Sudėjimo ir daugybos savybės. Sveikųjų skaičių sudėties, daugybos, atimties ir dalybos savybės

Galima pastebėti keletą šiam veiksmui būdingų rezultatų. Šie rezultatai vadinami natūraliųjų skaičių sudėjimo savybės. Šiame straipsnyje mes išsamiai išanalizuosime natūraliųjų skaičių pridėjimo ypatybes, parašysime jas raidėmis ir pateiksime aiškinamuosius pavyzdžius.

Puslapio naršymas.

Natūraliųjų skaičių sudėtinė jungtinė savybė.

Dabar pateiksime pavyzdį, iliustruojantį natūraliųjų skaičių sudėjimo asociatyviąją savybę.

Įsivaizduokime situaciją: nuo pirmosios obels nukrito 1 obuolys, o nuo antrosios – 2 obuoliai ir dar 4 obuoliai. Dabar apsvarstykite šią situaciją: nuo pirmosios obels nukrito 1 obuolys ir dar 2 obuoliai, o nuo antrosios obels nukrito 4 obuoliai. Aišku, kad tiek pirmuoju, tiek antruoju atveju ant žemės bus tiek pat obuolių (ką galima patikrinti perskaičiavus). Tai reiškia, kad skaičiaus 1 sudėjimo su skaičių 2 ir 4 rezultatas yra lygus skaičių 1 ir 2 sumos su skaičiumi 4 pridėjimo rezultatui.

Nagrinėjamas pavyzdys leidžia suformuluoti natūraliųjų skaičių sudėties kombinacinę savybę: norėdami prie duoto skaičiaus pridėti nurodytą dviejų skaičių sumą, prie šio skaičiaus galime pridėti pirmąjį duotosios sumos narį ir pridėti antrąjį duota suma gautam rezultatui. Ši savybė gali būti parašyta naudojant tokias raides: a+(b+c)=(a+b)+c, kur a, b ir c yra savavališki natūralūs skaičiai.

Atkreipkite dėmesį, kad lygybėje a+(b+c)=(a+b)+c yra skliausteliuose „(“ ir „)“. Skliausteliuose posakiuose nurodoma veiksmų atlikimo tvarka – pirmiausia atliekami skliausteliuose esantys veiksmai (plačiau apie tai rašoma skyriuje). Kitaip tariant, posakiai, kurių reikšmės įvertinamos pirmiausia, pateikiami skliausteliuose.

Baigdami šią pastraipą pažymime, kad kombinacinė sudėties savybė leidžia vienareikšmiškai nustatyti trijų, keturių ar daugiau natūraliųjų skaičių sudėtį.

Savybė pridėti nulį ir natūralųjį skaičių, savybė pridėti nulį ir nulį.

Žinome, kad nulis NĖRA natūralusis skaičius. Taigi kodėl šiame straipsnyje nusprendėme pažvelgti į nulio ir natūraliojo skaičiaus pridėjimo savybę? Tam yra trys priežastys. Pirma: ši savybė naudojama pridedant natūraliuosius skaičius stulpelyje. Antra: ši savybė naudojama atimant natūraliuosius skaičius. Trečia: jei darysime prielaidą, kad nulis reiškia kažko nebuvimą, tai nulio ir natūraliojo skaičiaus pridėjimo reikšmė sutampa su dviejų natūraliųjų skaičių pridėjimo reikšme.

Atlikime samprotavimus, kurie padės mums suformuluoti nulio ir natūraliojo skaičiaus pridėjimo savybę. Įsivaizduokime, kad langelyje nėra objektų (kitaip tariant, langelyje yra 0 objektų), o į jį dedami objektai, kur a yra bet koks natūralusis skaičius. Tai yra, mes pridėjome 0 ir objektus. Akivaizdu, kad po šio veiksmo dėžutėje yra objektai. Todėl lygybė 0+a=a yra teisinga.

Panašiai, jei langelyje yra elementų, o į jį pridėta 0 elementų (ty elementų nepridedama), tada po šio veiksmo langelyje bus elementai. Taigi a+0=a.

Dabar galime pateikti nulio ir natūraliojo skaičiaus pridėjimo savybės formuluotę: dviejų skaičių, iš kurių vienas lygus nuliui, suma lygi antrajam skaičiui. Matematiškai ši savybė gali būti parašyta kaip tokia lygybė: 0+a=a arba a+0=a, kur a yra savavališkas natūralusis skaičius.

Atskirai atkreipkime dėmesį į tai, kad sudėjus natūraliąjį skaičių ir nulį, komutacinė sudėties savybė išlieka teisinga, tai yra a+0=0+a.

Galiausiai suformuluokime savybę pridėti nulį prie nulio (tai gana akivaizdu ir nereikalauja papildomų komentarų): dviejų skaičių, kurių kiekvienas lygus nuliui, suma lygi nuliui. Tai yra, 0+0=0 .

Dabar atėjo laikas išsiaiškinti, kaip pridėti natūraliuosius skaičius.

Bibliografija.

• Matematika. Bet kokie vadovėliai bendrojo ugdymo įstaigų 1, 2, 3, 4 klasėms.
• Matematika. Bet kokie vadovėliai bendrojo ugdymo įstaigų 5 klasei.

Pridėti vieną skaičių prie kito yra gana paprasta. Pažiūrėkime į pavyzdį, 4+3=7. Ši išraiška reiškia, kad trys vienetai buvo pridėti prie keturių vienetų ir rezultatas buvo septyni vienetai.
Skaičiai 3 ir 4, kuriuos įtraukėme, vadinami terminai. Ir vadinamas skaičiaus 7 pridėjimo rezultatas suma.

Suma yra skaičių pridėjimas. Pliuso ženklas „+“.
Tiesiogine forma šis pavyzdys atrodytų taip:

a+b=c

Papildomi komponentai:
a- terminas, b- terminai, c- suma.
Jei prie 3 vienetų pridėsime 4 vienetus, tada sudėjus gausime tą patį rezultatą, kuris bus lygus 7;

Iš šio pavyzdžio darome išvadą, kad nesvarbu, kaip pakeisime terminus, atsakymas išlieka tas pats:

Ši terminų savybė vadinama komutacinis sudėjimo dėsnis.

Komutacinis sudėjimo dėsnis.

Sąlygų vietų pakeitimas sumos nekeičia.

Žodžiu, komutacinis įstatymas atrodo taip:

a+b=b+a

Jei nagrinėsime tris narius, pavyzdžiui, paimkime skaičius 1, 2 ir 4. Ir atliekame sudėjimą tokia tvarka, pirmiausia pridedame 1 + 2, o tada pridedame prie gautos sumos 4, gauname išraišką:

(1+2)+4=7

Mes galime padaryti priešingai, pirmiausia pridėti 2+4, o tada pridėti 1 prie gautos sumos. Mūsų pavyzdys atrodys taip:

1+(2+4)=7

Atsakymas išlieka tas pats. Abiejų tipų papildymas tam pačiam pavyzdžiui turi tą patį atsakymą. Darome išvadą:

(1+2)+4=1+(2+4)

Ši papildymo savybė vadinama asociatyvinis sudėjimo dėsnis.

Komutacinis ir asociatyvinis sudėjimo dėsnis veikia visiems neneigiamiems skaičiams.

Sudėjimo dėsnis.

Norėdami pridėti trečią skaičių prie dviejų skaičių sumos, prie pirmojo skaičiaus galite pridėti antrojo ir trečiojo skaičių sumą.

(a+b)+c=a+(b+c)

Derinių įstatymas veikia bet kokiam terminų skaičiui. Šį dėsnį naudojame tada, kai reikia suvesti skaičius patogia tvarka. Pavyzdžiui, sudėkime tris skaičius 12, 6, 8 ir 4. Bus patogiau iš pradžių pridėti 12 ir 8, o tada prie gautos sumos pridėti dviejų skaičių 6 ir 4 sumą.
(12+8)+(6+4)=30

Sudėjimo su nuliu savybė.

Pridėjus skaičių su nuliu, gauta suma bus tokia pati.

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

Pažodinėje išraiškoje pridėjimas su nuliu atrodys taip:

a+0=a
0+ a=a

Klausimai natūraliųjų skaičių sudėjimo tema:
Sudarykite papildymo lentelę ir pažiūrėkite, kaip veikia komutacinės teisės savybė?
Papildymo lentelė nuo 1 iki 10 gali atrodyti taip:

Antroji papildymo lentelės versija.

Jei pažvelgsime į sudėjimo lenteles, pamatysime, kaip veikia komutacinė dėsnis.

Kokia bus išraiška a+b=c?
Atsakymas: suma yra terminų pridėjimo rezultatas. a+b ir c.

Kas bus išraiškoje a+b=c?
Atsakymas: a ir b. Papildymai yra skaičiai, kuriuos sudedame kartu.

Kas atsitiks su skaičiumi, jei prie jo pridėsite 0?
Atsakymas: nieko, skaičius nesikeis. Sudedant su nuliu, skaičius išlieka toks pat, nes nulis yra vienetų nebuvimas.

Kiek terminų turėtų būti pavyzdyje, kad būtų galima taikyti kombinacinį sudėjimo dėsnį?
Atsakymas: iš trijų ar daugiau terminų.

Užsirašyti komutacinį dėsnį tiesiogine prasme?
Atsakymas: a+b=b+a

Užduočių pavyzdžiai.
1 pavyzdys:
Užrašykite atsakymą į pateiktus posakius: a) 15+7 b) 7+15
Atsakymas: a) 22 b) 22

2 pavyzdys:
Taikyti kombinacijos dėsnį terminams: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
Atsakymas: 20.

3 pavyzdys:
Išspręskite išraišką:
a) 5921+0 b) 0+5921
Sprendimas:
a) 5921+0 =5921
b) 0+5921=5921

Mes apibrėžėme sveikųjų skaičių sudėtį, daugybą, atimtį ir padalijimą. Šie veiksmai (operacijos) turi nemažai būdingų rezultatų, kurie vadinami savybėmis. Šiame straipsnyje apžvelgsime pagrindines sveikųjų skaičių pridėjimo ir dauginimo savybes, iš kurių išplaukia visos kitos šių veiksmų savybės, taip pat sveikųjų skaičių atėmimo ir padalijimo savybes.

Puslapio naršymas.

Sveikųjų skaičių pridėjimas turi keletą kitų labai svarbių savybių.

Vienas iš jų yra susijęs su nulio egzistavimu. Ši sveikųjų skaičių pridėjimo savybė teigia, kad prie bet kurio sveikojo skaičiaus pridėjus nulį, šis skaičius nekeičiamas. Šią sudėjimo savybę parašykime raidėmis: a+0=a ir 0+a=a (ši lygybė teisinga dėl komutacinės sudėties savybės), a yra bet koks sveikasis skaičius. Galite išgirsti, kad sveikasis skaičius nulis vadinamas neutraliu pridėjimo elementu. Pateikime porą pavyzdžių. Sveikojo skaičiaus −78 ir nulio suma yra −78; Jei teigiamą sveikąjį skaičių 999 pridėsite prie nulio, rezultatas bus 999.

Dabar pateiksime kitos sveikųjų skaičių sudėties savybės, kuri yra susijusi su bet kurio sveikojo skaičiaus priešingo skaičiaus buvimu, formuluotę. Bet kurio sveikojo skaičiaus su priešingu skaičiumi suma yra lygi nuliui. Pateikiame pažodinę šios savybės rašymo formą: a+(−a)=0, kur a ir −a yra priešingi sveikieji skaičiai. Pavyzdžiui, suma 901+(−901) yra lygi nuliui; taip pat priešingų sveikųjų skaičių −97 ir 97 suma lygi nuliui.

Pagrindinės sveikųjų skaičių dauginimo savybės

Sveikųjų skaičių daugyba turi visas natūraliųjų skaičių daugybos savybes. Išvardinkime pagrindines iš šių savybių.

Lygiai taip pat, kaip nulis yra neutralus sveikasis skaičius sudėjimo atžvilgiu, vienas yra neutralus sveikasis skaičius sveikojo skaičiaus daugybos atžvilgiu. Tai yra, bet kurį sveikąjį skaičių padauginus iš vieneto, dauginamas skaičius nesikeičia. Taigi 1·a=a, kur a yra bet koks sveikasis skaičius. Paskutinę lygybę galima perrašyti kaip a·1=a, tai leidžia padaryti daugybos komutacinę savybę. Pateikime du pavyzdžius. Sveikojo skaičiaus 556 sandauga iš 1 yra 556; vieno ir neigiamo sveikojo skaičiaus sandauga −78 lygi −78.

Kita sveikųjų skaičių dauginimo savybė yra susijusi su daugyba iš nulio. Bet kurio sveikojo skaičiaus a padauginimas iš nulio yra lygus nuliui, tai yra a·0=0 . Lygybė 0·a=0 yra teisinga ir dėl sveikųjų skaičių dauginimosi komutacinės savybės. Ypatingu atveju, kai a=0, nulio ir nulio sandauga yra lygi nuliui.

Dauginant sveikuosius skaičius, atvirkštinė savybė prieš tai taip pat yra teisinga. Jame teigiama, kad dviejų sveikųjų skaičių sandauga lygi nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Pažodine forma ši savybė gali būti užrašoma taip: a·b=0, jei arba a=0, arba b=0, arba abu a ir b yra lygūs nuliui vienu metu.

Sveikųjų skaičių daugybos skirstomoji savybė sudėjimo atžvilgiu

Bendras sveikųjų skaičių sudėjimas ir daugyba leidžia apsvarstyti daugybos paskirstymo savybę, palyginti su pridėjimu, jungiančią du nurodytus veiksmus. Sudėjimo ir daugybos naudojimas kartu atveria papildomų galimybių, kurių praleistume, jei sudėjimą vertintume atskirai nuo daugybos.

Taigi, daugybos skirstomoji savybė, palyginti su sudėtimi, teigia, kad sveikojo skaičiaus a ir dviejų sveikųjų skaičių a ir b sumos sandauga yra lygi sandaugų a b ir a c sumai, tai yra, a·(b+c)=a·b+a·c. Tą pačią savybę galima parašyti kita forma: (a+b)c=ac+bc .

Paskirstomoji savybė padauginti sveikuosius skaičius, palyginti su sudėjimu, kartu su kombinacine sudėties savybe leidžia mums nustatyti sveikojo skaičiaus padauginimą iš trijų ar daugiau sveikųjų skaičių sumos, o tada sveikųjų skaičių padauginimą iš sumos.

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad visas kitas sveikųjų skaičių sudėties ir daugybos savybes galima gauti iš mūsų nurodytų savybių, tai yra, jos yra aukščiau nurodytų savybių pasekmės.

Sveikųjų skaičių atėmimo savybės

Iš gautos lygybės, taip pat iš sveikųjų skaičių sudėties ir daugybos savybių išplaukia šios sveikųjų skaičių atėmimo savybės (a, b ir c yra savavališki sveikieji skaičiai):

• Sveikųjų skaičių atėmimas apskritai NETURI komutacinės savybės: a−b≠b−a.
• Lygių sveikųjų skaičių skirtumas lygus nuliui: a−a=0.
• Dviejų sveikųjų skaičių sumos atėmimo iš duoto sveikojo skaičiaus savybė: a−(b+c)=(a−b)−c .
• Savybė atimti sveikąjį skaičių iš dviejų sveikųjų skaičių sumos: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• Daugybos skirstomoji savybė atimties atžvilgiu: a·(b–c)=a·b–a·c ir (a–b)·c=a·c–b·c.
• Ir visos kitos sveikųjų skaičių atėmimo savybės.

Sveikųjų skaičių dalybos savybės

Aptardami sveikųjų skaičių dalybos reikšmę, išsiaiškinome, kad sveikųjų skaičių dalijimas yra atvirkštinis daugybos veiksmas. Pateikėme tokį apibrėžimą: sveikųjų skaičių dalijimas yra nežinomo faktoriaus radimas iš žinomo produkto ir žinomo faktoriaus. Tai yra, sveikąjį skaičių c vadiname sveikojo skaičiaus a padalijimo iš sveikojo skaičiaus b, kai sandauga c·b lygi a.

Šis apibrėžimas, taip pat visos aukščiau aptartos operacijų su sveikaisiais skaičiais savybės leidžia nustatyti šių dalijamųjų sveikųjų skaičių savybių galiojimą:

• Jokio sveikojo skaičiaus negalima padalyti iš nulio.
• Savybė padalyti nulį iš savavališko sveikojo skaičiaus, kuris nėra nulis: 0:a=0.
• Lygių sveikųjų skaičių padalijimo savybė: a:a=1, kur a yra bet koks sveikasis skaičius, išskyrus nulį.
• Savavališko sveikojo skaičiaus a dalijimo iš vieneto savybė: a:1=a.
• Apskritai sveikųjų skaičių dalyba NETURI komutacinės savybės: a:b≠b:a .
• Dviejų sveikųjų skaičių sumos ir skirtumo dalijimosi iš sveikojo skaičiaus savybės: (a+b):c=a:c+b:c ir (a-b):c=a:c-b:c, kur a, b , ir c yra sveikieji skaičiai, kad ir a, ir b dalijasi iš c, o c yra nulis.
• Dviejų sveikųjų skaičių a ir b sandaugos dalijimosi iš sveikojo skaičiaus c, kuris nėra nulis, savybė: (a·b):c=(a:c)·b, jei a dalijasi iš c; (a·b):c=a·(b:c) , jei b dalijasi iš c ; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) , jei ir a, ir b dalijasi iš c .
• Savybė padalyti sveikąjį skaičių a iš dviejų sveikųjų skaičių b ir c sandaugos (skaičiai a , b ir c yra tokie, kad galima a dalyti iš b c): a:(b c)=(a:b)c=(a :c)·b .
• Bet kokios kitos sveikųjų skaičių dalijimo savybės.