സങ്കലനത്തിൻ്റെയും ഗുണനത്തിൻ്റെയും ഗുണങ്ങൾ. പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ സങ്കലനം, ഗുണനം, കുറയ്ക്കൽ, ഹരിക്കൽ എന്നിവയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ

ഈ പ്രവർത്തനത്തിൽ അന്തർലീനമായ നിരവധി ഫലങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കാവുന്നതാണ്. ഈ ഫലങ്ങൾ വിളിക്കുന്നു സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ സങ്കലനത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ. ഈ ലേഖനത്തിൽ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ ഞങ്ങൾ വിശദമായി വിശകലനം ചെയ്യും, അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അവ എഴുതുകയും വിശദീകരണ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുകയും ചെയ്യും.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലിൻ്റെ സംയോജിത ഗുണം.

ഇനി നമുക്ക് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതിൻ്റെ അനുബന്ധ ഗുണം വ്യക്തമാക്കുന്ന ഒരു ഉദാഹരണം നൽകാം.

നമുക്ക് ഒരു സാഹചര്യം സങ്കൽപ്പിക്കാം: ആദ്യത്തെ ആപ്പിൾ മരത്തിൽ നിന്ന് 1 ആപ്പിൾ വീണു, രണ്ടാമത്തെ ആപ്പിൾ മരത്തിൽ നിന്ന് 2 ആപ്പിളും 4 ആപ്പിളും വീണു. ഇപ്പോൾ ഈ സാഹചര്യം പരിഗണിക്കുക: ആദ്യത്തെ ആപ്പിൾ മരത്തിൽ നിന്ന് 1 ആപ്പിളും 2 ആപ്പിളും വീണു, രണ്ടാമത്തെ ആപ്പിൾ മരത്തിൽ നിന്ന് 4 ആപ്പിളും വീണു. ഒന്നും രണ്ടും കേസുകളിൽ (വീണ്ടും കണക്കുകൂട്ടൽ വഴി പരിശോധിക്കാവുന്നതാണ്) ഒരേ എണ്ണം ആപ്പിളുകൾ നിലത്ത് ഉണ്ടാകുമെന്ന് വ്യക്തമാണ്. അതായത്, 2, 4 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയിൽ സംഖ്യ 1 ചേർക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലം, 1, 2 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക 4-നോടൊപ്പം ചേർക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലത്തിന് തുല്യമാണ്.

പരിഗണിക്കപ്പെട്ട ഉദാഹരണം, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതിനുള്ള കോമ്പിനേറ്ററി പ്രോപ്പർട്ടി രൂപപ്പെടുത്താൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു: ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയിലേക്ക് രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഒരു നിശ്ചിത തുക ചേർക്കുന്നതിന്, നൽകിയിരിക്കുന്ന തുകയുടെ ആദ്യ പദം ഈ സംഖ്യയിലേക്ക് ചേർക്കാനും രണ്ടാമത്തെ പദം ചേർക്കാനും കഴിയും തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫലത്തിന് തുക നൽകി. ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് എഴുതാം: a+(b+c)=(a+b)+c, ഇവിടെ a, b, c എന്നിവ ഏകപക്ഷീയമായ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാണ്.

a+(b+c)=(a+b)+c എന്ന സമത്വത്തിൽ "(", ")" എന്നീ പരാൻതീസിസുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമം സൂചിപ്പിക്കാൻ എക്സ്പ്രഷനുകളിൽ പരാൻതീസിസുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു - പരാൻതീസിസിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ആദ്യം നടത്തുന്നു (ഇതിനെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ വിഭാഗത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു). മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, മൂല്യങ്ങൾ ആദ്യം വിലയിരുത്തപ്പെടുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ പരാൻതീസിസിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്.

ഈ ഖണ്ഡികയുടെ സമാപനത്തിൽ, മൂന്ന്, നാലോ അതിലധികമോ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ സങ്കലനം അദ്വിതീയമായി നിർണ്ണയിക്കാൻ സങ്കലനത്തിൻ്റെ സംയോജിത ഗുണം ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

പൂജ്യവും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും ചേർക്കുന്നതിൻ്റെ ഗുണം, പൂജ്യവും പൂജ്യവും ചേർക്കുന്നതിൻ്റെ ഗുണം.

പൂജ്യം ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയല്ലെന്ന് നമുക്കറിയാം. ഈ ലേഖനത്തിൽ പൂജ്യവും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും ചേർക്കുന്നതിൻ്റെ പ്രോപ്പർട്ടി നോക്കാൻ ഞങ്ങൾ തീരുമാനിച്ചത് എന്തുകൊണ്ട്? ഇതിന് മൂന്ന് കാരണങ്ങളുണ്ട്. ആദ്യം: ഒരു കോളത്തിൽ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ ചേർക്കുമ്പോൾ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കുന്നു. രണ്ടാമത്: സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുമ്പോൾ ഈ ഗുണം ഉപയോഗിക്കുന്നു. മൂന്നാമത്: പൂജ്യം എന്നാൽ എന്തിൻ്റെയെങ്കിലും അഭാവമാണ് എന്ന് നമ്മൾ അനുമാനിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, പൂജ്യവും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും ചേർക്കുന്നതിൻ്റെ അർത്ഥം രണ്ട് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതിൻ്റെ അർത്ഥവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

പൂജ്യവും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും ചേർക്കുന്നതിനുള്ള പ്രോപ്പർട്ടി രൂപപ്പെടുത്താൻ സഹായിക്കുന്ന ചില ന്യായവാദങ്ങൾ നമുക്ക് നടപ്പിലാക്കാം. ബോക്‌സിൽ ഒബ്‌ജക്‌റ്റുകളൊന്നുമില്ല (മറ്റൊരു രീതിയിൽ പറഞ്ഞാൽ, ബോക്‌സിൽ 0 ഒബ്‌ജക്‌റ്റുകൾ ഉണ്ട്), അതിൽ ഒരു ഒബ്‌ജക്‌റ്റുകൾ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു, അവിടെ a എന്നത് ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണെന്ന് നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം. അതായത്, ഞങ്ങൾ 0 ഉം ഒബ്ജക്റ്റുകളും ചേർത്തു. ഈ പ്രവർത്തനത്തിന് ശേഷം ബോക്സിൽ ഒരു വസ്തുക്കൾ ഉണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാണ്. അതിനാൽ, 0+a=a എന്ന സമത്വം ശരിയാണ്.

അതുപോലെ, ഒരു ബോക്സിൽ ഒരു ഇനങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുകയും അതിൽ 0 ഇനങ്ങൾ ചേർക്കുകയും ചെയ്താൽ (അതായത്, ഇനങ്ങളൊന്നും ചേർത്തിട്ടില്ല), ഈ പ്രവർത്തനത്തിന് ശേഷം ബോക്സിൽ ഒരു ഇനങ്ങൾ ഉണ്ടാകും. അതിനാൽ a+0=a .

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് പൂജ്യവും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും ചേർക്കുന്നതിനുള്ള പ്രോപ്പർട്ടിയുടെ രൂപീകരണം നൽകാം: രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക, അതിലൊന്ന് പൂജ്യം, രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി, ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഇനിപ്പറയുന്ന തുല്യതയായി എഴുതാം: 0+എ=എഅഥവാ a+0=a, ഇവിടെ a എന്നത് ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്.

ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും പൂജ്യവും ചേർക്കുമ്പോൾ, സങ്കലനത്തിൻ്റെ കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് പ്രോപ്പർട്ടി ശരിയാണ്, അതായത് a+0=0+a എന്ന വസ്തുതയിലേക്ക് പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിക്കാം.

അവസാനമായി, പൂജ്യം പൂജ്യത്തിലേക്ക് ചേർക്കുന്നതിനുള്ള പ്രോപ്പർട്ടി നമുക്ക് രൂപപ്പെടുത്താം (ഇത് വളരെ വ്യക്തമാണ് കൂടാതെ അധിക അഭിപ്രായങ്ങൾ ആവശ്യമില്ല): രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക, ഓരോന്നും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അതാണ്, 0+0=0 .

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ എങ്ങനെ ചേർക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാനുള്ള സമയമാണിത്.

ഗ്രന്ഥസൂചിക.

• ഗണിതം. പൊതുവിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളുടെ 1, 2, 3, 4 ഗ്രേഡുകൾക്കുള്ള ഏതെങ്കിലും പാഠപുസ്തകങ്ങൾ.
• ഗണിതം. പൊതുവിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളുടെ 5-ാം ക്ലാസിലെ ഏതെങ്കിലും പാഠപുസ്തകങ്ങൾ.

ഒരു നമ്പർ മറ്റൊന്നിലേക്ക് ചേർക്കുന്നത് വളരെ ലളിതമാണ്. നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം, 4+3=7. ഈ പദപ്രയോഗം അർത്ഥമാക്കുന്നത് നാല് യൂണിറ്റുകളോട് മൂന്ന് യൂണിറ്റുകൾ ചേർത്തു, ഫലം ഏഴ് യൂണിറ്റുകൾ എന്നാണ്.
ഞങ്ങൾ ചേർത്ത 3, 4 നമ്പറുകൾ വിളിക്കുന്നു നിബന്ധനകൾ. കൂടാതെ നമ്പർ 7 ചേർക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലം വിളിക്കുന്നു തുക.

തുകസംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലാണ്. പ്ലസ് ചിഹ്നം "+".
അക്ഷരീയ രൂപത്തിൽ, ഈ ഉദാഹരണം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

a+b=സി

കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ഘടകങ്ങൾ:
എ- കാലാവധി, ബി- നിബന്ധനകൾ, സി- തുക.
3 യൂണിറ്റിലേക്ക് 4 യൂണിറ്റുകൾ ചേർത്താൽ, സങ്കലനത്തിൻ്റെ ഫലമായി നമുക്ക് അതേ ഫലം ലഭിക്കും;

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന്, ഞങ്ങൾ നിബന്ധനകൾ എങ്ങനെ സ്വാപ്പ് ചെയ്താലും ഉത്തരം അതേപടി തുടരുമെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു:

നിബന്ധനകളുടെ ഈ സ്വത്ത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു കൂട്ടിച്ചേർക്കലിൻ്റെ കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് നിയമം.

കൂട്ടിച്ചേർക്കലിൻ്റെ കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് നിയമം.

നിബന്ധനകളുടെ സ്ഥലങ്ങൾ മാറ്റുന്നത് തുകയെ മാറ്റില്ല.

അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ, കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് നിയമം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

a+b=b+എ

ഞങ്ങൾ മൂന്ന് പദങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, 1, 2, 4 അക്കങ്ങൾ എടുക്കുക. ഈ ക്രമത്തിൽ ഞങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ നടത്തുന്നു, ആദ്യം 1 + 2 ചേർക്കുക, തുടർന്ന് ലഭിക്കുന്ന തുക 4-ലേക്ക് ചേർക്കുക, നമുക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ ലഭിക്കും:

(1+2)+4=7

നമുക്ക് വിപരീതമായി ചെയ്യാം, ആദ്യം 2+4 ചേർക്കുക, തുടർന്ന് ലഭിക്കുന്ന തുകയിലേക്ക് 1 ചേർക്കുക.

1+(2+4)=7

ഉത്തരം അതേപടി തുടരുന്നു. ഒരേ ഉദാഹരണത്തിനായി രണ്ട് തരത്തിലുള്ള കൂട്ടിച്ചേർക്കലുകൾക്കും ഒരേ ഉത്തരമുണ്ട്. ഞങ്ങൾ ഉപസംഹരിക്കുന്നു:

(1+2)+4=1+(2+4)

കൂട്ടിച്ചേർക്കലിൻ്റെ ഈ ഗുണത്തെ വിളിക്കുന്നു കൂട്ടിച്ചേർക്കലിൻ്റെ അനുബന്ധ നിയമം.

സങ്കലനത്തിൻ്റെ കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ്, അസോസിയേറ്റീവ് നിയമം എല്ലാ നോൺ-നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾക്കും പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

കൂട്ടിച്ചേർക്കലിൻ്റെ സംയോജന നിയമം.

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയിൽ മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യ ചേർക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ആദ്യ സംഖ്യയിലേക്ക് ചേർക്കാം.

(a+b)+c=a+(b+സി)

കോമ്പിനേഷൻ നിയമം എത്ര നിബന്ധനകൾക്കും പ്രവർത്തിക്കും. സൗകര്യപ്രദമായ ക്രമത്തിൽ നമ്പറുകൾ ചേർക്കേണ്ടിവരുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഈ നിയമം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് 12, 6, 8, 4 എന്നീ മൂന്ന് സംഖ്യകൾ ചേർക്കാം. ആദ്യം 12 ഉം 8 ഉം ചേർക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമായിരിക്കും, തുടർന്ന് ലഭിക്കുന്ന തുകയിലേക്ക് 6, 4 എന്നീ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക ചേർക്കുക.
(12+8)+(6+4)=30

പൂജ്യത്തോടുകൂടിയ കൂട്ടിച്ചേർക്കലിൻ്റെ സ്വത്ത്.

നിങ്ങൾ പൂജ്യത്തോടൊപ്പം ഒരു സംഖ്യ ചേർക്കുമ്പോൾ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുക അതേ സംഖ്യയായിരിക്കും.

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

അക്ഷരീയ പദപ്രയോഗത്തിൽ, പൂജ്യത്തോടൊപ്പം ചേർക്കുന്നത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

a+0=എ
0+ a=എ

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യങ്ങൾ:
ഒരു കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ പട്ടിക ഉണ്ടാക്കി കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് നിയമത്തിൻ്റെ സ്വത്ത് എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് നോക്കണോ?
1 മുതൽ 10 വരെയുള്ള ഒരു കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ പട്ടിക ഇതുപോലെയായിരിക്കാം:

കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ പട്ടികയുടെ രണ്ടാം പതിപ്പ്.

കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ പട്ടികകൾ പരിശോധിച്ചാൽ, കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് നിയമം എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് കാണാൻ കഴിയും.

a+b=c എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൽ, തുക എത്രയായിരിക്കും?
ഉത്തരം: നിബന്ധനകൾ ചേർക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലമാണ് തുക. a+b, c.

a+b=c പദങ്ങളിൽ, എന്തായിരിക്കും?
ഉത്തരം: എ, ബി. നമ്മൾ ഒരുമിച്ച് ചേർക്കുന്ന സംഖ്യകളാണ് കൂട്ടിച്ചേർക്കലുകൾ.

ഒരു സംഖ്യയിൽ 0 ചേർത്താൽ എന്ത് സംഭവിക്കും?
ഉത്തരം: ഒന്നുമില്ല, നമ്പർ മാറില്ല. പൂജ്യത്തോടൊപ്പം ചേർക്കുമ്പോൾ, സംഖ്യ അതേപടി നിലനിൽക്കും, കാരണം പൂജ്യം എന്നത് ഒന്നിൻ്റെ അഭാവമാണ്.

സങ്കലന നിയമം പ്രയോഗിക്കുന്നതിന് ഉദാഹരണത്തിൽ എത്ര നിബന്ധനകൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം?
ഉത്തരം: മൂന്നോ അതിലധികമോ പദങ്ങളിൽ നിന്ന്.

കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് നിയമം അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ എഴുതുക?
ഉത്തരം: a+b=b+a

ജോലികൾക്കുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ.
ഉദാഹരണം #1:
നൽകിയിരിക്കുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾക്കുള്ള ഉത്തരം എഴുതുക: a) 15+7 b) 7+15
ഉത്തരം: a) 22 b) 22

ഉദാഹരണം #2:
നിബന്ധനകൾക്ക് കോമ്പിനേഷൻ നിയമം പ്രയോഗിക്കുക: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
ഉത്തരം: 20.

ഉദാഹരണം #3:
പദപ്രയോഗം പരിഹരിക്കുക:
a) 5921+0 b) 0+5921
പരിഹാരം:
a) 5921+0 =5921
b) 0+5921=5921

പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ സങ്കലനം, ഗുണനം, കുറയ്ക്കൽ, ഹരിക്കൽ എന്നിവ ഞങ്ങൾ നിർവ്വചിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് (പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക്) നിരവധി സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ ഉണ്ട്, അവയെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ ലേഖനത്തിൽ, പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനും ഗുണിക്കുന്നതിനുമുള്ള അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ നോക്കാം, അതിൽ നിന്ന് ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ മറ്റെല്ലാ ഗുണങ്ങളും പിന്തുടരുന്നു, അതുപോലെ തന്നെ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിനും ഹരിക്കുന്നതിനുമുള്ള ഗുണങ്ങൾ.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ സങ്കലനത്തിന് മറ്റ് വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഗുണങ്ങളുണ്ട്.

അവയിലൊന്ന് പൂജ്യത്തിൻ്റെ അസ്തിത്വവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ സങ്കലനത്തിൻ്റെ ഈ ഗുണം പ്രസ്താവിക്കുന്നു ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയിൽ പൂജ്യം ചേർക്കുന്നത് ആ സംഖ്യയെ മാറ്റില്ല. അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സങ്കലനത്തിൻ്റെ ഈ ഗുണം എഴുതാം: a+0=a, 0+a=a (സങ്കലനത്തിൻ്റെ കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് പ്രോപ്പർട്ടി കാരണം ഈ തുല്യത ശരിയാണ്), a എന്നത് ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. പൂർണ്ണസംഖ്യ പൂജ്യത്തെ ന്യൂട്രൽ എലമെൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നത് നിങ്ങൾ കേൾക്കാം. ഒന്നുരണ്ടു ഉദാഹരണങ്ങൾ പറയാം. പൂർണ്ണസംഖ്യ -78, പൂജ്യം എന്നിവയുടെ ആകെത്തുക −78 ആണ്; നിങ്ങൾ പൂജ്യത്തോട് പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ 999 ചേർത്താൽ, ഫലം 999 ആണ്.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ സങ്കലനത്തിൻ്റെ മറ്റൊരു പ്രോപ്പർട്ടി ഫോർമുലേഷൻ നൽകും, അത് ഏത് പൂർണ്ണസംഖ്യയ്ക്കും വിപരീത സംഖ്യയുടെ നിലനിൽപ്പുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. വിപരീത സംഖ്യയുള്ള ഏതൊരു പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെയും ആകെത്തുക പൂജ്യമാണ്. ഈ പ്രോപ്പർട്ടി എഴുതുന്നതിൻ്റെ അക്ഷരരൂപം നൽകാം: a+(-a)=0, ഇവിടെ a, −a എന്നിവ വിപരീത പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, തുക 901+(−901) പൂജ്യമാണ്; അതുപോലെ, വിപരീത പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ -97, 97 എന്നിവയുടെ ആകെത്തുക പൂജ്യമാണ്.

പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിന് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിൻ്റെ എല്ലാ ഗുണങ്ങളും ഉണ്ട്. ഈ ഗുണങ്ങളിൽ പ്രധാനം നമുക്ക് പട്ടികപ്പെടുത്താം.

സങ്കലനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പൂജ്യം ഒരു ന്യൂട്രൽ പൂർണ്ണസംഖ്യയായതുപോലെ, പൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒന്ന് ന്യൂട്രൽ പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. അതാണ്, ഏതെങ്കിലും ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയെ ഒന്നുകൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഗുണിക്കുന്ന സംഖ്യയെ മാറ്റില്ല. അതിനാൽ 1·a=a, ഇവിടെ a ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. അവസാനത്തെ തുല്യത a·1=a ആയി മാറ്റിയെഴുതാം, ഇത് ഗുണനത്തിൻ്റെ കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് പ്രോപ്പർട്ടി ഉണ്ടാക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ പറയാം. പൂർണ്ണസംഖ്യ 556 ബൈ 1 ൻ്റെ ഗുണനം 556 ആണ്; ഒന്നിൻ്റെയും നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ -78 ൻ്റെയും ഗുണനം -78 ന് തുല്യമാണ്.

പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള അടുത്ത ഗുണം പൂജ്യത്താൽ ഗുണിക്കുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. പൂജ്യം കൊണ്ട് ഏത് പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഗുണിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്ന ഫലം പൂജ്യമാണ്, അതായത്, a·0=0 . പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിൻ്റെ കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് പ്രോപ്പർട്ടി കാരണം തുല്യത 0·a=0 ശരിയാണ്. പ്രത്യേക സാഹചര്യത്തിൽ a=0 ആകുമ്പോൾ, പൂജ്യത്തിൻ്റെയും പൂജ്യത്തിൻ്റെയും ഗുണനം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിന്, മുമ്പത്തേതിലേക്കുള്ള വിപരീത ഗുണവും ശരിയാണ്. അത് അവകാശപ്പെടുന്നു ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗുണനം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അക്ഷരരൂപത്തിൽ, ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം: a·b=0, ഒന്നുകിൽ a=0, അല്ലെങ്കിൽ b=0, അല്ലെങ്കിൽ a, b എന്നിവ ഒരേ സമയം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ.

സങ്കലനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിൻ്റെ വിതരണ ഗുണം

പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ സംയുക്ത സങ്കലനവും ഗുണനവും സങ്കലനവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഗുണനത്തിൻ്റെ വിതരണ സ്വഭാവം പരിഗണിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, ഇത് സൂചിപ്പിച്ച രണ്ട് പ്രവർത്തനങ്ങളെയും ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു. സങ്കലനവും ഗുണനവും ഒരുമിച്ച് ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഗുണനത്തിൽ നിന്ന് വേറിട്ട് സങ്കലനം പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ നമുക്ക് നഷ്ടപ്പെടുന്ന അധിക സാധ്യതകൾ തുറക്കുന്നു.

അതിനാൽ, സങ്കലനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഗുണനത്തിൻ്റെ വിതരണ ഗുണം പ്രസ്താവിക്കുന്നത് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ ഗുണനഫലവും a, b എന്നീ രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയും a b, a c എന്നീ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അതായത് a·(b+c)=a·b+a·c. അതേ സ്വത്ത് മറ്റൊരു രൂപത്തിൽ എഴുതാം: (a+b)c=ac+bc .

സങ്കലനത്തിന് ആപേക്ഷികമായി പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിൻ്റെ വിതരണ ഗുണം, സങ്കലനത്തിൻ്റെ സംയോജിത സ്വത്ത്, മൂന്നോ അതിലധികമോ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക കൊണ്ട് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ ഗുണനം നിർണ്ണയിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ സങ്കലനത്തിൻ്റെയും ഗുണനത്തിൻ്റെയും മറ്റ് എല്ലാ ഗുണങ്ങളും ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിച്ച ഗുണങ്ങളിൽ നിന്ന് ലഭിക്കും, അതായത്, അവ മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ച ഗുണങ്ങളുടെ അനന്തരഫലങ്ങളാണ്.

പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുല്യതയിൽ നിന്നും, പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ സങ്കലനത്തിൻ്റെയും ഗുണനത്തിൻ്റെയും ഗുണങ്ങളിൽ നിന്നും, പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വ്യവകലനത്തിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങൾ പിന്തുടരുന്നു (a, b, c എന്നിവ ഏകപക്ഷീയ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ്):

• മൊത്തത്തിൽ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വ്യവകലനത്തിന് കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് പ്രോപ്പർട്ടി ഇല്ല: a−b≠b−a.
• തുല്യ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസം പൂജ്യമാണ്: a−a=0.
• തന്നിരിക്കുന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യയിൽ നിന്ന് രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള ഗുണം: a−(b+c)=(a−b)−c .
• രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയിൽ നിന്ന് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള ഗുണം: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• വ്യവകലനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഗുണനത്തിൻ്റെ വിതരണ സ്വത്ത്: a·(b−c)=a·b−a·c, (a−b)·c=a·c−b·c.
• കൂടാതെ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിൻ്റെ മറ്റെല്ലാ ഗുണങ്ങളും.

പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ

പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ അർത്ഥം ചർച്ചചെയ്യുമ്പോൾ, പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ ഹരിക്കുന്നത് ഗുണനത്തിൻ്റെ വിപരീത പ്രവർത്തനമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന നിർവചനം നൽകി: പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ വിഭജിക്കുന്നത് അറിയപ്പെടുന്ന ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നിന്നും അറിയപ്പെടുന്ന ഘടകത്തിൽ നിന്നും ഒരു അജ്ഞാത ഘടകം കണ്ടെത്തുന്നു. അതായത്, c·b എന്ന ഉൽപ്പന്നം a ന് തുല്യമാകുമ്പോൾ, a integer b കൊണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യയെ ഹരിച്ചതിൻ്റെ ഘടകത്തെ നമ്മൾ c യെ വിളിക്കുന്നു.

ഈ നിർവചനവും മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത പൂർണ്ണസംഖ്യകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ എല്ലാ സവിശേഷതകളും, പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ വിഭജിക്കുന്നതിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളുടെ സാധുത സ്ഥാപിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു:

• ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയെയും പൂജ്യത്താൽ ഹരിക്കാനാവില്ല.
• പൂജ്യത്തിന് പുറമെ പൂജ്യത്തെ അനിയന്ത്രിതമായ പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ ഗുണം: 0:a=0.
• തുല്യ പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ ഗുണം: a:a=1, ഇവിടെ a എന്നത് പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്.
• ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പൂർണ്ണസംഖ്യയെ ഒന്നായി ഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഗുണം: a:1=a.
• പൊതുവേ, പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിന് കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് പ്രോപ്പർട്ടി ഇല്ല: a:b≠b:a .
• രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയും വ്യത്യാസവും ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ ഗുണങ്ങൾ: (a+b):c=a:c+b:c, (a−b):c=a:c−b:c, ഇവിടെ a, b , c എന്നിവ a, b എന്നിവ c കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യകളും c പൂജ്യമല്ലാത്തതുമാണ്.
• a, b എന്നീ രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തെ പൂജ്യത്തിന് പുറമെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ c കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ ഗുണം: (a·b):c=(a:c)·b, a c കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയാണെങ്കിൽ; (a·b):c=a·(b:c), b ആണെങ്കിൽ c കൊണ്ട് ഹരിക്കാം; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) , a യും b യും c കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ.
• ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയെ b, c എന്നീ രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ ഗുണം (a , b, c എന്നീ സംഖ്യകൾ b c കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത് സാധ്യമാണ്): a:(b c)=(a:b)c=(a). :c)·b .
• പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ മറ്റേതെങ്കിലും ഗുണങ്ങൾ.