Pitagoro trigubai ir jų skaičius. Šiuolaikinės mokslui imlios technologijos Pirminiai skaičiai kaip Pitagoro trigubų dalis

„Regioninis švietimo centras“

Metodinis tobulinimas

Pitagoro trigubų naudojimas sprendžiant

geometrinės problemos ir trigonometriniai uždaviniai NAUDOJIMAS

Kaluga, 2016 m

I Įvadas

Pitagoro teorema yra viena pagrindinių ir, galima sakyti, pati svarbiausia geometrijos teorema. Jo reikšmė slypi tame, kad iš jos arba jos pagalba galima išvesti daugumą geometrijos teoremų. Pitagoro teorema yra nuostabi ir tuo, kad ji pati savaime nėra visiškai akivaizdi. Pavyzdžiui, lygiašonio trikampio savybes galima pamatyti tiesiai brėžinyje. Bet kad ir kaip žiūrėtumėte į stačiakampį trikampį, niekada nepamatysite, kad tarp jo kraštinių yra toks paprastas santykis: a2+b2=c2. Tačiau jo vardu pavadintą teoremą atrado ne Pitagoras. Tai buvo žinoma dar anksčiau, bet galbūt tik kaip faktas, gautas iš matavimų. Tikėtina, kad Pitagoras tai žinojo, bet rado įrodymų.

Natūralių skaičių yra be galo daug a, b, c, tenkinantis santykius a2+b2=c2.. Jie vadinami Pitagoro skaičiais. Pagal Pitagoro teoremą tokie skaičiai gali pasitarnauti kaip kokio nors stačiakampio trikampio kraštinių ilgiai – vadinsime juos Pitagoro trikampiais.

Darbo tikslas: ištirti Pitagoro trigubų panaudojimo galimybę ir efektyvumą sprendžiant mokyklinio matematikos kurso uždavinius, NAUDOJIMO užduotis.

Atsižvelgiant į darbo tikslą, toliau užduotys:

Išstudijuoti Pitagoro trigubų istoriją ir klasifikaciją. Analizuoti užduotis naudodami Pitagoro trigubus, esančius mokykliniuose vadovėliuose ir esančius egzamino kontrolinėje ir matavimo medžiagoje. Įvertinti Pitagoro trigubų panaudojimo efektyvumą ir jų savybes sprendžiant uždavinius.

Tyrimo objektas: Pitagoro skaičių trigubai.

Studijų dalykas: mokyklinio trigonometrijos ir geometrijos kurso užduotys, kuriose naudojami Pitagoro trigubai.

Tyrimo aktualumas. Pitagoro trigubai dažnai naudojami geometrijoje ir trigonometrijoje, jų žinojimas pašalins skaičiavimų klaidas ir sutaupys laiko.

II. Pagrindinė dalis. Problemų sprendimas naudojant Pitagoro trigubus.

2.1. Pitagoro skaičių trigubų lentelė (pagal Perelmaną)

Pitagoro skaičiai turi formą a= m n, , kur m ir n yra keli nelyginiai skaičiai.

Pitagoro skaičiai turi keletą įdomių savybių:

Viena iš „kojų“ turi būti trijų kartotinis.

Viena iš „kojų“ turi būti keturių kartotinis.

Vienas iš Pitagoro skaičių turi būti penkių kartotinis.

Knygoje „Pramoginė algebra“ yra Pitagoro trigubų lentelė, kurioje yra skaičiai iki šimto, kurie neturi bendrų veiksnių.

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2. Šustrovo Pitagoro trigubų klasifikacija.

Šustrovas atrado tokį modelį: jei visi Pitagoro trikampiai yra suskirstyti į grupes, tada nelyginei kojai x, lyginei y ir hipotenuzei z galioja šios formulės:

x \u003d (2N-1) (2n + 2N-1); y = 2n (n+2N-1); z = 2n (n+2N-1)+(2N-1) 2, kur N yra šeimos skaičius, o n yra eilės trikampio skaičius šeimoje.

Formulėje vietoj N ir n pakeitę bet kokius teigiamus sveikuosius skaičius, pradedant nuo vieno, galite gauti visus pagrindinius Pitagoro skaičių trigubus, taip pat tam tikro tipo kartotinius. Kiekvienai šeimai galite sudaryti visų Pitagoro triviečių lentelę.

2.3. Planimetrijos užduotys

Panagrinėkime įvairių geometrijos vadovėlių problemas ir išsiaiškinkime, kaip dažnai šiose užduotyse randami Pitagoro trigubiai. Trivialios problemos ieškant trečiojo elemento Pitagoro trigubų lentelėje nebus svarstomos, nors jų yra ir vadovėliuose. Parodykime, kaip uždavinio, kurio duomenys neišreiškiami natūraliaisiais skaičiais, sprendimą sumažinti iki Pitagoro trigubų.

Apsvarstykite užduotis iš geometrijos vadovėlio 7-9 klasėms.

№ 000. Raskite stačiojo trikampio hipotenuzę A=, b=.

Sprendimas. Kojelių ilgius padauginkite iš 7, gausime du elementus iš Pitagoro trigubo 3 ir 4. Trūksta elemento 5, kurį padalijame iš 7. Atsakymas.

№ 000. Stačiakampyje ABCD raskite BC, jei CD = 1,5, AC = 2,5.

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">

Sprendimas. Išspręskime statųjį trikampį ACD. Ilgius padauginame iš 2, gauname du elementus iš Pitagoro trigubo 3 ir 5, trūksta elemento 4, kurį dalijame iš 2. Atsakymas: 2.

Spręsdami kitą skaičių, patikrinkite santykį a2+b2=c2 tai visiškai neprivaloma, pakanka naudoti Pitagoro skaičius ir jų savybes.

№ 000. Sužinokite, ar trikampis yra stačiakampis, jei jo kraštinės išreikštos skaičiais:

a) 6,8,10 (Pitagoro trigubas 3,4,5) - taip;

Viena iš stačiojo trikampio kojelių turi dalytis iš 4. Atsakymas: ne.

c) 9,12,15 (Pitagoro trigubas 3,4,5) – taip;

d) 10,24,26 (Pitagoro trigubas 5,12,13) ​​– taip;

Vienas iš Pitagoro skaičių turi būti penkių kartotinis. Atsakymas: ne.

g) 15, 20, 25 (Pitagoro trigubas 3,4,5) – taip.

Iš trisdešimt devynių šioje dalyje pateiktų užduočių (Pitagoro teorema) dvidešimt dvi sprendžiamos žodžiu, naudojant Pitagoro skaičius ir žinant jų savybes.

Apsvarstykite problemą Nr. 000 (iš skilties „Papildomos užduotys“):

Raskite keturkampio ABCD plotą, kur AB=5 cm, BC=13 cm, CD=9 cm, DA=15 cm, AC=12 cm.

Užduotis yra patikrinti santykį a2+b2=c2 ir įrodyti, kad duotasis keturkampis susideda iš dviejų stačiųjų trikampių (atvirkštinė teorema). O žinant Pitagoro trigubus: 3, 4, 5 ir 5, 12, 13, skaičiavimų nereikia.

Pateiksime kelių uždavinių sprendimus iš geometrijos vadovėlio 7-9 klasei.

156 (h) uždavinys. Stačiojo trikampio kojos yra 9 ir 40. Raskite medianą, nubrėžtą į hipotenuzę.

Sprendimas . Vidutinė hipotenuzės dalis yra lygi jos pusei. Pitagoro trigubas yra 9,40 ir 41. Todėl mediana yra 20,5.

156 (i) uždavinys. Trikampio kraštinės yra: A= 13 cm, b= 20 cm ir aukštis hс = 12 cm Raskite pagrindą Su.

Užduotis (KIM USE). Raskite į smailųjį trikampį ABC įbrėžto apskritimo spindulį, jei aukštis BH yra 12 ir žinoma, kad sin A=,sin C \u003d kairėje "\u003e

Sprendimas. Išsprendžiame stačiakampį ∆ ASC: sin A=, BH=12, taigi AB=13,AK=5 (Pitagoro trigubas 5,12,13). Išspręskite stačiakampį ∆ BCH: BH =12, sin C===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (Pitagoro trigubas 3,4,5).Spindulys randamas pagal formulę r === 4. Atsakymas.4.

2.4. Pitagoro trigubai trigonometrijoje

Pagrindinė trigonometrinė tapatybė yra ypatingas Pitagoro teoremos atvejis: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. Todėl kai kurios trigonometrinės užduotys lengvai išsprendžiamos žodžiu, naudojant Pitagoro trigubus.

Problemos, kuriose reikia rasti kitų trigonometrinių funkcijų reikšmes iš tam tikros funkcijos reikšmės, gali būti išspręstos neskaidant kvadratu ir neišimant kvadratinės šaknies. Visas tokio tipo užduotis mokykliniame algebros (10-11) Mordkovičiaus vadovėlyje (Nr. 000-Nr. 000) galima išspręsti žodžiu, žinant tik kelis Pitagoro trigubus: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Panagrinėkime dviejų uždavinių sprendimus.

Nr. 000 a). sin t = 4/5, π/2< t < π.

Sprendimas. Pitagoro trigubas: 3, 4, 5. Todėl cos t = -3/5; tg t = -4/3,

Nr. 000 b). tg t = 2,4, π< t < 3π/2.

Sprendimas. tg t \u003d 2,4 \u003d 24/10 \u003d 12/5. Pitagoro trigubas 5,12,13. Atsižvelgiant į ženklus, gauname sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12.

3. Egzamino kontrolinė ir matavimo medžiaga

a) cos (arksinas 3/5) = 4/5 (3, 4, 5)

b) nuodėmė (arccos 5/13) = 12/13 (5, 12, 13)

c) tg (arcinas 0,6) = 0,75 (6, 8, 10)

d) ctg (arccos 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)

e) 4/3 tg (π–arcinas (–3/5)) = 4/3 tg (π+arcinas 3/5) = 4/3 tg arcsin 3/5 = 4/3 3/4 = 1

e) patikrinkite lygybės pagrįstumą:

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2.

Sprendimas. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π/2 - arcsin 16/65

nuodėmė (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = nuodėmė (arccos 16/65)

sin (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

III. Išvada

Geometriniuose uždaviniuose dažnai tenka spręsti stačiuosius trikampius, kartais kelis kartus. Išanalizavus mokyklinių vadovėlių ir NAUDOJIMO medžiagos uždavinius, galime daryti išvadą, kad daugiausia naudojami trynukai: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; kuriuos lengva prisiminti. Sprendžiant kai kurias trigonometrines užduotis, klasikinis sprendimas naudojant trigonometrines formules ir daugybę skaičiavimų užtrunka, o Pitagoro trigubų išmanymas pašalins skaičiavimo klaidas ir sutaupys laiko sunkesniems egzamino uždaviniams spręsti.

Bibliografinis sąrašas

1. Algebra ir analizės pradžia. 10-11 klasių. 2 val.. 2 dalis. Užduočių sąsiuvinis ugdymo įstaigoms / [ir kt.]; red. . – 8-asis leidimas, vyr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 p. : nesveikas.

2. Perelmano algebra. - D.: VAP, 1994. - 200 p.

3. Roganovskis: Proc. 7-9 ląstelėms. su gilia matematikos bendrojo lavinimo studijos. mokykla iš rusų kalbos lang. mokymasis, – 3 leid. - Mn.; Nar. Asveta, 2000. - 574 p.: iliustr.

4. Matematika: Skaitytojas apie istoriją, metodiką, didaktiką. / Komp. . - M.: URAO leidykla, 2001. - 384 p.

5. Žurnalas "Matematika mokykloje" Nr.1, 1965 m.

6. Egzamino kontrolinė ir matavimo medžiaga.

7. Geometrija, 7-9: Proc. švietimo įstaigoms / ir tt - 13 leidimas - M .: Švietimas, 2003 m. – 384 p. : nesveikas.

8. Geometrija: Proc. 10-11 ląstelių. vid. mokykla / ir tt – 2 leidimas. - M .: Išsilavinimas, 1993, - 207 p.: iliustr.

Perelmano algebra. - D.: VAP, 1994. - 200 p.

Žurnalas „Matematika mokykloje“ 1965 m.1 Nr.

Geometrija, 7-9: Proc. švietimo įstaigoms / ir tt - 13 leidimas - M .: Švietimas, 2003 m. – 384 p. : nesveikas.

Roganovskis: Proc. 7-9 ląstelėms. su gilia matematikos bendrojo lavinimo studijos. mokykla iš rusų kalbos lang. mokymasis, – 3 leid. - Mn.; Nar. Asveta, 2000. - 574 p.: iliustr.

Algebra ir analizės pradžia. 10-11 klasių. 2 val.. 2 dalis. Užduočių sąsiuvinis ugdymo įstaigoms / [ir kt.]; red. . – 8-asis leidimas, vyr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 p. : iliustr., p.18.

Belotelovas V.A. Pitagoro trigubai ir jų skaičius // Nesterovų enciklopedija

Šis straipsnis yra atsakymas vienam profesoriui – pincheriui. Pažiūrėkite, profesoriau, kaip jie tai daro mūsų kaime.

Nižnij Novgorodo sritis, Zavolžie.

Reikalingos diofantinių lygčių (ADDE) sprendimo algoritmo žinios ir daugianario progresavimo žinios.

IF yra pirminis skaičius.

MF yra sudėtinis skaičius.

Tebūnie nelyginis skaičius N. Bet kuriam nelyginiam skaičiui, išskyrus vieną, galite parašyti lygtį.

p 2 + N \u003d q 2,

kur р + q = N, q – р = 1.

Pavyzdžiui, skaičių 21 ir 23 lygtys būtų tokios:

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Jei N yra pirminis, ši lygtis yra unikali. Jei skaičius N yra sudėtinis, tai galima sudaryti panašias lygtis šį skaičių reprezentuojančių veiksnių poroms, įskaitant 1 x N.

Paimkime skaičių N = 45, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

Svajojau, bet ar įmanoma, įsikibusi į šį skirtumą tarp IF ir MF, rasti metodą jų identifikavimui.

Supažindinkime su užrašu;

Pakeiskime apatinę lygtį, -

N \u003d 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

Sugrupuokime N reikšmes pagal kriterijų - a, t.y. pasidarykime lentelę.

Skaičiai N buvo apibendrinti matricoje, -

Būtent šiai užduočiai man teko susidoroti su daugianarių ir jų matricų progresijomis. Viskas pasirodė veltui - PCh gynyba yra galinga. Įveskime 1 lentelės stulpelį, kur - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

Dar kartą. 2 lentelė buvo gauta bandant išspręsti IF ir MF identifikavimo problemą. Iš lentelės matyti, kad bet kuriam skaičiui N yra tiek lygčių a 2 + N \u003d iš 2, į kiek veiksnių porų skaičius N gali būti padalintas, įskaitant koeficientą 1 x N. Be to, prie skaičių N \u003d ℓ 2, kur

ℓ – FC. Jei N = ℓ 2 , kur ℓ yra IF, yra unikali lygtis p 2 + N = q 2 . Apie kokį papildomą įrodymą galime kalbėti, jei lentelėje išvardijami mažesni veiksniai iš faktorių porų, sudarančių N, nuo vieno iki ∞. 2 lentelę įdėsime į skrynią, o skrynią paslėpsime spintoje.

Grįžkime prie straipsnio pavadinime nurodytos temos.

Šis straipsnis yra atsakymas vienam profesoriui – pincheriui.

Paprašiau pagalbos – man reikėjo eilės skaičių, kurių neradau internete. Susidūriau su tokiais klausimais kaip: „O kam?“, „Bet parodyk man metodą“. Visų pirma kilo klausimas, ar Pitagoro trigubų serija yra begalinė, „kaip tai įrodyti?“. Jis man nepadėjo. Pažiūrėkite, profesoriau, kaip jie tai daro mūsų kaime.

Paimkime Pitagoro trigubų formulę, -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (1)

Pravažiuokime per ARDU.

Galimos trys situacijos:

I. x yra nelyginis skaičius,

y yra lyginis skaičius

z yra lyginis skaičius.

Ir yra sąlyga x > y > z.

II. x yra nelyginis skaičius

y yra lyginis skaičius

z yra nelyginis skaičius.

x > z > y.

III.x – lyginis skaičius,

y yra nelyginis skaičius

z yra nelyginis skaičius.

x > y > z.

Pradėkime nuo I.

Pristatykime naujus kintamuosius

Pakeiskite (1) lygtį.

Panaikinkime mažesniu kintamuoju 2γ.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

Sumažinkime kintamąjį 2β – 2γ mažesniu, kartu įvesdami naują parametrą ƒ, -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

Tada 2α - 2β = x - y - 1.

(2) lygtis bus tokia:

(x – y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

Padėkime kvadratu -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU per parametrus pateikia ryšį tarp vyresniųjų lygties narių, todėl gavome (3) lygtį.

Nėra solidu spręsti sprendimų parinkimą. Bet, pirma, nėra kur dėtis, antra, reikia kelių šių sprendimų, ir mes galime atkurti be galo daug sprendimų.

Jei ƒ = 1, k = 1, turime x – y = 1.

Kai ƒ = 12, k = 16, turime x - y = 9.

Kai ƒ = 4, k = 32, turime x - y = 25.

Galite jį pasiimti ilgą laiką, bet galiausiai serija įgis tokią formą -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

Apsvarstykite II variantą.

Į (1) lygtį įtrauksime naujus kintamuosius

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

Sumažiname mažesniu kintamuoju 2 β, -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

Sumažinkime mažesniu kintamuoju 2α – 2β, –

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (4)

2α - 2γ = x - z ir pakeiskite (4) lygtį.

(x – z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

Kai ƒ = 3, k = 4, turime x - z = 2.

Kai ƒ = 8, k = 14, turime x - z = 8.

Kai ƒ = 3, k = 24, turime x - z = 18.

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

Nubrėžkime trapeciją -

Parašykime formulę.

kur n=1, 2,...∞.

III atvejis nebus aprašytas – ten nėra sprendimų.

II sąlygai trigubų rinkinys bus toks:

Aiškumo dėlei (1) lygtis pateikiama kaip x 2 = z 2 + y 2.

I sąlygai trigubų rinkinys bus toks:

Iš viso nudažytos 9 trigubų kolonos, po penkias trigubas. Ir kiekvienas iš pateiktų stulpelių gali būti parašytas iki ∞.

Kaip pavyzdį apsvarstykite paskutinio stulpelio trigubus, kur x - y \u003d 81.

X reikšmėms rašome trapeciją, -

Parašykime formulę

Vertėms, kurių mes rašome trapeciją, -

Parašykime formulę

z reikšmėms rašome trapeciją, -

Parašykime formulę

Kur n = 1 ÷ ∞.

Kaip žadėta, trynukų, kurių x - y = 81, serija skrenda į ∞.

I ir II atvejais buvo bandoma sudaryti matricas x, y, z.

Iš viršutinių eilučių išrašykite paskutinius penkis x stulpelius ir sukurkite trapeciją.

Tai neveikė, o modelis turėtų būti kvadratinis. Norint viską padaryti ažūriškai, paaiškėjo, kad reikia sujungti I ir II stulpelius.

II atveju dydžiai y, z vėl sukeičiami.

Susijungti pavyko dėl vienos priežasties – kortos puikiai tinka šiai užduočiai – mums pasisekė.

Dabar galite rašyti x, y, z matricas.

Paimkime iš paskutinių penkių x reikšmės stulpelių iš viršutinių eilučių ir sukurkime trapeciją.

Viskas gerai, galite sudaryti matricas, o pradėkime nuo z matricos.

Bėgu prie spintos krūtinės.

Iš viso: Be vieno, kiekvienas nelyginis skaitinės ašies skaičius dalyvauja formuojant Pitagoro trigubus iš vienodo skaičiaus faktorių porų, sudarančių šį skaičių N, įskaitant koeficientą 1 x N.

Skaičius N \u003d ℓ 2, kur ℓ - IF, sudaro vieną Pitagoro trigubą, jei ℓ yra MF, tai faktoriuose ℓхℓ trigubo nėra.

Sukurkime x, y matricas.

Pradėkime nuo x matricos. Norėdami tai padaryti, ištrauksime koordinačių tinklelį iš IF ir MF identifikavimo problemos.

Vertikalių eilučių numeracija normalizuojama išraiška

Išimkime pirmąjį stulpelį, nes

Matrica bus tokia forma -

Apibūdinkime vertikalias eilutes, -

Apibūdinkime koeficientus ties "a", -

Apibūdinkime laisvus narius, -

Padarykime bendrą formulę "x", -

Jei atliekame panašų darbą su „y“, gauname -

Prie šio rezultato galite kreiptis iš kitos pusės.

Paimkime lygtį,

ir 2 + N = 2.

Truputį pakeisim -

N = 2 - 2.

Padėkime kvadratu -

N 2 \u003d 4 - 2v 2 a 2 + a 4.

Kairėje ir dešinėje lygties pusėse pridėkite 4v 2 a 2 dydį, -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d 4 + 2v 2 a 2 + a 4.

Ir, galiausiai -

(2 + a 2) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

Pitagoro trigubai sudaryti taip:

Apsvarstykite pavyzdį su skaičiumi N = 117.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

2 lentelės vertikalūs stulpeliai sunumeruoti reikšmėmis in - a, o vertikalūs 3 lentelės stulpeliai sunumeruoti reikšmėmis x - y.

x - y \u003d (c - a) 2,

x \u003d y + (c - a) 2.

Padarykime tris lygtis.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

3 ir 39 koeficientai nėra santykinai pirminiai skaičiai, todėl vienas trigubas pasirodė su koeficientu 9.

Pavaizduokime tai, kas aukščiau parašyta bendrais simboliais, -

Šiame darbe viskas, įskaitant Pitagoro trigubų su skaičiumi skaičiavimo pavyzdį

N = 117, susieta su mažesniu koeficientu - a. Aiški diskriminacija, susijusi su veiksniu + a. Ištaisykime šią neteisybę – sudarysime tris lygtis su koeficientu + a.

Grįžkime prie IF ir MF identifikavimo klausimo.

Šia kryptimi buvo padaryta daug dalykų, o šiandien per rankas kilo tokia mintis – nėra identifikavimo lygties, nėra ir faktorių nustatymo.

Tarkime, kad radome ryšį F = a, b (N).

Yra formulė

Galite atsikratyti formulėje F iš in ir gausite homogeninę n-ojo laipsnio lygtį a atžvilgiu, t.y. F = a(N).

Bet kurio šios lygties n laipsnio atveju yra skaičius N su m faktorių poromis, kai m > n.

Ir dėl to vienalytė n laipsnio lygtis turi turėti m šaknų.

Taip, taip negali būti.

Šiame darbe skaičiai N buvo nagrinėjami lygčiai x 2 = y 2 + z 2, kai jie yra lygtyje z vietoje. Kai N yra vietoje x, tai yra kita užduotis.

Pagarbiai Belotelovas V.A.

Toliau apsvarstysime gerai žinomus efektyvių Pitagoro trigubų generavimo metodus. Pitagoro mokiniai pirmieji sugalvojo paprastą būdą sukurti Pitagoro trigubus, naudodami formulę, kurios dalys reiškia Pitagoro trigubą:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

Kur m- nesuporuotas, m>2. tikrai,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

Panašią formulę pasiūlė senovės graikų filosofas Platonas:

(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

Kur m- bet koks skaičius. Dėl m= 2,3,4,5 generuojami šie trynukai:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Kaip matote, šios formulės negali pateikti visų įmanomų primityvių trigubų.

Apsvarstykite šį daugianarį, kuris išskaidomas į daugianarių sumą:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .

Taigi primityviųjų trigubų gavimo formulės yra šios:

a = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Šios formulės generuoja trigubus, kuriuose vidutinis skaičius nuo didžiausio skiriasi lygiai vienu, tai yra, generuojami ir ne visi galimi trigubiai. Čia pirmieji trigubai yra: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Norint nustatyti, kaip generuoti visus primityvius trigubus, reikia ištirti jų savybes. Pirma, jei ( a,b,c) yra primityvus trigubas a Ir b, b Ir c, A Ir c- turi būti koprime. Leisti a Ir b yra skirstomi į d. Tada a 2 + b 2 taip pat dalijasi iš d. Atitinkamai, c 2 ir c turėtų būti suskirstyti į d. Tai yra, tai nėra primityvus trigubas.

Antra, tarp skaičių a, b vienas turi būti suporuotas, o kitas neporuotas. Tikrai, jei a Ir b- tada suporuotas Su bus suporuoti, o skaičiai gali būti padalyti bent iš 2. Jei jie abu nesuporuoti, jie gali būti pavaizduoti kaip 2 k+1 ir 2 l+1, kur k,l- kai kurie skaičiai. Tada a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, tai yra Su 2, taip pat a 2 + b 2, padalijus iš 4, lieka 2.

Leisti Su- bet koks skaičius, tai yra Su = 4k+i (i=0,…,3). Tada Su 2 = (4k+i) 2 liekana yra 0 arba 1, o likutis negali būti 2. Taigi, a Ir b negali būti atjungtas, tai yra a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 ir likutis Su 2 x 4 turėtų būti 1, o tai reiškia Su turėtų būti nesuporuotas.

Tokius Pitagoro trigubo elementų reikalavimus tenkina šie skaičiai:

a = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)

Kur m Ir n yra koprime su skirtingomis poromis. Pirmą kartą šios priklausomybės tapo žinomos iš Euklido, gyvenusio 2300 m., darbų. atgal.

Įrodykime priklausomybių (2) pagrįstumą. Leisti A- Tada dvigubai b Ir c– nesuporuotas. Tada c + b i c − b- poros. Jie gali būti pavaizduoti kaip c + b = 2u Ir c − b = 2v, Kur u,v yra keletas sveikųjų skaičių. Štai kodėl

a 2 = Su 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2u 2 v = 4UV

Ir todėl ( a/2) 2 = UV.

Tai gali būti įrodyta prieštaravimu u Ir v yra koprime. Leisti u Ir v– skirstomi į d. Tada ( c + b) Ir ( c − b) skirstomi į d. Ir todėl c Ir b turėtų būti suskirstyti į d, ir tai prieštarauja Pitagoro trigubo sąlygai.

Nes UV = (a/2) 2 ir u Ir v coprime, tai nesunku įrodyti u Ir v turi būti kai kurių skaičių kvadratai.

Taigi yra teigiami sveikieji skaičiai m Ir n, toks u = m 2 ir v = n 2. Tada

A 2 = 4UV = 4m 2 n 2 taip
A = 2mn; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .

Nes b> 0, tada m > n.

Belieka tai parodyti m Ir n turi skirtingas poras. Jeigu m Ir n- tada suporuotas u Ir v turi būti suporuoti, bet tai neįmanoma, nes jie yra koprime. Jeigu m Ir n- tada nesuporuotas b = m 2 − n 2 ir c = m 2 + n 2 būtų suporuoti, o tai neįmanoma, nes c Ir b yra koprime.

Taigi bet koks primityvus Pitagoro trigubas turi atitikti sąlygas (2). Tuo pačiu ir skaičiai m Ir n paskambino generuojant skaičius primityvūs trynukai. Pavyzdžiui, turėkime primityvų Pitagoro trigubą (120 119 169). Tokiu atveju

A= 120 = 2 12 5, b= 119 = 144 − 25 ir c = 144+25=169,

Kur m = 12, n= 5 – generuojantys skaičius, 12 > 5; 12 ir 5 yra bendras ir skirtingų porų.

Galima įrodyti, kad skaičiai m, n formulės (2) duoda primityvų Pitagoro trigubą (a,b,c). tikrai,

A 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

Tai yra ( a,b,c) yra Pitagoro trigubas. Įrodykime tai kol kas a,b,c yra pirminiai skaičiai pagal prieštaravimą. Tegul šie skaičiai yra padalyti iš p> 1. Nuo m Ir n tada turi skirtingas poras b Ir c- nesuporuotas, tai yra p≠ 2. Nuo to laiko R dalijasi b Ir c, Tai R reikia padalinti 2 m 2 ir 2 n 2, o tai neįmanoma, nes p≠ 2. Todėl m, n yra koprime ir a,b,c taip pat yra koprime.

1 lentelėje parodyti visi primityvūs Pitagoro trigubiai, sugeneruoti pagal (2) formules m≤10.

1 lentelė. Primityvūs Pitagoro trigubai už m≤10

m	n	a	b	c	m	n	a	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Šios lentelės analizė rodo, kad yra šių modelių serijų:

• arba a, arba b yra padalintas iš 3;
• vienas iš skaičių a,b,c dalijasi iš 5;
• numerį A dalijasi iš 4;
• dirbti a· b dalijasi iš 12.

1971 m. amerikiečių matematikai Teiganas ir Hedwinas pasiūlė tokius mažai žinomus stačiakampio trikampio parametrus, kaip jo aukštis (aukštis), kad sukurtų tripletus. h = c− b ir perteklius (sėkmė) e = a + b − c. 1 pav. šie dydžiai rodomi tam tikrame stačiakampyje.

1 pav. Statusis trikampis ir jo augimas bei perteklius

Pavadinimas „perteklius“ kilęs iš to, kad tai yra papildomas atstumas, kurį reikia įveikti išilgai trikampio kraštų nuo vienos viršūnės iki priešingos, jei nevažiuosite išilgai jo įstrižainės.

Per perteklių ir augimą Pitagoro trikampio kraštinės gali būti išreikštos taip:

e 2 e 2
a = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Ne visi deriniai h Ir e gali atitikti Pitagoro trikampius. Dėl duoto h galimas vertes e yra kažkokio skaičiaus sandauga d. Šis skaičius d vadinamas augimu ir nurodo h tokiu būdu: d yra mažiausias teigiamas sveikasis skaičius, kurio kvadratas dalijasi iš 2 h. Nes e daugkartinis d, tada jis rašomas kaip e = kd, Kur k yra teigiamas sveikasis skaičius.

Su porų pagalba ( k,h) galite sugeneruoti visus Pitagoro trikampius, įskaitant neprimityviuosius ir apibendrintus, taip:

(dk) 2 (dk) 2
a = h + dk, b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Be to, trigubas yra primityvus, jei k Ir h yra koprime ir jei h =± q 2 val q– nesuporuotas.
Be to, tai bus tiksliai Pitagoro trigubas, jei k> √2 h/d Ir h > 0.

Rasti k Ir h nuo ( a,b,c) atlikite šiuos veiksmus:

• h = c − b;
• užsirašyti h Kaip h = pq 2, kur p> 0 ir toks, kuris nėra kvadratas;
• d = 2pq Jeigu p- nesuporuotas ir d = pq, jei p yra suporuotas;
• k = (a − h)/d.

Pavyzdžiui, mes turime trigubą (8,15,17). h= 17−15 = 2 1, taigi p= 2 ir q = 1, d= 2 ir k= (8 − 2)/2 = 3. Taigi šis trigubas pateikiamas kaip ( k,h) = (3,2).

Trigubui (459 1260 1341) turime h= 1341 − 1260 = 81, taigi p = 1, q= 9 ir d= 18, vadinasi k= (459 − 81)/18 = 21, taigi šio trigubo kodas yra ( k,h) = (21, 81).

Nurodant trigubus su h Ir k turi daug įdomių savybių. Parametras k lygus

k = 4S/(dP), (5)

Kur S = ab/2 yra trikampio plotas ir P = a + b + c yra jo perimetras. Tai išplaukia iš lygybės eP = 4S, kuris kilęs iš Pitagoro teoremos.

Stačiajam trikampiui e lygus į trikampį įbrėžto apskritimo skersmeniui. Taip yra dėl to, kad hipotenuzė Su = (A − r)+(b − r) = a + b − 2r, Kur r yra apskritimo spindulys. Iš čia h = c − b = A − 2r Ir e = a − h = 2r.

Dėl h> 0 ir k > 0, k yra eilės trynukų skaičius a-b-c Pitagoro trikampių sekoje su didėjančia h. Iš 2 lentelės, kurioje parodyti keli poromis sugeneruotų trynukų variantai h, k, galima pastebėti, kad didėjant k trikampio kraštinės didėja. Taigi, skirtingai nei klasikinė numeracija, numeracija poromis h, k turi aukštesnę eilę trynukų sekose.

2 lentelė. Pitagoro trigubai, sukurti poromis h, k.

h	k	a	b	c	h	k	a	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

Dėl h > 0, d tenkina nelygybę 2√ h ≤ d ≤ 2h, kurioje apatinė riba pasiekiama ties p= 1, o viršutinė, ties q= 1. Todėl reikšmė d 2√ atžvilgiu h yra matas, kiek h toli nuo kokio nors skaičiaus kvadrato.

Savybės

Kadangi lygtis x 2 + y 2 = z 2 vienalytis, padauginus x , y Ir z už tą patį skaičių gausite dar vieną Pitagoro trigubą. Pitagoro trigubas vadinamas primityvus, jei jo negalima gauti tokiu būdu, tai yra santykinai pirminiai skaičiai.

Pavyzdžiai

Kai kurie Pitagoro trigubai (surūšiuoti didžiausio skaičiaus didėjimo tvarka, primityvūs yra paryškinti):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Remdamiesi Fibonačio skaičių savybėmis, galite padaryti juos, pavyzdžiui, tokius Pitagoro trigubus:

.

Istorija

Pitagoro trigubai buvo žinomi labai ilgą laiką. Senovės Mesopotamijos antkapių architektūroje randamas lygiašonis trikampis, sudarytas iš dviejų stačiakampių, kurių kraštinės yra 9, 12 ir 15 uolekčių. Faraono Snefru (XXVII a. pr. Kr.) piramidės buvo pastatytos naudojant trikampius, kurių kraštinės yra 20, 21 ir 29, taip pat 18, 24 ir 30 dešimčių egiptietiškų uolekčių.

taip pat žr

Nuorodos

• E. A. Gorinas Pirminių skaičių laipsniai Pitagoro trigubai // Matematinis išsilavinimas. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

Wikimedia fondas. 2010 m.

Pažiūrėkite, kas yra „Pitagoro skaičiai“ kituose žodynuose:

Natūraliųjų skaičių trigubai tokie, kad trikampis, kurio kraštinių ilgis yra proporcingas (arba lygus) šiems skaičiams, būtų stačiakampis, pvz. skaičių trigubas: 3, 4, 5… Didysis enciklopedinis žodynas

Natūraliųjų skaičių trigubai, tokie, kad trikampis, kurio kraštinių ilgis yra proporcingas (arba lygus) šiems skaičiams, būtų stačiakampis, pavyzdžiui, skaičių trigubas: 3, 4, 5. * * * PITAGORO SKAIČIAI PITAGORO SKAIČIAI, natūraliųjų skaičių, pvz. kad ...... enciklopedinis žodynas

Natūraliųjų skaičių trigubai, kad trikampis, kurio kraštinių ilgis yra proporcingas (arba lygus) šiems skaičiams, yra stačiakampis. Pagal teoremą, atvirkštinę Pitagoro teoremą (žr. Pitagoro teoremą), tam pakanka, kad jie ... ...

Teigiamų sveikųjų skaičių x, y, z trejetai, tenkinantys lygtį x2+y 2=z2. Visi šios lygties sprendiniai, taigi ir visi P. p., išreiškiami formulėmis x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, kur a, b yra savavališki teigiami sveikieji skaičiai (a>b). P. h... Matematinė enciklopedija

Natūralių skaičių trigubai, pavyzdžiui, trikampis, kurio kraštinių ilgis yra proporcingas (arba lygus) šiems skaičiams, yra stačiakampis. skaičių trigubas: 3, 4, 5… Gamtos mokslai. enciklopedinis žodynas

Matematikoje Pitagoro skaičiai (Pitagoro trigubas) yra trijų sveikųjų skaičių eilė, atitinkanti Pitagoro santykį: x2 + y2 = z2. Turinys 1 Savybės 2 Pavyzdžiai ... Vikipedija

Garbanoti skaičiai yra bendras skaičių, susijusių su konkrečia geometrine figūra, pavadinimas. Ši istorinė samprata siekia pitagoriečius. Manoma, kad posakis „Kvadratas arba kubas“ kilo iš garbanotų skaičių. Turinys ... ... Vikipedija

Garbanoti skaičiai yra bendras skaičių, susijusių su konkrečia geometrine figūra, pavadinimas. Ši istorinė samprata siekia pitagoriečius. Yra šių tipų garbanoti skaičiai: Tiesiniai skaičiai yra skaičiai, kurie neskaidomi į veiksnius, tai yra jų ... ... Vikipedija

- „Pi paradoksas“ yra pokštas matematikos tema, kuris buvo paplitęs tarp studentų iki 80-ųjų (tiesą sakant, prieš mikroskaičiuotuvų masės pasiskirstymą) ir buvo susijęs su ribotu trigonometrinių funkcijų skaičiavimo tikslumu ir ... ... Vikipedija

- (graikų aritmetika, iš aritmys number) mokslas apie skaičius, visų pirma apie natūraliuosius (teigiamus sveikuosius) skaičius ir (racionaliąsias) trupmenas, ir operacijas su jais. Turėti pakankamai išvystytą natūralaus skaičiaus sampratą ir gebėjimą ... ... Didžioji sovietinė enciklopedija

Knygos

• Archimedo vasara, arba jaunųjų matematikų bendruomenės istorija. Dvejetainė skaičių sistema, Bobrovas Sergejus Pavlovičius. Dvejetainė skaičių sistema, „Hanojaus bokštas“, riterio ėjimas, stebuklingi kvadratai, aritmetinis trikampis, garbanoti skaičiai, deriniai, tikimybių samprata, Möbius juostelė ir Kleino butelis.…

» Nusipelnęs Varviko universiteto matematikos profesorius, žinomas mokslo populiarintojas Ianas Stewartas, pasišventęs skaičių vaidmeniui žmonijos istorijoje ir jų tyrimo aktualumui mūsų laikais.

Pitagoro hipotenuzė

Pitagoro trikampiai turi stačią kampą ir sveikąsias kraštines. Paprasčiausiuose iš jų ilgiausios kraštinės ilgis yra 5, likusios yra 3 ir 4. Iš viso yra 5 taisyklingi daugiakampiai. Penktojo laipsnio lygtis negali būti išspręsta naudojant penktojo laipsnio šaknis – ar kitas šaknis. Grotelės plokštumoje ir trimatėje erdvėje neturi penkių skilčių sukimosi simetrijos, todėl tokios simetrijos nėra ir kristaluose. Tačiau jie gali būti grotelėse keturmatėje erdvėje ir įdomiose struktūrose, žinomose kaip kvazikristalai.

Mažiausio Pitagoro trigubo hipotenūza

Pitagoro teorema teigia, kad ilgiausia stačiojo trikampio kraštinė (garsioji hipotenuzė) koreliuoja su kitomis dviem šio trikampio kraštinėmis labai paprastai ir gražiai: hipotenuzės kvadratas yra lygus kito trikampio kvadratų sumai. dvi pusės.

Tradiciškai šią teoremą vadiname Pitagoro vardu, tačiau iš tikrųjų jos istorija gana miglota. Molio lentelės leidžia manyti, kad senovės babiloniečiai Pitagoro teoremą žinojo gerokai anksčiau nei pats Pitagoras; atradėjo šlovę jam atnešė matematinis pitagoriečių kultas, kurio šalininkai tikėjo, kad visata pagrįsta skaitiniais modeliais. Senovės autoriai pitagoriečiams – taigi ir Pitagorui – priskyrė įvairias matematines teoremas, tačiau iš tikrųjų mes neįsivaizduojame, kokia matematika užsiėmė pats Pitagoras. Mes net nežinome, ar pitagoriečiai galėjo įrodyti Pitagoro teoremą, ar jie tiesiog patikėjo, kad tai tiesa. Arba, labiau tikėtina, jie turėjo įtikinamų duomenų apie jos tiesą, kurių vis dėlto nebūtų pakakę tam, ką šiandien laikome įrodymu.

Pitagoro įrodymai

Pirmasis žinomas Pitagoro teoremos įrodymas yra Euklido elementuose. Tai gana sudėtingas įrodymas, naudojant piešinį, kurį Viktorijos laikų moksleiviai iškart atpažintų kaip „Pitagoro kelnes“; piešinys tikrai primena ant virvės džiūstančias apatines kelnaites. Pažodžiui žinoma šimtai kitų įrodymų, kurių dauguma daro teiginį akivaizdesnį.

// Ryžiai. 33. Pitagorietiškos kelnės

Vienas iš paprasčiausių įrodymų yra savotiškas matematinis galvosūkis. Paimkite bet kurį stačiakampį trikampį, padarykite keturias jo kopijas ir surinkite jas aikštės viduje. Vienu klojimu matome kvadratą ant hipotenuzės; su kita - kvadratai kitose dviejose trikampio kraštinėse. Akivaizdu, kad plotai abiem atvejais yra vienodi.

// Ryžiai. 34. Kairėje: kvadratas ant hipotenuzos (plius keturi trikampiai). Dešinėje: kitų dviejų kraštinių kvadratų suma (plius tie patys keturi trikampiai). Dabar pašalinkite trikampius

Perigalo skrodimas yra dar vienas galvosūkis.

// Ryžiai. 35. Perigalo skrodimas

Taip pat yra teoremos įrodymas, naudojant kvadratus plokštumoje. Galbūt taip šią teoremą atrado pitagoriečiai ar nežinomi jų pirmtakai. Jei pažvelgsite į tai, kaip įstrižas kvadratas sutampa su kitais dviem kvadratais, galite pamatyti, kaip supjaustyti didelį kvadratą į dalis ir sudėti į du mažesnius kvadratus. Taip pat galite pamatyti stačiakampius trikampius, kurių kraštinės nurodo trijų susijusių kvadratų matmenis.

// Ryžiai. 36. Įrodymas klojant

Yra įdomių įrodymų, naudojant panašius trikampius trigonometrijoje. Yra žinoma mažiausiai penkiasdešimt skirtingų įrodymų.

Pitagoro trynukai

Skaičių teorijoje Pitagoro teorema tapo vaisingos idėjos šaltiniu: rasti sveikųjų algebrinių lygčių sprendinius. Pitagoro trigubas yra sveikųjų skaičių a, b ir c rinkinys, kad

Geometriškai toks trigubas apibrėžia stačiakampį trikampį su sveikosiomis kraštinėmis.

Mažiausia Pitagoro trigubo hipotenuzė yra 5.

Kitos dvi šio trikampio kraštinės yra 3 ir 4. Čia

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Kita pagal dydį hipotenuzė yra 10, nes

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Tačiau tai iš esmės yra tas pats trikampis su dvigubomis kraštinėmis. Kita pagal dydį ir tikrai skirtinga hipotenuzė yra 13, kuriai

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Euklidas žinojo, kad yra be galo daug skirtingų Pitagoro trigubų variacijų, ir pateikė tai, ką būtų galima pavadinti formule, kaip juos visus rasti. Vėliau Diofantas Aleksandrietis pasiūlė paprastą receptą, iš esmės tą patį, kaip ir Euklido.

Paimkite bet kuriuos du natūraliuosius skaičius ir apskaičiuokite:

jų dvigubas produktas;

jų kvadratų skirtumas;

jų kvadratų suma.

Trys gauti skaičiai bus Pitagoro trikampio kraštinės.

Paimkite, pavyzdžiui, skaičius 2 ir 1. Apskaičiuokite:

dvigubas produktas: 2 × 2 × 1 = 4;

kvadratų skirtumas: 22 - 12 = 3;

kvadratų suma: 22 + 12 = 5,

ir gavome garsųjį trikampį 3-4-5. Jei vietoj to imsime skaičius 3 ir 2, gausime:

dvigubas produktas: 2 × 3 × 2 = 12;

kvadratų skirtumas: 32 - 22 = 5;

kvadratų suma: 32 + 22 = 13,

ir gauname kitą garsųjį trikampį 5 - 12 - 13. Pabandykime paimti skaičius 42 ir 23 ir gauti:

dvigubas produktas: 2 × 42 × 23 = 1932;

kvadratų skirtumas: 422 - 232 = 1235;

kvadratų suma: 422 + 232 = 2293,

niekas niekada negirdėjo apie trikampį 1235-1932-2293.

Tačiau šie skaičiai taip pat veikia:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Diofanto taisyklėje yra dar viena ypatybė, apie kurią jau buvo užsiminta: gavę tris skaičius, galime paimti kitą savavališką skaičių ir visus iš jo padauginti. Taigi, trikampis 3-4-5 gali būti paverstas trikampiu 6-8-10, padauginus visas kraštines iš 2, arba į 15-20-25 trikampį, padauginus viską iš 5.

Jei pereisime prie algebros kalbos, taisyklė įgauna tokią formą: tegul u, v ir k yra natūralieji skaičiai. Tada stačiakampis trikampis su kraštinėmis

2kuv ir k (u2 - v2) turi hipotenuzę

Yra ir kitų pagrindinės idėjos pateikimo būdų, tačiau jie visi susiveda į aukščiau aprašytą. Šis metodas leidžia gauti visus Pitagoro trigubus.

Įprastas daugiakampis

Taisyklingos daugiakampės yra lygiai penkios. Taisyklingas daugiakampis (arba daugiakampis) yra trimatė figūra, turinti baigtinį plokščių paviršių skaičių. Fasetai susilieja vienas su kitu tiesėmis, vadinamomis briaunomis; briaunos susikerta taškuose, vadinamuose viršūnėmis.

Euklido „principų“ kulminacija yra įrodymas, kad gali būti tik penki taisyklingi daugiakampiai, tai yra daugiakampiai, kurių kiekvienas paviršius yra taisyklingas daugiakampis (lygios kraštinės, vienodi kampai), visi paviršiai yra vienodi ir visos viršūnės yra apsuptos vienodu skaičiumi vienodai išdėstytų veidų. Štai penki įprasti daugiakampiai:

tetraedras su keturiais trikampiais paviršiais, keturiomis viršūnėmis ir šešiomis briaunomis;

kubas arba šešiaedras, turintis 6 kvadratinius paviršius, 8 viršūnes ir 12 briaunų;

oktaedras su 8 trikampiais paviršiais, 6 viršūnėmis ir 12 briaunų;

dodekaedras su 12 penkiakampių paviršių, 20 viršūnių ir 30 briaunų;

ikosaedras su 20 trikampių paviršių, 12 viršūnių ir 30 briaunų.

// Ryžiai. 37. Penkios taisyklingos daugiabriaunės

Gamtoje taip pat galima rasti įprastų daugiakampių. 1904 m. Ernstas Haeckelis paskelbė mažyčių organizmų, žinomų kaip radiolariai, brėžinius; daugelis iš jų yra tų pačių penkių taisyklingų daugiasluoksnių formų. Galbūt, tačiau jis šiek tiek pakoregavo gamtą, o piešiniai nevisiškai atspindi konkrečių gyvų būtybių formą. Pirmosios trys struktūros taip pat stebimos kristaluose. Kristaluose nerasite dodekaedro ir ikosaedro, nors kartais ten pasitaiko netaisyklingų dodekaedrų ir ikosaedrų. Tikrieji dodekaedrai gali pasirodyti kaip kvazikristalai, kurie visais atžvilgiais yra panašūs į kristalus, išskyrus tai, kad jų atomai nesudaro periodinės gardelės.

// Ryžiai. 38. Haeckel piešiniai: radiolariai taisyklingų daugiakampių pavidalu

// Ryžiai. 39. Taisyklingųjų daugiakampių raidos

Gali būti įdomu iš popieriaus pasidaryti įprastų daugiakampių modelius, pirmiausia išpjaunant tarpusavyje sujungtų paviršių rinkinį – tai vadinama daugiakampio braukimu; skenavimas užlenkiamas išilgai kraštų ir atitinkami kraštai suklijuojami. Naudinga prie kiekvienos tokios poros kraštų pridėti papildomą plotą klijams, kaip parodyta Fig. 39. Jei tokios platformos nėra, galite naudoti lipnią juostą.

Penktojo laipsnio lygtis

5-ojo laipsnio lygtims išspręsti nėra algebrinės formulės.

Apskritai penktojo laipsnio lygtis atrodo taip:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Problema yra rasti formulę, kaip išspręsti tokią lygtį (ji gali turėti iki penkių sprendinių). Kvadratinių ir kubinių lygčių, taip pat ketvirtojo laipsnio lygčių patirtis rodo, kad tokia formulė turėtų egzistuoti ir penktojo laipsnio lygtims, o teoriškai penktojo, trečiojo ir antrojo laipsnio šaknys turėtų atsirasti tai. Vėlgi, galima drąsiai manyti, kad tokia formulė, jei ji egzistuoja, pasirodys labai, labai sudėtinga.

Ši prielaida galiausiai pasirodė klaidinga. Iš tiesų, tokios formulės neegzistuoja; bent jau nėra formulės, susidedančios iš koeficientų a, b, c, d, e ir f, sudarytų naudojant sudėjimą, atimtį, daugybą ir padalijimą, taip pat imant šaknis. Taigi skaičius 5 yra kažkas labai ypatingo. Tokio neįprasto penketuko elgesio priežastys yra labai gilios, ir prireikė daug laiko jas išsiaiškinti.

Pirmasis problemos požymis buvo tas, kad kad ir kaip matematikai stengėsi rasti tokią formulę, kad ir kokie protingi jie būtų, jiems visada nepavykdavo. Kurį laiką visi tikėjo, kad priežastys slypi neįtikėtiname formulės sudėtingime. Buvo tikima, kad niekas tiesiog negali tinkamai suprasti šios algebros. Tačiau laikui bėgant kai kurie matematikai ėmė abejoti, ar tokia formulė išvis egzistuoja, ir 1823 metais Nielsas Hendrikas Abelis sugebėjo įrodyti priešingai. Tokios formulės nėra. Netrukus po to Évariste Galois rado būdą, kaip nustatyti, ar vieno ar kito laipsnio lygtis – 5, 6, 7, paprastai bet kuri – yra išsprendžiama naudojant tokią formulę.

Išvada iš viso to paprasta: skaičius 5 yra ypatingas. Galite išspręsti algebrines lygtis (naudodami n-ąsias šaknis skirtingoms n reikšmėms) laipsniams 1, 2, 3 ir 4, bet ne 5 laipsniams. Čia akivaizdus modelis baigiasi.

Niekas nesistebi, kad didesnių nei 5 galių lygtys elgiasi dar blogiau; visų pirma su jais susijęs tas pats sunkumas: nėra bendrų jų sprendimo formulių. Tai nereiškia, kad lygtys neturi sprendinių; tai taip pat nereiškia, kad neįmanoma rasti labai tikslių šių sprendimų skaitinių reikšmių. Tai viskas apie tradicinių algebros įrankių apribojimus. Tai primena, kad neįmanoma liniuote ir kompasu iškirpti kampo tris kartus. Atsakymas yra, tačiau išvardyti metodai nėra pakankami ir neleidžia nustatyti, kas tai yra.

Kristalografinis apribojimas

Dviejų ir trijų dimensijų kristalai neturi 5 spindulių sukimosi simetrijos.

Atomai kristale sudaro gardelę, tai yra struktūrą, kuri periodiškai kartojasi keliomis nepriklausomomis kryptimis. Pavyzdžiui, raštas ant tapetų kartojasi išilgai ritinio; be to, tai dažniausiai kartojama horizontalia kryptimi, kartais pereinant nuo vieno tapeto prie kito. Iš esmės tapetai yra dvimatis kristalas.

Plokštumoje yra 17 skirtingų tapetų raštų (žr. 17 skyrių). Jie skiriasi simetrijos rūšimis, ty būdais, kaip standžiai perkelti raštą, kad jis būtų tiksliai ant savęs pradinėje padėtyje. Simetrijos tipai visų pirma apima įvairius sukimosi simetrijos variantus, kai raštas turi būti pasuktas tam tikru kampu aplink tam tikrą tašką - simetrijos centrą.

Sukimosi simetrijos tvarka yra tai, kiek kartų galite pasukti kūną į visą apskritimą, kad visos nuotraukos detalės grįžtų į pradines padėtis. Pavyzdžiui, 90° pasukimas yra 4 eilės sukimosi simetrija*. Galimų sukimosi simetrijos tipų kristalinėje gardelėje sąrašas vėl rodo skaičiaus 5 neįprastumą: jo nėra. Yra variantų su 2, 3, 4 ir 6 eilės sukimosi simetrija, tačiau joks tapetų raštas neturi 5 eilės sukimosi simetrijos. Taip pat kristaluose nėra didesnės nei 6 eilės sukimosi simetrijos, tačiau pirmasis sekos pažeidimas vis tiek įvyksta ties skaičiumi 5.

Tas pats atsitinka su kristalografinėmis sistemomis trimatėje erdvėje. Čia gardelė kartojasi trimis nepriklausomomis kryptimis. Yra 219 skirtingų simetrijos tipų arba 230, jei veidrodinį modelio atspindį laikysime atskira jo versija – be to, šiuo atveju nėra veidrodinės simetrijos. Vėlgi, stebimos 2, 3, 4 ir 6 eilės sukimosi simetrijos, bet ne 5. Šis faktas vadinamas kristalografiniu apribojimu.

Keturmatėje erdvėje egzistuoja 5-osios eilės simetrijos gardelės; apskritai pakankamai didelio matmens grotelėms galima bet kokia iš anksto nustatyta sukimosi simetrijos tvarka.

// Ryžiai. 40. Valgomosios druskos kristalinė gardelė. Tamsūs rutuliukai žymi natrio atomus, šviesūs – chloro atomus.

Kvazikristalai

Nors 5-osios eilės sukimosi simetrija neįmanoma 2D ir 3D grotelėse, ji gali egzistuoti šiek tiek mažiau taisyklingose ​​struktūrose, vadinamose kvazikristalais. Naudodamas Keplerio eskizus, Rogeris Penrose'as atrado plokščias sistemas, turinčias bendresnį penkių kartų simetrijos tipą. Jie vadinami kvazikristalais.

Kvazikristalai egzistuoja gamtoje. 1984 m. Danielis Shechtmanas atrado, kad aliuminio ir mangano lydinys gali sudaryti kvazikristalus; Iš pradžių kristalografai jo žinią sutiko kiek skeptiškai, tačiau vėliau atradimas pasitvirtino, o 2011-aisiais Shechtmanas buvo apdovanotas Nobelio chemijos premija. 2009 metais mokslininkų grupė, vadovaujama Luca Bindi, atrado kvazikristalus minerale iš Rusijos Korjako aukštumų – aliuminio, vario ir geležies junginio. Šiandien šis mineralas vadinamas ikosahedritu. Masės spektrometru išmatavę įvairių deguonies izotopų kiekį minerale, mokslininkai parodė, kad šis mineralas atsirado ne Žemėje. Jis susiformavo maždaug prieš 4,5 milijardo metų, tuo metu, kai Saulės sistema dar tik atsirado, ir didžiąją laiko dalį praleido asteroidų juostoje, skriedama aplink saulę, kol kažkoks trikdymas pakeitė jos orbitą ir galiausiai atnešė ją į Žemę.

// Ryžiai. 41. Kairėje: viena iš dviejų kvazikristalinių gardelių, turinčių tikslią penkiakartę simetriją. Dešinėje: ikosaedrinio aliuminio-paladžio-mangano kvazikristalo atominis modelis