ഏകതാനമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നു

അതാണ് നിർബന്ധിതം എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ? തീർച്ചയായും, രൂപാന്തരംഈ സംവിധാനം ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനത്തിലേക്ക്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ.

സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

പ്രകടിപ്പിക്കാം ചെയ്തത്വഴി എക്സ്(2) സിസ്റ്റം സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഈ മൂല്യം (1) സിസ്റ്റം സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (2) സമവാക്യം ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു:

2 x +2 x +2 =10, ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുക: ഒരു x + വൈ=ഒരു x∙ ആയ്.

2 x +2 x ∙2 2 =10, ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് 2 x എന്ന പൊതു ഘടകം എടുക്കാം:

2 x (1+2 2)=10 അല്ലെങ്കിൽ 2 x ∙5=10, അതിനാൽ 2 x =2.

2 x =2 1, ഇവിടെ നിന്ന് x=1. നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം.

ഉത്തരം: (1; 2).

പരിഹാരം.

(1) സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത് വലത് വശങ്ങളെ ഞങ്ങൾ ഒരു അടിത്തറയുള്ള ശക്തികളുടെ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു 2 , കൂടാതെ (2) സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുഭാഗം സംഖ്യയുടെ പൂജ്യം ശക്തിയായി 5 .

ഒരേ ബേസുകളുള്ള രണ്ട് ശക്തികൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഈ ശക്തികളുടെ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകൾ തുല്യമാണ് - ഞങ്ങൾ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളെ ബേസുകളുമായി തുലനം ചെയ്യുന്നു 2 അടിസ്ഥാനങ്ങളുള്ള ഘാതകങ്ങളും 5 .

സങ്കലന രീതി ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റം ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു x=2പകരം ഞങ്ങൾ ഈ മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു എക്സ്സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക്.

ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു ചെയ്തത്.

ഉത്തരം: (2; 1.5).

പരിഹാരം.

മുമ്പത്തെ രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങളിൽ, രണ്ട് ഡിഗ്രികളുടെ സൂചകങ്ങളെ ഒരേ ബേസുകളുമായി സമീകരിക്കുന്നതിലൂടെ ഞങ്ങൾ ലളിതമായ ഒരു സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് നീങ്ങിയെങ്കിൽ, മൂന്നാമത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ ഈ പ്രവർത്തനം അസാധ്യമാണ്. പുതിയ വേരിയബിളുകൾ അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് അത്തരം സംവിധാനങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഞങ്ങൾ വേരിയബിളുകൾ അവതരിപ്പിക്കും യുഒപ്പം v,തുടർന്ന് വേരിയബിൾ പ്രകടിപ്പിക്കുക യുവഴി വിനമുക്ക് വേരിയബിളിന് ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കും വി.

ഞങ്ങൾ (2) സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു.

v 2 +63v-64=0. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് വേരുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാം: v 1 +v 2 = -63; v 1 ∙v 2 =-64.

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: v 1 =-64, v 2 =1. ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് മടങ്ങുകയും നിങ്ങളെ കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആയതിനാൽ, സമവാക്യങ്ങൾ 4 x = -1 കൂടാതെ 4 വർഷം = -64 പരിഹാരങ്ങൾ ഇല്ല.

സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് പൊതുവായി നിലനിൽക്കുന്ന രീതികൾ എന്തൊക്കെയാണെന്ന് നമുക്ക് ഹ്രസ്വമായി ഓർമ്മിക്കാം.

നിലവിലുണ്ട് നാല് പ്രധാന വഴികൾസമവാക്യ സംവിധാനങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ:

സബ്‌സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി: തന്നിരിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും സമവാക്യങ്ങൾ എടുത്ത് $x$ എന്നതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ $y$ പ്രകടിപ്പിക്കുക, തുടർന്ന് $x.$ എന്ന വേരിയബിൾ കണ്ടെത്തുന്നിടത്ത് നിന്ന് $y$ എന്നത് എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കാം $y.$ എന്ന വേരിയബിൾ

കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി: ഈ രീതിയിൽ, നിങ്ങൾ ഒന്നോ രണ്ടോ സമവാക്യങ്ങളെ അത്തരം സംഖ്യകളാൽ ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്, നിങ്ങൾ രണ്ടും ഒരുമിച്ച് ചേർക്കുമ്പോൾ, വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് "അപ്രത്യക്ഷമാകും."

ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി: സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൽ ചിത്രീകരിക്കുകയും അവയുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.

പുതിയ വേരിയബിളുകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്ന രീതി: ഈ രീതിയിൽ ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റം ലളിതമാക്കാൻ ചില എക്സ്പ്രഷനുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, തുടർന്ന് മുകളിൽ പറഞ്ഞ രീതികളിൽ ഒന്ന് ഉപയോഗിക്കുക.

എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ

നിർവ്വചനം 1

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങളെ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും.

ഉദാഹരണം 1

സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം പരിഹരിക്കുക

ചിത്രം 1.

പരിഹാരം.

ഈ സംവിധാനം പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ആദ്യ രീതി ഉപയോഗിക്കും. ആദ്യം, ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ $x$ എന്നതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ $y$ പ്രകടിപ്പിക്കാം.

ചിത്രം 2.

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് $y$ പകരം വയ്ക്കാം:

\ \ \[-2-x=2\] \ \

ഉത്തരം: $(-4,6)$.

ഉദാഹരണം 2

സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം പരിഹരിക്കുക

ചിത്രം 3.

പരിഹാരം.

ഈ സംവിധാനം സിസ്റ്റത്തിന് തുല്യമാണ്

ചിത്രം 4.

സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള നാലാമത്തെ രീതി നമുക്ക് പ്രയോഗിക്കാം. $2^x=u\ (u >0)$, $3^y=v\ (v >0)$ എന്നിവ അനുവദിക്കുക, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ചിത്രം 5.

കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റം നമുക്ക് പരിഹരിക്കാം. നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കാം:

\ \

അപ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് അത് ലഭിക്കും

മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലേക്ക് മടങ്ങുമ്പോൾ, എനിക്ക് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു പുതിയ സിസ്റ്റം ലഭിച്ചു:

ചിത്രം 6.

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ചിത്രം 7.

ഉത്തരം: $(0,1)$.

എക്സ്പോണൻഷ്യൽ അസമത്വങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ

നിർവ്വചനം 2

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന അസമത്വങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങളെ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ അസമത്വങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ അസമത്വങ്ങളുടെ പരിഹാര സംവിധാനങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും.

ഉദാഹരണം 3

അസമത്വങ്ങളുടെ സംവിധാനം പരിഹരിക്കുക

ചിത്രം 8.

പരിഹാരം:

ഈ അസമത്വ സമ്പ്രദായം സിസ്റ്റത്തിന് തുല്യമാണ്

ചിത്രം 9.

ആദ്യത്തെ അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ അസമത്വങ്ങളുടെ തുല്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം ഓർമ്മിക്കുക:

സിദ്ധാന്തം 1.അസമത്വം $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, ഇവിടെ $a >0,a\ne 1$ രണ്ട് സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ശേഖരത്തിന് തുല്യമാണ്

\}