namai › Šviesa ir stiklas › Kaip pašalinti nelygybės modulį. Modulo lygtys

Kaip pašalinti nelygybės modulį. Modulo lygtys

Nelygybių sprendimas internete

Prieš sprendžiant nelygybes, būtina gerai suprasti, kaip sprendžiamos lygtys.

Nesvarbu, ar nelygybė yra griežta () ar negriežta (≤, ≥), pirmiausia reikia išspręsti lygtį, pakeičiant nelygybės ženklą lygybe (=).

Paaiškinkite, ką reiškia išspręsti nelygybę?

Išstudijavus lygtis, studento galvoje atsiranda toks vaizdas: reikia rasti tokias kintamojo reikšmes, kurių abi lygties dalys turi tas pačias reikšmes. Kitaip tariant, suraskite visus taškus, kuriuose galioja lygybė. Viskas teisinga!

Kalbėdami apie nelygybes, jie reiškia intervalų (segmentų), kuriuose galioja nelygybė, radimą. Jei nelygybėje yra du kintamieji, tada sprendimas bus nebe intervalai, o kai kurios plokštumos sritys. Atspėk, koks bus trijų kintamųjų nelygybės sprendimas?

Kaip išspręsti nelygybes?

Intervalų metodas (dar žinomas kaip intervalų metodas) laikomas universaliu nelygybių sprendimo būdu, kurį sudaro visų intervalų, per kuriuos bus įvykdyta duota nelygybė, nustatymas.

Nesileidžiant į nelygybės tipą, šiuo atveju tai nėra esmė, reikia išspręsti atitinkamą lygtį ir nustatyti jos šaknis, o po to šiuos sprendinius žymėti skaitinėje ašyje.

Kaip teisingai parašyti nelygybės sprendimą?

Kai nustatote nelygybės sprendimo intervalus, turite teisingai užrašyti patį sprendimą. Yra svarbus niuansas – ar į sprendimą įtrauktos intervalų ribos?

Čia viskas paprasta. Jei lygties sprendimas tenkina ODZ ir nelygybė nėra griežta, tai intervalo riba įtraukiama į nelygybės sprendinį. Priešingu atveju, ne.

Atsižvelgiant į kiekvieną intervalą, nelygybės sprendimas gali būti pats intervalas arba pusintervalas (kai viena iš jo ribų tenkina nelygybę), arba atkarpa - intervalas kartu su jo ribomis.

Svarbus punktas

Nemanykite, kad tik intervalai, pusintervalai ir segmentai gali būti nelygybės sprendimas. Ne, į sprendimą galima įtraukti ir atskirus taškus.

Pavyzdžiui, nelygybė |x|≤0 turi tik vieną sprendinį – tašką 0.

Ir nelygybė |x|

Kam skirta nelygybės skaičiuoklė?

Nelygybės skaičiuoklė pateikia teisingą galutinį atsakymą. Šiuo atveju daugeliu atvejų pateikiama skaitinės ašies arba plokštumos iliustracija. Galite matyti, ar intervalų ribos įtrauktos į sprendimą, ar ne – taškai rodomi užpildyti arba perverti.

Internetinės nelygybės skaičiuoklės dėka galite patikrinti, ar teisingai radote lygties šaknis, pažymėjote jas skaičių eilutėje ir patikrinote nelygybės sąlygas intervaluose (ir ribose)?

Jei jūsų atsakymas skiriasi nuo skaičiuoklės atsakymo, tuomet tikrai turite dar kartą patikrinti savo sprendimą ir nustatyti padarytą klaidą.

Kuo daugiau žmogus supranta, tuo stipresnis jo noras suprasti

Tomas Akvinietis

Intervalų metodas leidžia išspręsti visas lygtis, kuriose yra modulis. Šio metodo esmė yra padalinti skaitinę ašį į kelias dalis (intervalus), o ašį reikia padalinti su modulių išraiškų nuliais. Tada kiekvienoje gautoje sekcijoje bet kuri submodulio išraiška yra teigiama arba neigiama. Todėl kiekvienas modulis gali būti išplėstas arba minuso ženklu, arba pliuso ženklu. Atlikus šiuos veiksmus, belieka išspręsti kiekvieną iš gautų paprastų lygčių nagrinėjamame intervale ir sujungti gautus atsakymus.

Panagrinėkime šį metodą konkrečiu pavyzdžiu.

|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x - 6.

1) Raskite modulių išraiškų nulius. Norėdami tai padaryti, prilyginsime juos nuliui ir išsprendžiame gautas lygtis.

x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0

x = -1 2x = 4 x = -3

2) Išdėliokite gautus taškus norima tvarka koordinačių tiesėje. Jie suskaidys visą ašį į keturias dalis.

3) Nustatykime kiekvienoje gautoje sekcijoje modulių išraiškų ženklus. Norėdami tai padaryti, juose pakeičiame bet kokius skaičius iš mus dominančių intervalų. Jei skaičiavimo rezultatas yra teigiamas skaičius, tada į lentelę įrašome „+“, o jei skaičius neigiamas, tada „-“. Tai gali būti pavaizduota taip:

4) Dabar išspręsime lygtį kiekviename iš keturių intervalų, atidarydami modulius lentelėje esančiais ženklais. Taigi, apsvarstykite pirmąjį intervalą:

I intervalas (-∞; -3). Ant jo visi moduliai atidaromi su „-“ ženklu. Gauname tokią lygtį:

-(x + 1) - (2x - 4) - (-(x + 3)) \u003d 2x - 6. Pateikiame panašius terminus, prieš tai atidarę skliaustus gautoje lygtyje:

X - 1 - 2x + 4 + x + 3 = 2x - 6

Gautas atsakymas neįtraukiamas į svarstomą intervalą, todėl jo rašyti galutiniame atsakyme nebūtina.

II intervalas [-3; -1). Šiuo intervalu lentelėje yra ženklai „-“, „-“, „+“. Taip atskleidžiame pradinės lygties modulius:

-(x + 1) - (2x - 4) - (x + 3) = 2x - 6. Supaprastinkite išplėsdami skliaustus:

X - 1 - 2x + 4 - x - 3 \u003d 2x - 6. Gautoje lygtyje pateikiame:

x = 6/5. Gautas skaičius nepriklauso nagrinėjamam intervalui, todėl jis nėra pradinės lygties šaknis.

III intervalas [-1; 2). Pradinės lygties modulius atidarome su ženklais, kurie yra paveikslėlyje trečiame stulpelyje. Mes gauname:

(x + 1) - (2x - 4) - (x + 3) = 2x - 6. Atsikratykite skliaustų, terminus, kuriuose yra kintamasis x, perkelkite į kairę lygties pusę, o be x į dešinę . Turėsiu:

x + 1 - 2x + 4 - x - 3 = 2x - 6

Skaičius 2 neįtrauktas į nagrinėjamą intervalą.

IV intervalas

Paprastai tariant, modulis yra „skaičius be minuso“. Ir būtent šiame dvilypume (kai kur nereikia nieko daryti su pradiniu numeriu, bet kai kur reikia pašalinti tam tikrą minusą) ir slypi visi sunkumai pradedantiesiems studentams.

Taip pat yra geometrinis apibrėžimas. Taip pat pravartu tai žinoti, bet remsimės tik sudėtingais ir ypatingais atvejais, kai geometrinis požiūris yra patogesnis nei algebrinis (spoileris: ne šiandien).

Apibrėžimas. Tegul taškas $a$ yra pažymėtas realioje tiesėje. Tada modulis $\left| x-a \right|$ yra atstumas nuo taško $x$ iki taško $a$ šioje tiesėje.

Jei piešiate paveikslėlį, gausite kažką panašaus į tai:

Grafinis modulio apibrėžimas

Vienaip ar kitaip, pagrindinė jo savybė iš karto išplaukia iš modulio apibrėžimo: skaičiaus modulis visada yra neneigiama reikšmė. Šis faktas bus raudona gija, einanti per visą mūsų šiandienos istoriją.

Nelygybių sprendimas. Tarpų nustatymo metodas

Dabar panagrinėkime nelygybę. Jų yra labai daug, bet mūsų užduotis dabar yra sugebėti išspręsti bent paprasčiausią iš jų. Tie, kurie redukuojami į tiesines nelygybes, taip pat į intervalų metodą.

Turiu dvi dideles pamokas šia tema (beje, labai, LABAI naudingos – rekomenduoju mokytis):

Nelygybių intervalo metodas (ypač žiūrėkite vaizdo įrašą);
Trupmeninės-racionalinės nelygybės yra labai didelė pamoka, tačiau po jos jums visai nekils klausimų.

Jei visa tai žinai, jei frazė „pereikime nuo nelygybės prie lygties“ neabejotinai nekelia noro žudytis prieš sieną, tada esate pasiruošę: sveiki atvykę į pragarą į pagrindinę pamokos temą. :)

1. Formos "Modulis mažesnis už funkciją" nelygybės

Tai viena iš dažniausiai su moduliais susijusių užduočių. Būtina išspręsti formos nelygybę:

\[\left| f\right| \ltg\]

Viskas gali veikti kaip funkcijos $f$ ir $g$, bet dažniausiai tai yra daugianariai. Tokių nelygybių pavyzdžiai:

Visi jie išsprendžiami pažodžiui vienoje eilutėje pagal schemą:

\[\left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin (lygiuoti) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(lygiuoti) \dešinė.\dešinė)\]

Nesunku pastebėti, kad atsikratome modulio, bet vietoj to gauname dvigubą nelygybę (arba, kas yra tas pats, dviejų nelygybių sistemą). Tačiau šis perėjimas atsižvelgia į absoliučiai visas galimas problemas: jei skaičius po moduliu yra teigiamas, metodas veikia; jei neigiamas, jis vis tiek veikia; ir net jei vietoje $f$ arba $g$ pati netinkamiausia funkcija, metodas vis tiek veiks.

Natūralu, kad kyla klausimas: ar ne lengviau? Deja, tu negali. Tai yra visa modulio esmė.

Bet užteks filosofavimo. Išspręskime porą problemų:

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

\[\left| 2x+3\dešinė| \ltx+7\]

Sprendimas. Taigi, turime klasikinę formos „modulis mažesnis nei“ nelygybę – net nėra ką transformuoti. Dirbame pagal algoritmą:

\[\begin(lygiuoti) & \left| f\right| \lt g\Rodyklė dešinėn -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3\dešinė| \lt x+7\Rightrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(lygiuoti)\]

Neskubėkite atidaryti skliaustų, prieš kuriuos yra „minusas“: labai tikėtina, kad dėl skubėjimo padarysite įžeidžiančią klaidą.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin (lygiuoti) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end (lygiuoti) \right.\]

\[\left\( \begin (lygiuoti) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end (lygiuoti) \right.\]

\[\left\( \begin(lygiuoti) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(lygiuoti) \right.\]

Problema buvo sumažinta iki dviejų elementarių nelygybių. Atkreipiame dėmesį į jų sprendimus lygiagrečiose realiose linijose:
Daugelio sankirta
Šių rinkinių sankirta bus atsakymas.

Atsakymas: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Sprendimas. Ši užduotis yra šiek tiek sunkesnė. Pirmiausia išskiriame modulį, perkeldami antrąjį terminą į dešinę:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \dešinė| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Akivaizdu, kad vėl turime nelygybę formos „modulis yra mažiau“, todėl modulio atsikratome pagal jau žinomą algoritmą:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Dabar dėmesys: kažkas pasakys, kad aš esu šiek tiek iškrypėlis su visais šiais skliaustais. Tačiau dar kartą primenu, kad pagrindinis mūsų tikslas yra teisingai išspręskite nelygybę ir gaukite atsakymą. Vėliau, kai puikiai įvaldysite viską, kas aprašyta šioje pamokoje, galite save iškreipti kaip norite: skliausteliuose, pridėti minusų ir pan.

Ir pradedantiesiems, mes tiesiog atsikratome dvigubo minuso kairėje:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\kairė(x+1\dešinė)\]

Dabar atidarykime visus dvigubos nelygybės skliaustus:

Pereikime prie dvigubos nelygybės. Šį kartą skaičiavimai bus rimtesni:

\[\left\( \begin(lygiuoti) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(lygiuoti) \right.\]

\[\left\( \begin(lygiuoti) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( lygiuoti)\right.\]

Abi nelygybės yra kvadratinės ir sprendžiamos intervaliniu metodu (todėl ir sakau: jei nežinai, kas tai yra, tai modulių dar geriau neimti). Mes pereiname prie lygties pirmoje nelygybėje:

\[\begin(lygiuoti) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Kaip matote, išvestis pasirodė esanti nepilna kvadratinė lygtis, kuri išspręsta elementariai. Dabar panagrinėkime antrąją sistemos nelygybę. Ten turite pritaikyti Vietos teoremą:

\[\begin(lygiuoti) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Gautus skaičius pažymime dviejose lygiagrečiose tiesėse (atskirai pirmajai nelygybei ir atskirai antrajai):
Vėlgi, kadangi mes sprendžiame nelygybių sistemą, mus domina nuspalvintų aibių sankirta: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Tai yra atsakymas.
Atsakymas: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Manau, kad po šių pavyzdžių sprendimo schema yra labai aiški:

Išskirkite modulį, perkeldami visus kitus terminus į priešingą nelygybės pusę. Taip gauname formos $\left| nelygybę f\right| \ltg$.
Išspręskite šią nelygybę, atsikratydami modulio, kaip aprašyta aukščiau. Tam tikru momentu teks pereiti nuo dvigubos nelygybės prie dviejų nepriklausomų išraiškų sistemos, kurių kiekvieną jau galima išspręsti atskirai.
Galiausiai belieka perbraukti šių dviejų nepriklausomų posakių sprendinius – ir viskas, gausime galutinį atsakymą.

Panašus algoritmas egzistuoja ir tokio tipo nelygybėms, kai modulis didesnis už funkciją. Tačiau yra pora rimtų „bet“. Dabar kalbėsime apie šiuos „bet“.

2. Formos "Modulis didesnis už funkciją" nelygybės

Jie atrodo taip:

\[\left| f\right| \gt g\]

Panašus į ankstesnį? Atrodo. Nepaisant to, tokios užduotys sprendžiamos visiškai kitaip. Formaliai schema yra tokia:

\[\left| f\right| \gt g\Rodyklė dešinėn \left[ \begin(lygiuoti) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(lygiuoti) \right.\]

Kitaip tariant, nagrinėjame du atvejus:

Pirma, tiesiog ignoruojame modulį – išsprendžiame įprastą nelygybę;
Tada iš tikrųjų atidarome modulį su minuso ženklu, o tada abi nelygybės dalis padauginame iš −1 su ženklu.

Šiuo atveju variantai derinami su laužtiniu skliaustu, t.y. Turime dviejų reikalavimų derinį.

Dar kartą atkreipkite dėmesį: prieš mus yra ne sistema, o visuma, todėl atsakyme aibės sujungiamos, o ne susikerta. Tai esminis skirtumas nuo ankstesnės pastraipos!

Apskritai, daugelis studentų turi daug painiavos su sąjungomis ir sankryžomis, todėl panagrinėkime šį klausimą kartą ir visiems laikams:

„∪“ yra sujungimo ženklas. Tiesą sakant, tai stilizuota raidė „U“, kuri pas mus atėjo iš anglų kalbos ir yra „Union“ santrumpa, t.y. „Asociacijos“.
„∩“ yra sankryžos ženklas. Šis mėšlas iš niekur neatsirado, o tiesiog pasirodė kaip opozicija „∪“.

Kad būtų dar lengviau įsiminti, tiesiog pridėkite kojeles prie šių ženklų, kad padarytumėte akinius (tik dabar nekaltinkite manęs narkomanijos ir alkoholizmo propagavimu: jei rimtai studijuojate šią pamoką, vadinasi, jau esate narkomanas):

Skirtumas tarp sankirtos ir aibių sąjungos

Išvertus į rusų kalbą, tai reiškia: sąjunga (kolekcija) apima elementus iš abiejų rinkinių, todėl ne mažiau už kiekvieną iš jų; bet sankirta (sistema) apima tik tuos elementus, kurie yra ir pirmoje aibėje, ir antroje. Todėl aibių sankirta niekada nėra didesnė už šaltinių aibes.

Taigi tapo aiškiau? Tai yra puiku. Pereikime prie praktikos.

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

\[\left| 3x+1 \dešinė| \gt 5-4x\]

Sprendimas. Mes veikiame pagal schemą:

\[\left| 3x+1 \dešinė| ' teisingai.\]

Išsprendžiame kiekvieną gyventojų nelygybę:

\[\left[ \begin (lygiuoti) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end (lygiuoti) \right.\]

\[\left[ \begin (lygiuoti) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end (lygiuoti) \right.\]

\[\left[ \begin (lygiuoti) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end (lygiuoti) \right.\]

Kiekvieną gautą rinkinį pažymime skaičių eilutėje ir sujungiame:
Rinkinių sąjunga
Akivaizdu, kad atsakymas yra $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Atsakymas: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \dešinė| \gtx\]

Sprendimas. Na? Ne, viskas tas pats. Nuo nelygybės su moduliu pereiname prie dviejų nelygybių aibės:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \dešinė| \gt x\Rodyklė dešinėn \kairė[ \begin(lygiuoti) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\pabaiga (lygiuoti) \dešinė.\]

Mes išsprendžiame kiekvieną nelygybę. Deja, šaknys ten nebus labai geros:

\[\begin(lygiuoti) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Antroje nelygybėje taip pat yra šiek tiek žaidimo:

\[\begin(lygiuoti) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Dabar turime pažymėti šiuos skaičius ant dviejų ašių – po vieną ašį kiekvienai nelygybei. Tačiau taškus reikia pažymėti teisinga tvarka: kuo didesnis skaičius, tuo toliau taškas pasislenka į dešinę.

Ir čia mes laukiame sąrankos. Jei viskas aišku su skaičiais $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (dėmenys pirmojo skaitiklyje trupmena yra mažesnė už antrojo skaitiklio narius, todėl suma taip pat mažesnė), su skaičiais $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ taip pat nebus sunkumų (teigiamas skaičius akivaizdžiai labiau neigiamas), bet su paskutine pora viskas nėra taip paprasta. Kuris didesnis: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ar $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Taškų išdėstymas skaičių eilutėse ir, tiesą sakant, atsakymas priklausys nuo atsakymo į šį klausimą.

Taigi palyginkime:

\[\begin(matrica) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrica)\]

Išskyrėme šaknį, gavome neneigiamus skaičius abiejose nelygybės pusėse, todėl turime teisę kvadratuoti abi puses:

\[\begin(matrica) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrica)\]

Manau, kad niekam tikęs, kad $4\sqrt(13) \gt 3$, taigi $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, galiausiai taškai ant ašių bus išdėstyti taip:
Bjaurių šaknų atvejis
Leiskite jums priminti, kad mes sprendžiame aibę, todėl atsakymas bus sąjunga, o ne nuspalvintų aibių sankirta.

Atsakymas: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

Kaip matote, mūsų schema puikiai tinka tiek paprastoms, tiek labai sunkioms užduotims. Vienintelė šio metodo „silpna vieta“ yra ta, kad reikia teisingai palyginti neracionalius skaičius (ir patikėkite manimi: tai ne tik šaknys). Tačiau lyginimo klausimams bus skirta atskira (ir labai rimta pamoka). Ir judame toliau.

3. Nelygybės su neneigiamomis "uodegomis"

Taigi mes priėjome prie įdomiausio. Tai yra formos nelygybės:

\[\left| f\right| \gt\left| g\right|\]

Apskritai, algoritmas, apie kurį dabar kalbėsime, galioja tik moduliui. Jis veikia visose nelygybėse, kur kairėje ir dešinėje yra garantuotos neneigiamos išraiškos:

Ką daryti su šiomis užduotimis? Tiesiog atsimink:

Esant nelygybėms su neneigiamomis uodegomis, abi pusės gali būti pakeltos į bet kokią natūralią galią. Jokių papildomų apribojimų nebus.

Visų pirma, mus sudomins kvadratas - jis degina modulius ir šaknis:

\[\begin(lygiuoti) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Tiesiog nepainiokite to su kvadrato šaknies paėmimu:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Buvo padaryta begalė klaidų, kai studentas pamiršo įdiegti modulį! Bet tai visai kita istorija (tai tarsi neracionalios lygtys), todėl dabar į ją nesigilinsime. Geriau išspręskime keletą problemų:

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

\[\left| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Sprendimas. Iš karto pastebime du dalykus:

Tai nėra griežta nelygybė. Taškai skaičių eilutėje bus išmušti.

Akivaizdu, kad abi nelygybės pusės yra neneigiamos (tai yra modulio savybė: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Todėl galime padalyti į kvadratą abi nelygybės puses, kad atsikratytume modulio ir išspręstume problemą naudodami įprastą intervalo metodą:

\[\begin(lygiuoti) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Paskutiniame žingsnyje šiek tiek apgavau: pakeičiau terminų seką, naudodamas modulio paritetą (iš tikrųjų išraišką $1-2x$ padauginau iš −1).

\[\begin(lygiuoti) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ dešinė)\dešinė)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end (lygiuoti)\]

Sprendžiame intervalų metodu. Pereikime nuo nelygybės prie lygties:

\[\begin(lygiuoti) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Rastas šaknis pažymime skaičių eilutėje. Dar kartą: visi taškai užtamsinti, nes pradinė nelygybė nėra griežta!
Modulio ženklo atsikratymas
Leiskite jums priminti ypač užsispyrusiems: mes paimame ženklus iš paskutinės nelygybės, kuri buvo užrašyta prieš pereinant prie lygties. Ir mes dažome reikalingus plotus toje pačioje nelygybėje. Mūsų atveju tai yra $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Gerai, dabar viskas. Problema išspręsta.

Atsakymas: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

\[\left| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

Sprendimas. Viską darome taip pat. Nekomentuosiu – tik pažiūrėkite veiksmų seką.

Padėkime kvadratu:

\[\begin(lygiuoti) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \dešinė))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ dešinė))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(lygiuoti)\]

Atstumo metodas:

\[\begin(lygiuoti) & \left(-2x-3 \right)\left(2(x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Rodyklė į dešinę x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Skaičių eilutėje yra tik viena šaknis:
Atsakymas yra visas diapazonas
Atsakymas: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Maža pastaba apie paskutinę užduotį. Kaip tiksliai pastebėjo vienas mano studentas, abi submodulių išraiškos šioje nelygybėje yra akivaizdžiai teigiamos, todėl modulio ženklą galima praleisti nepakenkiant sveikatai.

Bet tai jau visai kitas mąstymo lygis ir kitoks požiūris – tai sąlyginai galima pavadinti pasekmių metodu. Apie jį – atskiroje pamokoje. O dabar pereikime prie paskutinės šios pamokos dalies ir apsvarstykime universalų algoritmą, kuris visada veikia. Net kai visi ankstesni metodai buvo bejėgiai. :)

4. Pasirinkimo galimybių surašymo būdas

Ką daryti, jei visi šie triukai neveikia? Jei nelygybė nesumažės iki neneigiamų uodegų, jei neįmanoma izoliuoti modulio, jei išvis skausmas-liūdesys-ilgesys?

Tada į sceną patenka visos matematikos „sunkioji artilerija“ - surašymo metodas. Kalbant apie nelygybes su moduliu, tai atrodo taip:

Išrašykite visas submodulių išraiškas ir prilyginkite jas nuliui;
Išspręskite gautas lygtis ir vienoje skaičių eilutėje pažymėkite rastas šaknis;
Tiesi linija bus padalinta į kelias dalis, kurių viduje kiekvienas modulis turi fiksuotą ženklą ir todėl vienareikšmiškai plečiasi;
Išspręskite kiekvienos tokios atkarpos nelygybę (galite atskirai atsižvelgti į 2 dalyje gautas ribines šaknis - dėl patikimumo). Sujunkite rezultatus - tai bus atsakymas. :)

Na, kaip? Silpnas? Lengvai! Tik ilgam. Pažiūrėkime praktiškai:

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

\[\left| x+2 \dešinė| \lt\left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Sprendimas. Šis šūdas nesusiveda į nelygybes, tokias kaip $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ arba $\left| f\right| \lt\left| g \right|$, tad eikime į priekį.

Išrašome submodulių išraiškas, prilyginame jas nuliui ir randame šaknis:

\[\begin(lygiuoti) & x+2=0\Rodyklė dešinėn x=-2; \\ & x-1=0\Rodyklė dešinėn x=1. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Iš viso turime dvi šaknis, padalijančias skaičių eilutę į tris dalis, kurių viduje kiekvienas modulis atskleidžiamas unikaliai:
Skaičių eilutės padalijimas iš submodulinių funkcijų nulių
Panagrinėkime kiekvieną skyrių atskirai.

1. Tegul $x \lt -2$. Tada abi submodulių išraiškos yra neigiamos, o pradinė nelygybė perrašoma taip:

\[\begin (lygiuoti) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(lygiuoti)\]

Gavome gana paprastą apribojimą. Sukirskime ją su pradine prielaida, kad $x \lt -2$:

\[\left\( \begin (lygiuoti) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(lygiuoti) \right.\RightArrow x\in \varnothing \]

Akivaizdu, kad kintamasis $x$ vienu metu negali būti mažesnis nei –2, bet didesnis nei 1,5. Šioje srityje sprendimų nėra.

1.1. Atskirai panagrinėkime ribinį atvejį: $x=-2$. Tiesiog pakeiskime šį skaičių į pradinę nelygybę ir patikrinkime: ar jis galioja?

\[\begin(lygiuoti) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \dešinė|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightrow \varnothing . \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Akivaizdu, kad skaičiavimų grandinė privedė mus prie neteisingos nelygybės. Todėl pradinė nelygybė taip pat klaidinga, o $x=-2$ į atsakymą neįtraukta.

2. Dabar tegul $-2 \lt x \lt 1$. Kairysis modulis jau atsidarys su „pliusu“, o dešinysis dar su „minusu“. Mes turime:

\[\begin (lygiuoti) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(lygiuoti)\]

Vėlgi susikertame su pradiniu reikalavimu:

\[\left\( \begin (lygiuoti) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\pabaiga (lygiuoti) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Ir vėl tuščias sprendinių rinkinys, nes nėra skaičių, kurie būtų ir mažesni nei –2,5, ir didesni nei –2.

2.1. Ir vėl ypatingas atvejis: $x=1$. Į pradinę nelygybę pakeičiame:

\[\begin(lygiuoti) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\dešinė| \lt\left| 0 \dešinė|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Panašiai kaip ir ankstesniame „ypatingame atvejis“, atsakyme aiškiai neįtrauktas skaičius $x=1$.

3. Paskutinė eilutės dalis: $x \gt 1$. Čia visi moduliai yra išplėsti pliuso ženklu:

\[\begin(lygiuoti) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(lygiuoti)\ ]

Ir vėl susikertame rastą aibę su pradiniu apribojimu:

' \dešinė)\]

Pagaliau! Mes radome intervalą, kuris bus atsakymas.

Atsakymas: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Galiausiai, viena pastaba, kuri gali išgelbėti jus nuo kvailų klaidų sprendžiant tikras problemas:

Nelygybių su moduliais sprendiniai dažniausiai yra ištisinės aibės skaičių tiesėje – intervalai ir atkarpos. Izoliuoti taškai yra daug retesni. Ir dar rečiau pasitaiko, kad sprendinio ribos (atkarpos pabaiga) sutampa su nagrinėjamo diapazono riba.

Todėl, jei ribos (tie labai „ypatingi atvejai“) neįtrauktos į atsakymą, tai sritys, esančios į kairę-dešinę nuo šių ribų, beveik tikrai nebus įtrauktos į atsakymą. Ir atvirkščiai: siena įvesta kaip atsakas, o tai reiškia, kad kai kurios aplink ją esančios sritys taip pat bus atsakymai.

Turėkite tai omenyje, kai tikrinate sprendimus.

nelygybės sprendimas režimu prisijungęs sprendimas beveik bet kokia duota nelygybė prisijungęs. Matematinė nelygybės internete išspręsti matematiką. Raskite greitai nelygybės sprendimas režimu prisijungęs. Svetainė www.site leidžia rasti sprendimas beveik bet kokia duota algebrinė, trigonometrinis arba transcendentinė nelygybė internete. Studijuojant beveik bet kurią matematikos dalį skirtinguose etapuose, tenka apsispręsti nelygybės internete. Norėdami gauti atsakymą iš karto, o svarbiausia – tikslų atsakymą, jums reikia šaltinio, leidžiančio tai padaryti. Ačiū www.site išspręsti nelygybę internete užtruks kelias minutes. Pagrindinis www.site privalumas sprendžiant matematinį nelygybės internete- yra pateikiamo atsakymo greitis ir tikslumas. Svetainė gali išspręsti bet kurią algebrinės nelygybės internete, trigonometrinės nelygybės internete, transcendentinė nelygybė internete, ir nelygybės su nežinomais parametrais režime prisijungęs. nelygybės tarnauja kaip galingas matematinis aparatas sprendimus praktines užduotis. Su pagalba matematinės nelygybės galima išsakyti faktus ir santykius, kurie iš pirmo žvilgsnio gali pasirodyti painūs ir sudėtingi. nežinomi kiekiai nelygybės galima rasti suformulavus problemą matematinės kalba formoje nelygybės Ir nuspręsti gautą užduotį režimu prisijungęs svetainėje www.site. Bet koks algebrinė nelygybė, trigonometrinė nelygybė arba nelygybės kuriuose yra transcendentinis funkcijos jums lengvai nuspręsti internete ir gaukite teisingą atsakymą. Studijuojant gamtos mokslus, neišvengiamai susiduriama su poreikiu nelygybių sprendimas. Tokiu atveju atsakymas turi būti tikslus ir turi būti gautas nedelsiant režimu prisijungęs. Todėl už išspręskite matematines nelygybes internete Mes rekomenduojame svetainę www.site, kuri taps nepakeičiama jūsų skaičiuokle Išspręskite algebrines nelygybes internete, trigonometrinės nelygybės internete, ir transcendentinė nelygybė internete arba nelygybės su nežinomais parametrais. Praktinėms problemoms, ieškant įvairių intravolinių sprendimų matematinės nelygybėsšaltinis www.. Spręsti nelygybės internete patiems, naudinga gautą atsakymą patikrinti naudojant nelygybių sprendimas internete svetainėje www.site. Būtina teisingai užrašyti nelygybę ir iš karto gauti internetinis sprendimas, po to belieka tik palyginti atsakymą su savo nelygybės sprendimu. Atsakymo patikrinimas užtruks ne ilgiau kaip minutę išspręsti nelygybę internete ir palyginkite atsakymus. Tai padės išvengti klaidų sprendimas ir laiku pataisykite atsakymą nelygybių sprendimas internete arba algebrinė, trigonometrinis, transcendentinis arba nelygybė su nežinomais parametrais.