Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos, tikimybės apibrėžimas ir savybės. Tiesioginis tikimybių skaičiavimas

Matematikos kursas moksleiviams paruošia daug staigmenų, viena iš jų – tikimybių teorijos problema. Mokiniai sprendžiant tokias užduotis problemų kyla beveik šimtu procentų atvejų. Norėdami suprasti ir suprasti šią problemą, turite žinoti pagrindines taisykles, aksiomas ir apibrėžimus. Norint suprasti knygos tekstą, reikia žinoti visas santrumpas. Siūlome viso to išmokti.

Mokslas ir jo taikymas

Kadangi siūlome greitąjį „manekenų tikimybių teorijos“ kursą, pirmiausia turime pristatyti pagrindines sąvokas ir raidžių santrumpas. Pirmiausia apibrėžkime pačią „tikimybių teorijos“ sąvoką. Kas tai per mokslas ir kam jis reikalingas? Tikimybių teorija yra viena iš matematikos šakų, tiriančių atsitiktinius reiškinius ir dydžius. Ji taip pat atsižvelgia į modelius, savybes ir operacijas, atliekamas su šiais atsitiktiniais dydžiais. Kam tai? Mokslas plačiai paplito tiriant gamtos reiškinius. Bet kokie natūralūs ir fiziniai procesai negali išsiversti be atsitiktinumo. Net jei eksperimento metu rezultatai buvo užfiksuoti kuo tiksliau, pakartojus tą patį testą, rezultatas greičiausiai nebus toks pat.

Tikrai pažiūrėsime užduočių pavyzdžius, tuo įsitikinsite patys. Rezultatas priklauso nuo daugelio skirtingų veiksnių, į kuriuos beveik neįmanoma atsižvelgti ar užregistruoti, tačiau vis dėlto jie turi didžiulę įtaką eksperimento rezultatui. Ryškūs pavyzdžiai yra užduotis nustatyti planetų trajektoriją arba orų prognozę, tikimybę sutikti pažįstamą žmogų keliaujant į darbą ir nustatyti sportininko šuolio aukštį. Tikimybių teorija taip pat suteikia didelę pagalbą brokeriams biržose. Tikimybių teorijos problema, kurios sprendimas anksčiau turėjo daug problemų, po trijų ar keturių toliau pateiktų pavyzdžių jums taps tik smulkmena.

Renginiai

Kaip minėta anksčiau, mokslas tiria įvykius. Tikimybių teorija, problemų sprendimo pavyzdžius apžvelgsime kiek vėliau, tiria tik vieną tipą – atsitiktinį. Tačiau vis dėlto turite žinoti, kad įvykiai gali būti trijų tipų:

• Neįmanomas.
• Patikimas.
• Atsitiktinis.

Siūlome kiekvieną iš jų šiek tiek aptarti. Neįmanomas įvykis niekada neįvyks, jokiomis aplinkybėmis. Pavyzdžiai: vandens užšaldymas aukštesnėje nei nulio temperatūroje, kubo ištraukimas iš kamuoliukų maišo.

Patikimas įvykis visada įvyksta su 100% garantija, jei tenkinamos visos sąlygos. Pvz.: gavote atlyginimą už atliktą darbą, gavote aukštojo profesinio išsilavinimo diplomą, jei mokėtės sąžiningai, išlaikėte egzaminus ir apgynėte diplomą ir pan.

Viskas yra šiek tiek sudėtingiau: eksperimento metu tai gali įvykti arba ne, pavyzdžiui, iš kortų kaladės ištraukus tūzą, atlikus ne daugiau kaip tris bandymus. Rezultatą galite gauti iš pirmo karto arba iš viso ne. Tai yra įvykio, kurį tiria mokslas, tikimybė.

Tikimybė

Bendrąja prasme tai yra sėkmingos patirties, kurioje įvyksta įvykis, rezultato galimybės įvertinimas. Tikimybė vertinama kokybiniu lygmeniu, ypač jei kiekybinis įvertinimas neįmanomas arba sunkus. Tikimybių teorijos problema su sprendimu, o tiksliau su įvertinimu, apima labai galimos sėkmingo rezultato dalies radimą. Tikimybė matematikoje yra skaitinės įvykio charakteristikos. Ji paima reikšmes nuo nulio iki vieneto, žymimos raide P. Jei P lygus nuliui, tai įvykis negali įvykti, jei jis yra vienas, tada įvykis įvyks šimtaprocentine tikimybe. Kuo daugiau P artėja prie vieno, tuo didesnė sėkmingo rezultato tikimybė, ir atvirkščiai, jei jis artimas nuliui, tada įvykis įvyks su maža tikimybe.

Santrumpos

Tikimybės problemą, su kuria netrukus susidursite, gali būti šios santrumpos:

• P ir P(X);
• A, B, C ir tt;

Galimi ir kiti: prireikus bus pateikti papildomi paaiškinimai. Pirmiausia siūlome paaiškinti aukščiau pateiktas santrumpas. Pirmasis mūsų sąraše yra faktorinis. Kad būtų aišku, pateikiame pavyzdžius: 5!=1*2*3*4*5 arba 3!=1*2*3. Toliau duotieji rinkiniai rašomi riestiniuose skliaustuose, pavyzdžiui: (1;2;3;4;..;n) arba (10;140;400;562). Šis žymėjimas yra natūraliųjų skaičių rinkinys, kuris gana dažnai randamas tikimybių teorijos užduotyse. Kaip minėta anksčiau, P yra tikimybė, o P(X) yra įvykio X tikimybė. Didelės lotyniškos abėcėlės raidės žymi įvykius, pvz.: A – pagautas baltas rutulys, B – mėlynas, C - raudona arba, atitinkamai, . Mažoji raidė n yra visų galimų rezultatų skaičius, o m yra sėkmingų rezultatų skaičius. Iš čia gauname taisyklę, kaip rasti klasikinę tikimybę elementariuose uždaviniuose: P = m/n. Tikimybių teorija „manekenams“ tikriausiai apsiriboja šiomis žiniomis. Dabar, norėdami konsoliduoti, pereikime prie sprendimo.

1 uždavinys. Kombinatorika

Studentų grupę sudaro trisdešimt žmonių, iš kurių reikia išrinkti viršininką, jo pavaduotoją ir profesinės sąjungos vadovą. Būtina rasti būdų, kaip atlikti šį veiksmą. Panaši užduotis gali pasirodyti ir vieningame valstybiniame egzamine. Tikimybių teorija, kurios uždavinių sprendimą dabar svarstome, gali apimti kombinatorikos kurso uždavinius, ieškant klasikinės tikimybės, geometrinės tikimybės ir uždavinių pagrindinėse formulėse. Šiame pavyzdyje mes sprendžiame kombinatorikos kurso užduotį. Pereikime prie sprendimo. Ši užduotis yra pati paprasčiausia:

1. n1=30 - galimi studentų grupės prefektai;
2. n2=29 – galintys užimti pavaduotojo pareigas;
3. n3=28 asmenys pretenduoja į profesinių sąjungų narius.

Tereikia surasti galimą variantų skaičių, tai yra padauginti visus rodiklius. Rezultate gauname: 30*29*28=24360.

Tai bus atsakymas į užduotą klausimą.

2 uždavinys. Pertvarkymas

Konferencijoje kalba 6 dalyviai, eilė nustatoma burtų keliu. Turime rasti galimų piešimo variantų skaičių. Šiame pavyzdyje mes svarstome šešių elementų permutaciją, tai yra, turime rasti 6!

Santrumpos pastraipoje jau minėjome, kas tai yra ir kaip jis apskaičiuojamas. Iš viso pasirodo, kad yra 720 piešimo variantų. Iš pirmo žvilgsnio sudėtinga užduotis turi labai trumpą ir paprastą sprendimą. Tai yra užduotys, kurias tikimybių teorija svarsto. Toliau pateiktuose pavyzdžiuose panagrinėsime, kaip išspręsti aukštesnio lygio problemas.

3 problema

Dvidešimt penkių mokinių grupė turi būti suskirstyta į tris pogrupius po šešis, devynis ir dešimt žmonių. Turime: n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10. Belieka pakeisti reikšmes į norimą formulę, gauname: N25(6,9,10). Atlikę paprastus skaičiavimus, gauname atsakymą - 16 360 143 800 Jei užduotyje nėra parašyta, kad reikia gauti skaitinį sprendinį, tai jį galima pateikti faktorių forma.

4 problema

Trys žmonės atspėjo skaičius nuo vieno iki dešimties. Raskite tikimybę, kad kažkieno skaičiai sutaps. Pirmiausia turime išsiaiškinti visų baigčių skaičių – mūsų atveju tai yra tūkstantis, tai yra dešimt iki trečios laipsnio. Dabar suraskime variantų skaičių, kai visi atspėjo skirtingus skaičius, tam padauginame dešimt, devyni ir aštuoni. Iš kur atsirado šie skaičiai? Pirmasis atspėja skaičių, jis turi dešimt variantų, antrasis jau turi devynis, o trečiajam reikia rinktis iš likusių aštuonių, todėl gauname 720 galimų variantų. Kaip jau skaičiavome anksčiau, iš viso yra 1000 variantų, o be pakartojimų yra 720, todėl mus domina likę 280. Dabar reikia klasikinės tikimybės nustatymo formulės: P = . Gavome atsakymą: 0,28.

Klasikinis tikimybės apibrėžimas grindžiamas sąvoka tikimybinė patirtis, arba tikimybių eksperimentas. Jo rezultatas yra vienas iš kelių galimų rezultatų, vadinamas elementarius rezultatus, ir nėra pagrindo tikėtis, kad kartojant tikimybinį eksperimentą koks nors elementarus rezultatas pasirodys dažniau nei kiti. Pavyzdžiui, apsvarstykite tikimybinį eksperimentą, kurio metu mesti kauliuką. Šio eksperimento rezultatas yra vieno iš 6 taškų, nubrėžtų kubo šonuose, praradimas.

Taigi šiame eksperimente yra 6 pagrindiniai rezultatai:

ir kiekvieno iš jų vienodai laukiama.

Renginys klasikiniame tikimybių eksperimente yra savavališkas elementarių rezultatų rinkinio poaibis. Nagrinėjamame kauliuko metimo pavyzdyje įvykis yra, pavyzdžiui, lyginio taškų skaičiaus praradimas, kurį sudaro elementarūs rezultatai.

Įvykio tikimybė yra skaičius:

kur yra elementarių baigčių, sudarančių įvykį, skaičius (kartais sakoma, kad tai yra elementarių baigčių, palankių įvykiui, skaičius), ir yra visų elementarių baigčių skaičius.

Mūsų pavyzdyje:

Kombinatorikos elementai.

Aprašant daugelį tikimybinių eksperimentų, elementarius rezultatus galima identifikuoti su vienu iš šių kombinatorikos (baigtinių aibių mokslo) objektų.

Pertvarkymas skaičių yra savavališkas šių skaičių atvaizdavimas be pasikartojimo. Pavyzdžiui, trijų skaičių rinkiniui yra 6 skirtingos permutacijos:

, , , , , .

Savavališkam permutacijų skaičiui yra lygus

(iš eilės einančių natūraliosios eilutės skaičių sandauga, prasidedanti nuo 1).

Derinys iš yra savavališka netvarkinga bet kurių aibės elementų aibė. Pavyzdžiui, trijų skaičių rinkiniui yra 3 skirtingi 3 x 2 deriniai:

Savavališkai porai , derinių skaičius yra lygus

Pavyzdžiui,

Hipergeometrinis pasiskirstymas.

Apsvarstykite šį tikimybinį eksperimentą. Yra juoda dėžutė, kurioje yra balti ir juodi rutuliai. Kamuoliukai yra vienodo dydžio ir nesiskiria liečiant. Eksperimentas susideda iš atsitiktinio kamuoliukų ištraukimo. Įvykis, kurio tikimybę reikia rasti, yra tai, kad kai kurie iš šių kamuoliukų yra balti, o kiti yra juodi.

Pernumeruokime visus rutulius skaičiais nuo 1 iki . Tegul skaičiai 1, ¼ atitinka baltus rutulius, o skaičiai ¼ – juodus rutulius. Pagrindinis šio eksperimento rezultatas yra nesutvarkytas elementų rinkinys iš aibės, tai yra, derinys by. Vadinasi, yra visi elementarūs rezultatai.

Raskime elementarių baigčių, palankių įvykiui įvykti, skaičių. Atitinkamus rinkinius sudaro „balti“ ir „juodi“ skaičiai. Skaičius iš „baltų“ skaičių galite pasirinkti trimis būdais, o skaičius iš „juodų“ skaičių – ¾ būdais. Baltos ir juodos spalvos rinkiniai gali būti sujungti savavališkai, todėl yra tik elementarūs renginiui palankūs rezultatai.

Įvykio tikimybė yra

Gauta formulė vadinama hipergeometriniu skirstiniu.

5.1 problema. Dėžutėje yra 55 standartinės ir 6 to paties tipo defektinės dalys. Kokia tikimybė, kad iš trijų atsitiktinai atrinktų dalių bent viena bus sugedusi?

Sprendimas. Iš viso yra 61 dalis, imame 3. Elementarioji baigtis yra 61 ir 3 derinys. Visų elementariųjų baigčių skaičius lygus . Palankūs rezultatai skirstomi į tris grupes: 1) tai yra tie rezultatai, kurių 1 dalis yra su trūkumais ir 2 yra geri; 2) 2 dalys yra su defektais, o 1 - gera; 3) visos 3 dalys yra sugedusios. Pirmojo tipo aibių skaičius lygus , antrojo tipo aibių skaičius lygus , o trečiojo tipo aibių skaičius lygus . Vadinasi, įvykio įvykimui palankios elementarios pasekmės. Įvykio tikimybė yra

Įvykių algebra

Elementarių įvykių erdvė yra visų elementarių rezultatų, susijusių su tam tikra patirtimi, visuma.

Suma du įvykiai vadinami įvykiu, kuris susideda iš elementarių įvykiui ar įvykiui priklausančių baigčių.

Darbas du įvykiai vadinami įvykiu, susidedančiu iš elementarių baigčių, kurios vienu metu priklauso įvykiams ir .

Įvykiai ir vadinami nesuderinamais, jei .

Renginys vadinamas priešingasįvykis, jei įvykiui palankios visos įvykiui nepriklausančios elementarios pasekmės. Visų pirma, ,.

SUMOS TEOREMA.

Visų pirma,.

Sąlyginė tikimybėįvykis, su sąlyga, kad įvykis įvyko, vadinamas sankirtai priklausančių elementariųjų baigčių skaičiaus ir elementariųjų baigčių, priklausančių , skaičiaus santykiu. Kitaip tariant, sąlyginė įvykio tikimybė nustatoma pagal klasikinę tikimybių formulę, kurioje naujoji tikimybių erdvė yra . Sąlyginė įvykio tikimybė žymima .

Gaminio TEOREMA. .

Renginiai vadinami nepriklausomas, Jei. Nepriklausomiems įvykiams sandaugos teorema pateikia ryšį .

Sumos ir sandaugos teoremų pasekmė yra šios dvi formulės.

Bendrosios tikimybės formulė. Visa hipotezių grupė yra savavališkas nesuderinamų įvykių rinkinys , , ¼, , kurie kartu sudaro visą tikimybių erdvę:

Šioje situacijoje savavališkam įvykiui galioja formulė, vadinama bendrosios tikimybės formule,

kur yra Laplaso funkcija , , . Laplaso funkcija yra lentelėse, o jos reikšmes, atsižvelgiant į nurodytą reikšmę, galima rasti bet kuriame tikimybių teorijos ir matematinės statistikos vadovėlyje.

5.3 problema. Yra žinoma, kad didelėje dalių partijoje yra 11% defektų. Bandymui atrenkama 100 dalių. Kokia tikimybė, kad tarp jų yra ne daugiau kaip 14 brokuotų? Įvertinkite atsakymą naudodami Moivre-Laplace teoremą.

Sprendimas. Mes susiduriame su Bernulio testu, kur , , . Sėkme laikomas sugedusios dalies atradimas, o sėkmių skaičius patenkina nelygybę. Vadinasi,

Tiesioginis skaičiavimas suteikia:

, , , , , , , , , , , , , , .

Vadinasi,. Dabar pritaikykime Moivre-Laplace integralų teoremą. Mes gauname:

Naudodami funkcijų reikšmių lentelę, atsižvelgdami į funkcijos nelygumą, gauname

Apytikslio skaičiavimo paklaida neviršija .

Atsitiktiniai kintamieji

Atsitiktinis dydis yra skaitinė tikimybinio eksperimento charakteristika, kuri yra elementarių rezultatų funkcija. Jei , , ¼ yra elementariųjų rezultatų rinkinys, tai atsitiktinis dydis yra funkcija. Tačiau patogiau atsitiktinį kintamąjį apibūdinti išvardijant visas galimas jo reikšmes ir tikimybes, su kuriomis jis gauna šią reikšmę.

Tokia lentelė vadinama atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsniu. Kadangi įvykiai sudaro ištisą grupę, tenkinamas tikimybinio normalizavimo dėsnis

Atsitiktinio dydžio matematinė lūkestis arba vidutinė vertė yra skaičius, lygus atsitiktinio dydžio dydžių ir atitinkamų tikimybių sandaugų sumai.

Atsitiktinio dydžio dispersija (reikšmių sklaidos aplink matematinius lūkesčius laipsnis) yra atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis,

Galima parodyti, kad

Didumas

vadinamas atsitiktinio dydžio vidutiniu kvadratiniu nuokrypiu.

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija yra tikimybė patekti į aibę, ty

Tai neneigiama, nemažėjanti funkcija, turinti reikšmes nuo 0 iki 1. Atsitiktiniam dydžiui, turinčiam baigtinę reikšmių rinkinį, tai yra nuosekliai pastovi funkcija, kuri būsenos taškuose turi antrojo tipo netolydumus. Be to, ir yra ištisinis kairėje.

5.4 problema. Iš eilės metami du kauliukai. Jei ant vieno kauliuko atsiranda vienas, trys ar penki taškai, žaidėjas praranda 5 rublius. Išmetus du ar keturis taškus, žaidėjas gauna 7 rublius. Išmetus šešis taškus, žaidėjas praranda 12 rublių. Atsitiktinė vertė x yra žaidėjo atlygis už du kauliukų metimus. Raskite paskirstymo įstatymą x, nubraižykite pasiskirstymo funkciją, suraskite matematinę lūkesčius ir dispersiją x.

Sprendimas. Pirmiausia pasvarstykime, kam lygus žaidėjo laimėjimas metant kauliuką. Tegul įvykis yra toks, kad išmeta 1, 3 arba 5 taškai. Tada laimėjimas bus rubliai. Tegul įvykis yra toks, kad išmeta 2 arba 4 taškai. Tada laimėjimas bus rubliai. Galiausiai tegul įvykis reiškia 6 metimą. Tada laimėjimas lygus rubliams.

Dabar apsvarstykime visas galimas įvykių kombinacijas ir su dviem kauliukų metimais ir nustatykime kiekvieno tokio derinio laimėjimo vertes.

Jei įvykis įvyko, tada tuo pačiu metu.

Jei įvykis įvyko, tada tuo pačiu metu.

Panašiai, kai gauname , .

Visas rastas būsenas ir bendras šių būsenų tikimybes įrašome į lentelę:

Tikriname tikimybinio normalizavimo dėsnio įvykdymą: realioje tiesėje reikia nustatyti tikimybę, kad atsitiktinis dydis patenka į šį intervalą 1) ir greitai mažėja ties, ¼,

12 skyrius. Tikimybių teorija.

1. Įvadas

2. Paprasčiausios tikimybių teorijos sąvokos

3. Įvykių algebra

4. Atsitiktinio įvykio tikimybė

5. Geometrinės tikimybės

6. Klasikinės tikimybės. Kombinatorikos formulės.

7. Sąlyginė tikimybė. Renginių nepriklausomybė.

8. Bendrosios tikimybės formulė ir Bayes formulė

9. Pakartotinio bandymo schema. Bernulio formulė ir jos asimptotika

10. Atsitiktiniai kintamieji (RV)

11. DSV paskirstymo serija

12. Kaupiamojo skirstinio funkcija

13. NSV pasiskirstymo funkcija

14. NSV tikimybės tankis

15. Atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos

16. Svarbių SV paskirstymų pavyzdžiai

16.1. DSV binominis pasiskirstymas.

16.2. Puasono pasiskirstymas

16.3. Vienodas NSV pasiskirstymas.

16.4. Normalus skirstinys.

17. Tikimybių teorijos ribinės teoremos.

Įvadas

Tikimybių teorija, kaip ir daugelis kitų matematikos disciplinų, išsivystė iš praktikos poreikių. Tuo pačiu, tiriant realų procesą, reikėjo sukurti abstraktų realaus proceso matematinį modelį. Paprastai atsižvelgiama į pagrindines, reikšmingiausias realaus proceso varomąsias jėgas, išbraukiant iš antrinių, kurios vadinamos atsitiktinėmis. Žinoma, kas laikoma pagrindine, o kas antraeiliu – atskira užduotis. Šio klausimo sprendimas lemia abstrakcijos lygį, matematinio modelio paprastumą ar sudėtingumą ir modelio adekvatumo realiam procesui lygį. Iš esmės bet koks abstraktus modelis yra dviejų priešingų siekių rezultatas: paprastumas ir adekvatumas tikrovei.

Pavyzdžiui, šaudymo teorijoje buvo sukurtos gana paprastos ir patogios formulės sviedinio skrydžio trajektorijai nustatyti iš taške esančio ginklo (1 pav.).

Tam tikromis sąlygomis pakanka minėtos teorijos, pavyzdžiui, masinio artilerijos rengimo metu.

Tačiau aišku, kad iš vieno ginklo vienodomis sąlygomis paleidus kelis šūvius, trajektorijos, nors ir artimos, vis tiek bus skirtingos. Ir jei tikslinis dydis yra mažas, palyginti su sklaidos sritimi, kyla konkretūs klausimai, susiję konkrečiai su veiksnių, į kuriuos neatsižvelgta siūlomame modelyje, įtaka. Tuo pačiu metu, atsižvelgiant į papildomus veiksnius, bus sukurtas pernelyg sudėtingas modelis, kurio beveik neįmanoma naudoti. Be to, šių atsitiktinių veiksnių yra daug, jų prigimtis dažniausiai nežinoma.

Aukščiau pateiktame pavyzdyje tokie konkretūs klausimai, kurie peržengia deterministinio modelio ribas, yra, pavyzdžiui, šie: kiek šūvių reikia iššauti, kad būtų užtikrintas tam tikras pataikymas į taikinį (pavyzdžiui, į )? Kaip turėtų būti nustatytas nulis, kad būtų panaudotas kuo mažesnis sviedinių kiekis pataikyti į taikinį? ir taip toliau.

Kaip pamatysime vėliau, žodžiai „atsitiktinis“ ir „tikimybė“ taps griežtais matematiniais terminais. Tuo pačiu metu jie labai paplitę įprastoje šnekamojoje kalboje. Manoma, kad būdvardis „atsitiktinis“ yra „natūralaus“ priešingybė. Tačiau taip nėra, nes gamta sukurta taip, kad atsitiktiniai procesai atskleistų šablonus, tačiau tam tikromis sąlygomis.

Pagrindinė sąlyga vadinama masinis charakteris.

Pavyzdžiui, jei išmetate monetą, negalite nuspėti, kas pasirodys, herbo ar skaičiaus, galite tik spėti. Tačiau jei ši moneta bus išmesta daug kartų, herbo iškritimo dalis nedaug skirsis nuo tam tikro skaičiaus, artimo 0,5 (toliau šį skaičių vadinsime tikimybe). Be to, padidėjus metimų skaičiui, nuokrypis nuo šio skaičiaus mažės. Ši savybė vadinama tvarumą vidutiniai rodikliai (šiuo atveju – herbų dalis). Reikia pasakyti, kad pirmaisiais tikimybių teorijos žingsniais, kai reikėjo praktiškai patikrinti, ar yra stabilumo savybė, net ir didieji mokslininkai nemanė, kad sunku atlikti savo patikrinimą. Taigi garsusis Buffono eksperimentas, metęs monetą 4040 kartų, o herbas iškilo 2048 kartus, todėl herbo numetimo proporcija (arba santykinis dažnis) yra 0,508, o tai artima intuityviai suprantamam. numatomas skaičius 0,5.

Todėl paprastai pateikiamas apibrėžimas tikimybių teorijos dalykas kaip matematikos šaka, tirianti masinių atsitiktinių procesų dėsningumus.

Reikia pasakyti, kad, nepaisant to, kad didžiausi tikimybių teorijos pasiekimai datuojami praėjusio amžiaus pradžioje, ypač dėl aksiomatinės teorijos konstravimo A. N. darbuose. Kolmogorovas (1903-1987), susidomėjimas avarijų tyrimu atsirado seniai.

Iš pradžių domėjosi azartinių lošimų skaitiniu požiūriu. Pirmieji gana įdomūs tikimybių teorijos rezultatai dažniausiai siejami su L. Pacioli (1494), D. Cardano (1526) ir N. Tartaglia (1556) darbais.

Vėliau B. Pascalis (1623-1662), P. Fermat (1601-1665), H. Huygensas (1629-1695) padėjo klasikinės tikimybių teorijos pagrindus. XVIII amžiaus pradžioje J. Bernoulli (1654-1705) suformavo atsitiktinio įvykio tikimybės sampratą kaip palankių šansų skaičiaus santykį su visų įmanomų skaičiumi. E. Borelis (1871-1956), A. Lomnickis (1881-1941), R. Misesas (1883-1953) savo teorijas kūrė remdamiesi aibės masto sąvokos vartojimu.

Aibės teorinis požiūris buvo pateiktas 1933 m. A.N. Kolmogorovas savo monografijoje „Pagrindinės tikimybių teorijos sampratos“. Nuo šio momento tikimybių teorija tampa griežtu matematiniu mokslu.

Rusų matematikai P.L. daug prisidėjo prie tikimybių teorijos kūrimo. Čebyševas (1821-1894), A.A. Markovas (1856-1922), S.N. Bernsteinas (1880-1968) ir kt.

Tikimybių teorija šiuo metu sparčiai vystosi.

Paprasčiausios tikimybių teorijos sąvokos

Kaip ir bet kuri matematinė disciplina, tikimybių teorija prasideda nuo paprasčiausių sąvokų, kurios nėra apibrėžtos, o tik paaiškinamos, įvedimu.

Viena iš pagrindinių pirminių sąvokų yra patirtį. Patirtis suprantama kaip tam tikras sąlygų rinkinys, kurį galima pakartoti neribotą skaičių kartų. Kiekvieną šio komplekso įgyvendinimą vadinsime patirtimi arba išbandymu. Eksperimento rezultatai gali būti skirtingi, ir čia atsiranda atsitiktinumo elementas. Įvairūs patirties rezultatai arba baigtys vadinami įvykius(tiksliau, atsitiktiniai įvykiai). Taigi eksperimento įgyvendinimo metu gali įvykti vienoks ar kitoks įvykis. Kitaip tariant, atsitiktinis įvykis yra eksperimento rezultatas, kuris gali įvykti (pasirodyti) arba neįvykti eksperimento įgyvendinimo metu.

Patirtis bus žymima raide , o atsitiktiniai įvykiai dažniausiai žymimi didžiosiomis raidėmis

Dažnai eksperimento metu galima iš anksto nustatyti jo rezultatus, kuriuos galima pavadinti paprasčiausiais, kurių negalima išskaidyti į paprastesnius. Tokie renginiai vadinami elementarūs įvykiai(arba atvejai).

1 pavyzdys. Leiskite išmesti monetą. Eksperimento rezultatai: herbo praradimas (šį įvykį žymime raide); skaičių praradimas (žymimas ). Tada galime rašyti: patirtis = (monetos metimas), rezultatai: Akivaizdu, kad šiame eksperimente pagrindiniai įvykiai. Kitaip tariant, visų elementarių patirties įvykių išvardijimas jį visiškai apibūdina. Šiuo atžvilgiu sakysime, kad patirtis yra elementarių įvykių erdvė, o mūsų atveju patirtį galima trumpai užrašyti forma: = (monetos metimas) = ​​(G; C).

2 pavyzdys. =(moneta metama du kartus)= Čia pateikiamas žodinis patirties aprašymas ir visų elementarių įvykių sąrašas: tai reiškia, kad pirmiausia ant pirmojo monetos metimo nukrito herbas, antroje – irgi herbas; reiškia, kad ant pirmojo monetos metimo iškyla herbas, antroje – skaičius ir t. t.

3 pavyzdys. Koordinačių sistemoje taškai metami į kvadratą. Šiame pavyzdyje elementarieji įvykiai yra taškai su koordinatėmis, kurios tenkina nurodytas nelygybes. Trumpai parašyta taip:

Dvitaškis garbanotuose skliaustuose reiškia, kad jį sudaro taškai, bet ne bet kokie, o tik tie, kurie atitinka po dvitaškio nurodytą sąlygą (ar sąlygas) (mūsų pavyzdyje tai yra nelygybės).

4 pavyzdys. Moneta metama tol, kol pasirodo pirmasis herbas. Kitaip tariant, monetos metimas tęsiamas tol, kol nukrenta galva. Šiame pavyzdyje galima išvardyti elementarius įvykius, nors jų skaičius yra begalinis:

Atkreipkite dėmesį, kad 3 ir 4 pavyzdžiuose elementarių įvykių erdvė turi begalinį skaičių rezultatų. 4 pavyzdyje jie gali būti išvardyti, t.y. perskaičiuoti. Toks rinkinys vadinamas skaičiuojamuoju. 3 pavyzdyje tarpas yra nesuskaičiuojamas.

Pristatykime dar du įvykius, kurie yra bet kokioje patirtyje ir kurie turi didelę teorinę reikšmę.

Pavadinkime renginį neįmanomas, nebent dėl ​​patirties tai būtinai nepasitaiko. Ją žymėsime tuščios aibės ženklu. Priešingai, vadinamas įvykis, kuris būtinai įvyks dėl patirties patikimas. Patikimas įvykis žymimas taip pat, kaip ir pati elementarių įvykių erdvė – raide.

Pavyzdžiui, metant kauliuką, įvykis (išmesta mažiau nei 9 taškai) yra patikimas, bet įvykis (išmesta lygiai 9 taškai) neįmanomas.

Taigi elementariųjų įvykių erdvę galima nurodyti žodiniu aprašymu, visų jos elementariųjų įvykių sąrašu ir taisyklių ar sąlygų nustatymu, pagal kuriuos gaunami visi jos elementarūs įvykiai.

Įvykių algebra

Iki šiol mes kalbėjome tik apie elementarius įvykius kaip tiesioginius patirties rezultatus. Tačiau patirties rėmuose, be elementarių, galime kalbėti ir apie kitus atsitiktinius įvykius.

5 pavyzdys. Metant kauliuką, be elementarių įvykių, atitinkamai vienas, du,..., šeši iškritę, galime kalbėti apie kitus įvykius: (iškritimas iš lyginio skaičiaus), (iškritimas iš nelyginio skaičiaus) , (išmetant skaičių, kuris yra trijų kartotinis), (išmetant skaičių, mažesnį nei 4 ) ir pan. Šiame pavyzdyje nurodytus įvykius, be žodinės užduoties, galima nurodyti išvardijant elementarius įvykius:

Naujų įvykių formavimas iš elementarių, kaip ir iš kitų įvykių, atliekamas naudojant operacijas (ar veiksmus) su įvykiais.

Apibrėžimas. Dviejų įvykių rezultatas yra įvykis, kurį sudaro tai, kad eksperimento rezultatas įvyks Ir renginys, Irįvykis, t. y. abu įvykiai įvyks kartu (vienu metu).

Produkto ženklas (taškas) dažnai praleidžiamas:

Apibrėžimas. Dviejų įvykių suma yra įvykis, kurį sudaro tai, kad eksperimento rezultatas įvyks arba renginys, arba renginys, arba abu kartu (tuo pačiu metu).

Abiejuose apibrėžimuose sąmoningai akcentavome jungtukus Ir Ir arba- siekiant atkreipti skaitytojo dėmesį į jūsų kalbą sprendžiant problemas. Jei tariame jungtuką „ir“, tai kalbame apie įvykių kūrimą; Jei tariamas jungtukas „arba“, įvykiai turi būti pridėti. Tuo pačiu metu pastebime, kad jungtukas „arba“ kasdieninėje kalboje dažnai vartojamas siekiant atskirti vieną iš dviejų: „tik arba tik“. Tikimybių teorijoje tokia išimtis nelaikoma: ir , ir , ir reiškia įvykio įvykį

Jei pateikiama išvardijant elementarius įvykius, tai sudėtingus įvykius galima lengvai gauti naudojant nurodytas operacijas. Norėdami gauti, turite rasti visus elementarius įvykius, kurie priklauso abiem įvykiams, jei jų nėra, tada įvykių sumą taip pat lengva sudaryti: reikia paimti bet kurį iš dviejų įvykių ir pridėti prie jo tuos elementarius įvykius; kitas įvykis, neįtrauktas į pirmąjį.

5 pavyzdyje gauname, ypač

Įvestos operacijos vadinamos dvejetainiais, nes apibrėžta dviem įvykiams. Didelę reikšmę turi ši unarinė operacija (nustatyta vienam įvykiui): įvykis vadinamas priešingasįvykis, jei jis susideda iš to, kad tam tikroje patirtyje įvykis neįvyko. Iš apibrėžimo aišku, kad kiekvienas įvykis ir jo priešingybė turi šias savybes: Įvesta operacija vadinama papildymasįvykiai A.

Iš to išplaukia, kad jei pateikiamas elementarių įvykių sąrašas, tai, žinant įvykio specifiką, lengva gauti, kad jis susideda iš visų elementarių erdvės įvykių, kurie konkrečiai nepriklauso, pavyzdžiui, 5 įvykiui

Jei skliaustų nėra, tai atliekant operacijas nustatomas toks prioritetas: sudėjimas, daugyba, sudėjimas.

Taigi, pasitelkus įvestas operacijas, elementariųjų įvykių erdvė pasipildo kitais atsitiktiniais įvykiais, kurie sudaro vadinamąjį. įvykių algebra.

6 pavyzdys.Šaulys į taikinį paleido tris šūvius. Apsvarstykite įvykius = (šaulys pataikė į taikinį i-uoju šūviu), i = 1,2,3.

Iš šių įvykių sukomponuokime keletą įvykių (nepamirškime ir priešingų). Ilgų komentarų neteikiame; Tikime, kad skaitytojas juos atliks savarankiškai.

Įvykis B = (visi trys šūviai pataikė į taikinį). Daugiau informacijos: B = ( Ir Pirmas, Ir antra, Ir trečias šūvis pataikė į taikinį). Naudota sąjunga Ir, todėl įvykiai padauginami:

Taip pat:

C = (nė vienas šūvis nepataikė į taikinį)

E = (vienas šūvis pasiekė tikslą)

D = (taikinys antruoju šūviu) = ;

F = (į taikinį pataikė du šūviai)

N = (bent vienas smūgis pataikys į taikinį)

Kaip žinoma, matematikoje didelę reikšmę turi geometrinis analitinių objektų, sąvokų ir formulių aiškinimas.

Tikimybių teorijoje patogu vizualiai pavaizduoti (geometrinės interpretacijos) patirtį, atsitiktinius įvykius ir operacijas su jais vadinamųjų formų. Eulerio-Venno diagramos. Esmė ta, kad kiekviena patirtis tapatinama (interpretuojama) su taškų metimu į tam tikrą kvadratą. Taškai mesti atsitiktinai, kad visi taškai turėtų vienodą galimybę patekti į bet kurią kvadrato vietą. Aikštė apibrėžia nagrinėjamos patirties rėmus. Kiekvienas patirties įvykis tapatinamas su tam tikra aikštės sritimi. Kitaip tariant, įvykio įvykis reiškia, kad atsitiktinis taškas patenka į raidės nurodytą sritį Tada operacijos su įvykiais lengvai interpretuojamos geometriškai (2 pav.).

A:

A + B: bet koks

perinti

2 pav. a) aiškumo dėlei įvykis A paryškintas vertikaliu atspalviu, įvykis B – horizontaliu šešėliavimu. Tada daugybos operacija atitinka dvigubą liuką – įvykis atitinka tą kvadrato dalį, kuri yra uždengta dvigubu liuku. Be to, jei tada jie vadinami nesuderinamais įvykiais. Atitinkamai, papildymo operacija atitinka bet kokį perėjimą – įvykis reiškia kvadrato dalį, nuspalvintą bet kokiu – vertikaliu, horizontaliu ir dvigubu perėjimu. 2 pav. b) įvykis atitinka nuspalvintą kvadrato dalį – viskas, kas nepatenka į sritį dėl skaičių, bet yra ir konkrečių.

10 . daugybos komutaciškumas;

20 . sudėjimo komutaciškumas;

trisdešimt . daugybos asociatyvumas;

4 0 . papildomas asociatyvumas,

50 . daugybos pasiskirstymas, palyginti su pridėjimu,

6 0 . sudėjimo pasiskirstymas daugybos atžvilgiu;

9 0 . de Morgano dvilypumo dėsniai,

10 0 .

1 .A .A+ .A· =A, 1 .A+ . 1 .A· = , 1 .A+ =

7 pavyzdys. Ivanas ir Petras susitarė susitikti, pavyzdžiui, T valandos intervalu (0,T). Kartu susitarė, kad kiekvienas iš jų, atvykęs į susitikimą, lauks kito ne ilgiau kaip valandą.

Pateikiame šio pavyzdžio geometrinę interpretaciją. Pažymėkime: Ivano atvykimo į susirinkimą laiką; Petro atvykimo laikas į susitikimą. Kaip sutarta: 0 . Tada koordinačių sistemoje gauname: = Nesunku pastebėti, kad mūsų pavyzdyje elementariųjų įvykių erdvė yra kvadratas. 1

0 x atitinka tą kvadrato dalį, kuri yra virš šios tiesės. Panašiai ir antrą nelygybę y≤x+ ir; ir neveikia, jei neveikia visi elementai, t.y. .Taigi, antrasis de Morgano dvilypumo dėsnis: įgyvendinamas, kai elementai sujungiami lygiagrečiai.

Aukščiau pateiktas pavyzdys parodo, kodėl tikimybių teorija plačiai naudojama fizikoje, ypač skaičiuojant realių techninių prietaisų patikimumą.

Įvykius, kurie vyksta tikrovėje arba mūsų vaizduotėje, galima suskirstyti į 3 grupes. Tai yra tam tikri įvykiai, kurie tikrai įvyks, neįmanomi įvykiai ir atsitiktiniai įvykiai. Tikimybių teorija tiria atsitiktinius įvykius, t.y. įvykių, kurie gali įvykti arba neįvykti. Šiame straipsnyje trumpai bus pristatyta tikimybių formulių teorija ir tikimybių teorijos uždavinių sprendimo pavyzdžiai, kurie bus Vieningo valstybinio matematikos egzamino 4 užduotyje (profilio lygis).

Kodėl mums reikia tikimybių teorijos?

Istoriškai poreikis tirti šias problemas iškilo XVII amžiuje, susijęs su azartinių lošimų plėtra ir profesionalėjimu bei kazino atsiradimu. Tai buvo tikras reiškinys, reikalaujantis savo studijų ir tyrimų.

Žaidžiant kortomis, kauliukais ir rulete susidarė situacijos, kai galėjo įvykti bet kuris iš riboto skaičiaus vienodai galimų įvykių. Reikėjo pateikti skaitinius konkretaus įvykio tikimybės įverčius.

XX amžiuje tapo aišku, kad šis, atrodytų, lengvabūdiškas mokslas vaidina svarbų vaidmenį suprantant pagrindinius mikrokosmose vykstančius procesus. Buvo sukurta šiuolaikinė tikimybių teorija.

Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos

Tikimybių teorijos tyrimo objektas yra įvykiai ir jų tikimybės. Jei įvykis sudėtingas, jį galima suskirstyti į paprastus komponentus, kurių tikimybes nesunku rasti.

Įvykių A ir B suma vadinama įvykiu C, kuris susideda iš to, kad arba įvykis A, arba įvykis B, arba įvykiai A ir B įvyko vienu metu.

Įvykių A ir B sandauga yra įvykis C, o tai reiškia, kad įvyko ir įvykis A, ir įvykis B.

Įvykiai A ir B vadinami nesuderinamais, jei negali vykti vienu metu.

Įvykis A vadinamas neįmanomu, jei jis negali įvykti. Toks įvykis žymimas simboliu.

Įvykis A vadinamas tikru, jei jis tikrai įvyks. Toks įvykis žymimas simboliu.

Tegul kiekvienas įvykis A susietas su skaičiumi P(A). Šis skaičius P(A) vadinamas įvykio A tikimybe, jei atitinka šias sąlygas.

Svarbus ypatingas atvejis yra situacija, kai yra vienodai tikėtinų elementarių baigčių, o atsitiktiniai iš šių baigčių sudaro įvykius A. Tokiu atveju tikimybę galima įvesti naudojant formulę. Tokiu būdu įvesta tikimybė vadinama klasikine tikimybe. Galima įrodyti, kad šiuo atveju tenkinamos 1-4 savybės.

Tikimybių teorijos problemos, atsirandančios vieningame valstybiniame matematikos egzamine, daugiausia susijusios su klasikine tikimybe. Tokios užduotys gali būti labai paprastos. Tikimybių teorijos problemos demonstracinėse versijose yra ypač paprastos. Nesunku apskaičiuoti palankių rezultatų skaičių, visų rezultatų skaičius parašytas tiesiai sąlygoje.

Atsakymą gauname naudodami formulę.

Vieningo valstybinio matematikos egzamino dėl tikimybės nustatymo problemos pavyzdys

Ant stalo yra 20 pyragėlių – 5 su kopūstais, 7 su obuoliais ir 8 su ryžiais. Marina nori paimti pyragą. Kokia tikimybė, kad ji paims ryžių pyragą?

Sprendimas.

Yra 20 vienodai tikėtinų elementarių rezultatų, tai yra, Marina gali paimti bet kurį iš 20 pyragėlių. Tačiau turime įvertinti tikimybę, kad Marina paims ryžių pyragą, tai yra, kur A yra ryžių pyrago pasirinkimas. Tai reiškia, kad palankių rezultatų (pyragų su ryžiais pasirinkimų) skaičius yra tik 8. Tada tikimybė bus nustatyta pagal formulę:

Nepriklausomi, priešingi ir savavališki įvykiai

Tačiau atvirame užduočių banke buvo pradėtos rasti sudėtingesnės užduotys. Todėl atkreipkime skaitytojo dėmesį į kitus tikimybių teorijos klausimus.

Teigiama, kad įvykiai A ir B yra nepriklausomi, jei kiekvieno iš jų tikimybė nepriklauso nuo to, ar įvyksta kitas įvykis.

Įvykis B yra tai, kad įvykis A neįvyko, t.y. įvykis B yra priešingas įvykiui A. Priešingo įvykio tikimybė lygi vienetui atėmus tiesioginio įvykio tikimybę, t.y. .

Tikimybių sudėties ir daugybos teoremos, formulės

Savavališkų įvykių A ir B atveju šių įvykių sumos tikimybė yra lygi jų tikimybių sumai be jų bendro įvykio tikimybės, t.y. .

Nepriklausomiems įvykiams A ir B šių įvykių atsiradimo tikimybė lygi jų tikimybių sandaugai, t.y. tokiu atveju .

Paskutiniai 2 teiginiai vadinami tikimybių sudėjimo ir daugybos teoremomis.

Suskaičiuoti rezultatų skaičių ne visada taip paprasta. Kai kuriais atvejais būtina naudoti kombinatorikos formules. Svarbiausia suskaičiuoti įvykių, kurie tenkina tam tikras sąlygas, skaičių. Kartais tokie skaičiavimai gali tapti savarankiškomis užduotimis.

Kiek būdų 6 mokiniai gali būti susodinti 6 tuščiose vietose? Pirmasis mokinys užims bet kurią iš 6 vietų. Kiekvienas iš šių variantų atitinka 5 būdus, kaip antrasis studentas gali užimti vietą. Trečiam mokiniui liko 4 laisvos vietos, ketvirtam – 3, penktam – 2, o šeštokas užims vienintelę likusią vietą. Norėdami rasti visų variantų skaičių, turite rasti prekę, kuri pažymėta simboliu 6! ir parašyta „šeši faktoriai“.

Bendruoju atveju atsakymas į šį klausimą pateikiamas n elementų permutacijų skaičiaus formule.

Dabar panagrinėkime kitą atvejį su mūsų mokiniais. Kiek būdų 2 mokiniai gali būti susodinti į 6 tuščias vietas? Pirmasis mokinys užims bet kurią iš 6 vietų. Kiekvienas iš šių variantų atitinka 5 būdus, kaip antrasis studentas gali užimti vietą. Norėdami sužinoti visų parinkčių skaičių, turite rasti produktą.

Apskritai atsakymas į šį klausimą pateikiamas n elementų išdėstymo virš k elementų skaičiaus formule

Mūsų atveju.

Ir paskutinis atvejis šioje serijoje. Keliais būdais galite pasirinkti tris mokinius iš 6? Pirmasis mokinys gali būti atrenkamas 6 būdais, antrasis – 5, trečiasis – keturiais būdais. Tačiau tarp šių variantų tie patys trys mokiniai pasirodo 6 kartus. Norėdami rasti visų parinkčių skaičių, turite apskaičiuoti vertę: . Apskritai atsakymas į šį klausimą pateikiamas pagal elementų derinių skaičiaus pagal elementą formulę:

Mūsų atveju.

Vieningo valstybinio matematikos egzamino, skirto tikimybei nustatyti, sprendimo pavyzdžiai

Užduotis 1. Iš rinkinio redagavo. Jaščenka.

Lėkštėje yra 30 pyragėlių: 3 su mėsa, 18 su kopūstais ir 9 su vyšniomis. Sasha atsitiktinai pasirenka vieną pyragą. Raskite tikimybę, kad jis baigsis su vyšnia.

.

Atsakymas: 0,3.

Užduotis 2. Iš rinkinio redagavo. Jaščenka.

Kiekvienoje 1000 lempučių partijoje vidutiniškai 20 yra sugedusių. Raskite tikimybę, kad lemputė, paimta atsitiktinai iš partijos, veiks.

Sprendimas: Veikiančių lempučių skaičius 1000-20=980. Tada tikimybė, kad atsitiktinai iš partijos paimta lemputė veiks:

Atsakymas: 0,98.

Tikimybė, kad mokinys U per matematikos testą teisingai išspręs daugiau nei 9 uždavinius, yra 0,67. Tikimybė, kad U. teisingai išspręs daugiau nei 8 uždavinius, yra 0,73. Raskite tikimybę, kad U teisingai išspręs lygiai 9 uždavinius.

Jei įsivaizduosime skaičių tiesę ir pažymėsime joje taškus 8 ir 9, pamatysime, kad sąlyga „U. teisingai išspręs lygiai 9 uždavinius“ įtraukta į sąlygą „U. teisingai išspręs daugiau nei 8 uždavinius“, tačiau netaikoma sąlygai „U. teisingai išspręs daugiau nei 9 problemas“.

Tačiau sąlyga „U. teisingai išspręs daugiau nei 9 problemas“ yra sąlygoje „U. teisingai išspręs daugiau nei 8 problemas“. Taigi, jei įvardysime įvykius: „U. teisingai išspręs lygiai 9 uždavinius“ – per A, „U. teisingai išspręs daugiau nei 8 uždavinius“ – per B, „U. teisingai išspręs daugiau nei 9 problemas“ iki C. Tas sprendimas atrodys taip:

Atsakymas: 0,06.

Geometrijos egzamine mokinys atsako į vieną klausimą iš egzamino klausimų sąrašo. Tikimybė, kad tai yra trigonometrijos klausimas, yra 0,2. Tikimybė, kad tai yra išorinių kampų klausimas, yra 0,15. Nėra klausimų, kurie vienu metu būtų susiję su šiomis dviem temomis. Raskite tikimybę, kad studentas egzamino metu gaus klausimą viena iš šių dviejų temų.

Pagalvokime, kokių renginių turime. Mums pateikiami du nesuderinami įvykiai. Tai yra, klausimas bus susijęs su tema „Trigonometrija“ arba su tema „Išoriniai kampai“. Pagal tikimybių teoremą nesuderinamų įvykių tikimybė yra lygi kiekvieno įvykio tikimybių sumai, turime rasti šių įvykių tikimybių sumą, tai yra:

Atsakymas: 0,35.

Kambarį apšviečia žibintas su trimis lempomis. Tikimybė, kad per metus sudegs viena lempa, yra 0,29. Raskite tikimybę, kad per metus neišdegs bent viena lempa.

Panagrinėkime galimus įvykius. Turime tris lemputes, kurių kiekviena gali perdegti arba nedegti nepriklausomai nuo bet kurios kitos lemputės. Tai nepriklausomi renginiai.

Tada nurodysime tokių renginių galimybes. Vartokime tokius užrašus: - lemputė įjungta, - lemputė perdegusi. O visai šalia skaičiuosime įvykio tikimybę. Pavyzdžiui, įvykio, kai įvyko trys nepriklausomi įvykiai „perdegė lemputė“, „dega lemputė“, „dega lemputė“, tikimybė: , kur įvykio „lemputė“ tikimybė. dega“ apskaičiuojama kaip įvykio, priešingo įvykiui „nedega lemputė“, tikimybė, būtent: .

„Atsitiktinumai nėra atsitiktiniai“... Skamba kaip filosofas, bet iš tikrųjų atsitiktinumo tyrinėjimas yra didžiojo matematikos mokslo lemtis. Matematikoje atsitiktinumą sprendžia tikimybių teorija. Straipsnyje bus pateiktos formulės ir užduočių pavyzdžiai bei pagrindiniai šio mokslo apibrėžimai.

Kas yra tikimybių teorija?

Tikimybių teorija yra viena iš matematinių disciplinų, tiriančių atsitiktinius įvykius.

Kad būtų šiek tiek aiškiau, pateiksime nedidelį pavyzdį: išmetus monetą aukštyn, ji gali nukristi ant galvų ar uodegų. Kol moneta yra ore, galimos abi šios tikimybės. Tai yra, galimų pasekmių tikimybė yra 1:1. Jei ištrauksite vieną kortą iš 36 kortų kaladės, tada tikimybė bus nurodyta kaip 1:36. Atrodytų, čia nėra ką tyrinėti ir prognozuoti, ypač pasitelkus matematines formules. Tačiau jei tam tikrą veiksmą kartosite daug kartų, galėsite nustatyti tam tikrą modelį ir pagal jį numatyti įvykių baigtį kitomis sąlygomis.

Apibendrinant visa tai, kas išdėstyta aukščiau, tikimybių teorija klasikine prasme tiria galimybę, kad vienas iš galimų įvykių įvyks skaitine verte.

Iš istorijos puslapių

Tikimybių teorija, formulės ir pirmųjų užduočių pavyzdžiai atsirado tolimais viduramžiais, kai pirmą kartą buvo bandoma nuspėti kortų žaidimų baigtį.

Iš pradžių tikimybių teorija neturėjo nieko bendra su matematika. Tai buvo pateisinama empiriniais faktais arba įvykio savybėmis, kurios gali būti atkartotos praktiškai. Pirmieji darbai šioje srityje kaip matematinė disciplina pasirodė XVII a. Įkūrėjai buvo Blaise'as Pascalis ir Pierre'as Fermatas. Jie ilgą laiką mokėsi azartinių lošimų ir pamatė tam tikrus modelius, apie kuriuos nusprendė papasakoti visuomenei.

Tą pačią techniką išrado Christiaan Huygens, nors jis nebuvo susipažinęs su Pascalio ir Fermato tyrimų rezultatais. Jis pristatė „tikimybių teorijos“ sąvoką, formules ir pavyzdžius, kurie laikomi pirmaisiais disciplinos istorijoje.

Nemenką reikšmę turi ir Jacobo Bernoulli darbai, Laplaso ir Puasono teoremos. Jie pavertė tikimybių teoriją labiau panašia į matematinę discipliną. Tikimybių teorija, formulės ir pagrindinių užduočių pavyzdžiai įgavo dabartinę formą Kolmogorovo aksiomų dėka. Dėl visų pokyčių tikimybių teorija tapo viena iš matematikos šakų.

Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos. Renginiai

Pagrindinė šios disciplinos sąvoka yra „įvykis“. Yra trys įvykių tipai:

• Patikimas. Tie, kurie vis tiek įvyks (moneta nukris).
• Neįmanomas.Įvykiai, kurie neįvyks jokiomis aplinkybėmis (moneta liks kabėti ore).
• Atsitiktinis. Tie, kurie įvyks arba neįvyks. Jiems įtakos gali turėti įvairūs veiksniai, kuriuos labai sunku numatyti. Jei kalbame apie monetą, tai yra atsitiktiniai veiksniai, galintys turėti įtakos rezultatui: monetos fizinės savybės, forma, pradinė padėtis, metimo jėga ir kt.

Visi įvykiai pavyzdžiuose pažymėti didžiosiomis lotyniškomis raidėmis, išskyrus P, kurios vaidmuo skiriasi. Pavyzdžiui:

• A = „studentai atėjo į paskaitą“.
• Ā = „studentai neatėjo į paskaitą“.

Praktinėse užduotyse įvykiai dažniausiai užrašomi žodžiais.

Viena iš svarbiausių įvykių savybių yra vienoda jų galimybė. Tai yra, jei išmetate monetą, galimi visi pradinio kritimo variantai, kol ji nukris. Tačiau įvykiai taip pat nėra vienodai įmanomi. Taip atsitinka, kai kas nors sąmoningai daro įtaką rezultatui. Pavyzdžiui, „pažymėtos“ žaidimo kortos ar kauliukai, kuriuose svorio centras yra perkeltas.

Įvykiai taip pat gali būti suderinami ir nesuderinami. Suderinami įvykiai neatmeta vienas kito atsiradimo. Pavyzdžiui:

• A = „studentas atėjo į paskaitą“.
• B = „studentas atėjo į paskaitą“.

Šie įvykiai yra nepriklausomi vienas nuo kito, o vieno iš jų atsiradimas neturi įtakos kito įvykimui. Nesuderinami įvykiai apibrėžiami tuo, kad įvykus vienam neleidžia įvykti kito. Jei kalbėsime apie tą pačią monetą, tada, praradus „uodegą“, tame pačiame eksperimente neįmanoma atsirasti „galvų“.

Veiksmai dėl įvykių

Įvykiai gali būti atitinkamai dauginami ir pridedami, disciplinoje įvedami loginiai ryšiai „IR“ ir „ARBA“.

Suma nustatoma pagal tai, kad vienu metu gali įvykti arba A, arba B įvykis, arba du. Jei jie nesuderinami, paskutinis variantas yra neįmanomas;

Įvykių dauginimas susideda iš A ir B atsiradimo vienu metu.

Dabar galime pateikti keletą pavyzdžių, kad geriau atsimintume pagrindus, tikimybių teoriją ir formules. Toliau pateikiami problemų sprendimo pavyzdžiai.

1 pratimas: Įmonė dalyvauja konkurse gauti sutartis dėl trijų rūšių darbų. Galimi įvykiai, kurie gali įvykti:

• A = „įmonė gaus pirmąją sutartį“.
• Ir 1 = „įmonė negaus pirmosios sutarties“.
• B = „įmonė gaus antrą sutartį“.
• B 1 = „įmonė negaus antros sutarties“
• C = „įmonė gaus trečią sutartį“.
• C 1 = „įmonė negaus trečios sutarties“.

Naudodami veiksmus su įvykiais, bandysime išreikšti tokias situacijas:

• K = „įmonė gaus visas sutartis“.

Matematine forma lygtis bus tokia: K = ABC.

• M = „įmonė negaus nė vienos sutarties“.

M = A 1 B 1 C 1.

Sudėtinkite užduotį: H = „įmonė gaus vieną sutartį“. Kadangi nežinoma, kokią sutartį įmonė gaus (pirmą, antrą ar trečią), būtina įrašyti visą galimų įvykių seriją:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

O 1 BC 1 yra įvykių serija, kai firma negauna pirmos ir trečios sutarties, o gauna antrąją. Kiti galimi įvykiai buvo užfiksuoti atitinkamu metodu. Simbolis υ disciplinoje reiškia jungiamąjį „ARBA“. Jei minėtą pavyzdį išversime į žmonių kalbą, įmonė gaus arba trečią sutartį, arba antrą, arba pirmą. Panašiai galite užrašyti ir kitas disciplinos „Tikimybių teorija“ sąlygas. Aukščiau pateiktos formulės ir problemų sprendimo pavyzdžiai padės tai padaryti patiems.

Tiesą sakant, tikimybė

Galbūt šioje matematinėje disciplinoje įvykio tikimybė yra pagrindinė sąvoka. Yra 3 tikimybės apibrėžimai:

• klasika;
• statistiniai;
• geometrinis.

Kiekvienas iš jų turi savo vietą tikimybių tyrime. Tikimybių teorijoje, formulėse ir pavyzdžiuose (9 klasė) daugiausia naudojamas klasikinis apibrėžimas, kuris skamba taip:

• Situacijos A tikimybė yra lygi pasekmių, palankių jos atsiradimui, skaičiaus ir visų galimų baigčių skaičiaus santykiui.

Formulė atrodo taip: P(A)=m/n.

A iš tikrųjų yra įvykis. Jei atsiranda priešingas A atvejis, jis gali būti parašytas kaip Ā arba A 1 .

m – galimų palankių atvejų skaičius.

n – visi įvykiai, kurie gali atsitikti.

Pavyzdžiui, A = „ištrauk širdies kostiumo kortelę“. Standartinėje kaladėje yra 36 kortos, 9 iš jų yra širdelių. Atitinkamai, problemos sprendimo formulė atrodys taip:

P(A)=9/36=0,25.

Dėl to tikimybė, kad iš kaladės bus ištraukta širdies kostiumo korta, bus 0,25.

Aukštosios matematikos link

Dabar tapo mažai žinoma, kas yra tikimybių teorija, formulės ir problemų sprendimo pavyzdžiai, kurie pasitaiko mokyklos programoje. Tačiau tikimybių teorija aptinkama ir aukštojoje matematikoje, kuri dėstoma universitetuose. Dažniausiai jie veikia su geometriniais ir statistiniais teorijos apibrėžimais ir sudėtingomis formulėmis.

Tikimybių teorija yra labai įdomi. Geriau pradėti studijuoti formules ir pavyzdžius (aukštoji matematika) nuo mažų – su statistiniu (arba dažniniu) tikimybės apibrėžimu.

Statistinis požiūris neprieštarauja klasikiniam, bet šiek tiek jį išplečia. Jei pirmuoju atveju reikėjo nustatyti, su kokia tikimybe įvyks įvykis, tai šiuo metodu būtina nurodyti, kaip dažnai jis įvyks. Čia įvedama nauja „santykinio dažnio“ sąvoka, kurią galima žymėti W n (A). Formulė nesiskiria nuo klasikinės:

Jei prognozei skaičiuojama klasikinė formulė, tai statistinė apskaičiuojama pagal eksperimento rezultatus. Paimkime, pavyzdžiui, nedidelę užduotį.

Technologinės kontrolės skyrius tikrina gaminių kokybę. Iš 100 gaminių 3 buvo nustatyti nekokybiški. Kaip sužinoti kokybiško produkto dažnumo tikimybę?

A = „kokybiško produkto išvaizda“.

Wn (A) = 97/100 = 0,97

Taigi kokybiško produkto dažnis yra 0,97. Iš kur gavai 97? Iš 100 patikrintų gaminių 3 buvo nustatyti nekokybiški. Iš 100 atimame 3 ir gauname 97, tai kokybiškų prekių kiekis.

Šiek tiek apie kombinatoriką

Kitas tikimybių teorijos metodas vadinamas kombinatorika. Jo pagrindinis principas yra tas, kad jei tam tikras pasirinkimas A gali būti atliktas m skirtingais būdais, o pasirinkimas B gali būti atliktas n skirtingų būdų, tai A ir B pasirinkimas gali būti atliktas dauginant.

Pavyzdžiui, iš miesto A į miestą B veda 5 keliai. Iš miesto B į miestą C yra 4 takai. Keliais būdais galite patekti iš miesto A į miestą C?

Tai paprasta: 5x4=20, tai yra, iš taško A į tašką C galite patekti dvidešimčia skirtingų būdų.

Apsunkinkime užduotį. Kiek yra būdų, kaip išdėlioti kortas pasjansoje? Kaledėje yra 36 kortos – tai yra atskaitos taškas. Norėdami sužinoti būdų skaičių, turite „atimti“ po vieną kortelę nuo pradžios taško ir padauginti.

Tai yra, 36x35x34x33x32...x2x1= rezultatas netelpa skaičiuotuvo ekrane, todėl jį galima tiesiog pažymėti 36!. Pasirašykite "!" šalia skaičiaus rodo, kad visa skaičių serija yra padauginta.

Kombinatorikoje yra tokių sąvokų kaip permutacija, išdėstymas ir derinys. Kiekvienas iš jų turi savo formulę.

Sutvarkytas aibės elementų rinkinys vadinamas išdėstymu. Vietos gali būti kartojamos, tai yra, vieną elementą galima naudoti kelis kartus. Ir be pasikartojimo, kai elementai nesikartoja. n yra visi elementai, m yra elementai, kurie dalyvauja vietoje. Įdėjimo be pasikartojimo formulė atrodys taip:

A n m =n!/(n-m)!

n elementų jungtys, kurios skiriasi tik išdėstymo tvarka, vadinamos permutacijomis. Matematikoje tai atrodo taip: P n = n!

n elementų deriniai m yra tie junginiai, kuriuose svarbu, kokie elementai jie buvo ir koks jų bendras skaičius. Formulė atrodys taip:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernulio formulė

Tikimybių teorijoje, kaip ir kiekvienoje disciplinoje, yra puikių savo srities tyrinėtojų darbų, kurie ją perkėlė į naują lygį. Vienas iš šių darbų yra Bernulio formulė, leidžianti nustatyti tam tikro įvykio tikimybę nepriklausomomis sąlygomis. Tai rodo, kad A atsiradimas eksperimente nepriklauso nuo to paties įvykio ar neįvykimo ankstesniuose ar vėlesniuose bandymuose.

Bernulio lygtis:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Įvykio (A) atsiradimo tikimybė (p) yra pastovi kiekvienam bandymui. Tikimybė, kad situacija pasikartos lygiai m kartų per n skaičių eksperimentų, bus apskaičiuojama pagal aukščiau pateiktą formulę. Atitinkamai kyla klausimas, kaip sužinoti skaičių q.

Jei įvykis A įvyksta p kartų, atitinkamai jis gali neįvykti. Vienetas yra skaičius, naudojamas visiems situacijos rezultatams disciplinoje nurodyti. Todėl q yra skaičius, nurodantis įvykio neįvykimo galimybę.

Dabar jūs žinote Bernulio formulę (tikimybių teoriją). Toliau apžvelgsime problemų sprendimo pavyzdžius (pirmasis lygis).

2 užduotis: Parduotuvės lankytojas apsipirks su 0,2 tikimybe. 6 lankytojai savarankiškai įėjo į parduotuvę. Kokia tikimybė, kad lankytojas apsipirks?

Sprendimas: Kadangi nežinoma, kiek lankytojų turėtų apsipirkti, vienas ar visi šeši, reikia apskaičiuoti visas įmanomas tikimybes naudojant Bernulio formulę.

A = „lankytojas pirks“.

Šiuo atveju: p = 0,2 (kaip nurodyta užduotyje). Atitinkamai, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (kadangi parduotuvėje yra 6 klientai). Skaičius m skirsis nuo 0 (nepirks nei vienas pirkėjas) iki 6 (visi parduotuvės lankytojai ką nors pirks). Kaip rezultatas, mes gauname sprendimą:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Nė vienas pirkėjas nepirks su 0,2621 tikimybe.

Kaip kitaip naudojama Bernulio formulė (tikimybių teorija)? Problemų sprendimo pavyzdžiai (antrasis lygis) žemiau.

Po pirmiau pateikto pavyzdžio kyla klausimų, kur nuėjo C ir r. Lyginant su p, skaičius, kurio laipsnis yra 0, bus lygus vienetui. Kalbant apie C, jį galima rasti pagal formulę:

C n m = n! /m!(n-m)!

Kadangi pirmame pavyzdyje m = 0, atitinkamai, C = 1, o tai iš esmės neturi įtakos rezultatui. Naudodami naują formulę pabandykime išsiaiškinti, kokia tikimybė, kad prekes įsigys du lankytojai.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / ( 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × ( 0,2 ) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Tikimybių teorija nėra tokia sudėtinga. Bernoulli formulė, kurios pavyzdžiai pateikti aukščiau, yra tiesioginis to įrodymas.

Puasono formulė

Puasono lygtis naudojama mažos tikimybės atsitiktinėms situacijoms apskaičiuoti.

Pagrindinė formulė:

P n (m)=λ m/m! × e (-λ) .

Šiuo atveju λ = n x p. Čia yra paprasta Puasono formulė (tikimybių teorija). Toliau apžvelgsime problemų sprendimo pavyzdžius.

3 užduotis: gamykla pagamino 100 000 detalių. Sugedusios detalės atsiradimas = 0,0001. Kokia tikimybė, kad partijoje bus 5 sugedusios dalys?

Kaip matote, santuoka yra mažai tikėtinas įvykis, todėl skaičiavimui naudojama Puasono formulė (tikimybių teorija). Tokio pobūdžio problemų sprendimo pavyzdžiai niekuo nesiskiria nuo kitų disciplinos užduočių.

A = „atsitiktinai parinkta dalis bus sugedusi“.

p = 0,0001 (pagal užduoties sąlygas).

n = 100000 (dalių skaičius).

m = 5 (defektuotos dalys). Mes pakeičiame duomenis į formulę ir gauname:

100 000 R (5) = 10 5/5! X e -10 = 0,0375.

Kaip ir Bernulio formulė (tikimybių teorija), kurios sprendimų pavyzdžiai yra parašyti aukščiau, Puasono lygtis turi nežinomą e. Tiesą sakant, ją galima rasti pagal formulę:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Tačiau yra specialių lentelių, kuriose yra beveik visos e.

De Moivre-Laplaso teorema

Jei Bernoulli schemoje bandymų skaičius yra pakankamai didelis, o įvykio A tikimybė visose schemose yra vienoda, tai įvykio A tikimybę tam tikrą skaičių kartų bandymų serijoje galima rasti Laplaso formulė:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Norėdami geriau prisiminti Laplaso formulę (tikimybių teoriją), toliau pateikiami problemų pavyzdžiai.

Pirmiausia suraskime X m, pakeiskime duomenis (jie visi išvardyti aukščiau) į formulę ir gaukime 0,025. Naudodami lenteles randame skaičių ϕ(0,025), kurio reikšmė yra 0,3988. Dabar galite pakeisti visus duomenis į formulę:

P 800 (267) = 1/√ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Taigi tikimybė, kad skrajutė veiks lygiai 267 kartus, yra 0,03.

Bayes formulė

Bayes formulė (tikimybių teorija), kurios pagalba bus pateikti problemų sprendimo pavyzdžiai, yra lygtis, apibūdinanti įvykio tikimybę, remiantis aplinkybėmis, kurios gali būti su juo susijusios. Pagrindinė formulė yra tokia:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A ir B yra tam tikri įvykiai.

P(A|B) yra sąlyginė tikimybė, ty įvykis A gali įvykti, jei įvykis B yra teisingas.

P (B|A) – sąlyginė įvykio B tikimybė.

Taigi, paskutinė trumpojo kurso „Tikimybių teorija“ dalis yra Bayes formulė, kurios problemų sprendimų pavyzdžiai pateikiami žemiau.

5 užduotis: Į sandėlį buvo atvežti trijų įmonių telefonai. Tuo pačiu metu telefonų, pagamintų pirmoje gamykloje, dalis yra 25%, antroje - 60%, trečioje - 15%. Taip pat žinoma, kad vidutinis brokuotų gaminių procentas pirmoje gamykloje yra 2%, antroje - 4%, o trečioje - 1%. Turite rasti tikimybę, kad atsitiktinai pasirinktas telefonas bus sugedęs.

A = „atsitiktinai pasirinktas telefonas“.

B 1 - telefonas, kurį pagamino pirmoji gamykla. Atitinkamai pasirodys įvadiniai B 2 ir B 3 (antrai ir trečiai gamykloms).

Rezultate gauname:

P (B 1) = 25 %/100 % = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 – taip radome kiekvieno varianto tikimybę.

Dabar reikia rasti sąlygines norimo įvykio tikimybes, tai yra sugedusių gaminių tikimybę įmonėse:

P (A/B 1) = 2 %/100 % = 0,02;

P(A/B 2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Dabar pakeiskime duomenis į Bayes formulę ir gaukime:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Straipsnyje pateikiama tikimybių teorija, formulės ir problemų sprendimo pavyzdžiai, tačiau tai tik didžiulės disciplinos ledkalnio viršūnė. O po visko, kas parašyta, bus logiška užduoti klausimą, ar gyvenime reikalinga tikimybių teorija. Paprastam žmogui sunku atsakyti, geriau paprašyti to, kas tuo pasinaudojo, kad laimėtų jackpotą daugiau nei vieną kartą.