സ്ക്വയർ റൂട്ട്. ഉദാഹരണങ്ങളുള്ള വിശദമായ സിദ്ധാന്തം

ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂലത്തിന്റെ ആശയം

x2 = 4 എന്ന സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. നമുക്ക് അത് ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഒരു സിസ്റ്റത്തിൽ കോർഡിനേറ്റുകൾഒരു പരവലയ y = x2, ഒരു നേർരേഖ y = 4 എന്നിവ നിർമ്മിക്കുക (ചിത്രം 74). എ (- 2; 4), ബി (2; 4) എന്നീ രണ്ട് പോയിന്റുകളിൽ അവ വിഭജിക്കുന്നു. പോയിന്റ് എ, ബി എന്നിവയുടെ അബ്‌സിസ്സകൾ x2 = 4 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളാണ്. അതിനാൽ, x1 = - 2, x2 = 2.

അതേ രീതിയിൽ വാദിച്ചുകൊണ്ട്, x2 = 9 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു (ചിത്രം 74 കാണുക): x1 = - 3, x2 = 3.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് x2 = 5 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം; ജ്യാമിതീയ ചിത്രീകരണം ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 75. ഈ സമവാക്യത്തിന് x1, x2 എന്നീ രണ്ട് വേരുകളുണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാണ്, മുമ്പത്തെ രണ്ട് സന്ദർഭങ്ങളിലെന്നപോലെ ഈ സംഖ്യകളും കേവല മൂല്യത്തിൽ തുല്യവും ചിഹ്നത്തിൽ വിപരീതവുമാണ് (x1 - - x2) - എന്നാൽ മുമ്പത്തെ കേസുകളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ ബുദ്ധിമുട്ടില്ലാതെ കണ്ടെത്തി (അവ ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിക്കാതെയും കണ്ടെത്താം), ഇത് x2 \u003d 5 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ കാര്യമല്ല: ഡ്രോയിംഗ് അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് വേരുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല , നമുക്ക് അത് സ്ഥാപിക്കാൻ മാത്രമേ കഴിയൂ റൂട്ട്പോയിന്റ് 2-ന്റെ ഇടതുവശത്ത് അൽപ്പം സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, രണ്ടാമത്തേത് - പോയിന്റ് 2-ന്റെ വലതുവശത്ത്.

എന്നാൽ ഇവിടെ നാം ഒരു അസുഖകരമായ ആശ്ചര്യത്തിലാണ്. അങ്ങനെയൊന്നുമില്ലെന്ന് ഇത് മാറുന്നു ഭിന്നസംഖ്യകൾ DIV_ADBLOCK32">

തുല്യതയ്ക്ക് വേണ്ടിയുള്ള അപ്രസക്തമായ അംശം ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}, അതായത്, m2 = 5n2. അവസാന സമത്വം എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യ m2 ബാക്കിയില്ലാതെ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ് (ഘടകത്തിൽ നമുക്ക് n2 ലഭിക്കും).

തൽഫലമായി, m2 എന്ന സംഖ്യ ഒന്നുകിൽ 5 എന്ന സംഖ്യയിലോ 0 എന്ന സംഖ്യയിലോ അവസാനിക്കുന്നു. എന്നാൽ പിന്നീട് m എന്ന സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും ഒന്നുകിൽ 5 എന്ന സംഖ്യയിലോ അല്ലെങ്കിൽ 0 എന്ന സംഖ്യയിലോ അവസാനിക്കുന്നു, അതായത് m എന്ന സംഖ്യയെ ബാക്കിയില്ലാതെ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, m എന്ന സംഖ്യയെ 5 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, ഘടകത്തിൽ ചില സ്വാഭാവിക സംഖ്യ k ലഭിക്കും. ഇതിനർത്ഥം m = 5k എന്നാണ്.

ഇപ്പോൾ നോക്കൂ:

ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ m-ന് പകരം 5k നൽകുക:

(5k)2 = 5n2, അതായത് 25k2 = 5n2 അല്ലെങ്കിൽ n2 = 5k2.

അവസാന സമത്വം അർത്ഥമാക്കുന്നത് സംഖ്യ എന്നാണ്. 5n2 എന്നത് ഒരു ശേഷിപ്പില്ലാതെ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്. മുകളിൽ പറഞ്ഞതുപോലെ വാദിച്ചുകൊണ്ട്, n എന്ന സംഖ്യയും ഇല്ലാതെ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാമെന്ന നിഗമനത്തിൽ ഞങ്ങൾ എത്തിച്ചേരുന്നു ബാക്കി.

അതിനാൽ, m എന്നത് 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, n എന്നത് 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാം (5 കൊണ്ട്). എന്നാൽ അംശം കുറയ്ക്കാനാവില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിച്ചു. എന്താണ് കാര്യം? എന്തുകൊണ്ട്, ശരിയായി ന്യായവാദം ചെയ്താൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു അസംബന്ധത്തിലേക്ക് എത്തി, അല്ലെങ്കിൽ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പലപ്പോഴും പറയുന്നതുപോലെ, ഒരു വൈരുദ്ധ്യം ലഭിച്ചു "! അതെ, യഥാർത്ഥ ആമുഖം തെറ്റായിരുന്നു, കാരണം അത്തരമൊരു അപ്രസക്തമായ ഭിന്നസംഖ്യ ഉള്ളതുപോലെ, അതിനായി തുല്യത ).

ശരിയായ യുക്തിയുടെ ഫലമായി, ഞങ്ങൾ വ്യവസ്ഥയുമായി ഒരു വൈരുദ്ധ്യത്തിൽ എത്തിയാൽ, ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു: ഞങ്ങളുടെ അനുമാനം തെറ്റാണ്, അതിനർത്ഥം തെളിയിക്കേണ്ടത് സത്യമാണ് എന്നാണ്.

അതിനാൽ, ഉള്ളത് മാത്രം യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ(ഞങ്ങൾക്ക് ഇതുവരെ മറ്റ് സംഖ്യകൾ അറിയില്ല), x2 \u003d 5 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് കഴിയില്ല.

ഇത്തരമൊരു സാഹചര്യം ആദ്യമായി കണ്ടുമുട്ടിയതിനാൽ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ അതിനെ ഗണിതശാസ്ത്ര ഭാഷയിൽ വിവരിക്കാൻ ഒരു മാർഗം കൊണ്ടുവരണമെന്ന് മനസ്സിലാക്കി. അവർ പരിഗണനയിൽ ഒരു പുതിയ ചിഹ്നം അവതരിപ്പിച്ചു, അതിനെ അവർ സ്ക്വയർ റൂട്ട് എന്ന് വിളിച്ചു, ഈ ചിഹ്നത്തിന്റെ സഹായത്തോടെ, x2 = 5 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു: ). ഇപ്പോൾ x2 \u003d a എന്ന ഫോമിന്റെ ഏത് സമവാക്യത്തിനും, അവിടെ a\u003e O, നിങ്ങൾക്ക് വേരുകൾ കണ്ടെത്താം - അവ സംഖ്യകളാണ്https://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!}മുഴുവനായോ അംശമോ അല്ല.
ഇതിനർത്ഥം ഇത് ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയല്ല, ഇത് ഒരു പുതിയ സ്വഭാവമുള്ള ഒരു സംഖ്യയാണ്, അത്തരം സംഖ്യകളെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ പിന്നീട് അദ്ധ്യായം 5 ൽ സംസാരിക്കും.
ഇപ്പോൾ, പുതിയ സംഖ്യ 2 നും 3 നും ഇടയിലാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക, കാരണം 22 = 4, അത് 5-ൽ താഴെയാണ്; Z2 \u003d 9, അത് 5-ൽ കൂടുതലാണ്. നിങ്ങൾക്ക് വ്യക്തമാക്കാം:

സ്‌ക്വയർ റൂട്ടിന്റെ നിർവചനത്തിൽ ഇത് അനുശാസിക്കുന്നതിനാൽ, പട്ടികയിൽ പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകൾ മാത്രമേ ദൃശ്യമാകൂ എന്നത് വീണ്ടും ശ്രദ്ധിക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, \u003d 25 എന്നത് ശരിയായ തുല്യതയാണെങ്കിലും, അതിൽ നിന്ന് സ്ക്വയർ റൂട്ട് ഉപയോഗിച്ച് നൊട്ടേഷനിലേക്ക് പോകുക (അതായത്, അത് എഴുതുക. .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!}ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്, അതിനാൽ https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}. 42 = 16 (ഇത് 17-ൽ കുറവാണ്), 52 = 25 (ഇത് 17-ൽ കൂടുതലാണ്) എന്നതിനാൽ, ഇത് 4-ൽ കൂടുതലും എന്നാൽ 5-ൽ കുറവുമാണ് എന്നത് വ്യക്തമാണ്.
എന്നിരുന്നാലും, സംഖ്യയുടെ ഏകദേശ മൂല്യം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താനാകും കാൽക്കുലേറ്റർ, സ്ക്വയർ റൂട്ട് പ്രവർത്തനം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു; ഈ മൂല്യം 4.123 ആണ്.

മുകളിൽ പരിഗണിച്ച സംഖ്യ പോലെ സംഖ്യയും യുക്തിസഹമല്ല.
ഇ) ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂല്യം നിലവിലില്ലാത്തതിനാൽ കണക്കാക്കാൻ കഴിയില്ല; പ്രവേശനം അർത്ഥശൂന്യമാണ്. നിർദ്ദിഷ്ട ചുമതല തെറ്റാണ്.
ഇ) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Task" width="80" height="33 id=">!}, 75 > 0 മുതൽ 752 = 5625.

ഏറ്റവും ലളിതമായ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, സ്ക്വയർ റൂട്ട് മൂല്യം ഉടനടി കണക്കാക്കുന്നു:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Task" width="65" height="42 id=">!}
പരിഹാരം.
ആദ്യ ഘട്ടം.ഉത്തരം "വാൽ" ഉപയോഗിച്ച് 50 ആയിരിക്കുമെന്ന് ഊഹിക്കാൻ പ്രയാസമില്ല. തീർച്ചയായും, 502 = 2500 ഉം 602 = 3600 ഉം, 2809 എന്നത് 2500 നും 3600 നും ഇടയിലാണ്.

x 2 = 4 എന്ന സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. നമുക്ക് അത് ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു പരവലയ y \u003d x 2, ഒരു നേർരേഖ y \u003d 4 (ചിത്രം 74) നിർമ്മിക്കുന്നു. എ (- 2; 4), ബി (2; 4) എന്നീ രണ്ട് പോയിന്റുകളിൽ അവ വിഭജിക്കുന്നു. പോയിന്റ് A, B എന്നിവയുടെ അബ്‌സിസ്സകൾ x 2 \u003d 4 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളാണ്. അതിനാൽ, x 1 \u003d - 2, x 2 \u003d 2.

അതേ രീതിയിൽ വാദിച്ചുകൊണ്ട്, x 2 \u003d 9 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു (ചിത്രം 74 കാണുക): x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 3.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് x 2 \u003d 5 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം; ജ്യാമിതീയ ചിത്രീകരണം ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 75. ഈ സമവാക്യത്തിന് x 1, x 2 എന്നീ രണ്ട് വേരുകളുണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാണ്, ഈ സംഖ്യകൾ, മുമ്പത്തെ രണ്ട് സന്ദർഭങ്ങളിലെന്നപോലെ, കേവല മൂല്യത്തിൽ തുല്യവും ചിഹ്നത്തിൽ വിപരീതവുമാണ് (x 1 - - x 2) - എന്നാൽ മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ ബുദ്ധിമുട്ടില്ലാതെ കണ്ടെത്തിയ സന്ദർഭങ്ങൾ (അവ ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിക്കാതെയും കണ്ടെത്താം), ഇത് x 2 \u003d 5 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ കാര്യമല്ല: ഡ്രോയിംഗ് അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് മൂല്യങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല വേരുകളുടെ, ഒരു റൂട്ട് ഇടത് പോയിന്റുകളിലേക്ക് ചെറുതായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്നുവെന്ന് മാത്രമേ നമുക്ക് സ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയൂ - 2, രണ്ടാമത്തേത് - അല്പം വലത്തേക്ക്

പോയിന്റ് 2.

പോയിന്റ് 2 ന്റെ വലതുവശത്ത് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നതും 5 ചതുരം നൽകുന്നതുമായ ഈ നമ്പർ (പോയിന്റ്) എന്താണ്? Z 2 \u003d 9 മുതൽ ഇത് 3 അല്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതായത്, ഇത് ആവശ്യമുള്ളതിനേക്കാൾ കൂടുതൽ മാറുന്നു (9\u003e 5).

ഇതിനർത്ഥം ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള സംഖ്യകൾ 2 നും 3 നും ഇടയിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്. എന്നാൽ 2 നും 3 നും ഇടയിൽ അനന്തമായ യുക്തിസഹ സംഖ്യകൾ ഉണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന് തുടങ്ങിയവ. ഒരുപക്ഷേ അവരുടെ ഇടയിൽ അത്തരമൊരു അംശം ഉണ്ടോ? അപ്പോൾ നമുക്ക് x 2 - 5 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ പ്രശ്നങ്ങളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല, നമുക്ക് അത് എഴുതാം

എന്നാൽ ഇവിടെ നാം ഒരു അസുഖകരമായ ആശ്ചര്യത്തിലാണ്. തുല്യതയ്ക്കായി അത്തരമൊരു ഭിന്നസംഖ്യ ഇല്ലെന്ന് ഇത് മാറുന്നു
പ്രസ്താവിച്ച അവകാശവാദത്തിന്റെ തെളിവ് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഞങ്ങൾ അത് നൽകുന്നു, കാരണം അത് മനോഹരവും പ്രബോധനപരവുമാണ്, അത് മനസിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നത് വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാണ്.

തുല്യത നിലനിർത്തുന്ന അത്തരം ഒരു അപ്രസക്തമായ അംശം ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. അപ്പോൾ , അതായത് m 2 = 5n 2 . അവസാന സമത്വം അർത്ഥമാക്കുന്നത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യ m 2 ഒരു ശേഷിക്കാതെ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കപ്പെടുന്നു എന്നാണ് (പ്രത്യേകിച്ച്, n2 മാറും).

തൽഫലമായി, m 2 എന്ന സംഖ്യ ഒന്നുകിൽ 5 എന്ന സംഖ്യയിലോ അല്ലെങ്കിൽ 0 എന്ന സംഖ്യയിലോ അവസാനിക്കുന്നു. എന്നാൽ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ m യും 5 അല്ലെങ്കിൽ 0 എന്ന സംഖ്യയിൽ അവസാനിക്കുന്നു, അതായത്. m എന്ന സംഖ്യയെ ബാക്കിയില്ലാതെ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, m എന്ന സംഖ്യയെ 5 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, ഘടകത്തിൽ ചില സ്വാഭാവിക സംഖ്യ k ലഭിക്കും. ഇതിനർത്ഥം,
അത് m = 5k.
ഇപ്പോൾ നോക്കൂ:
m 2 \u003d 5n 2;
ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ m-ന് പകരം 5k നൽകുക:

(5k) 2 = 5n 2, അതായത് 25k 2 = 5n 2 അല്ലെങ്കിൽ n 2 = 5k 2.
അവസാന സമത്വം അർത്ഥമാക്കുന്നത് സംഖ്യ എന്നാണ്. 5n 2 ഒരു ശേഷിക്കാതെ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. മുകളിൽ പറഞ്ഞതുപോലെ വാദിച്ചുകൊണ്ട്, n എന്ന സംഖ്യയും ബാക്കിയില്ലാതെ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാമെന്ന നിഗമനത്തിലെത്തി.
അതിനാൽ, m എന്നത് 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, n എന്നത് 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാം (5 കൊണ്ട്). എന്നാൽ അംശം കുറയ്ക്കാനാവില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിച്ചു. എന്താണ് കാര്യം? എന്തുകൊണ്ടാണ്, ശരിയായി ന്യായവാദം ചെയ്താൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു അസംബന്ധത്തിലേക്ക് എത്തി, അല്ലെങ്കിൽ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പലപ്പോഴും പറയുന്നതുപോലെ, ഒരു വൈരുദ്ധ്യം ലഭിച്ചു "! അതെ, യഥാർത്ഥ ആമുഖം തെറ്റായിരുന്നു, കാരണം അത്തരമൊരു അപ്രസക്തമായ ഭിന്നസംഖ്യ ഉള്ളതുപോലെ, അതിനായി തുല്യത
ഇതിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു: അത്തരമൊരു ഭിന്നസംഖ്യ ഇല്ല.
നമ്മൾ ഇപ്പോൾ പ്രയോഗിച്ച പ്രൂഫ് രീതിയെ ഗണിതത്തിൽ വൈരുദ്ധ്യം തെളിയിക്കുന്ന രീതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിന്റെ സാരാംശം ഇപ്രകാരമാണ്. ഞങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത പ്രസ്താവന തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അത് പാലിക്കുന്നില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു (ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പറയുന്നു: "വിരുദ്ധമെന്ന് കരുതുക" - "അസുഖകരമായ" എന്ന അർത്ഥത്തിലല്ല, മറിച്ച് "ആവശ്യമായതിന്റെ വിപരീതം" എന്ന അർത്ഥത്തിലാണ്).
ശരിയായ യുക്തിയുടെ ഫലമായി, ഞങ്ങൾ വ്യവസ്ഥയുമായി ഒരു വൈരുദ്ധ്യത്തിൽ എത്തിയാൽ, ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു: ഞങ്ങളുടെ അനുമാനം തെറ്റാണ്, അതിനർത്ഥം തെളിയിക്കേണ്ടത് സത്യമാണ് എന്നാണ്.

അതിനാൽ, യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ (ഞങ്ങൾക്ക് മറ്റ് സംഖ്യകൾ ഇതുവരെ അറിയില്ല), ഞങ്ങൾക്ക് x 2 \u003d 5 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല.
ആദ്യമായി ഇത്തരമൊരു സാഹചര്യം നേരിട്ടതിനാൽ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ അതിനെ ഗണിതശാസ്ത്ര ഭാഷയിൽ വിവരിക്കാൻ ഒരു മാർഗം കൊണ്ടുവരണമെന്ന് മനസ്സിലാക്കി. അവർ പരിഗണനയിലേക്ക് ഒരു പുതിയ ചിഹ്നം അവതരിപ്പിച്ചു, അതിനെ അവർ സ്ക്വയർ റൂട്ട് എന്ന് വിളിച്ചു, ഈ ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച്, x 2 \u003d 5 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

വായിക്കുന്നു: "5 ന്റെ സ്ക്വയർ റൂട്ട്"). ഇപ്പോൾ x 2 \u003d a എന്ന ഫോമിന്റെ ഏത് സമവാക്യത്തിനും, a\u003e O, നിങ്ങൾക്ക് വേരുകൾ കണ്ടെത്താം - അവ സംഖ്യകളാണ്. , (ചിത്രം 76).

വീണ്ടും, സംഖ്യ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ലെന്നും ഭിന്നസംഖ്യയല്ലെന്നും ഞങ്ങൾ ഊന്നിപ്പറയുന്നു.
ഇതിനർത്ഥം ഇത് ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയല്ല, ഇത് ഒരു പുതിയ സ്വഭാവമുള്ള ഒരു സംഖ്യയാണ്, അത്തരം സംഖ്യകളെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ പിന്നീട് അദ്ധ്യായം 5 ൽ സംസാരിക്കും.
ഇപ്പോൾ, പുതിയ സംഖ്യ 2 നും 3 നും ഇടയിലാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക, കാരണം 2 2 = 4, അത് 5-ൽ താഴെയാണ്; Z 2 \u003d 9, ഇത് 5-ൽ കൂടുതലാണ്. നിങ്ങൾക്ക് വ്യക്തമാക്കാം:

തീർച്ചയായും, 2.2 2 = 4.84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. നിങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും കഴിയും
വ്യക്തമാക്കുക:

തീർച്ചയായും, 2.23 2 = 4.9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
പ്രായോഗികമായി, സാധാരണയായി സംഖ്യ 2.23 ന് തുല്യമാണ് അല്ലെങ്കിൽ ഇത് 2.24 ന് തുല്യമാണെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു, ഇത് ഒരു സാധാരണ തുല്യതയല്ല, മറിച്ച് ഒരു ഏകദേശ തുല്യതയാണ്, ഇതിനായി ചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കുന്നു.
അതിനാൽ,

x 2 = a എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം ചർച്ചചെയ്യുമ്പോൾ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഒരു സാധാരണ അവസ്ഥയാണ് ഞങ്ങൾ അഭിമുഖീകരിച്ചത്. നിലവാരമില്ലാത്ത, അസാധാരണമായ (ബഹിരാകാശയാത്രികർ പറയാൻ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നതുപോലെ) ഒരു സാഹചര്യത്തിലേക്ക് പ്രവേശിക്കുകയും അറിയപ്പെടുന്ന മാർഗങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ അതിൽ നിന്ന് ഒരു വഴി കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യാതെ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് ഒരു പുതിയ പദവും പുതിയ പദവിയും (ഒരു പുതിയ ചിഹ്നം) കൊണ്ടുവരുന്നു. അവർ ആദ്യമായി നേരിട്ട മാതൃക; മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, അവർ ഒരു പുതിയ ആശയം അവതരിപ്പിക്കുകയും തുടർന്ന് ഇതിന്റെ സവിശേഷതകൾ പഠിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു
ആശയങ്ങൾ. അങ്ങനെ, പുതിയ ആശയവും അതിന്റെ പദവിയും ഗണിതശാസ്ത്ര ഭാഷയുടെ സ്വത്തായി മാറുന്നു. ഞങ്ങൾ അതേ രീതിയിൽ പ്രവർത്തിച്ചു: "എ എന്ന സംഖ്യയുടെ സ്ക്വയർ റൂട്ട്" എന്ന പദം ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിച്ചു, അതിനെ സൂചിപ്പിക്കാൻ ഒരു ചിഹ്നം അവതരിപ്പിച്ചു, കുറച്ച് കഴിഞ്ഞ് ഞങ്ങൾ പുതിയ ആശയത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ പഠിക്കും. ഇതുവരെ ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു കാര്യം മാത്രമേ അറിയൂ: a > 0 ആണെങ്കിൽ,
അപ്പോൾ x 2 = a എന്ന സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, അത്തരമൊരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണോ, സ്ക്വയർ ചെയ്യുമ്പോൾ, a എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കും.
x 2 \u003d 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് x \u003d 0 ഉള്ളതിനാൽ, അത് അനുമാനിക്കാൻ ഞങ്ങൾ സമ്മതിച്ചു
ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ഒരു കർശനമായ നിർവചനം നൽകാൻ തയ്യാറാണ്.
നിർവ്വചനം. ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ സ്ക്വയർ റൂട്ട് ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്, അതിന്റെ വർഗ്ഗം a ആണ്.

ഈ നമ്പർ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, സംഖ്യയും അതേ സമയം റൂട്ട് നമ്പർ എന്നും വിളിക്കുന്നു.
അതിനാൽ, a നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യയാണെങ്കിൽ:

അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
അതിനാൽ, ഒരു > 0 ആയിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ പദപ്രയോഗം അർത്ഥമുള്ളൂ.
എന്ന് അവർ പറയുന്നു - ഒരേ ഗണിത മാതൃക (നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള അതേ ബന്ധം
(a, b), എന്നാൽ ആദ്യത്തേതിനേക്കാൾ ലളിതമായ ഭാഷയിൽ രണ്ടാമത്തേത് മാത്രമേ വിവരിച്ചിട്ടുള്ളൂ (ലളിതമായ പ്രതീകങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു).

ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂല്യം കണ്ടെത്തുന്ന പ്രവർത്തനത്തെ സ്ക്വയർ റൂട്ട് എടുക്കൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ പ്രവർത്തനം സ്ക്വയറിംഗിന്റെ വിപരീതമാണ്. താരതമ്യം ചെയ്യുക:

സ്‌ക്വയർ റൂട്ടിന്റെ നിർവചനത്തിൽ ഇത് അനുശാസിക്കുന്നതിനാൽ, പട്ടികയിൽ പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകൾ മാത്രമേ ദൃശ്യമാകൂ എന്നത് വീണ്ടും ശ്രദ്ധിക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, (- 5) 2 \u003d 25 എന്നത് ശരിയായ തുല്യതയാണെങ്കിലും, അതിൽ നിന്ന് സ്ക്വയർ റൂട്ട് ഉപയോഗിച്ച് നൊട്ടേഷനിലേക്ക് പോകുക (അതായത് അത് എഴുതുക.)
അത് നിഷിദ്ധമാണ്. എ-പ്രിയറി, . ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്, അതിനാൽ .
പലപ്പോഴും അവർ പറയുന്നത് "സ്ക്വയർ റൂട്ട്" അല്ല, മറിച്ച് "ഗണിത വർഗ്ഗമൂല്യം" എന്നാണ്. സംക്ഷിപ്തതയ്ക്ക് "ഗണിതം" എന്ന പദം ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു.

D) മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, നമുക്ക് സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ മൂല്യം വ്യക്തമാക്കാൻ കഴിയില്ല. ഇത് 4-ൽ കൂടുതലാണെങ്കിലും 5-ൽ കുറവാണെന്ന് മാത്രം വ്യക്തമാണ്

4 2 = 16 (അത് 17-നേക്കാൾ കുറവാണ്), 5 2 = 25 (അത് 17-നേക്കാൾ കൂടുതലാണ്).
എന്നിരുന്നാലും, സംഖ്യയുടെ ഏകദേശ മൂല്യം ഒരു മൈക്രോകാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താനാകും, അതിൽ സ്ക്വയർ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്ന പ്രവർത്തനം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു; ഈ മൂല്യം 4.123 ആണ്.
അതിനാൽ,
മുകളിൽ പരിഗണിച്ച സംഖ്യ പോലെ സംഖ്യയും യുക്തിസഹമല്ല.
ഇ) ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂല്യം നിലവിലില്ലാത്തതിനാൽ കണക്കാക്കാൻ കഴിയില്ല; പ്രവേശനം അർത്ഥശൂന്യമാണ്. നിർദ്ദിഷ്ട ചുമതല തെറ്റാണ്.
e), 31 > 0 മുതൽ 31 2 = 961. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, നിങ്ങൾ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ പട്ടികയോ മൈക്രോകാൽക്കുലേറ്ററോ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്.
g) 75 > 0 മുതൽ 75 2 = 5625.
ഏറ്റവും ലളിതമായ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, സ്‌ക്വയർ റൂട്ടിന്റെ മൂല്യം ഉടനടി കണക്കാക്കുന്നു: മുതലായവ. കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, നിങ്ങൾ സംഖ്യകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ പട്ടിക ഉപയോഗിക്കണം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു മൈക്രോകാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തണം. എന്നാൽ കയ്യിൽ സ്‌പ്രെഡ്‌ഷീറ്റോ കാൽക്കുലേറ്ററോ ഇല്ലെങ്കിലോ? ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം പരിഹരിച്ചുകൊണ്ട് ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാം.

ഉദാഹരണം 2കണക്കാക്കുക
പരിഹാരം.
ആദ്യ ഘട്ടം.ഉത്തരം "വാൽ" ഉപയോഗിച്ച് 50 ആയിരിക്കുമെന്ന് ഊഹിക്കാൻ പ്രയാസമില്ല. തീർച്ചയായും, 50 2 = 2500, 60 2 = 3600, അതേസമയം 2809 എന്ന സംഖ്യ 2500 നും 3600 നും ഇടയിലാണ്.

രണ്ടാം ഘട്ടം.നമുക്ക് "വാൽ" കണ്ടെത്താം, അതായത്. ആവശ്യമുള്ള സംഖ്യയുടെ അവസാന അക്കം. റൂട്ട് എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഉത്തരം 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, അല്ലെങ്കിൽ 59 ആയിരിക്കാമെന്ന് ഇതുവരെ നമുക്കറിയാം. രണ്ട് അക്കങ്ങൾ മാത്രം പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്: 53, 57, കാരണം അവ മാത്രം , സ്‌ക്വയർ ചെയ്യുമ്പോൾ, ഫലം 9-ൽ അവസാനിക്കുന്ന നാലക്ക സംഖ്യയാണ്, 2809-ന്റെ അതേ അക്കമായിരിക്കും.
ഞങ്ങൾക്ക് 532 = 2809 ഉണ്ട് - ഇതാണ് ഞങ്ങൾക്ക് വേണ്ടത് (ഞങ്ങൾ ഭാഗ്യവാനായിരുന്നു, ഞങ്ങൾ ഉടൻ തന്നെ "ബുൾസ് ഐ" അടിച്ചു). അങ്ങനെ = 53.
ഉത്തരം:

53
ഉദാഹരണം 3ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ കാലുകൾ 1 സെന്റിമീറ്ററും 2 സെന്റിമീറ്ററും ആണ്.ത്രികോണത്തിന്റെ ഹൈപ്പോടെനസ് എന്താണ്? (fig.77)

പരിഹാരം.

നമുക്ക് ജ്യാമിതിയിൽ നിന്ന് അറിയപ്പെടുന്ന പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കാം: ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ കാലുകളുടെ നീളത്തിന്റെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക അതിന്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ നീളത്തിന്റെ ചതുരത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത് a 2 + b 2 \u003d c 2, ഇവിടെ a, b കാലുകൾ, c എന്നത് വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ ഹൈപ്പോടെനസ് ആണ്.

അർത്ഥമാക്കുന്നത്,

വർഗ്ഗമൂലങ്ങളുടെ ആമുഖം ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ ആഗ്രഹമല്ല, മറിച്ച് ഒരു വസ്തുനിഷ്ഠമായ ആവശ്യകതയാണെന്ന് ഈ ഉദാഹരണം കാണിക്കുന്നു: യഥാർത്ഥ ജീവിതത്തിൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലുകളിൽ ഒരു സ്ക്വയർ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്ന പ്രവർത്തനം അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന സാഹചര്യങ്ങളുണ്ട്. ഒരുപക്ഷേ ഈ സാഹചര്യങ്ങളിൽ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടത്
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. ഇപ്പോൾ വരെ, കോടാലി 2 + bx + c \u003d 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുമായി കണ്ടുമുട്ടുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ഒന്നുകിൽ ഇടത് വശം ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്തു (അത് എല്ലായ്പ്പോഴും പ്രവർത്തിക്കില്ല), അല്ലെങ്കിൽ ഗ്രാഫിക്കൽ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ചു (ഇത് വളരെ വിശ്വസനീയമല്ല, മനോഹരമാണെങ്കിലും). വാസ്തവത്തിൽ, കണ്ടെത്താൻ
ഗണിതത്തിലെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ x 1 ഉം x 2 ഉം ax 2 + bx + c \u003d 0, ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു

പ്രത്യക്ഷത്തിൽ, വർഗ്ഗമൂലത്തിന്റെ അടയാളം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പ്രായോഗികമായി ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രയോഗിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 2x 2 + bx - 7 \u003d 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇവിടെ a \u003d 2, b \u003d 5, c \u003d - 7. അതിനാൽ,
b2 - 4ac \u003d 5 2 - 4. 2. (- 7) = 81. അപ്പോൾ നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നു . അർത്ഥമാക്കുന്നത്,

ഞങ്ങൾ മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചത് ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയല്ല.
ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ അത്തരം സംഖ്യകളെ യുക്തിരഹിതമെന്ന് വിളിക്കുന്നു. സ്ക്വയർ റൂട്ട് എടുത്തില്ലെങ്കിൽ ഫോമിന്റെ ഏത് സംഖ്യയും യുക്തിരഹിതമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, തുടങ്ങിയവ. അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളാണ്. അഞ്ചാം അധ്യായത്തിൽ, യുക്തിരഹിതവും യുക്തിരഹിതവുമായ സംഖ്യകളെക്കുറിച്ച് നമ്മൾ കൂടുതൽ സംസാരിക്കും. യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവുമായ സംഖ്യകൾ ഒരുമിച്ച് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടം ഉണ്ടാക്കുന്നു, അതായത്. യഥാർത്ഥ ജീവിതത്തിൽ നമ്മൾ പ്രവർത്തിക്കുന്ന എല്ലാ നമ്പറുകളുടെയും കൂട്ടം (വാസ്തവത്തിൽ,
നെസ്സ്). ഉദാഹരണത്തിന്, - ഇവയെല്ലാം യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്.
മുകളിൽ ഒരു വർഗ്ഗമൂലത്തിന്റെ ആശയം ഞങ്ങൾ നിർവചിച്ചതുപോലെ, നമുക്ക് ഒരു ക്യൂബ് റൂട്ട് എന്ന ആശയവും നിർവചിക്കാം: ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ക്യൂബ് റൂട്ട് ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്, അതിന്റെ ക്യൂബ് a ന് തുല്യമാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, സമത്വം അർത്ഥമാക്കുന്നത് b 3 = a എന്നാണ്.

11-ാം ക്ലാസ്സിലെ ആൾജിബ്ര കോഴ്സിൽ നമ്മൾ ഇതെല്ലാം പഠിക്കും.

ഈ ലേഖനത്തിൽ, ഞങ്ങൾ പരിചയപ്പെടുത്തും ഒരു സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് എന്ന ആശയം. ഞങ്ങൾ തുടർച്ചയായി പ്രവർത്തിക്കും: ഞങ്ങൾ സ്ക്വയർ റൂട്ടിൽ ആരംഭിക്കും, അതിൽ നിന്ന് ക്യൂബ് റൂട്ടിന്റെ വിവരണത്തിലേക്ക് പോകും, ​​അതിനുശേഷം nth ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് നിർവചിച്ച് റൂട്ടിന്റെ ആശയം ഞങ്ങൾ സാമാന്യവൽക്കരിക്കും. അതേ സമയം, ഞങ്ങൾ നിർവചനങ്ങൾ, നൊട്ടേഷൻ, വേരുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുകയും ആവശ്യമായ വിശദീകരണങ്ങളും അഭിപ്രായങ്ങളും നൽകുകയും ചെയ്യും.

സ്ക്വയർ റൂട്ട്, ഗണിത സ്ക്വയർ റൂട്ട്

ഒരു സംഖ്യയുടെ റൂട്ടിന്റെ നിർവചനം, പ്രത്യേകിച്ച് വർഗ്ഗമൂലത്തിന്റെ നിർവചനം മനസ്സിലാക്കാൻ, ഒരാൾക്ക് ഉണ്ടായിരിക്കണം. ഈ ഘട്ടത്തിൽ, നമ്മൾ പലപ്പോഴും ഒരു സംഖ്യയുടെ രണ്ടാമത്തെ ശക്തിയെ കണ്ടുമുട്ടും - ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം.

നമുക്ക് തുടങ്ങാം സ്ക്വയർ റൂട്ട് നിർവചനങ്ങൾ.

നിർവ്വചനം

a യുടെ വർഗ്ഗമൂല്യംഒരു ചതുരം ഉള്ള സംഖ്യയാണ്.

കൊണ്ടുവരാൻ വേണ്ടി വർഗ്ഗമൂലങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ, നിരവധി സംഖ്യകൾ എടുക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 , അവയെ സമചതുരമാക്കുക, നമുക്ക് യഥാക്രമം 25 , 0.09 , 0.09, 0 എന്നീ സംഖ്യകൾ ലഭിക്കും (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (-0.3) 2 =(-0.3) (−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09, 0 2 =0 0=0 ). അപ്പോൾ മുകളിലെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, 5 എന്നത് 25 ന്റെ വർഗ്ഗമൂലവും -0.3 ഉം 0.3 ഉം 0.09 ന്റെ വർഗ്ഗമൂലവും, 0 എന്നത് പൂജ്യത്തിന്റെ വർഗ്ഗമൂലവുമാണ്.

ഒരു സംഖ്യയ്‌ക്ക് തുല്യമായ ചതുരം നിലവിലില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. അതായത്, ഏത് നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയ്ക്കും a, ചതുരം തുല്യമായ b യഥാർത്ഥ സംഖ്യയില്ല. തീർച്ചയായും, തുല്യത a=b 2 ഏതൊരു നെഗറ്റീവ് a യ്ക്കും അസാധ്യമാണ്, കാരണം b 2 ഏതൊരു b യ്ക്കും നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യയാണ്. അങ്ങനെ, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂലമില്ല. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ, ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂല്യം നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല, അർത്ഥമില്ല.

ഇത് ഒരു യുക്തിസഹമായ ചോദ്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു: "ഏതെങ്കിലും നോൺ-നെഗറ്റീവ് a യ്‌ക്ക് a യുടെ വർഗ്ഗമൂലമുണ്ടോ"? അതെ എന്നാണ് ഉത്തരം. ഈ വസ്തുതയുടെ യുക്തി, വർഗ്ഗമൂലത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു സൃഷ്ടിപരമായ രീതിയായി കണക്കാക്കാം.

അപ്പോൾ താഴെപ്പറയുന്ന യുക്തിസഹമായ ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: "നൽകിയ നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യയുടെ എല്ലാ വർഗ്ഗമൂലങ്ങളുടെയും എണ്ണം എന്താണ് - ഒന്ന്, രണ്ട്, മൂന്ന് അല്ലെങ്കിൽ അതിലും കൂടുതൽ"? അതിനുള്ള ഉത്തരം ഇതാ: a പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, പൂജ്യത്തിന്റെ ഏക വർഗ്ഗമൂല്യം പൂജ്യമാണ്; a എന്നത് ചില പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, a എന്ന സംഖ്യയിൽ നിന്നുള്ള വർഗ്ഗമൂലങ്ങളുടെ എണ്ണം രണ്ടിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ വേരുകൾ . നമുക്ക് ഇത് സാധൂകരിക്കാം.

a=0 എന്ന കേസിൽ നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം. പൂജ്യം തീർച്ചയായും പൂജ്യത്തിന്റെ വർഗ്ഗമൂലമാണെന്ന് നമുക്ക് ആദ്യം കാണിക്കാം. ഇത് വ്യക്തമായ സമത്വം 0 2 =0·0=0 എന്നിവയിൽ നിന്നും സ്ക്വയർ റൂട്ടിന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്നും പിന്തുടരുന്നു.

ഇനി പൂജ്യത്തിന്റെ ഏക വർഗ്ഗമൂലമാണ് 0 എന്ന് തെളിയിക്കാം. നമുക്ക് വിപരീത രീതി ഉപയോഗിക്കാം. പൂജ്യത്തിന്റെ വർഗ്ഗമൂലമായ ചില പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ b ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. അപ്പോൾ b 2 =0 എന്ന വ്യവസ്ഥ തൃപ്‌തിപ്പെടുത്തണം, അത് അസാധ്യമാണ്, കാരണം പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏത് b 2 എന്ന പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം പോസിറ്റീവ് ആണ്. ഞങ്ങൾ ഒരു വൈരുദ്ധ്യത്തിൽ എത്തിയിരിക്കുന്നു. പൂജ്യത്തിന്റെ ഏക വർഗ്ഗമൂലമാണ് 0 എന്ന് ഇത് തെളിയിക്കുന്നു.

a എന്നത് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ ആയ സാഹചര്യങ്ങളിലേക്ക് നമുക്ക് പോകാം. നെഗറ്റീവല്ലാത്ത ഏതൊരു സംഖ്യയുടെയും വർഗ്ഗമൂല്യം എപ്പോഴും ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ മുകളിൽ പറഞ്ഞു, a യുടെ വർഗ്ഗമൂല്യം b ആയിരിക്കട്ടെ. ഒരു സംഖ്യ സി ഉണ്ടെന്ന് പറയാം, അത് a യുടെ വർഗ്ഗമൂലവും കൂടിയാണ്. തുടർന്ന്, വർഗ്ഗമൂലത്തിന്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, b 2 =a, c 2 =a എന്നീ തുല്യതകൾ സാധുവാണ്, അതിൽ നിന്ന് b 2 -c 2 =a−a=0, എന്നാൽ b 2 -c 2 =( b−c) (b+c) , പിന്നെ (b−c) (b+c)=0 . തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമത്വം പ്രാബല്യത്തിൽ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ b−c=0 അല്ലെങ്കിൽ b+c=0 എപ്പോൾ മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ. അങ്ങനെ ബി, സി എന്നീ സംഖ്യകൾ തുല്യമോ വിപരീതമോ ആണ്.

a എന്ന സംഖ്യയുടെ മറ്റൊരു വർഗ്ഗമൂലമായ d എന്നൊരു സംഖ്യ ഉണ്ടെന്ന് നമ്മൾ അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഇതിനകം നൽകിയിരിക്കുന്നതിന് സമാനമായ ന്യായവാദത്തിലൂടെ, d എന്നത് b അല്ലെങ്കിൽ c എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂലങ്ങളുടെ എണ്ണം രണ്ടാണ്, വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ വിപരീത സംഖ്യകളാണ്.

സ്ക്വയർ റൂട്ടുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കാനുള്ള സൗകര്യത്തിനായി, നെഗറ്റീവ് റൂട്ട് പോസിറ്റീവ് ഒന്നിൽ നിന്ന് "വേർപെടുത്തിയിരിക്കുന്നു". ഈ ആവശ്യത്തിനായി, അത് പരിചയപ്പെടുത്തുന്നു ഗണിത സ്ക്വയർ റൂട്ടിന്റെ നിർവചനം.

നിർവ്വചനം

ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ഗണിത വർഗ്ഗമൂല്യം aഒരു നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യയാണ്, അതിന്റെ ചതുരം a ന് തുല്യമാണ്.

a എന്ന സംഖ്യയുടെ ഗണിത വർഗ്ഗമൂലത്തിന്, നൊട്ടേഷൻ സ്വീകരിക്കുന്നു. ഈ ചിഹ്നത്തെ ഗണിത വർഗ്ഗമൂല ചിഹ്നം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇതിനെ റാഡിക്കലിന്റെ അടയാളം എന്നും വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഒരേ വസ്തുവിനെ അർത്ഥമാക്കുന്ന "റൂട്ട്", "റാഡിക്കൽ" എന്നിവ നിങ്ങൾക്ക് ഭാഗികമായി കേൾക്കാം.

ഗണിത വർഗ്ഗമൂല ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യയെ വിളിക്കുന്നു റൂട്ട് നമ്പർ, റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗം - റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ, "റാഡിക്കൽ നമ്പർ" എന്ന പദം പലപ്പോഴും "റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ" ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, നൊട്ടേഷനിൽ, നമ്പർ 151 ഒരു റാഡിക്കൽ സംഖ്യയാണ്, കൂടാതെ നൊട്ടേഷനിൽ, a എന്ന പദപ്രയോഗം ഒരു റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ ആണ്.

വായിക്കുമ്പോൾ, "ഗണിതം" എന്ന വാക്ക് പലപ്പോഴും ഒഴിവാക്കപ്പെടുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, എൻട്രി "ഏഴ് പോയിന്റ് ഇരുപത്തൊമ്പത് നൂറിലൊന്നിന്റെ വർഗ്ഗമൂല്യം" എന്ന് വായിക്കുന്നു. ഒരു സംഖ്യയുടെ പോസിറ്റീവ് സ്ക്വയർ റൂട്ടിനെക്കുറിച്ചാണ് നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നതെന്ന് അവർ ഊന്നിപ്പറയാൻ ആഗ്രഹിക്കുമ്പോൾ മാത്രമാണ് "ഗണിതം" എന്ന വാക്ക് ഉച്ചരിക്കുന്നത്.

അവതരിപ്പിച്ച നൊട്ടേഷന്റെ വെളിച്ചത്തിൽ, ഗണിത സ്ക്വയർ റൂട്ടിന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു, ഏത് നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യയ്ക്കും a .

a എന്ന പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ ഗണിത വർഗ്ഗമൂല ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ചാണ് എഴുതുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന്, 13 ന്റെ വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ, ഒപ്പം . പൂജ്യത്തിന്റെ ഗണിത വർഗ്ഗമൂല്യം പൂജ്യമാണ്, അതായത്, . നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾക്ക് a, ഞങ്ങൾ പഠിക്കുന്നത് വരെ എൻട്രികൾക്ക് അർത്ഥം ചേർക്കില്ല സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ. ഉദാഹരണത്തിന്, പദപ്രയോഗങ്ങൾ അർത്ഥശൂന്യമാണ്.

ഒരു വർഗ്ഗമൂലത്തിന്റെ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, വർഗ്ഗമൂലങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു, അവ പലപ്പോഴും പ്രായോഗികമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഈ ഉപവിഭാഗം അവസാനിപ്പിക്കാൻ, ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ x എന്ന വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് x 2 =a ഫോമിന്റെ പരിഹാരങ്ങളാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു.

ക്യൂബ് റൂട്ട്

ക്യൂബ് റൂട്ടിന്റെ നിർവചനംസ്ക്വയർ റൂട്ടിന്റെ നിർവചനത്തിന് സമാനമായ രീതിയിൽ a എന്ന സംഖ്യ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഇത് ഒരു സംഖ്യയുടെ ഒരു ക്യൂബ് എന്ന ആശയത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, ഒരു ചതുരമല്ല.

നിർവ്വചനം

a യുടെ ക്യൂബ് റൂട്ട്ഒരു ക്യൂബ് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയെ വിളിക്കുന്നു.

കൊണ്ടുവരാം ക്യൂബ് വേരുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിരവധി സംഖ്യകൾ എടുക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്, 7 , 0 , −2/3 , അവയെ ക്യൂബ് ചെയ്യുക: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . തുടർന്ന്, ക്യൂബ് റൂട്ടിന്റെ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നമുക്ക് 7 എന്നത് 343-ന്റെ ക്യൂബ് റൂട്ടാണെന്നും 0 പൂജ്യത്തിന്റെ ക്യൂബ് റൂട്ടാണെന്നും −2/3 -8/27 ന്റെ ക്യൂബ് റൂട്ടാണെന്നും പറയാം.

a എന്ന സംഖ്യയുടെ ക്യൂബ് റൂട്ട്, സ്ക്വയർ റൂട്ടിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, എല്ലായ്പ്പോഴും നിലവിലുണ്ടെന്ന് കാണിക്കാൻ കഴിയും, കൂടാതെ നോൺ-നെഗറ്റീവ് a ന് മാത്രമല്ല, ഏത് യഥാർത്ഥ സംഖ്യയ്ക്കും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സ്ക്വയർ റൂട്ട് പഠിക്കുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിച്ച അതേ രീതി നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം.

മാത്രവുമല്ല, തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയുടെ ഒരു ക്യൂബ് റൂട്ട് മാത്രമേയുള്ളൂ. അവസാനത്തെ വാദം തെളിയിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, മൂന്ന് കേസുകൾ വെവ്വേറെ പരിഗണിക്കുക: a ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ, a=0, a എന്നത് ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്.

പോസിറ്റീവ് a എന്നതിന്, a യുടെ ക്യൂബ് റൂട്ട് നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യമാകാൻ കഴിയില്ലെന്ന് കാണിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. തീർച്ചയായും, b എന്നത് a യുടെ ക്യൂബ് റൂട്ട് ആകട്ടെ, പിന്നെ നിർവചനം അനുസരിച്ച് നമുക്ക് b 3 =a എന്ന സമത്വം എഴുതാം. ഈ സമത്വം നെഗറ്റീവ് b നും b=0 നും ശരിയാകില്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്, കാരണം ഈ സന്ദർഭങ്ങളിൽ b 3 =b·b·b യഥാക്രമം ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയോ പൂജ്യമോ ആയിരിക്കും. അതിനാൽ a പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ക്യൂബ് റൂട്ട് ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്.

ഇപ്പോൾ b എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് പുറമേ a എന്ന സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു ക്യൂബ് റൂട്ട് കൂടി ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക, നമുക്ക് അത് c എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം. അപ്പോൾ c 3 =a. അതിനാൽ, b 3 -c 3 =a−a=0 , പക്ഷേ b 3 -c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(ഇതാണ് ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യം സമചതുര വ്യത്യാസം), എവിടെ നിന്ന് (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമത്വം b−c=0 അല്ലെങ്കിൽ b 2 +b c+c 2 =0 ആയിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ. ആദ്യത്തെ സമത്വത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് b=c ഉണ്ട്, രണ്ടാമത്തെ സമത്വത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല, കാരണം അതിന്റെ ഇടതുവശം ഏത് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്കും b, c എന്നീ മൂന്ന് പോസിറ്റീവ് പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായ ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്. ഇത് a എന്ന പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ക്യൂബ് റൂട്ടിന്റെ പ്രത്യേകത തെളിയിക്കുന്നു.

a=0 ന്, a യുടെ ഏക ക്യൂബ് റൂട്ട് പൂജ്യമാണ്. തീർച്ചയായും, പൂജ്യത്തിന്റെ പൂജ്യമല്ലാത്ത ഒരു ക്യൂബ് റൂട്ട് ആയ ഒരു സംഖ്യ b ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, തുല്യത b 3 =0 പിടിക്കണം, അത് b=0 ആയിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ.

നെഗറ്റീവ് എയ്‌ക്ക്, പോസിറ്റീവ് എയ്‌ക്ക് സമാനമായി ഒരാൾക്ക് വാദിക്കാം. ആദ്യം, ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ക്യൂബ് റൂട്ട് ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയ്‌ക്കോ പൂജ്യത്തിനോ തുല്യമാകില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു. രണ്ടാമതായി, ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ രണ്ടാമത്തെ ക്യൂബ് റൂട്ട് ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുകയും അത് ആദ്യത്തേതുമായി പൊരുത്തപ്പെടുമെന്ന് കാണിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

അതിനാൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുടെ ഒരു ക്യൂബ് റൂട്ട് എപ്പോഴും ഉണ്ടാകും, ഒന്ന് മാത്രം.

കൊടുക്കാം ഗണിത ക്യൂബ് റൂട്ടിന്റെ നിർവചനം.

നിർവ്വചനം

ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ഗണിത ക്യൂബ് റൂട്ട് aഒരു ക്യൂബ് തുല്യമായ ഒരു നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യയെ വിളിക്കുന്നു.

ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ഗണിത ക്യൂബ് റൂട്ട് എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഈ ചിഹ്നത്തെ ഗണിത ക്യൂബ് റൂട്ടിന്റെ അടയാളം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഈ നൊട്ടേഷനിലെ നമ്പർ 3 എന്ന് വിളിക്കുന്നു റൂട്ട് സൂചകം. റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യയാണ് റൂട്ട് നമ്പർ, റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗം റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ.

ഗണിത ക്യൂബ് റൂട്ട് നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യകൾക്ക് മാത്രമേ നിർവചിച്ചിട്ടുള്ളൂവെങ്കിലും, ഗണിത ക്യൂബ് റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾ ഉള്ള എൻട്രികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതും സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഞങ്ങൾ അവയെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മനസ്സിലാക്കും: , ഇവിടെ a എന്നത് ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, .

വേരുകളുടെ ഗുണങ്ങൾ എന്ന പൊതു ലേഖനത്തിൽ ക്യൂബ് വേരുകളുടെ ഗുണങ്ങളെക്കുറിച്ച് നമ്മൾ സംസാരിക്കും.

ഒരു ക്യൂബ് റൂട്ടിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുന്നതിനെ ഒരു ക്യൂബ് റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റിംഗ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഈ പ്രവർത്തനം വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്ന ലേഖനത്തിൽ ചർച്ചചെയ്യുന്നു: രീതികൾ, ഉദാഹരണങ്ങൾ, പരിഹാരങ്ങൾ.

ഈ ഉപവിഭാഗം അവസാനിപ്പിക്കാൻ, a യുടെ ക്യൂബ് റൂട്ട് x 3 =a എന്ന ഫോമിന്റെ പരിഹാരമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ പറയുന്നു.

Nth റൂട്ട്, n ന്റെ ഗണിതമൂല്യം

ഒരു സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു റൂട്ട് എന്ന ആശയം ഞങ്ങൾ സാമാന്യവൽക്കരിക്കുന്നു - ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു nth റൂട്ടിന്റെ നിർണ്ണയംവേണ്ടി n.

നിർവ്വചനം

a യുടെ nth റൂട്ട് a ന് തുല്യമായ nth ശക്തിയുള്ള ഒരു സംഖ്യയാണ്.

ഈ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന്, a എന്ന സംഖ്യയിൽ നിന്നുള്ള ആദ്യ ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് a എന്ന സംഖ്യയാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്, കാരണം ഒരു സ്വാഭാവിക സൂചകം ഉപയോഗിച്ച് ബിരുദം പഠിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ 1 = a എടുത്തു.

മുകളിൽ, n=2, n=3 എന്നിവയ്‌ക്കായുള്ള nth ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ടിന്റെ പ്രത്യേക കേസുകൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ചു - വർഗ്ഗമൂലവും ക്യൂബ് റൂട്ടും. അതായത്, വർഗ്ഗമൂല്യം രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ മൂലവും ക്യൂബ് റൂട്ട് മൂന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ മൂലവുമാണ്. n=4, 5, 6, ... എന്നതിനായുള്ള nth ഡിഗ്രിയുടെ വേരുകൾ പഠിക്കാൻ, അവയെ രണ്ട് ഗ്രൂപ്പുകളായി വിഭജിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്: ആദ്യ ഗ്രൂപ്പ് - ഇരട്ട ഡിഗ്രികളുടെ വേരുകൾ (അതായത്, n=4, 6 ന് , 8, ...), രണ്ടാമത്തെ ഗ്രൂപ്പ് - വേരുകൾ വിചിത്ര ശക്തികൾ (അതായത്, n=5, 7, 9, ... ). ഇരട്ട ഡിഗ്രികളുടെ വേരുകൾ വർഗ്ഗമൂലത്തിന് സമാനമാണ്, ഒറ്റ ഡിഗ്രികളുടെ വേരുകൾ ക്യൂബിക് റൂട്ടിന് സമാനമാണ് എന്നതാണ് ഇതിന് കാരണം. നമുക്ക് അവരുമായി മാറിമാറി കൈകാര്യം ചെയ്യാം.

4, 6, 8, എന്നീ ഇരട്ട സംഖ്യകളായ വേരുകളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം ... ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പറഞ്ഞതുപോലെ, അവ a എന്ന സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂലത്തിന് സമാനമാണ്. അതായത്, a എന്ന സംഖ്യയിൽ നിന്നുള്ള ഏതെങ്കിലും ഇരട്ട ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത a ന് മാത്രമേ നിലനിൽക്കൂ. കൂടാതെ, a=0 ആണെങ്കിൽ, a യുടെ റൂട്ട് അദ്വിതീയവും പൂജ്യത്തിന് തുല്യവുമാണ്, a>0 ആണെങ്കിൽ, a എന്ന സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഇരട്ട ഡിഗ്രിയുടെ രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ട്, അവ വിപരീത സംഖ്യകളാണ്.

അവസാനത്തെ വാദത്തെ നമുക്ക് ന്യായീകരിക്കാം. b ഒരു ഇരട്ട ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് ആകട്ടെ (ഞങ്ങൾ അതിനെ 2·m ആയി സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഇവിടെ m എന്നത് ചില സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്) a യിൽ നിന്ന്. ഒരു സംഖ്യയുണ്ടെന്ന് കരുതുക - a യുടെ മറ്റൊരു 2 മീറ്റർ റൂട്ട് . അപ്പോൾ b 2 m -c 2 m =a−a=0 . എന്നാൽ b 2 m - c 2 m = (b - c) (b + c) എന്ന രൂപത്തെക്കുറിച്ച് നമുക്കറിയാം. (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), പിന്നെ (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. ഈ സമത്വത്തിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നത് b−c=0 , അല്ലെങ്കിൽ b+c=0 , അല്ലെങ്കിൽ b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. ആദ്യത്തെ രണ്ട് തുല്യതകൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത് ബി, സി എന്നീ സംഖ്യകൾ തുല്യമാണ് അല്ലെങ്കിൽ ബിയും സിയും വിപരീതമാണ്. അവസാന സമത്വം b=c=0 ന് മാത്രമേ സാധുതയുള്ളൂ, കാരണം അതിന്റെ ഇടത് വശത്ത് ഏതെങ്കിലും b-നും c-നും നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അത് നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയാണ്.

ഒറ്റ n ന്റെ nth ഡിഗ്രിയുടെ വേരുകളെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, അവ ക്യൂബ് റൂട്ടിന് സമാനമാണ്. അതായത്, a എന്ന സംഖ്യയിൽ നിന്നുള്ള ഏതെങ്കിലും ഒറ്റ ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യ a യ്‌ക്ക് നിലവിലുണ്ട്, തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയ്ക്ക് അത് അദ്വിതീയമാണ്.

a എന്ന സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒറ്റ ഡിഗ്രി 2·m+1 ന്റെ മൂലത്തിന്റെ പ്രത്യേകത, a യിൽ നിന്നുള്ള ക്യൂബ് റൂട്ടിന്റെ അദ്വിതീയതയുടെ തെളിവ് ഉപയോഗിച്ച് സാമ്യം തെളിയിക്കുന്നു. സമത്വത്തിനു പകരം ഇവിടെ മാത്രം a 3 -b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) b 2 m+1 -c 2 m+1 = രൂപത്തിന്റെ ഒരു തുല്യത (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). അവസാനത്തെ പരാൻതീസിസിലെ പദപ്രയോഗം ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാം b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). ഉദാഹരണത്തിന്, m=2 ന് നമുക്കുണ്ട് b 5 -c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). a, b എന്നിവ രണ്ടും പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്, അപ്പോൾ ഉയർന്ന അളവിലുള്ള കൂടുകെട്ടലിന്റെ പരാൻതീസിസിലുള്ള b 2 +c 2 +b·c എന്ന പദപ്രയോഗം പോസിറ്റീവ് തുകയായി പോസിറ്റീവ് ആണ്. സംഖ്യകൾ. ഇപ്പോൾ, നെസ്റ്റിംഗിന്റെ മുൻ ഡിഗ്രികളുടെ ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ എക്സ്പ്രഷനുകളിലേക്ക് തുടർച്ചയായി നീങ്ങുമ്പോൾ, അവ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയായും പോസിറ്റീവ് ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ ഉറപ്പാക്കുന്നു. തൽഫലമായി, തുല്യത b 2 m+1 -c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 b−c=0 , അതായത് b എന്ന സംഖ്യ c എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ.

nth ഡിഗ്രിയുടെ വേരുകളുടെ നൊട്ടേഷൻ കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ട സമയമാണിത്. ഇതിനായി, അത് നൽകിയിരിക്കുന്നു nth ഡിഗ്രിയുടെ ഗണിതമൂലത്തിന്റെ നിർണ്ണയം.

നിർവ്വചനം

ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ nth ഡിഗ്രിയുടെ ഗണിതമൂല്യം aഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയെ വിളിക്കുന്നു, അതിന്റെ n-ാമത്തെ ശക്തി a ന് തുല്യമാണ്.

ഞാൻ വീണ്ടും പ്ലേറ്റിലേക്ക് നോക്കി ... പിന്നെ, നമുക്ക് പോകാം!

ലളിതമായ ഒന്ന് ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം:

ഒരു മിനിറ്റ് കാത്തിരിക്കൂ. ഇത്, അതായത് നമുക്ക് ഇതുപോലെ എഴുതാം:

മനസ്സിലായി? നിങ്ങൾക്കായി അടുത്തത് ഇതാ:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യകളുടെ വേരുകൾ കൃത്യമായി വേർതിരിച്ചെടുത്തിട്ടില്ലേ? വിഷമിക്കേണ്ട, ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

എന്നാൽ രണ്ട് ഗുണിതങ്ങളല്ല, മറിച്ച് കൂടുതൽ ഉണ്ടെങ്കിൽ? അതുതന്നെ! റൂട്ട് ഗുണന സൂത്രവാക്യം ഏത് ഘടകങ്ങളിലും പ്രവർത്തിക്കുന്നു:

ഇപ്പോൾ പൂർണ്ണമായും സ്വതന്ത്ര:

ഉത്തരങ്ങൾ:നന്നായി ചെയ്തു! സമ്മതിക്കുക, എല്ലാം വളരെ എളുപ്പമാണ്, പ്രധാന കാര്യം ഗുണന പട്ടിക അറിയുക എന്നതാണ്!

റൂട്ട് ഡിവിഷൻ

വേരുകളുടെ ഗുണനം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി, ഇപ്പോൾ നമുക്ക് വിഭജനത്തിന്റെ സ്വഭാവത്തിലേക്ക് പോകാം.

പൊതുവായ സൂത്രവാക്യം ഇതുപോലെയാണെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ:

അതിന്റെ അർത്ഥം ഘടകത്തിന്റെ റൂട്ട് വേരുകളുടെ ഘടകത്തിന് തുല്യമാണ്.

ശരി, നമുക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

അതെല്ലാം ശാസ്ത്രമാണ്. കൂടാതെ ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ:

എല്ലാം ആദ്യ ഉദാഹരണത്തിലെ പോലെ സുഗമമല്ല, എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നും തന്നെയില്ല.

പദപ്രയോഗം ഇതുപോലെയാണെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും:

നിങ്ങൾ ഫോർമുല വിപരീതമായി പ്രയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

കൂടാതെ ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ:

നിങ്ങൾക്ക് ഈ പദപ്രയോഗവും കാണാം:

എല്ലാം ഒന്നുതന്നെയാണ്, ഇവിടെ മാത്രം ഭിന്നസംഖ്യകൾ എങ്ങനെ വിവർത്തനം ചെയ്യണമെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട് (നിങ്ങൾക്ക് ഓർമ്മയില്ലെങ്കിൽ, വിഷയം നോക്കി മടങ്ങുക!). ഓർമ്മയുണ്ടോ? ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ തീരുമാനിക്കുന്നു!

നിങ്ങൾ എല്ലാം, എല്ലാം കൈകാര്യം ചെയ്തുവെന്ന് എനിക്ക് ഉറപ്പുണ്ട്, ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു ഡിഗ്രിയിൽ വേരുകൾ നിർമ്മിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം.

എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ

സ്ക്വയർ റൂട്ട് സ്ക്വയർ ചെയ്താൽ എന്ത് സംഭവിക്കും? ഇത് ലളിതമാണ്, ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂലത്തിന്റെ അർത്ഥം ഓർക്കുക - ഇത് സ്ക്വയർ റൂട്ടിന് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയാണ്.

അതിനാൽ, വർഗ്ഗമൂല്യം തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയെ വർഗ്ഗീകരിച്ചാൽ, നമുക്ക് എന്ത് ലഭിക്കും?

ശരി, തീർച്ചയായും, !

നമുക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

എല്ലാം ലളിതമാണ്, അല്ലേ? റൂട്ട് മറ്റൊരു ഡിഗ്രിയിലാണെങ്കിൽ? ഇത് ഒകെയാണ്!

ഒരേ ലോജിക്കിൽ ഉറച്ചുനിൽക്കുക, ശക്തികളുള്ള ഗുണങ്ങളും സാധ്യമായ പ്രവർത്തനങ്ങളും ഓർക്കുക.

"" എന്ന വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം വായിക്കുക, എല്ലാം നിങ്ങൾക്ക് വളരെ വ്യക്തമാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു പദപ്രയോഗം ഇതാ:

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, ബിരുദം ഇരട്ടയാണ്, എന്നാൽ അത് വിചിത്രമായാലോ? വീണ്ടും, പവർ പ്രോപ്പർട്ടികൾ പ്രയോഗിക്കുക, എല്ലാം ഫാക്ടർ ചെയ്യുക:

ഇതോടെ, എല്ലാം വ്യക്തമായതായി തോന്നുന്നു, പക്ഷേ ഒരു ഡിഗ്രിയിലെ ഒരു സംഖ്യയിൽ നിന്ന് റൂട്ട് എങ്ങനെ വേർതിരിച്ചെടുക്കാം? ഇവിടെ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഇതാണ്:

വളരെ ലളിതമാണ്, അല്ലേ? ബിരുദം രണ്ടിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ? ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഒരേ യുക്തി പിന്തുടരുന്നു:

ശരി, എല്ലാം വ്യക്തമാണോ? തുടർന്ന് നിങ്ങളുടെ സ്വന്തം ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

കൂടാതെ ഉത്തരങ്ങൾ ഇതാ:

റൂട്ടിന്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള ആമുഖം

വേരുകളുമായി ചെയ്യാൻ നമ്മൾ പഠിക്കാത്തത്! റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ നമ്പർ നൽകുന്നത് പരിശീലിക്കാൻ മാത്രമേ ഇത് ശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ!

ഇത് വളരെ എളുപ്പമാണ്!

നമുക്ക് ഒരു നമ്പർ ഉണ്ടെന്ന് പറയാം

അത് കൊണ്ട് നമുക്ക് എന്ത് ചെയ്യാൻ കഴിയും? ശരി, തീർച്ചയായും, ട്രിപ്പിൾ റൂട്ടിന് കീഴിൽ മറയ്ക്കുക, ട്രിപ്പിൾ സ്ക്വയർ റൂട്ട് ആണെന്ന് ഓർക്കുമ്പോൾ!

എന്തുകൊണ്ടാണ് ഞങ്ങൾക്ക് അത് വേണ്ടത്? അതെ, ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഞങ്ങളുടെ കഴിവുകൾ വികസിപ്പിക്കാൻ:

വേരുകളുടെ ഈ സ്വത്ത് നിങ്ങൾ എങ്ങനെ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നു? ജീവിതം വളരെ എളുപ്പമാക്കുന്നുവോ? എന്നെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം അത് ശരിയാണ്! മാത്രം സ്ക്വയർ റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകൾ മാത്രമേ നൽകാനാകൂ എന്ന് നാം ഓർക്കണം.

ഈ ഉദാഹരണം നിങ്ങൾക്കായി പരീക്ഷിക്കുക:
നിങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്തോ? നിങ്ങൾക്ക് എന്താണ് ലഭിക്കേണ്ടതെന്ന് നോക്കാം:

നന്നായി ചെയ്തു! റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നമ്പർ നൽകാൻ കഴിഞ്ഞു! തുല്യ പ്രാധാന്യമുള്ള ഒന്നിലേക്ക് നമുക്ക് പോകാം - ഒരു സ്ക്വയർ റൂട്ട് അടങ്ങിയ സംഖ്യകൾ എങ്ങനെ താരതമ്യം ചെയ്യാമെന്ന് പരിഗണിക്കുക!

റൂട്ട് താരതമ്യം

ഒരു വർഗ്ഗമൂലമുള്ള സംഖ്യകൾ താരതമ്യം ചെയ്യാൻ നമ്മൾ പഠിക്കേണ്ടത് എന്തുകൊണ്ട്?

വളരെ ലളിതം. പലപ്പോഴും, പരീക്ഷയിൽ നേരിടുന്ന വലുതും നീണ്ടതുമായ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ, നമുക്ക് യുക്തിരഹിതമായ ഉത്തരം ലഭിക്കും (അത് എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നുണ്ടോ? ഞങ്ങൾ ഇതിനെക്കുറിച്ച് ഇതിനകം സംസാരിച്ചു!)

ലഭിച്ച ഉത്തരങ്ങൾ കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിൽ സ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഏത് ഇടവേളയാണ് അനുയോജ്യമെന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ. ഇവിടെയാണ് സ്നാഗ് ഉണ്ടാകുന്നത്: പരീക്ഷയിൽ കാൽക്കുലേറ്റർ ഇല്ല, കൂടാതെ, ഏത് സംഖ്യ വലുതും ചെറുതുമാണ് എന്ന് എങ്ങനെ സങ്കൽപ്പിക്കാം? അത്രയേയുള്ളൂ!

ഉദാഹരണത്തിന്, ഏതാണ് വലുതെന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക: അല്ലെങ്കിൽ?

നിങ്ങൾ ബാറ്റിൽ നിന്ന് ഉടൻ പറയില്ല. ശരി, റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു സംഖ്യ ചേർക്കുന്നതിനുള്ള പാഴ്സ് ചെയ്ത പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കാമോ?

തുടർന്ന് മുന്നോട്ട്:

ശരി, വ്യക്തമായും, റൂട്ടിന്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള വലിയ സംഖ്യ, റൂട്ട് തന്നെ വലുതാണ്!

ആ. എങ്കിൽ അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

ഇതിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ഉറച്ചു നിഗമനം ചെയ്യുന്നു അല്ലാതെ ആരും നമ്മെ ബോധ്യപ്പെടുത്തില്ല!

വലിയ സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു

അതിനുമുമ്പ്, റൂട്ടിന്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു ഘടകം അവതരിപ്പിച്ചു, പക്ഷേ അത് എങ്ങനെ പുറത്തെടുക്കാം? നിങ്ങൾ അത് ഫാക്ടർ ഔട്ട് ചെയ്‌ത് എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റുചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്!

മറ്റൊരു വഴിക്ക് പോകാനും മറ്റ് ഘടകങ്ങളിലേക്ക് വിഘടിക്കാനും സാധിച്ചു:

മോശമല്ല, അല്ലേ? ഈ സമീപനങ്ങളിൽ ഏതെങ്കിലും ശരിയാണ്, നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ സുഖമെന്ന് തീരുമാനിക്കുക.

ഇതുപോലുള്ള നിലവാരമില്ലാത്ത ജോലികൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഫാക്‌ടറിംഗ് വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാണ്:

ഞങ്ങൾ ഭയപ്പെടുന്നില്ല, ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കുന്നു! റൂട്ടിന് കീഴിലുള്ള ഓരോ ഘടകങ്ങളെയും ഞങ്ങൾ പ്രത്യേക ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നു:

ഇപ്പോൾ ഇത് സ്വയം പരീക്ഷിക്കുക (കാൽക്കുലേറ്റർ ഇല്ലാതെ! അത് പരീക്ഷയിൽ ഉണ്ടാകില്ല):

ഇത് അവസാനമാണോ? ഞങ്ങൾ പാതിവഴിയിൽ നിർത്തുന്നില്ല!

അത്രയേയുള്ളൂ, ഇത് ഭയാനകമല്ല, അല്ലേ?

സംഭവിച്ചത്? നന്നായി ചെയ്തു, നിങ്ങൾ പറഞ്ഞത് ശരിയാണ്!

ഇപ്പോൾ ഈ ഉദാഹരണം പരീക്ഷിക്കുക:

ഒരു ഉദാഹരണം പൊട്ടാനുള്ള കഠിനമായ നട്ട് ആണ്, അതിനാൽ അതിനെ എങ്ങനെ സമീപിക്കണമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പെട്ടെന്ന് കണ്ടുപിടിക്കാൻ കഴിയില്ല. എന്നാൽ ഞങ്ങൾ തീർച്ചയായും പല്ലിലാണ്.

ശരി, നമുക്ക് ഫാക്‌ടറിംഗ് ആരംഭിക്കാം, അല്ലേ? ഉടനടി, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സംഖ്യയെ വിഭജിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു (വിഭജനത്തിന്റെ അടയാളങ്ങൾ ഓർക്കുക):

ഇപ്പോൾ, ഇത് സ്വയം പരീക്ഷിക്കുക (വീണ്ടും, ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഇല്ലാതെ!):

ശരി, അത് പ്രവർത്തിച്ചോ? നന്നായി ചെയ്തു, നിങ്ങൾ പറഞ്ഞത് ശരിയാണ്!

സംഗ്രഹിക്കുന്നു

1. ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂല്യം (ഗണിത വർഗ്ഗമൂല്യം) വർഗ്ഗം തുല്യമായ ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്.
   .
2. നമ്മൾ എന്തിന്റെയെങ്കിലും സ്ക്വയർ റൂട്ട് എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത ഫലം ലഭിക്കും.
3. ഗണിത മൂല ഗുണങ്ങൾ:
4. വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, റൂട്ടിന്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള വലിയ സംഖ്യ, റൂട്ട് തന്നെ വലുതാണെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്.

സ്ക്വയർ റൂട്ട് നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ ഇഷ്ടമാണ്? എല്ലാം വ്യക്തമാണോ?

സ്ക്വയർ റൂട്ടിനെക്കുറിച്ചുള്ള പരീക്ഷയിൽ നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതെല്ലാം വെള്ളമില്ലാതെ വിശദീകരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിച്ചു.

ഇത് നിങ്ങളുടെ ഊഴമാണ്. ഈ വിഷയം നിങ്ങൾക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടാണോ അല്ലയോ എന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് എഴുതുക.

നിങ്ങൾ പുതിയ എന്തെങ്കിലും പഠിച്ചോ അല്ലെങ്കിൽ എല്ലാം ഇതിനകം വ്യക്തമായിരുന്നു.

അഭിപ്രായങ്ങളിൽ എഴുതുക, പരീക്ഷകളിൽ ആശംസകൾ!

ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഭൂമിയുടെ വിസ്തീർണ്ണം 81 dm² ആണ്. അവന്റെ വശം കണ്ടെത്തുക. ചതുരത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളം ആണെന്ന് കരുതുക എക്സ്ഡെസിമീറ്ററുകൾ. അപ്പോൾ പ്ലോട്ടിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം എക്സ്² ചതുരശ്ര ഡെസിമീറ്റർ. കാരണം, വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, ഈ പ്രദേശം 81 dm² ആണ് എക്സ്² = 81. ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളം ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്. 81 ആയ ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ സംഖ്യ 9 ആണ്. പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, സംഖ്യ x കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, അതിന്റെ വർഗ്ഗം 81 ആണ്, അതായത് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക എക്സ്² = 81. ഈ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്: x 1 = 9 ഒപ്പം x 2 \u003d - 9, മുതൽ 9² \u003d 81, (- 9)² \u003d 81. 9, - 9 എന്നീ രണ്ട് സംഖ്യകളെയും 81 എന്ന സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സ്ക്വയർ റൂട്ടുകളിലൊന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക എക്സ്= 9 ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്. ഇതിനെ 81 ന്റെ ഗണിത വർഗ്ഗമൂലമെന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് √81 എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതിനാൽ √81 = 9.

ഒരു സംഖ്യയുടെ ഗണിത വർഗ്ഗമൂല്യം എചതുരത്തിന് തുല്യമായ ഒരു നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യയാണ് എ.

ഉദാഹരണത്തിന്, 6, -6 എന്നീ സംഖ്യകൾ 36-ന്റെ വർഗ്ഗമൂലങ്ങളാണ്. 6 എന്നത് 36-ന്റെ ഗണിത വർഗ്ഗമൂലമാണ്, കാരണം 6 എന്നത് നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യയും 6² = 36 ആണ്. സംഖ്യ -6 ഒരു ഗണിതമൂലമല്ല.

ഒരു സംഖ്യയുടെ ഗണിത വർഗ്ഗമൂല്യം എഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു: √ എ.

ചിഹ്നത്തെ ഗണിത വർഗ്ഗമൂല ചിഹ്നം എന്ന് വിളിക്കുന്നു; എഒരു റൂട്ട് എക്സ്പ്രഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. എക്സ്പ്രഷൻ √ എവായിച്ചു ഇതുപോലെ: ഒരു സംഖ്യയുടെ ഗണിത വർഗ്ഗമൂല്യം എ.ഉദാഹരണത്തിന്, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7. നമ്മൾ ഒരു ഗണിത മൂലത്തെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നതെന്ന് വ്യക്തമാകുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ, അവർ ചുരുക്കമായി പറയുന്നു: "വർഗ്ഗമൂല്യം എ«.

ഒരു സംഖ്യയുടെ സ്ക്വയർ റൂട്ട് കണ്ടെത്തുന്ന പ്രവർത്തനത്തെ സ്ക്വയർ റൂട്ട് എടുക്കൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ പ്രവർത്തനം സ്ക്വയറിംഗിന്റെ വിപരീതമാണ്.

ഏത് സംഖ്യയും വർഗ്ഗീകരിക്കാം, എന്നാൽ എല്ലാ സംഖ്യകളും വർഗ്ഗമൂലമാകാൻ കഴിയില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, സംഖ്യയുടെ സ്ക്വയർ റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റുചെയ്യുന്നത് അസാധ്യമാണ് - 4. അത്തരമൊരു റൂട്ട് നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, അതിനെ അക്ഷരം ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുന്നു എക്സ്, നമുക്ക് തെറ്റായ തുല്യത x² \u003d - 4 ലഭിക്കും, കാരണം ഇടതുവശത്ത് ഒരു നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യയും വലതുവശത്ത് ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയും ഉണ്ട്.

എക്സ്പ്രഷൻ √ എഎപ്പോൾ മാത്രമേ അർത്ഥമുള്ളൂ ഒരു ≥ 0. സ്ക്വയർ റൂട്ടിന്റെ നിർവചനം ഇങ്ങനെ ചുരുക്കി എഴുതാം: √ ഒരു ≥ 0, (√എ)² = എ. സമത്വം (√ എ)² = എസാധുതയുള്ള ഒരു ≥ 0. അങ്ങനെ, ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂലമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ എതുല്യമാണ് ബി, അതായത്, അത് √ എ =ബി, ഇനിപ്പറയുന്ന രണ്ട് നിബന്ധനകൾ പാലിച്ചിട്ടുണ്ടോയെന്ന് നിങ്ങൾ പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്: b≥ 0, ബി² = എ.

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂല്യം

നമുക്ക് കണക്കാക്കാം. √25 = 5, √36 = 6, തുല്യത നിലവിലുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കുക.

കാരണം പിന്നെ, സമത്വം സത്യമാണ്. അതിനാൽ, .

സിദ്ധാന്തം:എങ്കിൽ എ≥ 0 ഒപ്പം ബി> 0, അതായത്, ഭിന്നസംഖ്യയുടെ റൂട്ട് ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ റൂട്ട് കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ സംഖ്യയുടെ റൂട്ടിന് തുല്യമാണ്. അത് തെളിയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്: കൂടാതെ .

മുതൽ √ എ≥0 ഒപ്പം √ ബി> 0, പിന്നെ .

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുകയും വർഗ്ഗമൂലത്തെ നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന സ്വഭാവത്താൽ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടതാണ്. ഏതാനും ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

തെളിയിക്കപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച് കണക്കാക്കുക .

രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണം: അത് തെളിയിക്കുക , എങ്കിൽ എ ≤ 0, ബി < 0. .

മറ്റൊരു ഉദാഹരണം: കണക്കുകൂട്ടുക.

.

സ്ക്വയർ റൂട്ട് പരിവർത്തനം

റൂട്ടിന്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ നിന്ന് ഗുണിതം പുറത്തെടുക്കുന്നു. ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ നൽകട്ടെ. എങ്കിൽ എ≥ 0 ഒപ്പം ബി≥ 0, തുടർന്ന് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ റൂട്ടിലെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, നമുക്ക് എഴുതാം:

അത്തരമൊരു പരിവർത്തനത്തെ റൂട്ട് ചിഹ്നത്തെ ഫാക്ടറിംഗ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക;

എന്നതിൽ കണക്കാക്കുക എക്സ്= 2. നേരിട്ടുള്ള പകരം വയ്ക്കൽ എക്സ്റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷനിലെ = 2 സങ്കീർണ്ണമായ കണക്കുകൂട്ടലുകളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള ഘടകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ആദ്യം നീക്കം ചെയ്താൽ ഈ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമാക്കാം: . ഇപ്പോൾ x = 2 മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:.

അതിനാൽ, റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ നിന്ന് ഘടകം പുറത്തെടുക്കുമ്പോൾ, ഒന്നോ അതിലധികമോ ഘടകങ്ങൾ നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യകളുടെ ചതുരങ്ങളാകുന്ന ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. തുടർന്ന് റൂട്ട് ഉൽപ്പന്ന സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുകയും ഓരോ ഘടകത്തിന്റെയും റൂട്ട് എടുക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക: ആദ്യ രണ്ട് പദങ്ങളിലെ റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള ഘടകങ്ങൾ എടുത്ത് A = √8 + √18 - 4√2 എന്ന പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: സമത്വത്തിന് ഞങ്ങൾ ഊന്നൽ നൽകുന്നു എപ്പോൾ മാത്രമേ സാധുതയുള്ളൂ എ≥ 0 ഒപ്പം ബി≥ 0. എങ്കിൽ എ < 0, то .