Kaip racionaliai apskaičiuoti. Racionaliųjų skaičių sudėjimas ir atėmimas

Tolimoje praeityje, kai skaičių sistema dar nebuvo išrasta, žmonės viską skaičiavo ant pirštų. Atsiradus aritmetikai ir matematikos pagrindams, sekti prekes, gaminius, namų apyvokos daiktus tapo daug lengviau ir praktiškiau. Tačiau kaip atrodo šiuolaikinė skaičiavimo sistema: į kokius tipus skirstomi esami skaičiai ir ką reiškia „racionali skaičių forma“? Išsiaiškinkime.

Kiek skaičių rūšių yra matematikoje?

Pati „skaičiaus“ sąvoka reiškia tam tikrą bet kurio objekto vienetą, apibūdinantį jo kiekybinius, lyginamuosius ar eilinius rodiklius. Norint teisingai apskaičiuoti tam tikrų dalykų skaičių ar atlikti tam tikrus matematinius veiksmus su skaičiais (sudėti, padauginti ir pan.), pirmiausia turėtumėte susipažinti su tų pačių skaičių atmainomis.

Taigi esamus skaičius galima suskirstyti į šias kategorijas:

1. Natūralūs skaičiai yra tie skaičiai, su kuriais skaičiuojame objektų skaičių (mažiausias natūralusis skaičius yra 1, logiška, kad natūraliųjų skaičių serija yra begalinė, t.y. nėra didžiausio natūraliojo skaičiaus). Natūraliųjų skaičių aibė paprastai žymima raide N.
2. Sveiki skaičiai. Šiame rinkinyje yra viskas, o neigiamos reikšmės taip pat pridedamos, įskaitant skaičių „nulis“. Sveikųjų skaičių aibės žymėjimas rašomas kaip lotyniška raidė Z.
3. Racionalieji skaičiai yra tie, kuriuos mintyse galime paversti trupmena, kurios skaitiklis priklausys sveikųjų skaičių aibei, o vardiklis – natūraliųjų skaičių aibei. Žemiau mes išsamiau apžvelgsime, ką reiškia „racionalus skaičius“, ir pateiksime keletą pavyzdžių.
4. - rinkinys, į kurį įeina visi racionalūs ir Šis rinkinys žymimas raide R.
5. Kompleksiniuose skaičiuose yra dalis tikrojo skaičiaus ir dalis kintamojo skaičiaus. Jie naudojami sprendžiant įvairias kubines lygtis, kurios savo ruožtu gali turėti neigiamą išraišką formulėse (i 2 = -1).

Ką reiškia „racionalus“: pažvelkime į pavyzdžius

Jei tie skaičiai, kuriuos galime pavaizduoti kaip paprastąją trupmeną, yra laikomi racionaliais, tada paaiškėja, kad visi teigiami ir neigiami sveikieji skaičiai taip pat yra įtraukti į racionalių skaičių. Juk bet koks sveikas skaičius, pavyzdžiui, 3 arba 15, gali būti pavaizduotas trupmena, kur vardiklis yra vienas.

Trupmenos: -9/3; 7/5, 6/55 yra racionalių skaičių pavyzdžiai.

Ką reiškia „racionali išraiška“?

Pirmyn. Jau aptarėme, ką reiškia racionali skaičių forma. Dabar įsivaizduokime matematinę išraišką, kurią sudaro įvairių skaičių ir kintamųjų suma, skirtumas, sandauga arba koeficientas. Štai pavyzdys: trupmena, kurioje skaitiklis yra dviejų ar daugiau sveikųjų skaičių suma, o vardiklyje yra ir sveikasis skaičius, ir tam tikras kintamasis. Būtent tokia išraiška vadinama racionalia. Remdamiesi taisykle „negalite dalyti iš nulio“, galite spėti, kad šio kintamojo reikšmė negali būti tokia, kad vardiklio reikšmė taptų nuliu. Todėl, spręsdami racionalią išraišką, pirmiausia turite nustatyti kintamojo diapazoną. Pavyzdžiui, jei vardiklis turi tokią išraišką: x+5-2, tada paaiškėja, kad „x“ negali būti lygus -3. Iš tiesų, šiuo atveju visa išraiška virsta nuliu, todėl sprendžiant būtina neįtraukti šio kintamojo sveikąjį skaičių -3.

Kaip teisingai išspręsti racionaliąsias lygtis?

Racionaliosiose išraiškose gali būti gana daug skaičių ir net 2 kintamieji, todėl kartais jas išspręsti pasidaro sunku. Norint palengvinti tokios išraiškos sprendimą, rekomenduojama tam tikras operacijas atlikti racionaliai. Taigi, ką reiškia „racionaliai“ ir kokias taisykles reikėtų taikyti priimant sprendimą?

1. Pirmasis tipas, kai pakanka tik supaprastinti išraišką. Norėdami tai padaryti, galite sumažinti skaitiklį ir vardiklį iki nesumažinamos reikšmės. Pavyzdžiui, jei skaitiklyje yra išraiška 18x, o vardiklyje 9x, tada, sumažinę abu eksponentus 9x, tiesiog gauname sveikąjį skaičių, lygų 2.
2. Antrasis metodas yra praktiškas, kai skaitiklyje turime mononomą, o vardiklyje – daugianarį. Pažiūrėkime į pavyzdį: skaitiklyje turime 5x, o vardiklyje - 5x + 20x 2. Šiuo atveju geriausia vardiklyje esantį kintamąjį išimti iš skliaustų, gauname tokią vardiklio formą: 5x(1+4x). Dabar galite naudoti pirmąją taisyklę ir supaprastinti išraišką 5x atšaukdami skaitiklį ir vardiklį. Dėl to gauname formos 1/1+4x trupmeną.

Kokias operacijas galite atlikti su racionaliais skaičiais?

Racionaliųjų skaičių aibė turi keletą savų savybių. Daugelis jų yra labai panašios į sveikųjų ir natūraliųjų skaičių charakteristikas, nes pastarieji visada įtraukiami į racionalių skaičių. Štai keletas racionaliųjų skaičių savybių, kurias žinodami galite lengvai išspręsti bet kokią racionalią išraišką.

1. Komutacinė savybė leidžia susumuoti du ar daugiau skaičių, neatsižvelgiant į jų eilę. Paprasčiau tariant, pakeitus terminų vietas, suma nesikeičia.
2. Paskirstymo savybė leidžia išspręsti problemas naudojant paskirstymo dėsnį.
3. Ir galiausiai, sudėjimo ir atimties operacijos.

Netgi moksleiviai žino, ką reiškia „racionali skaičių forma“ ir kaip pagal tokias išraiškas spręsti uždavinius, todėl išsilavinusiam suaugusiam žmogui tereikia atsiminti bent jau racionaliųjų skaičių aibės pagrindus.

Kožinova Anastasija

SAVIVALDYBĖS NETIPINIS BIUDŽETAS

BENDROJI UGDYMO ĮSTAIGA

"LICEUM Nr. 76"

KAS YRA RACIONALIOS APSKAITOS PASLAPTIS?

Atlikta:

5 „B“ klasės mokinys

Kožinova Anastasija

Prižiūrėtojas:

Matematikos mokytojas

Ščiklina Tatjana

Nikolajevna

Novokuznetskas 2013 m

Įvadas………………………………………………………… 3

Pagrindinė dalis………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Išvada ir išvados…………………………………………………………….. 13-14

Literatūra……………………………………………………………… 15

Programos……………………………………………………. 16-31

aš. Įvadas

Problema: skaitinių išraiškų reikšmių radimas

Darbo tikslas: esamų racionalios apskaitos metodų ir technikų paieška, studijavimas, jų taikymas praktikoje.

Užduotys:

1. Atlikite nedidelį tyrimą paralelinių klasių apklausos forma.

2. Išanalizuoti tyrimo temą: mokyklos bibliotekoje turima literatūra, informacija matematikos vadovėlyje 5 klasei, internete.

3. Pasirinkti efektyviausius racionalaus skaičiavimo būdus ir priemones.

4. Klasifikuokite esamus greito skaičiavimo žodžiu ir raštu būdus.

5. Sukurkite priminimus, kuriuose būtų racionalių skaičiavimo metodų, skirtų naudoti 5 klasės paraleliuose.

Tyrimo objektas: racionali sąskaita.

Studijų dalykas: racionalaus skaičiavimo metodai.

Siekdamas užtikrinti tiriamojo darbo efektyvumą, taikiau šiuos metodus: informacijos, gautos iš įvairių išteklių, analizė, sintezė, apibendrinimas; sociologinė apklausa anketos forma. Anketą parengiau aš, atsižvelgdamas į tyrimo tikslą ir uždavinius, respondentų amžių, pateikiama pagrindinėje darbo dalyje.

Atliekant tiriamąjį darbą buvo svarstomi klausimai, susiję su racionalaus skaičiavimo metodais ir technikomis, pateiktos rekomendacijos, kaip pašalinti skaičiavimo įgūdžių problemas ir formuoti skaičiavimo kultūrą.

II. Pagrindinė dalis

Mokinių skaičiavimo kultūros formavimas

5-6 klasės.

Akivaizdu, kad racionalūs skaičiavimo metodai yra būtinas skaičiavimo kultūros elementas kiekvieno žmogaus gyvenime, pirmiausia dėl savo praktinės reikšmės, o mokiniams to reikia kone kiekvienoje pamokoje.

Skaičiavimo kultūra yra matematikos ir kitų akademinių disciplinų studijų pagrindas, nes be to, kad skaičiavimai aktyvina atmintį ir dėmesį, padeda racionaliai organizuoti veiklą ir daro didelę įtaką žmogaus raidai.

Kasdieniame gyvenime, klasėse, kai vertinga kiekviena minutė, labai svarbu greitai ir racionaliai atlikti skaičiavimus žodžiu ir raštu, neklystant ir nenaudojant jokių papildomų skaičiavimo priemonių.

Mes, moksleiviai, su šia problema susiduriame visur: klasėje, namuose, parduotuvėje ir pan. Be to, po 9 ir 11 klasių turėsime laikyti egzaminus IGA ir Vieningo valstybinio egzamino forma, kur negalima naudoti mikroskaičiuotuvo. Todėl kiekvieno žmogaus skaičiavimo kultūros, kurios elementas yra racionalaus skaičiavimo technikos įsisavinimas, kūrimo problema tampa nepaprastai svarbi.

Ypač būtina įvaldyti racionalaus skaičiavimo būdus

studijuojant tokius dalykus kaip matematika, istorija, technologijos, informatika ir kt., tai yra, racionalus skaičiavimas padeda įsisavinti susijusius dalykus, geriau orientuotis studijuojamoje medžiagoje, gyvenimo situacijose. Taigi ko mes laukiame? Leiskitės į racionalaus skaičiavimo technikos paslapčių pasaulį!!!

Su kokiomis problemomis susiduria studentai, atlikdami skaičiavimus?

Mano amžiaus bendraamžiams dažnai kyla problemų atliekant įvairias užduotis, kurias atliekant reikia greitai ir patogiai atlikti skaičiavimus . Kodėl???

Štai keletas spėjimų:

1. Mokinys gerai nesuprato nagrinėtos temos

2. Mokinys medžiagos nekartoja.

3. Mokinys turi prastus skaičiavimo įgūdžius.

4. Studentas nenori studijuoti šios temos

5. Mokinys mano, kad jam tai nebus naudinga.

Visas šias prielaidas paėmiau iš savo patirties ir savo klasės draugų bei bendraamžių patirties. Tačiau atliekant skaičiavimo pratimus racionalaus skaičiavimo įgūdžiai vaidina svarbų vaidmenį, todėl studijavau, pritaikiau ir noriu supažindinti jus su kai kuriais racionalaus skaičiavimo būdais.

Racionalūs skaičiavimo žodžiu ir raštu metodai.

Darbe ir kasdieniame gyvenime nuolat kyla įvairių skaičiavimų poreikis. Naudojant paprasčiausius protinio skaičiavimo metodus mažėja nuovargis, lavinamas dėmesys ir atmintis. Norint padidinti darbo sąnaudas, tikslumą ir skaičiavimų greitį, būtina naudoti racionalius skaičiavimo metodus. Skaičiavimų greitį ir tikslumą galima pasiekti tik racionaliai naudojant skaičiavimų mechanizavimo metodus ir priemones, taip pat teisingai naudojant minties skaičiavimo metodus.

aš. Supaprastinto skaičių pridėjimo būdai

Yra žinomi keturi papildymo būdai, kurie gali pagreitinti skaičiavimus.

Nuosekliojo papildymo bitais metodas naudojamas protiniuose skaičiavimuose, nes supaprastina ir pagreitina terminų sumavimą. Naudojant šį metodą, sudėjimas pradedamas nuo didžiausių skaitmenų: prie pirmojo sudėjimo pridedami atitinkami antrojo papildymo skaitmenys.

Pavyzdys. Raskime skaičių 5287 ir 3564 sumą naudodami nuoseklaus bitų sudėjimo metodą.

Sprendimas. Skaičiavimą atliksime tokia seka:

5 287 + 3 000 = 8 287;

8 287 + 500 = 8 787;

8 787 + 60 = 8 847;

8 847 + 4 = 8 851.

Atsakymas: 8 851. (kombinacinė-komutacinė teisė)

Kitas nuoseklaus bitų pridėjimo būdas susideda iš to, kad aukščiausias antrojo termino skaitmuo pridedamas prie aukščiausio pirmojo termino skaitmens, tada kitas antrojo termino skaitmuo pridedamas prie kito pirmojo termino skaitmens ir pan.

Panagrinėkime šį sprendimą naudodami pateiktą pavyzdį, gausime:

5 000 + 3 000 = 8 000;

200 + 500 = 700;

Atsakymas: 8851.

Apvalių skaičių metodas . Skaičius, kuris turi vieną reikšminį skaitmenį ir baigiasi vienu ar daugiau nulių, vadinamas apvaliu skaičiumi. Šis metodas naudojamas, kai iš dviejų ar daugiau terminų galite pasirinkti tuos, kuriuos galima užpildyti, kad susidarytų apvalus skaičius. Skirtumas tarp apvalaus skaičiaus ir skaičiavimo sąlygoje nurodyto skaičiaus vadinamas papildiniu. Pavyzdžiui, 1000 – 978 = 22. Šiuo atveju skaičius 22 yra aritmetinis 978 prie 1000 pridėjimas.

Norėdami atlikti sudėjimą apvalių skaičių metodu, turite suapvalinti vieną ar daugiau terminų, artimų apvaliems skaičiams, atlikti apvalių skaičių sudėjimą ir iš gautos sumos atimti aritmetinius priedus.

Pavyzdys. Apvalių skaičių metodu raskime skaičių 1,238 ir 193 sumą.

Sprendimas. Suapvalinkime skaičių 193 iki 200 ir sudėkite taip: 1 238 + 193 = (1 238 + 200) - 7 = 1 431 (kombinuotas dėsnis).

Terminų grupavimo metodas . Šis metodas naudojamas tuo atveju, kai terminai, sugrupuoti kartu, suteikia apvalius skaičius, kurie vėliau sumuojami.

Pavyzdys. Raskime skaičių 74, 32, 67, 48, 33 ir 26 sumą.

Sprendimas. Susumuokite skaičius, sugrupuotas taip: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

(kombinacinė-komutacinė teisė)

arba, kai sugrupavus skaičius gaunamos vienodos sumos:

Pavyzdys: 1+2+3+4+5+…+97+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…=101x50=5050

(kombinacinė-komutacinė teisė)

II. Supaprastinto skaičių atėmimo būdai

Nuosekliosios bitinės atimties metodas. Šis metodas nuosekliai atima kiekvieną skaitmenį, atimtą iš minuend. Jis naudojamas, kai skaičių negalima suapvalinti.

Pavyzdys. Raskime skirtumą tarp skaičių 721 ir 398.

Sprendimas. Atlikime veiksmus, kad surastume nurodytų skaičių skirtumą tokia seka:

Įsivaizduokime skaičių 398 kaip sumą: 300 + 90 + 8 = 398;

Atlikime bitinę atimtį:

721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

Apvalių skaičių metodas . Šis metodas naudojamas, kai dalis yra artima apvaliam skaičiui. Norint apskaičiuoti, reikia iš minuend atimti subtrahendą, paimtą kaip apvalų skaičių, ir pridėti aritmetinį priedą prie gauto skirtumo.

Pavyzdys. Apskaičiuokime skirtumą tarp skaičių 235 ir 197 apvalių skaičių metodu.

Sprendimas. 235–197 = 235–200 + 3 = 38.

III. Supaprastinto skaičių daugybos būdai

Padauginkite iš vieneto ir nulių. Dauginant skaičių iš skaičiaus, kuriame yra vienas, po kurio seka nuliai (10; 100; 1000 ir t. t.), dešinėje pridedama tiek nulių, kiek yra koeficiente po vieneto.

Pavyzdys. Raskime skaičių 568 ir 100 sandaugą.

Sprendimas. 568 x 100 = 56 800.

Nuosekliojo daugybos bitais metodas . Šis metodas naudojamas dauginant skaičių iš bet kurio vienaženklio skaičiaus. Jei reikia padauginti dviženklį (trijų, keturženklį ir kt.) skaičių iš vienaženklio skaičiaus, pirmiausia vienženklis koeficientas padauginamas iš kito koeficiento dešimčių, tada iš jo vienetų ir gauti produktai sumuojami.

Pavyzdys. Raskime skaičių 39 ir 7 sandaugą.

Sprendimas. 39 x 7 = (30+9) x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273. (daugybos ir sudėjimo pasiskirstymo dėsnis)

Apvalių skaičių metodas . Šis metodas naudojamas tik tada, kai vienas iš veiksnių yra artimas apvaliam skaičiui. Daugiklis padauginamas iš apvalaus skaičiaus, o po to iš aritmetinio sudėjimo, o pabaigoje antrasis atimamas iš pirmosios sandaugos.

Pavyzdys. Raskime skaičių 174 ir 69 sandaugą.

174 x 69 = 174 x (70-1) = 174 x 70 - 174 x 1 = 12 180 - 174 = 12 006 (daugybos ir atimties skirstymo dėsnis).

Vieno iš faktorių skaidymo metodas. Taikant šį metodą, vienas iš faktorių pirmiausia suskaidomas į dalis (pridedamas), tada antrasis veiksnys paeiliui dauginamas iš kiekvienos pirmojo faktoriaus dalies ir sumuojami gauti produktai.

Pavyzdys. Raskime skaičių 13 ir 325 sandaugą.

Išskaidykime skaičių 13 į narius: 13 = 10 + 3. Kiekvieną gautą narį padauginkite iš 325: 10 x 325 = 3 250; 3 x 325 = 975. Susumuojame gautus produktus: 3 250 + 975 = 4 225

Įvaldę racionalaus protinio skaičiavimo įgūdžius, jūsų darbas taps efektyvesnis. Tai įmanoma tik gerai įvaldžius visas pateiktas aritmetines operacijas. Racionalių skaičiavimo metodų naudojimas pagreitina skaičiavimus ir užtikrina reikiamą tikslumą. Tačiau reikia ne tik mokėti skaičiuoti, bet ir žinoti daugybos lentelę, aritmetinių veiksmų dėsnius, klases ir rangus.

Yra protinio skaičiavimo sistemų, kurios leidžia greitai ir racionaliai skaičiuoti žodžiu. Apžvelgsime keletą dažniausiai naudojamų technikų.

1. Dviejų skaitmenų skaičių padauginkite iš 11.

Mes ištyrėme šį metodą, bet ne iki galo Šio metodo paslaptis ta, kad jį galima laikyti aritmetinių operacijų dėsniais.

Pavyzdžiai:

23x11 = 23x(10+1) = 23x10+23x1 = 253 (daugybos ir sudėjimo pasiskirstymo dėsnis)

23x11=(20+3)x 11=20x11+3x11=253 (paskirstymo dėsnis ir apvalių skaičių metodas)

Mes studijavome šį metodą, bet nežinojome kito Paslaptis, kaip dviženklius skaičius padauginti iš 11.

Stebėdamas gautus rezultatus dviženklius skaičius padauginus iš 11, pastebėjau, kad yra patogesnis būdas gauti atsakymą : dauginant dviženklį skaičių iš 11, šio skaičiaus skaitmenys perkeliami vienas nuo kito, o šių skaitmenų suma dedama į vidurį.

a) 23 11=253, nes 2+3=5;

b) 45 11=495, nes 4+5=9;

c) 57 11=627, nes 5+7=12, du dedami į vidurį, o vienas – į šimtuką;

d) 78 11=858, kadangi 7+8=15, tai dešimčių skaičius bus lygus 5, o šimtukų skaičius padidės vienu ir bus lygus 8.

Internete radau šio metodo patvirtinimą.

2) Dviženklių skaičių, turinčių vienodą dešimčių skaičių ir jų vienetų sumą, sandauga yra 10, ty 23 27; 34 36; 52 58 ir kt.

Taisyklė: dešimties skaitmuo dauginamas iš kito natūraliosios eilutės skaitmens, rezultatas užrašomas ir prie jo pridedama vienetų sandauga.

a) 23 27=621. Kaip gavai 621? Skaičių 2 padauginame iš 3 (po „du“ seka „trys“), jis tampa 6, o šalia pridedame vienetų sandaugą: 3 7 = 21, pasirodo 621.

b) 34 36 = 1224, kadangi 3 4 = 12, skaičiui 12 priskiriame 24, tai yra šių skaičių vienetų sandauga: 4 6.

c) 52 58 = 3016, nes dešimties skaitmenį 5 padauginame iš 6, tai bus 30, priskiriame sandaugą iš 2 ir 8, ty 16.

d) 61 69=4209. Aišku, kad 6 buvo padaugintas iš 7 ir gavome 42. Iš kur atsiranda nulis? Vienetai buvo padauginti ir gavome: 1 9 = 9, tačiau rezultatas turi būti dviženklis, todėl imame 09.

3) Triženklių skaičių, susidedančių iš vienodų skaitmenų, dalijimas iš skaičiaus 37. Rezultatas lygus šių vienodų triženklio skaičiaus skaitmenų sumai (arba skaičiui, lygiam tris kartus triženklio skaičiaus skaitmeniui).

Pavyzdžiai: a) 222:37=6. Tai yra suma 2+2+2=6; b) 333:37=9, nes 3+3+3=9.

c) 777:37=21, t.y. 7+7+7=21.

d) 888:37=24, nes 8+8+8=24.

Taip pat atsižvelgiame į tai, kad 888:24=37.

III. Išvada

Norėdamas atskleisti pagrindinę savo darbo temos paslaptį, turėjau sunkiai dirbti – ieškoti, analizuoti informaciją, apklausti klasės draugus, kartoti anksti žinomus metodus ir rasti daug nepažįstamų racionalaus skaičiavimo metodų ir galiausiai suprasti. kokia jo paslaptis? Ir supratau, kad svarbiausia žinoti ir mokėti taikyti žinomus, rasti naujus racionalius skaičiavimo metodus, daugybos lentelę, skaičių (klasių ir rangų) sudėtį, aritmetinių veiksmų dėsnius. Be to,

ieškoti naujų būdų:

- Supaprastinto skaičių pridėjimo būdai: (nuoseklaus bitų sudėjimo metodas; apvalaus skaičiaus metodas; vieno iš veiksnių skaidymo į terminus metodas);

-Supaprastinto skaičių atėmimo būdai(nuoseklios bitinės atimties metodas; apvalių skaičių metodas);

-Supaprastinto skaičių daugybos būdai(daugyba iš vieno ir nulių; nuoseklaus bitinio daugybos metodas; apvalių skaičių metodas; vieno iš veiksnių skaidymo metodas ;

- Greito protinio skaičiavimo paslaptys(dviženklį skaičių dauginant iš 11: dviženklį skaičių padauginus iš 11, šio skaičiaus skaitmenys perkeliami vienas nuo kito, o šių skaitmenų suma dedama į vidurį; dviženklių skaičių sandauga, kuri turi tas pats dešimčių skaičius, o jų suma yra 10 Triženklių skaičių, susidedančių iš tų pačių skaitmenų, padalijimas į skaičių 37. Tokių metodų tikriausiai yra daug daugiau, todėl toliau dirbsiu šia tema; metų.

IV. Bibliografija

1. Savinas A. P. Matematinės miniatiūros / A. P. Savinas. – M.: Vaikų literatūra, 1991 m

2. Zubareva I.I., Matematika, 5 klasė: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / I.I.Zubareva, A.G. Mordkovičius. – M.: Mnemosyne, 2011 m

4. http:// www. xreferat.ru

5. http:// www. biografia.ru

6. http:// www. Matematika-kartojimas. ru

V. Programos

Mini tyrimas (apklausa anketos forma)

Norėdamas išsiaiškinti mokinių žinias apie racionalų skaičiavimą, atlikau anketos formą šiais klausimais:

* Ar žinote, kas yra racionalaus skaičiavimo technika?

* Jei taip, tai iš kur, o jei ne, tai kodėl?

* Kiek žinote racionalaus skaičiavimo būdų?

* Ar jums sunku protiškai skaičiuoti?

* Kaip mokaisi matematikos? a) iki „5“; b) iki „4“; c) į „3“

*Kas tau labiausiai patinka matematikoje?

a) pavyzdžiai; b) užduotys; c) trupmenos

* Kaip manote, kur, be matematikos, gali būti naudinga protinė aritmetika? *Ar prisimeni aritmetinių veiksmų dėsnius ir jei taip, kokius?

Atlikusi apklausą supratau, kad mano klasės draugai nepakankamai išmano aritmetinių veiksmų dėsnius, dauguma turi problemų su racionaliu skaičiavimu, daugelis mokinių skaičiuoja lėtai ir su klaidomis, o visi nori išmokti skaičiuoti greitai, teisingai ir patogiu būdu. Todėl mano tiriamojo darbo tema yra itin svarbi visiems studentams ir ne tik.

1. Įdomūs skaičiavimo metodai žodžiu ir raštu, kuriuos mokėmės matematikos pamokose, pasitelkę pavyzdžius iš vadovėlio „Matematika, 5 klasė“:

Štai keletas iš jų:

greitai padauginti skaičių iš 5, pakanka pastebėti, kad 5=10:2.

Pavyzdžiui, 43x5=(43x10):2=430:2=215;

48x5=(48:2)x10=24x10=240.

Norėdami padauginti skaičių iš 50 , galite padauginti iš 100 ir padalyti iš 2.

Pavyzdžiui: 122x50=(122x100):2=12200:2=6100

Norėdami padauginti skaičių iš 25 , galite padauginti iš 100 ir padalyti iš 4,

Pavyzdžiui, 32x25=(32x100):4=3200:4=800

Norėdami padauginti skaičių iš 125 , galite padauginti iš 1000 ir padalyti iš 8,

Pavyzdžiui: 192x125=(192x1000):8=192000:8=24000

Apvalų skaičių, kurio pabaigoje yra du 0, padalyti iš 25 , galite padalyti iš 100 ir padauginti iš 4.

Pavyzdžiui: 2400:25=(2400:100) x 4=24 x 4=96

Apvalų skaičių padalyti iš 50 , galima padalyti iš 100 ir padauginti iš 2

Pavyzdžiui: 4500:50=(4500:100) x 2 =45 x 2 =90

Bet reikia ne tik mokėti skaičiuoti, bet ir žinoti daugybos lentelę, aritmetinių operacijų dėsnius, skaičių (klasių ir skaitmenų) sudėtį bei turėti įgūdžių jais naudotis.

Aritmetinių operacijų dėsniai.

a + b = b + a

Komutacinis sudėjimo dėsnis

(a + b) + c = a + (b + c)

Sudėjimo dėsnis

a · b = b · a

Komutacinis daugybos dėsnis

(a · b) · c = a · (b · c)

Kombinuotasis daugybos dėsnis

(a = b) · c = a · c = b · c

Daugybos pasiskirstymo dėsnis (susidėjus)

Daugybos lentelė.

Kas yra daugyba?

Tai protingas papildymas.

Juk protingiau padauginti kartų,

Tada sudėkite viską valandą.

Daugybos lentelė

Mums visiems to reikia mūsų gyvenime.

Ir tai ne veltui vadinama

Ji PAdaugėjo!

Reitingas ir klasės

Kad būtų patogu skaityti ir prisiminti skaičius su didelėmis reikšmėmis, jie turėtų būti suskirstyti į vadinamąsias „klases“: pradedant iš dešinės, skaičius tarpo dalijamas į tris skaitmenis „pirma klasė“, tada į kitą. pasirenkami trys skaitmenys, „antra klasė“ ir kt. Priklausomai nuo skaičiaus reikšmės, paskutinė klasė gali baigtis trimis, dviem arba vienu skaitmeniu.

Pavyzdžiui, skaičius 35461298 rašomas taip:

Šis skaičius yra padalintas į klases:

482 – pirmoji klasė (vienetų klasė)

630 – antra klasė (tūkstantinė)

35 – trečia klasė (milijonų klasė)

Iškrovimas

Kiekvienas į klasę įtrauktas skaitmuo vadinamas jo skaitmeniu, kuris taip pat skaičiuojamas iš dešinės.

Pavyzdžiui, skaičių 35 630 482 galima suskirstyti į klases ir rangus:

482 – pirma klasė

2 – pirmasis skaitmuo (vieneto skaitmuo)

8 – antrasis skaitmuo (dešimtoji vieta)

4 – trečias skaitmuo (šimtas vieta)

630 – antra klasė

0 – pirmasis skaitmuo (tūkstančiai skaitmenų)

3 – antrasis skaitmuo (dešimties tūkstančių skaitmenų)

6 – trečias skaitmuo (šimtai tūkstančių skaitmenų)

35 – trečia klasė

5 – pirmasis skaitmuo (milijonų skaitmenų)

3 – antrasis skaitmuo (dešimties milijonų skaitmenų)

Skaitomas skaičius 35 630 482:

Trisdešimt penki milijonai šeši šimtai trisdešimt tūkstančiai keturi šimtai aštuoniasdešimt du.

Problemos su racionaliu skaičiavimu ir kaip jas išspręsti

Racionalūs įsiminimo būdai.

Apklausos ir stebėjimų iš pamokų rezultatas, pastebėjau, kad dalis mokinių prastai sprendžia įvairias problemas ir pratimus, nes nėra susipažinę su racionaliais skaičiavimo metodais.

1. Viena iš technikų – tiriamą medžiagą suvesti į sistemą, kurią būtų patogu įsiminti ir saugoti atmintyje.

2. Tam, kad įsiminta medžiaga būtų išsaugota atmintimi tam tikroje sistemoje, reikia atlikti tam tikrą darbą su jos turiniu.

3. Tada galite pradėti įsisavinti kiekvieną atskirą teksto dalį, perskaitydami ją iš naujo ir bandydami iš karto atkurti (kartoti sau arba garsiai) tai, ką perskaitėte.

4. Didelę reikšmę įsiminimui turi medžiagos kartojimas. Apie tai kalba populiari patarlė: „Kartojimas yra mokymosi motina“. Bet tai turi būti kartojama protingai ir teisingai.

Kartojimo darbą būtina pagyvinti naudojant iliustracijas ar pavyzdžius, kurių anksčiau nebuvo arba kurie jau buvo pamiršti.

Remdamiesi tuo, kas išdėstyta, galime trumpai suformuluoti tokias rekomendacijas, kaip sėkmingai įsisavinti mokomąją medžiagą:

1. Išsikelkite užduotį, greitai ir tvirtai įsiminkite mokomąją medžiagą ilgam.

2. Sutelkti dėmesį į tai, ko reikia išmokti.

3. Gerai suprasti studijų medžiagą.

4. Sudarykite mintinai išmokto teksto planą, išryškindami jame pagrindines mintis, ir suskaidykite tekstą į dalis.

5. Jei medžiaga didelė, nuosekliai įsisavinkite vieną dalį po kitos, o tada pateikite viską kaip visumą.

6. Perskaičius medžiagą reikia ją atgaminti (papasakoti, ką perskaitėte).

7. Pakartokite medžiagą, kol ji neužmiršta.

8. Paskirstykite kartojimą ilgesniam laikui.

9. Įsimindami naudokite įvairių tipų atmintį (pirmiausia semantinę) ir kai kurias individualias savo atminties savybes (vaizdinę, girdimąją ar motorinę).

10. Sunkią medžiagą reikia kartoti prieš miegą, o paskui ryte, „kad atminty būtų nauja“.

11. Pasistenkite įgytas žinias pritaikyti praktikoje. Tai geriausias būdas juos išsaugoti atmintyje (ne be reikalo sakoma: „Tikroji mokymosi motina yra ne kartojimas, o taikymas“).

12. Turime įgyti daugiau žinių, išmokti ko nors naujo.

Dabar jūs išmokote, kaip greitai ir teisingai atsiminti studijuotą medžiagą.

Įdomus būdas kai kuriuos skaičius padauginti iš 9 kartu pridedant iš eilės natūraliuosius skaičius nuo 2 iki 10

12345x9+6=111111

123456x9+7=1111111

1234567x9+8=11111111

12345678x9+9=111111111

123456789x9+10=1111111111

Įdomus žaidimas „Atspėk skaičių“

Ar žaidėte žaidimą „Atspėk skaičių“? Tai labai paprastas žaidimas. Tarkime, aš galvoju apie natūralųjį skaičių, mažesnį nei 100, užsirašau ant popieriaus (kad nebūtų galimybės apgauti), o jūs bandote atspėti užduodami klausimus, į kuriuos galima atsakyti tik „taip“ arba „ne“. . Tada tu atspėji skaičių, o aš bandau jį atspėti. Laimi tas, kuris teisingai atspėja pagal mažiau klausimų.

Kiek klausimų prireiks, kad atspėtumėte mano numerį? Nežinau? Įsipareigoju atspėti jūsų skaičių užduodamas vos septynis klausimus. Kaip? Štai kaip, pavyzdžiui. Leiskite atspėti skaičių. Klausiu: „Ar mažiau nei 64? - "Taip". - "Mažiau nei 32?" - "Taip". - "Mažiau nei 16?" - "Taip". - "Mažiau nei 8?" - "Ne". - "Mažiau nei 12?" - "Ne". - "Mažiau nei 14?" - "Taip". - "Mažiau nei 13?" - "Ne". - „Skaičius 13 yra planuojamas“.

Tai aišku? Galimų skaičių aibę padalijau per pusę, tada likusią pusę vėl per pusę ir taip toliau, kol likutyje yra vienas skaičius.

Jei žaidimas jums patiko arba, priešingai, norite daugiau, eikite į biblioteką ir pasiimkite knygą „A. P. Savinas (Matematinės miniatiūros). Šioje knygoje rasite daug įdomių ir įdomių dalykų. Knygos vaizdas:

Ačiū visiems už dėmesį

Ir linkiu sėkmės!!!

Parsisiųsti:

Peržiūra:

Norėdami naudoti pristatymų peržiūras, susikurkite „Google“ paskyrą ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

Kokia racionalaus skaičiavimo paslaptis?

Darbo tikslas: informacijos paieška, esamų racionalios apskaitos metodų ir technikų studijavimas, jų taikymas praktikoje.

Užduotys: 1. Atlikti mini tyrimą paralelinių klasių apklausos forma. 2. Išanalizuoti tiriamąja tema: mokyklos bibliotekoje turima literatūra, informacija matematikos vadovėlyje 5 klasei, taip pat internete. 3. Pasirinkti efektyviausius racionalaus skaičiavimo būdus ir priemones. 4. Klasifikuokite esamus greito skaičiavimo žodžiu ir raštu būdus. 5. Sukurkite atmintines, kuriose yra racionalių skaičiavimo metodų, skirtų naudoti 5 klasės paraleliuose.

Kaip jau sakiau, racionalaus skaičiavimo tema aktuali ne tik mokiniams, bet ir kiekvienam žmogui, norėdama tuo įsitikinti, atlikau apklausą tarp 5 klasės mokinių. Apklausos klausimai ir atsakymai Jums pateikiami priede.

Kas yra racionalus skaičiavimas? Racionali sąskaita yra patogi sąskaita (žodis racionalus reiškia patogus, teisingas)

Kodėl mokiniams sunku???

Štai keletas prielaidų: Studentas: 1. prastai suprato studijuojamą temą; 2. nekartoja medžiagos; 3. turi prastus skaičiavimo įgūdžius; 4 . mano, kad jam to neprireiks.

Racionalūs skaičiavimo žodžiu ir raštu metodai. Darbe ir kasdieniame gyvenime nuolat kyla įvairių skaičiavimų poreikis. Naudojant paprasčiausius protinio skaičiavimo metodus mažėja nuovargis, lavinamas dėmesys ir atmintis.

Yra žinomi keturi papildymo būdai, kurie gali pagreitinti skaičiavimus. I. Supaprastinto skaičių sudėjimo būdai

Nuosekliojo bitų sudėjimo metodas naudojamas protiniuose skaičiavimuose, nes jis supaprastina ir pagreitina terminų sumavimą. Naudojant šį metodą, sudėjimas pradedamas nuo didžiausių skaitmenų: prie pirmojo sudėjimo pridedami atitinkami antrojo papildymo skaitmenys. Pavyzdys. Naudodami šį metodą suraskime skaičių 5287 ir 3564 sumą. Sprendimas. Skaičiavimą atliksime tokia seka: 5 287 + 3 000 = 8 287; 8 287 + 500 = 8 787; 8 787 + 60 = 8 847; 8847 + 4 = 8851. Atsakymas: 8 851.

Kitas nuoseklaus bitų sudėjimo būdas yra tai, kad aukščiausias antrojo sudėjimo skaitmuo pridedamas prie aukščiausio pirmojo sudėjimo skaitmens, tada kitas antrojo sudėjimo skaitmuo pridedamas prie kito pirmojo sudėjimo skaitmens ir pan. Panagrinėkime šį sprendimą naudodamiesi pateiktu pavyzdžiu, gausime: 5 000 + 3 000 = 8 000; 200 + 500 = 700; 80 + 60 = 140; 7 + 4 = 11 Atsakymas: 8851.

Apvalių skaičių metodas. Skaičius, kuris baigiasi vienu ar daugiau nulių, vadinamas apvaliu skaičiumi. Šis metodas naudojamas, kai iš dviejų ar daugiau terminų galite pasirinkti tuos, kuriuos galima užpildyti, kad susidarytų apvalus skaičius. Skirtumas tarp apvalaus skaičiaus ir skaičiavimo sąlygoje nurodyto skaičiaus vadinamas papildiniu. Pavyzdžiui, 1 000 – 978 = 22. Šiuo atveju skaičius 22 yra aritmetinis skaičiaus 978 pridėjimas prie 1 000. Norėdami atlikti sudėjimą apvalių skaičių metodu, turite suapvalinti vieną ar daugiau terminų, artimų apvaliems skaičiams, atlikti apvalių skaičių sudėjimą ir iš gautos sumos atimti aritmetinius priedus. Pavyzdys. Apvalių skaičių metodu raskime skaičių 1,238 ir 193 sumą. Sprendimas. Suapvalinkime skaičių 193 iki 200 ir sudėkime taip: 1 238 + 193 = (1 238 + 200) - 7 = 1 431.

Terminų grupavimo metodas. Šis metodas naudojamas tuo atveju, kai terminai, sugrupuoti kartu, suteikia apvalius skaičius, kurie vėliau sumuojami. Pavyzdys. Raskite skaičių 74, 32, 67, 48, 33 ir 26 sumą. Sprendimas. Susumuokite skaičius, sugrupuotas taip: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

Sudėjimo metodas, pagrįstas grupavimo terminais. Pavyzdys: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…….+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)= 101x50 = 5050.

II. Supaprastinto skaičių atėmimo būdai

Nuosekliosios bitinės atimties metodas. Šis metodas nuosekliai atima kiekvieną skaitmenį, atimtą iš minuend. Jis naudojamas, kai skaičių negalima suapvalinti. Pavyzdys. Raskime skirtumą tarp skaičių 721 ir 398. Norėdami rasti skirtumą tarp pateiktų skaičių, atlikime veiksmus tokia seka: įsivaizduokite skaičių 398 kaip sumą: 300 + 90 + 8 = 398; Atlikime bitinę atimtį: 721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331–8 = 323.

Apvalių skaičių metodas. Šis metodas naudojamas, kai dalis yra artima apvaliam skaičiui. Norint apskaičiuoti, reikia iš minuend atimti subtrahendą, paimtą kaip apvalų skaičių, ir pridėti aritmetinį priedą prie gauto skirtumo. Pavyzdys. Apskaičiuokime skirtumą tarp skaičių 235 ir 197 apvalių skaičių metodu. Sprendimas. 235–197 = 235–200 + 3 = 38.

III. Supaprastinto skaičių daugybos būdai

Padauginkite iš vieneto ir nulių. Dauginant skaičių iš skaičiaus, kuriame yra vienas, po kurio seka nuliai (10; 100; 1000 ir t. t.), dešinėje pridedama tiek nulių, kiek yra koeficiente po vieneto. Pavyzdys. Raskime skaičių 568 ir 100 sandaugą. Sprendimas. 568 x 100 = 56 800.

Nuosekliojo daugybos bitais metodas. Šis metodas naudojamas dauginant skaičių iš bet kurio vienaženklio skaičiaus. Jei reikia padauginti dviženklį (trijų, keturženklį ir kt.) skaičių iš vienaženklio skaičiaus, tai pirmiausia vienas iš koeficientų dauginamas iš kito koeficiento dešimčių, tada iš jo vienetų ir gauti produktai sumuojami. Pavyzdys. Raskime skaičių 39 ir 7 sandaugą. Sprendimas. 39 x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273.

Apvalių skaičių metodas. Šis metodas naudojamas tik tada, kai vienas iš veiksnių yra artimas apvaliam skaičiui. Daugiklis padauginamas iš apvalaus skaičiaus, o po to iš aritmetinio sudėjimo, o pabaigoje antrasis atimamas iš pirmosios sandaugos. Pavyzdys. Raskime skaičių 174 ir 69 sandaugą. Sprendimas. 174 x 69 = (174 x 70) – (174 x 1) = 12 180 - 174 = 12 006.

Vieno iš faktorių skaidymo metodas. Taikant šį metodą, vienas iš faktorių pirmiausia suskaidomas į dalis (pridedamas), tada antrasis veiksnys paeiliui dauginamas iš kiekvienos pirmojo faktoriaus dalies ir sumuojami gauti produktai. Pavyzdys. Raskime skaičių 13 ir 325 sandaugą. Sprendimas. Išskaidykime skaičių į narius: 13 = 10 + 3. Kiekvieną gautą narį padauginkite iš 325: 10 x 325 = 3 250; 3 x 325 = 975 Susumuojame gautus produktus: 3 250 + 975 = 4 225.

Greito protinio skaičiavimo paslaptys. Yra protinio skaičiavimo sistemų, kurios leidžia greitai ir racionaliai skaičiuoti žodžiu. Apžvelgsime keletą dažniausiai naudojamų technikų.

Dviejų skaitmenų skaičių padauginkite iš 11.

Pavyzdžiai: 23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253 (skirstymo dėsnis, susijęs su sudėjimu) 23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (paskirstymo dėsnis ir apvalių skaičių metodas) šis metodas , bet mes nežinojome kitos paslapties, kaip dviženklius skaičius padauginti iš 11.

Stebėdamas rezultatus, gautus padauginus dviženklį skaičių iš 11, pastebėjau, kad atsakymą galite gauti patogiau: dviženklį skaičių padauginus iš 11, šio skaičiaus skaitmenys perkeliami vienas nuo kito ir jų suma skaitmenys dedami viduryje. Pavyzdžiai. a) 23 11=253, nes 2+3=5; b) 45 11=495, nes 4+5=9; c) 57 11=627, nes 5+7=12, du dedami į vidurį, o vienas – į šimtuką; Internete radau šio metodo patvirtinimą.

2) Dviejų skaitmenų skaičių, turinčių vienodą dešimčių skaičių, o vienetų suma lygi 10, sandauga, ty 23 27; 34 36; 52 58 ir tt Taisyklė: dešimties skaitmuo dauginamas iš kito natūraliosios eilutės skaitmens, rezultatas užrašomas ir prie jo pridedama vienetų sandauga. Pavyzdžiai. a) 23 27=621. Kaip gavai 621? Skaičių 2 padauginame iš 3 (po „du“ seka „trys“), jis tampa 6, o šalia pridedame vienetų sandaugą: 3 7 = 21, pasirodo 621. b) 34 36 = 1224, kadangi 3 4 = 12, skaičiui 12 priskiriame 24, tai yra šių skaičių vienetų sandauga: 4 6.

3) Triženklių skaičių, susidedančių iš vienodų skaitmenų, padalijimas iš skaičiaus 37. Rezultatas lygus šių vienodų triženklio skaičiaus skaitmenų sumai (arba skaičiui, lygiam triženklio skaičiaus skaitmens trigubui). Pavyzdžiai. a) 222:37=6. Tai yra suma 2+2+2=6. b) 333:37=9, nes 3+3+3=9. c) 777:37=21, t.y. 7+7+7=21. d) 888:37=24, nes 8+8+8=24. Taip pat atsižvelgiame į tai, kad 888:24=37.

Įvaldę racionalaus protinio skaičiavimo įgūdžius, jūsų darbas taps efektyvesnis. Tai įmanoma tik gerai įvaldžius visas pateiktas aritmetines operacijas. Racionalių skaičiavimo metodų naudojimas pagreitina skaičiavimus ir užtikrina reikiamą tikslumą.

Išvada Norėdamas atskleisti pagrindinę savo darbo temos paslaptį, turėjau sunkiai dirbti – ieškoti, analizuoti informaciją, apklausti klasės draugus, kartoti anksti žinomus metodus ir rasti daug nepažįstamų racionalaus skaičiavimo metodų, o galiausiai suprasti, kokia jos paslaptis? Ir supratau, kad svarbiausia žinoti ir mokėti pritaikyti žinomus, rasti naujų racionalių skaičiavimo metodų, žinoti daugybos lentelę, skaičių sudėtį (klases ir eiles), aritmetinių veiksmų dėsnius. Be to, ieškokite naujų būdų:

Supaprastinto skaičių sudėjimo būdai: (nuoseklaus bitų sudėjimo metodas; apvalių skaičių metodas; vieno iš veiksnių skaidymo į terminus metodas); - Supaprastinto skaičių atėmimo būdai (nuoseklios bitinės atimties metodas; apvalių skaičių metodas); - Supaprastinto skaičių daugybos būdai (daugyba iš vieneto ir nulių; nuoseklaus bitinio daugybos metodas; apvalių skaičių metodas; vieno iš faktorių skaidymo metodas; - greito protinio skaičiavimo paslaptys (dviženklio skaičiaus dauginimas iš 11: padauginus dviženklį skaičių iš 11, šio skaičiaus skaitmenys perkeliami vienas nuo kito ir į vidurį dedama šių skaitmenų, turinčių vienodą skaičių dešimčių, sandauga ir suma vienetų yra 10; triženklių skaičių, susidedančių iš tų pačių skaitmenų, padalijimas iš skaičiumi 37. Tokių metodų yra daug daugiau, todėl kitais metais dirbsiu šia tema.

Baigdamas savo kalbą norėčiau baigti šiais žodžiais:

Ačiū visiems už dėmesį, linkiu sėkmės!!!

Šiame straipsnyje mes pradėsime tyrinėti racionalūs numeriai. Čia pateiksime racionaliųjų skaičių apibrėžimus, pateiksime reikiamus paaiškinimus ir pateiksime racionaliųjų skaičių pavyzdžių. Po to mes sutelksime dėmesį į tai, kaip nustatyti, ar tam tikras skaičius yra racionalus, ar ne.

Puslapio naršymas.

Racionaliųjų skaičių apibrėžimas ir pavyzdžiai

Šiame skyriuje pateiksime keletą racionaliųjų skaičių apibrėžimų. Nepaisant formuluotės skirtumų, visi šie apibrėžimai turi tą pačią reikšmę: racionalieji skaičiai jungia sveikuosius skaičius ir trupmenas, lygiai kaip sveikieji skaičiai jungia natūraliuosius skaičius, jų priešingybes ir skaičių nulį. Kitaip tariant, racionalūs skaičiai apibendrina sveikuosius ir trupmeninius skaičius.

Pradėkime nuo racionaliųjų skaičių apibrėžimai, kuris suvokiamas natūraliausiai.

Iš pateikto apibrėžimo matyti, kad racionalusis skaičius yra:

• Bet koks natūralusis skaičius n. Iš tiesų, bet kurį natūralųjį skaičių galite pavaizduoti kaip paprastąją trupmeną, pavyzdžiui, 3=3/1.
• Bet koks sveikasis skaičius, ypač skaičius nulis. Tiesą sakant, bet koks sveikasis skaičius gali būti parašytas kaip teigiama trupmena, neigiama trupmena arba nulis. Pavyzdžiui, 26=26/1, .
• Bet kokia bendroji trupmena (teigiama arba neigiama). Tai tiesiogiai patvirtina pateiktas racionaliųjų skaičių apibrėžimas.
• Bet koks mišrus skaičius. Iš tiesų, mišrų skaičių visada galite pateikti kaip netinkamą trupmeną. Pavyzdžiui, ir.
• Bet kokia baigtinė dešimtainė trupmena arba begalinė periodinė trupmena. Taip yra dėl to, kad nurodytos dešimtainės trupmenos paverčiamos paprastosiomis trupmenomis. Pavyzdžiui, ir 0,(3)=1/3.

Taip pat aišku, kad bet kokia begalinė neperiodinė dešimtainė trupmena NĖRA racionalusis skaičius, nes jos negalima pavaizduoti kaip bendrąją trupmeną.

Dabar galime lengvai duoti racionaliųjų skaičių pavyzdžiai. Skaičiai 4, 903, 100 321 yra racionalūs skaičiai, nes jie yra natūralūs skaičiai. Sveikieji skaičiai 58, -72, 0, -833,333,333 taip pat yra racionalių skaičių pavyzdžiai. Paprastosios trupmenos 4/9, 99/3 taip pat yra racionalių skaičių pavyzdžiai. Racionalūs skaičiai taip pat yra skaičiai.

Iš aukščiau pateiktų pavyzdžių aišku, kad yra ir teigiamų, ir neigiamų racionalių skaičių, o racionalusis skaičius nulis nėra nei teigiamas, nei neigiamas.

Aukščiau pateiktą racionaliųjų skaičių apibrėžimą galima suformuluoti glausta forma.

Apibrėžimas.

Racionalūs numeriai yra skaičiai, kuriuos galima užrašyti kaip trupmeną z/n, kur z yra sveikas skaičius, o n yra natūralusis skaičius.

Įrodykime, kad šis racionaliųjų skaičių apibrėžimas yra lygiavertis ankstesniam apibrėžimui. Žinome, kad trupmenos tiesę galime laikyti dalybos ženklu, tada iš sveikųjų skaičių dalijimo savybių ir sveikųjų skaičių padalijimo taisyklių seka šių lygybių galiojimas ir. Taigi, tai yra įrodymas.

Remdamiesi šiuo apibrėžimu, pateiksime racionalių skaičių pavyzdžių. Skaičiai −5, 0, 3 ir yra racionalūs skaičiai, nes juos galima užrašyti kaip trupmenas su sveikuoju skaitikliu ir natūraliu formos vardikliu ir atitinkamai.

Racionaliųjų skaičių apibrėžimas gali būti pateiktas šioje formuluotėje.

Apibrėžimas.

Racionalūs numeriai yra skaičiai, kuriuos galima užrašyti kaip baigtinę arba begalinę periodinę dešimtainę trupmeną.

Šis apibrėžimas taip pat yra lygiavertis pirmajam apibrėžimui, nes kiekviena įprastinė trupmena atitinka baigtinę arba periodinę dešimtainę trupmeną ir atvirkščiai, o bet koks sveikasis skaičius gali būti susietas su dešimtaine trupmena su nuliais po kablelio.

Pavyzdžiui, skaičiai 5, 0, -13 yra racionalių skaičių pavyzdžiai, nes juos galima parašyti kaip šias dešimtaines trupmenas: 5,0, 0,0, -13,0, 0,8 ir -7, (18).

Užbaikime šio punkto teoriją tokiais teiginiais:

• sveikieji skaičiai ir trupmenos (teigiami ir neigiami) sudaro racionaliųjų skaičių aibę;
• kiekvienas racionalusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip trupmena su sveikuoju skaitikliu ir natūraliuoju vardikliu, o kiekviena tokia trupmena reiškia tam tikrą racionalųjį skaičių;
• kiekvienas racionalusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip baigtinė arba begalinė periodinė dešimtainė trupmena, ir kiekviena tokia trupmena reiškia racionalųjį skaičių.

Ar šis skaičius racionalus?

Ankstesnėje pastraipoje išsiaiškinome, kad bet koks natūralusis skaičius, bet koks sveikasis skaičius, bet kuri įprasta trupmena, bet koks mišrus skaičius, bet kokia baigtinė dešimtainė trupmena, taip pat bet kuri periodinė dešimtainė trupmena yra racionalus skaičius. Šios žinios leidžia mums „atpažinti“ racionalius skaičius iš užrašytų skaičių rinkinio.

Bet ką daryti, jei skaičius pateikiamas kaip kai kurie , arba kaip ir tt, kaip atsakyti į klausimą, ar šis skaičius yra racionalus? Daugeliu atvejų labai sunku atsakyti. Nurodykime kai kurias mąstymo kryptis.

Jei skaičius pateikiamas kaip skaitinė išraiška, kurioje yra tik racionalieji skaičiai ir aritmetiniai ženklai (+, −, · ir:), tada šios išraiškos reikšmė yra racionalusis skaičius. Tai išplaukia iš to, kaip apibrėžiamos operacijos su racionaliais skaičiais. Pavyzdžiui, atlikę visas išraiškos operacijas, gauname racionalųjį skaičių 18.

Kartais, supaprastinus išraiškas ir padarius jas sudėtingesnes, tampa įmanoma nustatyti, ar duotas skaičius yra racionalus.

Eikime toliau. Skaičius 2 yra racionalus skaičius, nes bet kuris natūralusis skaičius yra racionalus. O kaip su numeriu? Ar tai racionalu? Pasirodo, ne, tai ne racionalusis skaičius, o neracionalus skaičius (šio fakto prieštaravimo įrodymas pateiktas 8 klasei skirto algebros vadovėlyje, nurodytas žemiau literatūros sąraše). Taip pat įrodyta, kad natūraliojo skaičiaus kvadratinė šaknis yra racionalusis skaičius tik tais atvejais, kai po šaknimi yra skaičius, kuris yra tobulas kurio nors natūraliojo skaičiaus kvadratas. Pavyzdžiui, ir yra racionalūs skaičiai, nes 81 = 9 2 ir 1 024 = 32 2, o skaičiai ir nėra racionalūs, nes skaičiai 7 ir 199 nėra tobuli natūraliųjų skaičių kvadratai.

Ar skaičius racionalus ar ne? Šiuo atveju nesunku pastebėti, kad todėl šis skaičius yra racionalus. Ar skaičius racionalus? Įrodyta, kad sveikojo skaičiaus k-oji šaknis yra racionalusis skaičius tik tada, kai skaičius po šaknies ženklu yra kokio nors sveikojo skaičiaus k-oji laipsnė. Todėl tai nėra racionalus skaičius, nes nėra sveikojo skaičiaus, kurio penktoji laipsnis būtų 121.

Prieštaravimo metodas leidžia įrodyti, kad kai kurių skaičių logaritmai dėl tam tikrų priežasčių nėra racionalūs skaičiai. Pavyzdžiui, įrodykime, kad - nėra racionalus skaičius.

Tarkime, kad tai yra racionalus skaičius, kurį galima parašyti kaip paprastąją trupmeną m/n. Tada pateikiame tokias lygybes: . Paskutinė lygybė neįmanoma, nes kairėje pusėje yra nelyginis skaičius 5 n, o dešinėje pusėje yra lyginis skaičius 2 m. Todėl mūsų prielaida yra neteisinga, todėl nėra racionalus skaičius.

Apibendrinant verta ypač pažymėti, kad nustatant skaičių racionalumą ar neracionalumą, reikėtų susilaikyti nuo staigių išvadų.

Pavyzdžiui, neturėtumėte iš karto teigti, kad iracionaliųjų skaičių π ir e sandauga yra neracionalus skaičius, tai „atrodo akivaizdu“, bet neįrodyta. Tai kelia klausimą: „Kodėl produktas turėtų būti racionalus skaičius? O kodėl gi ne, nes galite pateikti iracionaliųjų skaičių pavyzdį, kurio sandauga duoda racionalųjį skaičių: .

Taip pat nežinoma, ar skaičiai ir daugelis kitų skaičių yra racionalūs, ar ne. Pavyzdžiui, yra neracionalių skaičių, kurių neracionalioji galia yra racionalusis skaičius. Iliustracijai pateikiame formos laipsnį, šio laipsnio bazė ir rodiklis yra ne racionalieji skaičiai, o , o 3 yra racionalus skaičius.

Bibliografija.

• Matematika. 6 klasė: mokomoji. bendrajam lavinimui institucijos / [N. Vilenkinas ir kiti]. - 22 leid., red. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukščiau mokykla, 1984.-351 p., iliustr.

Klasės ypatybės

5 „A“ klasė yra nevienalytė sudėtimi, dalis vaikų gana stiprių žinių, tačiau išsiskiria ir silpni. Apskritai klasė yra energinga, mokiniai domisi ir lengvai seka mokytojo iniciatyvas.

Tema: Racionalūs skaičiavimo metodai (pamoka yra baigiamoji pamoka, vedama po temos: „Supaprastinti posakius“ II ketvirtį, Nr. 3)

Pamokos tipas: medžiagos santrauka

a) edukacinis

• kartoti natūraliųjų skaičių sudėties, atimties, daugybos savybes
• praktikoje įtvirtins žinių teoriją
• parodyti racionalių užduočių atlikimo būdų pranašumą, t.y. parodyti, kad šio projekto kūrimas yra reikalingas ir reikšmingas patiems vaikams
• tobulinti metodų taikymo praktikoje įgūdžius;

b) besivystantis

• ugdyti gebėjimą daryti išvadas, sisteminti medžiagą, lyginti metodus su konkrečiu pastatu, aiškiai formuluoti mintis
• ugdyti gebėjimą reflektuoti savo pažintinę veiklą
• formuoti kūrybinę sąmonę, tikrą aistrą darbui;

c) edukacinis

• ugdyti savarankiškumą, kolektyvizmą, gebėjimą išklausyti vienas kitą, gerbti kitų nuomonę, bet ir sugebėti įrodyti savo.

Įranga: magnetinė lenta ir magnetai, flomasteriai, medžių lapai (albumo lapai), katės Matroskin ir Šariko nuotraukos, ekranas skaidrėms.

1 priede pateikta projekto schema.