എബിസി ത്രികോണത്തിന്റെ പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ബൈസെക്ടർ എന്താണ്: വീക്ഷണാനുപാതവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഗുണങ്ങൾ

സെക്കൻഡറി സ്കൂളിലെ നിരവധി വിഷയങ്ങളിൽ "ജ്യാമിതി" പോലുള്ളവയുണ്ട്. ഈ വ്യവസ്ഥാപിത ശാസ്ത്രത്തിന്റെ സ്ഥാപകർ ഗ്രീക്കുകാരാണെന്ന് പരമ്പരാഗതമായി വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു. ഇന്ന്, ഗ്രീക്ക് ജ്യാമിതിയെ പ്രാഥമികമെന്ന് വിളിക്കുന്നു, കാരണം അവളാണ് ഏറ്റവും ലളിതമായ രൂപങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം ആരംഭിച്ചത്: വിമാനങ്ങൾ, വരകൾ, ത്രികോണങ്ങൾ. ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തേതിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കും, അല്ലെങ്കിൽ ഈ ചിത്രത്തിന്റെ ദ്വിവിഭാഗത്തിൽ. ഇതിനകം മറന്നുപോയവർക്ക്, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ബൈസെക്ടർ ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു കോണിന്റെ ബൈസെക്ടറിന്റെ ഒരു ഭാഗമാണ്, അത് അതിനെ പകുതിയായി വിഭജിക്കുകയും ശീർഷത്തെ എതിർവശത്ത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ഒരു പോയിന്റുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ബൈസെക്ടറിന് ചില പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ അറിയേണ്ട നിരവധി ഗുണങ്ങളുണ്ട്:

• കോണിനോട് ചേർന്നുള്ള വശങ്ങളിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലുള്ള ബിന്ദുക്കളുടെ സ്ഥാനമാണ് കോണിന്റെ ബൈസെക്ടർ.
• ഒരു ത്രികോണത്തിലെ ബൈസെക്ടർ, കോണിന്റെ എതിർ വശത്തെ തൊട്ടടുത്തുള്ള വശങ്ങൾക്ക് ആനുപാതികമായ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, നൽകിയിരിക്കുന്ന ത്രികോണം MKB, കോണിന്റെ കെയിൽ നിന്ന് ഒരു ദ്വിഭാഗം ഉയർന്നുവരുന്നു, ഈ കോണിന്റെ ശീർഷത്തെ MB യുടെ എതിർവശത്തുള്ള പോയിന്റുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു. ഈ പ്രോപ്പർട്ടിയും ഞങ്ങളുടെ ത്രികോണവും വിശകലനം ചെയ്ത ശേഷം, ഞങ്ങൾക്ക് MA/AB=MK/KB ഉണ്ട്.
• ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് കോണുകളുടെയും ബൈസെക്ടറുകൾ ഛേദിക്കുന്ന ബിന്ദുവാണ് ഒരേ ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രം.
• ബാഹ്യകോണിന്റെ ബൈസെക്ടർ ത്രികോണത്തിന്റെ എതിർവശത്തിന് സമാന്തരമല്ലെങ്കിൽ, ഒരു ബാഹ്യകോണിന്റെയും രണ്ട് ആന്തരിക കോണുകളുടെയും ബൈസെക്ടറുകളുടെ അടിസ്ഥാനം ഒരേ രേഖയിലാണ്.
• ഒന്നിന്റെ രണ്ട് വിഭജനങ്ങളാണെങ്കിൽ ഇത്

മൂന്ന് ബൈസെക്ടറുകൾ നൽകിയാൽ, ഒരു കോമ്പസിന്റെ സഹായത്തോടെ പോലും അവ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ് എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്.

മിക്കപ്പോഴും, പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ബൈസെക്ടർ അജ്ഞാതമാണ്, പക്ഷേ അതിന്റെ നീളം നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അത്തരമൊരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ബൈസെക്ടർ പകുതിയായി വിഭജിച്ചിരിക്കുന്ന കോണും ഈ കോണിനോട് ചേർന്നുള്ള വശങ്ങളും അറിയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ആവശ്യമുള്ള ദൈർഘ്യം കോണിനോട് ചേർന്നുള്ള വശങ്ങളുടെ ഇരട്ട ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ അനുപാതമായും കോണിന്റെ കോസൈൻ കോണിനോട് ചേർന്നുള്ള വശങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായി പകുതിയായി വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, അതേ ത്രികോണം MKB നൽകിയിരിക്കുന്നു. ബൈസെക്‌ടർ കോണിൽ K വിട്ട് MB യുടെ എതിർ വശത്തെ പോയിന്റ് A-ൽ വിഭജിക്കുന്നു. ഇനി നമുക്ക് വാക്കുകളിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതെല്ലാം ഫോർമുലയുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതാം: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

ത്രികോണത്തിന്റെ ദ്വിഭാഗം വരുന്ന കോണിന്റെ മൂല്യം അജ്ഞാതമാണെങ്കിലും അതിന്റെ എല്ലാ വശങ്ങളും അറിയാമെങ്കിൽ, ദ്വിശകലത്തിന്റെ നീളം കണക്കാക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഒരു അധിക വേരിയബിൾ ഉപയോഗിക്കും, അതിനെ ഞങ്ങൾ അർദ്ധപരിധി എന്ന് വിളിക്കുകയും സൂചിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യും. P എന്ന അക്ഷരത്താൽ: P=1/2*(MK+KB+MB). അതിനുശേഷം, മുമ്പത്തെ സൂത്രവാക്യത്തിൽ ഞങ്ങൾ ചില മാറ്റങ്ങൾ വരുത്തും, അതിനനുസരിച്ച് ബൈസെക്ടറിന്റെ നീളം നിർണ്ണയിച്ചു, അതായത്, ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ, കോണിനോട് ചേർന്നുള്ള വശങ്ങളുടെ നീളത്തിന്റെ ഇരട്ടി ഉൽപ്പന്നം ഞങ്ങൾ സെമിപരിമീറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ഇടുന്നു. അർദ്ധപരിധിയിൽ നിന്ന് മൂന്നാം വശത്തിന്റെ നീളം കുറയ്ക്കുന്ന ഘടകവും. ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്റർ മാറ്റമില്ലാതെ വിടുന്നു. ഒരു ഫോർമുലയുടെ രൂപത്തിൽ, ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിന്റെ ദ്വിവിഭാഗത്തിന് പൊതുവായ ഗുണങ്ങളോടൊപ്പം അതിന്റേതായ പലതും ഉണ്ട്. ഒരു ത്രികോണം എന്താണെന്ന് നമുക്ക് ഓർക്കാം. അത്തരമൊരു ത്രികോണത്തിൽ, രണ്ട് വശങ്ങളും തുല്യമാണ്, അടിത്തറയോട് ചേർന്നുള്ള കോണുകൾ തുല്യമാണ്. ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളിലേക്ക് ഇറങ്ങുന്ന ബൈസെക്ടറുകൾ പരസ്പരം തുല്യമാണെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു. കൂടാതെ, അടിത്തട്ടിലേക്ക് താഴ്ത്തിയിരിക്കുന്ന ബൈസെക്ടർ ഒരേ സമയം ഉയരവും ശരാശരിയുമാണ്.

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ആന്തരിക കോണുകളെ ത്രികോണത്തിന്റെ ബൈസെക്ടർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ആംഗിൾ ബൈസെക്‌ടറിനെ അതിന്റെ ശീർഷകത്തിനും ത്രികോണത്തിന്റെ എതിർ വശത്തുള്ള ബൈസെക്‌ടറിന്റെ വിഭജന പോയിന്റിനും ഇടയിലുള്ള സെഗ്‌മെന്റായി മനസ്സിലാക്കുന്നു.
സിദ്ധാന്തം 8. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് ദ്വിമുഖങ്ങൾ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നു.
വാസ്തവത്തിൽ, രണ്ട് ദ്വിവിഭാഗങ്ങളുടെ കവലയുടെ പോയിന്റ് Р ആദ്യം പരിഗണിക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്, AK 1, VC 2. ഈ ബിന്ദു AB, AC എന്നീ വശങ്ങളിൽ നിന്ന് തുല്യ ദൂരെയാണ്, കാരണം ഇത് A കോണിന്റെ ദ്വിവിഭാഗത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, കൂടാതെ AB, BC എന്നീ വശങ്ങളിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലാണ്, B കോണിന്റെ ദ്വിവിഭാഗത്തിൽ പെടുന്നു. അതിനാൽ, ഇത് AC, BC എന്നീ വശങ്ങൾ അങ്ങനെ മൂന്നാം ദ്വിവിഭാഗമായ SK 3-ൽ പെടുന്നു, അതായത്, P എന്ന ബിന്ദുവിൽ മൂന്ന് ദ്വിഭാഗങ്ങളും വിഭജിക്കുന്നു.
ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ആന്തരികവും ബാഹ്യവുമായ കോണുകളുടെ ബൈസെക്ടറുകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ
സിദ്ധാന്തം 9. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഇന്റീരിയർ കോണിന്റെ ബൈസെക്ടർ എതിർ വശത്തെ തൊട്ടടുത്ത വശങ്ങൾക്ക് ആനുപാതികമായ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു.
തെളിവ്. ABC എന്ന ത്രികോണവും അതിന്റെ കോണിന്റെ B എന്ന ത്രികോണവും പരിഗണിക്കുക. AB എന്ന വശത്തിന്റെ വിപുലീകരണമായി M എന്ന ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നതുവരെ, BK എന്ന ദ്വിഭാഗത്തിന് സമാന്തരമായി C ശീർഷകത്തിലൂടെ നമുക്ക് ഒരു നേർരേഖ CM വരയ്ക്കാം. VC എന്നത് ABC കോണിന്റെ ദ്വിവിഭാഗമായതിനാൽ, ∠ ABK=∠ KBC. കൂടാതെ, ∠ ABK=∠ VMS, സമാന്തര രേഖകളിലെ അനുബന്ധ കോണുകളായി, ∠ KBC=∠ VCM, സമാന്തര രേഖകളിലെ ക്രോസ്-ലൈയിംഗ് കോണുകളായി. അതിനാൽ ∠ VCM=∠ VMS, അതിനാൽ VMS ത്രികോണം ഐസോസിലിസ് ആണ്, അതിനാൽ BC=VM. ഒരു കോണിന്റെ വശങ്ങൾ വിഭജിക്കുന്ന സമാന്തരരേഖകളിലെ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് AK:K C=AB:VM=AB:BC ഉണ്ട്, അത് തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.
സിദ്ധാന്തം 10 ABC ത്രികോണത്തിന്റെ B യുടെ ബാഹ്യകോണിന്റെ ദ്വിവിഭാഗത്തിന് സമാനമായ ഒരു ഗുണമുണ്ട്: AC യുടെ വിപുലീകരണത്തോടുകൂടിയ ബൈസെക്‌ടറിന്റെ വിഭജനത്തിന്റെ പോയിന്റ് L വരെയുള്ള A, C ലംബങ്ങളിൽ നിന്ന് AL, CL എന്നീ സെഗ്‌മെന്റുകൾ വശങ്ങൾക്ക് ആനുപാതികമാണ്. ത്രികോണം: AL: CL=എബി:ബിസി.
ഈ പ്രോപ്പർട്ടി മുമ്പത്തേതിന് സമാനമായി തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു: ബി‌സെക്ടർ BL ന് സമാന്തരമായി ഒരു സഹായ നേർരേഖ CM ചിത്രത്തിൽ വരച്ചിരിക്കുന്നു. BMC, BCM എന്നീ കോണുകൾ തുല്യമാണ്, അതായത് BMC ത്രികോണത്തിന്റെ BM, BC എന്നീ വശങ്ങൾ തുല്യമാണ്. അതിൽ നിന്ന് നമ്മൾ AL:CL=AB:BC എന്ന നിഗമനത്തിലെത്തി.

സിദ്ധാന്തം d4. (ബൈസെക്‌ടറിന്റെ ആദ്യ സൂത്രവാക്യം): ABC ത്രികോണത്തിൽ AL സെഗ്‌മെന്റ് A കോണിന്റെ ബൈസെക്‌ടറാണെങ്കിൽ, AL? = എബി എസി - എൽബി എൽസി.

തെളിവ്: ABC എന്ന ത്രികോണത്തെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയുള്ള വൃത്തത്തോടുകൂടിയ AL എന്ന വരിയുടെ വിഭജന പോയിന്റ് M ആയിരിക്കട്ടെ (ചിത്രം 41). കൺവെൻഷൻ പ്രകാരം BAM ആംഗിൾ MAC കോണിന് തുല്യമാണ്. BMA, BCA എന്നീ കോണുകൾ ഒരേ കോർഡിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ലിഖിത കോണുകൾക്ക് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, BAM, LAC എന്നീ ത്രികോണങ്ങൾ രണ്ട് കോണുകളിൽ സമാനമാണ്. അതിനാൽ, AL: AC = AB: AM. അതിനാൽ AL AM = AB AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>അൽ? = AB AC - AL LM = AB AC - BL LC. അതാണ് തെളിയിക്കേണ്ടത്. ശ്രദ്ധിക്കുക: ഒരു സർക്കിളിലും ആലേഖനം ചെയ്ത കോണുകളിലും വിഭജിക്കുന്ന കോർഡുകളുടെ സെഗ്‌മെന്റുകളെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തത്തിനായി, വിഷയ വൃത്തവും വൃത്തവും കാണുക.

സിദ്ധാന്തം d5. (ബൈസെക്ടറിനുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുല): AB=a, AC=b, ആംഗിൾ A എന്നിവ 2 ന് തുല്യമായ വശങ്ങളുള്ള ABC ത്രികോണത്തിൽ? ദ്വിവിഭാഗം l, സമത്വം സംഭവിക്കുന്നു:
l = (2ab / (a+b)) · cos?.

തെളിവ്: ABC ഒരു നൽകിയിരിക്കുന്ന ത്രികോണമായിരിക്കട്ടെ, AL അതിന്റെ ദ്വിമുഖം (ചിത്രം 42), a=AB, b=AC, l=AL. അപ്പോൾ S ABC = S ALB + S ALC . അതിനാൽ absin2? = അൽസിൻ? +blsin?<=>2absin? = (a + b)lsin?<=>l = 2 (ab / (a+b)) cos?. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ആംഗിൾ ബൈസെക്ടർ എന്താണ്? ഈ ചോദ്യത്തിന്, ചിലരുടെ കുപ്രസിദ്ധമായ എലി കോണുകളിൽ ഓടുകയും മൂലയെ പകുതിയായി വിഭജിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. "നർമ്മത്തോടെ" എന്നതായിരിക്കണം ഉത്തരം എങ്കിൽ അത് ശരിയായിരിക്കാം, പക്ഷേ ശാസ്ത്രീയ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് ഉത്തരം ഈ ചോദ്യം ഇതുപോലെയായിരിക്കണം: മൂലയുടെ മുകളിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് രണ്ടാമത്തേത് രണ്ട് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുക. ജ്യാമിതിയിൽ, ഈ കണക്ക് ത്രികോണത്തിന്റെ എതിർവശവുമായി വിഭജിക്കുന്നത് വരെ ബൈസെക്ടറിന്റെ ഒരു വിഭാഗമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. ഇതല്ല തെറ്റായ അഭിപ്രായം. ആംഗിൾ ബൈസെക്ടറിനെക്കുറിച്ച് അതിന്റെ നിർവചനം കൂടാതെ മറ്റെന്താണ് അറിയപ്പെടുന്നത്?

ബിന്ദുക്കളുടെ ഏതൊരു സ്ഥാനവും പോലെ, അതിന് അതിന്റേതായ സവിശേഷതകളുണ്ട്. അവയിൽ ആദ്യത്തേത് ഒരു അടയാളം പോലുമല്ല, ചുരുക്കത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു സിദ്ധാന്തമാണ്: "എതിർവശം ഒരു ദ്വിഭാഗം കൊണ്ട് രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അവയുടെ അനുപാതം ഒരു വലിയ വശത്തിന്റെ അനുപാതവുമായി പൊരുത്തപ്പെടും. ത്രികോണം."

അതിനുള്ള രണ്ടാമത്തെ സ്വത്ത്: എല്ലാ കോണുകളുടെയും ബൈസെക്ടറുകളുടെ വിഭജന പോയിന്റിനെ ഇൻസെന്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

മൂന്നാമത്തെ അടയാളം: ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു ആന്തരിക, രണ്ട് ബാഹ്യ കോണുകളുടെ ബൈസെക്ടറുകൾ അതിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന മൂന്ന് സർക്കിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ മധ്യഭാഗത്ത് വിഭജിക്കുന്നു.

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ആംഗിൾ ബൈസെക്ടറിന്റെ നാലാമത്തെ ഗുണം, അവ ഓരോന്നും തുല്യമാണെങ്കിൽ, അവസാനത്തേത് ഐസോസിലിസ് ആണ്.

അഞ്ചാമത്തെ ചിഹ്നം ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തെ സംബന്ധിക്കുന്നു, ദ്വിഭാഗങ്ങൾ വരയ്ക്കുമ്പോൾ അത് തിരിച്ചറിയുന്നതിനുള്ള പ്രധാന മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശമാണ്, അതായത്: ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിൽ, ഇത് ഒരേസമയം ഒരു മധ്യവും ഉയരവും ആയി പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

ഒരു കോമ്പസും സ്ട്രെയിറ്റും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ആംഗിൾ ബൈസെക്ടർ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും:

ഒരു ക്യൂബിന്റെ ഇരട്ടിപ്പിക്കൽ, ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ഒരു ചതുരം, ഒരു കോണിന്റെ ത്രികോണം എന്നിവ നിർമ്മിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണെന്ന് ആറാമത്തെ നിയമം പറയുന്നത്, ലഭ്യമായ ബൈസെക്ടറുകൾ ഉപയോഗിച്ച് രണ്ടാമത്തേത് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്. കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഇത് ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ കോണിന്റെ ബൈസെക്ടറിന്റെ എല്ലാ ഗുണങ്ങളും ആണ്.

മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡിക നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഒരുപക്ഷേ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വാക്യത്തിൽ താൽപ്പര്യമുണ്ടായിരിക്കാം. "കോണിന്റെ ട്രൈസെക്ഷൻ എന്താണ്?" - നിങ്ങൾ തീർച്ചയായും ചോദിക്കും. ട്രൈസെക്‌ട്രിക്‌സ് ബൈസെക്‌ടറിനോട് അൽപ്പം സാമ്യമുള്ളതാണ്, എന്നാൽ നിങ്ങൾ രണ്ടാമത്തേത് വരച്ചാൽ, ആംഗിൾ രണ്ട് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കപ്പെടും, ഒരു ട്രൈസെക്ഷൻ നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, മൂന്നായി വിഭജിക്കും. സ്വാഭാവികമായും, ഒരു കോണിന്റെ ദ്വിമുഖം ഓർമ്മിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്, കാരണം ട്രൈസെക്ഷൻ സ്കൂളിൽ പഠിപ്പിക്കുന്നില്ല. എന്നാൽ പൂർണ്ണതയ്ക്കായി, ഞാൻ അതിനെക്കുറിച്ച് നിങ്ങളോട് പറയും.

ട്രൈസെക്ടർ, ഞാൻ പറഞ്ഞതുപോലെ, ഒരു കോമ്പസും ഒരു ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ച് മാത്രം നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ ഇത് ഫ്യൂജിറ്റ നിയമങ്ങളും ചില വളവുകളും ഉപയോഗിച്ച് സൃഷ്ടിക്കാൻ കഴിയും: പാസ്കലിന്റെ ഒച്ചുകൾ, ക്വാഡ്രാറ്റിക്സ്, നിക്കോമിഡെസ് കോൺകോയിഡുകൾ, കോണിക് വിഭാഗങ്ങൾ,

ഒരു കോണിന്റെ ട്രൈസെക്ഷനിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ നെവ്സിസിന്റെ സഹായത്തോടെ വളരെ ലളിതമായി പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു.

ജ്യാമിതിയിൽ, ഒരു കോണിന്റെ ട്രൈസെക്ടറുകളിൽ ഒരു സിദ്ധാന്തമുണ്ട്. ഇതിനെ മോർലി (മോർലി) സിദ്ധാന്തം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഓരോ കോണിന്റെയും മധ്യത്തിലുള്ള ത്രിസെക്ടറുകളുടെ വിഭജന പോയിന്റുകൾ ലംബങ്ങളായിരിക്കുമെന്ന് അവൾ പ്രസ്താവിക്കുന്നു

ഒരു വലിയ ത്രികോണത്തിനുള്ളിലെ ഒരു ചെറിയ കറുത്ത ത്രികോണം എല്ലായ്പ്പോഴും സമചതുരമായിരിക്കും. 1904-ൽ ബ്രിട്ടീഷ് ശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഫ്രാങ്ക് മോർലിയാണ് ഈ സിദ്ധാന്തം കണ്ടെത്തിയത്.

ഒരു കോണിന്റെ വിഭജനത്തെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് എത്രത്തോളം പഠിക്കാനാകുമെന്ന് ഇവിടെയുണ്ട്: ഒരു കോണിന്റെ ത്രിസെക്ടറിനും ബൈസെക്ടറിനും എല്ലായ്പ്പോഴും വിശദമായ വിശദീകരണങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്. എന്നാൽ ഞാൻ ഇതുവരെ വെളിപ്പെടുത്താത്ത നിരവധി നിർവചനങ്ങൾ ഇവിടെ നൽകിയിട്ടുണ്ട്: പാസ്കലിന്റെ ഒച്ചുകൾ, നിക്കോമിഡീസിന്റെ കോൺകോയിഡ് മുതലായവ. സംശയമില്ല, അവരെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ എഴുതാം.

ബിസെക്ടറിന്റെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ

ബൈസെക്ടർ പ്രോപ്പർട്ടി: ഒരു ത്രികോണത്തിൽ, ബൈസെക്ടർ എതിർ വശത്തെ തൊട്ടടുത്ത വശങ്ങൾക്ക് ആനുപാതികമായ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു.

ഒരു ബാഹ്യ കോണിന്റെ ദ്വിവിഭാഗം ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ബാഹ്യകോണിന്റെ ദ്വിവിഭാഗം അതിന്റെ വശത്തിന്റെ വിപുലീകരണത്തെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നു, ഈ വശത്തിന്റെ അറ്റത്തിലേക്കുള്ള ദൂരം യഥാക്രമം ത്രികോണത്തിന്റെ തൊട്ടടുത്ത വശങ്ങളിലേക്ക് ആനുപാതികമാണ്. സി ബി എ ഡി

ദ്വിഭാഗ ദൈർഘ്യ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ:

ത്രികോണത്തിന്റെ എതിർ വശത്തെ ബൈസെക്ടർ വിഭജിക്കുന്ന ഭാഗങ്ങളുടെ നീളം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം

ബൈസെക്‌ടറിനെ ബൈസെക്ടറുകളുടെ കവല പോയിന്റ് കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്ന സെഗ്‌മെന്റുകളുടെ നീളത്തിന്റെ അനുപാതം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം

പ്രശ്നം 1. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ബൈസെക്‌റ്ററുകളിൽ ഒന്നിനെ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കി 3:2 എന്ന അനുപാതത്തിൽ ബൈസെക്ടറുകളുടെ കവല പോയിന്റ് കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ ദ്വിഭാഗം വരച്ചിരിക്കുന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളം 12 സെന്റിമീറ്ററാണെങ്കിൽ ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം ത്രികോണത്തിലെ ബൈസെക്ടറുകളുടെ വിഭജന പോയിന്റ് കൊണ്ട് ബൈസെക്ടറിനെ വിഭജിച്ചിരിക്കുന്ന സെഗ്മെന്റുകളുടെ നീളത്തിന്റെ അനുപാതം കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു: 30. ഉത്തരം: P = 30cm.

ടാസ്ക് 2. ബിഡി, സിഇ ∆ എബിസി എന്നീ ദ്വിവിഭാഗങ്ങൾ O. AB=14, BC=6, AC=10 എന്ന പോയിന്റിൽ വിഭജിക്കുന്നു. ഒ ഡി കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. ബൈസെക്ടറിന്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തുന്നതിന് നമുക്ക് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം: നമുക്ക്: BD = BD = = ബൈസെക്ടറുകളുടെ കവല പോയിന്റ് കൊണ്ട് ബൈസെക്ടറിനെ വിഭജിച്ചിരിക്കുന്ന സെഗ്മെന്റുകളുടെ അനുപാതത്തിന്റെ ഫോർമുല അനുസരിച്ച്: l = . 2 + 1 = എല്ലാറ്റിന്റെയും 3 ഭാഗങ്ങൾ.

ഇതാണ് ഭാഗം 1  OD = ഉത്തരം: OD =

∆ ABC-യിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ, AL, BK എന്നീ ദ്വിവിഭാഗങ്ങൾ വരച്ചിരിക്കുന്നു. സെഗ്‌മെന്റിന്റെ നീളം KLif AB \u003d 15, AK \u003d 7.5, BL \u003d 5 കണ്ടെത്തുക. ∆ ABC-യിൽ, ദ്വിവിഭാഗം AD വരയ്ക്കുന്നു, കൂടാതെ D എന്ന പോയിന്റിലൂടെ AC-ക്ക് സമാന്തരമായി ഒരു നേർരേഖയും പോയിന്റ് E-ൽ AB-യെ വിഭജിക്കുന്നതുമാണ്. ഏരിയകളുടെ അനുപാതം ∆ ABC, ∆ BDE എന്നിവ കണ്ടെത്തുക, എബി = 5 ആണെങ്കിൽ, എസി = 7. 24 സെന്റിമീറ്ററും 18 സെന്റിമീറ്ററും ഉള്ള ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ നിശിത കോണുകളുടെ ബൈസെക്ടറുകൾ കണ്ടെത്തുക. ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ ദ്വിമുഖം ന്യൂനകോണ്എതിർ പാദത്തെ 4, 5 സെന്റീമീറ്റർ നീളമുള്ള ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു, ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുക.

5. ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിൽ, അടിത്തറയും വശവും യഥാക്രമം 5 ഉം 20 സെന്റീമീറ്ററുമാണ്. 6. a, b എന്നീ കാലുകൾ തുല്യമായ ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വലത് കോണിന്റെ ബൈസെക്ടർ കണ്ടെത്തുക. 7. A = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm എന്നീ വശങ്ങളുള്ള ABC ത്രികോണത്തിന്റെ A കോണിന്റെ ബൈസെക്ടറിന്റെ നീളം കണക്കാക്കുക. ഇന്റീരിയർ കോണുകളുടെ ബൈസെക്ടറുകൾ അവയുടെ വിഭജനത്തിന്റെ പോയിന്റിൽ വിഭജിക്കുന്ന അനുപാതം കണ്ടെത്തുക.

ഉത്തരങ്ങൾ: ഉത്തരം: ഉത്തരം: ഉത്തരം: ഉത്തരം: ഉത്തരം: ഉത്തരം: ഉത്തരം: ഉത്തരം: എപി = 6 എപി = 10 കാണുക KL = CP =

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ദ്വിമുഖം ഒരു സാധാരണ ജ്യാമിതീയ ആശയമാണ്, അത് പഠനത്തിൽ വലിയ ബുദ്ധിമുട്ട് ഉണ്ടാക്കുന്നില്ല. അതിന്റെ ഗുണങ്ങളെക്കുറിച്ച് അറിയുന്നത്, പല പ്രശ്നങ്ങളും വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടില്ലാതെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. എന്താണ് ബൈസെക്ടർ? ഈ ഗണിതരേഖയുടെ എല്ലാ രഹസ്യങ്ങളും വായനക്കാരനെ പരിചയപ്പെടുത്താൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും.

എന്നിവരുമായി ബന്ധപ്പെട്ടു

ആശയത്തിന്റെ സാരാംശം

ലാറ്റിനിലെ പദങ്ങളുടെ ഉപയോഗത്തിൽ നിന്നാണ് ഈ ആശയത്തിന്റെ പേര് വന്നത്, അതിന്റെ അർത്ഥം "bi" - two, "sectio" - cut എന്നാണ്. അവർ ആശയത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥത്തിലേക്ക് പ്രത്യേകം ചൂണ്ടിക്കാണിക്കുന്നു - കിരണങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള ഇടം തകർക്കുന്നു രണ്ട് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി.

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ബൈസെക്ടർ എന്നത് ചിത്രത്തിന്റെ മുകളിൽ നിന്ന് ഉത്ഭവിക്കുന്ന ഒരു ഭാഗമാണ്, മറ്റേ അറ്റം അതിന് എതിർവശത്തായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന വശത്ത് സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു, അതേസമയം സ്ഥലത്തെ രണ്ട് സമാന ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു.

വിദ്യാർത്ഥികൾ ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയങ്ങൾ വേഗത്തിൽ ഓർമ്മപ്പെടുത്തുന്നതിനായി പല അധ്യാപകരും വ്യത്യസ്ത പദങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അത് വാക്യങ്ങളിലോ അസോസിയേഷനുകളിലോ പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, ഈ നിർവചനം മുതിർന്ന കുട്ടികൾക്ക് ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ഈ ലൈൻ എങ്ങനെയാണ് അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നത്? സെഗ്‌മെന്റുകൾ അല്ലെങ്കിൽ കിരണങ്ങൾ നിശ്ചയിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങളെ ഞങ്ങൾ ഇവിടെ ആശ്രയിക്കുന്നു. എങ്കിൽ നമ്മള് സംസാരിക്കുകയാണ്ഒരു ത്രികോണ രൂപത്തിന്റെ കോണിന്റെ ദ്വിവിഭാഗത്തിന്റെ പദവിയെക്കുറിച്ച്, അത് സാധാരണയായി ഒരു സെഗ്‌മെന്റായി എഴുതുന്നു, അതിന്റെ അറ്റങ്ങൾ ശീർഷവും ശീർഷത്തിന്റെ എതിർ വശവുമായി വിഭജിക്കുന്ന പോയിന്റും. മാത്രമല്ല, പദവിയുടെ ആരംഭം മുകളിൽ നിന്ന് കൃത്യമായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

ശ്രദ്ധ!ഒരു ത്രികോണത്തിന് എത്ര ബൈസെക്ടറുകൾ ഉണ്ട്? ഉത്തരം വ്യക്തമാണ്: ശീർഷകങ്ങൾ ഉള്ളത്രയും - മൂന്ന്.

പ്രോപ്പർട്ടികൾ

നിർവചനം കൂടാതെ, സ്കൂൾ പാഠപുസ്തകംഈ ജ്യാമിതീയ സങ്കൽപ്പത്തിന്റെ ഇത്രയധികം സവിശേഷതകൾ കണ്ടെത്താൻ കഴിയില്ല. സ്കൂൾ കുട്ടികൾ പരിചയപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ബൈസെക്ടറിന്റെ ആദ്യ സ്വത്ത് ആലേഖനം ചെയ്ത കേന്ദ്രമാണ്, രണ്ടാമത്തേത്, അതുമായി നേരിട്ട് ബന്ധപ്പെട്ടത്, സെഗ്മെന്റുകളുടെ ആനുപാതികതയാണ്. അടിവരയിട്ടത് ഇതാണ്:

1. വിഭജന രേഖ എന്തായാലും, അതിൽ പോയിന്റുകൾ ഉണ്ട് വശങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരേ അകലത്തിൽ, ഇത് കിരണങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള ഇടം ഉണ്ടാക്കുന്നു.
2. ഒരു ത്രികോണ രൂപത്തിൽ ഒരു വൃത്തം ആലേഖനം ചെയ്യുന്നതിന്, ഈ സെഗ്‌മെന്റുകൾ വിഭജിക്കുന്ന പോയിന്റ് നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇതാണ് വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രബിന്ദു.
3. ഒരു ത്രികോണ വശത്തിന്റെ ഭാഗങ്ങൾ ജ്യാമിതീയ രൂപം, അതിന്റെ വിഭജന രേഖ വിഭജിക്കുന്നവയാണ് ആംഗിൾ രൂപപ്പെടുന്ന വശങ്ങൾക്ക് ആനുപാതികമായി.

ഈ ജ്യാമിതീയ ആശയത്തിന്റെ ഗുണങ്ങൾ നന്നായി മനസ്സിലാക്കാൻ സഹായിക്കുന്ന അധിക വസ്‌തുതകൾ അവതരിപ്പിക്കാനും ശേഷിക്കുന്ന സവിശേഷതകൾ ഒരു സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാനും ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും.

നീളം

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ കോണിന്റെ ബൈസെക്ടറിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടുണ്ടാക്കുന്ന തരത്തിലുള്ള ജോലികളിൽ ഒന്ന്. അതിന്റെ ദൈർഘ്യം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ആദ്യ ഓപ്ഷനിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ഡാറ്റ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു:

• കിരണങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള സ്ഥലത്തിന്റെ വലിപ്പം, നൽകിയിരിക്കുന്ന സെഗ്മെന്റ് ഉയർന്നുവരുന്ന മുകളിൽ നിന്ന്;
• ഈ കോണിനെ രൂപപ്പെടുത്തുന്ന വശങ്ങളുടെ നീളം.

പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതിന്റെ അർത്ഥം, കോണിനെ നിർമ്മിക്കുന്ന വശങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ ഇരട്ടിയാക്കിയ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ അനുപാതം, അതിന്റെ പകുതിയുടെ കോസൈൻ ഉപയോഗിച്ച്, വശങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്.

ഒരു പ്രത്യേക ഉദാഹരണം നോക്കാം. നമുക്ക് ABC എന്ന ഒരു കണക്ക് നൽകിയിട്ടുണ്ടെന്ന് കരുതുക, അതിൽ സെഗ്മെന്റ് A കോണിൽ നിന്ന് വരയ്ക്കുകയും BC യുടെ വശം K പോയിന്റിൽ വിഭജിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഞങ്ങൾ A യുടെ മൂല്യം Y കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഇതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ AK \u003d (2 * AB * AC * cos ( Y / 2)) / (AB + AS).

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ബൈസെക്ടറിന്റെ നീളം നിർണ്ണയിക്കുന്ന പ്രശ്നത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ പതിപ്പിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ഡാറ്റ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു:

• ചിത്രത്തിന്റെ എല്ലാ വശങ്ങളുടെയും മൂല്യങ്ങൾ അറിയാം.

ഇത്തരത്തിലുള്ള ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, തുടക്കത്തിൽ അർദ്ധപരിധി നിർണ്ണയിക്കുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, എല്ലാ വശങ്ങളുടെയും മൂല്യങ്ങൾ ചേർത്ത് പകുതിയായി വിഭജിക്കുക: p \u003d (AB + BC + AC) / 2. അടുത്തതായി, മുമ്പത്തെ പ്രശ്നത്തിൽ ഈ സെഗ്മെന്റിന്റെ ദൈർഘ്യം നിർണ്ണയിക്കാൻ ഉപയോഗിച്ച കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ഫോർമുല ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു. പുതിയ പാരാമീറ്ററുകൾക്ക് അനുസൃതമായി ഫോർമുലയുടെ സാരാംശത്തിൽ ചില മാറ്റങ്ങൾ വരുത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അതിനാൽ, രണ്ടാമത്തെ ഡിഗ്രിയുടെ ഇരട്ടി റൂട്ടിന്റെ അനുപാതം, മുകൾഭാഗത്തോട് ചേർന്നുള്ള വശങ്ങളുടെ നീളം, അർദ്ധ ചുറ്റളവ്, അർദ്ധ ചുറ്റളവും നീളവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എന്നിവയിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ആംഗിൾ നിർമ്മിക്കുന്ന വശങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് എതിർവശം. അതായത്, AK \u003d (2٦AB * AC * p * (r-BC)) / (AB + AC).

ശ്രദ്ധ!മെറ്റീരിയൽ മാസ്റ്റർ ചെയ്യുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഇന്റർനെറ്റിൽ ലഭ്യമായവ റഫർ ചെയ്യാം ഹാസ്യ കഥകൾ, ഈ വരിയുടെ "സാഹസികത" യെക്കുറിച്ച് പറയുന്നു.