Sukurkite funkcijos grafiką, naudodami bendrą tyrimo schemą. Pilnas funkcijų tyrimas ir braižymas

Dėl pilnas tyrimas funkciją ir kuriant jos grafiką, rekomenduojama naudoti šią schemą:

1) rasti funkcijos apimtį;

2) rasti funkcijos ir vertikalių asimptočių (jei jos yra) nenutrūkstamų taškų taškus;

3) ištirti funkcijos elgseną begalybėje, rasti horizontaliąsias ir įstriąsias asimptotes;

4) ištirti lygumo (keistingumo) ir periodiškumo (trigonometrinių funkcijų) funkciją;

5) rasti funkcijos monotoniškumo ekstremumus ir intervalus;

6) nustato išgaubimo ir vingio taškų intervalus;

7) jei įmanoma, suraskite susikirtimo su koordinačių ašimis taškus ir keletą papildomų taškų, kurie patikslina grafiką.

Funkcijos tyrimas atliekamas kartu su jos grafiko konstravimu.

9 pavyzdys Ištirkite funkciją ir sukurkite grafiką.

1. Apibrėžimo sritis: ;

2. Funkcija nutrūksta taškuose
,
;

Mes tiriame vertikalių asimptotų buvimo funkciją.

;
,
─ vertikali asimptotė.

;
,
─ vertikali asimptotė.

3. Tiriame įstrižųjų ir horizontalių asimptotų buvimo funkciją.

Tiesiai
─ įstrižas asimptotas, jei
,
.

,
.

Tiesiai
─ horizontali asimptotė.

4. Funkcija lygi, nes
. Funkcijos paritetas rodo grafiko simetriją y ašies atžvilgiu.

5. Raskite funkcijos monotoniškumo ir ekstremalių intervalus.

Raskime kritinius taškus, t.y. taškai, kuriuose išvestinė yra 0 arba jos nėra:
;
. Turime tris taškus
;

. Šie taškai padalija visą realiąją ašį į keturis intervalus. Apibrėžkime ženklus ant kiekvieno iš jų.

Intervaluose (-∞; -1) ir (-1; 0) funkcija didėja, intervaluose (0; 1) ir (1; +∞) mažėja. Kai eina per tašką
išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, todėl šiuo metu funkcija turi maksimumą
.

6. Raskime išgaubimo intervalus, vingio taškus.

Raskime taškus, kur yra 0 arba neegzistuoja.

neturi tikrų šaknų.
,
,

taškų
Ir
realiąją ašį padalinkite į tris intervalus. Apibrėžkime ženklą kiekvienu intervalu.

Taigi, intervalų kreivė
Ir
išgaubtas žemyn, ant intervalo (-1;1) išgaubtas į viršų; vingio taškų nėra, nes funkcija taškuose
Ir
nenustatyta.

7. Raskite susikirtimo su ašimis taškus.

su ašimi
funkcijos grafikas kertasi taške (0; -1), ir su ašimi
grafikas nesikerta, nes šios funkcijos skaitiklis neturi realių šaknų.

Pateiktos funkcijos grafikas parodytas 1 pav.

1 pav. ─ funkcijos grafikas

Išvestinės finansinės priemonės sampratos taikymas ekonomikoje. Funkcinis elastingumas

Ekonominiams procesams tirti ir kitoms taikomoms problemoms spręsti dažnai vartojama funkcijos elastingumo sąvoka.

Apibrėžimas. Funkcinis elastingumas
vadinama funkcijos santykinio prieaugio santykio riba iki santykinio kintamojo prieaugio adresu
, . (VII)

Funkcijos elastingumas parodo, kiek procentų maždaug pasikeis funkcija
kai keičiamas nepriklausomas kintamasis 1 %.

Funkcijos elastingumas naudojamas analizuojant paklausą ir vartojimą. Jei paklausos elastingumas (absoliučia verte)
, tada paklausa laikoma elastinga, jei
─ neutralus, jei
─ neelastingas kainos (arba pajamų) atžvilgiu.

10 pavyzdys Apskaičiuokite funkcijos elastingumą
ir suraskite tamprumo indekso reikšmę = 3.

Sprendimas: pagal (VII) formulę funkcijos elastingumas:

Tada tegul x = 3
Tai reiškia, kad jei nepriklausomas kintamasis padidės 1%, tai priklausomo kintamojo reikšmė padidės 1,42%.

11 pavyzdys Tegul paklausa veikia dėl kainos turi formą
, Kur ─ pastovus koeficientas. Raskite paklausos funkcijos tamprumo indekso reikšmę, kai kaina x = 3 den. vienetų

Sprendimas: apskaičiuokite paklausos funkcijos elastingumą pagal formulę (VII)

Darant prielaidą
piniginių vienetų, gauname
. Tai reiškia, kad už kainą
piniginis vienetas 1% kainos padidėjimas sukels paklausos sumažėjimą 6%, t.y. paklausa yra elastinga.

Šiandien kviečiame kartu su mumis ištirti ir sudaryti funkcijų grafiką. Atidžiai išstudijavę šį straipsnį, jums nereikės ilgai prakaituoti, kad atliktumėte tokią užduotį. Išnagrinėti ir sudaryti funkcijos grafiką nėra lengva, darbas yra didelis, reikalaujantis maksimalaus atidumo ir skaičiavimų tikslumo. Kad būtų lengviau suvokti medžiagą, palaipsniui tyrinėsime tą pačią funkciją, paaiškinsime visus savo veiksmus ir skaičiavimus. Sveiki atvykę į nuostabų ir žavų matematikos pasaulį! Pirmyn!

Domenas

Norėdami ištirti ir nubrėžti funkciją, turite žinoti keletą apibrėžimų. Funkcija yra viena iš pagrindinių (pagrindinių) matematikos sąvokų. Tai atspindi priklausomybę tarp kelių kintamųjų (dviejų, trijų ar daugiau) su pokyčiais. Funkcija taip pat parodo aibių priklausomybę.

Įsivaizduokite, kad turime du kintamuosius, kurie turi tam tikrą pokyčių diapazoną. Taigi, y yra x funkcija, su sąlyga, kad kiekviena antrojo kintamojo reikšmė atitinka vieną antrojo reikšmę. Šiuo atveju kintamasis y yra priklausomas ir vadinamas funkcija. Įprasta sakyti, kad kintamieji x ir y yra. Kad ši priklausomybė būtų aiškesnė, sudaromas funkcijos grafikas. Kas yra funkcijų grafikas? Tai koordinačių plokštumos taškų rinkinys, kur kiekviena x reikšmė atitinka vieną y reikšmę. Grafikai gali būti skirtingi – tiesi linija, hiperbolė, parabolė, sinusoidė ir pan.

Funkcijų grafiko negalima nubraižyti be tyrinėjimo. Šiandien išmoksime atlikti tyrimus ir nubraižyti funkcijų grafiką. Tyrimo metu labai svarbu užsirašyti. Taigi bus daug lengviau susidoroti su užduotimi. Patogiausias studijų planas:

1. Domenas.
2. Tęstinumas.
3. Lyginis ar nelyginis.
4. Periodiškumas.
5. Asimptotės.
6. Nuliai.
7. Pastovumas.
8. Kylantis ir besileidžiantis.
9. Kraštutinumai.
10. Išgaubtumas ir įdubimas.

Pradėkime nuo pirmojo punkto. Raskime apibrėžimo sritį, tai yra, kokiais intervalais egzistuoja mūsų funkcija: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). Mūsų atveju funkcija egzistuoja bet kurioms x reikšmėms, tai yra, apibrėžimo sritis yra R. Tai gali būti parašyta kaip xОR.

Tęstinumas

Dabar mes išnagrinėsime nepertraukiamumo funkciją. Matematikoje terminas „tęstinumas“ atsirado dėl judėjimo dėsnių tyrimo. Kas yra begalinis? Erdvė, laikas, kai kurios priklausomybės (pavyzdys yra kintamųjų S ir t priklausomybė judėjimo uždaviniuose), šildomo objekto temperatūra (vanduo, keptuvė, termometras ir pan.), ištisinė linija (tai yra vienas kurį galima nupiešti nenuimant jo nuo pieštuko).

Grafas laikomas tęstiniu, jei jis tam tikru momentu nenutrūksta. Vienas is labiausiai gerų pavyzdžių toks grafikas yra sinusinė banga, kurią galite pamatyti šios dalies paveikslėlyje. Funkcija yra ištisinė tam tikru momentu x0, jei tenkinamos kelios sąlygos:

• funkcija apibrėžta duotame taške;
• dešinės ir kairės ribos taške yra lygios;
• riba lygi funkcijos reikšmei taške x0.

Jei neįvykdoma bent viena sąlyga, sakoma, kad funkcija sugenda. O taškai, kuriuose funkcija nutrūksta, vadinami lūžio taškais. Funkcijos, kuri „nutrūks“, kai rodoma grafiškai, pavyzdys yra: y=(x+4)/(x-3). Be to, y neegzistuoja taške x = 3 (nes neįmanoma padalyti iš nulio).

Funkcijoje, kurią tiriame (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) viskas pasirodė paprasta, nes grafikas bus tęstinis.

Lyginis, nelyginis

Dabar patikrinkite pariteto funkciją. Pradėkime nuo mažos teorijos. Lyginė funkcija yra funkcija, kuri tenkina sąlygą f (-x) = f (x) bet kuriai kintamojo x reikšmei (iš reikšmių diapazono). Pavyzdžiai:

• modulis x (grafas atrodo kaip kėkštas, pirmojo ir antrojo grafiko ketvirčių pusiausvyra);
• x kvadratas (parabolė);
• kosinusas x (kosinuso banga).

Atkreipkite dėmesį, kad visi šie grafikai yra simetriški y ašies atžvilgiu.

Kas tada vadinama nelygine funkcija? Tai yra tos funkcijos, kurios tenkina sąlygą: f (-x) \u003d - f (x) bet kuriai kintamojo x reikšmei. Pavyzdžiai:

• hiperbolė;
• kubinė parabolė;
• sinusoidinė;
• tangentas ir pan.

Atkreipkite dėmesį, kad šios funkcijos yra simetriškos taško (0:0), ty pradžios, atžvilgiu. Remiantis tuo, kas buvo pasakyta šioje straipsnio dalyje, lyginė ir nelyginė funkcija turi turėti savybę: x priklauso apibrėžimų rinkiniui, o -x taip pat.

Panagrinėkime pariteto funkciją. Matome, kad ji neatitinka nė vieno apibūdinimo. Todėl mūsų funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

Asimptotės

Pradėkime nuo apibrėžimo. Asimptotė yra kreivė, kuri yra kuo arčiau grafiko, tai yra, atstumas nuo tam tikro taško linkęs į nulį. Yra trys asimptotų tipai:

• vertikali, tai yra lygiagreti y ašiai;
• horizontaliai, ty lygiagrečiai x ašiai;
• įstrižas.

Kalbant apie pirmąjį tipą, šių eilučių reikėtų ieškoti kai kuriuose taškuose:

• tarpas;
• domeno galai.

Mūsų atveju funkcija yra ištisinė, o apibrėžimo sritis yra R. Todėl vertikalių asimptočių nėra.

Funkcijos grafikas turi horizontalią asimptotę, kuri atitinka tokį reikalavimą: jei x linkęs į begalybę arba minus begalybę, o riba lygi tam tikram skaičiui (pavyzdžiui, a). IN Ši byla y=a yra horizontali asimptotė. Mūsų tiriamoje funkcijoje nėra horizontalių asimptotų.

Įstrižinė asimptotė egzistuoja tik tada, kai tenkinamos dvi sąlygos:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Tada jį galima rasti pagal formulę: y=kx+b. Vėlgi, mūsų atveju nėra įstrižų asimptotų.

Funkcijos nuliai

Kitas žingsnis yra išnagrinėti nulių funkcijos grafiką. Taip pat labai svarbu pažymėti, kad užduotis, susijusi su funkcijos nulių radimu, atsiranda ne tik tiriant ir konstruojant funkcijos grafiką, bet ir kaip savarankiška užduotis, ir kaip būdas išspręsti nelygybes. Gali reikėti surasti funkcijos nulius grafike arba naudoti matematinį žymėjimą.

Šių reikšmių radimas padės tiksliau nubraižyti funkciją. Jei kalbėti paprasta kalba, tada funkcijos nulis yra kintamojo x reikšmė, kai y=0. Jei grafike ieškote funkcijos nulių, tuomet turėtumėte atkreipti dėmesį į taškus, kuriuose grafikas susikerta su x ašimi.

Norint rasti funkcijos nulius, reikia išspręsti šią lygtį: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Atlikę reikiamus skaičiavimus, gauname tokį atsakymą:

ženklo pastovumas

Kitas funkcijos (grafikos) tyrimo ir konstravimo etapas yra ženklų pastovumo intervalų paieška. Tai reiškia, kad turime nustatyti, kuriais intervalais funkcija įgauna teigiamą reikšmę, o kuriais intervalais – neigiamą reikšmę. Tai padaryti mums padės ankstesniame skyriuje rastų funkcijų nuliai. Taigi, turime sukurti tiesią liniją (atskirai nuo grafiko) ir paskirstyti funkcijos nulius išilgai jos teisinga tvarka nuo mažiausios iki didžiausios. Dabar reikia nustatyti, kuris iš gautų intervalų turi „+“ ženklą, o kuris – „-“.

Mūsų atveju funkcija įgauna teigiamą reikšmę intervaluose:

• nuo 1 iki 4;
• nuo 9 iki begalybės.

Neigiama reikšmė:

• nuo minus begalybės iki 1;
• nuo 4 iki 9.

Tai gana lengva nustatyti. Pakeiskite bet kurį skaičių iš intervalo į funkciją ir pažiūrėkite, koks yra atsakymo ženklas (minusas ar pliusas).

Funkcija didėjanti ir mažėjanti

Norėdami ištirti ir sukurti funkciją, turime žinoti, kur grafikas padidės (kils į viršų Oy), o kur kris (slinks žemyn išilgai y ašies).

Funkcija didėja tik tuo atveju, jei didesnė kintamojo x reikšmė atitinka didesnę y reikšmę. Tai reiškia, kad x2 yra didesnis nei x1, o f(x2) yra didesnis nei f(x1). Ir mes stebime visiškai priešingą reiškinį mažėjančioje funkcijoje (kuo daugiau x, tuo mažiau y). Norėdami nustatyti didėjimo ir mažėjimo intervalus, turite rasti:

• apimtis (jau turime);
• išvestinė (mūsų atveju: 1/3(3x^2-28x+49);
• išspręskite lygtį 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Atlikę skaičiavimus, gauname rezultatą:

Gauname: funkcija didėja intervalais nuo minus begalybės iki 7/3 ir nuo 7 iki begalybės, o mažėja intervalais nuo 7/3 iki 7.

Kraštutinumai

Ištirta funkcija y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) yra ištisinė ir egzistuoja bet kurioms kintamojo x reikšmėms. Ekstremalumo taškas rodo šios funkcijos maksimumą ir minimumą. Mūsų atveju jų nėra, o tai labai supaprastina statybos užduotį. Kitu atveju jie taip pat randami naudojant išvestinę funkciją. Radę nepamirškite juos pažymėti diagramoje.

Išgaubtumas ir įdubimas

Tęsiame funkcijos y(x) tyrimą. Dabar turime patikrinti, ar jis yra išgaubtas ir įgaubtas. Šių sąvokų apibrėžimai gana sunkiai suvokiami, geriau viską analizuoti su pavyzdžiais. Bandymui: funkcija yra išgaubta, jei ji yra nemažėjanti funkcija. Sutikite, tai nesuprantama!

Turime rasti antros eilės funkcijos išvestinę. Gauname: y=1/3(6x-28). Dabar dešinę pusę prilyginame nuliui ir išsprendžiame lygtį. Atsakymas: x=14/3. Mes radome vingio tašką, tai yra vietą, kur grafikas pasikeičia iš išgaubto į įgaubtą arba atvirkščiai. Intervale nuo minus begalybės iki 14/3 funkcija yra išgaubta, o nuo 14/3 iki plius begalybės – įgaubta. Taip pat labai svarbu atkreipti dėmesį į tai, kad vingio taškas diagramoje turi būti lygus ir minkštas, ne aštrūs kampai neturėtų būti.

Papildomų taškų apibrėžimas

Mūsų užduotis yra ištirti ir nubraižyti funkcijų grafiką. Tyrimą baigėme, dabar bus nesunku nubraižyti funkciją. Norėdami tiksliau ir detaliau atkurti kreivę arba tiesę koordinačių plokštumoje, galite rasti keletą pagalbinių taškų. Juos apskaičiuoti gana paprasta. Pavyzdžiui, imame x=3, išsprendžiame gautą lygtį ir randame y=4. Arba x=5 ir y=-5 ir pan. Galite paimti tiek papildomų taškų, kiek jums reikia sukurti. Jų randama bent 3-5.

Braižybos

Mums reikėjo ištirti funkciją (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Koordinačių plokštumoje buvo padaryti visi skaičiavimo metu reikalingi ženklai. Belieka sukurti grafiką, tai yra sujungti visus taškus vienas su kitu. Taškų sujungimas vyksta sklandžiai ir tiksliai, tai įgūdžių reikalas – šiek tiek pasipraktikuokite ir jūsų tvarkaraštis bus tobulas.

Instrukcija

Raskite funkcijos apimtį. Pavyzdžiui, funkcija sin(x) apibrėžiama visame intervale nuo –∞ iki +∞, o funkcija 1/x – nuo ​​–∞ iki +∞, išskyrus tašką x = 0.

Apibrėžkite tęstinumo sritis ir lūžio taškus. Paprastai funkcija yra ištisinė toje pačioje srityje, kurioje ji yra apibrėžta. Norėdami aptikti nutrūkimus, turite apskaičiuoti, kada argumentas artėja prie atskirų taškų apibrėžimo srityje. Pavyzdžiui, funkcija 1/x linkusi į begalybę, kai x→0+, ir į minus begalybę, kai x→0-. Tai reiškia, kad taške x = 0 jis turi antrojo tipo netolydumą.
Jei ribos nenutrūkstamumo taške yra baigtinės, bet nelygios, tai yra pirmosios rūšies netolydumas. Jei jie yra lygūs, tada funkcija laikoma tęstine, nors ji nėra apibrėžta izoliuotame taške.

Raskite vertikalius asimptotus, jei tokių yra. Čia jums padės ankstesnio veiksmo skaičiavimai, nes vertikali asimptotė beveik visada yra antrosios rūšies nepertraukiamumo taške. Tačiau kartais iš apibrėžimo srities išskiriami ne atskiri taškai, o ištisi taškų intervalai, o tada vertikaliosios asimptotės gali būti šių intervalų pakraščiuose.

Patikrinkite, ar funkcija turi specialių savybių: lyginių, nelyginių ir periodinių.
Funkcija bus net jei bet kuriam x srityje f(x) = f(-x). Pavyzdžiui, cos(x) ir x^2 yra lyginės funkcijos.

Periodiškumas yra savybė, kuri sako, kad yra tam tikras skaičius T, vadinamas periodu, kuris bet kuriam x f(x) = f(x + T). Pavyzdžiui, visi pagrindiniai trigonometrinės funkcijos(sinusas, kosinusas, liestinė) – periodinis.

Raskite taškus. Norėdami tai padaryti, apskaičiuokite pateiktos funkcijos išvestinę ir suraskite tas x reikšmes, kuriose ji išnyksta. Pavyzdžiui, funkcija f(x) = x^3 + 9x^2 -15 turi išvestinę g(x) = 3x^2 + 18x, kuri išnyksta, kai x = 0 ir x = -6.

Norėdami nustatyti, kurie ekstremumo taškai yra maksimumai, o kurie - minimumai, atsekkite išvestinės ženklų kitimą rastuose nuliuose. g(x) pakeičia ženklą iš pliuso, kai x = -6 ir atgal iš minuso į pliusą, kai x = 0. Todėl funkcija f(x) pirmame taške turi minimumą, o antrajame – minimumą.

Taigi, jūs taip pat radote monotoniškumo sritis: f(x) monotoniškai didėja intervale -∞;-6, monotoniškai mažėja esant -6;0 ir vėl didėja esant 0;+∞.

Raskite antrą išvestinę. Jo šaknys parodys, kur tam tikros funkcijos grafikas bus išgaubtas, o kur įgaubtas. Pavyzdžiui, antroji funkcijos f(x) išvestinė bus h(x) = 6x + 18. Ji išnyksta ties x = -3, pakeisdama ženklą iš minuso į pliusą. Todėl grafikas f (x) prieš šį tašką bus išgaubtas, po jo – įgaubtas, o pats šis taškas bus vingio taškas.

Funkcija gali turėti kitų asimptotų, išskyrus vertikaliuosius, bet tik tuo atveju, jei jos apibrėžimo sritis apima . Norėdami juos rasti, apskaičiuokite f(x) ribą, kai x→∞ arba x→-∞. Jei jis baigtinis, tada jūs radote horizontalią asimptotę.

Įstrižinė asimptotė yra kx + b formos tiesi linija. Norėdami rasti k, apskaičiuokite f(x)/x ribą kaip x→∞. Rasti b - ribą (f(x) – kx) su tuo pačiu x→∞.

Nubraižykite funkciją ant apskaičiuotų duomenų. Pažymėkite asimptotus, jei tokių yra. Pažymėkite kraštutinius taškus ir juose funkcijų reikšmes. Norėdami didesnio grafiko tikslumo, apskaičiuokite funkcijų reikšmes dar keliuose tarpiniuose taškuose. Tyrimas baigtas.

Viena iš svarbiausių užduočių diferencialinis skaičiavimas yra plėtra bendri pavyzdžiai funkcijų elgsenos tyrimai.

Jei funkcija y \u003d f (x) yra ištisinė intervale, o jos išvestinė yra teigiama arba lygi 0 intervale (a, b), tada y \u003d f (x) padidėja (f "(x) 0). Jei funkcija y \u003d f (x) yra ištisinė atkarpoje , o jos išvestinė yra neigiama arba lygi 0 intervale (a,b), tada y=f(x) sumažėja (f"( x)0)

Intervalai, kuriuose funkcija nemažėja arba nedidėja, vadinami funkcijos monotoniškumo intervalais. Funkcijos monotoniškumo pobūdis gali keistis tik tuose jos apibrėžimo srities taškuose, kuriuose kinta pirmosios išvestinės ženklas. Taškai, kuriuose pirmoji funkcijos išvestinė išnyksta arba nutrūksta, vadinami kritiniais taškais.

1 teorema (1-oji pakankama sąlyga ekstremumui egzistuoti).

Tegul funkcija y=f(x) yra apibrėžta taške x 0 ir tebūna tokia kaimynystė δ>0, kad funkcija būtų ištisinė atkarpoje , diferencijuojama intervale (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , o jo išvestinė kiekviename iš šių intervalų išlaiko pastovų ženklą. Tada jei ant x 0 -δ, x 0) ir (x 0, x 0 + δ) išvestinės ženklai yra skirtingi, tai x 0 yra ekstremumo taškas, o jei jie sutampa, tai x 0 nėra ekstremumo taškas . Be to, jei einant per tašką x0, išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą (kairėje nuo x 0 atliekamas f "(x)> 0, tai x 0 yra maksimalus taškas; jei išvestinė keičia ženklą nuo minuso iki pliuso (dešinėje nuo x 0 vykdomas f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Didžiausias ir mažiausias taškai yra vadinami funkcijos ekstremumais, o funkcijos maksimumai ir minimumai – kraštutinėmis reikšmėmis.

2 teorema (būtinas lokalinio ekstremumo kriterijus).

Jei funkcija y=f(x) turi ekstremumą, kai srovė yra x=x 0, tada arba f'(x 0)=0, arba f'(x 0) neegzistuoja.
Diferencijuojamos funkcijos ekstremaliuose taškuose jos grafiko liestinė yra lygiagreti Ox ašiai.

Ekstremo funkcijos tyrimo algoritmas:

1) Raskite funkcijos išvestinę.
2) Raskite kritinius taškus, t.y. taškai, kuriuose funkcija yra ištisinė, o išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja.
3) Apsvarstykite kiekvieno taško kaimynystę ir išnagrinėkite išvestinės ženklą į kairę ir į dešinę nuo šio taško.
4) Nustatykite kraštutinių taškų koordinates, šią kritinių taškų reikšmę pakeiskite šia funkcija. Naudodamiesi pakankamai ekstremaliomis sąlygomis, padarykite atitinkamas išvadas.

18 pavyzdys. Ištirkite funkciją y=x 3 -9x 2 +24x

Sprendimas.
1) y" = 3x 2 -18x + 24 = 3 (x-2) (x-4).
2) Išvestinę prilyginę nuliui, randame x 1 =2, x 2 =4. Šiuo atveju išvestinė apibrėžiama visur; taigi, be dviejų rastų taškų, kitų kritinių taškų nėra.
3) Išvestinės y ženklas "=3(x-2)(x-4) keičiasi priklausomai nuo intervalo, kaip parodyta 1 paveiksle. Einant per tašką x=2, išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, o einant per tašką x=4 - nuo minuso iki pliuso.
4) Taške x=2 funkcija turi didžiausią y max =20, o taške x=4 - minimalų y min =16.

3. teorema (2-oji pakankama sąlyga ekstremumui egzistuoti).

Tegul f "(x 0) ir f "" (x 0) egzistuoja taške x 0. Jei f "" (x 0)> 0, tai x 0 yra mažiausias taškas, o jei f "" (x 0) )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Atkarpoje funkcija y \u003d f (x) gali pasiekti mažiausią (bent jau) arba didžiausią (daugiausia) reikšmę kritiniuose funkcijos taškuose, esančiuose intervale (a; b), arba galuose segmento.

Algoritmas, kaip rasti didžiausią ir mažiausią ištisinės funkcijos y=f(x) reikšmes atkarpoje:

1) Raskite f "(x).
2) Raskite taškus, kuriuose f "(x) = 0 arba f" (x) - neegzistuoja, ir pasirinkite iš jų tuos, kurie yra atkarpos viduje.
3) Apskaičiuokite funkcijos y \u003d f (x) reikšmę taškuose, gautuose 2 dalyje), taip pat atkarpos galuose ir pasirinkite didžiausią ir mažiausią iš jų: jie yra atitinkamai didžiausi ( didžiausios) ir mažiausios (mažiausios) funkcijos reikšmės segmente .

19 pavyzdys. Raskite atkarpoje didžiausią tolydžios funkcijos y=x 3 -3x 2 -45+225 reikšmę.

1) Segmente turime y "=3x 2 -6x-45
2) Išvestinė y" egzistuoja visiems x. Raskime taškus, kur y"=0; mes gauname:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Apskaičiuokite funkcijos reikšmę taškuose x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Atkarpai priklauso tik taškas x=5. Didžiausia iš rastų funkcijos reikšmių yra 225, o mažiausia yra skaičius 50. Taigi, kai max = 225, kai max = 50.

Išgaubtumo funkcijos tyrimas

Paveiksle pavaizduoti dviejų funkcijų grafikai. Pirmasis iš jų pasukamas iškilimu į viršų, antrasis – su iškilimu žemyn.

Funkcija y=f(x) yra ištisinė atkarpoje ir diferencijuojama intervale (a;b), šiame atkarpoje vadinama išgaubta aukštyn (žemyn), jei axb jos grafikas yra ne aukščiau (ne žemiau) už liestinę. nubrėžta bet kuriame taške M 0 (x 0 ;f(x 0)), kur axb.

4 teorema. Tegul funkcija y=f(x) turi antrą išvestinę bet kuriame vidiniame atkarpos taške x ir yra tolydi šios atkarpos galuose. Tada, jei nelygybė f""(x)0 tenkinama intervale (a;b), tai funkcija yra žemyn išgaubta atkarpoje ; jei nelygybė f""(x)0 tenkinama intervale (а;b), tai funkcija yra išgaubta į viršų .

5 teorema. Jei funkcija y=f(x) turi antrąją išvestinę intervale (a;b) ir ji keičia ženklą eidama per tašką x 0 , tai M(x 0 ;f(x 0)) yra vingio taškas.

Posūkio taškų radimo taisyklė:

1) Raskite taškus, kuriuose f""(x) neegzistuoja arba išnyksta.
2) Išnagrinėkite ženklą f""(x) į kairę ir į dešinę nuo kiekvieno taško, rasto pirmame žingsnyje.
3) Remdamiesi 4 teorema, padarykite išvadą.

20 pavyzdys. Raskite funkcijos grafiko y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 ekstremumo taškus ir vingio taškus.

Turime f"(x)=12x3 -24x2 +12x=12x(x-1) 2. Akivaizdu, kad f"(x)=0, kai x 1 =0, x 2 =1. Išvestinė, eidama per tašką x=0, keičia ženklą iš minuso į pliusą, o eidama per tašką x=1 – ženklo nekeičia. Tai reiškia, kad x=0 yra mažiausias taškas (y min =12), o taške x=1 ekstremumo nėra. Toliau randame . Antroji išvestinė išnyksta taškuose x 1 =1, x 2 =1/3. Antrosios išvestinės ženklai kinta taip: Ant spindulio (-∞;) turime f""(x)>0, intervale (;1) turime f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Todėl x= yra funkcijos grafiko vingio taškas (perėjimas nuo išgaubimo žemyn į išgaubtą aukštyn), o x=1 taip pat yra vingio taškas (perėjimas nuo išgaubimo aukštyn į išgaubtą žemyn). Jei x=, tai y= ; jei, tada x = 1, y = 13.

Grafo asimptotės radimo algoritmas

I. Jei y=f(x) kaip x → a , tai x=a yra vertikali asimptotė.
II. Jei y=f(x) kaip x → ∞ arba x → -∞, tada y=A yra horizontalioji asimptotė.
III. Norėdami rasti įstrižą asimptotą, naudojame šį algoritmą:
1) Apskaičiuokite. Jei riba egzistuoja ir yra lygi b, tai y=b yra horizontalioji asimptotė; jei , tada pereikite prie antrojo veiksmo.
2) Apskaičiuokite. Jei ši riba neegzistuoja, tai asimptoto nėra; jei jis egzistuoja ir yra lygus k, pereikite prie trečio žingsnio.
3) Apskaičiuokite. Jei ši riba neegzistuoja, tai asimptoto nėra; jei jis egzistuoja ir yra lygus b, pereikite prie ketvirto žingsnio.
4) Užrašykite įstriosios asimptotės y=kx+b lygtį.

21 pavyzdys: Raskite funkcijos asimptotę

1)
2)
3)
4) Įstrižinė asimptotinė lygtis turi formą

Funkcijos tyrimo schema ir jos grafiko sudarymas

I. Raskite funkcijos sritį.
II. Raskite funkcijos grafiko susikirtimo taškus su koordinačių ašimis.
III. Raskite asimptotus.
IV. Raskite galimo ekstremumo taškus.
V. Raskite kritinius taškus.
VI. Naudodami pagalbinį brėžinį ištirkite pirmojo ir antrojo vedinių ženklą. Nustatykite funkcijos didėjimo ir mažėjimo sritis, raskite grafiko išgaubimo kryptį, ekstremumo taškus ir vingio taškus.
VII. Sudarykite grafiką, atsižvelgdami į 1–6 dalyse atliktą tyrimą.

22 pavyzdys: Nubraižykite funkcijos grafiką pagal aukščiau pateiktą schemą

Sprendimas.
I. Funkcijos sritis yra visų realiųjų skaičių aibė, išskyrus x=1.
II. Kadangi lygtis x 2 +1=0 neturi realių šaknų, tai funkcijos grafikas neturi susikirtimo taškų su Ox ašimi, o kerta Oy ašį taške (0; -1).
III. Išsiaiškinkime asimptotų egzistavimo klausimą. Tiriame funkcijos elgseną šalia nutrūkimo taško x=1. Kadangi y → ∞ x → -∞, y → +∞ x → 1+, tai tiesė x=1 yra vertikali funkcijos grafiko asimptotė.
Jei x → +∞(x → -∞), tai y → +∞(y → -∞); todėl grafikas neturi horizontalios asimptotės. Be to, nuo ribų egzistavimo

Išsprendę lygtį x 2 -2x-1=0, gauname du galimo ekstremumo taškus:
x 1 =1-√2 ir x 2 =1+√2

V. Norėdami rasti kritinius taškus, apskaičiuojame antrąją išvestinę:

Kadangi f""(x) neišnyksta, kritinių taškų nėra.
VI. Tiriame pirmojo ir antrojo darinių ženklą. Galimi ekstremumai, į kuriuos reikia atsižvelgti: x 1 =1-√2 ir x 2 =1+√2, padalinkite funkcijos egzistavimo sritį į intervalus (-∞;1-√2),(1-√2) ;1+√2) ir (1+√2;+∞).

Kiekviename iš šių intervalų vedinys išlaiko savo ženklą: pirmame - pliusas, antrasis - minusas, trečias - pliusas. Pirmosios išvestinės ženklų seka bus rašoma taip: +, -, +.
Gauname, kad funkcija ties (-∞;1-√2) didėja, ant (1-√2;1+√2) mažėja, o ant (1+√2;+∞) vėl didėja. Ekstremalūs taškai: maksimalus ties x=1-√2, be to f(1-√2)=2-2√2 minimumas, kai x=1+√2, be to, f(1+√2)=2+2√2. Ant (-∞;1) grafikas yra išgaubtas aukštyn, o ant (1;+∞) - žemyn.
VII Padarykime gautų reikšmių lentelę

VIII Remdamiesi gautais duomenimis sudarome funkcijos grafiko eskizą

Atskaitos taškai nagrinėjant funkcijas ir jų grafikų konstravimą yra būdingi taškai – nenutrūkstamumo, ekstremumo, vingio, susikirtimo su koordinačių ašimis taškai. Diferencialinio skaičiavimo pagalba galima nustatyti būdingus funkcijų kitimo požymius: didėjimą ir mažėjimą, maksimumus ir minimumus, grafiko išgaubimo ir įgaubimo kryptį, asimptotų buvimą.

Funkcijų grafiko eskizą galima (ir reikia) nubraižyti radus asimptotes ir ekstremumo taškus, o tyrimo metu patogu pildyti funkcijos tyrimo suvestinę lentelę.

Paprastai naudojama tokia funkcijų tyrimo schema.

1.Raskite funkcijos domeną, tęstinumo intervalus ir lūžio taškus.

2.Patikrinkite lyginę ar nelyginę funkciją (ašinė arba centrinė grafiko simetrija.

3.Raskite asimptotus (vertikalius, horizontalius arba įstrižus).

4.Raskite ir ištirkite funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus, jos kraštutinius taškus.

5.Raskite kreivės išgaubimo ir įgaubimo intervalus, jos vingio taškus.

6.Raskite kreivės susikirtimo taškus su koordinačių ašimis, jei tokių yra.

7.Sudarykite apibendrintą tyrimo lentelę.

8.Sudarykite grafiką, atsižvelgdami į funkcijos tyrimą, atliktą pagal aukščiau nurodytus punktus.

Pavyzdys. Naršyti funkciją

ir suplanuoti.

7. Padarykime funkcijos tyrimo suvestinę lentelę, kurioje surašysime visus charakteringus taškus ir intervalus tarp jų. Atsižvelgdami į funkcijos paritetą, gauname tokią lentelę: