ഒരു വെക്‌ടറിന്റെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റ്. കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകുന്ന വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം

ഇംഗ്ലീഷ്:വിക്കിപീഡിയ സൈറ്റ് കൂടുതൽ സുരക്ഷിതമാക്കുന്നു. ഭാവിയിൽ വിക്കിപീഡിയയിലേക്ക് കണക്റ്റുചെയ്യാൻ കഴിയാത്ത ഒരു പഴയ വെബ് ബ്രൗസറാണ് നിങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത്. നിങ്ങളുടെ ഉപകരണം അപ്‌ഡേറ്റ് ചെയ്യുക അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങളുടെ ഐടി അഡ്‌മിനിസ്‌ട്രേറ്ററെ ബന്ധപ്പെടുക.

中文: 以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。

സ്പാനിഷ്:വിക്കിപീഡിയ എലാസിറ്റിയോ മെസ് സെഗുറോ ആണ്. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. അഡ്‌മിനിസ്‌ട്രേറ്ററെ വിവരം അറിയിക്കുക. Más abajo hay una actualización más larga y más tecnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

ഫ്രാൻസ്:വിക്കിപീഡിയ va bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se കണക്ടർ à Wikipedia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. ഡെസ് ഇൻഫർമേഷൻസ് സപ്ലിമെന്റെയേഴ്സ് പ്ലസ് ടെക്നിക്കുകൾ എറ്റ് എൻ ആംഗ്ലയിസ് സോണ്ട് ഡിസ്പോണിബിൾസ് സി-ഡെസൗസ്.

日本語: IT情報は以下に英語

ജർമ്മൻ: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailsliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

ഇറ്റാലിയാനോ:വിക്കിപീഡിയ സ്റ്റാ റെൻഡെൻഡോ ഇൽ സിറ്റോ പിയോ സിക്യൂറോ. ഭാവിയിൽ ഒരു വിക്കിപീഡിയയിലെ ഗ്രേഡോ ഡി കൺനെറ്റർസിയിൽ വെബ് ബ്രൗസറിൽ തുടരുക. ഓരോരുത്തർക്കും, aggiorna il tuo dispositivo അല്ലെങ്കിൽ contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

മഗ്യാർ: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. എ ബോങ്‌സോ, അമിത് ഹാസ്‌നാൽസ്, നെം ലെസ് കെപെസ് കാപ്‌സോലോഡ്‌നി എ ജോവോബെൻ. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. അലബ്ബ് ഓൾവഷതോഡ് എ റെസ്ലെറ്റസെബ് മഗ്യാരാസത്തോട് (ആങ്കോലുൽ).

സ്വെൻസ്‌ക:വിക്കിപീഡിയ ഗൊർ സിദാൻ മെർ സെക്കർ. Du använder en äldre webläsare SOM Inte kommer att Kunna Läsa Wikipedia i framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en Längre och mer teknisk förklaring på engelska Längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

ഞങ്ങളുടെ സൈറ്റുകളിലേക്ക് കണക്റ്റുചെയ്യുന്നതിന് നിങ്ങളുടെ ബ്രൗസർ സോഫ്‌റ്റ്‌വെയർ ആശ്രയിക്കുന്ന, സുരക്ഷിതമല്ലാത്ത TLS പ്രോട്ടോക്കോൾ പതിപ്പുകൾക്കുള്ള പിന്തുണ ഞങ്ങൾ നീക്കം ചെയ്യുന്നു, പ്രത്യേകിച്ചും TLSv1.0, TLSv1.1. ഇത് സാധാരണയായി കാലഹരണപ്പെട്ട ബ്രൗസറുകൾ അല്ലെങ്കിൽ പഴയ Android സ്മാർട്ട്ഫോണുകൾ മൂലമാണ് സംഭവിക്കുന്നത്. അല്ലെങ്കിൽ അത് കോർപ്പറേറ്റ് അല്ലെങ്കിൽ വ്യക്തിഗത "വെബ് സെക്യൂരിറ്റി" സോഫ്റ്റ്‌വെയറിൽ നിന്നുള്ള ഇടപെടലായിരിക്കാം, അത് യഥാർത്ഥത്തിൽ കണക്ഷൻ സുരക്ഷയെ തരംതാഴ്ത്തുന്നു.

ഞങ്ങളുടെ സൈറ്റുകൾ ആക്‌സസ് ചെയ്യുന്നതിന് നിങ്ങൾ വെബ് ബ്രൗസർ അപ്‌ഗ്രേഡ് ചെയ്യണം അല്ലെങ്കിൽ ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കണം. ഈ സന്ദേശം 2020 ജനുവരി 1 വരെ നിലനിൽക്കും. ആ തീയതിക്ക് ശേഷം, നിങ്ങളുടെ ബ്രൗസറിന് ഞങ്ങളുടെ സെർവറുകളിലേക്ക് ഒരു കണക്ഷൻ സ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയില്ല.

നിർവ്വചനം. വെക്റ്റർ എ (മൾട്ടിപ്ലിക്കൻഡ്), നോൺ-കോളീനിയർ വെക്റ്റർ (മൾട്ടിപ്ലിക്കൻഡ്) എന്നിവയുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം മൂന്നാമത്തെ വെക്റ്റർ സി (ഉൽപ്പന്നം) ആണ്, അത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു:

1) അതിന്റെ മൊഡ്യൂൾ ചിത്രത്തിലെ സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് സംഖ്യാപരമായി തുല്യമാണ്. 155), വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, അതായത്, ഇത് സൂചിപ്പിച്ച സമാന്തരരേഖയുടെ തലത്തിന് ലംബമായ ദിശയ്ക്ക് തുല്യമാണ്;

3) ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വെക്റ്റർ c യുടെ ദിശ തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെടുന്നു (സാധ്യമായ രണ്ട് കാര്യങ്ങളിൽ നിന്ന്) അങ്ങനെ വെക്റ്ററുകൾ c ഒരു വലംകൈയ്യൻ സിസ്റ്റം ഉണ്ടാക്കുന്നു (§ 110).

പദവി: അല്ലെങ്കിൽ

നിർവചനത്തിലേക്കുള്ള കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ. വെക്‌ടറുകൾ കോളിനിയർ ആണെങ്കിൽ, ചിത്രം (സോപാധികമായി) ഒരു സമാന്തരരേഖയായി കണക്കാക്കുമ്പോൾ, പൂജ്യം ഏരിയ നൽകുന്നത് സ്വാഭാവികമാണ്. അതുകൊണ്ടാണ് വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നംകോളിനിയർ വെക്റ്ററുകൾ നൾ വെക്റ്ററിന് തുല്യമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

നൾ വെക്‌ടറിന് ഏത് ദിശയും നൽകാമെന്നതിനാൽ, ഈ കരാർ നിർവചനത്തിന്റെ 2, 3 ഖണ്ഡികകൾക്ക് വിരുദ്ധമല്ല.

പരാമർശം 1. "വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം" എന്ന പദത്തിൽ, പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഫലം ഒരു വെക്റ്റർ ആണെന്ന് ആദ്യ വാക്ക് സൂചിപ്പിക്കുന്നു (ഒരു സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് വിരുദ്ധമായി; cf. § 104, പരാമർശം 1).

ഉദാഹരണം 1. ശരിയായ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രധാന വെക്റ്ററുകൾ എവിടെയാണെന്ന് വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക (ചിത്രം 156).

1. പ്രധാന വെക്റ്ററുകളുടെ നീളം ഒരു സ്കെയിൽ യൂണിറ്റിന് തുല്യമായതിനാൽ, സമാന്തരചലനത്തിന്റെ (ചതുരം) വിസ്തീർണ്ണം സംഖ്യാപരമായി ഒന്നിന് തുല്യമാണ്. ഇതിനർത്ഥം വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ മോഡുലസ് ഒന്നിന് തുല്യമാണ് എന്നാണ്.

2. വിമാനത്തിന്റെ ലംബമായ ഒരു അച്ചുതണ്ടായതിനാൽ, ആവശ്യമുള്ള വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം വെക്റ്റർ കെയിലേക്കുള്ള വെക്റ്റർ കോളിനിയറാണ്; രണ്ടിനും മോഡുലസ് 1 ഉള്ളതിനാൽ, ആവശ്യമുള്ള വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം k അല്ലെങ്കിൽ -k ന് തുല്യമാണ്.

3. ഈ രണ്ട് സാധ്യമായ വെക്‌ടറുകളിൽ, ആദ്യത്തേത് തിരഞ്ഞെടുക്കണം, കാരണം വെക്‌ടറുകൾ k ഒരു വലംകൈയ്യൻ സംവിധാനമായി മാറുന്നു (വെക്‌ടറുകൾ ഇടത് കൈയ്‌ക്കുള്ളതും).

ഉദാഹരണം 2. ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. ഉദാഹരണം 1 ലെ പോലെ, വെക്റ്റർ k അല്ലെങ്കിൽ -k എന്നതിന് തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു. എന്നാൽ ഇപ്പോൾ നമുക്ക് -k തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്, കാരണം വെക്‌ടറുകൾ ഒരു വലംകൈയ്യൻ സിസ്റ്റമായി മാറുന്നു (ഒപ്പം വെക്‌ടറുകൾ ഇടംകൈയ്യൻ ആയി മാറുന്നു). അതിനാൽ,

ഉദാഹരണം 3. വെക്‌ടറുകൾക്ക് യഥാക്രമം 80, 50 സെന്റീമീറ്റർ നീളമുണ്ട്, കൂടാതെ 30° കോണും ഉണ്ടാക്കുന്നു. മീറ്ററിനെ നീളത്തിന്റെ യൂണിറ്റായി എടുത്ത്, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക a

പരിഹാരം. വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു സമാന്തരരേഖയുടെ വിസ്തീർണ്ണം തുല്യമാണ് ആവശ്യമുള്ള വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളം

ഉദാഹരണം 4. ഒരേ വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക, നീളത്തിന്റെ യൂണിറ്റായി സെന്റീമീറ്ററുകൾ എടുക്കുക.

പരിഹാരം. വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം തുല്യമായതിനാൽ, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളം 2000 സെന്റിമീറ്ററിന് തുല്യമാണ്, അതായത്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ 3, 4 എന്നിവയുടെ താരതമ്യത്തിൽ നിന്ന് വെക്റ്ററിന്റെ ദൈർഘ്യം ഘടകങ്ങളുടെ ദൈർഘ്യത്തെ മാത്രമല്ല, ദൈർഘ്യ യൂണിറ്റിന്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പിനെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നുവെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഭൗതിക അർത്ഥം.വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന നിരവധി ഭൗതിക അളവുകളിൽ, ശക്തിയുടെ നിമിഷം മാത്രമേ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കൂ.

A എന്നത് ബലപ്രയോഗത്തിന്റെ പോയിന്റായിരിക്കട്ടെ, പോയിന്റ് O യുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ബലത്തിന്റെ നിമിഷത്തെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ മോഡുലസ് സമാന്തരരേഖയുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് സംഖ്യാപരമായി തുല്യമായതിനാൽ (ചിത്രം 157), തുടർന്ന് നിമിഷത്തിന്റെ മോഡുലസ് അടിത്തറയുടെയും ഉയരത്തിന്റെയും ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്, O പോയിന്റിൽ നിന്ന് ബലം പ്രവർത്തിക്കുന്ന നേർരേഖയിലേക്കുള്ള ദൂരം കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ബലം.

മെക്കാനിക്സിൽ, ഒരു കർക്കശമായ ശരീരം സന്തുലിതാവസ്ഥയിലായിരിക്കാൻ, ശരീരത്തിൽ പ്രയോഗിക്കുന്ന ശക്തികളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന വെക്റ്ററുകളുടെ ആകെത്തുക പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കണം, മാത്രമല്ല ശക്തികളുടെ നിമിഷങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയും ആവശ്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. എല്ലാ ശക്തികളും ഒരു തലത്തിന് സമാന്തരമാണെങ്കിൽ, നിമിഷങ്ങളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന വെക്റ്ററുകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നത് അവയുടെ മാഗ്നിറ്റ്യൂഡുകളുടെ സങ്കലനവും കുറയ്ക്കലും വഴി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം. എന്നാൽ ശക്തികളുടെ ഏകപക്ഷീയമായ ദിശകളാൽ, അത്തരമൊരു മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ അസാധ്യമാണ്. ഇതിന് അനുസൃതമായി, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തെ കൃത്യമായി ഒരു വെക്റ്റർ ആയി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു, അല്ലാതെ ഒരു സംഖ്യയായിട്ടല്ല.

ദി ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർവെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റ് കണക്കാക്കുന്നു. വിശദമായ പരിഹാരം നൽകിയിട്ടുണ്ട്. വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റ് കണക്കാക്കാൻ, സെല്ലുകളിൽ വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകി "കണക്കുകൂട്ടുക" ബട്ടണിൽ ക്ലിക്കുചെയ്യുക.

×

മുന്നറിയിപ്പ്

എല്ലാ സെല്ലുകളും മായ്‌ക്കണോ?

ക്ലോസ് ക്ലിയർ

ഡാറ്റ എൻട്രി നിർദ്ദേശങ്ങൾ.സംഖ്യകൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകളായി നൽകിയിട്ടുണ്ട് (ഉദാഹരണങ്ങൾ: 487, 5, -7623, മുതലായവ), ദശാംശങ്ങൾ (ഉദാ. 67., 102.54, മുതലായവ) അല്ലെങ്കിൽ ഭിന്നസംഖ്യകൾ. ഭിന്നസംഖ്യ a/b എന്ന രൂപത്തിൽ നൽകണം, ഇവിടെ a, b (b>0) എന്നിവ പൂർണ്ണസംഖ്യകളോ ദശാംശങ്ങളോ ആണ്. ഉദാഹരണങ്ങൾ 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, മുതലായവ.

വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം

വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർവചനത്തിലേക്ക് പോകുന്നതിനുമുമ്പ്, നമുക്ക് ആശയങ്ങൾ പരിഗണിക്കാം വെക്റ്റർ ട്രിപ്പിൾ, ഇടത് വെക്റ്റർ ട്രിപ്പിൾ, വലത് വെക്റ്റർ ട്രിപ്പിൾ എന്നിവ ഓർഡർ ചെയ്തു.

നിർവ്വചനം 1. മൂന്ന് വെക്റ്ററുകൾ വിളിക്കുന്നു ട്രിപ്പിൾ ഓർഡർ ചെയ്തു(അല്ലെങ്കിൽ ട്രിപ്പിൾ), ഈ വെക്റ്ററുകളിൽ ഏതാണ് ആദ്യത്തേത്, രണ്ടാമത്തേത്, മൂന്നാമത്തേത് എന്ന് സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ.

രേഖപ്പെടുത്തുക cba- അർത്ഥം - ആദ്യത്തേത് ഒരു വെക്റ്റർ ആണ് സി, രണ്ടാമത്തേത് വെക്റ്റർ ആണ് ബിമൂന്നാമത്തേത് വെക്റ്റർ ആണ് എ.

നിർവ്വചനം 2. നോൺ-കോപ്ലനാർ വെക്റ്ററുകളുടെ ട്രിപ്പിൾ abcവലത് (ഇടത്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഒരു പൊതു ഉത്ഭവത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുമ്പോൾ, ഈ വെക്‌ടറുകൾ വലുതും വളയാത്തതുമായ സൂചികയുടെ അതേ രീതിയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു. നടുവിരലുകൾവലത് (ഇടത്) കൈ.

നിർവചനം 2 വ്യത്യസ്തമായി രൂപപ്പെടുത്താം.

നിർവ്വചനം 2". നോൺ-കോപ്ലനാർ വെക്റ്ററുകളുടെ ട്രിപ്പിൾ abcവെക്‌ടറിനെ പൊതുവായ ഉത്ഭവത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയാൽ വലത് (ഇടത്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു സിവെക്റ്ററുകൾ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന വിമാനത്തിന്റെ മറുവശത്ത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു എഒപ്പം ബി, എവിടെ നിന്നാണ് ഏറ്റവും ചെറിയ തിരിവ് എലേക്ക് ബിഎതിർ ഘടികാരദിശയിൽ (ഘടികാരദിശയിൽ) നടത്തി.

വെക്റ്ററുകളുടെ ട്രോയിക്ക abc, ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 1 ശരിയാണ്, മൂന്ന് abcചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 2 ഇടത്തേതാണ്.

രണ്ട് ട്രിപ്പിൾ വെക്‌ടറുകൾ വലത്തോട്ടോ ഇടത്തോട്ടോ ആണെങ്കിൽ, അവ ഒരേ ദിശയിലുള്ളതാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. അല്ലാത്തപക്ഷം അവർ വിപരീത ദിശാബോധമുള്ളവരാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.

നിർവ്വചനം 3. മൂന്ന് അടിസ്ഥാന വെക്‌ടറുകൾ വലത് (ഇടത്) ട്രിപ്പിൾ രൂപപ്പെടുത്തുകയാണെങ്കിൽ ഒരു കാർട്ടീഷ്യൻ അല്ലെങ്കിൽ അഫൈൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തെ വലത് (ഇടത്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഇനിപ്പറയുന്നവയിൽ ഞങ്ങൾ വലംകൈയ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റങ്ങൾ മാത്രം പരിഗണിക്കും.

നിർവ്വചനം 4. വെക്റ്റർ ആർട്ട് വർക്ക്വെക്റ്റർ എവെക്റ്ററിലേക്ക് ബിവെക്റ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു കൂടെ, ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു c=[എബി] (അഥവാ c=[a,b], അഥവാ c=a×b) കൂടാതെ ഇനിപ്പറയുന്ന മൂന്ന് ആവശ്യകതകൾ നിറവേറ്റുന്നു:

• വെക്റ്റർ നീളം കൂടെവെക്റ്റർ ദൈർഘ്യത്തിന്റെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ് എഒപ്പം ബികോണിന്റെ സൈനിലൂടെ φ അവര്ക്കിടയില്:

|സി|=|[എബി]|=|എ||ബി|sinφ;

(1)

• വെക്റ്റർ കൂടെഓരോ വെക്റ്ററിനും ഓർത്തോഗണൽ എഒപ്പം ബി;
• വെക്റ്റർ സിസംവിധാനം അങ്ങനെ മൂന്നും abcശരിയാണ്.

വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളുണ്ട്:

• [എബി]=−[ബാ] (ആൻറി പെർമ്യൂട്ടബിലിറ്റിഘടകങ്ങൾ);
• [(λa)ബി]=λ [എബി] (സംയോജനംസംഖ്യാ ഘടകവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്);
• [(a+b)സി]=[എസി]+[ബിസി] (വിതരണക്ഷമതവെക്റ്ററുകളുടെ ആകെത്തുകയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്);
• [aaഏതൊരു വെക്‌ടറിനും ]=0 എ.

വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ ഗുണങ്ങൾ

സിദ്ധാന്തം 1. രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ കോളിനിയർ ആകുന്നതിന്, അവയുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

തെളിവ്. ആവശ്യം. വെക്റ്ററുകൾ അനുവദിക്കുക എഒപ്പം ബികോളിനിയർ. അപ്പോൾ അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോൺ 0 അല്ലെങ്കിൽ 180° ആണ് sinφ=sin180=പാപം 0=0. അതിനാൽ, എക്സ്പ്രഷൻ (1) കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, വെക്റ്ററിന്റെ ദൈർഘ്യം സിപൂജ്യത്തിന് തുല്യം. പിന്നെ സിപൂജ്യം വെക്റ്റർ.

പര്യാപ്തത. വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തെ അനുവദിക്കുക എഒപ്പം ബിവ്യക്തമായും പൂജ്യം: [ എബി]=0. വെക്റ്ററുകൾ എന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം എഒപ്പം ബികോളിനിയർ. കുറഞ്ഞത് ഒരു വെക്റ്ററെങ്കിലും എഒപ്പം ബിപൂജ്യം, അപ്പോൾ ഈ വെക്‌ടറുകൾ കോളിനിയറാണ് (പൂജ്യം വെക്‌ടറിന് അനിശ്ചിത ദിശയുള്ളതിനാൽ ഏത് വെക്‌ടറിനും കോളിനിയറായി കണക്കാക്കാം).

രണ്ട് വെക്റ്ററുകളും ആണെങ്കിൽ എഒപ്പം ബിപൂജ്യമല്ല, പിന്നെ | എ|>0, |ബി|>0. തുടർന്ന് [ എബി]=0 കൂടാതെ (1) മുതൽ അത് പിന്തുടരുന്നു sinφ=0. അതിനാൽ വെക്റ്ററുകൾ എഒപ്പം ബികോളിനിയർ.

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

സിദ്ധാന്തം 2. വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം (മോഡുലസ്) [ എബി] തുല്യ വിസ്തീർണ്ണം എസ്വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച സമാന്തരരേഖ ഒരു പൊതു ഉത്ഭവത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു എഒപ്പം ബി.

തെളിവ്. നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഈ സമാന്തരചുവടിന്റെ അടുത്തുള്ള വശങ്ങളുടെയും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ സൈനിന്റെയും ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ:

അപ്പോൾ ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് ഫോം ഉണ്ട്:

ആദ്യ വരിയിലെ ഘടകങ്ങളിൽ ഡിറ്റർമിനന്റ് വികസിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ, വെക്റ്ററിന്റെ വിഘടനം നമുക്ക് ലഭിക്കും. a×bഅടിസ്ഥാനത്തിൽ ഐ, ജെ, കെ, ഇത് ഫോർമുലയ്ക്ക് തുല്യമാണ് (3).

സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ തെളിവ് 3. അടിസ്ഥാന വെക്റ്ററുകളുടെ സാധ്യമായ എല്ലാ ജോഡികളും നമുക്ക് സൃഷ്ടിക്കാം ഐ, ജെ, കെഅവരുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കുക. അടിസ്ഥാന വെക്‌ടറുകൾ പരസ്പരം ഓർത്തോഗണൽ ആണെന്നും വലംകൈയൻ ട്രിപ്പിൾ രൂപപ്പെടുകയും യൂണിറ്റ് നീളം ഉണ്ടെന്നും കണക്കിലെടുക്കണം (മറ്റൊരു രീതിയിൽ പറഞ്ഞാൽ, നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം ഐ={1, 0, 0}, ജെ={0, 1, 0}, കെ=(0, 0, 1)). അപ്പോൾ നമുക്ക് ഉണ്ട്:

അവസാന സമത്വത്തിൽ നിന്നും ബന്ധങ്ങളിൽ നിന്നും (4), നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

നമുക്ക് ഒരു 3x3 മാട്രിക്സ് ഉണ്ടാക്കാം, അതിന്റെ ആദ്യ വരി അടിസ്ഥാന വെക്റ്ററുകളാണ് ഐ, ജെ, കെ,ശേഷിക്കുന്ന വരികൾ വെക്റ്റർ മൂലകങ്ങളാൽ നിറഞ്ഞിരിക്കുന്നു എഒപ്പം ബി.

ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം എന്ന ആശയം നൽകുന്നതിന് മുമ്പ്, നമുക്ക് ത്രിമാന സ്ഥലത്ത് ഒരു →, b →, c → എന്ന ക്രമീകരിച്ച ട്രിപ്പിൾ വെക്റ്ററുകളുടെ ഓറിയന്റേഷന്റെ ചോദ്യത്തിലേക്ക് തിരിയാം.

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, വെക്റ്ററുകൾ a → , b → , c → ഒരു പോയിന്റിൽ നിന്ന് മാറ്റിവെക്കാം. ട്രിപ്പിൾ a → , b → , c → എന്നിവയുടെ ഓറിയന്റേഷൻ വെക്‌ടറിന്റെ ദിശയെ ആശ്രയിച്ച് വലത്തോട്ടോ ഇടത്തോട്ടോ ആകാം. ട്രിപ്പിൾ a → , b → , c → വെക്‌ടറിന്റെ അവസാനം മുതൽ വെക്‌ടർ a → മുതൽ b → വരെയുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ തിരിയുന്ന ദിശയിൽ നിന്ന് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടും.

ഏറ്റവും ചെറിയ തിരിവ് എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ നടത്തുകയാണെങ്കിൽ, വെക്റ്ററുകളുടെ ട്രിപ്പിൾ a → , b → , c → എന്ന് വിളിക്കുന്നു ശരിയാണ്ഘടികാരദിശയിലാണെങ്കിൽ - ഇടത്തെ.

അടുത്തതായി, a →, b → എന്നീ രണ്ട് നോൺ-കോളിനിയർ വെക്‌ടറുകൾ എടുക്കുക. അപ്പോൾ നമുക്ക് എ ബി → = എ →, എ സി → = ബി → എന്നീ വെക്‌ടറുകൾ എ പോയിന്റിൽ നിന്ന് പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം. നമുക്ക് ഒരു വെക്റ്റർ നിർമ്മിക്കാം A D → = c →, അത് A B →, A C → എന്നിവയ്ക്ക് ഒരേസമയം ലംബമാണ്. അങ്ങനെ, വെക്റ്റർ തന്നെ A D → = c → നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് രണ്ട് കാര്യങ്ങൾ ചെയ്യാൻ കഴിയും, ഒന്നുകിൽ ഒരു ദിശയോ വിപരീതമോ നൽകാം (ചിത്രം കാണുക).

വെക്‌ടറിന്റെ ദിശയെ ആശ്രയിച്ച്, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയതുപോലെ, വെക്‌ടറുകളുടെ ഒരു ഓർഡർ ട്രിപ്പിൾ a → , b → , c → വലത്തോട്ടോ ഇടത്തോട്ടോ ആകാം.

മുകളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർവചനം പരിചയപ്പെടുത്താം. ഈ നിർവചനംത്രിമാന സ്ഥലത്ത് ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾക്കായി നൽകിയിരിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 1

a →, b → എന്നീ രണ്ട് വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം ത്രിമാന സ്ഥലത്തിന്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന അത്തരമൊരു വെക്റ്ററിനെ ഞങ്ങൾ വിളിക്കും:

• a →, b → വെക്‌ടറുകൾ കോളിനിയർ ആണെങ്കിൽ, അത് പൂജ്യമായിരിക്കും;
• ഇത് വെക്റ്റർ a → , വെക്റ്റർ b → എന്നിവയ്ക്ക് ലംബമായിരിക്കും, അതായത്. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• അതിന്റെ നീളം സൂത്രവാക്യം നിർണ്ണയിച്ചിരിക്കുന്നു: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• വെക്‌ടറുകളുടെ ട്രിപ്പിൾ a → , b → , c → എന്നിവയ്‌ക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ അതേ ഓറിയന്റേഷൻ ഉണ്ട്.

വെക്റ്റർ a →, b → എന്നിവയുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷൻ ഉണ്ട്: a → × b →.

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ

ഏതൊരു വെക്റ്ററിനും കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ചില കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉള്ളതിനാൽ, നമുക്ക് ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ നിർവചനം അവതരിപ്പിക്കാൻ കഴിയും, ഇത് വെക്റ്ററുകളുടെ നൽകിയിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കും.

നിർവ്വചനം 2

ത്രിമാന സ്ഥലത്തിന്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ a → = (a x ; a y ; a z), b → = (b x ; b y ; b z) എന്നീ രണ്ട് വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം വെക്‌ടറിനെ വിളിക്കുന്നു c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , എവിടെയാണ് i → co →

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തെ ഒരു മൂന്നാം-ഓർഡർ സ്ക്വയർ മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം, അവിടെ ആദ്യ വരിയിൽ വെക്റ്റർ വെക്റ്ററുകൾ i → , j → , k → , രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ വെക്റ്റർ a → , മൂന്നാമത്തെ വരി എന്നിവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. നൽകിയിരിക്കുന്ന ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ വെക്റ്റർ b → യുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, ഇതാണ് മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നത്: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b

ഈ ഡിറ്റർമിനന്റ് ആദ്യ വരിയിലെ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് വികസിപ്പിച്ച്, നമുക്ക് തുല്യത ലഭിക്കുന്നു: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · ix → b z · x → b - a x b y · k → = = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

ഒരു ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ

കോർഡിനേറ്റുകളിലെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തെ മാട്രിക്സ് c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z എന്ന മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു എന്ന് അറിയാം. മാട്രിക്സ് ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ സവിശേഷതകൾഇനിപ്പറയുന്നവ പ്രദർശിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ:

1. ആന്റികമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റി a → × b → = - b → × a → ;
2. വിതരണക്ഷമത a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → അല്ലെങ്കിൽ a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. അസോസിയേറ്റിവിറ്റി λ a → × b → = λ a → × b → അല്ലെങ്കിൽ a → × (λ b →) = λ a → × b →, ഇവിടെ λ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്.

ഈ ഗുണങ്ങൾക്ക് ലളിതമായ തെളിവുകളുണ്ട്.

ഒരു ഉദാഹരണമായി, ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ആന്റികമ്യൂട്ടേറ്റീവ് പ്രോപ്പർട്ടി നമുക്ക് തെളിയിക്കാനാകും.

ആന്റികമ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റിയുടെ തെളിവ്

നിർവചനം അനുസരിച്ച്, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z, b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. മാട്രിക്സിന്റെ രണ്ട് വരികൾ സ്ഥലങ്ങളിൽ പുനഃക്രമീകരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, മാട്രിക്സ് ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ മൂല്യം വിപരീതമായി മാറണം, അതിനാൽ, a → → × b → J → K → K → A X A Y A Z B X B Y B A B Y Z = - I → K → Zb Zb = - B → × A →, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം ആന്റികമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് ആണെന്ന് തെളിയിക്കുന്നു.

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം - ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും

മിക്ക കേസുകളിലും, മൂന്ന് തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ ഉണ്ട്.

ആദ്യ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങളിൽ, രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ നീളവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും സാധാരണയായി നൽകിയിരിക്കുന്നു, നിങ്ങൾ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

ഉദാഹരണം 1

നിങ്ങൾക്ക് a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4 എന്നിവ അറിയാമെങ്കിൽ വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്‌റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക a →, b →.

പരിഹാരം

a →, b → വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾ ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നു: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

ഉത്തരം: 15 2 2 .

രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുമായി ബന്ധമുണ്ട്, അവയിൽ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം, അതിന്റെ നീളം മുതലായവ. അറിയപ്പെടുന്ന കോർഡിനേറ്റുകൾ വഴി തിരഞ്ഞു നൽകിയ വെക്റ്ററുകൾ a → = (a x; a y; a z) ഒപ്പം b → = (b x ; b y ; b z) .

ഇത്തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് ധാരാളം ടാസ്ക് ഓപ്ഷനുകൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഉദാഹരണത്തിന്, a →, b → വെക്‌ടറുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളല്ല, ഫോമിന്റെ കോർഡിനേറ്റ് വെക്‌ടറുകളിലേക്കുള്ള അവയുടെ വികാസം വ്യക്തമാക്കാം. b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → കൂടാതെ c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, അല്ലെങ്കിൽ അവയുടെ വെക്‌ടറുകൾ a → എന്നിവയുടെ സമന്വയം അല്ലെങ്കിൽ ബി അവസാന പോയിന്റുകളും.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക.

ഉദാഹരണം 2

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). അവരുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

രണ്ടാമത്തെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, നൽകിയിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റുകളിൽ രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് അനുസരിച്ച് വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം എഴുതുകയാണെങ്കിൽ, പരിഹാരം ഈ ഉദാഹരണംഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → →

ഉത്തരം: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

ഉദാഹരണം 3

i → - j →, i → + j → + k → എന്നീ വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക, ഇവിടെ i →, j →, k → ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകളാണ്.

പരിഹാരം

ആദ്യം, നൽകിയിരിക്കുന്ന ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്താം i → - j → × i → + j → + k →.

i → - j →, i → + j → + k → വെക്‌ടറുകൾക്ക് യഥാക്രമം (1; - 1; 0), (1; 1; 1) കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ടെന്ന് അറിയാം. മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് ഉപയോഗിച്ച് വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളം കണ്ടെത്താം, അപ്പോൾ നമുക്ക് i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

അതിനാൽ, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നമായ i → - j → × i → + j → + k → നൽകിയിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ കോർഡിനേറ്റുകൾ (- 1 ; - 1 ; 2) ഉണ്ട്.

ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു (ഒരു വെക്റ്ററിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള വിഭാഗം കാണുക): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

ഉത്തരം: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

ഉദാഹരണം 4

ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, മൂന്ന് പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഒരേ സമയം A B →, A C → എന്നിവയ്ക്ക് ലംബമായി ചില വെക്റ്റർ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

വെക്‌ടറുകൾ A B →, A C → എന്നിവയ്ക്ക് യഥാക്രമം ഇനിപ്പറയുന്ന കോർഡിനേറ്റുകൾ (- 1 ; 2 ; 2), (0 ; 4 ; 1) ഉണ്ട്. A B →, A C → എന്നീ വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്‌ടർ പ്രോഡക്‌ട് കണ്ടെത്തി, ഇത് A B →, A C → എന്നിവയ്‌ക്ക് നിർവചനം അനുസരിച്ച് ലംബമായ വെക്‌ടറാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതായത്, ഇത് ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്‌നത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരമാണ്. നമുക്ക് അത് കണ്ടെത്താം A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

ഉത്തരം: - 6 i → + j → - 4 k → . - ലംബമായ വെക്റ്ററുകളിൽ ഒന്ന്.

മൂന്നാമത്തെ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നു. ഇത് പ്രയോഗിച്ചതിന് ശേഷം, നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രശ്നത്തിന് ഞങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം നേടും.

ഉദാഹരണം 5

വെക്‌ടറുകൾ a →, b → എന്നിവ ലംബവും അവയുടെ നീളം യഥാക്രമം 3 ഉം 4 ഉം ആണ്. വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തുക 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

പരിഹാരം

ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ വിതരണ സ്വഭാവമനുസരിച്ച്, നമുക്ക് 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 എന്ന് എഴുതാം. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

അസോസിയേറ്റിവിറ്റിയുടെ പ്രോപ്പർട്ടി പ്രകാരം, അവസാന പദപ്രയോഗത്തിലെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങൾ എടുക്കുന്നു: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ a → × a →, b → × b → എന്നിവ 0 ന് തുല്യമാണ്, കാരണം a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0, b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, തുടർന്ന് 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → . × a → .

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ആന്റികമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റിയിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × ബി → . .

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് തുല്യത 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

വ്യവസ്ഥയനുസരിച്ച്, a →, b → വെക്‌ടറുകൾ ലംബമാണ്, അതായത്, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോൺ π 2 ന് തുല്യമാണ്. കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങൾ ഉചിതമായ ഫോർമുലകളിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക എന്നതാണ് ഇപ്പോൾ അവശേഷിക്കുന്നത്: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

ഉത്തരം: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്‌ടർ ഉൽപന്നത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം നിർവചനം പ്രകാരം a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഈ വശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ സൈനാൽ ഗുണിച്ചാൽ അതിന്റെ രണ്ട് വശങ്ങളുടെയും നീളത്തിന്റെ പകുതി ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് (സ്‌കൂൾ കോഴ്‌സിൽ നിന്ന്) ഇതിനകം അറിയാവുന്നതിനാൽ. തൽഫലമായി, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളം സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് - ഒരു ഇരട്ടി ത്രികോണം, അതായത് വെക്റ്ററുകളുടെ രൂപത്തിൽ വശങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നം a →, b →, ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്. അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോൺ ∠ a →, b →.

ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം ഇതാണ്.

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഭൗതിക അർത്ഥം

ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിന്റെ ശാഖകളിലൊന്നായ മെക്കാനിക്സിൽ, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് നന്ദി, ബഹിരാകാശത്തെ ഒരു ബിന്ദുവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു ശക്തിയുടെ നിമിഷം നിങ്ങൾക്ക് നിർണ്ണയിക്കാനാകും.

നിർവ്വചനം 3

പോയിന്റ് എയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, ബി പോയിന്റിലേക്ക് എഫ് → പ്രയോഗിക്കുന്ന ശക്തിയുടെ നിമിഷത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം എ ബി → × എഫ് → നമുക്ക് മനസ്സിലാകും.

ടെക്‌സ്‌റ്റിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക

ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ

വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം, നിർവചനം, ഗുണവിശേഷതകൾ

വെക്റ്ററുകളിലെ ലീനിയർ പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

വെക്‌ടറുകൾ, അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ, നിർവചനങ്ങൾ, അവയിലെ രേഖീയ പ്രവർത്തനങ്ങൾ

ഒരു വിമാനത്തിലെ ഒരു വെക്റ്റർ അതിന്റെ പോയിന്റുകളുടെ ക്രമീകരിച്ച ജോഡിയാണ്, ആദ്യ പോയിന്റിനെ ആരംഭം എന്നും രണ്ടാമത്തെ പോയിന്റിനെ വെക്റ്ററിന്റെ അവസാനവും എന്നും വിളിക്കുന്നു.

രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ തുല്യവും കോ-ഡയറക്ഷണലും ആണെങ്കിൽ തുല്യമെന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരേ ലൈനിൽ കിടക്കുന്ന വെക്‌ടറുകൾ ഈ ലൈനിൽ കിടക്കാത്ത അതേ വെക്‌ടറുമായി കോഡയറക്ഷണൽ ആണെങ്കിൽ അവയെ കോഡയറക്ഷണൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരേ രേഖയിലോ സമാന്തര രേഖയിലോ കിടക്കുന്ന വെക്‌ടറുകളെ കോളിനിയർ എന്നും, എന്നാൽ കോഡയറക്ഷണൽ അല്ലാത്തവയെ വിപരീത ദിശയിലുള്ളവ എന്നും വിളിക്കുന്നു.

ലംബമായ വരകളിൽ കിടക്കുന്ന വെക്റ്ററുകളെ ഓർത്തോഗണൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 5.4. തുക a+b വെക്റ്ററുകൾ എ ഒപ്പം ബി വെക്‌ടറിന്റെ ആരംഭത്തിൽ നിന്ന് വരുന്ന വെക്‌ടറിനെ വിളിക്കുന്നു എ വെക്റ്ററിന്റെ അവസാനം വരെ ബി , വെക്റ്ററിന്റെ തുടക്കമാണെങ്കിൽ ബി വെക്റ്ററിന്റെ അവസാനത്തോട് യോജിക്കുന്നു എ .

നിർവ്വചനം 5.5. വ്യത്യാസം കൊണ്ട് എ - ബി വെക്റ്ററുകൾ എ ഒപ്പം ബി അത്തരമൊരു വെക്റ്റർ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു കൂടെ , ഇത് വെക്റ്ററുമായി സംഗ്രഹിക്കുന്നു ബി ഒരു വെക്റ്റർ നൽകുന്നു എ .

നിർവ്വചനം 5.6. ജോലികെ എ വെക്റ്റർ എ ഓരോ സംഖ്യയും കെവെക്റ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു ബി , വെക്റ്ററിലേക്കുള്ള കോളിനിയർ എ , എന്നതിന് തുല്യമായ ഒരു മോഡുലസ് ഉള്ളത് | കെ||എ |, ദിശയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ദിശയും എ ചെയ്തത് കെ>0 ഉം വിപരീതവും എ ചെയ്തത് കെ<0.

വെക്‌ടറിനെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്റെ ഗുണങ്ങൾ:

പ്രോപ്പർട്ടി 1. k(a+b ) = കെ എ+k ബി.

പ്രോപ്പർട്ടി 2. (k + m)എ = കെ എ+ മീ എ.

സ്വത്ത് 3. k(m എ) = (കി.മീ.)എ .

അനന്തരഫലം. പൂജ്യമല്ലാത്ത വെക്റ്ററുകൾ ആണെങ്കിൽ എ ഒപ്പം ബി കോളിനിയർ ആണ്, അപ്പോൾ അത്തരമൊരു സംഖ്യയുണ്ട് കെ, എന്ത് b = കെ എ.

രണ്ട് നോൺ-സീറോ വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം എഒപ്പം ബിഈ വെക്‌ടറുകളുടെ നീളത്തിന്റെയും അവയ്‌ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈന്റെയും ഗുണനത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യ (സ്‌കെലാർ) ആണ്. ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തെ വിവിധ രീതികളിൽ സൂചിപ്പിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന് എബി, എ · ബി, (എ , ബി), (എ · ബി). അതിനാൽ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം ഇതാണ്:

എ · ബി = |എ| · | ബി| കോസ് φ

വെക്‌ടറുകളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

· പെർമ്യൂട്ടേഷൻ പ്രോപ്പർട്ടി: എ · ബി = ബി · എ(ഘടകങ്ങളെ പുനഃക്രമീകരിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം മാറില്ല);

· വിതരണ സ്വത്ത്: എ · ( ബി · സി) = (എ · ബി) · സി(ഫലം ഗുണനത്തിന്റെ ക്രമത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല);

· കോമ്പിനേഷൻ പ്രോപ്പർട്ടി (സ്കെലാർ ഘടകവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്): (λ എ) · ബി = λ ( എ · ബി).

· ഓർത്തോഗണാലിറ്റിയുടെ സ്വത്ത് (ലംബമായി): വെക്റ്റർ ആണെങ്കിൽ എഒപ്പം ബിപൂജ്യമല്ല, ഈ വെക്‌ടറുകൾ ഓർത്തോഗണൽ (പരസ്പരം ലംബമായി) ആയിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ അവയുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമാകൂ. എ ┴ ബി;

ഒരു ചതുരത്തിന്റെ സ്വത്ത്: എ · എ = എ 2 = |എ| 2 (ഒരു വെക്റ്ററിന്റെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം അതിന്റെ മൊഡ്യൂളിന്റെ ചതുരത്തിന് തുല്യമാണ്);

· വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളാണെങ്കിൽ എ=(x 1, y 1, z 1) കൂടാതെ ബി=(x 2 , y 2 , z 2 ), അപ്പോൾ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം തുല്യമാണ് എ · ബി= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

വെക്റ്റർ ഹോൾഡിംഗ് വെക്റ്ററുകൾ. നിർവ്വചനം: രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം ഒരു വെക്റ്റർ ആണ്:

മൊഡ്യൂൾ ഈ വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്. , വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ എവിടെയാണ്

ഈ വെക്റ്റർ ഗുണിക്കപ്പെടുന്ന വെക്റ്ററുകൾക്ക് ലംബമാണ്, അതായത്.

വെക്‌ടറുകൾ നോൺ-കോളിനിയർ ആണെങ്കിൽ, അവ വെക്‌ടറുകളുടെ വലത് ട്രിപ്പിൾ ആയി മാറുന്നു.

ഒരു ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ:

1. ഘടകങ്ങളുടെ ക്രമം മാറ്റുമ്പോൾ, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം അതിന്റെ ചിഹ്നത്തെ വിപരീതമായി മാറ്റുന്നു, മോഡുലസ് സംരക്ഷിക്കുന്നു, അതായത്.

2 .വെക്റ്റർ സ്ക്വയർ നൾ വെക്റ്ററിന് തുല്യമാണ്, അതായത്.

3 .വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് സ്കെയിലർ ഘടകം പുറത്തെടുക്കാം, അതായത്.

4 .ഏതെങ്കിലും മൂന്ന് വെക്‌ടറുകൾക്ക് തുല്യത സത്യമാണ്

5 .രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ കോളിനാരിറ്റിക്ക് ആവശ്യമായതും മതിയായതുമായ അവസ്ഥയും: