Logaritminės nelygybės – Žinių hipermarketas. Viskas apie logaritmines nelygybes

Iš visos logaritminių nelygybių įvairovės atskirai nagrinėjamos nelygybės su kintamu pagrindu. Jie sprendžiami pagal specialią formulę, kuri dėl kokių nors priežasčių retai mokoma mokykloje:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

Vietoj stulpelio „∨“ galite įdėti bet kokį nelygybės ženklą: daugiau ar mažiau. Svarbiausia, kad abiejose nelygybėse ženklai būtų vienodi.

Taigi atsikratome logaritmų ir sumažiname problemą iki racionalios nelygybės. Pastarąjį išspręsti daug lengviau, tačiau atmetus logaritmus gali atsirasti papildomų šaknų. Norint juos nupjauti, pakanka rasti leistinų verčių diapazoną. Jei pamiršote logaritmo ODZ, primygtinai rekomenduoju jį pakartoti – žiūrėkite „Kas yra logaritmas“.

Viskas, kas susiję su priimtinų verčių diapazonu, turi būti išrašyta ir išspręsta atskirai:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Šios keturios nelygybės sudaro sistemą ir turi būti įvykdytos vienu metu. Kai randamas priimtinų verčių diapazonas, belieka jį kirsti su racionalios nelygybės sprendimu - ir atsakymas paruoštas.

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

Pirmiausia parašykime logaritmo ODZ:

Pirmosios dvi nelygybės atliekamos automatiškai, o paskutinė turės būti įrašyta. Kadangi skaičiaus kvadratas yra nulis tada ir tik tada, kai pats skaičius yra nulis, turime:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Pasirodo, kad logaritmo ODZ yra visi skaičiai, išskyrus nulį: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Dabar išsprendžiame pagrindinę nelygybę:

Atliekame perėjimą iš logaritminės nelygybės į racionaliąją. Pradinėje nelygybėje yra ženklas „mažiau nei“, todėl gauta nelygybė taip pat turėtų būti su „mažiau nei“ ženklu. Mes turime:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 – x) (3 + x) x 2< 0.

Šios išraiškos nuliai: x = 3; x = -3; x = 0. Be to, x = 0 yra antrojo dauginio šaknis, vadinasi, einant pro ją funkcijos ženklas nekinta. Mes turime:

Gauname x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Šis rinkinys yra visiškai įtrauktas į logaritmo ODZ, o tai reiškia, kad tai yra atsakymas.

Logaritminių nelygybių transformacija

Dažnai pradinė nelygybė skiriasi nuo aukščiau pateiktos. Tai lengva ištaisyti pagal standartines darbo su logaritmais taisykles – žr. „Pagrindinės logaritmų savybės“. Būtent:

1. Bet kuris skaičius gali būti pavaizduotas kaip logaritmas su duota baze;
2. Logaritmų su ta pačia baze sumą ir skirtumą galima pakeisti vienu logaritmu.

Atskirai noriu priminti apie priimtinų verčių diapazoną. Kadangi pradinėje nelygybėje gali būti keli logaritmai, reikia rasti kiekvieno iš jų DPV. Taigi, bendra schema logaritminių nelygybių sprendimas yra toks:

1. Raskite kiekvieno logaritmo, įtraukto į nelygybę, ODZ;
2. Sumažinkite nelygybę iki standartinės, naudodami logaritmų pridėjimo ir atėmimo formules;
3. Išspręskite gautą nelygybę pagal aukščiau pateiktą schemą.

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

Raskite pirmojo logaritmo apibrėžimo sritį (ODZ):

Sprendžiame intervalų metodu. Skaitiklio nulių radimas:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Tada - vardiklio nuliai:

x − 1 = 0;
x = 1.

Ant koordinačių rodyklės pažymime nulius ir ženklus:

Gauname x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Antrasis ODZ logaritmas bus toks pat. Jei netiki, gali pasitikrinti. Dabar paverčiame antrąjį logaritmą taip, kad bazė būtų dvi:

Kaip matote, trigubai prie pagrindo ir prieš logaritmą susitraukė. Gaukite du logaritmus su ta pačia baze. Sudėkime juos kartu:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Gavome standartinę logaritminę nelygybę. Atsikratome logaritmų pagal formulę. Kadangi pradinėje nelygybėje yra mažesnis nei ženklas, gauta racionali išraiška taip pat turi būti mažesnė už nulį. Mes turime:

(f (x) – g (x)) (k (x) – 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x – 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

Gavome du komplektus:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Kandidatas į atsakymus: x ∈ (−1; 3).

Belieka kirsti šiuos rinkinius – gauname tikrą atsakymą:

Mus domina aibių susikirtimas, todėl intervalus pasirenkame nuspalvintus ant abiejų rodyklių. Gauname x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) – visi taškai pradurti.

Nelygybė vadinama logaritmine, jei joje yra logaritminė funkcija.

Logaritminių nelygybių sprendimo metodai niekuo nesiskiria, išskyrus du dalykus.

Pirma, pereinant nuo logaritminės nelygybės prie sublogaritminių funkcijų nelygybės, išplaukia vadovaukitės gautos nelygybės ženklu. Jis laikosi šios taisyklės.

Jei logaritminės funkcijos bazė yra didesnė už $1$, tai pereinant nuo logaritminės nelygybės prie poblogaritminių funkcijų nelygybės, nelygybės ženklas išsaugomas, o jei mažesnis už $1$, tada apverčiamas.

Antra, bet kurios nelygybės sprendimas yra intervalas, todėl poblogaritminių funkcijų nelygybės sprendinio pabaigoje reikia sudaryti dviejų nelygybių sistemą: pirmoji šios sistemos nelygybė bus sublogaritmines funkcijas, o antrasis bus į logaritminę nelygybę įtrauktų logaritminių funkcijų apibrėžimo srities intervalas.

Praktika.

Išspręskime nelygybes:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Logaritmo pagrindas yra $2>1$, todėl ženklas nesikeičia. Naudodami logaritmo apibrėžimą, gauname:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )