvarkyta aibės elementų aibė vadinama išdėstymu. Vietos gali būti kartojamos, tai yra, vieną elementą galima naudoti kelis kartus. Ir be pasikartojimo, kai elementai nesikartoja. n yra visi elementai, m yra elementai, kurie dalyvauja vietoje. Įdėjimo be pasikartojimo formulė atrodys taip:

A n m =n!/(n-m)!

n elementų jungtys, kurios skiriasi tik išdėstymo tvarka, vadinamos permutacijomis. Matematikoje tai atrodo taip: P n = n!

n elementų deriniai m yra tie junginiai, kuriuose svarbu, kokie elementai jie buvo ir koks jų bendras skaičius. Formulė atrodys taip:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernulio formulė

Tikimybių teorijoje, kaip ir kiekvienoje disciplinoje, yra puikių savo srities tyrinėtojų darbų, kurie ją perkėlė į naują lygį. Vienas iš šių darbų yra Bernulio formulė, leidžianti nustatyti tam tikro įvykio tikimybę nepriklausomomis sąlygomis. Tai rodo, kad A atsiradimas eksperimente nepriklauso nuo to paties įvykio ar neįvykimo ankstesniuose ar vėlesniuose bandymuose.

Bernulio lygtis:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Įvykio (A) atsiradimo tikimybė (p) yra pastovi kiekvienam bandymui. Tikimybė, kad situacija pasikartos lygiai m kartų per n skaičių eksperimentų, bus apskaičiuojama pagal aukščiau pateiktą formulę. Atitinkamai kyla klausimas, kaip sužinoti skaičių q.

Jei įvykis A įvyksta p kartų, atitinkamai jis gali neįvykti. Vienetas yra skaičius, naudojamas visiems situacijos rezultatams disciplinoje nurodyti. Todėl q yra skaičius, nurodantis įvykio neįvykimo galimybę.

Dabar jūs žinote Bernulio formulę (tikimybių teoriją). Toliau apžvelgsime problemų sprendimo pavyzdžius (pirmasis lygis).

2 užduotis: Parduotuvės lankytojas apsipirks su 0,2 tikimybe. 6 lankytojai savarankiškai įėjo į parduotuvę. Kokia tikimybė, kad lankytojas apsipirks?

Sprendimas: Kadangi nežinoma, kiek lankytojų turėtų apsipirkti, vienas ar visi šeši, reikia apskaičiuoti visas įmanomas tikimybes naudojant Bernulio formulę.

A = „lankytojas pirks“.

Šiuo atveju: p = 0,2 (kaip nurodyta užduotyje). Atitinkamai, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (kadangi parduotuvėje yra 6 klientai). Skaičius m skirsis nuo 0 (nepirks nei vienas pirkėjas) iki 6 (visi parduotuvės lankytojai ką nors pirks). Kaip rezultatas, mes gauname sprendimą:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Nė vienas iš pirkėjų nepirks su 0,2621 tikimybe.

Kaip kitaip naudojama Bernulio formulė (tikimybių teorija)? Problemų sprendimo pavyzdžiai (antrasis lygis) žemiau.

Po pirmiau pateikto pavyzdžio kyla klausimų, kur nuėjo C ir r. Lyginant su p, skaičius, kurio laipsnis yra 0, bus lygus vienetui. Kalbant apie C, jį galima rasti pagal formulę:

C n m = n! /m!(n-m)!

Kadangi pirmame pavyzdyje m = 0, atitinkamai, C = 1, o tai iš esmės neturi įtakos rezultatui. Naudodami naują formulę pabandykime išsiaiškinti, kokia tikimybė, kad prekes įsigys du lankytojai.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / ( 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × ( 0,2 ) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Tikimybių teorija nėra tokia sudėtinga. Bernoulli formulė, kurios pavyzdžiai pateikti aukščiau, yra tiesioginis to įrodymas.

Puasono formulė

Puasono lygtis naudojama mažos tikimybės atsitiktinėms situacijoms apskaičiuoti.

Pagrindinė formulė:

P n (m)=λ m/m! × e (-λ) .

Šiuo atveju λ = n x p. Čia yra paprasta Puasono formulė (tikimybių teorija). Toliau apžvelgsime problemų sprendimo pavyzdžius.

3 užduotis: gamykla pagamino 100 000 detalių. Sugedusios detalės atsiradimas = 0,0001. Kokia tikimybė, kad partijoje bus 5 sugedusios dalys?

Kaip matote, santuoka yra mažai tikėtinas įvykis, todėl skaičiavimui naudojama Puasono formulė (tikimybių teorija). Tokio pobūdžio problemų sprendimo pavyzdžiai niekuo nesiskiria nuo kitų disciplinos užduočių.

A = „atsitiktinai parinkta dalis bus sugedusi“.

p = 0,0001 (pagal užduoties sąlygas).

n = 100000 (dalių skaičius).

m = 5 (defektuotos dalys). Mes pakeičiame duomenis į formulę ir gauname:

100 000 R (5) = 10 5/5! X e -10 = 0,0375.

Kaip ir Bernulio formulė (tikimybių teorija), kurios sprendimų pavyzdžiai yra parašyti aukščiau, Puasono lygtis turi nežinomą e. Tiesą sakant, ją galima rasti pagal formulę:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Tačiau yra specialių lentelių, kuriose yra beveik visos e.

De Moivre-Laplaso teorema

Jei Bernoulli schemoje bandymų skaičius yra pakankamai didelis, o įvykio A tikimybė visose schemose yra vienoda, tai įvykio A tikimybę tam tikrą skaičių kartų bandymų serijoje galima rasti Laplaso formulė:

Рn (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Norėdami geriau prisiminti Laplaso formulę (tikimybių teoriją), toliau pateikiami problemų pavyzdžiai.

Pirmiausia suraskime X m, pakeiskime duomenis (jie visi išvardyti aukščiau) į formulę ir gaukime 0,025. Naudodami lenteles randame skaičių ϕ(0,025), kurio reikšmė yra 0,3988. Dabar galite pakeisti visus duomenis į formulę:

P 800 (267) = 1/√ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Taigi tikimybė, kad skrajutė veiks lygiai 267 kartus, yra 0,03.

Bayes formulė

Bayes formulė (tikimybių teorija), kurios pagalba bus pateikti problemų sprendimo pavyzdžiai, yra lygtis, apibūdinanti įvykio tikimybę, remiantis aplinkybėmis, kurios gali būti su juo susijusios. Pagrindinė formulė yra tokia:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A ir B yra tam tikri įvykiai.

P(A|B) yra sąlyginė tikimybė, ty įvykis A gali įvykti, jei įvykis B yra teisingas.

P (B|A) – sąlyginė įvykio B tikimybė.

Taigi, paskutinė trumpojo kurso „Tikimybių teorija“ dalis yra Bayes formulė, kurios problemų sprendimų pavyzdžiai pateikiami žemiau.

5 užduotis: Į sandėlį buvo atvežti trijų įmonių telefonai. Tuo pačiu metu telefonų, pagamintų pirmoje gamykloje, dalis yra 25%, antroje - 60%, trečioje - 15%. Taip pat žinoma, kad vidutinis brokuotų gaminių procentas pirmoje gamykloje yra 2%, antroje - 4%, o trečioje - 1%. Turite rasti tikimybę, kad atsitiktinai pasirinktas telefonas bus sugedęs.

A = „atsitiktinai pasirinktas telefonas“.

B 1 - telefonas, kurį pagamino pirmoji gamykla. Atitinkamai pasirodys įvadiniai B 2 ir B 3 (antrai ir trečiai gamykloms).

Rezultate gauname:

P (B 1) = 25 %/100 % = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 – taip radome kiekvieno varianto tikimybę.

Dabar reikia rasti sąlygines norimo įvykio tikimybes, tai yra sugedusių gaminių tikimybę įmonėse:

P (A/B 1) = 2 %/100 % = 0,02;

P(A/B 2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Dabar pakeiskime duomenis į Bayes formulę ir gaukime:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Straipsnyje pateikiama tikimybių teorija, formulės ir problemų sprendimo pavyzdžiai, tačiau tai tik didžiulės disciplinos ledkalnio viršūnė. O po visko, kas parašyta, bus logiška užduoti klausimą, ar gyvenime reikalinga tikimybių teorija. Paprastam žmogui sunku atsakyti, geriau paprašyti to, kas tuo pasinaudojo, kad laimėtų jackpotą daugiau nei vieną kartą.

Tikimybių teorija yra matematikos mokslas, tiriantis masinių atsitiktinių reiškinių modelius.

Iki atsirandant tikimybių teorijai, kaip visuotinai priimtai teorijai, moksle vyravo determinizmas, pagal kurį tam tikros sąlygų visumos įgyvendinimas vienareikšmiškai lemia rezultatą. Klasikinis pavyzdys yra mechanika. Pavyzdžiui, remiantis dangaus mechanikos dėsniais, iš žinomų Saulės sistemos planetų padėties tam tikru momentu galima labai tiksliai nuspėti Saulės ir Mėnulio užtemimus. Tokie dėsniai vadinami deterministiniais dėsniais.

Tačiau praktika parodė, kad šis metodas ne visada taikomas. Ne visi makrokosmoso reiškiniai gali būti tiksliai nuspėti, nepaisant to, kad mūsų žinios apie jį nuolatos tobulinamos ir gilinamos. Dar mažiau nulemti mikropasaulio dėsniai ir dėsningumai.

Tikimybių teorijos matematiniai dėsniai atspindi tikrus statistinius dėsnius, kurie objektyviai egzistuoja masiniuose atsitiktiniuose reiškiniuose.

Tikimybių teorija iš pradžių buvo sukurta kaip taikomoji disciplina. Šiuo atžvilgiu jos sąvokas ir išvadas nuspalvino žinių sritys, kuriose jos buvo gautos.

B. V. darbuose. Gnedenko, L.E. Maystrova, A.N. Kolmogorovas pateikia pagrindinius tikimybių teorijos raidos etapus. Trumpumo dėlei pateikiame juos lentelės pavidalu.

1 lentelė

Tikimybių teorijos raidos etapai

Lentelėje pateikti raidos šaltiniai atspindi praktikos poreikius, kurie tapo postūmiu plėtoti tikimybių teoriją.

Iki XVII amžiaus filosofija buvo sukaupusi gana daug medžiagos, kuri turėjo įtakos tikimybių teorijos atsiradimui ir pirmajam raidos laikotarpiui. Pagrindinis tikimybių teorijos atsiradimo šaltinis yra praktika. Poreikis sukurti matematinį aparatą atsitiktinių reiškinių analizei kilo iš statistinės medžiagos apdorojimo ir apibendrinimo poreikių. Tačiau tikimybių teorija buvo suformuota ne tik praktinių problemų pagrindu: šios problemos yra per daug sudėtingos. Lošimas pasirodė esąs paprastesnė ir patogesnė medžiaga atsitiktinių reiškinių modeliams tirti. Azartinių lošimų pagrindu, kartu su pagrindinėmis sąvokomis, buvo sukurti ir tikimybių teorijos metodai.

Tikimybių teorijos atsiradimas prasidėjo nuo to, kad prancūzų karaliaus Chevalier (Cavalier) de Mere (1607-1648) dvariškis, pats buvęs lošėjas, kreipėsi į prancūzų fiziką, matematiką ir filosofą Blaise'ą Pascalį (1623-1662). klausimus apie akinių problemą. Mus pasiekė du garsūs De Mero klausimai Pascaliui: 1) kiek kartų reikia mesti du kauliukus, kad iš karto iškristų du šešetai būtų daugiau nei pusė viso metimų skaičiaus; 2) kaip teisingai padalyti pinigus ant kortos, jei žaidėjai per anksti sustabdė žaidimą? Paskalis kreipėsi į matematiką Pierre'ą Fermat (1601-1665) ir susirašinėjo su juo dėl šių problemų. Kartu jie nustatė kai kuriuos pradinius tikimybių teorijos principus, ypač priėjo prie matematinio lūkesčio sampratos ir tikimybių sudėjimo bei daugybos teoremų.

Tikimybiniai metodai rado tiesioginį praktinį pritaikymą, pirmiausia, sprendžiant draudimo problemas. Nuo tada tikimybių teorija vis labiau pritaikoma įvairiose srityse.

Tikimybių teorijos atradėjais laikomi prancūzų mokslininkai B. Pascalis ir P. Fermat bei olandų mokslininkas H. Huygensas (1629-1695). Pradėjo ryškėti naujas mokslas, ryškėti jo specifika ir metodika: apibrėžimai, teoremos, metodai.

Didelis žingsnis tikimybių teorijos raidoje siejamas su Jacobo Bernoulli (1654–1705) darbais. Ar jis buvo pirmasis vienos iš svarbiausių tikimybių teorijos nuostatų įrodymas? didelių skaičių dėsnis. Dar prieš Jacobą Bernoulli daugelis kaip empirinį faktą pažymėjo tą atsitiktinių reiškinių ypatybę, kuri vadinama „dažnių stabilumo savybe per daug eksperimentų“. Ne kartą buvo pastebėta, kad atliekant daugybę eksperimentų, kurių kiekvieno rezultatas yra atsitiktinis, santykinis rezultato pasireiškimo dažnis yra linkęs stabilizuotis, artėjant prie šio rezultato tikimybės? Jacobas Bernoulli pirmasis pateikė teorinį šio empirinio fakto pagrindimą. Jokūbo Bernulio teorema? Paprasčiausia didelių skaičių dėsnio forma? nustato ryšį tarp įvykio tikimybės ir jo pasireiškimo dažnumo; atlikus pakankamai daug eksperimentų, praktiškai galima tikėtis savavališkai glaudaus dažnio ir tikimybės sutapimo.

Kitas svarbus tikimybių teorijos raidos etapas siejamas su Moavro (1667?1754) vardu. Šis mokslininkas pirmą kartą pristatė ir paprasčiausiu atveju pateisino dėsnį, kuris labai dažnai laikomasi atsitiktiniuose reiškiniuose: vadinamąjį normalųjį dėsnį (Gauso dėsnį).

Normalus dėsnis atsitiktiniuose reiškiniuose atlieka nepaprastai svarbų vaidmenį. Teoremos, pagrindžiančios šį dėsnį tam tikromis sąlygomis, tikimybių teorijoje paprastai vadinamos „centrine ribos teorema“.

Harmoningai ir sistemingai tikimybių teorijos pagrindus pirmasis pateikė žymus matematikas Laplasas (1749–1827). Jis įrodė vieną iš centrinės ribos teoremos formų (Moavre-Laplace teoremą) ir sukūrė daugybę puikių tikimybių teorijos pritaikymų praktiniams klausimams, ypač stebėjimo ir matavimo klaidų analizei.

Reikšmingas žingsnis į priekį plėtojant tikimybių teoriją siejamas su Gauso (1777–1855) vardu, kuris dar bendriau pagrindė normalų dėsnį ir sukūrė eksperimentinių duomenų apdorojimo metodą, žinomą kaip „mažiausių kvadratų metodas“. .

Verta paminėti Puasono (1781–1840) darbą, kuris įrodė bendresnę didelių skaičių dėsnio formą nei Jacobas Bernoulli, taip pat pirmasis pritaikė tikimybės teoriją šaudymo uždaviniams spręsti. Puasono vardas siejamas su vienu iš pasiskirstymo dėsnių, kuris vaidina svarbų vaidmenį tikimybių teorijoje ir jos taikymuose.

Visą XVIII ir XIX amžiaus pradžią pasižymėjo sparti tikimybių teorijos raida ir platus jos entuziazmas. Tikimybių teorija tampa „madingu“ mokslu. Ją pradeda naudoti ne tik ten, kur jo naudojimas yra teisėtas, bet ir ten, kur jis niekaip nepateisinamas.

Šis laikotarpis pasižymėjo daugybe bandymų pritaikyti tikimybių teoriją socialinių reiškinių studijoms, vadinamiesiems „moraliniams“ arba „moraliniams“ mokslams. Pasirodė daugybė darbų teisinių procesų, istorijos, politikos, net teologijos klausimais, kuriuose naudotas tikimybių teorijos aparatas. Visoms šioms pseudomokslinėms studijoms būdingas itin supaprastintas, mechaniškas požiūris į juose nagrinėjamus socialinius reiškinius. Samprotavimas grindžiamas tam tikromis savavališkai nurodytomis tikimybėmis (pavyzdžiui, svarstant teisminio proceso klausimus, kiekvieno žmogaus polinkis sakyti tiesą ar meluoti įvertinamas tam tikra pastovia tikimybe, vienoda visiems žmonėms), o tada socialinė problema. sprendžiamas kaip paprastas aritmetinis uždavinys.

Natūralu, kad visi tokie bandymai buvo pasmerkti nesėkmei ir negalėjo turėti teigiamo vaidmens mokslo raidoje. Atvirkščiai, jų netiesioginis rezultatas buvo tas, kad maždaug dvidešimt? XIX amžiaus trečiajame dešimtmetyje Vakarų Europoje paplitęs entuziazmas tikimybių teorijai užleido vietą nusivylimui ir skepticizmui. Į tikimybių teoriją jie pradėjo žiūrėti kaip į abejotiną, antrarūšį mokslą, savotišką matematinę pramogą, vargu ar verta rimtai tyrinėti.

Pastebėtina, kad būtent tuo metu Rusijoje buvo sukurta garsioji Sankt Peterburgo matematikos mokykla, kurios darbais tikimybių teorija buvo pastatyta ant tvirto loginio ir matematinio pagrindo ir tapo patikimu, tiksliu ir veiksmingu žinių metodu. Nuo pat šios mokyklos atsiradimo tikimybių teorijos raida jau buvo glaudžiai susijusi su rusų darbais, o ateityje? Sovietų mokslininkai.

Tarp Sankt Peterburgo matematikos mokyklos mokslininkų reikėtų įvardyti V. Ya. pirmojo tikimybių teorijos kurso rusų kalba autorius, šiuolaikinės rusiškos tikimybių teorijos terminijos kūrėjas, originalių tyrimų statistikos ir demografijos srityje autorius.

V. Ya mokinys buvo didysis rusų matematikas P. L. Čebyševas (1821?1894), kuris dar labiau išplėtė ir apibendrino didelių skaičių dėsnį. Be to, P. L. Čebyševas į tikimybių teoriją įvedė labai galingą ir vaisingą momentų metodą.

P. L. Čebyševo mokinys buvo A. A. Markovas (1856?1922), gerokai išplėtęs didelių skaičių dėsnio ir centrinės ribinės teoremos taikymo sritį, išplėtęs jas ne tik nepriklausomiems, bet ir priklausomiems eksperimentams. Svarbiausias A. A. Markovo nuopelnas buvo tai, kad jis padėjo pamatus visiškai naujai tikimybių teorijos šakai? atsitiktinių, arba „stochastinių“ procesų teorijos. Šios teorijos plėtra yra pagrindinis naujausios, šiuolaikinės tikimybių teorijos turinys.

A. M. Lyapunovas (1857–1918), kurio vardas siejamas su pirmuoju centrinės ribos teoremos įrodymu itin bendromis sąlygomis, taip pat buvo P. L. Čebyševo mokinys. Savo teoremai įrodyti A. M. Lyapunovas sukūrė specialų būdingų funkcijų metodą, plačiai naudojamą šiuolaikinėje tikimybių teorijoje.

Būdingas Sankt Peterburgo matematikos mokyklos darbo bruožas buvo išskirtinis uždavinių formulavimo aiškumas, visiškas naudojamų metodų matematinis griežtumas, o kartu ir glaudus teorijos ryšys su tiesioginiais praktikos reikalavimais. Sankt Peterburgo matematikos mokyklos mokslininkų darbais tikimybių teorija buvo iškelta iš mokslo paraštės ir įtraukta į tiksliųjų matematikos mokslų narius. Jos metodų taikymo sąlygos buvo griežtai apibrėžtos, o patys metodai buvo ištobulinti.

Sovietinė tikimybių teorijos mokykla, perėmusi Sankt Peterburgo matematikos mokyklos tradicijas, užima pirmaujančią vietą pasaulio moksle. Pavardykime tik keletą didžiausių sovietų mokslininkų, kurių darbai suvaidino lemiamą vaidmenį kuriant šiuolaikinę tikimybių teoriją ir jos pritaikymą praktikoje.

S. N. Bernsteinas sukūrė pirmąją pilną tikimybių teorijos aksiomatiką, taip pat gerokai išplėtė ribinių teoremų taikymo sritį.

A. Ya Khinchin (1894?1959) yra žinomas dėl savo tyrimų tolesnio apibendrinimo ir didelių skaičių dėsnio stiprinimo, bet daugiausia dėl savo tyrimų stacionarių atsitiktinių procesų srityje.

Nemažai svarbiausių fundamentalių darbų įvairiose tikimybių teorijos ir matematinės statistikos srityse priklauso A. N. Kolmogorovui. Jis pateikė tobuliausią aksiomatinę tikimybių teorijos konstrukciją, susiedamas ją su viena svarbiausių šiuolaikinės matematikos šakų? metrinė funkcijų teorija. A. N. Kolmogorovo darbai yra ypač svarbūs atsitiktinių funkcijų (stochastinių procesų) teorijos srityje, kuri šiuo metu yra visų šios srities tyrimų pagrindas. A. N. Kolmogorovo darbai, susiję su efektyvumo vertinimu, sudarė visiškai naujos mokslo krypties šaudymo teorijoje pagrindą, kuri vėliau išaugo į platesnį kovinių operacijų efektyvumo mokslą.

V. I. Romanovskis ir N. V. Smirnovas žinomi dėl savo darbų matematinės statistikos srityje, E. E. Slutskis? atsitiktinių procesų teorijoje, B.V.Gnedenko? eilių teorijos srityje E. B. Dynkinas? Markovo atsitiktinių procesų srityje V. S. Pugačiovas? atsitiktinių procesų, taikomų automatinio valdymo problemoms, srityje.

Užsienio tikimybių teorijos plėtra šiuo metu taip pat sparčiai vyksta dėl neatidėliotinų praktikos reikalavimų. Kaip ir pas mus, prioritetinis dėmesys skiriamas klausimams, susijusiems su atsitiktiniais procesais. Reikšmingi darbai šioje srityje priklauso N. Wiener, V. Feller, D. Doob. Svarbūs darbai apie tikimybių teoriją ir matematinę statistiką priklauso R. Fischeriui, D. Neumannui ir G. Crameriui.

Tikimybių teorija, kaip ir kitos matematikos šakos, išsivystė iš praktikos poreikių ir abstrakčiai atspindi masinių atsitiktinių įvykių modelius. Šie modeliai vaidina labai svarbų vaidmenį įvairiose gamtos mokslų, medicinos, technologijų, ekonomikos ir karinių reikalų srityse. Daugelis tikimybių teorijos šakų buvo sukurtos dėl praktikos poreikių.

Klasikinis tikimybės apibrėžimas grindžiamas sąvoka tikimybinė patirtis, arba tikimybių eksperimentas. Jo rezultatas yra vienas iš kelių galimų rezultatų, vadinamas elementarius rezultatus, ir nėra pagrindo tikėtis, kad kartojant tikimybinį eksperimentą koks nors elementarus rezultatas pasirodys dažniau nei kiti. Pavyzdžiui, apsvarstykite tikimybinį eksperimentą, kurio metu mesti kauliuką. Šio eksperimento rezultatas yra vieno iš 6 taškų, nubrėžtų kubo šonuose, praradimas.

Taigi šiame eksperimente yra 6 pagrindiniai rezultatai:

ir kiekvieno iš jų vienodai laukiama.

Renginys klasikiniame tikimybių eksperimente yra savavališkas elementarių rezultatų rinkinio poaibis. Nagrinėjamame kauliuko metimo pavyzdyje įvykis yra, pavyzdžiui, lyginio taškų skaičiaus praradimas, kurį sudaro elementarūs rezultatai.

Įvykio tikimybė yra skaičius:

kur yra elementarių baigčių, sudarančių įvykį, skaičius (kartais sakoma, kad tai yra elementarių baigčių, palankių įvykiui, skaičius), ir yra visų elementarių baigčių skaičius.

Mūsų pavyzdyje:

Kombinatorikos elementai.

Aprašant daugelį tikimybinių eksperimentų, elementarius rezultatus galima identifikuoti su vienu iš šių kombinatorikos (baigtinių aibių mokslo) objektų.

Pertvarkymas skaičių yra savavališkas šių skaičių atvaizdavimas be pasikartojimo. Pavyzdžiui, trijų skaičių rinkiniui yra 6 skirtingos permutacijos:

, , , , , .

Savavališkam permutacijų skaičiui yra lygus

(iš eilės einančių natūraliosios eilutės skaičių sandauga, prasidedanti nuo 1).

Derinys iš yra savavališka netvarkinga bet kurių aibės elementų aibė. Pavyzdžiui, trijų skaičių rinkiniui yra 3 skirtingi 3 x 2 deriniai:

Savavališkai porai , derinių skaičius yra lygus

Pavyzdžiui,

Hipergeometrinis pasiskirstymas.

Apsvarstykite šį tikimybinį eksperimentą. Yra juoda dėžutė, kurioje yra balti ir juodi rutuliukai. Kamuoliukai yra vienodo dydžio ir nesiskiria liečiant. Eksperimentas susideda iš atsitiktinio kamuoliukų ištraukimo. Įvykis, kurio tikimybę reikia rasti, yra tai, kad kai kurie iš šių kamuoliukų yra balti, o kiti yra juodi.

Pernumeruokime visus rutulius skaičiais nuo 1 iki . Tegul skaičiai 1, ¼ atitinka baltus rutulius, o skaičiai ¼ – juodus rutulius. Pagrindinis šio eksperimento rezultatas yra nesutvarkytas elementų rinkinys iš aibės, tai yra, derinys by. Vadinasi, yra visi elementarūs rezultatai.

Raskime elementarių baigčių, palankių įvykiui įvykti, skaičių. Atitinkamus rinkinius sudaro „balti“ ir „juodi“ skaičiai. Skaičius iš „baltų“ skaičių galite pasirinkti trimis būdais, o skaičius iš „juodų“ skaičių – 3/4 būdais. Baltos ir juodos spalvos rinkiniai gali būti sujungti savavališkai, todėl yra tik elementarūs renginiui palankūs rezultatai.

Įvykio tikimybė yra

Gauta formulė vadinama hipergeometriniu skirstiniu.

5.1 problema. Dėžutėje yra 55 standartinės ir 6 to paties tipo defektinės dalys. Kokia tikimybė, kad iš trijų atsitiktinai parinktų dalių bent viena bus sugedusi?

Sprendimas. Iš viso yra 61 dalis, imame 3. Elementarioji baigtis yra 61 ir 3 derinys. Visų elementariųjų baigčių skaičius lygus . Palankūs rezultatai skirstomi į tris grupes: 1) tai yra tie rezultatai, kurių 1 dalis yra su trūkumais ir 2 yra geri; 2) 2 dalys yra su defektais, o 1 - gera; 3) visos 3 dalys yra sugedusios. Pirmojo tipo aibių skaičius lygus , antrojo tipo aibių skaičius lygus , o trečiojo tipo aibių skaičius lygus . Vadinasi, įvykio įvykimui palankios elementarios pasekmės. Įvykio tikimybė yra

Įvykių algebra

Elementarių įvykių erdvė yra visų elementarių rezultatų, susijusių su tam tikra patirtimi, visuma.

Suma du įvykiai vadinami įvykiu, susidedančiu iš elementarių įvykiui ar įvykiui priklausančių baigčių.

Darbas du įvykiai vadinami įvykiu, susidedančiu iš elementarių baigčių, kurios vienu metu priklauso įvykiams ir .

Įvykiai ir vadinami nesuderinamais, jei .

Renginys vadinamas priešingasįvykis, jei įvykiui palankios visos tos elementarios baigtys, kurios nepriklauso įvykiui. Visų pirma, ,.

SUMOS TEOREMA.

Visų pirma,.

Sąlyginė tikimybėįvykis, su sąlyga, kad įvykis įvyko, vadinamas sankirtai priklausančių elementariųjų baigčių skaičiaus ir elementariųjų baigčių, priklausančių , skaičiaus santykiu. Kitaip tariant, sąlyginė įvykio tikimybė nustatoma pagal klasikinę tikimybių formulę, kurioje naujoji tikimybių erdvė yra . Sąlyginė įvykio tikimybė žymima .

Produkto TEOREMA. .

Renginiai vadinami nepriklausomas, Jei. Nepriklausomiems įvykiams sandaugos teorema pateikia ryšį .

Sumos ir sandaugos teoremų pasekmė yra šios dvi formulės.

Bendrosios tikimybės formulė. Visa hipotezių grupė yra savavališkas nesuderinamų įvykių rinkinys , , ¼, , kurie kartu sudaro visą tikimybių erdvę:

Šioje situacijoje savavališkam įvykiui galioja formulė, vadinama bendrosios tikimybės formule,

kur yra Laplaso funkcija , , . Laplaso funkcija yra lentelėse, o jos reikšmes, atsižvelgiant į nurodytą reikšmę, galima rasti bet kuriame tikimybių teorijos ir matematinės statistikos vadovėlyje.

5.3 problema. Yra žinoma, kad didelėje dalių partijoje yra 11% defektų. Bandymui atrenkama 100 dalių. Kokia tikimybė, kad tarp jų yra ne daugiau kaip 14 brokuotų? Įvertinkite atsakymą naudodami Moivre-Laplace teoremą.

Sprendimas. Mes susiduriame su Bernulio testu, kur , , . Sėkme laikomas sugedusios dalies atradimas, o sėkmių skaičius patenkina nelygybę. Vadinasi,

Tiesioginis skaičiavimas suteikia:

, , , , , , , , , , , , , , .

Vadinasi,. Dabar pritaikykime Moivre-Laplace integralų teoremą. Mes gauname:

Naudodami funkcijų reikšmių lentelę, atsižvelgdami į funkcijos nelygumą, gauname

Apytikslio skaičiavimo paklaida neviršija .

Atsitiktiniai kintamieji

Atsitiktinis dydis yra skaitinė tikimybinio eksperimento charakteristika, kuri yra elementarių rezultatų funkcija. Jei , , ¼ yra elementariųjų rezultatų rinkinys, tai atsitiktinis dydis yra funkcija. Tačiau patogiau atsitiktinį kintamąjį apibūdinti išvardijant visas galimas jo reikšmes ir tikimybes, su kuriomis jis gauna šią reikšmę.

Tokia lentelė vadinama atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsniu. Kadangi įvykiai sudaro ištisą grupę, tenkinamas tikimybinio normalizavimo dėsnis

Atsitiktinio dydžio matematinė lūkestis arba vidutinė vertė yra skaičius, lygus atsitiktinio dydžio dydžių ir atitinkamų tikimybių sandaugų sumai.

Atsitiktinio dydžio dispersija (reikšmių sklaidos aplink matematinius lūkesčius laipsnis) yra atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis,

Galima parodyti, kad

Didumas

vadinamas atsitiktinio dydžio vidutiniu kvadratiniu nuokrypiu.

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija yra tikimybė patekti į aibę, ty

Tai neneigiama, nemažėjanti funkcija, turinti reikšmes nuo 0 iki 1. Atsitiktiniam dydžiui, turinčiam baigtinę reikšmių rinkinį, tai yra nuosekliai pastovi funkcija, kuri būsenos taškuose turi antrojo tipo netolydumus. Be to, ir yra ištisinis kairėje.

5.4 problema. Iš eilės metami du kauliukai. Jei ant vieno kauliuko atsiranda vienas, trys ar penki taškai, žaidėjas praranda 5 rublius. Išmetus du ar keturis taškus, žaidėjas gauna 7 rublius. Išmetus šešis taškus, žaidėjas praranda 12 rublių. Atsitiktinė vertė x yra žaidėjo atlygis už du kauliukų metimus. Raskite paskirstymo įstatymą x, nubraižykite pasiskirstymo funkciją, suraskite matematinį lūkestį ir dispersiją x.

Sprendimas. Pirmiausia pasvarstykime, kam lygus žaidėjo laimėjimas metant kauliuką. Tegul įvykis yra toks, kad išmeta 1, 3 arba 5 taškai. Tada laimėjimai bus rubliai. Tegul įvykis yra toks, kad išmeta 2 arba 4 taškai. Tada laimėjimas bus rubliai. Galiausiai tegul įvykis reiškia 6 metimą. Tada laimėjimas lygus rubliams.

Dabar apsvarstykime visas galimas įvykių kombinacijas ir su dviem kauliukų metimais ir nustatykime kiekvieno tokio derinio laimėjimo vertes.

Jei įvykis įvyko, tada tuo pačiu metu.

Jei įvykis įvyko, tada tuo pačiu metu.

Panašiai, kai gauname , .

Visas rastas būsenas ir bendras šių būsenų tikimybes įrašome į lentelę:

Tikriname tikimybinio normalizavimo dėsnio įvykdymą: realioje tiesėje reikia nustatyti tikimybę, kad atsitiktinis dydis patenka į šį intervalą 1) ir greitai mažėja ties, ¼,

Daugelis, susidūrę su „tikimybių teorijos“ sąvoka, išsigąsta, manydami, kad tai kažkas didžiulio, labai sudėtingo. Bet iš tikrųjų viskas nėra taip tragiška. Šiandien pažvelgsime į pagrindinę tikimybių teorijos sampratą ir išmoksime spręsti problemas pasitelkdami konkrečius pavyzdžius.

Mokslas

Ką tiria tokia matematikos šaka kaip „tikimybių teorija“? Ji atkreipia dėmesį į modelius ir kiekius. Pirmą kartą mokslininkai šia problema susidomėjo dar XVIII amžiuje, kai studijavo azartinius lošimus. Pagrindinė tikimybių teorijos samprata yra įvykis. Tai bet koks faktas, nustatytas patirtimi ar stebėjimu. Bet kas yra patirtis? Kita pagrindinė tikimybių teorijos samprata. Tai reiškia, kad šios aplinkybės susidarė ne atsitiktinai, o tam tikram tikslui. Kalbant apie stebėjimą, čia pats tyrėjas nedalyvauja eksperimente, o tiesiog yra šių įvykių liudininkas, jis niekaip neįtakoja to, kas vyksta.

Renginiai

Sužinojome, kad pagrindinė tikimybių teorijos samprata yra įvykis, bet į klasifikaciją neatsižvelgėme. Visi jie yra suskirstyti į šias kategorijas:

• Patikimas.
• Neįmanomas.
• Atsitiktinis.

Nepriklausomai nuo to, kokie įvykiai jie yra, pastebėti ar sukurti per patirtį, jiems visiems taikoma ši klasifikacija. Kviečiame susipažinti su kiekviena rūšimi atskirai.

Patikimas renginys

Tai yra aplinkybė, dėl kurios buvo imtasi reikiamų priemonių. Norint geriau suprasti esmę, geriau pateikti kelis pavyzdžius. Fizikai, chemijai, ekonomikai ir aukštajai matematikai galioja šis įstatymas. Tikimybių teorija apima tokią svarbią sąvoką kaip patikimas įvykis. Štai keletas pavyzdžių:

• Dirbame ir gauname kompensaciją darbo užmokesčio forma.
• Gerai išlaikėme egzaminus, išlaikėme konkursą ir už tai gauname atlygį – priėmimą į ugdymo įstaigą.
• Investavome pinigus į banką, jei reikės, atgausime.

Tokie renginiai yra patikimi. Jei įvykdėme visas būtinas sąlygas, tikrai sulauksime laukiamo rezultato.

Neįmanomi įvykiai

Dabar mes svarstome tikimybių teorijos elementus. Siūlome pereiti prie kito įvykio tipo, būtent neįmanomo, paaiškinimo. Pirma, išskirkime svarbiausią taisyklę – neįmanomo įvykio tikimybė lygi nuliui.

Sprendžiant problemas negalima nukrypti nuo šios formuluotės. Aiškumo dėlei pateikiami tokių įvykių pavyzdžiai:

• Vanduo užšalo plius dešimties temperatūroje (tai neįmanoma).
• Elektros trūkumas neturi įtakos gamybai (taip pat neįmanoma, kaip ir ankstesniame pavyzdyje).

Daugiau pavyzdžių pateikti neverta, nes aukščiau aprašytieji labai aiškiai atspindi šios kategorijos esmę. Neįmanomas įvykis eksperimento metu niekada neįvyks jokiomis aplinkybėmis.

Atsitiktiniai įvykiai

Tiriant elementus, ypatingas dėmesys turėtų būti skiriamas šiam renginio tipui. Štai ką tiria mokslas. Dėl patirties kažkas gali nutikti arba neįvykti. Be to, testą galima atlikti neribotą skaičių kartų. Ryškūs pavyzdžiai:

• Monetos metimas – patirtis arba išbandymas, galvų nusileidimas – įvykis.
• Aklai ištraukti kamuolį iš maišo yra išbandymas gauti raudoną kamuolį ir pan.

Tokių pavyzdžių gali būti neribotas skaičius, bet apskritai esmė turėtų būti aiški. Gautoms žinioms apie įvykius apibendrinti ir susisteminti pateikiama lentelė. Tikimybių teorija tiria tik paskutinį tipą iš visų pateiktų.

Įstatymai

Tikimybių teorija yra mokslas, tiriantis įvykio galimybę. Kaip ir kiti, jis turi tam tikrų taisyklių. Egzistuoja šie tikimybių teorijos dėsniai:

• Atsitiktinių dydžių sekų konvergencija.
• Didelių skaičių dėsnis.

Skaičiuodami ko nors sudėtingo galimybę, galite naudoti paprastų įvykių rinkinį, kad pasiektumėte rezultatą lengviau ir greičiau. Atkreipkite dėmesį, kad tikimybių teorijos dėsniai lengvai įrodomi naudojant tam tikras teoremas. Siūlome pirmiausia susipažinti su pirmuoju įstatymu.

Atsitiktinių dydžių sekų konvergencija

Atminkite, kad yra keletas konvergencijos tipų:

• Atsitiktinių dydžių seka suartėja tikimybe.
• Beveik neįmanoma.
• Vidutinė kvadratinė konvergencija.
• Paskirstymo konvergencija.

Taigi, iš karto labai sunku suprasti esmę. Štai apibrėžimai, kurie padės suprasti šią temą. Pradėkime nuo pirmo žvilgsnio. Seka vadinama konvergencijos tikimybe, jei įvykdoma ši sąlyga: n linkusi į begalybę, skaičius, iki kurio seka linksta, yra didesnis už nulį ir artimas vienetui.

Pereikime prie kito vaizdo, beveik užtikrintai. Sakoma, kad seka susilieja beveik užtikrintaiį atsitiktinį kintamąjį, kurio n linkęs į begalybę, o P linkęs į vertę, artimą vienybei.

Kitas tipas yra vidutinė kvadratinė konvergencija. Naudojant SC konvergenciją, vektorinių atsitiktinių procesų tyrimas redukuojamas į jų koordinačių atsitiktinių procesų tyrimą.

Lieka paskutinis tipas, pažvelkime į jį trumpai, kad galėtume pereiti tiesiai prie problemų sprendimo. Paskirstymo konvergencija turi kitą pavadinimą - „silpna“, ir mes paaiškinsime, kodėl vėliau. Silpna konvergencija yra pasiskirstymo funkcijų konvergencija visuose ribojančios pasiskirstymo funkcijos tęstinumo taškuose.

Tikrai laikysimės savo pažado: silpnoji konvergencija nuo visų aukščiau išvardintų skiriasi tuo, kad atsitiktinis dydis nėra apibrėžtas tikimybių erdvėje. Tai įmanoma, nes sąlyga formuojama tik naudojant paskirstymo funkcijas.

Didžiųjų skaičių dėsnis

Tikimybių teorijos teoremos, tokios kaip:

• Čebyševo nelygybė.
• Čebyševo teorema.
• Apibendrinta Čebyševo teorema.
• Markovo teorema.

Jei atsižvelgsime į visas šias teoremas, šis klausimas gali užsitęsti kelias dešimtis lapų. Mūsų pagrindinė užduotis – tikimybių teorijos taikymas praktikoje. Siūlome tai padaryti dabar. Bet prieš tai pažvelkime į tikimybių teorijos aksiomas, jos bus pagrindiniai pagalbininkai sprendžiant problemas.

Aksiomos

Su pirmuoju jau susitikome, kai kalbėjome apie neįmanomą įvykį. Prisiminkime: neįmanomo įvykio tikimybė lygi nuliui. Pateikėme labai ryškų ir įsimintiną pavyzdį: sniegas iškrito esant trisdešimties laipsnių Celsijaus oro temperatūrai.

Antrasis yra toks: patikimas įvykis įvyksta, kurio tikimybė lygi vienetui. Dabar parodysime, kaip tai parašyti matematine kalba: P(B)=1.

Trečia: atsitiktinis įvykis gali įvykti arba neįvykti, tačiau tikimybė visada svyruoja nuo nulio iki vieneto. Kuo vertė artimesnė vienetui, tuo didesnė tikimybė; jei vertė artėja prie nulio, tikimybė yra labai maža. Parašykime matematine kalba: 0<Р(С)<1.

Panagrinėkime paskutinę, ketvirtąją aksiomą, kuri skamba taip: dviejų įvykių sumos tikimybė yra lygi jų tikimybių sumai. Rašome matematine kalba: P(A+B)=P(A)+P(B).

Tikimybių teorijos aksiomos yra paprasčiausios taisyklės, kurias nesunku prisiminti. Pabandykime išspręsti kai kurias problemas remdamiesi jau įgytomis žiniomis.

Loterijos bilietas

Pirmiausia pažiūrėkime į paprasčiausią pavyzdį – loteriją. Įsivaizduokite, kad nusipirkote vieną loterijos bilietą dėl sėkmės. Kokia tikimybė, kad laimėsite bent dvidešimt rublių? Iš viso apyvartoje dalyvauja tūkstantis bilietų, iš kurių vieno – penkių šimtų rublių prizas, dešimtyje – po šimtą rublių, penkiasdešimtyje – dvidešimties, o šimto – penkių. Tikimybių problemos yra pagrįstos sėkmės galimybės nustatymu. Dabar kartu išanalizuosime aukščiau pateiktos užduoties sprendimą.

Jei naudosime raidę A žymėti penkių šimtų rublių laimėjimui, tada tikimybė gauti A bus lygi 0,001. Kaip mes tai gavome? Jums tereikia padalyti „laimingų“ bilietų skaičių iš bendro jų skaičiaus (šiuo atveju: 1/1000).

B yra šimto rublių laimėjimas, tikimybė bus 0,01. Dabar elgėmės tuo pačiu principu kaip ir ankstesniame veiksme (10/1000)

C - laimėjimas yra dvidešimt rublių. Randame tikimybę, ji lygi 0,05.

Likę bilietai mūsų nedomina, nes jų prizinis fondas mažesnis nei nurodyta sąlygoje. Taikykime ketvirtąją aksiomą: tikimybė laimėti bent dvidešimt rublių yra P(A)+P(B)+P(C). Raidė P žymi tam tikro įvykio tikimybę, kurią jau radome ankstesniuose veiksmuose. Belieka susumuoti reikiamus duomenis ir gauname atsakymą 0,061. Šis skaičius bus atsakymas į užduoties klausimą.

Kortų kaladė

Pavyzdžiui, tikimybių teorijos problemos gali būti sudėtingesnės, paimkime šią užduotį. Priešais jus yra trisdešimt šešių kortų kaladė. Jūsų užduotis yra ištraukti dvi kortas iš eilės, nemaišant krūvos, pirmoji ir antroji kortos turi būti tūzai, kostiumas nesvarbus.

Pirma, suraskime tikimybę, kad pirmoji korta bus tūzas, tam mes padaliname keturis iš trisdešimt šešių. Jie atidėjo jį į šalį. Išimame antrą kortą, tai bus tūzas su trijų trisdešimt penktadalių tikimybe. Antrojo įvykio tikimybė priklauso nuo to, kurią kortą ištraukėme pirmiausia, stebimės, ar tai buvo tūzas, ar ne. Iš to išplaukia, kad įvykis B priklauso nuo įvykio A.

Kitas žingsnis – surasti vienalaikio įvykio tikimybę, tai yra, padauginame A ir B. Jų sandauga randama taip: vieno įvykio tikimybę padauginame iš sąlyginės kito įvykio tikimybės, kurią apskaičiuojame, darydami prielaidą, kad pirmasis įvyko įvykis, tai yra, su pirmąja korta ištraukėme tūzą.

Kad viskas būtų aišku, tokį elementą priskirkime įvykiams. Jis apskaičiuojamas darant prielaidą, kad įvykis A įvyko. Jis apskaičiuojamas taip: P(B/A).

Tęskime savo uždavinio sprendimą: P(A * B) = P(A) * P(B/A) arba P(A * B) = P(B) * P(A/B). Tikimybė lygi (4/36) * ((3/35)/(4/36). Skaičiuojame suapvalindami iki artimiausio šimtosios dalies. Turime: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 Tikimybė, kad ištrauksime du tūzus iš eilės, yra devynios šimtosios dalys, o tai reiškia, kad įvykio tikimybė yra labai maža.

Pamirštas numeris

Siūlome išanalizuoti dar kelis užduočių variantus, kuriuos tiria tikimybių teorija. Kai kurių iš jų sprendimo pavyzdžių jau matėte šiame straipsnyje. Pabandykime išspręsti šią problemą: berniukas pamiršo paskutinį draugo telefono numerio skaitmenį, bet kadangi skambutis buvo labai svarbus, pradėjo rinkti viską po vieną. . Turime apskaičiuoti tikimybę, kad jis paskambins ne daugiau kaip tris kartus. Problemos sprendimas yra paprasčiausias, jei žinomos tikimybių teorijos taisyklės, dėsniai ir aksiomos.

Prieš žiūrėdami į sprendimą, pabandykite jį išspręsti patys. Žinome, kad paskutinis skaitmuo gali būti nuo nulio iki devynių, tai yra iš viso dešimt reikšmių. Tikimybė gauti tinkamą yra 1/10.

Toliau turime apsvarstyti įvykio kilmės variantus, tarkime, kad berniukas atspėjo teisingai ir iškart įvedė teisingą, tokio įvykio tikimybė yra 1/10. Antras variantas: pirmasis skambutis praleidžiamas, o antrasis yra tikslingas. Apskaičiuokime tokio įvykio tikimybę: 9/10 padauginkime iš 1/9, ir dėl to taip pat gausime 1/10. Trečias variantas: pirmas ir antras skambučiai pasirodė ne tuo adresu, tik su trečiu vaikinas pateko ten, kur norėjo. Apskaičiuojame tokio įvykio tikimybę: 9/10 padauginus iš 8/9 ir 1/8, gauname 1/10. Kiti variantai pagal problemos sąlygas mūsų nedomina, todėl tereikia susumuoti gautus rezultatus, galų gale turime 3/10. Atsakymas: tikimybė, kad berniukas paskambins ne daugiau kaip tris kartus, yra 0,3.

Kortelės su skaičiais

Priešais jus yra devynios kortelės, ant kurių kiekvienos surašytas skaičius nuo vieno iki devynių, skaičiai nesikartoja. Jie buvo sudėti į dėžutę ir kruopščiai sumaišyti. Turite apskaičiuoti tikimybę, kad

• pasirodys lyginis skaičius;
• dviženklis.

Prieš pereidami prie sprendimo, nustatykime, kad m yra sėkmingų atvejų skaičius, o n yra bendras variantų skaičius. Raskime tikimybę, kad skaičius bus lyginis. Nesunku bus suskaičiuoti, kad yra keturi lyginiai skaičiai, tai bus mūsų m, iš viso galimi devyni variantai, tai yra m=9. Tada tikimybė yra 0,44 arba 4/9.

Panagrinėkime antrąjį atvejį: variantų skaičius yra devyni, o sėkmingų rezultatų apskritai negali būti, tai yra, m lygus nuliui. Tikimybė, kad ištrauktoje kortelėje bus dviženklis skaičius, taip pat lygi nuliui.

Nižnij Novgorodo valstybinis technikos universitetas

juos. A.E. Aleksejeva

Tikimybių teorijos disciplinos santrauka

Užbaigė: Ruchina N.A gr 10MEnz

Patikrintas: Gladkovas V.V.

Nižnij Novgorodas, 2011 m

Tikimybių teorija……………………………………

Tikimybių teorijos dalykas…………………………

Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos……………

Atsitiktiniai įvykiai, įvykių tikimybė………………………………………………………………

Ribinės teoremos……………………………………

Atsitiktiniai procesai…………………………………………………………

Istorinė nuoroda…………………………………

Naudotos knygos…………………………………………

Tikimybių teorija

Tikimybių teorija - matematinis mokslas, leidžiantis iš kai kurių atsitiktinių įvykių tikimybių rasti kitų atsitiktinių įvykių, tam tikru būdu susijusių su pirmuoju, tikimybes.

Teiginys, kad įvykis įvyksta su tikimybe , lygus, pavyzdžiui, 0,75, savaime nereiškia galutinės vertės, nes mes siekiame patikimų žinių. Galutinė kognityvinė vertė yra tie tikimybių teorijos rezultatai, leidžiantys teigti, kad bet kokio įvykio įvykimo tikimybė A labai artima vienybei arba (tai yra ta pati) tikimybei, kad įvykis neįvyks A labai mažas. Remiantis principu „nepaisyti pakankamai mažų tikimybių“, toks įvykis pagrįstai laikomas praktiškai tikru. Tokio pobūdžio išvados, turinčios mokslinį ir praktinį interesą, paprastai grindžiamos prielaida, kad įvykio įvykis arba neįvykimas A priklauso nuo daugybės atsitiktinių veiksnių, mažai susijusių vienas su kitu . Todėl taip pat galime sakyti, kad tikimybių teorija yra matematikos mokslas, kuris išaiškina modelius, atsirandančius sąveikaujant daugeliui atsitiktinių veiksnių.

Tikimybių teorijos dalykas

Tikimybių teorijos dalykas. Apibūdinti natūralų ryšį tarp tam tikrų sąlygų S ir renginys A, kurių atsiradimą ar neįvykimą tam tikromis sąlygomis galima tiksliai nustatyti, gamtos mokslai dažniausiai naudoja vieną iš šių dviejų schemų:

a) kai tenkinamos sąlygos S ateina įvykis A. Pavyzdžiui, ši forma turi visus klasikinės mechanikos dėsnius, kurie teigia, kad esant pradinėms sąlygoms ir jėgoms, veikiančioms kūną ar kūnų sistemą, judėjimas įvyks unikaliai apibrėžtu būdu.

b) Esant sąlygoms S renginys A turi tam tikrą tikimybę P(A/S), lygus R. Taigi, pavyzdžiui, radioaktyviosios spinduliuotės dėsniai teigia, kad kiekvienai radioaktyviajai medžiagai yra tam tikra tikimybė, kad nuo tam tikro medžiagos kiekio per tam tikrą laikotarpį tam tikras skaičius suskils. N atomai.

Pavadinkime tai renginio dažnumu Ašioje serijoje nuo n testai (tai yra iš n pakartotinis sąlygų įgyvendinimas S) požiūris h = m/n numeriai m tie testai, kuriuose A atėjo iki bendro jų skaičiaus n. Renginio prieinamumas A sąlygomis S tam tikra tikimybė, lygi R, pasireiškia tuo, kad beveik kiekvienoje pakankamai ilgoje testų serijoje įvykio dažnumas A maždaug lygus R.

Statistiniai modeliai, ty modeliai, aprašyti b tipo schema, pirmą kartą buvo aptikti lošimo žaidimuose, tokiuose kaip kauliukai. Statistiniai gimimo ir mirties modeliai taip pat žinomi labai seniai (pavyzdžiui, tikimybė, kad naujagimis bus berniukas, yra 0,515). 19 amžiaus pabaiga ir XX amžiaus I pusė. pasižymėjo daugybės statistinių dėsnių atradimu fizikoje, chemijoje, biologijoje ir kt.

Galimybė taikyti tikimybių teorijos metodus, tiriant statistinius modelius, susijusius su viena nuo kitos labai nutolusiomis mokslo sritimis, grindžiama tuo, kad įvykių tikimybės visada tenkina tam tikrus paprastus ryšius. Įvykių tikimybių savybių tyrimas remiantis šiais paprastais ryšiais yra tikimybių teorijos dalykas.

Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos

Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos. Pagrindinės tikimybių teorijos, kaip matematinės disciplinos, sąvokos paprasčiausiai apibrėžiamos vadinamosios elementariosios tikimybių teorijos rėmuose. Kiekvienas išbandymas T, elementariojoje tikimybių teorijoje laikomas toks, kad baigiasi vienu ir tik vienu iš įvykių E 1 , E 2 ,...,E S (vienaip ar kitaip, priklausomai nuo atvejo). Šie įvykiai vadinami bandymo rezultatais. Su kiekvienu rezultatu E k susietas teigiamas skaičius R Į - šio rezultato tikimybę. Skaičiai p k turi pridėti iki vieno. Tada svarstomi įvykiai A, susidedantis iš to, kad „atsitinka arba E i , arba E j ,..., arba E k“ Rezultatai E i , E j ,...,E k vadinamos palankiomis A, ir pagal apibrėžimą jie prisiima tikimybę R(A) įvykius A, lygi jam palankių rezultatų tikimybių sumai:

P(A) =p i +p s +… +p k . (1)

Ypatinga byla p 1 =p 2 =...p s = 1/S veda prie formulės

R(A) =r/s.(2)

(2) formulė išreiškia vadinamąjį klasikinį tikimybės apibrėžimą, pagal kurį įvykio tikimybė A lygus skaičiaus santykiui r rezultatai palankūs A, prie numerio s visi „vienodai galimi“ rezultatai. Klasikinis tikimybės apibrėžimas tik sumažina „tikimybės“ sąvoką iki „lygios galimybės“ sąvokos, kuri lieka be aiškaus apibrėžimo.

Pavyzdys. Metant du kauliukus, kiekvienas iš 36 galimų baigčių gali būti pažymėtas ( i,j), Kur i- taškų, išmestų ant pirmo kauliuko, skaičius, j- Ant antrojo. Manoma, kad rezultatai yra vienodai tikėtini. Renginys A -„balų suma yra 4“, palankūs yra trys rezultatai (1; 3), (2; 2), (3; 1). Vadinasi, R(A) = 3/36= 1/12.

Remiantis bet kuriais duotais įvykiais, galima nustatyti du naujus įvykius: jų jungtį (sumą) ir derinį (produktą).

Renginys IN vadinamas įvykių telkimu A 1 , A 2 ,..., A r ,-, jei turi formą: „ateina arba A 1 , arba A 2 ,..., arba A r ».

Įvykis C vadinamas įvykių deriniu A 1 , A. 2 ,..., A r , jei turi formą: „ateina ir A 1 , Ir A 2 ,..., Ir A r » . Įvykių susiliejimas žymimas ženklu, o junginys – ženklu. Taigi jie rašo:

B = A 1  A 2  …  A r , C = A 1  A 2  …  A r .

Renginiai A Ir IN yra vadinami nesuderinamais, jei jų vienu metu įgyvendinti neįmanoma, tai yra, jei tarp testo rezultatų nėra nė vieno palankaus ir A Ir IN.

Įvestos įvykių jungimo ir jungimo operacijos siejamos su dviem pagrindinėmis tikimybių teorijos teoremomis – tikimybių sudėjimo ir daugybos teoremomis.

Tikimybių sudėjimo teorema: Jei įvykiai A 1 ,A 2 ,...,A r yra tokie, kad kas du iš jų yra nesuderinami, tada jų susijungimo tikimybė yra lygi jų tikimybių sumai.

Taigi, aukščiau pateiktame dviejų kauliukų metimo pavyzdyje, įvykis IN –„taškų suma neviršija 4“, yra trijų nesuderinamų įvykių sąjunga A 2 ,A 3 ,A 4, susidedantis iš to, kad taškų suma lygi atitinkamai 2, 3, 4. Šių įvykių tikimybė yra 1/36. 2/36; 3/36. Pagal sudėjimo teoremą tikimybė R(IN) lygus

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

Renginiai A 1 ,A 2 ,...,A r vadinami nepriklausomais, jei kiekvieno iš jų sąlyginė tikimybė, jei įvyko bet kuri iš kitų, yra lygi jos „besąlyginei“ tikimybei.

Tikimybių daugybos teorema: Įvykių sujungimo tikimybė A 1 ,A 2 ,...,A r lygus įvykio tikimybei A 1 , padauginta iš įvykio tikimybės A 2 paimtas su sąlyga, kad A 1 įvyko,..., padauginta iš įvykio tikimybės A r su sąlyga, kad A 1 ,A 2 ,...,A r-1 atvyko. Nepriklausomiems įvykiams daugybos teorema veda į formulę:

P(A 1 A 2 …A r) =P(A 1 )P(A 2 )· … · P(A r), (3)

tai yra, nepriklausomų įvykių sujungimo tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai. Formulė (3) lieka galioti, jei abiejose jos dalyse kai kurie įvykiai pakeičiami jų priešingybėmis.

Pavyzdys. Į taikinį paleidžiami 4 šūviai, kurių kiekvieno šūvio pataikymo tikimybė yra 0,2. Manoma, kad skirtingų šūvių taikiniai yra nepriklausomi įvykiai. Kokia tikimybė pataikyti į taikinį tiksliai tris kartus?

Kiekvienas bandymo rezultatas gali būti pažymėtas keturių raidžių seka [pvz., (y, n, n, y) reiškia, kad pirmasis ir ketvirtas šūviai pataikė (sėkmingai), o antrasis ir trečiasis šūviai nepataikė (nesėkmė)]. Iš viso bus 2·2·2·2 = 16 rezultatų. Remiantis atskirų šūvių rezultatų nepriklausomumo prielaida, šių rezultatų tikimybei nustatyti turėtų būti naudojama (3) formulė ir pastaba prie jos. Taigi rezultato tikimybė (y, n. n, n) turėtų būti lygi 0,2·0,8·0,8·0,8 = 0,1024; čia 0,8 = 1-0,2 yra tikimybė, kad nepataikysite vienu šūviu. Įvykį „į taikinį pataikyta tris kartus“ palankiai vertina rezultatai (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y). (n, y, y, y), kiekvieno tikimybė yra tokia pati:

0,2 0,2 ​​0,2 ​​0,8 =...... =0,8 0,2 0,2 ​​0,2 ​​= 0,0064;

todėl reikiama tikimybė lygi

4·0,0064 = 0,0256.

Apibendrinant analizuojamo pavyzdžio samprotavimus, galime išvesti vieną iš pagrindinių tikimybių teorijos formulių: jei įvykiai A 1 , A 2 ,..., A n yra nepriklausomi ir turi kiekvieną tikimybę R, tada atsiradimo tikimybė yra tiksliai m iš kurių yra lygus

P n (m)= C n m p m (1 - p) n-m ; (4)

Čia C n mžymi kombinacijų skaičių n elementai pagal m. Laisvėje n Skaičiavimas naudojant (4) formulę tampa sudėtingas.

Tarp pagrindinių elementariosios tikimybių teorijos formulių yra ir vadinamoji bendrosios tikimybės formulė: jei įvykiai A 1 , A 2 ,..., A r yra nesuderinami poromis ir jų sąjunga yra patikimas įvykis, tada bet kokiam įvykiui IN jo tikimybė lygi jų sumai.

Tikimybių daugybos teorema yra ypač naudinga svarstant sudėtinius testus. Sako, tai išbandymas T sudarytas iš testų T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T n, Jei kiekvienas bandymo rezultatas T yra kai kurių rezultatų derinys A i ,B j ,..., X k ,Y l atitinkamus testus T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T n. Dėl vienos ar kitos priežasties tikimybės dažnai būna žinomos

P(A i), P(B j /A i), …,P(Y l /A i B j …X k). (5)

Iš tikimybių (5), naudojant daugybos teoremą, galima nustatyti tikimybes R(E) visiems rezultatams E sudėtinis testas, o kartu ir visų su šiuo testu susijusių įvykių tikimybė. Praktiniu požiūriu svarbiausi yra dviejų tipų sudėtiniai testai:

a) testo komponentai yra nepriklausomi, ty tikimybės (5) lygios besąlyginėms tikimybėms P(A i), P(B j),..., P(Y l);

b) bet kurio testo rezultatų tikimybei turi įtakos tik prieš tai buvusio testo rezultatai, tai yra, tikimybės (5) yra atitinkamai lygios: P(A i), P(B j /A i),..., P(Y i /X k). Šiuo atveju kalbame apie testus, sujungtus Markovo grandine. Visų įvykių, susijusių su sudėtiniu testu, tikimybės čia visiškai nustatomos pagal pradines tikimybes R(A i) ir perėjimo tikimybės P(B j /A i),..., P(Y l /X k).

Pagrindinės tikimybių teorijos formulės

Tikimybių teorijos formulės.

1. Pagrindinės kombinatorikos formulės

a) pertvarkymai.

\b) išdėstymas

c) deriniai .

2. Klasikinis tikimybės apibrėžimas.

Kur yra įvykiui palankių rezultatų skaičius, yra visų elementarių vienodai galimų baigčių skaičius.

3. Įvykių sumos tikimybė

Teorema nesuderinamų įvykių tikimybių pridėjimui:

Bendrų įvykių tikimybių pridėjimo teorema:

4. Įvykių įvykimo tikimybė

Nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimo teorema:

Priklausomų įvykių tikimybių dauginimo teorema:

,

Sąlyginė įvykio tikimybė, atsižvelgiant į tai, kad įvykis įvyko

Sąlyginė įvykio tikimybė, atsižvelgiant į tai, kad įvykis įvyko.

Kombinatorika yra matematikos šaka, nagrinėjanti klausimus, kiek skirtingų derinių, esant tam tikroms sąlygoms, galima sudaryti iš pateiktų objektų. Atsitiktinių įvykių tikimybei įvertinti labai svarbūs kombinatorikos pagrindai, nes Būtent jie leidžia apskaičiuoti iš esmės galimą įvairių įvykių raidos variantų skaičių.

Pagrindinė kombinatorikos formulė

Tegul yra k elementų grupių, o i-oji grupė susideda iš ni elementų. Pažymime po vieną elementą iš kiekvienos grupės. Tada bendras skaičius N būdų, kuriais galima pasirinkti tokį pasirinkimą, nustatomas pagal ryšį N=n1*n2*n3*...*nk.

1 pavyzdys. Paaiškinkime šią taisyklę paprastu pavyzdžiu. Tegul yra dvi elementų grupės, ir pirmoji grupė susideda iš n1 elementų, o antroji - iš n2 elementų. Kiek skirtingų elementų porų galima sudaryti iš šių dviejų grupių, kad poroje būtų vienas elementas iš kiekvienos grupės? Tarkime, paėmėme pirmąjį elementą iš pirmosios grupės ir, jo nekeisdami, perėjome visas įmanomas poras, keisdami tik elementus iš antrosios grupės. Šiam elementui yra n2 tokių porų. Tada paimame antrą elementą iš pirmosios grupės ir taip pat sudarome visas įmanomas poras. Taip pat bus n2 tokių porų. Kadangi pirmoje grupėje yra tik n1 elementų, iš viso galimi variantai bus n1*n2.

2 pavyzdys. Kiek triženklių lyginių skaičių galima sudaryti iš skaitmenų 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, jei skaitmenys gali kartotis?

Sprendimas: n1=6 (nes galite paimti bet kurį skaičių iš 1, 2, 3, 4, 5, 6 kaip pirmąjį skaitmenį), n2=7 (nes galite paimti bet kurį skaičių nuo 0 kaip antrąjį skaitmenį, 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n3=4 (nes bet koks skaičius nuo 0, 2, 4, 6 gali būti laikomas trečiuoju skaitmeniu).

Taigi, N=n1*n2*n3=6*7*4=168.

Tuo atveju, kai visos grupės susideda iš vienodo elementų skaičiaus, t.y. n1=n2=...nk=n galime daryti prielaidą, kad kiekvienas pasirinkimas atliekamas iš tos pačios grupės, o elementas po pasirinkimo grąžinamas į grupę. Tada visų atrankos metodų skaičius lygus nk Šis atrankos metodas vadinamas atranka su grąžinimu.

Pavyzdys. Kiek keturženklių skaičių galima sudaryti iš skaitmenų 1, 5, 6, 7, 8?

Sprendimas. Kiekvienam keturženklio skaičiaus skaitmeniui yra penkios galimybės, o tai reiškia, kad N=5*5*5*5=54=625.

Apsvarstykite aibę, susidedančią iš n elementų. Šią aibę vadinsime bendrąja populiacija.

Apibrėžimas 1. N elementų išdėstymas pagal m yra bet kokia sutvarkyta m skirtingų elementų rinkinys, parinktas iš n elementų visumos.

Pavyzdys. Skirtingi trijų elementų (1, 2, 3) išdėstymai po du bus aibės (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3) , 2). Vietos gali skirtis viena nuo kitos tiek elementais, tiek jų tvarka.

Vietų skaičius žymimas A, m nuo n ir apskaičiuojamas pagal formulę:

Pastaba: n!=1*2*3*...*n (skaitykite: „en faktorialus“), be to, daroma prielaida, kad 0!=1.

5 pavyzdys. Kiek yra dviženklių skaičių, kuriuose dešimties ir vienetų skaitmenys yra skirtingi ir nelyginiai?

Sprendimas: nes Jei yra penki nelyginiai skaitmenys, būtent 1, 3, 5, 7, 9, tada ši užduotis yra pasirinkti ir sudėti du iš penkių skirtingų skaitmenų į dvi skirtingas pozicijas, t.y. nurodyti skaičiai bus:

2 apibrėžimas. n elementų derinys yra bet kokia netvarkinga m skirtingų elementų rinkinys, parinktas iš n elementų visumos.

6 pavyzdys. Aibės (1, 2, 3) deriniai yra (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Derinių skaičius žymimas Cnm ir apskaičiuojamas pagal formulę:

3 apibrėžimas. n elementų permutacija yra bet kokia tvarkinga šių elementų aibė.

7a pavyzdys. Visos galimos aibės, susidedančios iš trijų elementų (1, 2, 3), permutacijos yra: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

Įvairių n elementų permutacijų skaičius žymimas Pn ir apskaičiuojamas pagal formulę Pn=n!.

8 pavyzdys. Kiek būdų septynios skirtingų autorių knygos gali būti išdėstytos vienoje eilėje lentynoje?

Sprendimas: ši problema susijusi su septynių skirtingų knygų permutacijų skaičiumi. Yra P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 knygų išdėstymo būdų.

Diskusija. Matome, kad galimų kombinacijų skaičius gali būti skaičiuojamas pagal skirtingas taisykles (permutacijas, derinius, vietas) ir rezultatas bus skirtingas, nes Skaičiavimo principas ir pačios formulės skiriasi. Atidžiai pažvelgę ​​į apibrėžimus pastebėsite, kad rezultatas priklauso nuo kelių veiksnių vienu metu.

Pirma, iš kiek elementų galime sujungti jų aibes (kiek didelė yra elementų visuma).

Antra, rezultatas priklauso nuo mums reikalingų elementų rinkinių dydžio.

Galiausiai svarbu žinoti, ar mums svarbi rinkinio elementų tvarka. Paaiškinkime paskutinį veiksnį naudodami šį pavyzdį.

Pavyzdys. Tėvų susirinkime dalyvauja 20 žmonių. Kiek skirtingų tėvų komiteto sudėties variantų yra, jei jį turi sudaryti 5 žmonės?

Sprendimas: Šiame pavyzdyje mūsų nedomina vardų tvarka komiteto sąraše. Jei dėl to paaiškėja, kad tie patys žmonės yra jo dalis, tada mums tai yra ta pati galimybė. Todėl galime naudoti formulę, kad suskaičiuotume 20 elementų derinių skaičių iš 5.

Viskas bus kitaip, jei kiekvienas komiteto narys iš pradžių bus atsakingas už konkrečią darbo sritį. Tada su ta pačia komiteto sąrašo sudėtimi jame gali būti 5! svarbios permutacijos. Skirtingų (tiek sudėties, tiek atsakomybės srities) variantų skaičius šiuo atveju nustatomas pagal 20 elementų skaičių po 5.

Geometrinis tikimybės apibrėžimas

Įsivaizduokite atsitiktinį testą kaip taško metimą atsitiktinai į kokią nors geometrinę sritį G (tiesioje linijoje, plokštumoje arba erdvėje). Elementarieji rezultatai yra atskiri G taškai, bet koks įvykis yra šios srities poaibis, elementariųjų G rezultatų erdvė. Galime daryti prielaidą, kad visi G taškai yra „lygūs“, o tada tikimybė, kad taškas pateks į tam tikrą poaibį, yra proporcingas jo matui (ilgiui, plotui, tūriui) ir nepriklauso nuo jo vietos bei formos.

Įvykio A geometrinė tikimybė nustatoma pagal ryšį: , kur m(G), m(A) yra visos elementariųjų baigčių ir įvykio A erdvės geometriniai matai (ilgiai, plotai arba tūriai).

Pavyzdys. Spindulio r () apskritimas atsitiktinai išmestas į plokštumą, pavaizduotą lygiagrečiomis 2d pločio juostelėmis, kurių atstumas tarp ašinių linijų lygus 2D. Raskite tikimybę, kad apskritimas susikirs su tam tikra juosta.

Sprendimas. Kaip elementarų šio testo rezultatą, mes atsižvelgsime į atstumą x nuo apskritimo centro iki juostos, esančios arčiausiai apskritimo, vidurio linijos. Tada visa elementariųjų rezultatų erdvė yra segmentas. Apskritimo susikirtimas su juostele įvyks, jei jo centras pateks į juostą, t.y., arba yra nuo juostos krašto mažesniu atstumu nei spindulys, t.y.

Norimą tikimybę gauname: .

Įvykių klasifikavimas į galimus, tikėtinus ir atsitiktinius. Paprastų ir sudėtingų elementarių įvykių sampratos. Operacijos renginiuose. Klasikinis atsitiktinio įvykio tikimybės ir jo savybių apibrėžimas. Kombinatorikos elementai tikimybių teorijoje. Geometrinė tikimybė. Tikimybių teorijos aksiomos.

1. Įvykių klasifikacija

Viena iš pagrindinių tikimybių teorijos sąvokų yra įvykio samprata. Įvykis yra bet koks faktas, kuris gali įvykti dėl patirties ar išbandymo. Patirtis arba bandymas reiškia tam tikros sąlygos įgyvendinimą.

Renginių pavyzdžiai:

– pataikymas į taikinį šaudant iš ginklo (patirtis - šūvio atlikimas; įvykis - pataikyti į taikinį);

– dviejų emblemų praradimas metant monetą tris kartus (patirtis – monetos metimas tris kartus; įvykis – dviejų emblemų praradimas);

– matavimo paklaidos atsiradimas nurodytose ribose matuojant diapazoną iki tikslo (patirtis – diapazono matavimas; įvykis – matavimo paklaida).

Panašių pavyzdžių galima pateikti begalę. Įvykiai žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis ir kt.

Skiriami bendri ir nebendri renginiai. Įvykiai vadinami jungtiniais, jei vieno iš jų įvykis neatmeta kito. Priešingu atveju įvykiai vadinami nesuderinamais. Pavyzdžiui, mesti du kauliukai. Įvykis – trys taškai krentantys ant pirmo kauliuko, įvykis – trys taškai krentantys ant antrojo kauliuko ir – bendri įvykiai. Tegul parduotuvė gauna to paties stiliaus ir dydžio, bet skirtingų spalvų batų partiją. Įvykis - atsitiktinai paimtoje dėžutėje pasirodys juodi batai, įvykis - dėžutėje pasirodys rudi batai ir - nesuderinami įvykiai.

Įvykis vadinamas patikimu, jei jis tikrai įvyks tam tikros patirties sąlygomis.

Įvykis vadinamas neįmanomu, jei jis negali įvykti tam tikros patirties sąlygomis. Pavyzdžiui, atvejis, kai standartinė dalis bus paimta iš standartinių dalių partijos, yra patikimas, bet nestandartinės detalės neįmanomas.

Įvykis vadinamas galimu arba atsitiktiniu, jei dėl patirties jis gali pasirodyti, bet gali nepasireikšti. Atsitiktinio įvykio pavyzdys galėtų būti gaminio defektų nustatymas gatavų gaminių partijos tikrinimo metu, perdirbto produkto ir nurodyto dydžio neatitikimas arba vienos iš automatinės valdymo sistemos grandžių gedimas.

Įvykiai vadinami vienodai įmanomais, jei pagal bandymo sąlygas nė vienas iš šių įvykių nėra objektyviai labiau įmanomas už kitus. Pavyzdžiui, tegul parduotuvei elektros lemputes (vienodais kiekiais) tiekia kelios gamyklos. Taip pat galimi įvykiai, susiję su elektros lemputės pirkimu bet kurioje iš šių gamyklų.

Svarbi koncepcija yra visa įvykių grupė. Keli konkretaus eksperimento įvykiai sudaro visą grupę, jei bent vienas iš jų tikrai bus rodomas kaip eksperimento rezultatas. Pavyzdžiui, urnoje yra dešimt kamuoliukų, iš kurių šeši yra raudoni, keturi – balti, o penki – su skaičiais. - raudono rutulio atsiradimas per vieną traukimą, - balto rutulio atsiradimas, - rutulio su skaičiu pasirodymas. Renginiai sudaro ištisą bendrų renginių grupę.

Įveskime priešingo arba papildomo įvykio sampratą. Priešingas įvykis yra įvykis, kuris būtinai turi įvykti, jei koks nors įvykis neįvyksta. Priešingi įvykiai yra nesuderinami ir vieninteliai galimi. Jie sudaro visą įvykių grupę. Pavyzdžiui, jei pagamintų gaminių partiją sudaro geri ir nekokybiški, tai pašalinus vieną prekę ji gali pasirodyti arba gera – įvykis, arba brokuotas – įvykis.

2. Operacijos renginiuose

Kuriant atsitiktinių įvykių tyrimo aparatą ir metodiką tikimybių teorijoje, labai svarbi įvykių sumos ir sandaugos samprata.