ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ നിശിതകോണിന്റെ ടാൻജെന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നത്. മട്ട ത്രികോണം

അതിലും കൂടുതൽ നിങ്ങൾ അർഹിക്കുന്നുണ്ടെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. ത്രികോണമിതിയുടെ എന്റെ താക്കോൽ ഇതാ:

• താഴികക്കുടം, മതിൽ, മേൽക്കൂര എന്നിവ വരയ്ക്കുക
• ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഈ മൂന്ന് രൂപങ്ങളുടെ ശതമാനമല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല.

സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ രൂപകം: താഴികക്കുടം

ത്രികോണങ്ങളെ നോക്കുന്നതിനുപകരം, ചില പ്രത്യേക യഥാർത്ഥ ജീവിത ഉദാഹരണങ്ങൾ കണ്ടെത്തി അവയെ പ്രവർത്തനത്തിൽ സങ്കൽപ്പിക്കുക.

നിങ്ങൾ ഒരു താഴികക്കുടത്തിന്റെ മധ്യത്തിലാണെന്നും ഒരു മൂവി പ്രൊജക്ടർ സ്‌ക്രീൻ തൂക്കിയിടാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെന്നും സങ്കൽപ്പിക്കുക. നിങ്ങൾ ചില "x" കോണിൽ താഴികക്കുടത്തിലേക്ക് വിരൽ ചൂണ്ടുന്നു, ആ പോയിന്റിൽ നിന്ന് ഒരു സ്ക്രീൻ തൂക്കിയിരിക്കണം.

നിങ്ങൾ ചൂണ്ടിക്കാണിക്കുന്ന ആംഗിൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു:

• sine(x) = sin(x) = സ്‌ക്രീൻ ഉയരം (തറ മുതൽ താഴികക്കുടം മൗണ്ടിംഗ് പോയിന്റ്)
• cosine(x) = cos(x) = നിങ്ങളിൽ നിന്ന് സ്ക്രീനിലേക്കുള്ള ദൂരം (ഫ്ലോർ പ്രകാരം)
• ഹൈപ്പോട്ടെനസ്, നിങ്ങളിൽ നിന്ന് സ്‌ക്രീനിന്റെ മുകളിലേക്കുള്ള ദൂരം, എല്ലായ്‌പ്പോഴും തുല്യമാണ്, താഴികക്കുടത്തിന്റെ ആരത്തിന് തുല്യമാണ്

സ്‌ക്രീൻ കഴിയുന്നത്ര വലുതായിരിക്കണമെന്ന് നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുണ്ടോ? അത് നിങ്ങളുടെ മുകളിൽ തൂക്കിയിടുക.

സ്‌ക്രീൻ നിങ്ങളിൽ നിന്ന് കഴിയുന്നത്ര അകലെ തൂങ്ങാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുണ്ടോ? നേരെ ലംബമായി തൂക്കിയിടുക. സ്‌ക്രീനിന് ഈ സ്ഥാനത്ത് പൂജ്യം ഉയരം ഉണ്ടായിരിക്കും കൂടാതെ നിങ്ങൾ അഭ്യർത്ഥിച്ചിടത്തോളം പിന്നിലേക്ക് തൂങ്ങിക്കിടക്കും.

സ്‌ക്രീനിൽ നിന്നുള്ള ഉയരവും ദൂരവും വിപരീത അനുപാതത്തിലാണ്: സ്‌ക്രീൻ തൂങ്ങിക്കിടക്കുമ്പോൾ അതിന്റെ ഉയരം കൂടുതലായിരിക്കും.

സൈനും കോസൈനും ശതമാനമാണ്

എന്റെ പഠന വർഷങ്ങളിൽ ആരും, അയ്യോ, സൈൻ, കോസൈൻ എന്നീ ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകൾ ശതമാനങ്ങളല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ലെന്ന് എന്നോട് വിശദീകരിച്ചിട്ടില്ല. അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ +100% മുതൽ 0 മുതൽ -100% വരെയാണ്, അല്ലെങ്കിൽ പോസിറ്റീവ് മാക്സിമം മുതൽ പൂജ്യം മുതൽ നെഗറ്റീവ് മാക്സിമം വരെയാണ്.

ഞാൻ 14 റൂബിൾ നികുതി അടച്ചുവെന്ന് പറയാം. അത് എത്രയാണെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയില്ല. പക്ഷെ ഞാൻ 95% നികുതി അടച്ചു എന്ന് പറഞ്ഞാൽ മനസ്സിലാകും എന്നെ ഒട്ടിപ്പിടിക്കുന്ന പോലെ തൊലിയുരിഞ്ഞു എന്ന്.

സമ്പൂർണ്ണ ഉയരം അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഒന്നുമല്ല. എന്നാൽ സൈൻ മൂല്യം 0.95 ആണെങ്കിൽ, ടിവി നിങ്ങളുടെ താഴികക്കുടത്തിന് മുകളിൽ തൂങ്ങിക്കിടക്കുന്നുണ്ടെന്ന് ഞാൻ മനസ്സിലാക്കുന്നു. വളരെ വേഗം അത് താഴികക്കുടത്തിന്റെ മധ്യഭാഗത്ത് അതിന്റെ പരമാവധി ഉയരത്തിൽ എത്തും, തുടർന്ന് വീണ്ടും കുറയാൻ തുടങ്ങും.

ഈ ശതമാനം നമുക്ക് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം? വളരെ ലളിതമാണ്: നിലവിലെ സ്‌ക്രീൻ ഉയരം പരമാവധി സാധ്യമായത് കൊണ്ട് ഹരിക്കുക (താഴികക്കുടത്തിന്റെ ആരം, ഹൈപ്പോട്ടെനസ് എന്നും വിളിക്കുന്നു).

അതുകൊണ്ടാണ്"കോസൈൻ = എതിർ ലെഗ് / ഹൈപ്പോടെനസ്" എന്ന് ഞങ്ങളോട് പറയപ്പെടുന്നു. ഇതെല്ലാം ഒരു ശതമാനം ലഭിക്കാൻ വേണ്ടിയാണ്! സൈൻ നിർവചിക്കാനുള്ള ഏറ്റവും നല്ല മാർഗം "സാധ്യമായ പരമാവധി മുതൽ നിലവിലെ ഉയരത്തിന്റെ ശതമാനം" ആണ്. (നിങ്ങളുടെ ആംഗിൾ "അണ്ടർഗ്രൗണ്ട്" പോയിന്റ് ചെയ്താൽ സൈൻ നെഗറ്റീവ് ആകും. ആംഗിൾ നിങ്ങളുടെ പിന്നിലുള്ള ഡോം പോയിന്റിലേക്ക് പോയിന്റ് ചെയ്താൽ കോസൈൻ നെഗറ്റീവ് ആകും.)

നമ്മൾ യൂണിറ്റ് സർക്കിളിന്റെ (റേഡിയസ് = 1) മധ്യത്തിലാണെന്ന് കരുതി കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമാക്കാം. നമുക്ക് വിഭജനം ഒഴിവാക്കി ഉയരത്തിന് തുല്യമായ സൈൻ എടുക്കാം.

ഓരോ സർക്കിളും, വാസ്തവത്തിൽ, ആവശ്യമുള്ള വലുപ്പത്തിലേക്ക് വലുതാക്കിയതോ കുറയ്ക്കുന്നതോ ആയ ഒറ്റത്തവണയാണ്. അതിനാൽ യൂണിറ്റ് സർക്കിളിലെ ബന്ധങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയും നിങ്ങളുടെ പ്രത്യേക സർക്കിൾ വലുപ്പത്തിൽ ഫലങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുക.

പരീക്ഷണം: ഏതെങ്കിലും കോണിൽ എടുത്ത് അത് എത്ര ശതമാനം ഉയരം മുതൽ വീതി വരെ പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നുവെന്ന് കാണുക:

സൈനിന്റെ മൂല്യത്തിന്റെ വളർച്ചയുടെ ഗ്രാഫ് ഒരു നേർരേഖ മാത്രമല്ല. ആദ്യത്തെ 45 ഡിഗ്രി ഉയരത്തിന്റെ 70%, അവസാനത്തെ 10 ഡിഗ്രി (80° മുതൽ 90° വരെ) 2% മാത്രം.

ഇത് നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ വ്യക്തമാകും: നിങ്ങൾ ഒരു സർക്കിളിൽ പോകുകയാണെങ്കിൽ, 0 ° ൽ നിങ്ങൾ ഏതാണ്ട് ലംബമായി ഉയരും, എന്നാൽ നിങ്ങൾ താഴികക്കുടത്തിന്റെ മുകളിലേക്ക് അടുക്കുമ്പോൾ, ഉയരം കുറയുന്നു.

ടാൻജെന്റും സെക്കന്റും. മതിൽ

ഒരു ദിവസം അയൽവാസി ഒരു മതിൽ പണിതു വലത്തോട്ട് പിന്നിലേക്ക്നിങ്ങളുടെ താഴികക്കുടത്തിലേക്ക്. നിങ്ങളുടെ വിൻഡോ കാഴ്ചയും നല്ല റീസെയിൽ വിലയും കരഞ്ഞു!

എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ എങ്ങനെയെങ്കിലും വിജയിക്കാൻ കഴിയുമോ?

തീര്ച്ചയായും. അയൽവാസിയുടെ ഭിത്തിയിൽ ഒരു സിനിമാ സ്‌ക്രീൻ തൂക്കിയാലോ? നിങ്ങൾ മൂല (x) ലക്ഷ്യമാക്കി നേടുക:

• tan(x) = tan(x) = ചുമരിലെ സ്‌ക്രീൻ ഉയരം
• നിങ്ങളിൽ നിന്ന് മതിലിലേക്കുള്ള ദൂരം: 1 (ഇത് നിങ്ങളുടെ താഴികക്കുടത്തിന്റെ ആരമാണ്, മതിൽ നിങ്ങളിൽ നിന്ന് എവിടേക്കും നീങ്ങുന്നില്ല, അല്ലേ?)
• സെക്കന്റ്(x) = സെക്കന്റ്(x) = നിങ്ങൾ താഴികക്കുടത്തിന്റെ മധ്യഭാഗത്ത് നിൽക്കുന്നത് മുതൽ സസ്പെൻഡ് ചെയ്ത സ്ക്രീനിന്റെ മുകളിലേക്ക് "ഏണിയുടെ നീളം"

ടാൻജെന്റ് അല്ലെങ്കിൽ സ്‌ക്രീൻ ഉയരം സംബന്ധിച്ച് രണ്ട് കാര്യങ്ങൾ വ്യക്തമാക്കാം.

• അത് 0-ൽ ആരംഭിക്കുന്നു, അനന്തമായി ഉയരത്തിൽ പോകാം. നിങ്ങളുടെ പ്രിയപ്പെട്ട സിനിമ കാണുന്നതിന് അനന്തമായ ക്യാൻവാസ് ലഭിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് ഭിത്തിയിൽ സ്‌ക്രീൻ മുകളിലേക്കും മുകളിലേക്കും നീട്ടാം! (ഇത്രയും വലിയ ഒന്നിന്, തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾ ധാരാളം പണം ചെലവഴിക്കേണ്ടിവരും).
• ടാൻജെന്റ് സൈനിന്റെ ഒരു വിപുലീകരിച്ച പതിപ്പ് മാത്രമാണ്! നിങ്ങൾ താഴികക്കുടത്തിന്റെ മുകളിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ സൈനിന്റെ വളർച്ച മന്ദഗതിയിലാകുമ്പോൾ, ടാൻജെന്റ് വളരുന്നത് തുടരുന്നു!

സെകൻസുവിനും വീമ്പിളക്കാൻ ചിലതുണ്ട്:

• സെക്കന്റ് 1-ൽ ആരംഭിക്കുന്നു (ഗോവണി തറയിലാണ്, നിങ്ങളിൽ നിന്ന് മതിലിലേക്ക് അകലെയാണ്) അവിടെ നിന്ന് മുകളിലേക്ക് പോകാൻ തുടങ്ങുന്നു
• സെക്കന്റ് എല്ലായ്പ്പോഴും ടാൻജെന്റിനെക്കാൾ നീളമുള്ളതാണ്. നിങ്ങളുടെ സ്‌ക്രീൻ തൂക്കിയിടുന്ന ചരിഞ്ഞ ഗോവണി സ്‌ക്രീനേക്കാൾ നീളമുള്ളതായിരിക്കണം, അല്ലേ? (യഥാർത്ഥമല്ലാത്ത വലുപ്പങ്ങളിൽ, സ്‌ക്രീൻ വളരെ നീളമുള്ളതും ഗോവണി ഏതാണ്ട് ലംബമായി സ്ഥാപിക്കേണ്ടതുമായിരിക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ വലുപ്പങ്ങൾ ഏതാണ്ട് സമാനമായിരിക്കും. എന്നാൽ അപ്പോഴും സെക്കന്റ് അൽപ്പം നീളമുള്ളതായിരിക്കും).

മൂല്യങ്ങൾ ഓർക്കുക ശതമാനം. 50 ഡിഗ്രി കോണിൽ സ്‌ക്രീൻ തൂക്കിയിടാൻ നിങ്ങൾ തീരുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ടാൻ(50)=1.19. നിങ്ങളുടെ സ്‌ക്രീൻ മതിലിലേക്കുള്ള ദൂരത്തേക്കാൾ 19% വലുതാണ് (ഡോം റേഡിയസ്).

(x=0 നൽകി നിങ്ങളുടെ അവബോധം പരിശോധിക്കുക - tan(0) = 0, സെക്കന്റ്(0) = 1.)

കോട്ടാൻജെന്റും കോസെക്കന്റും. സീലിംഗ്

അവിശ്വസനീയമാംവിധം, നിങ്ങളുടെ അയൽക്കാരൻ ഇപ്പോൾ നിങ്ങളുടെ താഴികക്കുടത്തിന് മുകളിൽ ഒരു സീലിംഗ് നിർമ്മിക്കാൻ തീരുമാനിച്ചു. (അവന് എന്ത് പറ്റി? അവൻ നഗ്നനായി മുറ്റത്ത് ചുറ്റിനടക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ അവനെ നോക്കുന്നത് അവൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നില്ല...)

ശരി, മേൽക്കൂരയിലേക്ക് ഒരു എക്സിറ്റ് നിർമ്മിക്കാനും അയൽക്കാരനുമായി സംസാരിക്കാനും സമയമായി. നിങ്ങൾ ചെരിവിന്റെ ആംഗിൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത് നിർമ്മാണം ആരംഭിക്കുക:

• റൂഫ് ഔട്ട്‌ലെറ്റും തറയും തമ്മിലുള്ള ലംബ അകലം എല്ലായ്പ്പോഴും 1 ആണ് (താഴികക്കുടത്തിന്റെ ആരം)
• cotangent(x) = cot(x) = ഡോം ടോപ്പും എക്സിറ്റ് പോയിന്റും തമ്മിലുള്ള ദൂരം
• cosecant(x) = csc(x) = മേൽക്കൂരയിലേക്കുള്ള നിങ്ങളുടെ പാതയുടെ നീളം

ടാൻജെന്റും സെക്കന്റും ഭിത്തിയെ വിവരിക്കുമ്പോൾ, കോട്ടാൻജെന്റും കോസെക്കന്റും തറയെ വിവരിക്കുന്നു.

ഈ സമയത്തെ ഞങ്ങളുടെ അവബോധജന്യമായ നിഗമനങ്ങൾ മുമ്പത്തേതിന് സമാനമാണ്:

• നിങ്ങൾ 0° ആംഗിൾ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, മേൽക്കൂരയിലേക്കുള്ള നിങ്ങളുടെ എക്സിറ്റ് എന്നെന്നേക്കുമായി എടുക്കും, കാരണം അത് ഒരിക്കലും സീലിംഗിൽ എത്തില്ല. പ്രശ്നം.
• നിങ്ങൾ തറയിലേക്ക് 90 ഡിഗ്രി കോണിൽ നിർമ്മിച്ചാൽ മേൽക്കൂരയിലേക്കുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ "പടിക്കെട്ട്" ലഭിക്കും. കോട്ടാൻജെന്റ് 0 ന് തുല്യമായിരിക്കും (ഞങ്ങൾ മേൽക്കൂരയിലൂടെ നീങ്ങുന്നില്ല, ഞങ്ങൾ കർശനമായി ലംബമായി പുറത്തുകടക്കുന്നു), കൂടാതെ കോസെക്കന്റ് 1 ന് തുല്യമായിരിക്കും ("ഗോവണിയുടെ നീളം" വളരെ കുറവായിരിക്കും).

കണക്ഷനുകൾ ദൃശ്യവൽക്കരിക്കുക

മൂന്ന് കേസുകളും ഡോം-വാൾ-ഫ്ലോർ കോമ്പിനേഷനിൽ വരച്ചാൽ, ഇനിപ്പറയുന്നവ ലഭിക്കും:

ശരി, കൊള്ളാം, ഇത് ഒരേ ത്രികോണമാണ്, മതിലിലേക്കും സീലിംഗിലേക്കും എത്താൻ വലുപ്പത്തിൽ വലുതാക്കിയിരിക്കുന്നു. നമുക്ക് ലംബമായ വശങ്ങൾ (സൈൻ, ടാൻജെന്റ്), തിരശ്ചീന വശങ്ങൾ (കോസൈൻ, കോട്ടാൻജെന്റ്), "ഹൈപ്പോട്ടെനസ്" (സെക്കന്റ്, കോസെക്കന്റ്) എന്നിവയുണ്ട്. (ഓരോ മൂലകവും എത്രത്തോളം എത്തുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് അമ്പടയാളങ്ങളിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയും. നിങ്ങളിൽ നിന്ന് മേൽക്കൂരയിലേക്കുള്ള ആകെ ദൂരമാണ് കോസെക്കന്റ്).

ഒരു ചെറിയ മാജിക്. എല്ലാ ത്രികോണങ്ങളും ഒരേ തുല്യത പങ്കിടുന്നു:

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് (a 2 + b 2 = c 2) ഓരോ ത്രികോണത്തിന്റെയും വശങ്ങൾ എങ്ങനെ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന് നമുക്ക് കാണാം. കൂടാതെ, ഉയരവും വീതിയും തമ്മിലുള്ള അനുപാതവും എല്ലാ ത്രികോണങ്ങൾക്കും തുല്യമായിരിക്കണം. (ഏറ്റവും വലിയ ത്രികോണത്തിൽ നിന്ന് ചെറിയതിലേക്ക് പിന്നോട്ട് പോകുക. അതെ, വലുപ്പം മാറിയിരിക്കുന്നു, പക്ഷേ വശങ്ങളുടെ അനുപാതം അതേപടി തുടരും).

ഓരോ ത്രികോണത്തിലും ഏത് വശമാണ് 1 (താഴികക്കുടത്തിന്റെ ആരം) എന്ന് അറിയുന്നത്, "sin/cos = tan/1" എന്ന് നമുക്ക് എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കാം.

ലളിതമായ ദൃശ്യവൽക്കരണത്തിലൂടെ ഈ വസ്തുതകൾ ഓർമ്മിക്കാൻ ഞാൻ എപ്പോഴും ശ്രമിച്ചിട്ടുണ്ട്. ചിത്രത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഈ ആശ്രിതത്വങ്ങൾ വ്യക്തമായി കാണാനും അവ എവിടെ നിന്നാണ് വരുന്നതെന്ന് മനസ്സിലാക്കാനും കഴിയും. ഡ്രൈ ഫോർമുലകൾ മനഃപാഠമാക്കുന്നതിനേക്കാൾ വളരെ മികച്ചതാണ് ഈ സാങ്കേതികത.

മറ്റ് ആംഗിളുകൾ മറക്കരുത്

ശ്ശ്... ടാൻജെന്റ് എല്ലായ്പ്പോഴും 1-ൽ താഴെയാണെന്ന് കരുതി ഒരു ഗ്രാഫിൽ തൂക്കിയിടേണ്ട ആവശ്യമില്ല. നിങ്ങൾ ആംഗിൾ വർദ്ധിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് മതിലിൽ എത്താതെ തന്നെ സീലിംഗിലെത്താം:

പൈതഗോറിയൻ കണക്ഷനുകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും പ്രവർത്തിക്കുന്നു, പക്ഷേ ആപേക്ഷിക വലുപ്പങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും.

(സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ അനുപാതം എല്ലായ്പ്പോഴും ഏറ്റവും ചെറുതാണെന്ന് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചിരിക്കാം, കാരണം അവ ഒരു താഴികക്കുടത്തിനുള്ളിൽ ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.)

ചുരുക്കത്തിൽ: നമ്മൾ എന്താണ് ഓർമ്മിക്കേണ്ടത്?

നമ്മിൽ മിക്കവർക്കും, ഇത് മതിയാകും എന്ന് ഞാൻ പറയും:

• സർക്കിളുകളും ആവർത്തന ഇടവേളകളും പോലുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര വസ്തുക്കളുടെ ശരീരഘടനയെ ത്രികോണമിതി വിശദീകരിക്കുന്നു
• താഴികക്കുടം/മതിൽ/മേൽക്കൂര സാമ്യം വ്യത്യസ്ത ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം കാണിക്കുന്നു
• ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഫലം നമ്മുടെ സാഹചര്യത്തിൽ നാം പ്രയോഗിക്കുന്ന ശതമാനങ്ങളാണ്.

1 2 + cot 2 = csc 2 പോലുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കേണ്ടതില്ല. ഒരു വസ്തുതയെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് അത് മനസ്സിലാക്കുന്നതായി അവതരിപ്പിക്കുന്ന മണ്ടൻ പരിശോധനകൾക്ക് മാത്രമേ അവ അനുയോജ്യമാകൂ. ഒരു താഴികക്കുടം, മതിൽ, മേൽക്കൂര എന്നിവയുടെ രൂപത്തിൽ ഒരു അർദ്ധവൃത്തം വരയ്ക്കാൻ ഒരു മിനിറ്റ് എടുക്കുക, ഘടകങ്ങൾ ഒപ്പിടുക, എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും നിങ്ങൾക്കായി പേപ്പറിൽ ആവശ്യപ്പെടും.

ആപ്ലിക്കേഷൻ: വിപരീത പ്രവർത്തനങ്ങൾ

ഏതൊരു ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷനും ഒരു കോണിനെ ഇൻപുട്ടായി എടുക്കുകയും ഫലം ഒരു ശതമാനമായി നൽകുകയും ചെയ്യുന്നു. sin(30) = 0.5. ഇതിനർത്ഥം 30 ഡിഗ്രി ആംഗിൾ പരമാവധി ഉയരത്തിന്റെ 50% എടുക്കുന്നു എന്നാണ്.

വിപരീത ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനം sin -1 അല്ലെങ്കിൽ arcsin ("arxine") എന്നാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്നത്. വിവിധ പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷകളിൽ ഇത് പലപ്പോഴും അസിൻ എഴുതുന്നു.

നമ്മുടെ ഉയരം താഴികക്കുടത്തിന്റെ ഉയരത്തിന്റെ 25% ആണെങ്കിൽ, നമ്മുടെ കോൺ എന്താണ്?

ഞങ്ങളുടെ അനുപാത പട്ടികയിൽ, സെക്കന്റ് 1 കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്ന അനുപാതം നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും. ഉദാഹരണത്തിന്, സെക്കന്റ് 1 കൊണ്ട് (തിരശ്ചീനത്തിലേക്കുള്ള ഹൈപ്പോടെനസ്) 1 ന് തുല്യമായിരിക്കും:

നമ്മുടെ സെക്കന്റ് 3.5 ആണെന്ന് പറയാം, അതായത്. യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ ആരത്തിന്റെ 350%. ഈ മൂല്യം മതിലിലേക്കുള്ള ചെരിവിന്റെ ഏത് കോണുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു?

അനുബന്ധം: ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ

വിരസമായ ദൗത്യം. “സൈൻ കണ്ടെത്തുക” എന്നത് “പരമാവധി (ഹൈപ്പോട്ടെനസ്)) ശതമാനമായി ഉയരം എത്രയാണ്?” എന്നതിനെ സങ്കീർണ്ണമാക്കാം.

ആദ്യം, ത്രികോണം കറങ്ങുന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഇതിൽ തെറ്റൊന്നുമില്ല. ത്രികോണത്തിനും ഉയരമുണ്ട്, അത് ചിത്രത്തിൽ പച്ചയിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഹൈപ്പോടെനസ് എന്തിന് തുല്യമാണ്? പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ഇത് അറിയാം:

3 2 + 4 2 = ഹൈപ്പോടെന്യൂസ് 2 25 = ഹൈപ്പോടെന്യൂസ് 2 5 = ഹൈപ്പോടെന്യൂസ്

നന്നായി! സൈൻ എന്നത് ത്രികോണത്തിന്റെ ഏറ്റവും നീളമേറിയ വശത്ത് നിന്നുള്ള ഉയരത്തിന്റെ ശതമാനമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ ഹൈപ്പോടെനസ്. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, സൈൻ 3/5 അല്ലെങ്കിൽ 0.60 ആണ്.

തീർച്ചയായും, നമുക്ക് പല വഴികളിലൂടെ പോകാം. സൈൻ 0.60 ആണെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്കറിയാം, നമുക്ക് ആർക്സൈൻ കണ്ടെത്താം:

അസിൻ(0.6)=36.9

പിന്നെ ഇവിടെ മറ്റൊരു സമീപനമുണ്ട്. ത്രികോണം "ഭിത്തിയുമായി മുഖാമുഖം" ആണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിനാൽ നമുക്ക് സൈനിനു പകരം ടാൻജെന്റ് ഉപയോഗിക്കാം. ഉയരം 3 ആണ്, മതിലിലേക്കുള്ള ദൂരം 4 ആണ്, അതിനാൽ ടാൻജെന്റ് ¾ അല്ലെങ്കിൽ 75% ആണ്. ശതമാനത്തിൽ നിന്ന് കോണിലേക്ക് മടങ്ങാൻ നമുക്ക് ആർക്ക് ടാൻജെന്റ് ഉപയോഗിക്കാം:

ടാൻ = 3/4 = 0.75 അടൻ (0.75) = 36.9 ഉദാഹരണം: നിങ്ങൾ കരയിലേക്ക് നീന്തുമോ?

നിങ്ങൾ ഒരു ബോട്ടിലാണ്, നിങ്ങൾക്ക് 2 കിലോമീറ്റർ സഞ്ചരിക്കാൻ ആവശ്യമായ ഇന്ധനമുണ്ട്. നിങ്ങൾ ഇപ്പോൾ തീരത്ത് നിന്ന് 0.25 കിലോമീറ്റർ അകലെയാണ്. കരയിലേക്കുള്ള പരമാവധി കോണിൽ നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യത്തിന് ഇന്ധനം ലഭിക്കുന്നതിന് നീന്താൻ കഴിയും? പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയ്ക്ക് പുറമേ: ആർക്ക് കോസൈൻ മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക മാത്രമേ ഞങ്ങളുടെ പക്കലുള്ളൂ.

നമുക്ക് എന്താണ് ഉള്ളത്? നമ്മുടെ പ്രസിദ്ധമായ ത്രികോണത്തിൽ തീരപ്രദേശത്തെ ഒരു "മതിൽ" ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം, കൂടാതെ ചുവരിൽ ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന "പടികളുടെ നീളം" ബോട്ടിൽ കരയിലേക്ക് (2 കിലോമീറ്റർ) പരമാവധി ദൂരമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. ഒരു സെക്കന്റ് ഉയർന്നുവരുന്നു.

ആദ്യം, നിങ്ങൾ ശതമാനത്തിലേക്ക് മാറേണ്ടതുണ്ട്. ഞങ്ങൾക്ക് 2 / 0.25 = 8 ഉണ്ട്, അതായത് കരയിലേക്കുള്ള (അല്ലെങ്കിൽ മതിലിലേക്ക്) നേരായ ദൂരത്തിന്റെ 8 മടങ്ങ് നീന്താം.

"സെക്കന്റ് 8 എന്താണ്?" എന്ന ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു. എന്നാൽ ആർക്ക് കോസൈനുകൾ മാത്രമേ ഉള്ളൂ എന്നതിനാൽ അതിനൊരു ഉത്തരം നൽകാനാവില്ല.

കോസൈനിലേക്ക് സെക്കന്റ് മാപ്പ് ചെയ്യാൻ ഞങ്ങൾ മുമ്പ് ലഭിച്ച ഡിപൻഡൻസികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു: "സെക്കന്റ്/1 = 1/കോസ്"

8 ന്റെ സെക്കന്റ് ⅛ ന്റെ കോസൈന് തുല്യമാണ്. കോസൈൻ ⅛ ആയ ഒരു കോണാണ് acos(1/8) = 82.8. നിശ്ചിത അളവിലുള്ള ഇന്ധനമുള്ള ഒരു ബോട്ടിൽ നമുക്ക് താങ്ങാനാകുന്ന ഏറ്റവും വലിയ കോണാണിത്.

മോശമല്ല, അല്ലേ? ഡോം-വാൾ-സീലിംഗ് സാമ്യം ഇല്ലെങ്കിൽ, ഒരു കൂട്ടം ഫോർമുലകളിലും കണക്കുകൂട്ടലുകളിലും ഞാൻ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകും. പ്രശ്നത്തിന്റെ ദൃശ്യവൽക്കരണം ഒരു പരിഹാരത്തിനായുള്ള തിരയലിനെ വളരെയധികം ലളിതമാക്കുന്നു, കൂടാതെ, ഏത് ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനമാണ് ഒടുവിൽ സഹായിക്കുകയെന്നത് രസകരമാണ്.

ഓരോ ജോലിക്കും, ഇതുപോലെ ചിന്തിക്കുക: ഒരു താഴികക്കുടം (sin/cos), ഒരു മതിൽ (ടാൻ/സെക്കൻഡ്), അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സീലിംഗ് (കട്ടിൽ/csc) എന്നിവയിൽ എനിക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടോ?

ത്രികോണമിതി കൂടുതൽ മനോഹരമാകും. നിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പമുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകൾ!

സൈൻ അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്, ഇതിന്റെ പ്രയോഗം ജ്യാമിതിയിൽ മാത്രം ഒതുങ്ങുന്നില്ല. എഞ്ചിനീയറിംഗ് കാൽക്കുലേറ്ററുകൾ പോലെയുള്ള ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷനുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പട്ടികകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും കൈയിലുണ്ടാകില്ല, കൂടാതെ വിവിധ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് സൈനിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ ചിലപ്പോൾ ആവശ്യമാണ്. പൊതുവേ, സൈനിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ ഡ്രോയിംഗ് കഴിവുകളും ത്രികോണമിതി ഐഡന്റിറ്റികളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവും ഏകീകരിക്കാൻ സഹായിക്കും.

ഭരണാധികാരിയും പെൻസിൽ ഗെയിമുകളും

ഒരു ലളിതമായ ജോലി: കടലാസിൽ വരച്ച കോണിന്റെ സൈൻ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? പരിഹരിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സാധാരണ ഭരണാധികാരി, ഒരു ത്രികോണം (അല്ലെങ്കിൽ ഒരു കോമ്പസ്), ഒരു പെൻസിൽ എന്നിവ ആവശ്യമാണ്. ഒരു കോണിന്റെ സൈൻ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ മാർഗ്ഗം, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിദൂരമായ കാൽഭാഗത്തെ വലത് കോണുള്ള നീളമുള്ള വശം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക എന്നതാണ് - ഹൈപ്പോടെനസ്. അതിനാൽ, ആദ്യം നിങ്ങൾ കോണിന്റെ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് ഏകപക്ഷീയമായ അകലത്തിൽ ഒരു കിരണത്തിന് ലംബമായി ഒരു രേഖ വരച്ച് ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ രൂപത്തിലേക്ക് നിശിതകോണം പൂർത്തിയാക്കേണ്ടതുണ്ട്. കൃത്യമായി 90 ° കോണിൽ നിരീക്ഷിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, ഇതിനായി നമുക്ക് ഒരു ക്ലറിക്കൽ ത്രികോണം ആവശ്യമാണ്.

ഒരു കോമ്പസ് ഉപയോഗിക്കുന്നത് കുറച്ചുകൂടി കൃത്യമാണ്, പക്ഷേ കൂടുതൽ സമയമെടുക്കും. ഒരു കിരണത്തിൽ, നിങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത അകലത്തിൽ 2 പോയിന്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തേണ്ടതുണ്ട്, പോയിന്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തിന് ഏകദേശം തുല്യമായ കോമ്പസിൽ ഒരു ആരം സജ്ജമാക്കുക, ഈ വരികൾ വിഭജിക്കുന്നതുവരെ ഈ പോയിന്റുകളിൽ കേന്ദ്രങ്ങളുള്ള അർദ്ധവൃത്തങ്ങൾ വരയ്ക്കുക. ഞങ്ങളുടെ സർക്കിളുകളുടെ വിഭജന പോയിന്റുകൾ പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ, നമ്മുടെ കോണിന്റെ കിരണത്തിന് കർശനമായ ലംബമായി നമുക്ക് ലഭിക്കും, അത് മറ്റൊരു കിരണവുമായി വിഭജിക്കുന്നത് വരെ രേഖ നീട്ടാൻ മാത്രമേ അവശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ത്രികോണത്തിൽ, നിങ്ങൾ കോണിന് എതിർവശത്തുള്ള വശവും ഒരു കിരണത്തിൽ നീളമുള്ള വശവും ഒരു ഭരണാധികാരി ഉപയോഗിച്ച് അളക്കേണ്ടതുണ്ട്. ആദ്യ അളവെടുപ്പിന്റെ അനുപാതം രണ്ടാമത്തേതിന് നിശിത കോണിന്റെ സൈനിന്റെ ആവശ്യമുള്ള മൂല്യമായിരിക്കും.

90°യിൽ കൂടുതലുള്ള ഒരു കോണിനായി സൈൻ കണ്ടെത്തുക

ഒരു മങ്ങിയ കോണിന്, ചുമതല കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. നമുക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള കോണിന്റെ കിരണങ്ങളിലൊന്ന് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നേർരേഖ രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിന് ഒരു ഭരണാധികാരി ഉപയോഗിച്ച് വിപരീത ദിശയിൽ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് ഒരു കിരണം വരയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന നിശിത കോണിൽ, മുകളിൽ വിവരിച്ചതുപോലെ നിങ്ങൾ തുടരണം, 180 ° വികസിത കോണിൽ ഒന്നിച്ച് രൂപപ്പെടുന്ന തൊട്ടടുത്ത കോണുകളുടെ സൈനുകൾ തുല്യമാണ്.

മറ്റ് ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ നിന്ന് സൈൻ കണക്കാക്കുന്നു

കൂടാതെ, കോണിന്റെ മറ്റ് ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളമെങ്കിലും അറിയാമെങ്കിൽ സൈനിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ സാധ്യമാണ്. ത്രികോണമിതി ഐഡന്റിറ്റികൾ ഇതിന് നമ്മെ സഹായിക്കും. നമുക്ക് സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ഒരു കോണിന്റെ അറിയപ്പെടുന്ന കോസൈൻ ഉപയോഗിച്ച് സൈൻ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് വരുന്ന ആദ്യത്തെ ത്രികോണമിതി ഐഡന്റിറ്റി, ഒരേ കോണിലെ സൈനിന്റെയും കോസൈന്റെയും ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഒന്നിന് തുല്യമാണെന്ന് പറയുന്നു.

ഒരു കോണിന്റെ അറിയപ്പെടുന്ന ടാൻജെന്റ് ഉപയോഗിച്ച് സൈൻ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? വിദൂര കാലിനെ അടുത്തുള്ള ഒന്നുകൊണ്ട് ഹരിച്ചോ അല്ലെങ്കിൽ സൈനിനെ കോസൈൻ കൊണ്ട് ഹരിച്ചോ ടാൻജെന്റ് ലഭിക്കും. അങ്ങനെ, സൈൻ കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ് എന്നിവയുടെ ഉൽപ്പന്നമായിരിക്കും, സൈനിന്റെ ചതുരം ഈ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ വർഗ്ഗമായിരിക്കും. ആദ്യത്തെ ത്രികോണമിതി ഐഡന്റിറ്റി അനുസരിച്ച് ഏകത്വവും സ്ക്വയർ സൈനും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ സ്ക്വയർഡ് കോസൈൻ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, കൂടാതെ ലളിതമായ കൃത്രിമത്വങ്ങളിലൂടെ, യഥാക്രമം, സൈൻ കണക്കാക്കാൻ, യഥാക്രമം സ്‌ക്വയർ സൈൻ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സമവാക്യം ഞങ്ങൾ കൊണ്ടുവരുന്നു. ലഭിച്ച ഫലത്തിൽ നിന്ന് റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

ഒരു കോണിന്റെ അറിയപ്പെടുന്ന കോട്ടാൻജെന്റ് ഉപയോഗിച്ച് സൈൻ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? കോടാൻജെന്റിന്റെ മൂല്യം ലെഗ് ആംഗിളിൽ നിന്ന് അടുത്തുള്ള ഒന്നിന്റെ നീളം ദൂരെയുള്ള ഒന്നിന്റെ നീളം കൊണ്ട് ഹരിച്ചുകൊണ്ട് കണക്കാക്കാം, കൂടാതെ കോസൈനെ സൈൻ കൊണ്ട് ഹരിച്ചും, അതായത്, ടാൻജെന്റിന്റെ വിപരീത പ്രവർത്തനമാണ് കോട്ടാൻജെന്റ്. നമ്പർ 1 ലേക്ക് ബഹുമാനിക്കുക. സൈൻ കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് tg α \u003d 1 / ctg α ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ടാൻജെന്റ് കണക്കാക്കാനും രണ്ടാമത്തെ ഓപ്ഷനിൽ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാനും കഴിയും. ടാൻജെന്റുമായുള്ള സാമ്യം വഴി നിങ്ങൾക്ക് നേരിട്ടുള്ള സൂത്രവാക്യം നേടാനും കഴിയും, അത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും.

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് വശങ്ങളിലെ സൈൻ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം

എതിർകോണിന്റെ കോസൈന്റെ ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് അറിയപ്പെടുന്ന രണ്ട് വശങ്ങൾ നൽകിയാൽ, ഒരു വലത് ത്രികോണം മാത്രമല്ല, ഏത് ത്രികോണത്തിന്റെയും അജ്ഞാത വശത്തിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഒരു ഫോർമുലയുണ്ട്. അവൾ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു.

തുടക്കത്തിൽ, വലത് ത്രികോണങ്ങളിൽ അളവ് കണക്കാക്കേണ്ടതിന്റെ ആവശ്യകത കാരണം സൈനും കോസൈനും ഉയർന്നുവന്നു. ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ കോണുകളുടെ ഡിഗ്രി അളവിന്റെ മൂല്യം മാറ്റിയില്ലെങ്കിൽ, വീക്ഷണാനുപാതം, ഈ വശങ്ങൾ എത്രമാത്രം നീളത്തിൽ മാറിയാലും, എല്ലായ്പ്പോഴും അതേപടി തുടരുന്നു.

അങ്ങനെയാണ് സൈൻ, കോസൈൻ എന്നീ ആശയങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കപ്പെട്ടത്. ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ ഒരു നിശിത കോണിന്റെ സൈൻ എതിർ കാലിന്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ അനുപാതമാണ്, കൂടാതെ കോസൈൻ എന്നത് തൊട്ടടുത്തുള്ള കാലിന്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ അനുപാതമാണ്.

കോസൈനുകളുടെയും സൈനുകളുടെയും സിദ്ധാന്തങ്ങൾ

എന്നാൽ കോസൈനുകളും സൈനുകളും വലത് ത്രികോണങ്ങളിൽ മാത്രമല്ല ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയൂ. ഏതെങ്കിലും ത്രികോണത്തിന്റെ വശം, ചരിഞ്ഞതോ നിശിതമോ ആയ കോണിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ, കോസൈൻ, സൈൻ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിച്ചാൽ മതി.

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം വളരെ ലളിതമാണ്: "ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു വശത്തിന്റെ ചതുരം മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈൻ ഈ വശങ്ങളുടെ ഗുണനത്തിന്റെ ഇരട്ടി കുറയുന്നു."

സൈൻ സിദ്ധാന്തത്തിന് രണ്ട് വ്യാഖ്യാനങ്ങളുണ്ട്: ചെറുതും വിപുലീകരിച്ചതും. ചെറുത് അനുസരിച്ച്: "ഒരു ത്രികോണത്തിൽ, കോണുകൾ എതിർ വശങ്ങൾക്ക് ആനുപാതികമാണ്." ഒരു ത്രികോണത്തെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ സ്വഭാവം കാരണം ഈ സിദ്ധാന്തം പലപ്പോഴും വിപുലീകരിക്കപ്പെടുന്നു: "ഒരു ത്രികോണത്തിൽ, കോണുകൾ എതിർ വശങ്ങൾക്ക് ആനുപാതികമാണ്, അവയുടെ അനുപാതം ചുറ്റപ്പെട്ട വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്."

ഡെറിവേറ്റീവുകൾ

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ അതിന്റെ ആർഗ്യുമെന്റിലെ മാറ്റവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് എത്ര വേഗത്തിൽ മാറുന്നുവെന്ന് കാണിക്കുന്ന ഒരു ഗണിത ഉപകരണമാണ് ഡെറിവേറ്റീവ്. ജ്യാമിതിയിലും നിരവധി സാങ്കേതിക വിഭാഗങ്ങളിലും ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക മൂല്യങ്ങൾ നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്: സൈൻ, കോസൈൻ. സൈനിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കോസൈൻ ആണ്, കൂടാതെ കോസൈനിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് സൈൻ ആണ്, പക്ഷേ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നമുണ്ട്.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അപേക്ഷ

വലത് ത്രികോണങ്ങളും അവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിന് പ്രത്യേകിച്ച് പലപ്പോഴും സൈനുകളും കോസൈനുകളും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

സൈനുകളുടെയും കോസൈനുകളുടെയും സൗകര്യം സാങ്കേതികവിദ്യയിലും പ്രതിഫലിക്കുന്നു. കോസൈൻ, സൈൻ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കോണുകളും വശങ്ങളും വിലയിരുത്താൻ എളുപ്പമായിരുന്നു, സങ്കീർണ്ണമായ രൂപങ്ങളെയും വസ്തുക്കളെയും "ലളിതമായ" ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിച്ചു. എഞ്ചിനീയർമാരും, പലപ്പോഴും വീക്ഷണാനുപാതങ്ങളുടെയും ഡിഗ്രി അളവുകളുടെയും കണക്കുകൂട്ടലുകൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു, പട്ടിക ഇതര കോണുകളുടെ കോസൈനുകളും സൈനുകളും കണക്കാക്കാൻ ധാരാളം സമയവും പരിശ്രമവും ചെലവഴിച്ചു.

തുടർന്ന് ബ്രാഡിസ് ടേബിളുകൾ രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വന്നു, അതിൽ ആയിരക്കണക്കിന് മൂല്യങ്ങൾ സൈനുകൾ, കോസൈനുകൾ, ടാൻജന്റുകൾ, വിവിധ കോണുകളുടെ കോട്ടാൻജെന്റുകൾ എന്നിവ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. സോവിയറ്റ് കാലഘട്ടത്തിൽ, ചില അധ്യാപകർ ബ്രാഡിസ് ടേബിളുകളുടെ പേജുകൾ മനഃപാഠമാക്കാൻ അവരുടെ വാർഡുകളെ നിർബന്ധിച്ചു.

റേഡിയൻ - ആർക്കിന്റെ കോണീയ മൂല്യം, ദൂരത്തിന് തുല്യമായ നീളം അല്ലെങ്കിൽ 57.295779513 ° ഡിഗ്രി.

ബിരുദം (ജ്യാമിതിയിൽ) - ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ 1/360 അല്ലെങ്കിൽ വലത് കോണിന്റെ 1/90.

π = 3.141592653589793238462... (പൈയുടെ ഏകദേശ മൂല്യം).

കോണുകൾക്കുള്ള കോസൈൻ ടേബിൾ: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

ഒരു വലത് കോണുള്ള ത്രികോണം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ചുമതലകൾ പരിഗണിക്കുമ്പോൾ, സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ നിർവചനങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സാങ്കേതികത അവതരിപ്പിക്കാമെന്ന് ഞാൻ വാഗ്ദാനം ചെയ്തു. ഇത് ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, ഏത് കാലാണ് ഹൈപ്പോടെനസിന്റേതെന്ന് (അടുത്തുള്ളതോ എതിർവശത്തോ) നിങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും വേഗത്തിൽ ഓർക്കും. ഇത് അനിശ്ചിതകാലത്തേക്ക് മാറ്റിവയ്ക്കേണ്ടെന്ന് ഞാൻ തീരുമാനിച്ചു, ആവശ്യമായ മെറ്റീരിയൽ ചുവടെയുണ്ട്, ദയവായി ഇത് വായിക്കുക 😉

10-11 ഗ്രേഡുകളിലെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഈ നിർവചനങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കാൻ എങ്ങനെ ബുദ്ധിമുട്ടുണ്ടെന്ന് ഞാൻ ആവർത്തിച്ച് നിരീക്ഷിച്ചിട്ടുണ്ട് എന്നതാണ് വസ്തുത. കാൽ ഹൈപ്പോടെൻസിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നുവെന്ന് അവർ നന്നായി ഓർക്കുന്നു, എന്നാൽ ഏതാണ്- മറക്കുക ഒപ്പം ആശയക്കുഴപ്പത്തിലായി. പരീക്ഷയിൽ നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്ന ഒരു തെറ്റിന്റെ വില, നഷ്ടപ്പെട്ട സ്കോർ ആണ്.

ഞാൻ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലേക്ക് നേരിട്ട് അവതരിപ്പിക്കുന്ന വിവരങ്ങൾക്ക് ഒന്നും ചെയ്യാനില്ല. ഇത് ആലങ്കാരിക ചിന്തയുമായും വാക്കാലുള്ള-ലോജിക്കൽ കണക്ഷന്റെ രീതികളുമായും ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ശരിയാണ്, ഞാൻ തന്നെ, ഒരിക്കൽ എന്നെന്നേക്കുമായി ഓർത്തുനിർവചന ഡാറ്റ. നിങ്ങൾ ഇപ്പോഴും അവ മറക്കുകയാണെങ്കിൽ, അവതരിപ്പിച്ച ടെക്നിക്കുകളുടെ സഹായത്തോടെ അത് എല്ലായ്പ്പോഴും ഓർക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ നിർവചനങ്ങൾ ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ:

കോസൈൻഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ അക്യൂട്ട് ആംഗിൾ, തൊട്ടടുത്തുള്ള കാലിന്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ അനുപാതമാണ്:

സൈനസ്ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ അക്യൂട്ട് ആംഗിൾ എതിർ കാലിന്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ അനുപാതമാണ്:

അതിനാൽ, കോസൈൻ എന്ന വാക്ക് നിങ്ങളിൽ എന്ത് കൂട്ടായ്മകളാണ് ഉണർത്തുന്നത്?

ഒരുപക്ഷേ എല്ലാവർക്കും അവരുടേതായ ഉണ്ട്ലിങ്ക് ഓർക്കുക:

അതിനാൽ, നിങ്ങളുടെ ഓർമ്മയിൽ ഉടനടി ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ഉണ്ടാകും -

«… ADJACENT ലെഗിന്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ അനുപാതം».

കോസൈൻ എന്നതിന്റെ നിർവചനത്തിലെ പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു.

ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ സൈനിന്റെ നിർവചനം നിങ്ങൾക്ക് ഓർമ്മിക്കണമെങ്കിൽ, കോസൈനിന്റെ നിർവചനം ഓർമ്മിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ ഒരു നിശിത കോണിന്റെ സൈൻ എതിർ കാലിന്റെ ഹൈപ്പോടെനൂസിന്റെ അനുപാതമാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ സ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയും. എല്ലാത്തിനുമുപരി, രണ്ട് കാലുകൾ മാത്രമേയുള്ളൂ, തൊട്ടടുത്തുള്ള കാൽ കോസൈൻ "അധിനിവേശം" ചെയ്തിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, സൈനിന് എതിർവശം മാത്രമേ അവശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ.

ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവയുടെ കാര്യമോ? അതേ ആശയക്കുഴപ്പം. ഇത് കാലുകളുടെ അനുപാതമാണെന്ന് വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് അറിയാം, എന്നാൽ ഏതിനെയാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നതെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക എന്നതാണ് പ്രശ്നം - ഒന്നുകിൽ തൊട്ടടുത്തുള്ളതിന് എതിർവശത്തോ അല്ലെങ്കിൽ തിരിച്ചും.

നിർവചനങ്ങൾ:

ടാൻജെന്റ്ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ ഒരു നിശിത കോണാണ് എതിർ കാലിന്റെയും തൊട്ടടുത്തുള്ളതിന്റെയും അനുപാതം:

കോട്ടാൻജെന്റ്ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ നിശിതകോണ് തൊട്ടടുത്തുള്ള കാലിന്റെ വിപരീത അനുപാതമാണ്:

എങ്ങനെ ഓർക്കും? രണ്ട് വഴികളുണ്ട്. ഒന്ന് വാക്കാലുള്ള-ലോജിക്കൽ കണക്ഷനും ഉപയോഗിക്കുന്നു, മറ്റൊന്ന് - ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ഒന്ന്.

ഗണിതശാസ്ത്ര രീതി

അത്തരമൊരു നിർവ്വചനം ഉണ്ട് - ഒരു നിശിതകോണിന്റെ ടാൻജെന്റ് എന്നത് ഒരു കോണിന്റെ സൈനിന്റെ കോസൈനുമായുള്ള അനുപാതമാണ്:

* സൂത്രവാക്യം ഓർമ്മിക്കുമ്പോൾ, വലത് ത്രികോണത്തിലെ ഒരു നിശിത കോണിന്റെ ടാൻജെന്റ് എതിർ കാലിന്റെ തൊട്ടടുത്തുള്ള അനുപാതമാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും നിർണ്ണയിക്കാനാകും.

അതുപോലെ.ഒരു അക്യൂട്ട് കോണിന്റെ കോടാൻജെന്റ് എന്നത് ഒരു കോണിന്റെ കോസൈനും അതിന്റെ സൈനുമായുള്ള അനുപാതമാണ്:

അങ്ങനെ! ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഇത് നിർണ്ണയിക്കാനാകും:

- ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ ഒരു നിശിത കോണിന്റെ സ്പർശനം എതിർ കാലിന്റെ തൊട്ടടുത്തുള്ള അനുപാതമാണ്

- ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ നിശിത കോണിന്റെ കോട്ടാൻജെന്റ്, തൊട്ടടുത്തുള്ള കാലിന്റെ എതിർവശത്തുള്ള അനുപാതമാണ്.

വാക്കാലുള്ള-ലോജിക്കൽ രീതി

ടാൻജെന്റിനെ കുറിച്ച്. ലിങ്ക് ഓർക്കുക:

അതായത്, ഈ ലോജിക്കൽ കണക്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ടാൻജെന്റിന്റെ നിർവചനം ഓർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ടെങ്കിൽ, അത് എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ ഓർമ്മിക്കാം.

"... എതിർ കാലിന്റെ തൊട്ടടുത്തുള്ള അനുപാതം"

കോട്ടാൻജെന്റിലേക്ക് വരുകയാണെങ്കിൽ, ടാൻജെന്റിന്റെ നിർവചനം ഓർമ്മിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് കോട്ടാൻജെന്റിന്റെ നിർവചനം എളുപ്പത്തിൽ പറയാൻ കഴിയും -

"... തൊട്ടടുത്തുള്ള കാലിന്റെ വിപരീത അനുപാതം"

സൈറ്റിൽ ടാൻജെന്റും കോട്ടാൻജെന്റും ഓർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള രസകരമായ ഒരു സാങ്കേതികതയുണ്ട് " ഗണിതശാസ്ത്ര ടാൻഡം " , നോക്കൂ.

സാർവത്രിക രീതി

നിങ്ങൾക്ക് പൊടിച്ചെടുക്കാം.എന്നാൽ പ്രാക്ടീസ് കാണിക്കുന്നതുപോലെ, വാക്കാലുള്ള-ലോജിക്കൽ കണക്ഷനുകൾക്ക് നന്ദി, ഒരു വ്യക്തി വളരെക്കാലം വിവരങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു, മാത്രമല്ല ഗണിതശാസ്ത്രം മാത്രമല്ല.

മെറ്റീരിയൽ നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗപ്രദമായിരുന്നുവെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

വിശ്വസ്തതയോടെ, അലക്സാണ്ടർ ക്രുറ്റിറ്റ്സ്കിഖ്

P.S: സോഷ്യൽ നെറ്റ്‌വർക്കുകളിലെ സൈറ്റിനെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾ പറഞ്ഞാൽ ഞാൻ നന്ദിയുള്ളവനായിരിക്കും.

കോസൈൻ അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനമാണ്, ഇത് ത്രികോണമിതിയുടെ പ്രധാന പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്. ഒരു വലത് കോണുള്ള ത്രികോണത്തിലെ ഒരു കോണിന്റെ കോസൈൻ, ത്രികോണത്തിന്റെ തൊട്ടടുത്തുള്ള കാലും ത്രികോണത്തിന്റെ ഹൈപ്പോടെൻസും തമ്മിലുള്ള അനുപാതമാണ്. മിക്കപ്പോഴും, കോസൈന്റെ നിർവചനം കൃത്യമായി ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഒരു ത്രികോണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. എന്നാൽ ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിൽ കോസൈൻ കണക്കാക്കേണ്ട ആംഗിൾ ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഈ ത്രികോണത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നില്ല എന്നതും സംഭവിക്കുന്നു. അപ്പോൾ എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്? ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ കോണിന്റെ കോസൈൻ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?

വലത് കോണുള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിൽ ഒരു കോണിന്റെ കോസൈൻ കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, എല്ലാം വളരെ ലളിതമാണ്. ഈ പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന കോസൈനിന്റെ നിർവചനം നിങ്ങൾ ഓർക്കേണ്ടതുണ്ട്. തൊട്ടടുത്തുള്ള കാലും ത്രികോണത്തിന്റെ ഹൈപ്പോടെൻസും തമ്മിലുള്ള അതേ അനുപാതം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. തീർച്ചയായും, ഇവിടെ ഒരു കോണിന്റെ കോസൈൻ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. ഫോർമുല ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: - cosα = a/c, ഇവിടെ "a" എന്നത് കാലിന്റെ നീളവും, വശം "c" യഥാക്രമം, ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ നീളവുമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ നിശിതകോണിന്റെ കോസൈൻ ഈ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം.

ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ത്രികോണത്തിലെ ഒരു കോണിന്റെ കോസൈൻ എന്തിന് തുല്യമാണ് എന്നതിൽ നിങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ, കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു, അത് അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതാണ്. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു വശത്തിന്റെ ചതുരം അതേ ത്രികോണത്തിന്റെ മറ്റ് വശങ്ങളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമായ ഒരു പ്രിയോറി ആണെന്ന് കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം പറയുന്നു, എന്നാൽ ഈ വശങ്ങളുടെ ഇരട്ടി ഗുണം കൂടാതെ ഇവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈൻ അവരെ.

1. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ത്രികോണത്തിൽ ഒരു നിശിത കോണിന്റെ കോസൈൻ കണ്ടെത്തണമെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്: cosα \u003d (a 2 + b 2 - c 2) / (2ab).
2. ഒരു ത്രികോണത്തിൽ ഒരു മങ്ങിയ കോണിന്റെ കോസൈൻ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്: cosα \u003d (c 2 - a 2 - b 2) / (2ab). ഫോർമുലയിലെ പദവികൾ - a, b - എന്നത് ആവശ്യമുള്ള കോണിനോട് ചേർന്നുള്ള വശങ്ങളുടെ നീളമാണ്, c എന്നത് ആവശ്യമുള്ള കോണിന് എതിർവശത്തുള്ള വശത്തിന്റെ നീളമാണ്.

കൂടാതെ, സൈൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു കോണിന്റെ കോസൈൻ കണക്കാക്കാം. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ എല്ലാ വശങ്ങളും എതിർ കോണുകളുടെ സൈനുകൾക്ക് ആനുപാതികമാണെന്ന് ഇത് പറയുന്നു. സൈൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ശേഷിക്കുന്ന ഘടകങ്ങൾ കണക്കാക്കാം, രണ്ട് വശങ്ങളും ഒരു വശത്തിന് എതിർവശത്തുള്ള ഒരു കോണും അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് കോണുകളും ഒരു വശവും മാത്രമേ അറിയൂ. ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക. പ്രശ്ന സാഹചര്യങ്ങൾ: a=1; b=2; c=3. "A" എന്ന വശത്തിന് എതിർവശത്തുള്ള കോൺ, ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു - α, തുടർന്ന്, ഫോർമുലകൾ അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്: cosα \u003d (b² + c²-a²) / (2 * b * c) \u003d (2² + 3² -1²) / (2 * 2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. ഉത്തരം: 1.

കോണിന്റെ കോസൈൻ കണക്കാക്കേണ്ടത് ഒരു ത്രികോണത്തിലല്ല, മറിച്ച് മറ്റേതെങ്കിലും ഏകപക്ഷീയമായ ജ്യാമിതീയ രൂപത്തിലാണെങ്കിൽ, എല്ലാം കുറച്ചുകൂടി സങ്കീർണ്ണമാകും. കോണിന്റെ മൂല്യം ആദ്യം റേഡിയൻ അല്ലെങ്കിൽ ഡിഗ്രിയിൽ നിർണ്ണയിക്കണം, അതിനുശേഷം മാത്രമേ ഈ മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് കോസൈൻ കണക്കാക്കൂ. ബ്രാഡിസ് ടേബിളുകൾ, എഞ്ചിനീയറിംഗ് കാൽക്കുലേറ്ററുകൾ അല്ലെങ്കിൽ പ്രത്യേക ഗണിത പ്രയോഗങ്ങൾ എന്നിവ ഉപയോഗിച്ചാണ് കോസൈൻ സംഖ്യാ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നത്.

പ്രത്യേക ഗണിത പ്രയോഗങ്ങൾക്ക് തന്നിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തിലെ കോണുകളുടെ കോസൈനുകളുടെ സ്വയമേവ കണക്കുകൂട്ടൽ പോലുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം. അത്തരം ആപ്ലിക്കേഷനുകളുടെ ഭംഗി അവർ ശരിയായ ഉത്തരം നൽകുന്നു എന്നതാണ്, മാത്രമല്ല ചിലപ്പോൾ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഉപയോക്താവ് സമയം ചെലവഴിക്കുന്നില്ല. മറുവശത്ത്, പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രത്യേക ആപ്ലിക്കേഷനുകളുടെ നിരന്തരമായ ഉപയോഗത്തോടെ, ത്രികോണങ്ങളിലെ കോണുകളുടെ കോസൈനുകളും മറ്റ് അനിയന്ത്രിതമായ കണക്കുകളും കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള എല്ലാ കഴിവുകളും നഷ്ടപ്പെടും.