വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം i j k. കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകുന്ന വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം

ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം എന്ന ആശയം നൽകുന്നതിന് മുമ്പ്, ത്രിമാന സ്ഥലത്ത് ഒരു → , b → , c → എന്ന ക്രമീകരിച്ച ട്രിപ്പിൾ വെക്റ്ററുകളുടെ ഓറിയന്റേഷന്റെ ചോദ്യത്തിലേക്ക് തിരിയാം.

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, വെക്റ്ററുകൾ a → , b → , c → ഒരു പോയിന്റിൽ നിന്ന് മാറ്റിവെക്കാം. ട്രിപ്പിൾ a → , b → , c → വെക്‌ടറിന്റെ ദിശയെ ആശ്രയിച്ച് വലത്തോട്ടോ ഇടത്തോട്ടോ ആണ്. വെക്‌ടറിൽ നിന്ന് ഏറ്റവും ചെറിയ തിരിയുന്ന ദിശയിൽ നിന്ന് a → to b → വെക്‌ടറിന്റെ അവസാനം മുതൽ c → , ട്രിപ്പിൾ a → , b → , c → എന്നിവയുടെ രൂപം നിർണ്ണയിക്കും.

ഏറ്റവും ചെറിയ ഭ്രമണം എതിർ ഘടികാരദിശയിലാണെങ്കിൽ, വെക്റ്ററുകളുടെ ട്രിപ്പിൾ a → , b → , c → എന്ന് വിളിക്കുന്നു ശരിയാണ്ഘടികാരദിശയിലാണെങ്കിൽ - ഇടത്തെ.

അടുത്തതായി, a →, b → എന്നീ രണ്ട് നോൺ-കോളിനിയർ വെക്‌ടറുകൾ എടുക്കുക. അപ്പോൾ നമുക്ക് A B → = a →, A C → = b → എന്നീ വെക്‌ടറുകൾ A പോയിന്റിൽ നിന്ന് മാറ്റിവെക്കാം. A B →, A C → എന്നിവയ്ക്ക് ഒരേസമയം ലംബമായ ഒരു വെക്റ്റർ A D → = c → നമുക്ക് നിർമ്മിക്കാം. അങ്ങനെ, വെക്റ്റർ A D → = c → നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് രണ്ട് കാര്യങ്ങൾ ചെയ്യാൻ കഴിയും, ഒന്നുകിൽ ഒരു ദിശയോ വിപരീതമോ നൽകാം (ചിത്രം കാണുക).

വെക്‌ടറിന്റെ ഓർഡർ ചെയ്‌ത മൂന്ന് വെക്‌ടറുകൾ a → , b → , c → ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയതുപോലെ വെക്‌ടറിന്റെ ദിശയെ ആശ്രയിച്ച് വലത്തോട്ടോ ഇടത്തോട്ടോ ആകാം.

മുകളിൽ നിന്ന്, ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർവചനം നമുക്ക് പരിചയപ്പെടുത്താം. ഈ നിർവചനംത്രിമാന സ്ഥലത്തിന്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾക്കായി നൽകിയിരിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 1

a →, b → എന്നീ രണ്ട് വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം ത്രിമാന സ്ഥലത്തിന്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന അത്തരം വെക്റ്ററിനെ ഞങ്ങൾ വിളിക്കും:

• a →, b → വെക്‌ടറുകൾ കോളിനിയർ ആണെങ്കിൽ, അത് പൂജ്യമായിരിക്കും;
• ഇത് വെക്റ്റർ a → , വെക്റ്റർ b → എന്നിവയ്ക്ക് ലംബമായിരിക്കും. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• അതിന്റെ നീളം സൂത്രവാക്യം നിർണ്ണയിച്ചിരിക്കുന്നു: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• വെക്‌ടറുകളുടെ ട്രിപ്പിൾ a → , b → , c → എന്നിവയ്‌ക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ അതേ ഓറിയന്റേഷൻ ഉണ്ട്.

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നംവെക്‌ടറുകൾ a →, b → എന്നിവയ്ക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷൻ ഉണ്ട്: a → × b → .

ക്രോസ് ഉൽപ്പന്ന കോർഡിനേറ്റുകൾ

ഏതെങ്കിലും വെക്റ്ററിന് കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ചില കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉള്ളതിനാൽ, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ നിർവചനം അവതരിപ്പിക്കാൻ കഴിയും, ഇത് വെക്റ്ററുകളുടെ നൽകിയിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റുകളിൽ നിന്ന് അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കും.

നിർവ്വചനം 2

ത്രിമാന സ്ഥലത്തിന്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ a → = (a x ; a y ; a z), b → = (b x ; b y ; b z) എന്നീ രണ്ട് വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം വെക്‌ടറിനെ വിളിക്കുക c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , ഇവിടെ i → , k

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തെ മൂന്നാം ഓർഡറിന്റെ ഒരു ചതുര മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം, ഇവിടെ ആദ്യ വരി orta വെക്റ്ററുകൾ ആണ് i → , j → , k → , രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ വെക്റ്ററിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു a → , മൂന്നാമത്തേത് നൽകിയിരിക്കുന്ന ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ വെക്റ്റർ b → യുടെ കോർഡിനേറ്റുകളാണ്, ഈ മാട്രിക്സ് ഡിറ്റർമിനന്റ് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

ആദ്യ വരിയിലെ ഘടകങ്ങളിൽ ഈ ഡിറ്റർമിനന്റ് വികസിപ്പിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് തുല്യത ലഭിക്കുന്നു: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i = a y a z b y b z i = → b x = a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

ക്രോസ് ഉൽപ്പന്ന പ്രോപ്പർട്ടികൾ

കോർഡിനേറ്റുകളിലെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തെ മാട്രിക്സ് c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു എന്ന് അറിയാം, തുടർന്ന് അടിത്തറയിൽ മാട്രിക്സ് ഡിറ്റർമിനന്റ് പ്രോപ്പർട്ടികൾഇനിപ്പറയുന്നവ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്ന ഗുണങ്ങൾ:

1. ആന്റികമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റി a → × b → = - b → × a → ;
2. വിതരണക്ഷമത a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → അല്ലെങ്കിൽ a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. അസോസിയേറ്റിവിറ്റി λ a → × b → = λ a → × b → അല്ലെങ്കിൽ a → × (λ b →) = λ a → × b → , ഇവിടെ λ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്.

ഈ ഗുണങ്ങൾക്ക് സങ്കീർണ്ണമായ തെളിവുകളില്ല.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ആന്റികമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റി പ്രോപ്പർട്ടി നമുക്ക് തെളിയിക്കാനാകും.

ആന്റികമ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റിയുടെ തെളിവ്

നിർവചനം അനുസരിച്ച്, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z, b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. മാട്രിക്സിന്റെ രണ്ട് വരികൾ പരസ്പരം മാറ്റുകയാണെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ മൂല്യം വിപരീതമായി മാറണം, അതിനാൽ, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b a z = - i → j = → k - b → × a → , ഇത് വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ആന്റികമ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റി തെളിയിക്കുന്നു.

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം - ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും

മിക്ക കേസുകളിലും, മൂന്ന് തരം ജോലികൾ ഉണ്ട്.

ആദ്യ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങളിൽ, രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ നീളവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും സാധാരണയായി നൽകിയിരിക്കുന്നു, എന്നാൽ നിങ്ങൾ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല c → = a → b → sin ∠ a → , b → ഉപയോഗിക്കുക.

ഉദാഹരണം 1

a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 എന്നിവ അറിയാമെങ്കിൽ a →, b → വെക്‌ടറുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്‌ടിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ദൈർഘ്യത്തിന്റെ നിർവചനം ഉപയോഗിച്ച് a →, b →, ഞങ്ങൾ ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നു: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

ഉത്തരം: 15 2 2 .

രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള ജോലികൾക്ക് വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുമായി ബന്ധമുണ്ട്, അവയിൽ ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം, അതിന്റെ നീളം മുതലായവ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററുകളുടെ അറിയപ്പെടുന്ന കോർഡിനേറ്റുകളിലൂടെ തിരയുന്നു a → = (a x ; a y ; a z) ഒപ്പം b → = (b x ; b y ; b z) .

ഇത്തരത്തിലുള്ള ജോലികൾക്കായി, ടാസ്ക്കുകൾക്കായി നിങ്ങൾക്ക് ധാരാളം ഓപ്ഷനുകൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഉദാഹരണത്തിന്, a →, b → വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളല്ല, ഫോമിന്റെ കോർഡിനേറ്റ് വെക്റ്ററുകളിലെ അവയുടെ വികാസം b → = b x i → + b y j → + b z k → കൂടാതെ c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , അല്ലെങ്കിൽ വെക്‌ടറുകൾ a → യുടെ കോഡിനുകൾ നൽകാം ആരംഭ, അവസാന പോയിന്റുകൾ.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക.

ഉദാഹരണം 2

ഒരു ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു a → = (2 ; 1 ; - 3), b → = (0 ; - 1 ; 1) . അവരുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

രണ്ടാമത്തെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, നൽകിയിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റുകളിൽ രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b = x) k (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 കെ → .

മാട്രിക്സ് ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഞങ്ങൾ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം എഴുതുകയാണെങ്കിൽ, പരിഹാരം ഈ ഉദാഹരണംഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → →

ഉത്തരം: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

ഉദാഹരണം 3

i → - j →, i → + j → + k → എന്നീ വെക്‌ടറുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്‌ടിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക, ഇവിടെ i → , j → , k → - ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ orts.

പരിഹാരം

ആദ്യം, നൽകിയിരിക്കുന്ന ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്താം i → - j → × i → + j → + k →.

i → - j →, i → + j → + k → വെക്‌ടറുകൾക്ക് യഥാക്രമം (1 ; - 1 ; 0), (1 ; 1 ; 1) കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ടെന്ന് അറിയാം. മാട്രിക്സ് ഡിറ്റർമിനന്റ് ഉപയോഗിച്ച് വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക, തുടർന്ന് നമുക്ക് i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 കെ → .

അതിനാൽ, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നമായ i → - j → × i → + j → + k → നൽകിയിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ കോർഡിനേറ്റുകൾ (- 1 ; - 1 ; 2) ഉണ്ട്.

സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു (വെക്റ്ററിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള വിഭാഗം കാണുക): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

ഉത്തരം: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

ഉദാഹരണം 4

ഒരു ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ A (1 , 0 , 1), B (0 , 2 , 3), C (1 , 4 , 2) എന്നീ മൂന്ന് പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഒരേ സമയം A B →, A C → എന്നിവയ്ക്ക് ലംബമായി ചില വെക്റ്റർ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

വെക്‌ടറുകൾ A B →, A C → എന്നിവയ്ക്ക് യഥാക്രമം ഇനിപ്പറയുന്ന കോർഡിനേറ്റുകൾ (- 1 ; 2 ; 2), (0 ; 4 ; 1) ഉണ്ട്. A B →, A C → എന്നീ വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്‌ടർ പ്രോഡക്‌ട് കണ്ടെത്തിയതിനാൽ, ഇത് A B →, A C → എന്നിവയ്‌ക്ക് നിർവചനം അനുസരിച്ച് ലംബമായ വെക്‌ടറാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതായത്, ഇത് ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്‌നത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ്. ഇത് കണ്ടെത്തുക A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

ഉത്തരം: - 6 i → + j → - 4 k → . ലംബമായ വെക്റ്ററുകളിൽ ഒന്നാണ്.

മൂന്നാമത്തെ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നു. ഇത് പ്രയോഗിച്ചതിന് ശേഷം, നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രശ്നത്തിന് ഞങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം നേടും.

ഉദാഹരണം 5

a →, b → വെക്‌ടറുകൾ ലംബവും അവയുടെ നീളം യഥാക്രമം 3 ഉം 4 ഉം ആണ്. ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

പരിഹാരം

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടിവിറ്റി പ്രോപ്പർട്ടി പ്രകാരം, നമുക്ക് 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 എന്ന് എഴുതാം. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

അസോസിയേറ്റിവിറ്റിയുടെ പ്രോപ്പർട്ടി പ്രകാരം, അവസാന പദപ്രയോഗത്തിലെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ചിഹ്നത്തിനപ്പുറമുള്ള സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കുന്നു: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ a → × a →, b → × b → എന്നിവ 0 ന് തുല്യമാണ്, കാരണം a → × a → = a → a → sin 0 = 0, b → × b → = b → b → sin 0 = 0 തുടർന്ന് 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ആന്റികമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റിയിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് തുല്യത 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, a →, b → വെക്‌ടറുകൾ ലംബമാണ്, അതായത്, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോൺ π 2 ന് തുല്യമാണ്. കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങൾ അനുബന്ധ ഫോർമുലകളിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ ഇപ്പോൾ അവശേഷിക്കുന്നു: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

ഉത്തരം: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

നിർവചനം അനുസരിച്ച് വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റിന്റെ നീളം a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഈ വശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ സൈനാൽ ഗുണിച്ചാൽ അതിന്റെ രണ്ട് വശങ്ങളുടെയും നീളത്തിന്റെ പകുതി ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് (സ്‌കൂൾ കോഴ്‌സിൽ നിന്ന്) ഇതിനകം അറിയാവുന്നതിനാൽ. അതിനാൽ, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളം ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് - ഒരു ഇരട്ടി ത്രികോണം, അതായത്, വെക്റ്ററുകളുടെ രൂപത്തിൽ വശങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നം a →, b → , ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന്, സൈനാൽ നിരസിക്കപ്പെട്ടു. അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ sin ∠ a → , b → .

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം ഇതാണ്.

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഭൗതിക അർത്ഥം

ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിന്റെ ശാഖകളിലൊന്നായ മെക്കാനിക്സിൽ, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് നന്ദി, ബഹിരാകാശത്തെ ഒരു ബിന്ദുവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ശക്തിയുടെ നിമിഷം നിങ്ങൾക്ക് നിർണ്ണയിക്കാനാകും.

നിർവ്വചനം 3

എഫ് → എന്ന ബിന്ദുവിൽ പ്രയോഗിച്ചാൽ, പോയിന്റ് എയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, ഇനിപ്പറയുന്ന വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം എ ബി → × എഫ് → നമുക്ക് മനസ്സിലാകും.

വാചകത്തിൽ ഒരു തെറ്റ് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക

ദി ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർവെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റ് കണക്കാക്കുന്നു. വിശദമായ പരിഹാരം നൽകിയിട്ടുണ്ട്. വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റ് കണക്കാക്കാൻ, സെല്ലുകളിലെ വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകി "കണക്കുകൂട്ടുക" എന്നതിൽ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക.

×

മുന്നറിയിപ്പ്

എല്ലാ സെല്ലുകളും മായ്‌ക്കണോ?

ക്ലോസ് ക്ലിയർ

ഡാറ്റ എൻട്രി നിർദ്ദേശം.സംഖ്യകൾ പൂർണ്ണ സംഖ്യകളായോ (ഉദാഹരണങ്ങൾ: 487, 5, -7623, മുതലായവ), ദശാംശ സംഖ്യകളായോ (ഉദാ. 67., 102.54, മുതലായവ) അല്ലെങ്കിൽ ഭിന്നസംഖ്യകളായോ നൽകിയിട്ടുണ്ട്. ഭിന്നസംഖ്യ a/b എന്ന രൂപത്തിൽ ടൈപ്പ് ചെയ്യണം, ഇവിടെ a, b (b>0) എന്നിവ പൂർണ്ണസംഖ്യയോ ദശാംശ സംഖ്യകളോ ആണ്. ഉദാഹരണങ്ങൾ 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 മുതലായവ.

വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം

വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർവചനത്തിലേക്ക് പോകുന്നതിന് മുമ്പ്, ആശയങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക വെക്‌ടറുകളുടെ ട്രിപ്പിൾ, വെക്‌റ്ററുകളുടെ ഇടത് ട്രിപ്പിൾ, വെക്‌ടറുകളുടെ വലത് ട്രിപ്പിൾ എന്നിവ ക്രമീകരിച്ചു.

നിർവ്വചനം 1. മൂന്ന് വെക്റ്ററുകൾ വിളിക്കുന്നു ട്രിപ്പിൾ ഓർഡർ ചെയ്തു(അല്ലെങ്കിൽ ട്രിപ്പിൾ) ഈ വെക്‌ടറുകളിൽ ഏതാണ് ആദ്യത്തേത്, രണ്ടാമത്തേത്, മൂന്നാമത്തേത് എന്നിവ സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ.

റെക്കോർഡിംഗ് cba- അർത്ഥം - ആദ്യത്തേത് ഒരു വെക്റ്റർ ആണ് സി, രണ്ടാമത്തേത് വെക്റ്റർ ആണ് ബിമൂന്നാമത്തേത് വെക്റ്റർ ആണ് എ.

നിർവ്വചനം 2. നോൺ-കോപ്ലനാർ വെക്റ്ററുകളുടെ ട്രിപ്പിൾ abcഒരു പൊതു തുടക്കത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുമ്പോൾ, ഈ വെക്‌ടറുകൾ യഥാക്രമം വലുതും വളയാത്തതുമായ സൂചികയായി ക്രമീകരിച്ചാൽ വലത് (ഇടത്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നടുവിരലുകൾവലത് (ഇടത്) കൈ.

നിർവചനം 2 മറ്റൊരു രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്താം.

നിർവ്വചനം 2. നോൺ-കോപ്ലനാർ വെക്റ്ററുകളുടെ ട്രിപ്പിൾ abcവെക്‌ടറിനെ പൊതുവായ ഉത്ഭവത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയാൽ വലത് (ഇടത്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു സിവെക്റ്ററുകൾ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന വിമാനത്തിന്റെ മറുവശത്ത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു എഒപ്പം ബി, എവിടെ നിന്നാണ് ഏറ്റവും ചെറിയ തിരിവ് എലേക്ക് ബിഎതിർ ഘടികാരദിശയിൽ (ഘടികാരദിശയിൽ) നടത്തി.

വെക്റ്റർ ട്രിയോ abcചിത്രം കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 1 ശരിയും ട്രിപ്പിൾ ആണ് abcചിത്രം കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 2 അവശേഷിക്കുന്നു.

രണ്ട് ട്രിപ്പിൾ വെക്‌ടറുകൾ വലത്തോട്ടോ ഇടത്തോട്ടോ ആണെങ്കിൽ, അവയ്ക്ക് ഒരേ ഓറിയന്റേഷൻ ഉണ്ടെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. അല്ലെങ്കിൽ, അവർ വിപരീത ദിശാബോധമുള്ളവരാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.

നിർവ്വചനം 3. മൂന്ന് അടിസ്ഥാന വെക്‌ടറുകൾ വലത് (ഇടത്) ട്രിപ്പിൾ രൂപപ്പെടുത്തുകയാണെങ്കിൽ ഒരു കാർട്ടീഷ്യൻ അല്ലെങ്കിൽ അഫൈൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തെ വലത് (ഇടത്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഇനിപ്പറയുന്നവയിൽ ഞങ്ങൾ വലംകൈയ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റങ്ങൾ മാത്രം പരിഗണിക്കും.

നിർവ്വചനം 4. വെക്റ്റർ ആർട്ട്വെക്റ്റർ എഓരോ വെക്റ്ററും ബിവെക്റ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു കൂടെ, ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു c=[എബി] (അഥവാ c=[a,b], അഥവാ c=a×b) കൂടാതെ ഇനിപ്പറയുന്ന മൂന്ന് ആവശ്യകതകൾ നിറവേറ്റുന്നു:

• വെക്റ്റർ നീളം കൂടെവെക്റ്ററുകളുടെ ദൈർഘ്യത്തിന്റെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ് എഒപ്പം ബികോണിന്റെ സൈനിലേക്ക് φ അവര്ക്കിടയില്:

|സി|=|[എബി]|=|എ||ബി|sinφ;

(1)

• വെക്റ്റർ കൂടെഓരോ വെക്റ്ററിനും ഓർത്തോഗണൽ എഒപ്പം ബി;
• വെക്റ്റർ സിസംവിധാനം അങ്ങനെ മൂന്നും abcശരിയാണ്.

വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളുണ്ട്:

• [എബി]=−[ബാ] (ആന്റിപെർമ്യൂട്ടബിലിറ്റിഘടകങ്ങൾ);
• [(λa)ബി]=λ [എബി] (അനുയോജ്യതസംഖ്യാ ഘടകവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്);
• [(a+b)സി]=[എസി]+[ബിസി] (വിതരണവെക്റ്ററുകളുടെ ആകെത്തുകയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്);
• [aaഏതൊരു വെക്‌ടറിനും ]=0 എ.

വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ ഗുണങ്ങൾ

സിദ്ധാന്തം 1. രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ കോളിനിയർ ആകുന്നതിന്, അവയുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

തെളിവ്. ആവശ്യം. വെക്റ്ററുകൾ അനുവദിക്കുക എഒപ്പം ബികോളിനിയർ. അപ്പോൾ അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോൺ 0 അല്ലെങ്കിൽ 180° ആണ് sinφ=sin180=പാപം 0=0. അതിനാൽ, എക്സ്പ്രഷൻ (1) കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, വെക്റ്ററിന്റെ ദൈർഘ്യം സിപൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. പിന്നെ സിനൾ വെക്റ്റർ.

പര്യാപ്തത. വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റ് ആകട്ടെ എഒപ്പം ബിപൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് നാവിക: [ എബി]=0. വെക്റ്ററുകൾ എന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം എഒപ്പം ബികോളിനിയർ. കുറഞ്ഞത് ഒരു വെക്റ്ററെങ്കിലും എഒപ്പം ബിപൂജ്യം, അപ്പോൾ ഈ വെക്‌ടറുകൾ കോളിനിയറാണ് (കാരണം പൂജ്യം വെക്‌ടറിന് അനിശ്ചിത ദിശയുണ്ട്, മാത്രമല്ല ഏത് വെക്‌റ്ററിനും കോളിനിയറായി കണക്കാക്കാം).

രണ്ട് വെക്റ്ററുകളും ആണെങ്കിൽ എഒപ്പം ബിപൂജ്യമല്ല, പിന്നെ | എ|>0, |ബി|>0. തുടർന്ന് [ എബി]=0 കൂടാതെ (1) മുതൽ അത് പിന്തുടരുന്നു sinφ=0. അതിനാൽ വെക്റ്ററുകൾ എഒപ്പം ബികോളിനിയർ.

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

സിദ്ധാന്തം 2. വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം (മോഡുലസ്) [ എബി] പ്രദേശത്തിന് തുല്യമാണ് എസ്വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച സമാന്തരരേഖ ഒരു പൊതു ഉത്ഭവത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു എഒപ്പം ബി.

തെളിവ്. നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഈ സമാന്തരചുവടിന്റെ അടുത്തുള്ള വശങ്ങളുടെയും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ സൈനിന്റെയും ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ:

അപ്പോൾ ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റിന് ഫോം ഉണ്ട്:

ആദ്യ വരിയിലെ ഘടകങ്ങളിൽ ഡിറ്റർമിനന്റ് വികസിപ്പിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് വെക്റ്ററിന്റെ വിഘടനം ലഭിക്കും a×bഅടിസ്ഥാനം ഐ, ജെ, കെ, ഇത് ഫോർമുലയ്ക്ക് തുല്യമാണ് (3).

സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ തെളിവ് 3. അടിസ്ഥാന വെക്റ്ററുകളുടെ സാധ്യമായ എല്ലാ ജോഡികളും രചിക്കുക ഐ, ജെ, കെഅവരുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കുക. അടിസ്ഥാന വെക്‌ടറുകൾ പരസ്പരം ഓർത്തോഗോണൽ ആണെന്നും വലത് ട്രിപ്പിൾ രൂപീകരിക്കുന്നുവെന്നും യൂണിറ്റ് നീളം ഉണ്ടെന്നും കണക്കിലെടുക്കണം (മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം ഐ={1, 0, 0}, ജെ={0, 1, 0}, കെ=(0, 0, 1)). അപ്പോൾ നമുക്ക് ഉണ്ട്:

അവസാന സമത്വത്തിൽ നിന്നും ബന്ധങ്ങളിൽ നിന്നും (4), നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഒരു 3×3 മാട്രിക്സ് രചിക്കുക, അതിന്റെ ആദ്യ വരി അടിസ്ഥാന വെക്റ്ററുകളാണ് ഐ, ജെ, കെ,ശേഷിക്കുന്ന വരികൾ വെക്റ്ററുകളുടെ മൂലകങ്ങളാൽ നിറഞ്ഞിരിക്കുന്നു എഒപ്പം ബി:

അങ്ങനെ, വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഫലം എഒപ്പം ബിഒരു വെക്റ്റർ ആയിരിക്കും:

.

ഉദാഹരണം 2. വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റ് കണ്ടെത്തുക [ എബി], എവിടെ വെക്റ്റർ എരണ്ട് ഡോട്ടുകളാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. വെക്‌ടറിന്റെ ആരംഭ പോയിന്റ് a: , വെക്റ്ററിന്റെ അവസാന പോയിന്റ് എ: , വെക്റ്റർ ബിരൂപമുണ്ട് .

പരിഹാരം. ആദ്യ വെക്‌ടറിനെ ഉത്ഭവസ്ഥാനത്തേക്ക് നീക്കുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അവസാന പോയിന്റിന്റെ അനുബന്ധ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ നിന്ന് ആരംഭ പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കുറയ്ക്കുക:

ഈ മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് ആദ്യ വരിയിൽ വികസിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു. ഈ കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ഫലമായി, വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം നമുക്ക് ലഭിക്കും എഒപ്പം ബി.

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നംത്രിമാന യൂക്ലിഡിയൻ സ്പേസിലെ വെക്റ്ററുകളിലെ ബൈനറി ഓപ്പറേഷൻ "വെക്റ്റർ മൾട്ടിപ്ലിക്കേഷൻ" ഫലമായ രണ്ട് ഘടകങ്ങളാൽ നിർമ്മിച്ച തലത്തിന് ലംബമായ ഒരു സ്യൂഡോവെക്റ്റർ ആണ്. വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് കമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റിയുടെയും അസോസിയറ്റിവിറ്റിയുടെയും ഗുണങ്ങൾ ഇല്ല (ഇത് ആന്റികമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് ആണ്) കൂടാതെ, വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ഒരു വെക്റ്റർ ആണ്. നിരവധി സാങ്കേതികവും ഭൗതികവുമായ ആപ്ലിക്കേഷനുകളിൽ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, കോണീയ ആക്കം, ലോറന്റ്സ് ഫോഴ്സ് എന്നിവ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി ഒരു ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നമായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു. വെക്റ്ററുകളുടെ ലംബത അളക്കുന്നതിന് ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗപ്രദമാണ് - രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റിന്റെ മോഡുലസ് ലംബമാണെങ്കിൽ അവയുടെ മൊഡ്യൂളുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ വെക്റ്ററുകൾ സമാന്തരമോ സമാന്തരമോ ആണെങ്കിൽ പൂജ്യമായി കുറയുന്നു.

നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തെ വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ നിർവചിക്കാം, സൈദ്ധാന്തികമായി, ഏത് അളവിലുള്ള n എന്ന സ്ഥലത്ത്, നിങ്ങൾക്ക് n-1 വെക്റ്ററുകൾക്ക് ലംബമായി ഒരൊറ്റ വെക്റ്റർ നേടുമ്പോൾ അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കാം. എന്നാൽ ഉൽപ്പന്നം വെക്റ്റർ ഫലങ്ങളുള്ള നോൺ-ട്രിവിയൽ ബൈനറി ഉൽപ്പന്നങ്ങളിലേക്ക് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, പരമ്പരാഗത വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം ത്രിമാന, ഏഴ്-മാന സ്പെയ്സുകളിൽ മാത്രമേ നിർവചിക്കുകയുള്ളൂ. വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഫലം, സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം പോലെ, യൂക്ലിഡിയൻ സ്പേസിന്റെ മെട്രിക്സിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

ത്രിമാന ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ നിന്ന് സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഓറിയന്റേഷനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ, മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, അതിന്റെ "ചിരാലിറ്റി".

നിർവ്വചനം:
R 3 സ്‌പെയ്‌സിലെ വെക്‌റ്റർ a, വെക്‌റ്റർ b എന്നിവയുടെ വെക്‌റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തെ ഇനിപ്പറയുന്ന ആവശ്യകതകൾ നിറവേറ്റുന്ന വെക്‌റ്റർ സി എന്ന് വിളിക്കുന്നു:
വെക്‌ടറിന്റെ നീളം a, b എന്നീ വെക്‌ടറുകളുടെ നീളത്തിന്റെയും അവയ്‌ക്കിടയിലുള്ള φ കോണിന്റെ സൈനിന്റെയും ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്:
|സി|=|എ||ബി|പാപം φ;
വെക്റ്റർ c, a, b എന്നീ വെക്‌ടറുകൾക്ക് ഓർത്തോഗണൽ ആണ്;
വെക്‌ടർ സി സംവിധാനം ചെയ്യുന്നതിനാൽ വെക്‌ടറുകളുടെ ട്രിപ്പിൾ എബിസി ശരിയാണ്;
സ്‌പെയ്‌സ് R7-ന്റെ കാര്യത്തിൽ, a,b,c എന്നീ വെക്‌ടറുകളുടെ ട്രിപ്പിൾ അസോസിയേറ്റിവിറ്റി ആവശ്യമാണ്.
പദവി:
c===a×b

അരി. 1. ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ മോഡുലസിന് തുല്യമാണ്

ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ സവിശേഷതകൾ:
രണ്ട് നോൺ-സീറോ വെക്റ്ററുകളുടെ കോളിനാരിറ്റിക്ക് ആവശ്യമായതും മതിയായതുമായ ഒരു വ്യവസ്ഥ അവയുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ പൂജ്യത്തിലേക്കുള്ള തുല്യതയാണ്.

ക്രോസ് ഉൽപ്പന്ന മൊഡ്യൂൾ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് എസ്വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച സമാന്തരരേഖ ഒരു പൊതു ഉത്ഭവത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു എഒപ്പം ബി(ചിത്രം 1 കാണുക).

എങ്കിൽ ഇ- വെക്റ്ററുകൾക്ക് യൂണിറ്റ് വെക്റ്റർ ഓർത്തോഗണൽ എഒപ്പം ബിട്രിപ്പിൾ അങ്ങനെ തിരഞ്ഞെടുത്തു a,b,e- ശരി, ഒപ്പം എസ്- അവയിൽ നിർമ്മിച്ച സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം (ഒരു സാധാരണ ഉത്ഭവത്തിലേക്ക് കുറച്ചു), തുടർന്ന് വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ശരിയാണ്:
=എസ് ഇ

ചിത്രം.2. വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്‌ടറും സ്‌കെലാർ ഉൽപന്നവും ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ സമാന്തരപൈപ്പിന്റെ അളവ്; കുത്തുകളുള്ള വരകൾവെക്റ്റർ c യുടെ പ്രൊജക്ഷനുകൾ a × b ലും വെക്റ്റർ a on b × c ലും കാണിക്കുക, ആദ്യ ഘട്ടം ആന്തരിക ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്

എങ്കിൽ സി- ഏതെങ്കിലും വെക്റ്റർ π - ഈ വെക്റ്റർ അടങ്ങിയ ഏതെങ്കിലും വിമാനം, ഇ- യൂണിറ്റ് വെക്റ്റർ വിമാനത്തിൽ കിടക്കുന്നു π വരെ ഓർത്തോഗണൽ സി,ജി- വിമാനത്തിലേക്കുള്ള യൂണിറ്റ് വെക്റ്റർ ഓർത്തോഗണൽ π വെക്‌ടറുകളുടെ ട്രിപ്പിൾ ആകാൻ സംവിധാനം ചെയ്യുകയും ചെയ്തു ഉദാശരിയാണ്, അപ്പോൾ വിമാനത്തിൽ കിടക്കുന്ന ഏതൊരു കാര്യത്തിനും π വെക്റ്റർ എശരിയായ ഫോർമുല ഇതാണ്:
=Pr e a |c|g
ഇവിടെ Pr e a എന്നത് വെക്‌ടറിന്റെ e-ന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ആണ്
|സി|-വെക്‌ടറിന്റെ മൊഡ്യൂലസ് സി

വെക്‌ടറും സ്‌കെലാർ ഉൽപ്പന്നങ്ങളും ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, വെക്‌ടറുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു സമാന്തരപൈപ്പിന്റെ അളവ് ഒരു സാധാരണ ഉത്ഭവത്തിലേക്ക് ചുരുക്കി നിങ്ങൾക്ക് കണക്കാക്കാം എ, ബിഒപ്പം സി. മൂന്ന് വെക്റ്ററുകളുടെ അത്തരം ഉൽപ്പന്നത്തെ മിക്സഡ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
V=|a (b×c)|
ഈ വോളിയം രണ്ട് തരത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമെന്ന് ചിത്രം കാണിക്കുന്നു: "സ്കെലാർ", "വെക്റ്റർ" ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ പരസ്പരം കൈമാറ്റം ചെയ്യുമ്പോൾ പോലും ജ്യാമിതീയ ഫലം സംരക്ഷിക്കപ്പെടും:
V=a×b c=a b×c

ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ മൂല്യം യഥാർത്ഥ വെക്‌ടറുകൾക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ സൈനിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തെ വെക്‌ടറുകളുടെ "ലംബതയുടെ" ഡിഗ്രിയായി കണക്കാക്കാം, ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തെ ഡിഗ്രിയായി കണക്കാക്കാം. "സമാന്തരത". പ്രാരംഭ വെക്‌ടറുകൾ ലംബമാണെങ്കിൽ രണ്ട് യൂണിറ്റ് വെക്‌ടറുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റ് 1 (ഒരു യൂണിറ്റ് വെക്‌റ്റർ) നും വെക്‌ടറുകൾ സമാന്തരമോ സമാന്തരമോ ആണെങ്കിൽ 0 (പൂജ്യം വെക്‌റ്റർ) നും തുല്യമാണ്.

കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റ് എക്സ്പ്രഷൻ
രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ ആണെങ്കിൽ എഒപ്പം ബിഅവയുടെ ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, അവയെ ഒരു യാഥാസ്ഥിതിക അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു
a=(a x,a y,a z)
b=(b x ,b y ,b z)
കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം ശരിയാണ്, അപ്പോൾ അവയുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് രൂപമുണ്ട്
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
ഈ ഫോർമുല ഓർമ്മിക്കാൻ:
i =∑ε ijk a jb k
എവിടെ ε ijk- ലെവി-സിവിറ്റയുടെ ചിഹ്നം.

ഈ പാഠത്തിൽ, വെക്റ്ററുകളുള്ള രണ്ട് പ്രവർത്തനങ്ങൾ കൂടി ഞങ്ങൾ നോക്കും: വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നംഒപ്പം വെക്റ്ററുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം (ആവശ്യമുള്ളവർക്കായി ഉടനടി ലിങ്ക്). കുഴപ്പമില്ല, ചിലപ്പോൾ പൂർണ്ണമായ സന്തോഷത്തിനായി അത് സംഭവിക്കുന്നു, കൂടാതെ വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം, കൂടുതൽ കൂടുതൽ ആവശ്യമാണ്. അങ്ങനെയാണ് വെക്റ്റർ ആസക്തി. നമ്മൾ അനലിറ്റിക് ജ്യാമിതിയുടെ കാടുകളിലേക്ക് കടക്കുകയാണെന്ന് ഒരാൾക്ക് തോന്നാം. ഇത് തെറ്റാണ്. ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഈ വിഭാഗത്തിൽ, പിനോച്ചിയോയ്ക്ക് വേണ്ടത്ര വിറകുകളൊഴികെ, പൊതുവെ കുറച്ച് വിറക് ഉണ്ട്. വാസ്തവത്തിൽ, മെറ്റീരിയൽ വളരെ സാധാരണവും ലളിതവുമാണ് - അതേതിനേക്കാൾ ബുദ്ധിമുട്ടാണ് സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം, സാധാരണ ജോലികൾ പോലും കുറവായിരിക്കും. അനലിറ്റിക് ജ്യാമിതിയിലെ പ്രധാന കാര്യം, പലരും കാണും അല്ലെങ്കിൽ ഇതിനകം കണ്ടിട്ടുണ്ട്, കണക്കുകൂട്ടലുകൾ തെറ്റിക്കരുത്. ഒരു മന്ത്രം പോലെ ആവർത്തിക്കുക, നിങ്ങൾ സന്തോഷിക്കും =)

ചക്രവാളത്തിൽ മിന്നൽ പോലെ ദൂരെ എവിടെയെങ്കിലും വെക്‌ടറുകൾ മിന്നിമറയുന്നുവെങ്കിൽ, അത് പ്രശ്നമല്ല, പാഠത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുക ഡമ്മികൾക്കുള്ള വെക്‌ടറുകൾവെക്റ്ററുകളെക്കുറിച്ചുള്ള അടിസ്ഥാന അറിവ് പുനഃസ്ഥാപിക്കുക അല്ലെങ്കിൽ വീണ്ടെടുക്കുക. കൂടുതൽ തയ്യാറാക്കിയ വായനക്കാർക്ക് വിവരങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത് പരിചയപ്പെടാൻ കഴിയും, പലപ്പോഴും കാണപ്പെടുന്ന ഉദാഹരണങ്ങളുടെ ഏറ്റവും പൂർണ്ണമായ ശേഖരം ശേഖരിക്കാൻ ഞാൻ ശ്രമിച്ചു. പ്രായോഗിക ജോലി

എന്താണ് നിങ്ങളെ സന്തോഷിപ്പിക്കുന്നത്? ഞാൻ ചെറുതായിരിക്കുമ്പോൾ, എനിക്ക് രണ്ടും മൂന്നും പന്തുകൾ പോലും കൈകാര്യം ചെയ്യാമായിരുന്നു. അത് നന്നായി പ്രവർത്തിച്ചു. ഇപ്പോൾ തന്ത്രപ്രധാനമായ ആവശ്യമില്ല, കാരണം ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും ബഹിരാകാശ വെക്‌ടറുകൾ മാത്രം, കൂടാതെ രണ്ട് കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള ഫ്ലാറ്റ് വെക്റ്ററുകൾ ഉപേക്ഷിക്കപ്പെടും. എന്തുകൊണ്ട്? ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ജനിച്ചത് ഇങ്ങനെയാണ് - വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്ററും മിക്സഡ് ഉൽപ്പന്നവും നിർവചിക്കുകയും ത്രിമാന സ്ഥലത്ത് പ്രവർത്തിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇതിനകം എളുപ്പമാണ്!

ഈ പ്രവർത്തനത്തിൽ, സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിലെ അതേ രീതിയിൽ, രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ. നശിക്കാത്ത അക്ഷരങ്ങളാകട്ടെ.

നടപടി തന്നെ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നുഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ: . മറ്റ് ഓപ്ഷനുകളുണ്ട്, പക്ഷേ വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം ഈ രീതിയിൽ, ക്രോസ് ഉള്ള ചതുര ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിർദ്ദേശിക്കുന്നത് ഞാൻ പതിവാണ്.

ഉടനെ ചോദ്യം: അകത്തുണ്ടെങ്കിൽ വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നംരണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ ഉൾപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, ഇവിടെ രണ്ട് വെക്‌ടറുകളും ഗുണിക്കപ്പെടുന്നു എന്താണ് വ്യത്യാസം? വ്യക്തമായ വ്യത്യാസം, ഒന്നാമതായി, ഫലത്തിൽ:

വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഫലം ഒരു NUMBER ആണ്:

വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റിന്റെ ഫലം ഒരു വെക്‌ടറാണ്:, അതായത്, ഞങ്ങൾ വെക്റ്ററുകൾ ഗുണിച്ച് വീണ്ടും ഒരു വെക്റ്റർ നേടുന്നു. അടച്ച ക്ലബ്. യഥാർത്ഥത്തിൽ, അതിനാൽ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പേര്. പലതരത്തിൽ വിദ്യാഭ്യാസ സാഹിത്യംനൊട്ടേഷനും വ്യത്യാസപ്പെടാം, ഞാൻ അക്ഷരം ഉപയോഗിക്കും.

ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർവ്വചനം

ആദ്യം ഒരു ചിത്രത്തോടുകൂടിയ ഒരു നിർവചനം ഉണ്ടാകും, തുടർന്ന് അഭിപ്രായങ്ങൾ.

നിർവ്വചനം: ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം നോൺ-കോളിനിയർവെക്‌ടറുകൾ, ഈ ക്രമത്തിൽ എടുത്തത്, വെക്ടർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, നീളംസംഖ്യാപരമായത് സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, ഈ വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്; വെക്റ്റർ വെക്റ്ററുകൾക്ക് ഓർത്തോഗണൽഅടിസ്ഥാനത്തിന് ശരിയായ ഓറിയന്റേഷൻ ഉള്ള തരത്തിൽ സംവിധാനം ചെയ്യുന്നു:

അസ്ഥികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ നിർവചനം വിശകലനം ചെയ്യുന്നു, രസകരമായ ഒരുപാട് കാര്യങ്ങളുണ്ട്!

അതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന സുപ്രധാന പോയിന്റുകൾ നമുക്ക് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യാൻ കഴിയും:

1) നിർവചനപ്രകാരം ചുവന്ന അമ്പടയാളങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിച്ച ഉറവിട വെക്‌ടറുകൾ കോളിനിയർ അല്ല. കോളിനിയർ വെക്റ്ററുകളുടെ കാര്യം കുറച്ച് കഴിഞ്ഞ് പരിഗണിക്കുന്നത് ഉചിതമായിരിക്കും.

2) വെക്‌ടറുകൾ എടുത്തു കർശനമായി നിശ്ചിത ക്രമം : – "a" എന്നത് "be" കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു, "ആകുക" എന്നത് "a" എന്നല്ല. വെക്റ്റർ ഗുണനത്തിന്റെ ഫലംവെക്ടർ ആണ്, ഇത് നീല നിറത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. വെക്റ്ററുകൾ വിപരീത ക്രമത്തിൽ ഗുണിച്ചാൽ, നമുക്ക് ഒരു വെക്റ്റർ തുല്യ നീളത്തിലും വിപരീത ദിശയിലും (ക്രിംസൺ കളർ) ലഭിക്കും. അതായത് സമത്വം .

3) ഇനി നമുക്ക് വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം പരിചയപ്പെടാം. ഇത് വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു പോയിന്റാണ്! നീല വെക്‌ടറിന്റെ നീളം (അതിനാൽ, ക്രിംസൺ വെക്‌ടറും) വെക്‌റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച സമാന്തരചലനത്തിന്റെ ഏരിയയ്‌ക്ക് സംഖ്യാപരമായി തുല്യമാണ്. ചിത്രത്തിൽ, ഈ സമാന്തരരേഖ കറുപ്പ് നിറത്തിലാണ്.

കുറിപ്പ് : ഡ്രോയിംഗ് സ്കീമാറ്റിക് ആണ്, കൂടാതെ, തീർച്ചയായും, ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നാമമാത്രമായ നീളം സമാന്തരരേഖയുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമല്ല.

ജ്യാമിതീയ സൂത്രവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു: ഒരു സമാന്തരരേഖയുടെ വിസ്തീർണ്ണം അടുത്തുള്ള വശങ്ങളുടെയും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ സൈനിന്റെയും ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, മേൽപ്പറഞ്ഞവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല സാധുവാണ്:

സൂത്രവാക്യത്തിൽ നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നത് വെക്റ്ററിന്റെ ദൈർഘ്യത്തെക്കുറിച്ചാണെന്നും വെക്റ്ററിനെക്കുറിച്ചല്ലെന്നും ഞാൻ ഊന്നിപ്പറയുന്നു. എന്താണ് പ്രായോഗിക അർത്ഥം? അനലിറ്റിക് ജ്യാമിതിയുടെ പ്രശ്നങ്ങളിൽ, ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം എന്ന ആശയത്തിലൂടെ ഒരു സമാന്തരരേഖയുടെ വിസ്തീർണ്ണം പലപ്പോഴും കാണപ്പെടുന്നു എന്നതാണ് അർത്ഥം:

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ പ്രധാന ഫോർമുല ലഭിക്കും. സമാന്തരചലനത്തിന്റെ ഡയഗണൽ (ചുവന്ന ഡോട്ടഡ് ലൈൻ) അതിനെ രണ്ട് തുല്യ ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു. അതിനാൽ, വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം (ചുവപ്പ് ഷേഡിംഗ്) ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താനാകും:

4) കുറവല്ല പ്രധാനപ്പെട്ട വസ്തുതവെക്‌റ്റർ വെക്‌ടറുകൾക്ക് ഓർത്തോഗണൽ ആണ്, അതായത്, . തീർച്ചയായും, വിപരീത ദിശയിലുള്ള വെക്‌ടറും (ക്രിംസൺ അമ്പടയാളം) യഥാർത്ഥ വെക്‌ടറുകൾക്ക് ഓർത്തോഗണൽ ആണ്.

5) വെക്റ്റർ അങ്ങനെയാണ് സംവിധാനം ചെയ്തിരിക്കുന്നത് അടിസ്ഥാനംഅതിനുണ്ട് ശരിയാണ്ഓറിയന്റേഷൻ. എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു പാഠത്തിൽ ഒരു പുതിയ അടിസ്ഥാനത്തിലേക്കുള്ള മാറ്റംഞാൻ വിശദമായി സംസാരിച്ചു വിമാന ഓറിയന്റേഷൻ, ഇപ്പോൾ നമ്മൾ സ്ഥലത്തിന്റെ ഓറിയന്റേഷൻ എന്താണെന്ന് കണ്ടെത്തും. ഞാൻ നിങ്ങളുടെ വിരലുകളിൽ വിശദീകരിക്കും വലംകൈ. മാനസികമായി സംയോജിപ്പിക്കുക ചൂണ്ടുവിരൽ വെക്റ്റർ ഒപ്പം നടുവിരൽവെക്റ്റർ ഉപയോഗിച്ച്. മോതിരവിരലും ചെറുവിരലുംനിങ്ങളുടെ കൈപ്പത്തിയിൽ അമർത്തുക. തൽഫലമായി പെരുവിരൽ- വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം മുകളിലേക്ക് നോക്കും. ഇതാണ് ശരിയായ അടിസ്ഥാനം (അത് ചിത്രത്തിൽ ഉണ്ട്). ഇപ്പോൾ വെക്റ്ററുകൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്യുക ( സൂചികയും നടുവിരലും) ചില സ്ഥലങ്ങളിൽ, തൽഫലമായി, തള്ളവിരൽ തിരിയുകയും വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം ഇതിനകം താഴേക്ക് നോക്കുകയും ചെയ്യും. ഇതും വലതുപക്ഷ അടിസ്ഥാനമാണ്. ഒരുപക്ഷേ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ചോദ്യമുണ്ടായിരിക്കാം: ഇടതുപക്ഷ ഓറിയന്റേഷനെന്താണ് അടിസ്ഥാനം? ഒരേ വിരലുകൾ "അസൈൻ ചെയ്യുക" ഇടതു കൈവെക്‌ടറുകൾ, ഇടത് അടിസ്ഥാനവും ഇടത് ബഹിരാകാശ ഓറിയന്റേഷനും നേടുക (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, തള്ളവിരൽ താഴ്ന്ന വെക്റ്ററിന്റെ ദിശയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യും). ആലങ്കാരികമായി പറഞ്ഞാൽ, ഈ അടിത്തറകൾ വ്യത്യസ്ത ദിശകളിലേക്ക് "വളച്ചൊടിക്കുക" അല്ലെങ്കിൽ ഓറിയന്റ് സ്പേസ്. ഈ ആശയം വിദൂരമായതോ അമൂർത്തമായതോ ആയ ഒന്നായി കണക്കാക്കരുത് - ഉദാഹരണത്തിന്, ഏറ്റവും സാധാരണമായ കണ്ണാടി സ്ഥലത്തിന്റെ ഓറിയന്റേഷൻ മാറ്റുന്നു, നിങ്ങൾ "പ്രതിഫലിക്കുന്ന വസ്തുവിനെ കണ്ണാടിയിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ", പൊതുവേ അത് സാധ്യമല്ല. അത് "ഒറിജിനൽ" എന്നതുമായി സംയോജിപ്പിക്കുക. വഴിയിൽ, കണ്ണാടിയിൽ മൂന്ന് വിരലുകൾ കൊണ്ടുവന്ന് പ്രതിഫലനം വിശകലനം ചെയ്യുക ;-)

... നിങ്ങൾ ഇപ്പോൾ അറിയുന്നത് എത്ര നല്ലതാണ് വലത്തും ഇടത്തും ഓറിയന്റഡ്അടിസ്ഥാനങ്ങൾ, കാരണം ഓറിയന്റേഷൻ മാറ്റത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചില ലക്ചറർമാരുടെ പ്രസ്താവനകൾ ഭയങ്കരമാണ് =)

കോളിനിയർ വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം

നിർവചനം വിശദമായി തയ്യാറാക്കിയിട്ടുണ്ട്, വെക്റ്ററുകൾ കോളിനിയറായിരിക്കുമ്പോൾ എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് കണ്ടെത്താൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു. വെക്റ്ററുകൾ കോളിനിയർ ആണെങ്കിൽ, അവ ഒരു നേർരേഖയിൽ സ്ഥാപിക്കാം, കൂടാതെ നമ്മുടെ സമാന്തരരേഖയും ഒരു നേർരേഖയിലേക്ക് "മടയുന്നു". ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പറയുന്നതുപോലെ അത്തരം മേഖലകൾ, അധഃപതിക്കുകസമാന്തരരേഖ പൂജ്യമാണ്. സൂത്രവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു - പൂജ്യം അല്ലെങ്കിൽ 180 ഡിഗ്രിയുടെ സൈൻ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത് ഏരിയ പൂജ്യമാണ്

അങ്ങനെ, എങ്കിൽ , പിന്നെ ഒപ്പം . ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം തന്നെ പൂജ്യം വെക്റ്ററിന് തുല്യമാണെന്ന് ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക, എന്നാൽ പ്രായോഗികമായി ഇത് പലപ്പോഴും അവഗണിക്കപ്പെടുകയും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു.

പ്രത്യേക കേസ്ഒരു വെക്റ്ററിന്റെയും അതിന്റെയും ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റ് ആണ്:

ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ത്രിമാന വെക്റ്ററുകളുടെ കോളിനാരിറ്റി പരിശോധിക്കാൻ കഴിയും, കൂടാതെ ഈ പ്രശ്നം ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും.

പ്രായോഗിക ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, അത് ആവശ്യമായി വന്നേക്കാം ത്രികോണമിതി പട്ടികഅതിൽ നിന്ന് സൈനുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ.

ശരി, നമുക്ക് തീ ആരംഭിക്കാം:

ഉദാഹരണം 1

a) എങ്കിൽ വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക

b) എങ്കിൽ വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം: ഇല്ല, ഇതൊരു അക്ഷരത്തെറ്റല്ല, കണ്ടീഷൻ ഇനങ്ങളിലെ പ്രാരംഭ ഡാറ്റ ഞാൻ മനഃപൂർവം തന്നെ ആക്കി. കാരണം പരിഹാരങ്ങളുടെ രൂപകൽപ്പന വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും!

a) വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, അത് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് നീളംവെക്റ്റർ (വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം). അനുബന്ധ ഫോർമുല അനുസരിച്ച്:

ഉത്തരം:

നീളത്തെക്കുറിച്ച് ചോദിച്ചതിനാൽ, ഉത്തരത്തിൽ ഞങ്ങൾ അളവ് സൂചിപ്പിക്കുന്നു - യൂണിറ്റുകൾ.

b) വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, അത് കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് സമചതുരം Samachathuramവെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച സമാന്തരരേഖ. ഈ സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളത്തിന് സംഖ്യാപരമായി തുല്യമാണ്:

ഉത്തരം:

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഉത്തരത്തിൽ ഒരു സംസാരവുമില്ല, ഞങ്ങളോട് ചോദിച്ചത് ശ്രദ്ധിക്കുക ഫിഗർ ഏരിയയഥാക്രമം, അളവ് ചതുര യൂണിറ്റുകളാണ്.

വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം എന്താണ് കണ്ടെത്തേണ്ടതെന്ന് ഞങ്ങൾ എപ്പോഴും നോക്കുന്നു, ഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഞങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു വ്യക്തമായഉത്തരം. ഇത് ലിറ്ററലിസം പോലെ തോന്നാം, പക്ഷേ അധ്യാപകരിൽ ആവശ്യത്തിന് അക്ഷരാർത്ഥികൾ ഉണ്ട്, കൂടാതെ നല്ല അവസരങ്ങളുള്ള ടാസ്ക്ക് റിവിഷനായി തിരികെ നൽകും. ഇത് പ്രത്യേകിച്ച് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ഒരു നിറ്റ്പിക്ക് അല്ലെങ്കിലും - ഉത്തരം തെറ്റാണെങ്കിൽ, ആ വ്യക്തിക്ക് ലളിതമായ കാര്യങ്ങൾ മനസ്സിലാകുന്നില്ലെന്നും കൂടാതെ / അല്ലെങ്കിൽ ടാസ്ക്കിന്റെ സാരാംശം മനസ്സിലാക്കിയിട്ടില്ലെന്നും ഒരു ധാരണ ലഭിക്കും. ഈ നിമിഷം എല്ലായ്പ്പോഴും നിയന്ത്രണത്തിൽ സൂക്ഷിക്കണം, ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലും മറ്റ് വിഷയങ്ങളിലും ഏത് പ്രശ്നവും പരിഹരിക്കുന്നു.

"en" എന്ന വലിയ അക്ഷരം എവിടെ പോയി? തത്വത്തിൽ, ഇത് അധികമായി പരിഹാരത്തിൽ കുടുങ്ങിയേക്കാം, പക്ഷേ റെക്കോർഡ് ചെറുതാക്കാൻ, ഞാൻ ചെയ്തില്ല. എല്ലാവരും അത് മനസ്സിലാക്കുമെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു, അത് ഒരേ കാര്യത്തിന്റെ പദവിയാണ്.

സ്വയം ചെയ്യേണ്ട ഒരു പരിഹാരത്തിനുള്ള ഒരു ജനപ്രിയ ഉദാഹരണം:

ഉദാഹരണം 2

എങ്കിൽ വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിലൂടെ ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം നിർവചനത്തിനുള്ള അഭിപ്രായങ്ങളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. പാഠത്തിന്റെ അവസാനത്തിൽ പരിഹാരവും ഉത്തരവും.

പ്രായോഗികമായി, ചുമതല വളരെ സാധാരണമാണ്, ത്രികോണങ്ങൾ സാധാരണയായി പീഡിപ്പിക്കപ്പെടാം.

മറ്റ് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ്:

വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ചില സവിശേഷതകൾ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരിഗണിച്ചിട്ടുണ്ട്, എന്നിരുന്നാലും, ഞാൻ അവ ഈ പട്ടികയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തും.

അനിയന്ത്രിതമായ വെക്റ്ററുകൾക്കും അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യകൾക്കും, ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങൾ ശരിയാണ്:

1) മറ്റ് വിവര സ്രോതസ്സുകളിൽ, ഈ ഇനം സാധാരണയായി പ്രോപ്പർട്ടികളിൽ വേർതിരിക്കപ്പെടുന്നില്ല, എന്നാൽ പ്രായോഗികമായി ഇത് വളരെ പ്രധാനമാണ്. അങ്ങനെ ഇരിക്കട്ടെ.

2) - സ്വത്തും മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്തിട്ടുണ്ട്, ചിലപ്പോൾ അതിനെ വിളിക്കുന്നു ആന്റികമ്മ്യൂട്ടറ്റിവിറ്റി. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രമം പ്രധാനമാണ്.

3) - കോമ്പിനേഷൻ അല്ലെങ്കിൽ സഹകാരിവെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്ന നിയമങ്ങൾ. സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ പരിധിയിൽ നിന്ന് എളുപ്പത്തിൽ പുറത്തെടുക്കുന്നു. ശരിക്കും, അവർ അവിടെ എന്താണ് ചെയ്യുന്നത്?

4) - വിതരണം അല്ലെങ്കിൽ വിതരണവെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്ന നിയമങ്ങൾ. ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുന്നതിലും പ്രശ്നങ്ങളില്ല.

ഒരു പ്രകടനമെന്ന നിലയിൽ, ഒരു ചെറിയ ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക:

ഉദാഹരണം 3

ഉണ്ടെങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം:വ്യവസ്ഥയനുസരിച്ച്, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തേണ്ടത് വീണ്ടും ആവശ്യമാണ്. നമുക്ക് നമ്മുടെ മിനിയേച്ചർ വരയ്ക്കാം:

(1) അനുബന്ധ നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ പരിധിക്കപ്പുറമുള്ള സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കുന്നു.

(2) ഞങ്ങൾ മൊഡ്യൂളിൽ നിന്ന് സ്ഥിരാങ്കം എടുക്കുന്നു, അതേസമയം മൊഡ്യൂൾ മൈനസ് ചിഹ്നം "തിന്നുന്നു". ദൈർഘ്യം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കരുത്.

(3) ഇനി പറയുന്ന കാര്യങ്ങൾ വ്യക്തമാണ്.

ഉത്തരം:

തീയിൽ വിറക് എറിയാനുള്ള സമയമാണിത്:

ഉദാഹരണം 4

വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക

പരിഹാരം: ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക . "ce" ഉം "te" ഉം വെക്‌ടറുകളുടെ ആകെത്തുകയായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു എന്നതാണ് സ്നാഗ്. ഇവിടെയുള്ള അൽഗോരിതം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ആണ്, കൂടാതെ പാഠത്തിന്റെ നമ്പർ 3, 4 ഉദാഹരണങ്ങളെ ഒരു പരിധിവരെ അനുസ്മരിപ്പിക്കുന്നു. വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം. വ്യക്തതയ്ക്കായി അതിനെ മൂന്ന് ഘട്ടങ്ങളായി വിഭജിക്കാം:

1) ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിലൂടെ ഞങ്ങൾ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, വാസ്തവത്തിൽ, വെക്‌ടറിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ വെക്‌ടറിനെ പ്രകടിപ്പിക്കുക. ദൈർഘ്യത്തെക്കുറിച്ച് ഇതുവരെ പറഞ്ഞിട്ടില്ല!

(1) വെക്റ്ററുകളുടെ എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.

(2) വിതരണ നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ബഹുപദങ്ങളുടെ ഗുണന നിയമം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുന്നു.

(3) അനുബന്ധ നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾക്കപ്പുറത്തുള്ള എല്ലാ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളും ഞങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കുന്നു. കുറച്ച് അനുഭവപരിചയമുണ്ടെങ്കിൽ, 2, 3 പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഒരേസമയം ചെയ്യാൻ കഴിയും.

(4) ആദ്യത്തേയും അവസാനത്തേയും പദങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് (പൂജ്യം വെക്റ്റർ) തുല്യമാണ്. രണ്ടാമത്തെ ടേമിൽ, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ആന്റികമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റി പ്രോപ്പർട്ടി ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

(5) ഞങ്ങൾ സമാനമായ നിബന്ധനകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

തൽഫലമായി, വെക്റ്റർ ഒരു വെക്റ്ററിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതായി മാറി, അത് നേടേണ്ടതുണ്ട്:

2) രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൽ, നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തുന്നു. ഈ പ്രവർത്തനം ഉദാഹരണം 3-ന് സമാനമാണ്:

3) ആവശ്യമുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക:

പരിഹാരത്തിന്റെ 2-3 ഘട്ടങ്ങൾ ഒരു വരിയിൽ ക്രമീകരിക്കാം.

ഉത്തരം:

പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന പ്രശ്നം വളരെ സാധാരണമാണ് നിയന്ത്രണ ജോലി, സ്വയം ചെയ്യേണ്ട ഒരു പരിഹാരത്തിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ:

ഉദാഹരണം 5

ഉണ്ടെങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക

പാഠത്തിന്റെ അവസാനം ചെറിയ പരിഹാരവും ഉത്തരവും. മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണങ്ങൾ പഠിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ എത്രമാത്രം ശ്രദ്ധാലുവായിരുന്നുവെന്ന് നോക്കാം ;-)

കോർഡിനേറ്റുകളിലെ വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റ്

, ഓർത്തോനോർമൽ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:

സൂത്രവാക്യം വളരെ ലളിതമാണ്: ഞങ്ങൾ ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ മുകളിലെ വരിയിൽ കോർഡിനേറ്റ് വെക്റ്ററുകൾ എഴുതുന്നു, രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും വരികളിലെ വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഞങ്ങൾ "പാക്ക്" ചെയ്യുന്നു, ഞങ്ങൾ ഇടുന്നു കർശനമായ ക്രമത്തിൽ- ആദ്യം, വെക്‌ടറിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ "ve", പിന്നെ വെക്‌ടറിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ "ഡബിൾ-വീ". വെക്റ്ററുകൾ മറ്റൊരു ക്രമത്തിൽ ഗുണിക്കണമെങ്കിൽ, വരികളും സ്വാപ്പ് ചെയ്യണം:

ഉദാഹരണം 10

ഇനിപ്പറയുന്ന സ്പേസ് വെക്‌ടറുകൾ കോളിനിയറാണോയെന്ന് പരിശോധിക്കുക:
എ)
b)

പരിഹാരം: ഈ പാഠത്തിലെ ഒരു പ്രസ്താവനയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് പരിശോധന: വെക്റ്ററുകൾ കോളിനിയറാണെങ്കിൽ, അവയുടെ ക്രോസ് പ്രോഡക്റ്റ് പൂജ്യമാണ് (പൂജ്യം വെക്റ്റർ): .

a) വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക:

അതിനാൽ വെക്‌ടറുകൾ കോളിനിയർ അല്ല.

b) വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക:

ഉത്തരം: എ) കോളിനിയർ അല്ല, ബി)

ഇവിടെ, ഒരുപക്ഷേ, വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തെക്കുറിച്ചുള്ള എല്ലാ അടിസ്ഥാന വിവരങ്ങളും.

ഈ വിഭാഗം വളരെ വലുതായിരിക്കില്ല, കാരണം വെക്റ്ററുകളുടെ മിക്സഡ് ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിക്കുന്ന കുറച്ച് പ്രശ്നങ്ങൾ ഉണ്ട്. വാസ്തവത്തിൽ, എല്ലാം നിർവചനം, ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം, രണ്ട് പ്രവർത്തന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എന്നിവയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും.

വെക്റ്ററുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നമാണ് മൂന്നിന്റെ ഉൽപ്പന്നംവെക്റ്ററുകൾ:

ഇങ്ങനെയാണ് അവർ ഒരു ട്രെയിൻ പോലെ വരിവരിയായി കാത്തിരിക്കുന്നത്, അവർ കണക്കുകൂട്ടുന്നത് വരെ കാത്തിരിക്കാനാവില്ല.

ആദ്യം വീണ്ടും നിർവചനവും ചിത്രവും:

നിർവ്വചനം: മിക്സഡ് ഉൽപ്പന്നം നോൺ-കോപ്ലനാർവെക്‌ടറുകൾ, ഈ ക്രമത്തിൽ എടുത്തത്, വിളിച്ചു സമാന്തര പൈപ്പിന്റെ അളവ്, ഈ വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, അടിസ്ഥാനം ശരിയാണെങ്കിൽ "+" ചിഹ്നവും അടിസ്ഥാനം ഇടതുവശത്താണെങ്കിൽ "-" ചിഹ്നവും കൊണ്ട് സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു.

നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗ് ചെയ്യാം. നമുക്ക് അദൃശ്യമായ വരകൾ ഒരു ഡോട്ട് വരയാൽ വരച്ചിരിക്കുന്നു:

നമുക്ക് നിർവചനത്തിലേക്ക് കടക്കാം:

2) വെക്‌ടറുകൾ എടുത്തു ഒരു നിശ്ചിത ക്രമത്തിൽ, അതായത്, ഉൽപ്പന്നത്തിലെ വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രമമാറ്റം, നിങ്ങൾ ഊഹിക്കുന്നതുപോലെ, അനന്തരഫലങ്ങൾ ഇല്ലാതെ പോകുന്നില്ല.

3) ജ്യാമിതീയ അർത്ഥത്തെക്കുറിച്ച് അഭിപ്രായമിടുന്നതിന് മുമ്പ്, ഞാൻ വ്യക്തമായ വസ്തുത ശ്രദ്ധിക്കും: വെക്‌ടറുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം ഒരു NUMBER ആണ്: . വിദ്യാഭ്യാസ സാഹിത്യത്തിൽ, ഡിസൈൻ കുറച്ച് വ്യത്യസ്തമായിരിക്കാം, ഞാൻ ഒരു മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം നിയോഗിക്കാറുണ്ടായിരുന്നു, കൂടാതെ "pe" എന്ന അക്ഷരം ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ഫലം.

എ-പ്രിയറി സമാന്തരപൈപ്പിന്റെ അളവാണ് മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം, വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത് (ചിത്രം ചുവന്ന വെക്റ്ററുകളും കറുത്ത വരകളും ഉപയോഗിച്ച് വരച്ചിരിക്കുന്നു). അതായത്, നൽകിയിരിക്കുന്ന സമാന്തര പൈപ്പിന്റെ വോളിയത്തിന് തുല്യമാണ് സംഖ്യ.

കുറിപ്പ് : ഡ്രോയിംഗ് സ്കീമാറ്റിക് ആണ്.

4) അടിസ്ഥാനത്തിന്റെയും സ്ഥലത്തിന്റെയും ഓറിയന്റേഷൻ എന്ന ആശയത്തിൽ നമുക്ക് വീണ്ടും വിഷമിക്കേണ്ടതില്ല. വോളിയത്തിൽ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം ചേർക്കാം എന്നതാണ് അവസാന ഭാഗത്തിന്റെ അർത്ഥം. ലളിതമായ വാക്കുകളിൽ, മിക്സഡ് ഉൽപ്പന്നം നെഗറ്റീവ് ആകാം: .

വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു സമാന്തര പൈപ്പിന്റെ അളവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്നു.

വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ

രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ ഒരു ക്രോസ് പ്രോഡക്റ്റ് എന്ന ആശയം അവതരിപ്പിക്കുന്നതിന്, ഈ വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ പോലുള്ള ഒരു ആശയം ഞങ്ങൾ ആദ്യം കൈകാര്യം ചെയ്യണം.

$\overline(α)$, $\overline(β)$ എന്നീ രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ നമുക്ക് നൽകാം. നമുക്ക് $O$ ബഹിരാകാശത്ത് കുറച്ച് പോയിന്റ് എടുത്ത് അതിൽ നിന്ന് $\overline(α)=\overline(OA)$, $\overline(β)=\overline(OB)$ എന്നീ വെക്റ്ററുകൾ മാറ്റിവെക്കാം, തുടർന്ന് ആംഗിൾ $AOB $ ഈ വെക്‌ടറുകൾക്കിടയിലുള്ള ആംഗിൾ എന്ന് വിളിക്കും (ചിത്രം 1).

കുറിപ്പ്: $∠(\overline(α),\overline(β))$

വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റ് എന്ന ആശയവും കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലയും

നിർവ്വചനം 1

രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾക്കും ലംബമായ ഒരു വെക്‌ടറാണ്, അതിന്റെ നീളം ഈ വെക്‌ടറുകൾക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ സൈനിനൊപ്പം ഈ വെക്‌ടറുകളുടെ നീളത്തിന്റെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും, കൂടാതെ രണ്ട് പ്രാരംഭങ്ങളുള്ള ഈ വെക്‌ടറിന് സമാനമായിരിക്കും. കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റമായി ഓറിയന്റേഷൻ.

കുറിപ്പ്: $\overline(α)х\overline(β)$.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

1. $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
3. $(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$, $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ എന്നിവയാണ് ഒരേ ഓറിയന്റഡ് (ചിത്രം 2)

വ്യക്തമായും, വെക്റ്ററുകളുടെ പുറം ഉൽപ്പന്നം രണ്ട് സന്ദർഭങ്ങളിൽ പൂജ്യം വെക്റ്ററിന് തുല്യമായിരിക്കും:

1. ഒന്നോ രണ്ടോ വെക്‌ടറുകളുടെ നീളം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ.
2. ഈ വെക്‌ടറുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ $180^\circ$ അല്ലെങ്കിൽ $0^\circ$ ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ (കാരണം ഈ സാഹചര്യത്തിൽ സൈൻ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്).

വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രോഡക്റ്റ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്തുന്നുവെന്ന് വ്യക്തമായി കാണുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന പരിഹാര ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക.

ഉദാഹരണം 1

$\overline(δ)$, $\overline(α)=(0,4,0)$, $\overline(β) എന്നീ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റിന്റെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്ററിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക. =(3,0,0 )$.

പരിഹാരം.

നമുക്ക് ഈ വെക്റ്ററുകൾ കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സ്പേസിൽ ചിത്രീകരിക്കാം (ചിത്രം 3):

ചിത്രം 3. കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സ്പേസിലെ വെക്റ്ററുകൾ. രചയിതാവ്24 - വിദ്യാർത്ഥി പേപ്പറുകളുടെ ഓൺലൈൻ കൈമാറ്റം

ഈ വെക്‌ടറുകൾ യഥാക്രമം $Ox$, $Oy$ എന്നീ അക്ഷങ്ങളിൽ കിടക്കുന്നതായി നാം കാണുന്നു. അതിനാൽ, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോൺ $90^\circ$ ന് തുല്യമായിരിക്കും. ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ നീളം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

തുടർന്ന്, നിർവചനം 1 പ്രകാരം, നമുക്ക് മൊഡ്യൂൾ $|\overline(δ)|$ ലഭിക്കും

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

ഉത്തരം: $12$.

വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ

നിർവചനം 1 ഉടൻ തന്നെ രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾക്കുള്ള ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു മാർഗം സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു വെക്റ്ററിന്, ഒരു മൂല്യത്തിന് പുറമേ, ഒരു ദിശയും ഉള്ളതിനാൽ, ഒരു സ്കെയിലർ മൂല്യം ഉപയോഗിച്ച് മാത്രം അത് കണ്ടെത്തുന്നത് അസാധ്യമാണ്. എന്നാൽ ഇത് കൂടാതെ, കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററുകൾ കണ്ടെത്താൻ മറ്റൊരു മാർഗമുണ്ട്.

യഥാക്രമം $(α_1,α_2,α_3)$, $(β_1,β_2,β_3)$ എന്നീ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള $\overline(α)$, $\overline(β)$ എന്നീ വെക്‌ടറുകൾ നമുക്ക് നൽകാം. ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ വെക്റ്റർ (അതായത്, അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ) ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താനാകും:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

അല്ലെങ്കിൽ, ഡിറ്റർമിനന്റ് വികസിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന കോർഡിനേറ്റുകൾ ലഭിക്കും

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

ഉദാഹരണം 2

$(0,3,3)$, $(-1,2,6)$ എന്നീ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള $\overline(α)$, $\overline(β)$ എന്നിവയുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റിന്റെ വെക്റ്റർ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

മുകളിലുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം. നേടുക

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) )=(12,-3,3)$

ഉത്തരം: $(12,-3,3)$.

വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ

അനിയന്ത്രിതമായ മിക്സഡ് മൂന്ന് വെക്‌ടറുകൾക്ക് $\overline(α)$, $\overline(β)$, $\overline(γ)$, അതുപോലെ $r∈R$ എന്നിവയ്ക്ക്, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രോപ്പർട്ടികൾ കൈവശം വയ്ക്കുന്നു:

ഉദാഹരണം 3

$(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$, $(3,8,0) എന്നീ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള ഒരു സമാന്തരരേഖയുടെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക. $.

പരിഹാരം.

ആദ്യം, കോർഡിനേറ്റ് സ്പേസിൽ ഈ സമാന്തരരേഖ വരയ്ക്കുക (ചിത്രം 5):

ചിത്രം 5. കോർഡിനേറ്റ് സ്പേസിൽ സമാന്തരരേഖ. രചയിതാവ്24 - വിദ്യാർത്ഥി പേപ്പറുകളുടെ ഓൺലൈൻ കൈമാറ്റം

$\overline(α)=(3,0,0)$, $\overline(β)=(0,8,0)$ എന്നീ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള കോളിനിയർ വെക്റ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് ഈ സമാന്തരചലനത്തിന്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്. നാലാമത്തെ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

$S=|\overline(α)x\overline(β)|$

വെക്റ്റർ $\overline(α)х\overline(β)$ കണ്ടെത്തുക:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\Overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

അതുകൊണ്ട്

$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$