Trupmeninės nelygybės su moduliu vardiklyje. Lygtys ir nelygybės su moduliu

Šiandien, draugai, nebus nei snarglių, nei sentimentalumo. Vietoj to, be jokių klausimų išsiųsiu jus į mūšį su vienu baisiausių priešininkų 8–9 klasių algebros kurse.

Taip, jūs viską supratote teisingai: mes kalbame apie nelygybes su moduliu. Apžvelgsime keturis pagrindinius metodus, kurių pagalba išmoksite išspręsti apie 90% tokių problemų. O kaip su likusiais 10%? Na, apie juos pakalbėsime atskiroje pamokoje. :)

Tačiau prieš analizuodamas bet kurį iš metodų, norėčiau priminti du faktus, kuriuos jau turite žinoti. Priešingu atveju rizikuojate visiškai nesuprasti šios pamokos medžiagos.

Ką jau reikia žinoti

Panašu, kad „Captain Obviousness“ užsimena, kad norint išspręsti nelygybes su moduliu, reikia žinoti du dalykus:

1. Kaip išsprendžiamos nelygybės;
2. Kas yra modulis?

Pradėkime nuo antro punkto.

Modulio apibrėžimas

Čia viskas paprasta. Yra du apibrėžimai: algebrinis ir grafinis. Pirmiausia – algebrinė:

Apibrėžimas. Skaičiaus $x$ modulis yra arba pats skaičius, jei jis neneigiamas, arba jam priešingas skaičius, jei pradinis $x$ vis dar yra neigiamas.

Tai parašyta taip:

\[\left| x \right|=\left\( \begin (lygiuoti) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(lygiuoti) \right.\]

Paprastais žodžiais tariant, modulis yra „skaičius be minuso“. Ir būtent šiame dvilypume (kai kur su pradiniu skaičiumi nieko daryti nereikia, o kitur teks pašalinti kažkokį minusą) ir slypi visas sunkumas pradedantiesiems studentams.

Taip pat yra geometrinis apibrėžimas. Tai taip pat naudinga žinoti, tačiau į tai kreipsimės tik sudėtingais ir kai kuriais ypatingais atvejais, kai geometrinis požiūris yra patogesnis nei algebrinis (spoileris: ne šiandien).

Apibrėžimas. Skaičių eilutėje pažymėtas taškas $a$. Tada modulis $\left| x-a \right|$ yra atstumas nuo taško $x$ iki taško $a$ šioje tiesėje.

Jei nupiešite paveikslėlį, gausite kažką panašaus į tai:

Grafinis modulio apibrėžimas

Vienaip ar kitaip, iš modulio apibrėžimo iš karto išplaukia pagrindinė jo savybė: skaičiaus modulis visada yra neneigiamas dydis. Šis faktas bus raudona gija, einanti per visą mūsų šiandienos pasakojimą.

Nelygybių sprendimas. Intervalinis metodas

Dabar pažvelkime į nelygybes. Jų yra labai daug, bet mūsų užduotis dabar yra sugebėti išspręsti bent paprasčiausią iš jų. Tie, kurie redukuoja į tiesines nelygybes, taip pat į intervalų metodą.

Turiu dvi dideles pamokas šia tema (beje, labai, LABAI naudingos – rekomenduoju jas išstudijuoti):

1. Intervalinis nelygybių metodas (ypač žiūrėkite vaizdo įrašą);
2. Trupmeninės racionalios nelygybės yra labai plati pamoka, tačiau po jos jums nebeliks jokių klausimų.

Jei visa tai žinai, jei frazė „pereikime nuo nelygybės prie lygties“ nekelia miglotos noro daužytis į sieną, tada esi pasiruošęs: sveiki atvykę į pragarą į pagrindinę pamokos temą. :)

1. Formos „Modulis mažesnis už funkciją“ nelygybės

Tai viena iš dažniausiai pasitaikančių modulių problemų. Būtina išspręsti formos nelygybę:

\[\left| f\right| \ltg\]

Funkcijos $f$ ir $g$ gali būti bet kokios, bet dažniausiai tai yra daugianariai. Tokių nelygybių pavyzdžiai:

\[\begin(lygiuoti) & \left| 2x+3 \dešinė| \lt x+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\left| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(lygiuoti)\]

Visus juos galima išspręsti pažodžiui vienoje eilutėje pagal šią schemą:

\[\left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin (lygiuoti) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(lygiuoti) \dešinė.\dešinė)\]

Nesunku pastebėti, kad atsikratome modulio, bet mainais gauname dvigubą nelygybę (arba, tai yra tas pats, dviejų nelygybių sistemą). Tačiau šis perėjimas atsižvelgia į absoliučiai visas galimas problemas: jei skaičius pagal modulį yra teigiamas, metodas veikia; jei neigiamas, jis vis tiek veikia; ir net jei vietoje $f$ arba $g$ pati netinkamiausia funkcija, metodas vis tiek veiks.

Natūralu, kad kyla klausimas: ar negali būti paprasčiau? Deja, tai neįmanoma. Tai yra visa modulio esmė.

Tačiau užteks filosofavimo. Išspręskime porą problemų:

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

\[\left| 2x+3 \dešinė| \lt x+7\]

Sprendimas. Taigi, prieš mus yra klasikinė formos „modulis mažesnis“ nelygybė – net nėra ką transformuoti. Dirbame pagal algoritmą:

\[\begin(lygiuoti) & \left| f\right| \lt g\Rodyklė dešinėn -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \dešinė| \lt x+7\Rightrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(lygiuoti)\]

Neskubėkite atidaryti skliaustų, prieš kuriuos įrašytas „minusas“: labai tikėtina, kad dėl skubėjimo padarysite įžeidžiančią klaidą.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin (lygiuoti) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end (lygiuoti) \right.\]

\[\left\( \begin (lygiuoti) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end (lygiuoti) \right.\]

\[\left\( \begin(lygiuoti) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(lygiuoti) \right.\]

Problema buvo sumažinta iki dviejų elementarių nelygybių. Atkreipkite dėmesį į jų sprendimus lygiagrečiose skaičių tiesėse:

Daugelio sankirta

Šių rinkinių sankirta bus atsakymas.

Atsakymas: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Sprendimas. Ši užduotis yra šiek tiek sunkesnė. Pirma, išskirkime modulį, perkeldami antrąjį terminą į dešinę:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \dešinė| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Akivaizdu, kad vėl turime nelygybę „modulis mažesnis“, todėl modulio atsikratome naudodami jau žinomą algoritmą:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Dabar dėmesio: kažkas pasakys, kad aš esu šiek tiek iškrypėlis su visais šiais skliaustais. Tačiau leiskite dar kartą priminti, kad pagrindinis mūsų tikslas yra teisingai išspręskite nelygybę ir gaukite atsakymą. Vėliau, kai puikiai įvaldysite viską, kas aprašyta šioje pamokoje, galėsite patys tai iškreipti kaip norite: atsiverkite skliaustus, pridėkite minusų ir pan.

Norėdami pradėti, tiesiog atsikratysime dvigubo minuso kairėje:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\kairė(x+1\dešinė)\]

Dabar atidarykime visus dvigubos nelygybės skliaustus:

Pereikime prie dvigubos nelygybės. Šį kartą skaičiavimai bus rimtesni:

\[\left\( \begin(lygiuoti) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(lygiuoti) \right.\]

\[\left\( \begin(lygiuoti) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( lygiuoti)\right.\]

Abi nelygybės yra kvadratinės ir gali būti išspręstos intervalų metodu (todėl ir sakau: jei nežinote, kas tai yra, geriau neimkite modulių). Pereikime prie pirmosios nelygybės lygties:

\[\begin(lygiuoti) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Kaip matote, išvestis yra neišsami kvadratinė lygtis, kurią galima išspręsti elementariai. Dabar pažvelkime į antrąją sistemos nelygybę. Ten turėsite pritaikyti Vietos teoremą:

\[\begin(lygiuoti) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Gautus skaičius pažymime dviejose lygiagrečiose tiesėse (atskirai pirmajai nelygybei ir atskirai antrajai):

Vėlgi, kadangi mes sprendžiame nelygybių sistemą, mus domina nuspalvintų aibių sankirta: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Tai yra atsakymas.

Atsakymas: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Manau, kad po šių pavyzdžių sprendimo schema yra labai aiški:

1. Išskirkite modulį, perkeldami visus kitus terminus į priešingą nelygybės pusę. Taip gauname formos $\left| nelygybę f\right| \ltg$.
2. Išspręskite šią nelygybę, atsikratydami modulio pagal aukščiau aprašytą schemą. Kažkuriuo momentu teks pereiti nuo dvigubos nelygybės prie dviejų nepriklausomų išraiškų sistemos, kurių kiekvieną jau galima išspręsti atskirai.
3. Galiausiai belieka susikirsti šių dviejų nepriklausomų posakių sprendimus – ir viskas, mes gausime galutinį atsakymą.

Panašus algoritmas egzistuoja ir tokio tipo nelygybėms, kai modulis didesnis už funkciją. Tačiau yra keletas rimtų „bet“. Dabar kalbėsime apie šiuos „bet“.

2. Formos „Modulis didesnis už funkciją“ nelygybės

Jie atrodo taip:

\[\left| f\right| \gtg\]

Panašus į ankstesnį? Atrodo. Ir vis dėlto tokios problemos sprendžiamos visai kitaip. Formaliai schema yra tokia:

\[\left| f\right| \gt g\Rodyklė dešinėn \left[ \begin(lygiuoti) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(lygiuoti) \right.\]

Kitaip tariant, nagrinėjame du atvejus:

1. Pirma, mes tiesiog ignoruojame modulį ir išsprendžiame įprastą nelygybę;
2. Tada iš esmės išplečiame modulį su minuso ženklu ir padauginame abi nelygybės puses iš −1, o aš turiu ženklą.

Šiuo atveju variantai derinami su laužtiniu skliaustu, t.y. Prieš mus yra dviejų reikalavimų derinys.

Dar kartą atkreipkite dėmesį: tai ne sistema, o visuma atsakyme aibės derinamos, o ne susikerta. Tai esminis skirtumas nuo ankstesnio punkto!

Apskritai, daugelis studentų yra visiškai supainioti su sąjungomis ir sankryžomis, todėl išspręskime šią problemą kartą ir visiems laikams:

• „∪“ yra sąjungos ženklas. Tiesą sakant, tai stilizuota raidė „U“, kuri pas mus atėjo iš anglų kalbos ir yra „Union“ santrumpa, t.y. „Asociacijos“.
• „∩“ yra sankryžos ženklas. Šis šūdas neatsirado iš niekur, o tiesiog pasirodė kaip priešprieša „∪“.

Kad būtų dar lengviau įsiminti, tiesiog pritraukite kojas prie šių ženklų ir pasigaminkite akinius (tik dabar nekaltinkite manęs narkomanijos ir alkoholizmo propagavimu: jei rimtai studijuojate šią pamoką, vadinasi, jau esate narkomanas):

Skirtumas tarp sankirtos ir aibių sąjungos

Išvertus į rusų kalbą, tai reiškia: sąjunga (visuma) apima elementus iš abiejų rinkinių, todėl jokiu būdu nėra mažesnis už kiekvieną iš jų; tačiau sankirta (sistema) apima tik tuos elementus, kurie vienu metu yra ir pirmoje, ir antroje. Todėl aibių sankirta niekada nėra didesnė už šaltinių aibes.

Taigi tapo aiškiau? Tai yra puiku. Pereikime prie praktikos.

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

\[\left| 3x+1 \dešinė| \gt 5-4x\]

Sprendimas. Mes tęsiame pagal schemą:

\[\left| 3x+1 \dešinė| ' teisingai.\]

Išsprendžiame kiekvieną populiacijos nelygybę:

\[\left[ \begin (lygiuoti) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end (lygiuoti) \right.\]

\[\left[ \begin (lygiuoti) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end (lygiuoti) \right.\]

\[\left[ \begin (lygiuoti) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end (lygiuoti) \right.\]

Kiekvieną gautą rinkinį pažymime skaičių eilutėje ir sujungiame:

Rinkinių sąjunga

Visiškai akivaizdu, kad atsakymas bus $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Atsakymas: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \dešinė| \gt x\]

Sprendimas. Na? Nieko – viskas taip pat. Nuo nelygybės su moduliu pereiname prie dviejų nelygybių aibės:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \dešinė| \gt x\Rodyklė dešinėn \kairė[ \begin(lygiuoti) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\pabaiga (lygiuoti) \dešinė.\]

Mes išsprendžiame kiekvieną nelygybę. Deja, šaknys ten nebus labai geros:

\[\begin(lygiuoti) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Antroji nelygybė taip pat yra šiek tiek laukinė:

\[\begin(lygiuoti) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Dabar reikia pažymėti šiuos skaičius ant dviejų ašių – po vieną ašį kiekvienai nelygybei. Tačiau taškus reikia pažymėti teisinga tvarka: kuo didesnis skaičius, tuo toliau taškas juda į dešinę.

Ir čia mūsų laukia sąranka. Jei viskas aišku su skaičiais $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (dėmenys pirmojo skaitiklyje trupmena yra mažesnė už antrojo skaitiklio narius, taigi suma taip pat mažesnė), su skaičiais $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ taip pat nebus sunkumų (teigiamas skaičius akivaizdžiai labiau neigiamas), tada su paskutine pora viskas nėra taip aišku. Kuris yra didesnis: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ar $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Nuo atsakymo į šį klausimą priklausys taškų išdėstymas skaičių eilutėse ir, tiesą sakant, atsakymas.

Taigi palyginkime:

\[\begin(matrica) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrica)\]

Išskyrėme šaknį, gavome neneigiamus skaičius abiejose nelygybės pusėse, todėl turime teisę kvadratuoti abi puses:

\[\begin(matrica) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrica)\]

Manau, kad nekeista, kad $4\sqrt(13) \gt 3$, taigi $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, galutiniai taškai ant ašių bus išdėstyti taip:

Bjaurių šaknų atvejis

Priminsiu, kad sprendžiame aibę, todėl atsakymas bus sąjunga, o ne nuspalvintų aibių sankirta.

Atsakymas: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Kaip matote, mūsų schema puikiai tinka tiek paprastoms, tiek labai sudėtingoms problemoms spręsti. Vienintelis šio požiūrio „silpnoji vieta“ yra ta, kad reikia teisingai palyginti neracionalius skaičius (ir patikėkite manimi: tai ne tik šaknys). Tačiau palyginimo klausimams bus skirta atskira (ir labai rimta) pamoka. Ir judame toliau.

3. Nelygybės su neneigiamomis „uodegomis“

Dabar pereiname prie įdomiausios dalies. Tai yra formos nelygybės:

\[\left| f\right| \gt\left| g\right|\]

Apskritai, algoritmas, apie kurį dabar kalbėsime, yra teisingas tik moduliui. Jis veikia visose nelygybėse, kur kairėje ir dešinėje yra garantuotos neneigiamos išraiškos:

Ką daryti su šiomis užduotimis? Tiesiog atsimink:

Esant nelygybėms su neneigiamomis „uodegomis“, abi pusės gali būti pakeltos į bet kokią natūralią galią. Jokių papildomų apribojimų nebus.

Visų pirma, mus sudomins kvadratas - jis degina modulius ir šaknis:

\[\begin(lygiuoti) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Tik nepainiokite to su kvadrato šaknies paėmimu:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Buvo padaryta begalė klaidų, kai studentas pamiršo įdiegti modulį! Bet tai visiškai kita istorija (tai tarsi neracionalios lygtys), todėl dabar į tai nesigilinsime. Išspręskime keletą problemų geriau:

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

\[\left| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Sprendimas. Iš karto atkreipkime dėmesį į du dalykus:

1. Tai nėra griežta nelygybė. Taškai skaičių eilutėje bus pradurti.
2. Akivaizdu, kad abi nelygybės pusės yra neneigiamos (tai yra modulio savybė: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Todėl galime padalyti į kvadratą abi nelygybės puses, kad atsikratytume modulio ir išspręstume problemą naudodami įprastą intervalo metodą:

\[\begin(lygiuoti) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Paskutiniame žingsnyje šiek tiek apgavau: pakeičiau terminų seką, pasinaudodamas modulio tolygumu (iš tikrųjų išraišką $1-2x$ padauginau iš −1).

\[\begin(lygiuoti) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ dešinė)\dešinė)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end (lygiuoti)\]

Sprendžiame intervalo metodu. Pereikime nuo nelygybės prie lygties:

\[\begin(lygiuoti) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Rastas šaknis pažymime skaičių eilutėje. Dar kartą: visi taškai užtamsinti, nes pradinė nelygybė nėra griežta!

Modulio ženklo atsikratymas

Ypatingai užsispyrusiems priminsiu: ženklus paimame iš paskutinės nelygybės, kuri buvo užrašyta prieš pereinant prie lygties. Ir mes dažome reikalingus plotus toje pačioje nelygybėje. Mūsų atveju tai yra $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Gerai, dabar viskas baigta. Problema išspręsta.

Atsakymas: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

\[\left| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

Sprendimas. Viską darome taip pat. Nekomentuosiu – tik pažiūrėkite veiksmų seką.

Kvadratu:

\[\begin(lygiuoti) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \dešinė))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ dešinė))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(lygiuoti)\]

Intervalo metodas:

\[\begin(lygiuoti) & \left(-2x-3 \right)\left(2(x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Rodyklė į dešinę x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Skaičių eilutėje yra tik viena šaknis:

Atsakymas yra visas intervalas

Atsakymas: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Maža pastaba apie paskutinę užduotį. Kaip tiksliai pastebėjo vienas iš mano mokinių, abi submodulinės išraiškos šioje nelygybėje yra akivaizdžiai teigiamos, todėl modulio ženklą galima praleisti nepakenkiant sveikatai.

Bet tai yra visiškai kitoks mąstymo lygis ir kitoks požiūris – tai sąlyginai galima pavadinti pasekmių metodu. Apie tai – atskiroje pamokoje. Dabar pereikime prie paskutinės šios pamokos dalies ir pažvelkime į universalų algoritmą, kuris visada veikia. Net kai visi ankstesni metodai buvo bejėgiai. :)

4. Pasirinkimo galimybių surašymo būdas

Ką daryti, jei visi šie metodai nepadeda? Jei nelygybės negalima redukuoti iki neneigiamų uodegų, jei neįmanoma izoliuoti modulio, jei apskritai yra skausmas, liūdesys, melancholija?

Tada pasirodo visos matematikos „sunkioji artilerija“ – brutalios jėgos metodas. Kalbant apie nelygybes su moduliu, tai atrodo taip:

1. Išrašykite visas submodulines išraiškas ir nustatykite jas lygias nuliui;
2. Išspręskite gautas lygtis ir pažymėkite vienoje skaičių eilutėje rastas šaknis;
3. Tiesi linija bus padalinta į kelias dalis, kuriose kiekvienas modulis turi fiksuotą ženklą ir todėl yra unikaliai atskleistas;
4. Išspręskite kiekvienos tokios sekcijos nelygybę (galite atskirai atsižvelgti į šaknis-ribas, gautas 2 veiksme - dėl patikimumo). Sujunkite rezultatus - tai bus atsakymas. :)

Tai kaip? Silpnas? Lengvai! Tik ilgam. Pažiūrėkime praktiškai:

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

\[\left| x+2 \dešinė| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Sprendimas. Šis šūdas nesusiveda į nelygybes, tokias kaip $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ arba $\left| f\right| \lt \left| g \right|$, todėl elgiamės į priekį.

Išrašome submodulines išraiškas, prilygstame jas nuliui ir randame šaknis:

\[\begin(lygiuoti) & x+2=0\Rodyklė dešinėn x=-2; \\ & x-1=0\Rodyklė dešinėn x=1. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Iš viso turime dvi šaknis, padalijančias skaičių eilutę į tris dalis, kuriose kiekvienas modulis atskleidžiamas unikaliai:

Skaičių eilutės padalijimas submodulinių funkcijų nuliais

Pažvelkime į kiekvieną skyrių atskirai.

1. Tegul $x \lt -2$. Tada abi submodulinės išraiškos yra neigiamos, o pradinė nelygybė bus perrašyta taip:

\[\begin(lygiuoti) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(lygiuoti)\]

Turime gana paprastą apribojimą. Sukirskime jį su pradine prielaida, kad $x \lt -2$:

\[\left\( \begin (lygiuoti) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(lygiuoti) \right.\RightArrow x\in \varnothing \]

Akivaizdu, kad kintamasis $x$ vienu metu negali būti mažesnis nei –2 ir didesnis nei 1,5. Šioje srityje sprendimų nėra.

1.1. Atskirai panagrinėkime ribinį atvejį: $x=-2$. Tiesiog pakeiskime šį skaičių į pradinę nelygybę ir patikrinkime: ar tai tiesa?

\[\begin(lygiuoti) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) \ \ & 0 \lt \left| -3\dešinė|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rodyklė dešinėn \varnothing . \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Akivaizdu, kad skaičiavimų grandinė atvedė mus į neteisingą nelygybę. Todėl pradinė nelygybė taip pat klaidinga, o $x=-2$ į atsakymą neįtraukta.

2. Tegu dabar $-2 \lt x \lt 1$. Kairysis modulis jau atsidarys su „pliusu“, o dešinysis vis tiek atsidarys su „minusu“. Mes turime:

\[\begin (lygiuoti) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(lygiuoti)\]

Vėlgi susikertame su pradiniu reikalavimu:

\[\left\( \begin (lygiuoti) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\pabaiga (lygiuoti) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Ir vėlgi, sprendinių rinkinys tuščias, nes nėra skaičių, kurie būtų ir mažesni nei –2,5, ir didesni už –2.

2.1. Ir vėl ypatingas atvejis: $x=1$. Į pradinę nelygybę pakeičiame:

\[\begin(lygiuoti) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\dešinė| \lt \left| 0\right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\RightArrow \varnothing . \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Panašiai kaip ir ankstesniame „ypatingame atvejis“, atsakyme aiškiai neįtrauktas skaičius $x=1$.

3. Paskutinė eilutės dalis: $x \gt 1$. Čia visi moduliai atidaromi su pliuso ženklu:

\[\begin(lygiuoti) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(lygiuoti)\ ]

Ir vėl susikertame rastą aibę su pradiniu apribojimu:

' ]

Pagaliau! Mes radome intervalą, kuris bus atsakymas.

Atsakymas: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Galiausiai, viena pastaba, kuri gali išgelbėti jus nuo kvailų klaidų sprendžiant tikras problemas:

Nelygybių su moduliais sprendiniai dažniausiai reiškia ištisines aibes skaičių tiesėje – intervalus ir atkarpas. Atskirti taškai yra daug rečiau paplitę. O dar rečiau pasitaiko, kad sprendinio riba (atkarpos pabaiga) sutampa su nagrinėjamo diapazono riba.

Vadinasi, jei ribos (tie patys „ypatingi atvejai“) neįtrauktos į atsakymą, plotai į kairę ir į dešinę nuo šių ribų beveik neabejotinai nebus įtraukti į atsakymą. Ir atvirkščiai: siena įtraukta į atsakymą, o tai reiškia, kad kai kurios sritys aplink ją taip pat bus atsakymai.

Turėkite tai omenyje peržiūrėdami sprendimus.

nelygybės sprendimas režimu prisijungęs sprendimas beveik bet kokia duota nelygybė prisijungęs. Matematinė nelygybės internete matematikai spręsti. Raskite greitai nelygybės sprendimas režimu prisijungęs. Interneto svetainė www.site leidžia rasti sprendimas beveik bet kokia duota algebrinė, trigonometrinis arba transcendentinė nelygybė internete. Studijuodami beveik bet kurią matematikos šaką skirtinguose etapuose turite nuspręsti nelygybės internete. Norėdami gauti atsakymą iš karto, o svarbiausia – tikslų atsakymą, jums reikia šaltinio, leidžiančio tai padaryti. Ačiū svetainei www.site išspręsti nelygybę internete užtruks kelias minutes. Pagrindinis www.site privalumas sprendžiant matematinį nelygybės internete– tai pateikiamo atsakymo greitis ir tikslumas. Svetainė gali išspręsti bet kurią algebrinės nelygybės internete, trigonometrinės nelygybės internete, transcendentinė nelygybė internete, ir nelygybės su nežinomais parametrais režime prisijungęs. Nelygybės tarnauja kaip galingas matematinis aparatas sprendimus praktines problemas. Su pagalba matematinės nelygybės galima išsakyti faktus ir santykius, kurie iš pirmo žvilgsnio gali pasirodyti painūs ir sudėtingi. Nežinomi kiekiai nelygybės galima rasti suformulavus problemą matematinės kalba formoje nelygybės Ir nuspręsti gauta užduotis režimu prisijungęs svetainėje www.site. Bet koks algebrinė nelygybė, trigonometrinė nelygybė arba nelygybės kuriuose yra transcendentinis funkcijas, kurias galite lengvai nuspręsti internete ir gaukite tikslų atsakymą. Studijuodamas gamtos mokslus neišvengiamai susiduri su poreikiu nelygybių sprendimus. Šiuo atveju atsakymas turi būti tikslus ir turi būti gaunamas nedelsiant režimu prisijungęs. Todėl už išspręskite matematines nelygybes internete Mes rekomenduojame svetainę www.site, kuri taps nepakeičiama jūsų skaičiuokle sprendžiant algebrines nelygybes internete, trigonometrinės nelygybės internete, ir transcendentinė nelygybė internete arba nelygybės su nežinomais parametrais. Praktinėms problemoms ieškant įvairių sprendimų internete matematinės nelygybėsšaltinis www.. Spręsti nelygybės internete patiems, naudinga gautą atsakymą patikrinti naudojant nelygybių sprendimas internete svetainėje www.site. Turite teisingai parašyti nelygybę ir iš karto gauti internetinis sprendimas, po to belieka palyginti atsakymą su savo nelygybės sprendimu. Atsakymo patikrinimas užtruks ne ilgiau kaip minutę, to pakanka išspręsti nelygybę internete ir palyginkite atsakymus. Tai padės išvengti klaidų sprendimą ir pataisyti atsakymą laiku, kai nelygybių sprendimas internete arba algebrinė, trigonometrinis, transcendentinis arba nelygybė su nežinomais parametrais.

Kuo daugiau žmogus supranta, tuo stipresnis jo noras suprasti

Tomas Akvinietis

Intervalų metodas leidžia išspręsti visas lygtis, kuriose yra modulis. Šio metodo esmė yra padalinti skaičių ašį į kelias dalis (intervalus), o ašį reikia padalinti moduliuose esančių išraiškų nuliais. Tada kiekvienoje gautoje sekcijoje kiekviena submodulinė išraiška yra teigiama arba neigiama. Todėl kiekvieną modulį galima atidaryti arba su minuso ženklu, arba su pliuso ženklu. Atlikus šiuos veiksmus, belieka išspręsti kiekvieną iš gautų paprastų lygčių nagrinėjamame intervale ir sujungti gautus atsakymus.

Pažvelkime į šį metodą naudodami konkretų pavyzdį.

|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x – 6.

1) Suraskime reiškinių nulius moduliuose. Norėdami tai padaryti, turime juos prilyginti nuliui ir išspręsti gautas lygtis.

x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0

x = -1 2x = 4 x = -3

2) Sudėkite gautus taškus reikiama tvarka koordinačių tiesėje. Jie padalins visą ašį į keturias dalis.

3) Nustatykime kiekvienoje gautoje sekcijoje modulių išraiškų ženklus. Norėdami tai padaryti, į juos pakeičiame bet kokius skaičius iš mus dominančių intervalų. Jei skaičiavimo rezultatas yra teigiamas skaičius, tada į lentelę įrašome „+“, o jei skaičius yra neigiamas, tada „–“. Tai galima pavaizduoti taip:

4) Dabar mes išspręsime lygtį kiekviename iš keturių intervalų, atskleisdami modulius su lentelėje nurodytais ženklais. Taigi, pažiūrėkime į pirmąjį intervalą:

I intervalas (-∞; -3). Ant jo visi moduliai atidaromi su „–“ ženklu. Gauname tokią lygtį:

-(x + 1) – (2x – 4) – (-(x + 3)) = 2x – 6. Pateikime panašius terminus, pirmiausia gautoje lygtyje atidarydami skliaustus:

X – 1 – 2x + 4 + x + 3 = 2x – 6

Gautas atsakymas neįtraukiamas į svarstomą intervalą, todėl jo rašyti galutiniame atsakyme nebūtina.

II intervalas [-3; -1). Šiuo intervalu lentelėje yra ženklai „–“, „–“, „+“. Būtent taip atidarome pradinės lygties modulius:

-(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Supaprastinkime atidarydami skliaustus:

X – 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6. Gautoje lygtyje pateiksime panašius:

x = 6/5. Gautas skaičius nepriklauso nagrinėjamam intervalui, todėl jis nėra pradinės lygties šaknis.

III intervalas [-1; 2). Pradinės lygties modulius išplečiame ženklais, kurie atsiranda trečiame paveikslo stulpelyje. Mes gauname:

(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Atsikratykime skliaustų ir terminus, kuriuose yra kintamasis x, perkelkime į kairę lygties pusę, o neturinčius x į dešinė. Turėsiu:

x + 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6

Skaičius 2 neįtrauktas į nagrinėjamą intervalą.

IV intervalas)