Kvadratinė šaknis. Išsami teorija su pavyzdžiais

Neneigiamo skaičiaus kvadratinės šaknies samprata

Panagrinėkime lygtį x2 = 4. Išspręskime grafiškai. Norėdami tai padaryti, vienoje sistemoje koordinates sukonstruokite parabolę y = x2 ir tiesę y = 4 (74 pav.). Jie susikerta dviejuose taškuose A (- 2; 4) ir B (2; 4). Taškų A ir B abscisės yra lygties x2 = 4 šaknys. Taigi, x1 = - 2, x2 = 2.

Taip pat argumentuodami randame lygties x2 = 9 šaknis (žr. 74 pav.): x1 = - 3, x2 = 3.

O dabar pabandykime išspręsti lygtį x2 = 5; geometrinė iliustracija parodyta fig. 75. Akivaizdu, kad ši lygtis turi dvi šaknis x1 ir x2, ir šie skaičiai, kaip ir dviem ankstesniais atvejais, yra lygūs absoliučia reikšme ir priešingi ženklu (x1 - - x2) - Tačiau skirtingai nuo ankstesnių atvejų, kai lygties šaknys buvo rastos be vargo (ir jas buvo galima rasti ir nenaudojant grafikų), to nėra lygties x2 \u003d 5 atveju: pagal brėžinį negalime nurodyti šaknų reikšmių , galime nustatyti tik tą šaknis esantis šiek tiek į kairę nuo 2 taško, o antrasis - šiek tiek į dešinę nuo 2 taško.

Bet čia mūsų laukia nemaloni staigmena. Pasirodo, tokio nėra trupmenomis DIV_ADBLOCK32">

Tarkime, kad yra tokia neredukuojama trupmena, kuriai lygybė https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}, t.y., m2 = 5n2. Paskutinė lygybė tai reiškia natūralusis skaičius m2 dalijasi iš 5 be liekanos (dalytu gauname n2).

Vadinasi, skaičius m2 baigiasi arba skaičiumi 5, arba skaičiumi 0. Bet tada natūralusis skaičius m taip pat baigiasi arba skaičiumi 5, arba skaičiumi 0, t.y. skaičius m dalijasi iš 5 be liekanos. Kitaip tariant, jei skaičius m yra padalintas iš 5, tai dalinyje bus gautas natūralusis skaičius k. Tai reiškia, kad m = 5k.

O dabar pažiūrėk:

Pirmoje lygtyje m pakeiskite 5k:

(5k)2 = 5n2, t.y. 25k2 = 5n2 arba n2 = 5k2.

Paskutinė lygybė reiškia, kad skaičius. 5n2 dalijasi iš 5 be liekanos. Ginčiuodami kaip aukščiau, darome išvadą, kad skaičius n taip pat dalijasi iš 5 be priminimas.

Taigi, m dalijasi iš 5, n dalijasi iš 5, todėl trupmeną galima sumažinti (iš 5). Bet mes manėme, kad trupmena yra neredukuojama. Kas nutiko? Kodėl, teisingai samprotaujant, priėjome prie absurdo arba, kaip dažnai sako matematikai, gavome prieštaravimą "! Taip, nes pradinė prielaida buvo neteisinga, tarsi yra tokia neredukuojama trupmena, kuriai lygybė ).

Jei dėl teisingo samprotavimo prieiname prie prieštaravimo sąlygai, tada darome išvadą: mūsų prielaida yra neteisinga, vadinasi, tai, ką reikėjo įrodyti, yra tiesa.

Taigi, turint tik racionalūs numeriai(ir mes dar nežinome kitų skaičių), negalėsime išspręsti lygties x2 \u003d 5.

Pirmą kartą susidūrę su tokia situacija, matematikai suprato, kad turi sugalvoti, kaip ją apibūdinti matematine kalba. Jie įvedė naują simbolį, kurį pavadino kvadratine šaknimi, o šio simbolio pagalba buvo parašytos lygties x2 = 5 šaknys taip: ). Dabar bet kuriai x2 \u003d a lygčiai, kur a\u003e O, galite rasti šaknis - tai yra skaičiaihttps://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!} ne visuma ar dalis.
Tai reiškia, kad tai ne racionalus skaičius, tai naujos prigimties skaičius, apie tokius skaičius specialiai kalbėsime vėliau, 5 skyriuje.
Šiuo metu tiesiog atkreipkite dėmesį, kad naujas skaičius yra nuo 2 iki 3, nes 22 = 4, o tai yra mažiau nei 5; Z2 \u003d 9, o tai yra daugiau nei 5. Galite patikslinti:

Dar kartą atkreipkite dėmesį, kad lentelėje rodomi tik teigiami skaičiai, nes tai nurodyta kvadratinės šaknies apibrėžime. Ir nors, pavyzdžiui, \u003d 25 yra teisinga lygybė, pereikite nuo jos prie žymėjimo naudodami kvadratinę šaknį (t. y. parašykite tai. .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!} yra teigiamas skaičius, taigi https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}. Aišku, kad jis yra didesnis nei 4, bet mažesnis nei 5, nes 42 = 16 (tai yra mažiau nei 17) ir 52 = 25 (tai yra daugiau nei 17).
Tačiau apytikslę skaičiaus reikšmę galima rasti naudojant skaičiuotuvas, kuriame yra kvadratinės šaknies operacija; ši vertė yra 4,123.

Skaičius , kaip ir anksčiau aptartas skaičius, nėra racionalus.
e) Negalima apskaičiuoti, nes neigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis neegzistuoja; įrašas beprasmis. Siūloma užduotis neteisinga.
e) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Užduotis" width="80" height="33 id=">!}, nes 75 > 0 ir 752 = 5625.

Paprasčiausiais atvejais kvadratinės šaknies reikšmė apskaičiuojama iš karto:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Užduotis" width="65" height="42 id=">!}
Sprendimas.
Pirmas lygmuo. Nesunku atspėti, kad atsakymas bus 50 su „uodega“. Iš tiesų, 502 = 2500 ir 602 = 3600, o 2809 yra tarp 2500 ir 3600.

Panagrinėkime lygtį x 2 = 4. Išspręskime grafiškai. Norėdami tai padaryti, vienoje koordinačių sistemoje sukonstruojame parabolę y \u003d x 2 ir tiesę y \u003d 4 (74 pav.). Jie susikerta dviejuose taškuose A (- 2; 4) ir B (2; 4). Taškų A ir B abscisės yra lygties x 2 \u003d 4 šaknys. Taigi, x 1 \u003d - 2, x 2 \u003d 2.

Ginčiuodami tuo pačiu būdu, randame lygties x 2 \u003d 9 šaknis (žr. 74 pav.): x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 3.

O dabar pabandykime išspręsti lygtį x 2 \u003d 5; geometrinė iliustracija parodyta fig. 75. Akivaizdu, kad ši lygtis turi dvi šaknis x 1 ir x 2, ir šie skaičiai, kaip ir dviem ankstesniais atvejais, yra lygūs absoliučia reikšme ir priešingi ženklu (x 1 - - x 2) - Tačiau skirtingai nei ankstesnis Tais atvejais, kai lygties šaknys buvo randamos nesunkiai (ir jas taip pat buvo galima rasti nenaudojant grafikų), taip nėra lygties x 2 \u003d 5 atveju: pagal brėžinį negalime nurodyti verčių Iš šaknų galime tik nustatyti, kad viena šaknis yra šiek tiek į kairę taškai - 2, o antra - šiek tiek į dešinę

2 punktai.

Koks yra šis skaičius (taškas), esantis 2 taško dešinėje ir duodantis 5 kvadratą? Akivaizdu, kad tai nėra 3, nes Z 2 \u003d 9, t.y. pasirodo daugiau nei reikia (9\u003e 5).

Tai reiškia, kad mus dominantis skaičius yra tarp skaičių 2 ir 3. Bet tarp skaičių 2 ir 3 yra begalinė racionaliųjų skaičių aibė, pvz. ir tt Gal tarp jų yra tokia trupmena, kad ? Tada neturėsime problemų su lygtimi x 2 - 5, galime tai parašyti

Bet čia mūsų laukia nemaloni staigmena. Pasirodo, tokios trupmenos, kuriai būtų lygybė, nėra
Išdėstomą teiginį įrodyti gana sunku. Nepaisant to, duodame, nes tai gražu ir pamokanti, labai naudinga pabandyti tai suprasti.

Tarkime, kad yra tokia neredukuojama trupmena , kuriai galioja lygybė. Tada t.y. m 2 = 5n 2 . Paskutinė lygybė reiškia, kad natūralusis skaičius m 2 dalijasi iš 5 be liekanos (ypač n2 pasirodys).

Vadinasi, skaičius m 2 baigiasi arba skaičiumi 5, arba skaičiumi 0. Bet tada natūralusis skaičius m taip pat baigiasi arba skaičiumi 5, arba skaičiumi 0, t.y. skaičius m dalijasi iš 5 be liekanos. Kitaip tariant, jei skaičius m yra padalintas iš 5, tai dalinyje bus gautas natūralusis skaičius k. Tai reiškia,
kad m = 5k.
O dabar pažiūrėk:
m 2 \u003d 5n 2;
Pirmoje lygtyje m pakeiskite 5k:

(5k) 2 = 5n2, t.y. 25k2 = 5n2 arba n2 = 5k2.
Paskutinė lygybė reiškia, kad skaičius. 5n 2 dalijasi iš 5 be liekanos. Ginčiuodami kaip aukščiau, darome išvadą, kad skaičius n taip pat dalijasi iš 5 be liekanos.
Taigi, m dalijasi iš 5, n dalijasi iš 5, todėl trupmeną galima sumažinti (iš 5). Bet mes manėme, kad trupmena yra neredukuojama. Kas nutiko? Kodėl, teisingai samprotaujant, priėjome prie absurdo arba, kaip dažnai sako matematikai, gavome prieštaravimą "! Taip, nes pradinė prielaida buvo neteisinga, tarsi yra tokia neredukuojama trupmena, kuriai lygybė
Iš to darome išvadą: tokios trupmenos nėra.
Ką tik taikytas įrodinėjimo metodas matematikoje vadinamas įrodinėjimo prieštaravimu būdu. Jo esmė yra tokia. Reikia įrodyti tam tikrą teiginį, o mes manome, kad jis negalioja (matematikai sako: „tarkime priešingai“ – ne „nemalonu“, o „priešingai nei reikalaujama“).
Jei dėl teisingo samprotavimo prieiname prie prieštaravimo sąlygai, tada darome išvadą: mūsų prielaida yra neteisinga, vadinasi, tai, ką reikėjo įrodyti, yra tiesa.

Taigi, turėdami tik racionalius skaičius (o kitų skaičių dar nežinome), negalėsime išspręsti lygties x 2 \u003d 5.
Pirmą kartą susidūrę su tokia situacija, matematikai suprato, kad turi sugalvoti, kaip ją apibūdinti matematine kalba. Jie atsižvelgė į naują simbolį, kurį pavadino kvadratine šaknimi, ir naudojant šį simbolį lygties x 2 \u003d 5 šaknys buvo parašytos taip:

rašoma: "kvadratinė šaknis iš 5"). Dabar bet kuriai x 2 \u003d a lygčiai, kur a\u003e O, galite rasti šaknis - tai yra skaičiai , (76 pav.).

Dar kartą pabrėžiame, kad skaičius nėra sveikasis skaičius ir ne trupmena.
Tai reiškia, kad tai ne racionalus skaičius, tai naujos prigimties skaičius, apie tokius skaičius specialiai kalbėsime vėliau, 5 skyriuje.
Šiuo metu tiesiog atkreipkite dėmesį, kad naujas skaičius yra nuo 2 iki 3, nes 2 2 = 4, o tai yra mažiau nei 5; Z 2 \u003d 9, ir tai yra daugiau nei 5. Galite paaiškinti:

Iš tiesų, 2,2 2 = 4,84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Dar galite
nurodyti:

iš tiesų, 2,23 2 = 4,9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
Praktikoje dažniausiai manoma, kad skaičius lygus 2,23 arba lygus 2,24, tik tai ne eilinė lygybė, o apytikslė lygybė, kuriai ir naudojamas simbolis.
Taigi,

Aptardami lygties x 2 = a sprendimą, susidūrėme su gana tipiška matematikos padėtimi. Patekę į nestandartinę, nenormalią (kaip mėgsta sakyti kosmonautai) situaciją ir žinomomis priemonėmis nerasdami iš jos išeities, matematikai sugalvoja naują terminą ir naują matematinio įvardijimą (naują simbolį). modelis, su kuriuo susidūrė pirmą kartą; kitaip tariant, jie įveda naują koncepciją ir tiria jos savybes
sąvokas. Taigi nauja sąvoka ir jos žymėjimas tampa matematinės kalbos nuosavybe. Mes pasielgėme taip pat: įvedėme terminą „skaičiaus a kvadratinė šaknis“, įvedėme jam žymintį simbolį, o kiek vėliau tyrinėsime naujosios sąvokos savybes. Kol kas žinome tik vieną dalyką: jei a > 0,
tada yra teigiamas skaičius, kuris tenkina lygtį x 2 = a. Kitaip tariant, ar toks teigiamas skaičius, kai kvadratas, gaunamas skaičius a.
Kadangi lygtis x 2 \u003d 0 turi šaknį x \u003d 0, sutikome manyti, kad
Dabar esame pasirengę pateikti griežtą apibrėžimą.
Apibrėžimas. Neneigiamo skaičiaus a kvadratinė šaknis yra neneigiamas skaičius, kurio kvadratas yra a.

Šis skaičius yra žymimas, skaičius ir tuo pačiu vadinamas šaknies skaičiumi.
Taigi, jei a yra neneigiamas skaičius, tada:

Jeigu< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
Taigi išraiška turi prasmę tik tada, kai a > 0.
Jie taip sako - tas pats matematinis modelis (tas pats ryšys tarp neneigiamų skaičių
(a ir b), tačiau tik antrasis aprašomas paprastesne kalba nei pirmoji (naudojami paprastesni simboliai).

Neneigiamo skaičiaus kvadratinės šaknies radimo operacija vadinama kvadratinės šaknies paėmimu. Ši operacija yra atvirkštinė kvadratūra. Palyginti:

Dar kartą atkreipkite dėmesį, kad lentelėje rodomi tik teigiami skaičiai, nes tai nurodyta kvadratinės šaknies apibrėžime. Ir nors, pavyzdžiui, (- 5) 2 \u003d 25 yra teisinga lygybė, pereikite nuo jos prie žymėjimo naudodami kvadratinę šaknį (ty parašykite tai.)
tai uždrausta. A-prioras,. yra teigiamas skaičius, taigi .
Dažnai sakoma ne „kvadratinė šaknis“, o „aritmetinė kvadratinė šaknis“. Dėl trumpumo termino „aritmetika“ praleidžiame.

D) Skirtingai nei ankstesniuose pavyzdžiuose, negalime nurodyti tikslios skaičiaus reikšmės. Tik aišku, kad jis yra didesnis nei 4, bet mažesnis nei 5, nes

4 2 = 16 (tai yra mažiau nei 17) ir 5 2 = 25 (tai daugiau nei 17).
Tačiau apytikslę skaičiaus reikšmę galima rasti naudojant mikroskaičiuotuvą, kuriame yra kvadratinės šaknies ištraukimo operacija; ši vertė yra 4,123.
Taigi,
Skaičius , kaip ir anksčiau aptartas skaičius, nėra racionalus.
e) Negalima apskaičiuoti, nes neigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis neegzistuoja; įrašas beprasmis. Siūloma užduotis neteisinga.
e), kadangi 31 > 0 ir 31 2 = 961. Tokiais atvejais reikia naudoti natūraliųjų skaičių kvadratų lentelę arba mikroskaičiuotuvą.
g) kadangi 75 > 0 ir 75 2 = 5625.
Paprasčiausiais atvejais kvadratinės šaknies reikšmė apskaičiuojama iš karto: tt Sudėtingesniais atvejais reikia naudoti skaičių kvadratų lentelę arba atlikti skaičiavimus naudojant mikroskaičiuotuvą. Bet ką daryti, jei po ranka nėra skaičiuoklės ar skaičiuoklės? Atsakykime į šį klausimą išspręsdami šį pavyzdį.

2 pavyzdys Apskaičiuoti
Sprendimas.
Pirmas lygmuo. Nesunku atspėti, kad atsakymas bus 50 su „uodega“. Iš tiesų, 50 2 = 2500 ir 60 2 = 3600, o skaičius 2809 yra tarp skaičių 2500 ir 3600.

Antrasis etapas. Susiraskime „uodegą“, t.y. paskutinis norimo skaičiaus skaitmuo. Kol kas žinome, kad paėmus šaknį, atsakymas gali būti 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 arba 59. Reikia patikrinti tik du skaičius: 53 ir 57, nes tik jie , patraukus kvadratu, rezultatas bus keturių skaitmenų skaičius, kuris baigiasi 9, tas pats skaitmuo kaip 2809.
Turime 532 = 2809 – štai ko mums reikia (pasisekė, iškart pataikėme į „jaučio akį“). Taigi = 53.
Atsakymas:

53
3 pavyzdys Stačiojo trikampio kojos yra 1 cm ir 2 cm. Kokia yra trikampio hipotenuzė? (77 pav.)

Sprendimas.

Panaudokime iš geometrijos žinomą Pitagoro teoremą: stačiojo trikampio kojelių ilgių kvadratų suma yra lygi jo hipotenuzės ilgio kvadratui, t.y. a 2 + b 2 \u003d c 2, kur a, b yra kojos, c yra stačiojo trikampio hipotenuzė.

Reiškia,

Šis pavyzdys rodo, kad kvadratinių šaknų įvedimas yra ne matematikų užgaida, o objektyvi būtinybė: realiame gyvenime pasitaiko situacijų, kurių matematiniuose modeliuose yra kvadratinės šaknies ištraukimo operacija. Galbūt pati svarbiausia iš šių situacijų
sprendžiant kvadratines lygtis. Iki šiol, susitikdami su kvadratinėmis lygtimis ax 2 + bx + c \u003d 0, mes arba faktorinavome kairę pusę (kas ne visada pasiteisino), arba naudojome grafinius metodus (o tai taip pat nėra labai patikima, nors ir gražu). Tiesą sakant, rasti
kvadratinės lygties ax 2 + bx + c \u003d 0 šaknys x 1 ir x 2 matematikoje, naudojamos formulės

kurioje, matyt, yra kvadratinės šaknies ženklas.Šios formulės praktiškai taikomos taip. Tarkime, kad reikia išspręsti lygtį 2x 2 + bx - 7 \u003d 0. Čia a \u003d 2, b \u003d 5, c \u003d - 7. Todėl
b2 - 4ac \u003d 5 2 - 4. 2. (- 7) = 81. Tada randame . Reiškia,

Aukščiau pažymėjome, kad tai nėra racionalus skaičius.
Matematikai tokius skaičius vadina neracionaliais. Bet koks formos skaičius yra neracionalus, jei nepaimta kvadratinė šaknis. Pavyzdžiui, ir tt yra neracionalūs skaičiai. 5 skyriuje plačiau kalbėsime apie racionalius ir neracionalius skaičius. Racionalieji ir iracionalieji skaičiai kartu sudaro realiųjų skaičių aibę, t.y. visų tų skaičių, su kuriais dirbame realiame gyvenime, rinkinys (iš tikrųjų,
ness). Pavyzdžiui, - visa tai yra realūs skaičiai.
Kaip aukščiau apibrėžėme kvadratinės šaknies sąvoką, taip pat galime apibrėžti kubo šaknies sąvoką: neneigiamo skaičiaus a kubo šaknis yra neneigiamas skaičius, kurio kubas yra lygus a. Kitaip tariant, lygybė reiškia, kad b 3 = a.

Visa tai mokysimės 11 klasės algebros kurse.

Šiame straipsnyje mes supažindinsime skaičiaus šaknies samprata. Veiksime nuosekliai: pradėsime nuo kvadratinės šaknies, nuo jos pereisime prie kubinės šaknies aprašymo, po to apibendrinsime šaknies sampratą, apibrėždami n-ojo laipsnio šaknį. Kartu supažindinsime su apibrėžimais, žymėjimu, pateiksime šaknų pavyzdžių ir pateiksime reikiamus paaiškinimus bei komentarus.

Kvadratinė šaknis, aritmetinė kvadratinė šaknis

Norint suprasti skaičiaus šaknies apibrėžimą, o ypač kvadratinę šaknį, reikia turėti . Šiuo metu dažnai susidursime su antrąja skaičiaus laipsniu – skaičiaus kvadratu.

Pradėkime nuo kvadratinių šaknų apibrėžimai.

Apibrėžimas

Kvadratinė šaknis iš a yra skaičius, kurio kvadratas yra .

Norint atvežti kvadratinių šaknų pavyzdžiai, paimkite kelis skaičius, pavyzdžiui, 5 , -0,3 , 0,3 , 0 ir padėkite juos kvadratu, gausime atitinkamai skaičius 25 , 0,09 , 0,09 ir 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25, (-0,3) 2 = (-0,3) (-0,3) = 0,09, (0,3) 2 =0,3 0,3 = 0,09 ir 0 2 =0 0 = 0). Tada pagal aukščiau pateiktą apibrėžimą 5 yra kvadratinė šaknis iš 25, −0,3 ir 0,3 yra kvadratinė šaknis iš 0,09, o 0 yra nulio kvadratinė šaknis.

Reikia pažymėti, kad neegzistuoja joks skaičius a , kurio kvadratas lygus a . Būtent bet kuriam neigiamam skaičiui a nėra tikrojo skaičiaus b, kurio kvadratas būtų lygus a. Iš tiesų, lygybė a=b 2 neįmanoma bet kuriam neigiamam a , nes b 2 yra neneigiamas bet kurio b skaičius. Taigi, realiųjų skaičių aibėje nėra neigiamo skaičiaus kvadratinės šaknies. Kitaip tariant, realiųjų skaičių aibėje neigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis nėra apibrėžta ir neturi reikšmės.

Tai veda prie logiško klausimo: „Ar yra bet kurio neneigiamo a kvadratinė šaknis“? Atsakymas yra taip. Šio fakto pagrindimu galima laikyti konstruktyvų metodą, naudojamą kvadratinės šaknies vertei nustatyti.

Tada kyla toks logiškas klausimas: „Kiek yra duoto neneigiamo skaičiaus a visų kvadratinių šaknų skaičius – vienas, du, trys ar net daugiau“? Štai atsakymas į jį: jei a yra nulis, tai vienintelė nulio kvadratinė šaknis yra nulis; jei a yra teigiamas skaičius, tai kvadratinių šaknų skaičius iš skaičiaus a yra lygus dviem, o šaknys yra . Pagrįskime tai.

Pradėkime nuo atvejo a=0 . Pirmiausia parodykime, kad nulis iš tikrųjų yra kvadratinė šaknis iš nulio. Tai išplaukia iš akivaizdžios lygybės 0 2 =0·0=0 ir kvadratinės šaknies apibrėžimo.

Dabar įrodykime, kad 0 yra vienintelė kvadratinė šaknis iš nulio. Naudokime priešingą metodą. Tarkime, kad yra koks nors nulinis skaičius b, kuris yra kvadratinė šaknis iš nulio. Tada turi būti įvykdyta sąlyga b 2 =0, o tai neįmanoma, nes bet kokiam nuliui b reiškinio b 2 reikšmė yra teigiama. Priėjome prieštaravimą. Tai įrodo, kad 0 yra vienintelė kvadratinė šaknis iš nulio.

Pereikime prie atvejų, kai a yra teigiamas skaičius. Aukščiau sakėme, kad visada yra bet kurio neneigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis, tegul b yra a kvadratinė šaknis. Tarkime, kad yra skaičius c , kuris taip pat yra a kvadratinė šaknis. Tada pagal kvadratinės šaknies apibrėžimą galioja lygybės b 2 =a ir c 2 =a, iš ko išplaukia, kad b 2 −c 2 =a−a=0, bet kadangi b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , tada (b−c) (b+c)=0 . Galioja gauta lygybė veiksmų su realiaisiais skaičiais savybės galima tik tada, kai b-c=0 arba b+c=0 . Taigi skaičiai b ir c yra lygūs arba priešingi.

Jei darysime prielaidą, kad yra skaičius d, kuris yra dar viena kvadratinė šaknis iš skaičiaus a, tai samprotaujant panašiai kaip jau pateiktos, įrodoma, kad d yra lygus skaičiui b arba skaičiui c. Taigi teigiamo skaičiaus kvadratinių šaknų skaičius yra du, o kvadratinės šaknys yra priešingi skaičiai.

Kad būtų patogiau dirbti su kvadratinėmis šaknimis, neigiama šaknis „atskiriama“ nuo teigiamos. Šiuo tikslu ji pristato aritmetinės kvadratinės šaknies apibrėžimas.

Apibrėžimas

Aritmetinė kvadratinė šaknis iš neneigiamo skaičiaus a yra neneigiamas skaičius, kurio kvadratas yra lygus .

Skaičiaus a aritmetinės kvadratinės šaknies žymėjimas priimamas. Ženklas vadinamas aritmetiniu kvadratinės šaknies ženklu. Jis taip pat vadinamas radikalo ženklu. Todėl iš dalies galite išgirsti ir „root“, ir „radical“, o tai reiškia tą patį objektą.

Skaičius po aritmetiniu kvadratinės šaknies ženklu vadinamas šaknies numeris, o išraiška po šaknies ženklu - radikali išraiška, o terminas „radikalus skaičius“ dažnai pakeičiamas terminu „radikalioji išraiška“. Pavyzdžiui, žymėjime skaičius 151 yra radikalusis skaičius, o užraše išraiška a yra radikali išraiška.

Skaitant žodis „aritmetika“ dažnai praleidžiamas, pavyzdžiui, įrašas skaitomas kaip „kvadratinė šaknis iš septynių taškų dvidešimt devynių šimtųjų dalių“. Žodis „aritmetika“ tariamas tik tada, kai norima pabrėžti, kad kalbame apie teigiamą skaičiaus kvadratinę šaknį.

Atsižvelgiant į įvestą žymėjimą, iš aritmetinės kvadratinės šaknies apibrėžimo matyti, kad bet kuriam neneigiamam skaičiui a .

Teigiamo skaičiaus a kvadratinės šaknys rašomos naudojant aritmetinį kvadratinės šaknies ženklą kaip ir . Pavyzdžiui, 13 kvadratinės šaknys yra ir . Aritmetinė nulio kvadratinė šaknis yra lygi nuliui, tai yra, . Neigiamų skaičių a įrašams reikšmės nesuteiksime tol, kol neištirsime kompleksiniai skaičiai. Pavyzdžiui, posakiai ir yra beprasmiai.

Remiantis kvadratinės šaknies apibrėžimu, įrodytos kvadratinių šaknų savybės, kurios dažnai naudojamos praktikoje.

Baigdami šį poskyrį pažymime, kad skaičiaus kvadratinės šaknys yra x 2 =a formos sprendiniai kintamojo x atžvilgiu.

kubo šaknis

Kubo šaknies apibrėžimas skaičius a pateikiamas panašiai kaip kvadratinės šaknies apibrėžimas. Tik jis remiasi ne kvadrato, o skaičiaus kubo koncepcija.

Apibrėžimas

Kubo šaknis a vadinamas skaičius, kurio kubas lygus a.

Atnešam kubo šaknų pavyzdžiai. Norėdami tai padaryti, paimkite kelis skaičius, pavyzdžiui, 7 , 0 , −2/3 , ir supjaustykite juos kubeliu: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Tada, remiantis kubo šaknies apibrėžimu, galime pasakyti, kad skaičius 7 yra 343 kubinė šaknis, 0 yra nulio kubinė šaknis, o −2/3 yra −8/27 kubinė šaknis.

Galima parodyti, kad skaičiaus a kubinė šaknis, skirtingai nei kvadratinė šaknis, egzistuoja visada, ir ne tik neneigiamam a, bet ir bet kuriam realiajam skaičiui a. Norėdami tai padaryti, galite naudoti tą patį metodą, kurį minėjome studijuodami kvadratinę šaknį.

Be to, tam tikro skaičiaus a yra tik viena kubinė šaknis. Įrodykime paskutinį teiginį. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite tris atvejus atskirai: a yra teigiamas skaičius, a = 0 ir a yra neigiamas skaičius.

Nesunku parodyti, kad teigiamo a kubinė šaknis negali būti nei neigiama, nei nulis. Iš tiesų, tegul b yra a kubinė šaknis, tada pagal apibrėžimą galime parašyti lygybę b 3 =a . Akivaizdu, kad ši lygybė negali būti teisinga neigiamam b ir b=0, nes šiais atvejais b 3 =b·b·b bus atitinkamai neigiamas skaičius arba nulis. Taigi teigiamo skaičiaus a kubinė šaknis yra teigiamas skaičius.

Tarkime, kad be skaičiaus b yra dar viena kubinė šaknis iš skaičiaus a, pažymėkime ją c. Tada c 3 =a. Todėl b 3 −c 3 =a−a=0 , bet b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(tai yra sutrumpinta daugybos formulė kubelių skirtumas), iš kur (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Gauta lygybė įmanoma tik tada, kai b−c=0 arba b 2 +b c+c 2 =0 . Iš pirmosios lygybės turime b=c, o antroji lygybė neturi sprendinių, nes jos kairioji pusė yra teigiamas skaičius bet kokiems teigiamiems skaičiams b ir c kaip trijų teigiamų narių b 2 , b c ir c 2 suma. Tai įrodo teigiamo skaičiaus a kubinės šaknies unikalumą.

Jei a=0, vienintelė a kubinė šaknis yra nulis. Iš tiesų, jei darysime prielaidą, kad yra skaičius b , kuris yra ne nulinė nulio kubinė šaknis, tada turi galioti lygybė b 3 =0, o tai įmanoma tik tada, kai b=0 .

Dėl neigiamo a galima ginčytis panašiai kaip dėl teigiamo a . Pirma, parodome, kad neigiamo skaičiaus kubinė šaknis negali būti lygi nei teigiamam skaičiui, nei nuliui. Antra, darome prielaidą, kad yra antroji neigiamo skaičiaus kubinė šaknis, ir parodome, kad ji būtinai sutaps su pirmuoju.

Taigi, visada yra bet kurio tikrojo skaičiaus a kubinė šaknis ir tik vienas.

Duokim aritmetinės kubo šaknies apibrėžimas.

Apibrėžimas

Neneigiamo skaičiaus aritmetinė kubo šaknis a vadinamas neneigiamas skaičius, kurio kubas lygus a.

Neneigiamo skaičiaus a aritmetinė kubo šaknis žymima kaip , ženklas vadinamas aritmetinio kubo šaknies ženklu, skaičius 3 šioje žymėjime vadinamas šaknies indikatorius. Skaičius po šaknies ženklu yra šaknies numeris, išraiška po šaknies ženklu yra radikali išraiška.

Nors aritmetinė kubo šaknis apibrėžiama tik neneigiamiems skaičiams a, patogu naudoti ir įrašus, kuriuose neigiami skaičiai yra po aritmetiniu kubo šaknies ženklu. Juos suprasime taip: , kur a yra teigiamas skaičius. Pavyzdžiui, .

Apie kubinių šaknų savybes kalbėsime bendrame straipsnyje šaknų savybės.

Kubo šaknies reikšmės skaičiavimas vadinamas kubo šaknies ištraukimu, šis veiksmas aptariamas straipsnyje šaknų ištraukimas: metodai, pavyzdžiai, sprendimai.

Baigdami šį poskyrį sakome, kad a kubinė šaknis yra x 3 =a formos sprendinys.

N-oji šaknis, aritmetinė n šaknis

Šaknies sąvoką apibendriname iš skaičiaus – pristatome n-osios šaknies nustatymas už n.

Apibrėžimas

n-oji a šaknis yra skaičius, kurio n-oji laipsnis yra lygus a.

Iš šio apibrėžimo aišku, kad pirmojo laipsnio šaknis iš skaičiaus a yra pats skaičius a, nes tirdami laipsnį su natūraliuoju rodikliu, mes paėmėme 1 = a.

Aukščiau nagrinėjome specialius n-ojo laipsnio šaknies atvejus, kai n=2 ir n=3 – kvadratinė ir kubo šaknis. Tai yra, kvadratinė šaknis yra antrojo laipsnio šaknis, o kubo šaknis yra trečiojo laipsnio šaknis. Norint ištirti n-ojo laipsnio šaknis, kai n=4, 5, 6, ..., patogu jas suskirstyti į dvi grupes: pirmoji grupė - lyginių laipsnių šaknis (tai yra, kai n=4, 6 , 8, ...), antroji grupė – šaknų nelyginės galios (tai yra, kai n=5, 7, 9, ... ). Taip yra dėl to, kad lyginių laipsnių šaknys yra panašios į kvadratinę, o nelyginių – į kubinę. Susitvarkykime su jais paeiliui.

Pradėkime nuo šaknų, kurių laipsniai yra lyginiai skaičiai 4, 6, 8, ... Kaip jau minėjome, jos panašios į skaičiaus a kvadratinę šaknį. Tai yra, bet kurio lyginio laipsnio šaknis iš skaičiaus a egzistuoja tik neneigiamam a. Be to, jei a=0, tai a šaknis yra unikali ir lygi nuliui, o jei a>0, tai yra dvi lyginio laipsnio šaknys nuo skaičiaus a, ir jos yra priešingi skaičiai.

Pagrįskime paskutinį teiginį. Tegu b lyginio laipsnio šaknis (žymime 2·m, kur m yra koks nors natūralusis skaičius) iš a. Tarkime, kad yra skaičius c – dar 2 m šaknis iš a . Tada b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Bet mes žinome formą b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), tada (b–c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Iš šios lygybės išplaukia, kad b−c=0 , arba b+c=0 , arba b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Pirmosios dvi lygybės reiškia, kad skaičiai b ir c yra lygūs arba b ir c yra priešingi. Ir paskutinė lygybė galioja tik b=c=0 , nes jos kairėje pusėje yra išraiška, kuri yra neneigiama bet kuriam b ir c kaip neneigiamų skaičių suma.

Kalbant apie nelyginio n laipsnio n-ojo laipsnio šaknis, jos yra panašios į kubo šaknį. Tai yra, bet kurio nelyginio skaičiaus a laipsnio šaknis egzistuoja bet kuriam realiajam skaičiui a, o tam tikram skaičiui a ji yra unikali.

Nelyginio laipsnio 2·m+1 šaknies unikalumas iš skaičiaus a įrodytas pagal analogiją su kubinės šaknies unikalumo įrodymu iš a . Tik čia vietoj lygybės a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) b 2 m+1 −c 2 m+1 = lygybė (b–c) (b 2 m + b 2 m–1 c+b 2 m–2 c 2 +… +c 2 m). Išraiška paskutiniame skliaustelyje gali būti perrašyta kaip b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Pavyzdžiui, m=2 turime b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b–c) (b 4 + c 4 + b c (b 2 + c 2 + b c)). Kai a ir b yra teigiami arba abu neigiami, jų sandauga yra teigiamas skaičius, tada reiškinys b 2 +c 2 +b·c , kuris yra aukščiausio įdėjimo laipsnio skliausteliuose, yra teigiamas kaip teigiamų suma numeriai. Dabar, iš eilės pereidami prie ankstesnių įdėjimo laipsnių skliausteliuose esančių išraiškų, įsitikiname, kad jos taip pat yra teigiamos kaip teigiamų skaičių sumos. Dėl to gauname lygybę b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b–c) (b 2 m +b 2 m–1 c+b 2 m–2 c 2 +… +c 2 m)=0 galima tik tada, kai b−c=0 , tai yra, kai skaičius b lygus skaičiui c .

Atėjo laikas susitvarkyti su n-ojo laipsnio šaknų žymėjimu. Už tai duodama n-ojo laipsnio aritmetinės šaknies nustatymas.

Apibrėžimas

Neneigiamo skaičiaus a n-ojo laipsnio aritmetinė šaknis vadinamas neneigiamas skaičius, kurio n-asis laipsnis lygus a.

Dar kartą pažvelgiau į lėkštę... Ir eime!

Pradėkime nuo paprasto:

Palauk minutę. tai reiškia, kad galime parašyti taip:

Supratau? Štai jums kitas:

Gautų skaičių šaknys nėra tiksliai išskirtos? Nesijaudinkite, čia yra keletas pavyzdžių:

Bet ką daryti, jei yra ne du daugikliai, o daugiau? Tas pats! Šaknies daugybos formulė veikia su daugybe veiksnių:

Dabar visiškai nepriklausomas:

Atsakymai:Šauniai padirbėta! Sutikite, viskas labai paprasta, svarbiausia žinoti daugybos lentelę!

Šaknų padalijimas

Mes išsiaiškinome šaknų dauginimą, dabar pereikime prie padalijimo savybės.

Leiskite jums priminti, kad formulė apskritai atrodo taip:

Ir tai reiškia, kad dalinio šaknis lygi šaknų daliniui.

Na, pažiūrėkime į pavyzdžius:

Tai visas mokslas. Ir štai pavyzdys:

Viskas nėra taip sklandu kaip pirmame pavyzdyje, bet, kaip matote, nėra nieko sudėtingo.

Ką daryti, jei išraiška atrodo taip:

Jums tereikia taikyti formulę atvirkštine tvarka:

Ir štai pavyzdys:

Taip pat galite pamatyti šią išraišką:

Viskas tas pats, tik čia reikia prisiminti, kaip išversti trupmenas (jei neprisimenate, pažiūrėkite į temą ir grįžkite!). Prisiminė? Dabar mes nusprendžiame!

Esu tikras, kad susidorojote su viskuo, viskuo, dabar pabandykime įleisti šaknis į laipsnį.

Eksponentiškumas

Kas atsitiks, jei kvadratinė šaknis yra kvadratas? Tai paprasta, prisiminkite skaičiaus kvadratinės šaknies reikšmę – tai yra skaičius, kurio kvadratinė šaknis yra lygi.

Taigi, jei kvadratu pateiksime skaičių, kurio kvadratinė šaknis yra lygi, tai ką gausime?

Na žinoma, !

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

Viskas paprasta, tiesa? O jei šaknis kitokio laipsnio? Viskas gerai!

Laikykitės tos pačios logikos ir prisiminkite savybes bei galimus veiksmus su laipsniais.

Perskaitykite teoriją tema "" ir viskas jums taps labai aišku.

Pavyzdžiui, čia yra išraiška:

Šiame pavyzdyje laipsnis yra lyginis, bet kas, jei jis yra nelyginis? Vėlgi, taikykite galios savybes ir įvertinkite viską:

Atrodo, kad viskas aišku, bet kaip iš laipsnio skaičiaus ištraukti šaknį? Štai, pavyzdžiui, tai:

Gana paprasta, tiesa? O jei laipsnis didesnis nei du? Mes vadovaujamės ta pačia logika, naudodami laipsnių savybes:

Na, ar viskas aišku? Tada išspręskite savo pavyzdžius:

Ir štai atsakymai:

Įvadas po šaknies ženklu

Ko mes tiesiog neišmokome daryti su šaknimis! Belieka tik pasipraktikuoti įvesti skaičių po šaknies ženklu!

Tai gana lengva!

Tarkime, kad turime numerį

Ką mes galime su juo padaryti? Na, žinoma, paslėpkite trigubą po šaknimi, nepamiršdami, kad trigubas yra kvadratinė šaknis!

Kodėl mums to reikia? Taip, tik norėdami išplėsti savo galimybes sprendžiant pavyzdžius:

Kaip jums patinka ši šaknų savybė? Labai palengvina gyvenimą? Man tai tiesa! Tik turime atsiminti, kad po kvadratinės šaknies ženklu galime įvesti tik teigiamus skaičius.

Išbandykite šį pavyzdį patys:
Ar susitvarkei? Pažiūrėkime, ką turėtumėte gauti:

Šauniai padirbėta! Jums pavyko įvesti skaičių po šaknies ženklu! Pereikime prie vienodai svarbaus dalyko – apsvarstykite, kaip palyginti skaičius, kuriuose yra kvadratinė šaknis!

Šaknų palyginimas

Kodėl turėtume išmokti palyginti skaičius, kuriuose yra kvadratinė šaknis?

Labai paprasta. Dažnai egzamine sutinkamais dideliais ir ilgais posakiais gauname neracionalų atsakymą (ar pamenate, kas tai yra? Šiandien apie tai jau kalbėjome!)

Gautus atsakymus turime patalpinti koordinačių tiesėje, pavyzdžiui, nustatyti, kuris intervalas tinkamas lygčiai spręsti. Ir čia iškyla kliūtis: egzamine nėra skaičiuoklės, o be jos kaip įsivaizduoti, kuris skaičius didesnis, o kuris mažesnis? Viskas!

Pavyzdžiui, nustatykite, kuris yra didesnis: ar?

Iš karto nepasakysi. Na, naudokime analizuojamą savybę pridėti skaičių po šaknies ženklu?

Tada pirmyn:

Na, aišku, kuo didesnis skaičius po šaknies ženklu, tuo didesnė pati šaknis!

Tie. jei reiškia .

Iš to darome tvirtą išvadą Ir niekas mūsų neįtikins kitaip!

Šaknų ištraukimas iš didelio skaičiaus

Prieš tai įvedėme faktorių po šaknies ženklu, bet kaip jį išimti? Jums tiesiog reikia tai įvertinti ir išgauti tai, kas išgaunama!

Buvo galima eiti kitu keliu ir suskaidyti į kitus veiksnius:

Neblogai, tiesa? Bet kuris iš šių būdų yra teisingas, nuspręskite, kaip jaučiatės patogiai.

Faktoringas labai praverčia sprendžiant tokias nestandartines užduotis kaip ši:

Mes nebijome, veikiame! Kiekvieną veiksnį pagal šaknį išskaidome į atskirus veiksnius:

O dabar pabandykite patys (be skaičiuoklės! Jo nebus egzamine):

Ar tai pabaiga? Mes nesustojame pusiaukelėje!

Tai viskas, ne viskas taip baisu, tiesa?

Įvyko? Puiku, tu teisus!

Dabar išbandykite šį pavyzdį:

Ir pavyzdys yra kietas riešutas, todėl negalite iš karto suprasti, kaip prie jo priartėti. Bet mums, žinoma, į dantis.

Na, pradėkime faktoringo, ar ne? Iš karto atkreipiame dėmesį, kad skaičių galite padalyti iš (prisiminkime dalijimosi požymius):

O dabar išbandykite patys (vėl, be skaičiuoklės!):

Na, ar pavyko? Puiku, tu teisus!

Apibendrinant

1. Neneigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis (aritmetinė kvadratinė šaknis) yra neneigiamas skaičius, kurio kvadratas yra lygus.
   .
2. Jei iš ko nors paimame tik kvadratinę šaknį, visada gauname vieną neneigiamą rezultatą.
3. Aritmetinės šaknies savybės:
4. Lyginant kvadratines šaknis, reikia atsiminti, kad kuo didesnis skaičius po šaknies ženklu, tuo didesnė pati šaknis.

Kaip jums patinka kvadratinė šaknis? Viskas aišku?

Mes bandėme jums be vandens paaiškinti viską, ką reikia žinoti egzamine apie kvadratinę šaknį.

Tavo eilė. Parašykite mums, ar ši tema jums sunki, ar ne.

Ar išmokai ką nors naujo, ar viskas jau buvo taip aišku.

Rašykite komentaruose ir sėkmės egzaminuose!

Kvadratinio žemės sklypo plotas 81 dm². Surask jo pusę. Tarkime, kvadrato kraštinės ilgis yra X decimetrų. Tada sklypo plotas yra X² kvadratinių decimetrų. Kadangi pagal būklę šis plotas yra 81 dm², tai X² = 81. Kvadrato kraštinės ilgis yra teigiamas skaičius. Teigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus 81, yra skaičius 9. Sprendžiant uždavinį reikėjo rasti skaičių x, kurio kvadratas lygus 81, t.y išspręsti lygtį X² = 81. Ši lygtis turi dvi šaknis: x 1 = 9 ir x 2 \u003d - 9, nes 9² \u003d 81 ir (- 9)² \u003d 81. Abu skaičiai 9 ir - 9 vadinami skaičiaus 81 kvadratinėmis šaknimis.

Atkreipkite dėmesį, kad viena iš kvadratinių šaknų X= 9 yra teigiamas skaičius. Jis vadinamas aritmetine kvadratine šaknimi iš 81 ir žymima √81, taigi √81 = 9.

Aritmetinė skaičiaus kvadratinė šaknis A yra neneigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus A.

Pavyzdžiui, skaičiai 6 ir -6 yra kvadratinė šaknis iš 36. Skaičius 6 yra aritmetinė kvadratinė šaknis iš 36, nes 6 yra neneigiamas skaičius, o 6² = 36. Skaičius -6 nėra aritmetinė šaknis.

Aritmetinė skaičiaus kvadratinė šaknis Ažymimas taip: √ A.

Ženklas vadinamas aritmetiniu kvadratinės šaknies ženklu; A vadinama šaknine išraiška. Išraiška √ A skaityti kaip ši: skaičiaus aritmetinė kvadratinė šaknis A. Pavyzdžiui, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Tais atvejais, kai aišku, kad kalbame apie aritmetinę šaknį, jie trumpai sako: „kvadratinė šaknis A«.

Skaičiaus kvadratinės šaknies radimas vadinamas kvadratinės šaknies paėmimu. Šis veiksmas yra atvirkštinis kvadratui.

Bet koks skaičius gali būti kvadratas, bet ne kiekvienas skaičius gali būti kvadratinė šaknis. Pavyzdžiui, neįmanoma išgauti kvadratinės šaknies iš skaičiaus - 4. Jei tokia šaknis egzistavo, tai pažymint ją raide X, gautume neteisingą lygybę x² \u003d - 4, nes kairėje yra neneigiamas skaičius, o dešinėje - neigiamas skaičius.

Išraiška √ A prasminga tik tada, kai a ≥ 0. Kvadratinės šaknies apibrėžimą galima trumpai parašyti taip: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Lygybė (√ A)² = A galioja iki a ≥ 0. Taigi, norint įsitikinti, kad neneigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis A lygus b, t.y., kad √ A =b, turite patikrinti, ar tenkinamos šios dvi sąlygos: b ≥ 0, b² = A.

Kvadratinė trupmenos šaknis

Paskaičiuokime. Atkreipkite dėmesį, kad √25 = 5, √36 = 6, ir patikrinkite, ar galioja lygybė.

Nes ir , tada lygybė yra tiesa. Taigi, .

Teorema: Jeigu A≥ 0 ir b> 0, tai yra, trupmenos šaknis yra lygi skaitiklio šaknei, padalytai iš vardiklio šaknies. Būtina įrodyti, kad: ir .

Nuo √ A≥0 ir √ b> 0, tada .

Pagal savybę pakelti trupmeną iki laipsnio ir nustatyti kvadratinę šaknį teorema įrodyta. Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

Apskaičiuokite pagal įrodytą teoremą .

Antras pavyzdys: įrodykite tai , Jei A ≤ 0, b < 0. .

Kitas pavyzdys: Apskaičiuokite .

.

Kvadratinės šaknies transformacija

Daugiklio išėmimas iš po šaknies ženklo. Tegu pateikiama išraiška. Jeigu A≥ 0 ir b≥ 0, tada pagal gaminio šaknies teoremą galime parašyti:

Tokia transformacija vadinama šaknies ženklo faktoriniavimu. Apsvarstykite pavyzdį;

Apskaičiuokite ties X= 2. Tiesioginis pakeitimas X= 2 radikalioje išraiškoje lemia sudėtingus skaičiavimus. Šiuos skaičiavimus galima supaprastinti, jei pirmiausia pašalinsime veiksnius iš po šaknies ženklo: . Dabar pakeitę x = 2, gauname:.

Taigi, išimant faktorių iš po šaknies ženklo, radikalų išraiška vaizduojama kaip sandauga, kurioje vienas ar keli faktoriai yra neneigiamų skaičių kvadratai. Tada taikoma šaknies sandaugos teorema ir imama kiekvieno veiksnio šaknis. Apsvarstykite pavyzdį: Supaprastinkite išraišką A = √8 + √18 - 4√2, išimdami veiksnius iš po šaknies ženklo pirmuosiuose dviejuose terminuose, gauname:. Pabrėžiame, kad lygybė galioja tik tada, kai A≥ 0 ir b≥ 0. jei A < 0, то .