വീട് › അവലോകനങ്ങൾ › വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളാൽ സമാന്തരപൈപ്പിന്റെ അളവ്. വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം

വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളാൽ സമാന്തരപൈപ്പിന്റെ അളവ്. വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം

വെക്‌ടറുകൾക്ക്, അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകുന്ന , മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം ഫോർമുല പ്രകാരം കണക്കാക്കുന്നു: .

മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നംപ്രയോഗിക്കുക: 1) ഒരു ടെട്രാഹെഡ്രോണിന്റെയും വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു സമാന്തരപൈപ്പിന്റെയും വോള്യങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ , കൂടാതെ , അരികുകളിൽ പോലെ, ഫോർമുല പ്രകാരം: ; 2) വെക്റ്ററുകളുടെ കോംപ്ലനാരിറ്റിക്ക് ഒരു വ്യവസ്ഥയായി , കൂടാതെ : എന്നിവയും കോപ്ലാനാർ ആണ്.

വിഷയം 5. നേരായ വരകളും വിമാനങ്ങളും.

സാധാരണ ലൈൻ വെക്റ്റർ , തന്നിരിക്കുന്ന രേഖയ്ക്ക് ലംബമായ ഏതെങ്കിലും നോൺ-സീറോ വെക്റ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ദിശ വെക്റ്റർ നേരായ , തന്നിരിക്കുന്ന രേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമായ ഏതെങ്കിലും നോൺ-സീറോ വെക്റ്ററിനെ വിളിക്കുന്നു.

ഋജുവായത് ഉപരിതലത്തിൽ

1) - പൊതുവായ സമവാക്യം നേർരേഖ, നേർരേഖയുടെ സാധാരണ വെക്റ്റർ എവിടെയാണ്;

2) - തന്നിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററിന് ലംബമായി ഒരു പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം;

3) കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം );

5) - ലൈൻ സമവാക്യങ്ങൾ കൂടെ ചരിവ് ഘടകം , ലൈൻ കടന്നുപോകുന്ന പോയിന്റ് എവിടെയാണ്; () - രേഖ അച്ചുതണ്ടിൽ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോൺ; - സെഗ്‌മെന്റിന്റെ നീളം (അടയാളം ഉപയോഗിച്ച് ) അച്ചുതണ്ടിൽ ഒരു നേർരേഖയാൽ ഛേദിക്കപ്പെടും (അക്ഷത്തിന്റെ പോസിറ്റീവ് ഭാഗത്ത് സെഗ്‌മെന്റ് മുറിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ “” എന്നും നെഗറ്റീവ് ഭാഗത്താണെങ്കിൽ “” എന്നും അടയാളപ്പെടുത്തുക).

6) - നേർരേഖ സമവാക്യം മുറിവുകളിൽ, കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിൽ ഒരു നേർരേഖയാൽ മുറിച്ച സെഗ്‌മെന്റുകളുടെ നീളം എവിടെയാണ്, കൂടാതെ (അക്ഷത്തിന്റെ പോസിറ്റീവ് ഭാഗത്ത് സെഗ്‌മെന്റ് മുറിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ “” എന്ന ചിഹ്നവും നെഗറ്റീവ് ഒന്നാണെങ്കിൽ "" ).

പോയിന്റിൽ നിന്ന് വരിയിലേക്കുള്ള ദൂരം , വിമാനത്തിലെ പൊതുവായ സമവാക്യം നൽകിയത്, സൂത്രവാക്യം വഴി കണ്ടെത്തുന്നു:

കോർണർ, ( )നേർരേഖകൾക്കിടയിൽ കൂടാതെ, പൊതുവായ സമവാക്യങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ചരിവുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ നൽകിയത്, ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് കണ്ടെത്തുന്നു:

എങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ.

എങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ

വരികളുടെ വിഭജന പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വ്യവസ്ഥിതിയുടെ പരിഹാരമായി കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ: അഥവാ .

വിമാനത്തിന്റെ സാധാരണ വെക്റ്റർ , തന്നിരിക്കുന്ന തലത്തിന് ലംബമായ ഏതെങ്കിലും നോൺ-സീറോ വെക്റ്ററിനെ വിളിക്കുന്നു.

വിമാനം കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന തരങ്ങളിലൊന്നിന്റെ സമവാക്യം നൽകാം:

1) - പൊതുവായ സമവാക്യം വിമാനം, വിമാനത്തിന്റെ സാധാരണ വെക്റ്റർ എവിടെയാണ്;

2) - നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററിന് ലംബമായി പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വിമാനത്തിന്റെ സമവാക്യം;

3) - മൂന്ന് പോയിന്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വിമാനത്തിന്റെ സമവാക്യം, കൂടാതെ;

4) - വിമാന സമവാക്യം മുറിവുകളിൽ, കോർഡിനേറ്റ് അച്ചുതണ്ടുകളിൽ വിമാനം മുറിച്ചുമാറ്റിയ സെഗ്‌മെന്റുകളുടെ നീളം എവിടെയാണ്, കൂടാതെ (അക്ഷത്തിന്റെ പോസിറ്റീവ് ഭാഗത്ത് സെഗ്‌മെന്റ് മുറിഞ്ഞിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ “” എന്ന് അടയാളപ്പെടുത്തുകയും നെഗറ്റീവ് ഒന്നാണെങ്കിൽ “” ).

പോയിന്റിൽ നിന്ന് വിമാനത്തിലേക്കുള്ള ദൂരം , പൊതുവായ സമവാക്യം നൽകിയത് സൂത്രവാക്യം വഴി കണ്ടെത്തുന്നു:

കോർണർ,( )വിമാനങ്ങൾക്കിടയിൽ കൂടാതെ, പൊതുവായ സമവാക്യങ്ങളാൽ നൽകിയിരിക്കുന്നത്, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു:

ഋജുവായത് ബഹിരാകാശത്ത് കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന തരങ്ങളിലൊന്നിന്റെ സമവാക്യം നൽകാം:

1) - പൊതുവായ സമവാക്യം ഒരു നേർരേഖ, രണ്ട് വിമാനങ്ങളുടെ വിഭജന രേഖകൾ പോലെ, വിമാനങ്ങളുടെ സാധാരണ വെക്റ്ററുകൾ എവിടെയാണ്,

2) - തന്നിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററിന് സമാന്തരമായ ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം ( കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം );

3) - നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് പോയിന്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം;

4) - തന്നിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററിന് സമാന്തരമായ ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം, ( പാരാമെട്രിക് സമവാക്യം );

കോർണർ, ( ) നേർരേഖകൾക്കിടയിൽ ഒപ്പം ബഹിരാകാശത്ത് , കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾ നൽകിയത്, സൂത്രവാക്യം വഴി കണ്ടെത്തുന്നു:

വരിയുടെ വിഭജന പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ , പാരാമെട്രിക് സമവാക്യം നൽകിയത് വിമാനവും , പൊതുവായ സമവാക്യം നൽകിയത്, രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു പരിഹാരമായി കാണപ്പെടുന്നു: .

കോർണർ, ( ) വരയ്ക്കിടയിൽ , കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം നൽകിയത് വിമാനവും , പൊതുവായ സമവാക്യം നൽകിയത് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു: .

വിഷയം 6. രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ വളവുകൾ.

രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിന്റെ ബീജഗണിത വക്രംകോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഒരു വക്രം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, പൊതുവായ സമവാക്യം ഇത് പോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

സംഖ്യകൾ - ഒരേ സമയം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല. രണ്ടാം ഓർഡർ കർവുകളുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന വർഗ്ഗീകരണം ഉണ്ട്: 1) എങ്കിൽ, പൊതു സമവാക്യം വക്രത്തെ നിർവചിക്കുന്നു ദീർഘവൃത്താകൃതിയിലുള്ള തരം (സർക്കിൾ (നുള്ള), ദീർഘവൃത്തം (നുള്ള), ശൂന്യമായ സെറ്റ്, പോയിന്റ്); 2) എങ്കിൽ, പിന്നെ - വക്രം ഹൈപ്പർബോളിക് തരം (ഹൈപ്പർബോള, ഒരു ജോടി വിഭജിക്കുന്ന വരികൾ); 3) എങ്കിൽ, പിന്നെ - വക്രം പരാബോളിക് തരം(പാരബോള, ശൂന്യമായ സെറ്റ്, ലൈൻ, ജോടി സമാന്തര വരകൾ). വൃത്തം, ദീർഘവൃത്തം, ഹൈപ്പർബോള, പരാബോള എന്നിവയെ വിളിക്കുന്നു രണ്ടാം ഓർഡറിന്റെ നോൺ-ഡീജനറേറ്റ് കർവുകൾ.

പൊതുവായ സമവാക്യം , എവിടെ , ഒരു നോൺ-ഡീജനറേറ്റ് വക്രം (വൃത്തം, ദീർഘവൃത്തം, ഹൈപ്പർബോള, പരാബോള), എപ്പോഴും (തിരഞ്ഞെടുക്കൽ രീതി പ്രകാരം) മുഴുവൻ സമചതുരങ്ങൾ) ഇനിപ്പറയുന്ന തരങ്ങളിൽ ഒന്നായി ചുരുക്കാം:

1a) -ഒരു ബിന്ദുവിലും ആരത്തിലും കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്ന വൃത്ത സമവാക്യം (ചിത്രം 5).

1b)- കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾക്ക് സമാന്തരമായ ഒരു ബിന്ദുവിലും സമമിതിയുടെ അക്ഷങ്ങളിലും കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്ന ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം. നമ്പറുകളും - വിളിക്കുന്നു ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ അർദ്ധ അക്ഷങ്ങൾ ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ പ്രധാന ദീർഘചതുരം; ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ ലംബങ്ങൾ .

കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഒരു ദീർഘവൃത്തം നിർമ്മിക്കാൻ: 1) ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ മധ്യഭാഗം അടയാളപ്പെടുത്തുക; 2) കേന്ദ്രത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുക ബിന്ദു രേഖദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ സമമിതിയുടെ അക്ഷങ്ങൾ; 3) സമമിതിയുടെ അച്ചുതണ്ടുകൾക്ക് സമാന്തരമായി ഒരു കേന്ദ്രവും വശങ്ങളും ഉള്ള ഒരു ഡോട്ട് വരയുള്ള ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ പ്രധാന ദീർഘചതുരം ഞങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നു; 4) ചിത്രീകരിക്കുക കട്ടിയായ വരദീർഘവൃത്തം, അതിനെ പ്രധാന ദീർഘചതുരത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്യുന്നു, അങ്ങനെ ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ ശിഖരങ്ങളിൽ മാത്രം ദീർഘവൃത്തം അതിന്റെ വശങ്ങളിൽ സ്പർശിക്കുന്നു (ചിത്രം 6).

അതുപോലെ, ഒരു വൃത്തം നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു, അതിന്റെ പ്രധാന ദീർഘചതുരം വശങ്ങളുള്ളതാണ് (ചിത്രം 5).

ചിത്രം.5 ചിത്രം.6

2) - ഹൈപ്പർബോളുകളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ (വിളിക്കുന്നത് സംയോജിപ്പിക്കുക) കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾക്ക് സമാന്തരമായി ഒരു ബിന്ദുവിലും സമമിതി അക്ഷങ്ങളിലും കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു. നമ്പറുകളും - വിളിക്കുന്നു ഹൈപ്പർബോളുകളുടെ സെമിയാക്സുകൾ ; സമമിതിയുടെ അക്ഷങ്ങൾക്ക് സമാന്തരമായി വശങ്ങളുള്ള ഒരു ദീർഘചതുരം ഒരു ബിന്ദുവിൽ കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു - ഹൈപ്പർബോളുകളുടെ പ്രധാന ദീർഘചതുരം; സമമിതിയുടെ അക്ഷങ്ങളുള്ള പ്രധാന ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിഭജന പോയിന്റുകൾ - ഹൈപ്പർബോളുകളുടെ ലംബങ്ങൾ; പ്രധാന ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിപരീത ശിഖരങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖ - ഹൈപ്പർബോളസിന്റെ ലക്ഷണങ്ങൾ .

കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഒരു ഹൈപ്പർബോള നിർമ്മിക്കുന്നതിന്: 1) ഹൈപ്പർബോളയുടെ മധ്യഭാഗം അടയാളപ്പെടുത്തുക; 2) ഹൈപ്പർബോളയുടെ സമമിതിയുടെ അച്ചുതണ്ട് ഒരു ഡോട്ട് രേഖ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ മധ്യത്തിലൂടെ വരയ്ക്കുന്നു; 3) ഞങ്ങൾ ഒരു ഹൈപ്പർബോളയുടെ പ്രധാന ദീർഘചതുരം ഒരു കേന്ദ്രവും വശങ്ങളും ഉള്ളതും സമമിതിയുടെ അച്ചുതണ്ടുകൾക്ക് സമാന്തരവുമായ ഒരു ഡോട്ട് രേഖ ഉപയോഗിച്ച് നിർമ്മിക്കുന്നു; 4) പ്രധാന ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിപരീത ലംബങ്ങളിലൂടെ ഒരു ഡോട്ട് രേഖ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ നേർരേഖകൾ വരയ്ക്കുന്നു, അവ ഹൈപ്പർബോളയുടെ ലക്ഷണങ്ങളാണ്, ഹൈപ്പർബോളയുടെ ശാഖകൾ അനിശ്ചിതമായി അടുക്കുന്നു, കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് അനന്തമായ അകലത്തിൽ, അവയെ കടക്കാതെ; 5) ഞങ്ങൾ ഒരു ഹൈപ്പർബോളയുടെ (ചിത്രം 7) അല്ലെങ്കിൽ ഹൈപ്പർബോളയുടെ (ചിത്രം 8) ശാഖകൾ ഒരു സോളിഡ് ലൈൻ ഉപയോഗിച്ച് ചിത്രീകരിക്കുന്നു.

ചിത്രം.7 ചിത്രം.8

3a)- കോർഡിനേറ്റ് അച്ചുതണ്ടിന് സമാന്തരമായി ഒരു ബിന്ദുവിലും സമമിതിയുടെ അച്ചുതണ്ടിലും ഒരു ശീർഷത്തോടുകൂടിയ പരാബോളയുടെ സമവാക്യം (ചിത്രം 9).

3b)- കോർഡിനേറ്റ് അച്ചുതണ്ടിന് സമാന്തരമായ ഒരു ബിന്ദുവിലും സമമിതിയുടെ അച്ചുതണ്ടിലും ഒരു ശീർഷത്തോടുകൂടിയ പരവലയത്തിന്റെ സമവാക്യം (ചിത്രം 10).

കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഒരു പരാബോള നിർമ്മിക്കുന്നതിന്: 1) പരവലയത്തിന്റെ മുകളിൽ അടയാളപ്പെടുത്തുക; 2) പരാബോളയുടെ സമമിതിയുടെ അച്ചുതണ്ട് ഒരു ഡോട്ട് ഇട്ട രേഖ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ശീർഷകത്തിലൂടെ വരയ്ക്കുന്നു; 3) പരാബോളയുടെ സമമിതിയുടെ അച്ചുതണ്ടിന് സമാന്തരമായ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിന്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയിൽ - at - പരാബോളയുടെ സമമിതിയുടെ അച്ചുതണ്ടിന്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയിൽ (ചിത്രം 9a, 10a); at - in നെഗറ്റീവ് വശംകോർഡിനേറ്റ് ആക്സിസ് (ചിത്രം 9 ബി, 10 ബി) .

അരി. 9a ചിത്രം. 9b

അരി. 10a ചിത്രം. 10 ബി

വിഷയം 7. സെറ്റുകൾ. സംഖ്യാ സെറ്റുകൾ. ഫംഗ്ഷൻ.

താഴെ പലതും പരസ്പരം വേർതിരിച്ചറിയാവുന്നതും മൊത്തത്തിൽ സങ്കൽപ്പിക്കാവുന്നതുമായ ഏതെങ്കിലും സ്വഭാവത്തിലുള്ള ഒരു പ്രത്യേക കൂട്ടം വസ്തുക്കളെ മനസ്സിലാക്കുക. ഒരു സെറ്റ് ഉണ്ടാക്കുന്ന വസ്തുക്കൾ അതിനെ വിളിക്കുന്നു ഘടകങ്ങൾ . ഒരു സെറ്റ് അനന്തമാകാം (അനന്തമായ മൂലകങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു), പരിമിതം (പരിമിതമായ മൂലകങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു), ശൂന്യമാണ് (ഒരൊറ്റ ഘടകം അടങ്ങിയിട്ടില്ല). ഗണങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അവയുടെ മൂലകങ്ങൾ . ശൂന്യമായ സെറ്റ് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

കോൾ സജ്ജീകരിക്കുക ഉപഗണം സെറ്റിന്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും സെറ്റിന്റേതാണെങ്കിൽ സജ്ജീകരിച്ച് എഴുതുക. സെറ്റ് ചെയ്തു വിളിച്ചു തുല്യമായ , അവ ഒരേ ഘടകങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുകയും എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ. രണ്ട് സെറ്റുകൾ, എങ്കിൽ മാത്രമേ തുല്യമാകൂ.

കോൾ സജ്ജീകരിക്കുക സാർവത്രികമായ (ഈ ഗണിത സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിൽ) , ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൽ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന എല്ലാ വസ്തുക്കളും അതിന്റെ ഘടകങ്ങളാണെങ്കിൽ.

പലതും സജ്ജമാക്കാൻ കഴിയും: 1) അതിന്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളുടെയും എണ്ണൽ, ഉദാഹരണത്തിന്: (പരിമിതമായ സെറ്റുകൾക്ക് മാത്രം); 2) ഒരു സാർവത്രിക ഗണത്തിലെ ഒരു മൂലകം തന്നിരിക്കുന്ന ഗണത്തിൽ പെട്ടതാണോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു നിയമം ക്രമീകരിച്ചുകൊണ്ട്:

അസോസിയേഷൻ

കടക്കുന്നു സെറ്റ് ചെയ്യുന്നു, അതിനെ ഒരു സെറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു

വ്യത്യാസം സെറ്റ് ചെയ്യുന്നു, അതിനെ ഒരു സെറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു

സപ്ലിമെന്റ് സെറ്റുകളെ (ഒരു സാർവത്രിക സെറ്റ് വരെ) ഒരു സെറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

രണ്ട് സെറ്റുകളും വിളിക്കപ്പെടുന്നു തത്തുല്യമായ ഈ സെറ്റുകളുടെ മൂലകങ്ങൾക്കിടയിൽ പരസ്പരം കത്തിടപാടുകൾ സ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ ~ എന്ന് എഴുതുക. സെറ്റ് വിളിക്കുന്നു എണ്ണാവുന്ന , ഇത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ : ~ . ശൂന്യമായ സെറ്റ്, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, കണക്കാക്കാവുന്നതാണ്.

സെറ്റുകളെ അവയിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന മൂലകങ്ങളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ ഒരു സെറ്റിന്റെ കാർഡിനാലിറ്റി എന്ന ആശയം ഉണ്ടാകുന്നു. സെറ്റിന്റെ കാർഡിനാലിറ്റി സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു പരിമിത ഗണത്തിന്റെ കാർഡിനാലിറ്റി അതിന്റെ മൂലകങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്.

തുല്യമായ സെറ്റുകൾക്ക് ഒരേ കാർഡിനാലിറ്റി ഉണ്ട്. സെറ്റ് വിളിക്കുന്നു എണ്ണമറ്റ അതിന്റെ കാർഡിനാലിറ്റി സെറ്റിന്റെ കാർഡിനാലിറ്റിയേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ.

സാധുവാണ് (യഥാർത്ഥം) നമ്പർ "+" അല്ലെങ്കിൽ "" ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് എടുത്ത ഒരു അനന്ത ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നമ്പർ ലൈനിലെ പോയിന്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളെ തിരിച്ചറിയുന്നു. മൊഡ്യൂൾ ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുടെ (കേവല മൂല്യം) വിളിക്കുന്നു നോൺ-നെഗറ്റീവ് നമ്പർ:

സെറ്റ് വിളിക്കുന്നു സംഖ്യാപരമായ അതിന്റെ മൂലകങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണെങ്കിൽ ഇടവേളകളിൽ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു: , , , , , , , , .

വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന സംഖ്യാരേഖയിലെ എല്ലാ പോയിന്റുകളുടെയും ഗണത്തെ, ഏകപക്ഷീയമായ ഒരു ചെറിയ സംഖ്യയെ വിളിക്കുന്നു -അയൽപ്പക്കം (അല്ലെങ്കിൽ ഒരു അയൽപക്കം) ഒരു ബിന്ദുവിൽ സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു. വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം എല്ലാ പോയിന്റുകളുടെയും സെറ്റ് , എവിടെ - ഏകപക്ഷീയമായി വലിയ സംഖ്യ, വിളിച്ചു - അയൽപ്പക്കം (അല്ലെങ്കിൽ ഒരു അയൽപക്കം) അനന്തതയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഒരേ സംഖ്യാ മൂല്യം നിലനിർത്തുന്ന ഒരു അളവിനെ വിളിക്കുന്നു സ്ഥിരമായ. വ്യത്യസ്ത സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്ന ഒരു അളവിനെ വിളിക്കുന്നു വേരിയബിൾ. ഫംഗ്ഷൻ നിയമത്തെ വിളിക്കുന്നു, അതനുസരിച്ച് ഓരോ നമ്പറിനും നന്നായി നിർവചിക്കപ്പെട്ട ഒരു നമ്പർ നൽകി, അവർ എഴുതുന്നു. സെറ്റ് വിളിക്കുന്നു നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ പ്രവർത്തനങ്ങൾ, - പലതും (അല്ലെങ്കിൽ പ്രദേശം ) മൂല്യങ്ങൾ പ്രവർത്തനങ്ങൾ, - വാദം , - പ്രവർത്തന മൂല്യം . ഒരു ഫംഗ്ഷൻ വ്യക്തമാക്കുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും സാധാരണമായ മാർഗ്ഗം അനലിറ്റിക്കൽ രീതിയാണ്, അതിൽ ഫംഗ്ഷൻ ഒരു ഫോർമുലയാൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. സ്വാഭാവിക ഡൊമെയ്ൻ ഈ സൂത്രവാക്യം അർത്ഥമാക്കുന്ന വാദത്തിന്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടമാണ് ഫംഗ്ഷൻ. ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് , ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള വിമാനത്തിന്റെ എല്ലാ പോയിന്റുകളുടെയും ഗണമാണ്.

ചടങ്ങിനെ വിളിക്കുന്നു പോലും സെറ്റിൽ , പോയിന്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമമിതി , ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥ എല്ലാവർക്കും തൃപ്തികരമാണെങ്കിൽ: ഒപ്പം വിചിത്രമായ വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ. അല്ലെങ്കിൽ, പ്രവർത്തനം പൊതുവായ കാഴ്ചഅഥവാ ഇരട്ടയോ വിചിത്രമോ അല്ല .

ചടങ്ങിനെ വിളിക്കുന്നു ആനുകാലികം ഒരു നമ്പർ ഉണ്ടെങ്കിൽ സെറ്റിൽ ( പ്രവർത്തന കാലയളവ് ) ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥ എല്ലാവർക്കുമായി സംതൃപ്തമാണ്: ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യപ്രധാന കാലഘട്ടം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ചടങ്ങിനെ വിളിക്കുന്നു ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു (ക്ഷയിക്കുന്നു ) എങ്കിൽ സെറ്റിൽ വലിയ മൂല്യംഫംഗ്‌ഷന്റെ വലിയ (ചെറിയ) മൂല്യവുമായി ആർഗ്യുമെന്റ് യോജിക്കുന്നു .

ചടങ്ങിനെ വിളിക്കുന്നു പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു സെറ്റിൽ, താഴെപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥ എല്ലാവർക്കുമായി തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന തരത്തിൽ ഒരു സംഖ്യ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ: അല്ലെങ്കിൽ, പ്രവർത്തനം ആണ് പരിധിയില്ലാത്ത .

വിപരീതം പ്രവർത്തിക്കാൻ , , അത്തരമൊരു ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അത് സെറ്റിലും ഓരോന്നിനും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു

അത്തരം മത്സരങ്ങൾ. ഫംഗ്ഷന്റെ വിപരീത ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തുന്നതിന് , നിങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട് താരതമ്യേന . ഫംഗ്ഷൻ എങ്കിൽ , ന് കർശനമായി ഏകതാനമാണ്, അപ്പോൾ അതിന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു വിപരീതമുണ്ട്, കൂടാതെ ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുകയാണെങ്കിൽ (കുറയുന്നു) വിപരീത പ്രവർത്തനംകൂടുന്നു (കുറയുന്നു).

ഫംഗ്‌ഷൻ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മുഴുവൻ മൂല്യങ്ങളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ചില ഫംഗ്‌ഷനുകൾ എവിടെയാണ് എന്ന് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ വിളിക്കുന്നു. സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനം സ്വതന്ത്ര വാദം. വേരിയബിളിനെ ഇന്റർമീഡിയറ്റ് ആർഗ്യുമെന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സങ്കീർണ്ണമായ ഫംഗ്‌ഷനെ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഒരു കോമ്പോസിഷൻ എന്നും വിളിക്കുന്നു, കൂടാതെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു: .

അടിസ്ഥാന പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഇവയാണ്: ശക്തി പ്രവർത്തനം, പ്രകടനം ഫംഗ്ഷൻ (,), ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷൻ (,), ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ,,,,, വിപരീത ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ ,,,,. പ്രാഥമിക അടിസ്ഥാന എലിമെന്ററി ഫംഗ്ഷനുകളിൽ നിന്ന് അവയുടെ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളുടെയും കോമ്പോസിഷനുകളുടെയും പരിമിതമായ എണ്ണം ഉപയോഗിച്ച് ലഭിച്ച ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ നിർമ്മാണം ഗ്രാഫിന്റെ പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണിയായി (ഷിഫ്റ്റ്, കംപ്രഷൻ അല്ലെങ്കിൽ സ്ട്രെച്ചിംഗ്, ഡിസ്‌പ്ലേ) ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു:

1) 2) പരിവർത്തനം അച്ചുതണ്ടിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഗ്രാഫ് സമമിതിയിൽ പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നു; 3) പരിവർത്തനം ഗ്രാഫിനെ അച്ചുതണ്ടിലൂടെ യൂണിറ്റുകൾ വഴി മാറ്റുന്നു (- വലത്തേക്ക്, - ഇടത്തേക്ക്); 4) പരിവർത്തനം ചാർട്ടിനെ അച്ചുതണ്ടിൽ യൂണിറ്റുകൾ വഴി മാറ്റുന്നു (- മുകളിലേക്ക്, - താഴേക്ക്); 5) അച്ചുതണ്ടിലെ പരിവർത്തന ഗ്രാഫ് സമയങ്ങളിൽ നീളുന്നു, സമയങ്ങളിൽ അല്ലെങ്കിൽ കംപ്രസ് ചെയ്താൽ, എങ്കിൽ; 6) അച്ചുതണ്ടിലൂടെ ഗ്രാഫ് രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നത് ഒരു ഘടകം കൊണ്ട് കംപ്രസ്സുചെയ്യുന്നു അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഘടകം കൊണ്ട് വലിച്ചുനീട്ടുന്നു.

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് പ്ലോട്ട് ചെയ്യുമ്പോൾ പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമം പ്രതീകാത്മകമായി ഇങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

കുറിപ്പ്. ഒരു പരിവർത്തനം നടത്തുമ്പോൾ, അച്ചുതണ്ടിലെ ഷിഫ്റ്റിന്റെ അളവ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ആർഗ്യുമെന്റിലേക്ക് നേരിട്ട് ചേർക്കുന്ന സ്ഥിരാങ്കമാണ്, അല്ലാതെ ആർഗ്യുമെന്റിലേക്കല്ലെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക.

ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് എന്നത് ശീർഷമുള്ള ഒരു പരവലയമാണ്, അതിന്റെ ശാഖകൾ ആണെങ്കിൽ മുകളിലേക്കോ താഴേക്കോ നയിക്കപ്പെടുന്നു. ഒരു ലീനിയർ ഫ്രാക്ഷണൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ബിന്ദുവിൽ കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ഹൈപ്പർബോളയാണ്, അതിന്റെ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾക്ക് സമാന്തരമായി കേന്ദ്രത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു. , അവസ്ഥ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. വിളിച്ചു.

വെക്റ്ററുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം പരിഗണിക്കുക, ഒപ്പം , ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രചിച്ചിരിക്കുന്നു:
. ഇവിടെ ആദ്യത്തെ രണ്ട് വെക്‌ടറുകളെ വെക്‌റ്റോറിയലായി ഗുണിക്കുകയും അവയുടെ ഫലം മൂന്നാമത്തെ വെക്‌ടറുകൊണ്ട് സ്കെയിലറായി ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അത്തരമൊരു ഉൽപ്പന്നത്തെ വെക്റ്റർ-സ്കെയിലർ അല്ലെങ്കിൽ മൂന്ന് വെക്റ്ററുകളുടെ മിക്സഡ് ഉൽപ്പന്നം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം ചില സംഖ്യയാണ്.

പദപ്രയോഗത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം
.

സിദ്ധാന്തം . മൂന്ന് വെക്റ്ററുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം ഈ വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച സമാന്തരപൈപ്പിന്റെ വോള്യത്തിന് തുല്യമാണ്, ഈ വെക്‌ടറുകൾ വലത് ട്രിപ്പിൾ രൂപപ്പെടുത്തുകയാണെങ്കിൽ പ്ലസ് ചിഹ്നവും അവ ഇടത് ട്രിപ്പിൾ രൂപപ്പെടുത്തിയാൽ മൈനസ് ചിഹ്നവും ഉപയോഗിച്ച് എടുക്കുന്നു.

തെളിവ്..ഞങ്ങൾ ഒരു സമാന്തര പൈപ്പ് നിർമ്മിക്കുന്നു, അതിന്റെ അരികുകൾ വെക്റ്ററുകളാണ് , , വെക്‌ടറും
.

നമുക്ക് ഉണ്ട്:
,
, എവിടെ - വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഒപ്പം ,
വെക്റ്ററുകളുടെ ശരിയായ ട്രിപ്പിൾ കൂടാതെ
ഇടത്, എവിടെ
സമാന്തരപൈപ്പിന്റെ ഉയരമാണ്. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
, അതായത്.
, എവിടെ - വെക്റ്ററുകൾ രൂപംകൊണ്ട സമാന്തരപൈപ്പിന്റെ അളവ് , ഒപ്പം .

മിശ്രിത ഉൽപ്പന്ന സവിശേഷതകൾ

1. മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം എപ്പോൾ മാറില്ല ചാക്രികമായഅതിന്റെ ഘടകങ്ങളുടെ ക്രമപ്പെടുത്തൽ, അതായത്. .

വാസ്തവത്തിൽ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമാന്തരപൈപ്പിന്റെ വോള്യമോ അതിന്റെ അരികുകളുടെ ഓറിയന്റേഷനോ മാറില്ല.

2. വെക്റ്ററിന്റെയും സ്കെലാർ ഗുണനത്തിന്റെയും അടയാളങ്ങൾ വിപരീതമാകുമ്പോൾ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം മാറില്ല, അതായത്.
.

ശരിക്കും,
ഒപ്പം
. വെക്റ്ററുകളുടെ ട്രിപ്പിൾ ആയതിനാൽ ഈ തുല്യതയുടെ വലതുവശത്ത് ഞങ്ങൾ ഒരേ അടയാളം എടുക്കുന്നു , , ഒപ്പം , , - ഒരു ഓറിയന്റേഷൻ.

അതിനാൽ,
. വെക്റ്ററുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം എഴുതാൻ ഇത് ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു
പോലെ
വെക്‌ടറിന്റെ അടയാളങ്ങളില്ലാതെ, സ്കെയിലർ ഗുണനം.

3. ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ഫാക്ടർ വെക്‌ടറുകൾ സ്ഥലങ്ങൾ മാറ്റുമ്പോൾ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം അടയാളം മാറുന്നു, അതായത്.
,
,
.

തീർച്ചയായും, അത്തരം ഒരു ക്രമമാറ്റം വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിലെ ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ക്രമമാറ്റത്തിന് തുല്യമാണ്, അത് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ അടയാളം മാറ്റുന്നു.

4. നോൺസീറോ വെക്ടറുകളുടെ മിക്സഡ് ഉൽപ്പന്നം , ഒപ്പം കോപ്ലനാർ ആണെങ്കിൽ മാത്രം പൂജ്യമാണ്.

2.12 ഒരു ഓർത്തോനോർമൽ അടിസ്ഥാനത്തിൽ കോർഡിനേറ്റ് രൂപത്തിൽ മിക്സഡ് ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കുന്നു

വെക്റ്ററുകൾ അനുവദിക്കുക
,
,
. വെക്റ്റർ, സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾക്കുള്ള കോർഡിനേറ്റുകളിലെ എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് അവരുടെ മിക്സഡ് ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്താം:

. (10)

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫോർമുല ചെറുതായി എഴുതാം:

സമത്വത്തിന്റെ വലത് വശം (10) എന്നത് മൂന്നാം നിരയുടെ മൂലകങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ മൂന്നാം ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ വികാസമാണ്.

അതിനാൽ, വെക്റ്ററുകളുടെ മിക്സഡ് ഉൽപ്പന്നം, ഗുണിച്ച വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അടങ്ങിയ മൂന്നാം ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനന്റിന് തുല്യമാണ്.

2.13 മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ചില പ്രയോഗങ്ങൾ

ബഹിരാകാശത്തെ വെക്റ്ററുകളുടെ ആപേക്ഷിക ഓറിയന്റേഷൻ നിർണ്ണയിക്കുന്നു

വെക്റ്ററുകളുടെ ആപേക്ഷിക ഓറിയന്റേഷൻ നിർണ്ണയിക്കുന്നു , ഒപ്പം ഇനിപ്പറയുന്ന പരിഗണനകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി. എങ്കിൽ
, അത് , , - വലത് മൂന്ന് എങ്കിൽ
, അത് , , - മൂന്ന് വിട്ടു.

വെക്റ്ററുകൾക്കുള്ള കോംപ്ലനാരിറ്റി അവസ്ഥ

വെക്‌ടറുകൾ , ഒപ്പം കോപ്ലാനാർ അവയുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം (
,
,
):

വെക്റ്ററുകൾ , , കോപ്ലനാർ.

സമാന്തര പിരമിഡിന്റെയും ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള പിരമിഡിന്റെയും വോള്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു

വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു സമാന്തര പൈപ്പിന്റെ അളവ് കാണിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ് , ഒപ്പം ആയി കണക്കാക്കുന്നു
, ഒപ്പം വോളിയവും ത്രികോണ പിരമിഡ്, ഒരേ വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, തുല്യമാണ്
.

ഉദാഹരണം 1വെക്റ്ററുകൾ എന്ന് തെളിയിക്കുക
,
,
കോപ്ലനാർ.

പരിഹാരം.ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്താം:

ഇതിനർത്ഥം വെക്റ്ററുകൾ എന്നാണ്
കോപ്ലനാർ.

ഉദാഹരണം 2ടെട്രാഹെഡ്രോണിന്റെ ശീർഷകങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3). ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് താഴേക്ക് പതിച്ച അതിന്റെ ഉയരത്തിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക .

പരിഹാരം.ആദ്യം നമുക്ക് ടെട്രാഹെഡ്രോണിന്റെ അളവ് കണ്ടെത്താം
. ഫോർമുല അനുസരിച്ച് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഡിറ്റർമിനന്റ് ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയായതിനാൽ, അപ്പോൾ ഈ കാര്യംഫോർമുലയ്ക്ക് മുമ്പ് നിങ്ങൾ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്. അതിനാൽ,
.

ആവശ്യമുള്ള മൂല്യം എച്ച്ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക
, എവിടെ എസ് - അടിസ്ഥാന പ്രദേശം. നമുക്ക് പ്രദേശം നിർണ്ണയിക്കാം എസ്:

എവിടെ

എന്തുകൊണ്ടെന്നാല്

ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു
മൂല്യങ്ങൾ
ഒപ്പം
, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു എച്ച്= 3.

ഉദാഹരണം 3വെക്റ്ററുകൾ രൂപപ്പെടുത്തുക
ബഹിരാകാശത്ത് അടിസ്ഥാനം? വെക്റ്റർ വിഘടിപ്പിക്കുക
വെക്റ്ററുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ.

പരിഹാരം.വെക്റ്ററുകൾ ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു അടിത്തറ ഉണ്ടാക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അവ ഒരേ തലത്തിൽ കിടക്കുന്നില്ല, അതായത്. കോപ്ലനാർ അല്ലാത്തവരാണ്. വെക്റ്ററുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക
:
,

അതിനാൽ, വെക്റ്ററുകൾ കോപ്ലനാർ അല്ല, അവ ബഹിരാകാശത്ത് അടിസ്ഥാനമായി മാറുന്നു. വെക്‌ടറുകൾ ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു അടിത്തറ ഉണ്ടാക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ഏത് വെക്‌ടറും അടിസ്ഥാന വെക്റ്ററുകളുടെ ഒരു രേഖീയ സംയോജനമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം, അതായത്
,എവിടെ
വെക്റ്റർ കോർഡിനേറ്റുകൾ വെക്റ്റർ അടിസ്ഥാനത്തിൽ
. സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം കംപൈൽ ചെയ്തും പരിഹരിച്ചും നമുക്ക് ഈ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്താം

ഗോസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഇത് പരിഹരിക്കുന്നു, നമുക്കുണ്ട്

ഇവിടെ നിന്ന്
. പിന്നെ .

അങ്ങനെ,
.

ഉദാഹരണം 4പിരമിഡിന്റെ ലംബങ്ങൾ ബിന്ദുകളിലാണ്:
,
,
,
. കണക്കാക്കുക:

a) മുഖം പ്രദേശം
;

b) പിരമിഡിന്റെ അളവ്
;

സി) വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷൻ
വെക്റ്ററിന്റെ ദിശയിലേക്ക്
;

d) ആംഗിൾ
;

e) വെക്റ്ററുകൾ പരിശോധിക്കുക
,
,
കോപ്ലനാർ.

പരിഹാരം

a) ഒരു ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന്, ഇത് അറിയപ്പെടുന്നത്:

വെക്റ്ററുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു
ഒപ്പം
, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്

,
.

അവയുടെ പ്രൊജക്ഷനുകളാൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ട വെക്‌ടറുകൾക്ക്, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം ഫോർമുലയിലൂടെ കണ്ടെത്തുന്നു

, എവിടെ
.

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിന്

സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്ററിന്റെ ദൈർഘ്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

,
.

തുടർന്ന്
(ചതുരശ്ര യൂണിറ്റുകൾ).

b) മൂന്ന് വെക്റ്ററുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച സമാന്തര പൈപ്പിന്റെ വോളിയത്തിന് കേവല മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്. , , വാരിയെല്ലുകളിൽ പോലെ.

മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

നമുക്ക് വെക്റ്ററുകൾ കണ്ടെത്താം
,
,
, പിരമിഡിന്റെ അരികുകളുമായി ഒത്തുചേരുന്നു, മുകളിലേക്ക് ഒത്തുചേരുന്നു :

ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം

പിരമിഡിന്റെ അളവ് വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച സമാന്തര പൈപ്പിന്റെ വോളിയത്തിന്റെ ഭാഗത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ
,
,
, അത്
(ക്യൂബിക് യൂണിറ്റുകൾ).

സി) ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്
, ഇത് വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തെ നിർവചിക്കുന്നു , , ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

എവിടെ
അഥവാ
;

അഥവാ
.

വെക്റ്ററിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ കണ്ടെത്താൻ
വെക്റ്ററിന്റെ ദിശയിലേക്ക്
വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക
,
, തുടർന്ന് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുന്നു

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

d) ആംഗിൾ കണ്ടെത്താൻ
വെക്റ്ററുകൾ നിർവ്വചിക്കുക
,
, പോയിന്റിൽ ഒരു പൊതു ഉത്ഭവം ഉണ്ട് :

പിന്നെ, സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്ന ഫോർമുല അനുസരിച്ച്

ഇ) മൂന്ന് വെക്റ്ററുകൾക്ക് വേണ്ടി

,
,

കോപ്ലനാർ ആണ്, അവയുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കേണ്ടത് അത്യാവശ്യവും പര്യാപ്തവുമാണ്.

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ ഞങ്ങൾക്കുണ്ട്
.

അതിനാൽ, വെക്റ്ററുകൾ കോപ്ലനാർ ആണ്.

വെക്‌ടറുകൾക്ക് , കൂടാതെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകുന്ന , മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു: .

മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിക്കുന്നു: 1) ഒരു ടെട്രാഹെഡ്രോണിന്റെയും വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു സമാന്തരപൈപ്പിന്റെയും വോള്യങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ , കൂടാതെ , അരികുകളിൽ പോലെ, ഫോർമുല പ്രകാരം: ; 2) വെക്റ്ററുകളുടെ കോംപ്ലനാരിറ്റിക്ക് ഒരു വ്യവസ്ഥയായി , കൂടാതെ : എന്നിവയും കോപ്ലാനാർ ആണ്.

വിഷയം 5. വിമാനത്തിലെ വരികൾ.

ഋജുവായത് ഉപരിതലത്തിൽ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന തരങ്ങളിലൊന്നിന്റെ സമവാക്യം നൽകാം:

1) - പൊതുവായ സമവാക്യം നേർരേഖ, നേർരേഖയുടെ സാധാരണ വെക്റ്റർ എവിടെയാണ്;

3) - തന്നിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററിന് സമാന്തരമായ ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം ( കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം );

4) - നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് പോയിന്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം;

5) - ലൈൻ സമവാക്യങ്ങൾ ചരിവുള്ള , ലൈൻ കടന്നുപോകുന്ന പോയിന്റ് എവിടെയാണ്; () - രേഖ അച്ചുതണ്ടിൽ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോൺ; - സെഗ്‌മെന്റിന്റെ നീളം (അടയാളം ഉപയോഗിച്ച് ) അച്ചുതണ്ടിൽ ഒരു നേർരേഖയാൽ ഛേദിക്കപ്പെടും (അക്ഷത്തിന്റെ പോസിറ്റീവ് ഭാഗത്ത് സെഗ്‌മെന്റ് മുറിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ “” എന്നും നെഗറ്റീവ് ഭാഗത്താണെങ്കിൽ “” എന്നും അടയാളപ്പെടുത്തുക).

എങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ.

എങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ

വരികളുടെ വിഭജന പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കൂടാതെ ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരമായി കാണപ്പെടുന്നു: അല്ലെങ്കിൽ .

വിഷയം 10. സെറ്റുകൾ. സംഖ്യാ സെറ്റുകൾ. പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

കോൾ സജ്ജീകരിക്കുക ഉപഗണം സെറ്റിന്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും സെറ്റിന്റേതാണെങ്കിൽ സജ്ജീകരിച്ച് എഴുതുക.

സെറ്റ് ചെയ്തു വിളിച്ചു തുല്യമായ , അവ ഒരേ ഘടകങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുകയും എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ. രണ്ട് സെറ്റുകൾ, എങ്കിൽ മാത്രമേ തുല്യമാകൂ.

അസോസിയേഷൻ

കടക്കുന്നു സെറ്റ് ചെയ്യുന്നു, അതിനെ ഒരു സെറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു

വ്യത്യാസം സെറ്റ് ചെയ്യുന്നു, അതിനെ ഒരു സെറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു

മൊഡ്യൂൾ ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുടെ (കേവല മൂല്യം) ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്:

സെറ്റ് വിളിക്കുന്നു സംഖ്യാപരമായ അതിന്റെ ഘടകങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണെങ്കിൽ. സംഖ്യാശാസ്ത്രം ഇടവേളകളിൽ സെറ്റുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു

നമ്പറുകൾ: , , , , , , , , .

വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന സംഖ്യാരേഖയിലെ എല്ലാ പോയിന്റുകളുടെയും ഗണത്തെ, ഏകപക്ഷീയമായ ഒരു ചെറിയ സംഖ്യയെ വിളിക്കുന്നു -അയൽപ്പക്കം (അല്ലെങ്കിൽ ഒരു അയൽപക്കം) ഒരു ബിന്ദുവിൽ സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു. വ്യവസ്ഥ പ്രകാരമുള്ള എല്ലാ പോയിന്റുകളുടെയും ഗണത്തെ , അനിയന്ത്രിതമായ ഒരു വലിയ സംഖ്യയെ വിളിക്കുന്നു - അയൽപ്പക്കം (അല്ലെങ്കിൽ ഒരു അയൽപക്കം) അനന്തതയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ചടങ്ങിനെ വിളിക്കുന്നു പോലും സെറ്റിൽ , പോയിന്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമമിതി , ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥ എല്ലാവർക്കും തൃപ്തികരമാണെങ്കിൽ: ഒപ്പം വിചിത്രമായ വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ. അല്ലെങ്കിൽ, ഒരു പൊതു പ്രവർത്തനം അല്ലെങ്കിൽ ഇരട്ടയോ വിചിത്രമോ അല്ല .

ചടങ്ങിനെ വിളിക്കുന്നു ആനുകാലികം ഒരു നമ്പർ ഉണ്ടെങ്കിൽ സെറ്റിൽ ( പ്രവർത്തന കാലയളവ് ) ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥ എല്ലാവർക്കുമായി സംതൃപ്തമാണ്: ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യയെ പ്രധാന കാലഘട്ടം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ചടങ്ങിനെ വിളിക്കുന്നു ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു (ക്ഷയിക്കുന്നു ) ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ വലിയ മൂല്യം ഫംഗ്‌ഷന്റെ വലിയ (ചെറിയ) മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നെങ്കിൽ സെറ്റിൽ.

വിപരീതം പ്രവർത്തിക്കാൻ , , എന്നത് ഒരു സെറ്റിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷനാണ്, അത് ഓരോന്നിനും അസൈൻ ചെയ്യുന്നു. ഫംഗ്ഷന്റെ വിപരീത ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തുന്നതിന് , നിങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട് താരതമ്യേന . ഫംഗ്ഷൻ എങ്കിൽ , ന് കർശനമായി ഏകതാനമാണ്, അപ്പോൾ അതിന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു വിപരീതമുണ്ട്, കൂടാതെ ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുകയാണെങ്കിൽ (കുറയുന്നു), വിപരീത പ്രവർത്തനവും വർദ്ധിക്കുന്നു (കുറയുന്നു).

ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് എന്നത് ശീർഷമുള്ള ഒരു പരവലയമാണ്, അതിന്റെ ശാഖകൾ ആണെങ്കിൽ മുകളിലേക്കോ താഴേക്കോ നയിക്കപ്പെടുന്നു.

ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, അതിന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ പല വിഭജിക്കപ്പെടാത്ത ഇടവേളകളായി വിഭജിച്ച് അവയിൽ ഓരോന്നിനും തുടർച്ചയായി ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നത് നല്ലതാണ്.

യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ക്രമീകരിച്ച ഏതെങ്കിലും സെറ്റ് വിളിക്കുന്നു ഡോട്ട്-ഡൈമൻഷണൽ ഗണിതശാസ്ത്രം (കോർഡിനേറ്റ്) സ്ഥലം സൂചിപ്പിക്കുക അല്ലെങ്കിൽ , സംഖ്യകളെ അതിന്റെ എന്ന് വിളിക്കുമ്പോൾ കോർഡിനേറ്റുകൾ .

ചില പോയിന്റുകളുടെ സെറ്റ് ആകട്ടെ ഒപ്പം . ഓരോ പോയിന്റും ചില നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, നന്നായി നിർവചിക്കപ്പെട്ട ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യ അസൈൻ ചെയ്‌താൽ, വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു സംഖ്യാ ഫംഗ്‌ഷൻ സെറ്റിൽ നൽകിയിട്ടുണ്ടെന്ന് അവർ പറയുന്നു, എഴുതുക അല്ലെങ്കിൽ ചുരുക്കത്തിൽ, വിളിക്കുമ്പോൾ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ , - മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടം , - വാദങ്ങൾ (സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകൾ) പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പലപ്പോഴും സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു, മൂന്ന് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ -. ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ വിമാനത്തിലെ ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റുകളാണ്, ഫംഗ്ഷനുകൾ ബഹിരാകാശത്തെ ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റുകളാണ്.

വിഷയം 7. സംഖ്യാ ക്രമങ്ങളും പരമ്പരകളും. സീക്വൻസ് പരിധി. ഒരു പ്രവർത്തനത്തിന്റെയും തുടർച്ചയുടെയും പരിധി.

ഒരു നിശ്ചിത നിയമമനുസരിച്ച്, ഓരോ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും നന്നായി നിർവചിക്കപ്പെട്ട ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അവർ അത് പറയുന്നു സംഖ്യാ ക്രമം . ചുരുക്കത്തിൽ സൂചിപ്പിക്കുക. നമ്പർ വിളിക്കുന്നു ക്രമത്തിലെ സാധാരണ അംഗം . ഒരു ശ്രേണിയെ സ്വാഭാവിക വാദത്തിന്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എന്നും വിളിക്കുന്നു. ഒരു ശ്രേണിയിൽ എല്ലായ്പ്പോഴും അനന്തമായ ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അവയിൽ ചിലത് തുല്യമായിരിക്കാം.

നമ്പർ വിളിക്കുന്നു അനുക്രമ പരിധി , കൂടാതെ ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയ്ക്ക് അസമത്വം എല്ലാവർക്കും തൃപ്തികരമാകുന്ന ഒരു സംഖ്യ ഉണ്ടെങ്കിൽ എഴുതുക.

പരിമിതമായ പരിധിയുള്ള ഒരു ശ്രേണിയെ വിളിക്കുന്നു ഒത്തുചേരുന്നു , അല്ലാത്തപക്ഷം - വ്യത്യസ്തമായ .

: 1) ക്ഷയിക്കുന്നു , എങ്കിൽ; 2) വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന , എങ്കിൽ; 3) കുറയാത്തത് , എങ്കിൽ; 4) വർദ്ധിക്കാത്തത് , എങ്കിൽ. മുകളിലുള്ള എല്ലാ സീക്വൻസുകളും വിളിക്കുന്നു ഏകതാനമായ .

ക്രമം വിളിക്കുന്നു പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു , ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥ എല്ലാവർക്കുമായി തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു സംഖ്യ ഉണ്ടെങ്കിൽ: . അല്ലെങ്കിൽ, ക്രമം പരിധിയില്ലാത്ത .

എല്ലാ മോണോടോൺ ബൗണ്ടഡ് സീക്വൻസിനും ഒരു പരിധിയുണ്ട് ( വെയർസ്ട്രാസ് സിദ്ധാന്തം).

ക്രമം വിളിക്കുന്നു അനന്തമായ , എങ്കിൽ. ക്രമം വിളിക്കുന്നു അനന്തമായി വലുത് (അനന്തതയിലേക്ക് ഒത്തുചേരുന്നു) എങ്കിൽ .

നമ്പർ ശ്രേണിയുടെ പരിധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു, എവിടെ

സ്ഥിരാങ്കത്തെ നോൺപീർ നമ്പർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു സംഖ്യയുടെ അടിസ്ഥാന ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു സ്വാഭാവിക ലോഗരിതംഅക്കങ്ങൾ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു.

സംഖ്യകളുടെ ഒരു ക്രമം ഉള്ള ഫോമിന്റെ ഒരു പദപ്രയോഗത്തെ വിളിക്കുന്നു സംഖ്യാ പരമ്പര എന്നിവ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. പരമ്പരയിലെ ആദ്യ നിബന്ധനകളുടെ ആകെത്തുകയാണ് വിളിക്കുന്നത് ഭാഗിക തുക വരി.

വരി വിളിക്കുന്നു ഒത്തുചേരുന്നു ഒരു പരിമിതമായ പരിധി ഉണ്ടെങ്കിൽ ഒപ്പം വ്യത്യസ്തമായ പരിധി നിലവിലില്ലെങ്കിൽ. നമ്പർ വിളിക്കുന്നു ഒരു സംയോജിത ശ്രേണിയുടെ ആകെത്തുക , എഴുതുമ്പോൾ.

പരമ്പര ഒത്തുചേരുകയാണെങ്കിൽ, പിന്നെ (പരമ്പരയുടെ ഒത്തുചേരലിന് ആവശ്യമായ ഒരു മാനദണ്ഡം ) . സംഭാഷണം ശരിയല്ല.

എങ്കിൽ, പരമ്പര വ്യതിചലിക്കുന്നു ( പരമ്പരയുടെ വ്യതിചലനത്തിന് മതിയായ മാനദണ്ഡം ).

സാമാന്യവൽക്കരിച്ച ഹാർമോണിക് പരമ്പരയിൽ കൂടിച്ചേരുകയും വ്യതിചലിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന ഒരു ശ്രേണി എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ജ്യാമിതീയ ശ്രേണി എന്നതിൽ കൂടിച്ചേരുന്ന ഒരു ശ്രേണിയെ വിളിക്കുക, അതേസമയം അതിന്റെ ആകെത്തുക തുല്യവും വ്യതിചലിക്കുന്നതുമാണ്. ഒരു സംഖ്യയോ ചിഹ്നമോ കണ്ടെത്തുക. (ഇടത് അർദ്ധ അയൽപക്കം, വലത് അയൽപക്കം) കൂടാതെ

ഈ പാഠത്തിൽ, വെക്റ്ററുകളുള്ള രണ്ട് പ്രവർത്തനങ്ങൾ കൂടി ഞങ്ങൾ നോക്കും: വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നംഒപ്പം വെക്റ്ററുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം (ആവശ്യമുള്ളവർക്കായി ഉടനടി ലിങ്ക്). കുഴപ്പമില്ല, ചിലപ്പോൾ പൂർണ്ണമായ സന്തോഷത്തിനായി അത് സംഭവിക്കുന്നു, കൂടാതെ വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം, കൂടുതൽ കൂടുതൽ ആവശ്യമാണ്. അങ്ങനെയാണ് വെക്റ്റർ ആസക്തി. നമ്മൾ അനലിറ്റിക് ജ്യാമിതിയുടെ കാടുകളിലേക്ക് കടക്കുകയാണെന്ന് ഒരാൾക്ക് തോന്നാം. ഇത് തെറ്റാണ്. ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഈ വിഭാഗത്തിൽ, പിനോച്ചിയോയ്ക്ക് വേണ്ടത്ര വിറകുകളൊഴികെ, പൊതുവെ കുറച്ച് വിറക് ഉണ്ട്. വാസ്തവത്തിൽ, മെറ്റീരിയൽ വളരെ സാധാരണവും ലളിതവുമാണ് - അതേതിനേക്കാൾ ബുദ്ധിമുട്ടാണ് സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം, സാധാരണ ജോലികൾ പോലും കുറവായിരിക്കും. അനലിറ്റിക് ജ്യാമിതിയിലെ പ്രധാന കാര്യം, പലരും കാണും അല്ലെങ്കിൽ ഇതിനകം കണ്ടിട്ടുണ്ട്, കണക്കുകൂട്ടലുകൾ തെറ്റിക്കരുത്. ഒരു മന്ത്രം പോലെ ആവർത്തിക്കുക, നിങ്ങൾ സന്തോഷിക്കും =)

ചക്രവാളത്തിൽ മിന്നൽ പോലെ ദൂരെ എവിടെയെങ്കിലും വെക്‌ടറുകൾ മിന്നിമറയുന്നുവെങ്കിൽ, അത് പ്രശ്നമല്ല, പാഠത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുക ഡമ്മികൾക്കുള്ള വെക്‌ടറുകൾവെക്റ്ററുകളെക്കുറിച്ചുള്ള അടിസ്ഥാന അറിവ് പുനഃസ്ഥാപിക്കുക അല്ലെങ്കിൽ വീണ്ടെടുക്കുക. കൂടുതൽ തയ്യാറാക്കിയ വായനക്കാർക്ക് വിവരങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത് പരിചയപ്പെടാൻ കഴിയും, പലപ്പോഴും കാണപ്പെടുന്ന ഉദാഹരണങ്ങളുടെ ഏറ്റവും പൂർണ്ണമായ ശേഖരം ശേഖരിക്കാൻ ഞാൻ ശ്രമിച്ചു. പ്രായോഗിക ജോലി

എന്താണ് നിങ്ങളെ സന്തോഷിപ്പിക്കുന്നത്? ഞാൻ ചെറുതായിരിക്കുമ്പോൾ, എനിക്ക് രണ്ടും മൂന്നും പന്തുകൾ പോലും കൈകാര്യം ചെയ്യാമായിരുന്നു. അത് നന്നായി പ്രവർത്തിച്ചു. ഇപ്പോൾ തന്ത്രപ്രധാനമായ ആവശ്യമില്ല, കാരണം ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും ബഹിരാകാശ വെക്‌ടറുകൾ മാത്രം, കൂടാതെ രണ്ട് കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള ഫ്ലാറ്റ് വെക്റ്ററുകൾ ഉപേക്ഷിക്കപ്പെടും. എന്തുകൊണ്ട്? ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ജനിച്ചത് ഇങ്ങനെയാണ് - വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്ററും മിക്സഡ് ഉൽപ്പന്നവും നിർവചിക്കുകയും ത്രിമാന സ്ഥലത്ത് പ്രവർത്തിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇതിനകം എളുപ്പമാണ്!

ഈ പ്രവർത്തനത്തിൽ, സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിലെ അതേ രീതിയിൽ, രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ. നശിക്കാത്ത അക്ഷരങ്ങളാകട്ടെ.

നടപടി തന്നെ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നുഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ: . മറ്റ് ഓപ്ഷനുകളുണ്ട്, പക്ഷേ വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം ഈ രീതിയിൽ, ക്രോസ് ഉള്ള ചതുര ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിർദ്ദേശിക്കുന്നത് ഞാൻ പതിവാണ്.

ഉടനെ ചോദ്യം: അകത്തുണ്ടെങ്കിൽ വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നംരണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ ഉൾപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, ഇവിടെ രണ്ട് വെക്‌ടറുകളും ഗുണിക്കപ്പെടുന്നു എന്താണ് വ്യത്യാസം? വ്യക്തമായ വ്യത്യാസം, ഒന്നാമതായി, ഫലത്തിൽ:

വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഫലം ഒരു NUMBER ആണ്:

വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റിന്റെ ഫലം ഒരു വെക്‌ടറാണ്:, അതായത്, ഞങ്ങൾ വെക്റ്ററുകൾ ഗുണിച്ച് വീണ്ടും ഒരു വെക്റ്റർ നേടുന്നു. അടച്ച ക്ലബ്. യഥാർത്ഥത്തിൽ, അതിനാൽ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പേര്. പലതരത്തിൽ വിദ്യാഭ്യാസ സാഹിത്യംനൊട്ടേഷനും വ്യത്യാസപ്പെടാം, ഞാൻ അക്ഷരം ഉപയോഗിക്കും.

ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർവ്വചനം

ആദ്യം ഒരു ചിത്രത്തോടുകൂടിയ ഒരു നിർവചനം ഉണ്ടാകും, തുടർന്ന് അഭിപ്രായങ്ങൾ.

നിർവ്വചനം: ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം നോൺ-കോളിനിയർവെക്‌ടറുകൾ, ഈ ക്രമത്തിൽ എടുത്തത്, വെക്ടർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, നീളംസംഖ്യാപരമായത് സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, ഈ വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്; വെക്റ്റർ വെക്റ്ററുകൾക്ക് ഓർത്തോഗണൽഅടിസ്ഥാനത്തിന് ശരിയായ ഓറിയന്റേഷൻ ഉള്ള തരത്തിൽ സംവിധാനം ചെയ്യുന്നു:

അസ്ഥികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ നിർവചനം വിശകലനം ചെയ്യുന്നു, രസകരമായ ഒരുപാട് കാര്യങ്ങളുണ്ട്!

അതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന സുപ്രധാന പോയിന്റുകൾ നമുക്ക് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യാൻ കഴിയും:

1) നിർവചനപ്രകാരം ചുവന്ന അമ്പടയാളങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിച്ച ഉറവിട വെക്‌ടറുകൾ കോളിനിയർ അല്ല. കോളിനിയർ വെക്റ്ററുകളുടെ കാര്യം കുറച്ച് കഴിഞ്ഞ് പരിഗണിക്കുന്നത് ഉചിതമായിരിക്കും.

2) വെക്‌ടറുകൾ എടുത്തു കർശനമായി നിശ്ചിത ക്രമം : – "a" എന്നത് "be" കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു, "ആകുക" എന്നത് "a" എന്നല്ല. വെക്റ്റർ ഗുണനത്തിന്റെ ഫലംവെക്ടർ ആണ്, ഇത് നീല നിറത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. വെക്റ്ററുകൾ വിപരീത ക്രമത്തിൽ ഗുണിച്ചാൽ, നമുക്ക് ഒരു വെക്റ്റർ തുല്യ നീളത്തിലും വിപരീത ദിശയിലും (ക്രിംസൺ കളർ) ലഭിക്കും. അതായത് സമത്വം .

3) ഇനി നമുക്ക് വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം പരിചയപ്പെടാം. ഇത് വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു പോയിന്റാണ്! നീല വെക്‌ടറിന്റെ നീളം (അതിനാൽ, ക്രിംസൺ വെക്‌ടറും) വെക്‌റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച സമാന്തരചലനത്തിന്റെ ഏരിയയ്‌ക്ക് സംഖ്യാപരമായി തുല്യമാണ്. ചിത്രത്തിൽ, ഈ സമാന്തരരേഖ കറുപ്പ് നിറത്തിലാണ്.

കുറിപ്പ് : ഡ്രോയിംഗ് സ്കീമാറ്റിക് ആണ്, കൂടാതെ, തീർച്ചയായും, ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നാമമാത്രമായ നീളം സമാന്തരരേഖയുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമല്ല.

ജ്യാമിതീയ സൂത്രവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു: ഒരു സമാന്തരരേഖയുടെ വിസ്തീർണ്ണം അടുത്തുള്ള വശങ്ങളുടെയും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ സൈനിന്റെയും ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, മേൽപ്പറഞ്ഞവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല സാധുവാണ്:

സൂത്രവാക്യത്തിൽ നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നത് വെക്റ്ററിന്റെ ദൈർഘ്യത്തെക്കുറിച്ചാണെന്നും വെക്റ്ററിനെക്കുറിച്ചല്ലെന്നും ഞാൻ ഊന്നിപ്പറയുന്നു. എന്താണ് പ്രായോഗിക അർത്ഥം? അനലിറ്റിക് ജ്യാമിതിയുടെ പ്രശ്നങ്ങളിൽ, ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം എന്ന ആശയത്തിലൂടെ ഒരു സമാന്തരരേഖയുടെ വിസ്തീർണ്ണം പലപ്പോഴും കാണപ്പെടുന്നു എന്നതാണ് അർത്ഥം:

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ പ്രധാന ഫോർമുല ലഭിക്കും. സമാന്തരചലനത്തിന്റെ ഡയഗണൽ (ചുവന്ന ഡോട്ടഡ് ലൈൻ) അതിനെ രണ്ട് തുല്യ ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു. അതിനാൽ, വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം (ചുവപ്പ് ഷേഡിംഗ്) ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താനാകും:

4) കുറവല്ല പ്രധാനപ്പെട്ട വസ്തുതവെക്‌റ്റർ വെക്‌ടറുകൾക്ക് ഓർത്തോഗണൽ ആണ്, അതായത്, . തീർച്ചയായും, വിപരീത ദിശയിലുള്ള വെക്‌ടറും (ക്രിംസൺ അമ്പടയാളം) യഥാർത്ഥ വെക്‌ടറുകൾക്ക് ഓർത്തോഗണൽ ആണ്.

5) വെക്റ്റർ അങ്ങനെയാണ് സംവിധാനം ചെയ്തിരിക്കുന്നത് അടിസ്ഥാനംഅതിനുണ്ട് ശരിയാണ്ഓറിയന്റേഷൻ. എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു പാഠത്തിൽ ഒരു പുതിയ അടിസ്ഥാനത്തിലേക്കുള്ള മാറ്റംഞാൻ വിശദമായി സംസാരിച്ചു വിമാന ഓറിയന്റേഷൻ, ഇപ്പോൾ നമ്മൾ സ്ഥലത്തിന്റെ ഓറിയന്റേഷൻ എന്താണെന്ന് കണ്ടെത്തും. ഞാൻ നിങ്ങളുടെ വിരലുകളിൽ വിശദീകരിക്കും വലംകൈ. മാനസികമായി സംയോജിപ്പിക്കുക ചൂണ്ടുവിരൽ വെക്റ്റർ ഒപ്പം നടുവിരൽവെക്റ്റർ ഉപയോഗിച്ച്. മോതിരവിരലും ചെറുവിരലുംനിങ്ങളുടെ കൈപ്പത്തിയിൽ അമർത്തുക. തൽഫലമായി പെരുവിരൽ- വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം മുകളിലേക്ക് നോക്കും. ഇതാണ് ശരിയായ അടിസ്ഥാനം (അത് ചിത്രത്തിൽ ഉണ്ട്). ഇപ്പോൾ വെക്റ്ററുകൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്യുക ( സൂചികയും നടുവിരലുകൾ ) ചില സ്ഥലങ്ങളിൽ, തൽഫലമായി, തള്ളവിരൽ തിരിയുകയും വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം ഇതിനകം താഴേക്ക് നോക്കുകയും ചെയ്യും. ഇതും വലതുപക്ഷ അടിസ്ഥാനമാണ്. ഒരുപക്ഷേ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ചോദ്യമുണ്ടായിരിക്കാം: ഇടതുപക്ഷ ഓറിയന്റേഷനെന്താണ് അടിസ്ഥാനം? ഒരേ വിരലുകൾ "അസൈൻ ചെയ്യുക" ഇടതു കൈവെക്‌ടറുകൾ, ഇടത് അടിസ്ഥാനവും ഇടത് ബഹിരാകാശ ഓറിയന്റേഷനും നേടുക (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, തള്ളവിരൽ താഴ്ന്ന വെക്റ്ററിന്റെ ദിശയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യും). ആലങ്കാരികമായി പറഞ്ഞാൽ, ഈ അടിത്തറകൾ വ്യത്യസ്ത ദിശകളിലേക്ക് "വളച്ചൊടിക്കുക" അല്ലെങ്കിൽ ഓറിയന്റ് സ്പേസ്. ഈ ആശയം വിദൂരമായതോ അമൂർത്തമായതോ ആയ ഒന്നായി കണക്കാക്കരുത് - ഉദാഹരണത്തിന്, ഏറ്റവും സാധാരണമായ കണ്ണാടി സ്ഥലത്തിന്റെ ഓറിയന്റേഷൻ മാറ്റുന്നു, നിങ്ങൾ "പ്രതിഫലിക്കുന്ന വസ്തുവിനെ കണ്ണാടിയിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ", പൊതുവേ അത് സാധ്യമല്ല. അത് "ഒറിജിനൽ" എന്നതുമായി സംയോജിപ്പിക്കുക. വഴിയിൽ, കണ്ണാടിയിൽ മൂന്ന് വിരലുകൾ കൊണ്ടുവന്ന് പ്രതിഫലനം വിശകലനം ചെയ്യുക ;-)

... നിങ്ങൾ ഇപ്പോൾ അറിയുന്നത് എത്ര നല്ലതാണ് വലത്തും ഇടത്തും ഓറിയന്റഡ്അടിസ്ഥാനങ്ങൾ, കാരണം ഓറിയന്റേഷൻ മാറ്റത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചില ലക്ചറർമാരുടെ പ്രസ്താവനകൾ ഭയങ്കരമാണ് =)

കോളിനിയർ വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം

നിർവചനം വിശദമായി തയ്യാറാക്കിയിട്ടുണ്ട്, വെക്റ്ററുകൾ കോളിനിയറായിരിക്കുമ്പോൾ എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് കണ്ടെത്താൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു. വെക്റ്ററുകൾ കോളിനിയർ ആണെങ്കിൽ, അവ ഒരു നേർരേഖയിൽ സ്ഥാപിക്കാം, കൂടാതെ നമ്മുടെ സമാന്തരരേഖയും ഒരു നേർരേഖയിലേക്ക് "മടയുന്നു". ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പറയുന്നതുപോലെ അത്തരം മേഖലകൾ, അധഃപതിക്കുകസമാന്തരരേഖ പൂജ്യമാണ്. സൂത്രവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു - പൂജ്യം അല്ലെങ്കിൽ 180 ഡിഗ്രിയുടെ സൈൻ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത് ഏരിയ പൂജ്യമാണ്

അങ്ങനെ, എങ്കിൽ , പിന്നെ ഒപ്പം . ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം തന്നെ പൂജ്യം വെക്റ്ററിന് തുല്യമാണെന്ന് ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക, എന്നാൽ പ്രായോഗികമായി ഇത് പലപ്പോഴും അവഗണിക്കപ്പെടുകയും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു.

പ്രത്യേക കേസ്ഒരു വെക്റ്ററിന്റെയും അതിന്റെയും ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റ് ആണ്:

ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ത്രിമാന വെക്റ്ററുകളുടെ കോളിനാരിറ്റി പരിശോധിക്കാൻ കഴിയും, കൂടാതെ ഈ പ്രശ്നം ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും.

പ്രായോഗിക ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, അത് ആവശ്യമായി വന്നേക്കാം ത്രികോണമിതി പട്ടികഅതിൽ നിന്ന് സൈനുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ.

ശരി, നമുക്ക് തീ ആരംഭിക്കാം:

ഉദാഹരണം 1

a) എങ്കിൽ വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക

b) എങ്കിൽ വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം: ഇല്ല, ഇതൊരു അക്ഷരത്തെറ്റല്ല, കണ്ടീഷൻ ഇനങ്ങളിലെ പ്രാരംഭ ഡാറ്റ ഞാൻ മനഃപൂർവം തന്നെ ആക്കി. കാരണം പരിഹാരങ്ങളുടെ രൂപകൽപ്പന വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും!

a) വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, അത് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് നീളംവെക്റ്റർ (വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം). അനുബന്ധ ഫോർമുല അനുസരിച്ച്:

ഉത്തരം:

നീളത്തെക്കുറിച്ച് ചോദിച്ചതിനാൽ, ഉത്തരത്തിൽ ഞങ്ങൾ അളവ് സൂചിപ്പിക്കുന്നു - യൂണിറ്റുകൾ.

b) വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, അത് കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് സമചതുരം Samachathuramവെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച സമാന്തരരേഖ. ഈ സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളത്തിന് സംഖ്യാപരമായി തുല്യമാണ്:

ഉത്തരം:

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഉത്തരത്തിൽ ഒരു സംസാരവുമില്ല, ഞങ്ങളോട് ചോദിച്ചത് ശ്രദ്ധിക്കുക ഫിഗർ ഏരിയയഥാക്രമം, അളവ് ചതുര യൂണിറ്റുകളാണ്.

വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം എന്താണ് കണ്ടെത്തേണ്ടതെന്ന് ഞങ്ങൾ എപ്പോഴും നോക്കുന്നു, ഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഞങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു വ്യക്തമായഉത്തരം. ഇത് ലിറ്ററലിസം പോലെ തോന്നാം, പക്ഷേ അധ്യാപകരിൽ ആവശ്യത്തിന് അക്ഷരാർത്ഥികൾ ഉണ്ട്, കൂടാതെ നല്ല അവസരങ്ങളുള്ള ടാസ്ക്ക് റിവിഷനായി തിരികെ നൽകും. ഇത് പ്രത്യേകിച്ച് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ഒരു നിറ്റ്പിക്ക് അല്ലെങ്കിലും - ഉത്തരം തെറ്റാണെങ്കിൽ, ആ വ്യക്തിക്ക് ലളിതമായ കാര്യങ്ങൾ മനസ്സിലാകുന്നില്ലെന്നും കൂടാതെ / അല്ലെങ്കിൽ ടാസ്ക്കിന്റെ സാരാംശം മനസ്സിലാക്കിയിട്ടില്ലെന്നും ഒരു ധാരണ ലഭിക്കും. ഈ നിമിഷം എല്ലായ്പ്പോഴും നിയന്ത്രണത്തിൽ സൂക്ഷിക്കണം, ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലും മറ്റ് വിഷയങ്ങളിലും ഏത് പ്രശ്നവും പരിഹരിക്കുന്നു.

"en" എന്ന വലിയ അക്ഷരം എവിടെ പോയി? തത്വത്തിൽ, ഇത് അധികമായി പരിഹാരത്തിൽ കുടുങ്ങിയേക്കാം, പക്ഷേ റെക്കോർഡ് ചെറുതാക്കാൻ, ഞാൻ ചെയ്തില്ല. എല്ലാവരും അത് മനസ്സിലാക്കുമെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു, അത് ഒരേ കാര്യത്തിന്റെ പദവിയാണ്.

സ്വയം ചെയ്യേണ്ട ഒരു പരിഹാരത്തിനുള്ള ഒരു ജനപ്രിയ ഉദാഹരണം:

ഉദാഹരണം 2

എങ്കിൽ വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിലൂടെ ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം നിർവചനത്തിനുള്ള അഭിപ്രായങ്ങളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. പാഠത്തിന്റെ അവസാനത്തിൽ പരിഹാരവും ഉത്തരവും.

പ്രായോഗികമായി, ചുമതല വളരെ സാധാരണമാണ്, ത്രികോണങ്ങൾ സാധാരണയായി പീഡിപ്പിക്കപ്പെടാം.

മറ്റ് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ്:

വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ചില സവിശേഷതകൾ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരിഗണിച്ചിട്ടുണ്ട്, എന്നിരുന്നാലും, ഞാൻ അവ ഈ പട്ടികയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തും.

അനിയന്ത്രിതമായ വെക്റ്ററുകൾക്കും അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യകൾക്കും, ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങൾ ശരിയാണ്:

1) മറ്റ് വിവര സ്രോതസ്സുകളിൽ, ഈ ഇനം സാധാരണയായി പ്രോപ്പർട്ടികളിൽ വേർതിരിക്കപ്പെടുന്നില്ല, എന്നാൽ പ്രായോഗികമായി ഇത് വളരെ പ്രധാനമാണ്. അങ്ങനെ ഇരിക്കട്ടെ.

2) - സ്വത്തും മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്തിട്ടുണ്ട്, ചിലപ്പോൾ അതിനെ വിളിക്കുന്നു ആന്റികമ്മ്യൂട്ടറ്റിവിറ്റി. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രമം പ്രധാനമാണ്.

3) - കോമ്പിനേഷൻ അല്ലെങ്കിൽ സഹകാരിവെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്ന നിയമങ്ങൾ. സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ പരിധിയിൽ നിന്ന് എളുപ്പത്തിൽ പുറത്തെടുക്കുന്നു. ശരിക്കും, അവർ അവിടെ എന്താണ് ചെയ്യുന്നത്?

4) - വിതരണം അല്ലെങ്കിൽ വിതരണവെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്ന നിയമങ്ങൾ. ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുന്നതിലും പ്രശ്നങ്ങളില്ല.

ഒരു പ്രകടനമെന്ന നിലയിൽ, ഒരു ചെറിയ ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക:

ഉദാഹരണം 3

ഉണ്ടെങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം:വ്യവസ്ഥയനുസരിച്ച്, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തേണ്ടത് വീണ്ടും ആവശ്യമാണ്. നമുക്ക് നമ്മുടെ മിനിയേച്ചർ വരയ്ക്കാം:

(1) അനുബന്ധ നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ പരിധിക്കപ്പുറമുള്ള സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കുന്നു.

(2) ഞങ്ങൾ മൊഡ്യൂളിൽ നിന്ന് സ്ഥിരാങ്കം എടുക്കുന്നു, അതേസമയം മൊഡ്യൂൾ മൈനസ് ചിഹ്നം "തിന്നുന്നു". ദൈർഘ്യം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കരുത്.

(3) ഇനി പറയുന്ന കാര്യങ്ങൾ വ്യക്തമാണ്.

ഉത്തരം:

തീയിൽ വിറക് എറിയാനുള്ള സമയമാണിത്:

ഉദാഹരണം 4

വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക

പരിഹാരം: ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക . "ce" ഉം "te" ഉം വെക്‌ടറുകളുടെ ആകെത്തുകയായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു എന്നതാണ് സ്നാഗ്. ഇവിടെയുള്ള അൽഗോരിതം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ആണ്, കൂടാതെ പാഠത്തിന്റെ നമ്പർ 3, 4 ഉദാഹരണങ്ങളെ ഒരു പരിധിവരെ അനുസ്മരിപ്പിക്കുന്നു. വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം. വ്യക്തതയ്ക്കായി അതിനെ മൂന്ന് ഘട്ടങ്ങളായി വിഭജിക്കാം:

1) ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിലൂടെ ഞങ്ങൾ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, വാസ്തവത്തിൽ, വെക്‌ടറിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ വെക്‌ടറിനെ പ്രകടിപ്പിക്കുക. ദൈർഘ്യത്തെക്കുറിച്ച് ഇതുവരെ പറഞ്ഞിട്ടില്ല!

(1) വെക്റ്ററുകളുടെ എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.

(2) വിതരണ നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ബഹുപദങ്ങളുടെ ഗുണന നിയമം അനുസരിച്ച് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുക.

(3) അനുബന്ധ നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾക്കപ്പുറത്തുള്ള എല്ലാ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളും ഞങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കുന്നു. കുറച്ച് അനുഭവപരിചയമുണ്ടെങ്കിൽ, 2, 3 പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഒരേസമയം ചെയ്യാൻ കഴിയും.

(4) ആദ്യത്തേയും അവസാനത്തേയും പദങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് (പൂജ്യം വെക്റ്റർ) തുല്യമാണ്. രണ്ടാമത്തെ ടേമിൽ, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ആന്റികമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റി പ്രോപ്പർട്ടി ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

(5) ഞങ്ങൾ സമാനമായ നിബന്ധനകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

തൽഫലമായി, വെക്റ്റർ ഒരു വെക്റ്ററിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതായി മാറി, അത് നേടേണ്ടതുണ്ട്:

2) രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൽ, നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തുന്നു. ഈ പ്രവർത്തനം ഉദാഹരണം 3-ന് സമാനമാണ്:

3) ആവശ്യമായ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക:

പരിഹാരത്തിന്റെ 2-3 ഘട്ടങ്ങൾ ഒരു വരിയിൽ ക്രമീകരിക്കാം.

ഉത്തരം:

പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന പ്രശ്നം വളരെ സാധാരണമാണ് നിയന്ത്രണ ജോലി, സ്വയം ചെയ്യേണ്ട ഒരു പരിഹാരത്തിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ:

ഉദാഹരണം 5

ഉണ്ടെങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക

പാഠത്തിന്റെ അവസാനത്തിൽ ചെറിയ പരിഹാരവും ഉത്തരവും. മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണങ്ങൾ പഠിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ എത്രമാത്രം ശ്രദ്ധാലുവായിരുന്നുവെന്ന് നോക്കാം ;-)

കോർഡിനേറ്റുകളിലെ വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റ്

, ഓർത്തോനോർമൽ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:

സൂത്രവാക്യം വളരെ ലളിതമാണ്: ഞങ്ങൾ ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ മുകളിലെ വരിയിൽ കോർഡിനേറ്റ് വെക്റ്ററുകൾ എഴുതുന്നു, രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും വരികളിലെ വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഞങ്ങൾ "പാക്ക്" ചെയ്യുന്നു, ഞങ്ങൾ ഇടുന്നു കർശനമായ ക്രമത്തിൽ- ആദ്യം, വെക്‌ടറിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ "ve", പിന്നെ വെക്‌ടറിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ "ഡബിൾ-വീ". വെക്റ്ററുകൾ മറ്റൊരു ക്രമത്തിൽ ഗുണിക്കണമെങ്കിൽ, വരികളും സ്വാപ്പ് ചെയ്യണം:

ഉദാഹരണം 10

ഇനിപ്പറയുന്ന സ്പേസ് വെക്‌ടറുകൾ കോളിനിയറാണോയെന്ന് പരിശോധിക്കുക:
എ)
b)

പരിഹാരം: ഈ പാഠത്തിലെ ഒരു പ്രസ്താവനയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് പരിശോധന: വെക്റ്ററുകൾ കോളിനിയറാണെങ്കിൽ, അവയുടെ ക്രോസ് പ്രോഡക്റ്റ് പൂജ്യമാണ് (പൂജ്യം വെക്റ്റർ): .

a) വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക:

അതിനാൽ വെക്‌ടറുകൾ കോളിനിയർ അല്ല.

b) വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക:

ഉത്തരം: എ) കോളിനിയർ അല്ല, ബി)

ഇവിടെ, ഒരുപക്ഷേ, വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തെക്കുറിച്ചുള്ള എല്ലാ അടിസ്ഥാന വിവരങ്ങളും.

ഈ വിഭാഗം വളരെ വലുതായിരിക്കില്ല, കാരണം വെക്റ്ററുകളുടെ മിക്സഡ് ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിക്കുന്ന കുറച്ച് പ്രശ്നങ്ങൾ ഉണ്ട്. വാസ്തവത്തിൽ, എല്ലാം നിർവചനം, ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം, രണ്ട് പ്രവർത്തന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എന്നിവയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും.

വെക്റ്ററുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നമാണ് മൂന്നിന്റെ ഉൽപ്പന്നംവെക്റ്ററുകൾ:

ഇങ്ങനെയാണ് അവർ ഒരു ട്രെയിൻ പോലെ വരിവരിയായി കാത്തിരിക്കുന്നത്, അവർ കണക്കുകൂട്ടുന്നത് വരെ കാത്തിരിക്കാനാവില്ല.

ആദ്യം വീണ്ടും നിർവചനവും ചിത്രവും:

നിർവ്വചനം: മിക്സഡ് ഉൽപ്പന്നം നോൺ-കോപ്ലനാർവെക്‌ടറുകൾ, ഈ ക്രമത്തിൽ എടുത്തത്, വിളിച്ചു സമാന്തര പൈപ്പിന്റെ അളവ്, ഈ വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, അടിസ്ഥാനം ശരിയാണെങ്കിൽ "+" ചിഹ്നവും അടിസ്ഥാനം ഇടതുവശത്താണെങ്കിൽ "-" ചിഹ്നവും കൊണ്ട് സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു.

നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗ് ചെയ്യാം. നമുക്ക് അദൃശ്യമായ വരകൾ ഒരു ഡോട്ട് വരയാൽ വരച്ചിരിക്കുന്നു:

നമുക്ക് നിർവചനത്തിലേക്ക് കടക്കാം:

2) വെക്‌ടറുകൾ എടുത്തു ഒരു നിശ്ചിത ക്രമത്തിൽ, അതായത്, ഉൽപ്പന്നത്തിലെ വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രമമാറ്റം, നിങ്ങൾ ഊഹിക്കുന്നതുപോലെ, അനന്തരഫലങ്ങൾ ഇല്ലാതെ പോകുന്നില്ല.

3) ജ്യാമിതീയ അർത്ഥത്തെക്കുറിച്ച് അഭിപ്രായമിടുന്നതിന് മുമ്പ്, ഞാൻ വ്യക്തമായ വസ്തുത ശ്രദ്ധിക്കും: വെക്‌ടറുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം ഒരു NUMBER ആണ്: . വിദ്യാഭ്യാസ സാഹിത്യത്തിൽ, ഡിസൈൻ കുറച്ച് വ്യത്യസ്തമായിരിക്കാം, ഞാൻ ഒരു മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം നിയോഗിക്കാറുണ്ടായിരുന്നു, കൂടാതെ "pe" എന്ന അക്ഷരം ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ഫലം.

എ-പ്രിയറി സമാന്തരപൈപ്പിന്റെ അളവാണ് മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം, വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത് (ചിത്രം ചുവന്ന വെക്റ്ററുകളും കറുത്ത വരകളും ഉപയോഗിച്ച് വരച്ചിരിക്കുന്നു). അതായത്, നൽകിയിരിക്കുന്ന സമാന്തര പൈപ്പിന്റെ വോളിയത്തിന് തുല്യമാണ് സംഖ്യ.

കുറിപ്പ് : ഡ്രോയിംഗ് സ്കീമാറ്റിക് ആണ്.

4) അടിസ്ഥാനത്തിന്റെയും സ്ഥലത്തിന്റെയും ഓറിയന്റേഷൻ എന്ന ആശയത്തിൽ നമുക്ക് വീണ്ടും വിഷമിക്കേണ്ടതില്ല. വോളിയത്തിൽ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം ചേർക്കാം എന്നതാണ് അവസാന ഭാഗത്തിന്റെ അർത്ഥം. ലളിതമായ വാക്കുകളിൽ, മിക്സഡ് ഉൽപ്പന്നം നെഗറ്റീവ് ആകാം: .

വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു സമാന്തര പൈപ്പിന്റെ അളവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്നു.

വിഭാഗത്തിൽ ജനപ്രിയമായത്: