P 3 харьцаа ба пропорциональ тест. Харилцаа ба харьцаа

P.1. Тоонуудын ижил төстэй байдал

Туршилтууд

Тооцоолол, графикийн ажил

Гарчиг хуудасны жишээ

CHOU VPO Эдийн засаг, менежмент, хуулийн дээд сургууль (Казань)

Менежмент, инженерийн бизнесийн факультет

Дээд математикийн тэнхим

"Санхүүгийн математик" чиглэлээр

Сонголт 1

Гүйцэтгэгч: 2 OZO SP гр. 112 тоот ______________ A.V. Петров

Шалгасан: Урлаг. багш ______________ E.A. Касаткина

Набережные Челны

Хэрэв "Үйлчилгээ" таб дээр "Шийдэл хайх ..." зүйл байхгүй бол та "Үйлчилгээ" / "Нэмэлтүүд ..." командыг гүйцэтгэх ёстой бөгөөд нээгдэх цонхноос "Хайлт" -ыг сонгоно уу. шийдэлд зориулсан" нэмэлт, үүний дараа сонгосон зүйл "Үйлчилгээ" таб дээр гарч ирнэ.

Хэрэв шийдлийг хайж олоход шийдэл олдохгүй бол шийдэл хайх цонхонд "Сонголтууд" товчийг дарж, давталтын хязгаарлагдмал тоо (жишээлбэл, 1000) ба/эсвэл илүү өндөр утгыг тохируулах хэрэгтэй. харьцангуй алдааны бага утга (жишээлбэл, 0.001).

Сонголт 1

1. Ижил төстэй геометрийн дүрс нь ижил хэлбэртэй байна.

2. Тэнцүү дүрсүүдийн ижил төстэй байдлын коэффициент нь нэгтэй тэнцүү байна.

3. Сегментүүдийн ижил төстэй байдлын коэффициент нь тэдгээрийн уртын коэффициенттэй тэнцүү байна.

4. Тойргуудын ижил төстэй байдлын коэффициент нь тэдгээрийн радиусуудын уртын коэффициенттэй тэнцүү байна.

5. Квадратуудын ижил төстэй байдлын коэффициент нь тэдгээрийн диаметрийн уртын коэффициенттэй тэнцүү байна.

6. Хэрэв квадратын талыг 5 дахин багасгавал үүссэн квадратын периметр 25 дахин багасна.

7. Тэгш өнцөгтийн уртыг нэмэгдүүлсэн бол кудаа, дараа нь түүний талбай нэмэгдэнэ к 2 удаа.

8. Хэрэв шоо дөрвөлжин ирмэгийг хоёр дахин нэмэгдүүлбэл түүний шинэ кубын хэмжээ 4 дахин их болно.

9. Дурын хоёр квадрат ижил төстэй байна.

10. Хэрэв тоонууд тэнцүү бол тэдгээрийн талбайнууд тэнцүү байна.

Сонголт 2

Зөв хэллэгүүдийн тооноос бүрдсэн тоон кодыг бич.

1. Тэнцүү геометрийн дүрс нь ижил хэлбэртэй, ижил хэмжээтэй байна.

2. Ижил төстэй байдлын коэффициент гэдэг нь ижил төстэй тоонуудын аль нэг нь нөгөөгөөсөө хэдэн удаа их эсвэл бага байгааг харуулсан тоо юм.

3. Ижил төстэй гурвалжнуудын өнцөг нь тэнцүү байна.

4. Гурвалжны ижил төстэй байдлын коэффициент нь тэдгээрийн ижил төстэй талуудын уртын коэффициенттэй тэнцүү байна.

5. Тойргуудын ижил төстэй байдлын коэффициент нь тэдгээрийн диаметрийн уртын коэффициенттэй тэнцүү байна.

6. Тэгш өнцөгтийн талуудыг 1-р багасгасан бол кудаа, дараа нь түүний периметр багасах болно кнэг удаа.

7. Дөрвөлжингийн талыг нэмэгдүүлсэн бол кудаа, дараа нь шинэ талбайн талбай байх болно к 2 дахин их.

8. Шоогийн ирмэгийг 3 дахин багасгавал шинэ шоо 9 дахин багасна.

9. Дурын хоёр тэгш өнцөгт ижил төстэй байна.

10. Хэрэв дүрсүүдийн талбай тэнцүү бол тэдгээр нь өөрөө тэнцүү байна.

Сонголт 1

1. Ижил нэгжээр хэмжигдэх хоёр хэмжигдэхүүнийг эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн харьцаа гэнэ.

2. 150-ын тоо 250-ын тоотой тэнцүү байна.

3. 2:5= 0,1:0,25 тэгш байдал нь пропорциональ байна.

4. Пропорциональ А:б=в:гтоо бТэгээд впропорцын туйлын нөхцөл гэж нэрлэдэг.

5. Пропорциональ хувьд туйлын гишүүний үржвэр нь дунд гишүүний үржвэртэй тэнцүү байна.

6. Пропорцын хувьд үл мэдэгдэх гишүүн нь 2.4.

7. Гурвалжин бол ABCТэгээд KLMижил төстэй, тэгвэл Нар:БИ БОЛ.=А.С.:MK.

8. Газар дээрх суурин хоорондын зай 5 км, газрын зураг дээр 0,5 см бол газрын зургийн масштаб 1:100,000 байна.

9. 55-ын 1% нь 0.55-тай тэнцүү.

10. 20% нь 5 гэсэн тоо нь 100 байна.

Сонголт 2

Зөв мэдэгдлийн тооноос бүтсэн тоог бич.

1. Хоёр харьцааны жинхэнэ тэгш байдлыг пропорциональ гэнэ.

2. 350 ба 420 тоонуудын харьцаа тэнцүү байна.

3. 7:10=5:9 тэгш байдал нь пропорциональ байна.

4. Тоотой пропорциональ АТэгээд гэкстрим гишүүд гэж нэрлэдэг.

5. Хэрэв в:г=к:м, Тэр см=кд.

6. Пропорцын хувьд үл мэдэгдэх гишүүн нь 4.5 байна.

7. Гурвалжин бол ABCТэгээд KLMижил төстэй, тэгвэл AB:KL=А.С.:км.

8. Газрын зураг дээр тосгон хоорондын зай 2 см, газрын зургийн масштаб нь 1:100 000 бол газар дээрх зай 2 км байна.

9. 2-ын 1% нь 0.2-той тэнцүү.

10. 10% нь 5 байх тоо нь 50 байна.

Математикийн харилцаа 5 м урттай материас 2 м-ийн харьцааг таслав.Материас ямар хэсгийг тасласан бэ? 5 м 2 м Шийдэл =0.4=40 0 / 0 Хоёр тооны харьцааг эдгээр тооны харьцаа гэнэ. Хандлага юуг харуулж байна вэ? Хариултыг аравтын бутархай эсвэл хувиар бичиж болно. 2:5=

Хандлага юуг харуулж байна вэ? Харьцаа нь эхний тоо нь хоёр дахь 16 кг 8 кг 16: 8 = 2(r.) эсвэл эхний тоо нь хоёр дахь тооноос хэд дахин их болохыг харуулж байна. 4 м 20 м 4: 20 = 0.2 (хэсэг) Хэрэв хоёр хэмжигдэхүүнийг ижил хэмжих нэгжээр хэмждэг бол тэдгээрийн утгын харьцааг эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн харьцаа гэж нэрлэдэг. Массын харьцаа Урт зуурмагийн харьцаа

P R O P O R T I O N “Пропорциональ бол пропорциональ. 1) Хэсэг хоорондын тодорхой харилцаа. Байгаль, урлаг, архитектур дахь пропорциональ байдал нь ургамал, уран баримал, барилга байгууламжийн бие даасан хэсгүүдийн хэмжээ хоорондын тодорхой харилцааг хадгалахыг хэлдэг бөгөөд объектыг зөв, үзэсгэлэнтэй дүрслэх зайлшгүй нөхцөл юм. 2) Математикт: хоёр харилцааны тэгш байдал." Ожегов С.И.

Пропорцууд 3.6:1.2 ба 6.3:2.1 харьцаанууд тэнцүү байна. Иймд бид 3.6:1.2=6.3:2.1 тэнцүү буюу a: b = c:d Пропорцын дунд гишүүд Пропорцын туйлын гишүүн Зөв пропорциональ бол туйлын гишүүний үржвэр нь үржвэртэй тэнцүү байна. дунд нэр томъёоноос. a * d = b * c Пропорц зөв эсэхийг хэрхэн шалгах вэ? Асуултанд

Пропорцын үндсэн шинж чанар: Хэт гишүүдийн үржвэр нь пропорцын дунд гишүүдийн үржвэртэй тэнцүү бол пропорц зөв байна. Пропорц зөв эсэхийг шалгах уу? 20:16=5:

ДАСГАЛ Боломжтой бол дараах харьцаанаас пропорцийг гарга: a) 20:4 ба 60: Боломжтой бол өгөгдсөн дөрвөн тооноос пропорцийг гарга: a) 100; 80; 4; Тэгш байдал үнэн эсэхийг хоёр янзаар шалга: a) 49:14=14: Дараах тэгшитгэлүүдээс пропорцийг гарга: a) 40*30=20* Пропорцын үл мэдэгдэх гишүүнийг ол: a) x:30=54 :40

Тест 1. Харилцаа холбоо. 1. Эдгээр харьцааны аль нь тэнцүү вэ? a)7:2; б) 4:14; в) 7:17.5; d)12:17;7:24:147:17,512:17 2. 1.2 м-ийн 10 см-ийн харьцааг ол.a) 12; б) 12 м; в) 0.12; г) өөр хариулт 1212 м 0.12 өөр хариулт 3. Цагийн гуравны нэг нь арван найман минуттай ямар холбоотой вэ? а) 1:54; б)10:8; в)1:6; г) өөр хариулт.1:5410:81:6 өөр хариулт. 4. a:b харьцаа 5:3 байна. 3a:10c харьцааг ол. a) 1:2; б) 2; в) 9:30; г) өөр хариулт.1:229:30 өөр хариулт.

Тест 2. Пропорц. 1. Пропорцын дунд гишүүний үржвэрийг ол: a)9.8; b) 0.98; в) 80; г) өөр хариулт.9,80,9880 өөр хариулт. 2. Пропорцын үл мэдэгдэх гишүүнийг ол: a)0.05; б) 20; в) 0.5; г) өөр хариулт 0.05200.5 өөр хариулт. 3. Өгөгдсөн пропорцуудаас зөвийг сонго: a)82:72=64:78; б)15:8=13:6;82:72=64:7815:8=13:6 в)17:2=34:4; г)22:23=81:82.17:2=34:422:23=81:82

Даалгавар 4 Газрын зураг дээрх дэлхийгээс сар хүртэлх зай 38.4 см. Газрын зургийн масштаб 1 бол тэдгээрийн хоорондох зайг ол.

дасгал, даалгавар, тестүүдэд

Железногорск

сувилал-ойн сургууль

§ 1 Энгийн бутархай (давталт).

зүйл 1. өөр өөр хуваарьтай бутархайг нэмэх, хасах.

зүйл 2. Аравтын бутархай ба энгийн бутархайтай хамтарсан үйлдэл.

§ 2 Харьцаа ба пропорц

заалт 3. харилцаа.

цэг 4. Пропорц. Пропорцын үндсэн шинж чанар.

зүйл 6. Хэмжигдэхүүний урвуу пропорциональ.

§ 3 Эерэг ба сөрөг тоо

зүйл 7. Координатын шугам.

зүйл 8. Эерэг тоо. Тооны үнэмлэхүй утга.

догол мөр 9. Тоонуудыг харьцуулах.

зүйл 10. Рационал тооны нэмэх.

зүйл 11. Өөр өөр тэмдэг бүхий тоонуудыг нэмэх.

зүйл 12. Рационал тоог нэмэх хууль.

зүйл 13. Хасах.

зүйл 14. Цэг хоорондын зай.

зүйл 15. Рационал тоог үржүүлэх.

зүйл 16. хэлтэс.

зүйл 17. Рационал тоо бүхий үйлдлийн шинж чанарууд.

§ 4 Тэгшитгэлийн шийдэл

догол мөр 18. Хашилтыг өргөтгөх.

зүйл 19. ижил төстэй нэр томьёог цөөрүүлэх.

зүйл 20. Тэгшитгэл шийдвэрлэх.

§ 5 Асуудлыг шийдвэрлэх

зүйл 21. Даалгавар.

догол мөр 22. давталт.

БүлэгI. Энгийн бутархай (давталт).

§ 1 өөр өөр хуваарьтай бутархайг нэмэх, хасах.

Хийсвэр

1. Бутархайн харьцуулалт.

a) хуваагч нь ижил байвал: аль нь илүү их тоологчтой бутархай >?

https://pandia.ru/text/78/170/images/image003_13.png" align="зүүн" өргөн="43" өндөр="41 src=">

в) тоологч ба хуваагч өөр байвал: нийтлэг хуваагч болгон бууруулна.

https://pandia.ru/text/78/170/images/image005_9.png" align="зүүн" өргөн="41" өндөр="41 src=">.png" align="зүүн" өргөн="47" " өндөр = "41 src=">.png" зэрэгцүүлэх = "зүүн" өргөн = "40" өндөр = "41 src = ">.png" зэрэгцүүлэх = "зүүн" өргөн = "47" өндөр = 41 src = >.png" align="зүүн" өргөн="57" өндөр="41 src=">.png" align="зүүн" өргөн="67" өндөр="41 src=">.png" align="зүүн" " өргөн = "33" өндөр = "41 src = ">.png" зэрэгцүүлэх = "зүүн" өргөн = "36" өндөр = 41 src = ">g)

3. Тооцоолох:

https://pandia.ru/text/78/170/images/image021_0.png" align="зүүн" өргөн="79" өндөр="41 src=">.png" align="зүүн" өргөн="65" " өндөр "41 src=">a)

https://pandia.ru/text/78/170/images/image025_0.png" align="зүүн" өргөн="89" өндөр="41 src=">.png" align="зүүн" өргөн="65" " өндөр = "41 src=">.png" зэрэгцүүлэх = "зүүн" өргөн = "65" өндөр = "41 src = ">.png" зэрэгцүүлэх = "зүүн" өргөн = "75" өндөр = 41 src = >.png" align="left" width="73" height="41 src=">

-тайбие даасан ажил

4. Зөв хариултыг сонго.

https://pandia.ru/text/78/170/images/image035_0.png" align="зүүн" өргөн="100" өндөр="45 src=">a) b)

https://pandia.ru/text/78/170/images/image037_0.png" align="зүүн" өргөн="92" өндөр="45 src=">c) d)

https://pandia.ru/text/78/170/images/image039.png" align="зүүн" өргөн="15" өндөр="41 src=">.png" align="зүүн" өргөн="16" " height="41 src=">.png" align="left" width="143" height="48 src=">Хариултаа хэдэн минутын дотор илэрхийлнэ үү.

https://pandia.ru/text/78/170/images/image045.png" align="left" width="49" height="23 src=">c) Өглөөний сүүний гарц 81/2 л, орой - 63/10 л, үдийн цайны цагаар сүүний гарц өглөөнийхөөс 3/5 л бага байсан.Өдөрт ямар сүү гарах вэ?

6. Бутархайг харьцуулж, дүгнэлт гарга.

https://pandia.ru/text/78/170/images/image047.png" align="зүүн" өргөн="52" өндөр="41 src=">.png" align="зүүн" өргөн="39" " өндөр = "41 src = ">.png" зэрэгцүүлэх = "зүүн" өргөн = "51" өндөр = 41 src = ">b)

https://pandia.ru/text/78/170/images/image053.png" align="зүүн" өргөн="45" өндөр="41 src=">.png" align="зүүн" өргөн="21" " өндөр = "41 src = ">.png" зэрэгцүүлэх = "зүүн" өргөн = "21" өндөр = 41 src = ">

8. Буурах дарааллаар байрлуул.

https://pandia.ru/text/78/170/images/image059.png" align="зүүн" өргөн="16" өндөр="41 src=">.png" align="зүүн" өргөн="91" " өндөр = "41 src = ">.png" зэрэгцүүлэх = "зүүн" өргөн = "73" өндөр = 41 src = ">a)

https://pandia.ru/text/78/170/images/image065.png" align="зүүн" өргөн="67" өндөр="41 src=">.png" align="зүүн" өргөн="100" " өндөр = "45 src = ">.png" зэрэгцүүлэх = "зүүн" өргөн = "115" өндөр = 41 src = ">v g)

https://pandia.ru/text/78/170/images/image071.png" align="зүүн" өргөн="25" өндөр="41 src=">.png" align="зүүн" өргөн="33" " өндөр = "41 src = ">.png" зэрэгцүүлэх = "зүүн" өргөн = "107" өндөр = 41 src = ">

Png" align="left" height="17 src=">.png" align="зүүн" өргөн="16" өндөр="41 src=">.png" align="зүүн" өндөр="17 src=" ">.png" align="зүүн" өндөр="17 src=">.png" align="зүүн" өргөн="15" өндөр="41 src=">.png" align="зүүн" өргөн=" 21" өндөр "41 src=">.png" зэрэгцүүлэх = "зүүн" өргөн "15" өндөр = "41 src=">a) b)

Png" align="зүүн" өргөн="16" өндөр="41 src=">.png" align="зүүн" өндөр="17 src=">

Png" align="left" height="17 src=">2). Бутархайн нийлбэр нь дараахтай тэнцүү байна.

https://pandia.ru/text/78/170/images/image081.png" align="зүүн" өргөн="68" өндөр="41 src=">

3). Илэрхийллийн утга нь:

https://pandia.ru/text/78/170/images/image082.png" align="зүүн" өргөн="57" өндөр="41 src=">

4). Бутархайг нэмнэ үү:

https://pandia.ru/text/78/170/images/image084.png" align="зүүн" өргөн="57" өндөр="41 src=">

5). Тооцоолох:

https://pandia.ru/text/78/170/images/image085.png" align="left" width="99" height="45 src=">6). Дараах алхмуудыг дагана уу:

https://pandia.ru/text/78/170/images/image086.png" align="зүүн" өргөн="72" өндөр="41 src=">.png" align="зүүн" өргөн="44" " өндөр = "41 src=">.png" зэрэгцүүлэх = "зүүн" өргөн = "85" өндөр = "41 src=">.png" зэрэгцүүлэх = "зүүн" өргөн = "140" өндөр = 41 src = >.png" align="left" width="81" height="41 src="> Жишээ нь: a) b) c)

(2-оор багасгах боломжтой) (бутархайг багасгах боломжгүй) (25-аар бууруулах боломжтой)

https://pandia.ru/text/78/170/images/image096.png" align="зүүн" өргөн="59" өндөр="41 src=">.png" align="зүүн" өргөн="51" " өндөр "41 src="> A)

, хуваагч нь 5 ба 2-ын хуваагчтай тул: 5 = 0.4

https://pandia.ru/text/78/170/images/image100.png" align="зүүн" өргөн="31" өндөр="41 src="> V)

- аравтын бутархай руу хөрвүүлэх боломжгүй, учир нь хуваагч нь 2 ба 5 хуваагчгүй

13. Аравтын бутархай хэлбэрээр бичиж болох бутархайг олоод үгийг задлаарай.

https://pandia.ru/text/78/170/images/image102.png" align="зүүн" өргөн="29" өндөр="69 src=">.png" align="зүүн" өргөн="27" " " өндөр = "69 src = ">.png" зэрэгцүүлэх = "зүүн" өргөн = "28" өндөр = 69 src = ">.png" зэрэгцүүлэх = "зүүн" өргөн = 28 өндөр = 69 src = " >.png" align="зүүн" өргөн="24" өндөр="69 src=">

14. Бутархайг аравтын бутархай руу хөрвүүлэх.

https://pandia.ru/text/78/170/images/image112.png" align="зүүн" өргөн="32" өндөр="41 src=">.png" align="зүүн" өргөн="20" " өндөр = "41 src=">.png" зэрэгцүүлэх = "зүүн" өргөн = "21" өндөр = "41 src = ">.png" зэрэгцүүлэх = "зүүн" өргөн = "55" өндөр = 41 src = >.png" align="зүүн" өргөн="55" өндөр="41 src=">.png" align="зүүн" өргөн="49" өндөр="41 src=">.png" align="зүүн" " өргөн="61" өндөр="41 src=">.png" align="зүүн" өргөн="147" өндөр="45 src=">.png" align="зүүн" өргөн="100" өндөр= "41 src=">a) b) c)

19. Бие даасан ажил.

1). Тооцоолох:

https://pandia.ru/text/78/170/images/image130.png" align="зүүн" өргөн="55" өндөр="41 src=">.png" align="зүүн" өргөн="55" " өндөр "41 src=">a) b) c) d)

2). Илэрхийллийн утгыг ол:

https://pandia.ru/text/78/170/images/image134.png" align="зүүн" өргөн="81" өндөр="41 src=">a) b)

20. Бутархайн утгыг ол.

https://pandia.ru/text/78/170/images/image136.png" align="зүүн" өргөн="35" өндөр="44 src=">.png" align="зүүн" өргөн="28" " өндөр ="44 src=">a) b) c) d)

21. Бие даасан ажил (өөрийгөө сорих).

Утгыг нь олох:

https://pandia.ru/text/78/170/images/image143.png" align="зүүн" өргөн="33" өндөр="44 src=">.png" align="зүүн" өргөн="21" " өндөр = "41 src=">.png" зэрэгцүүлэх = "зүүн" өргөн = "83" өндөр = "41 src = ">.png" зэрэгцүүлэх = "зүүн" өргөн = "21" өндөр = 41 src = >.png" align="left" width="25" height="41 src=">

1). a B C D)

https://pandia.ru/text/78/170/images/image153.png" align="зүүн" өргөн="32" өндөр="41 src=">.png" align="зүүн" өргөн="32" " " өндөр = "41 src = ">.png" зэрэгцүүлэх = "зүүн" өргөн = "31" өндөр = 41 src = =. " >.png" align="зүүн" өргөн="32" өндөр="41 src=">

4). a B C D)

23. Үйлдлүүдийг гүйцээнэ үү.

https://pandia.ru/text/78/170/images/image163.png" align="зүүн" өргөн="199" өндөр="45 src=">

https://pandia.ru/text/78/170/images/image165.png" align="зүүн" өргөн="135" өндөр="83 src=">

hТооны бутархайг олох асуудал.

Тооны бутархайг олохын тулд тухайн тоог тухайн бутархайгаар үржүүлэх хэрэгтэй.

24. Тооны бутархайг ол.

https://pandia.ru/text/78/170/images/image167.png" align="зүүн" өргөн="83" өндөр="45 src=">.png" align="зүүн" өргөн="73" " өндөр = "45 src = ">.png" зэрэгцүүлэх = "зүүн" өргөн = "80" өндөр = 45 src = ">

https://pandia.ru/text/78/170/images/image173.png" align="зүүн" өргөн="97" өндөр="45 src=">

https://pandia.ru/text/78/170/images/image175.png" align="зүүн" өргөн="92" өндөр="45 src=">.png" align="зүүн" өргөн="100" " өндөр = "45 src = ">.png" зэрэгцүүлэх = "зүүн" өргөн = "181" өндөр = 45 src = ">.png" зэрэгцүүлэх = "зүүн" өргөн = 177" өндөр = 45 src = >

https://pandia.ru/text/78/170/images/image183.png" align="зүүн" өргөн="185" өндөр="45 src=">.png" align="зүүн" өргөн="193" " өндөр = "45 src = ">.png" зэрэгцүүлэх = "зүүн" өргөн = "183" өндөр = 45 src = ">

33. Нугын 3/7 хэсгийг хадсан. Хэрэв та 21 га талбайг хадсан бол нугын талбайг олоорой.

34. Эхний цагт машин нийт зайны 5/7-г туулсан. Хэрэв машин эхний цагт 70 км замыг туулсан бол бүхэл бүтэн хэдэн зай байх вэ?

35. Цехийн нийт машинуудын 2/7 нь засварлагдсан. 28 машин засварласан бол цехэд хэдэн машин байгаа вэ?

36. Замын 5/6 нь 30 км зам засварын ажил хийгдсэн. Бүхэл бүтэн замын урт хэд вэ?

37. Эхний нэг цагийн дотор машин төлөвлөсөн замын 27%-ийг туулсан ба дараа нь дахиад 146 км явах ёстой байв. Төлөвлөсөн маршрутын урт нь хэдэн км вэ?

38. Бид хүнсний ногооныхоо 32%-ийг зарсан бөгөөд үүний дараа зарагдах 136 тонн үлдсэн.Дэлгүүрт хэдэн тонн хүнсний ногоо байсан бэ?

39. Би номынхоо 29%-ийг уншсан бөгөөд уншихад 142 хуудас үлдээд байна. Ном хэдэн хуудастай вэ?

40. Туршилтын дугаар 1.

https://pandia.ru/text/78/170/images/image189.png" align="зүүн" өргөн="209" өндөр="45 src=">

2). Харьцуулах

41. 120 га талбайд төмс, байцаа, лууван тариалсан. Энэ талбайн 3/4-д төмс, үлдсэн 80 хувьд байцаа, үлдсэн талбайд лууван тариалсан байна. Хэдэн га талбайд лууван тарьсан бэ?

42. Туршилтын дугаар 2.

1). Илэрхийллийн утгыг ол:

https://pandia.ru/text/78/170/images/image191.png" align="зүүн" өргөн="39" өндөр="44 src=">.png" align="зүүн" өргөн="205" " өндөр = "45 src=">.png" зэрэгцүүлэх = "зүүн" өргөн = "64" өндөр = "41 src = ">.png" зэрэгцүүлэх = "зүүн" өргөн = "63" өндөр = 41 src = >.png" align="left" width="16" height="41 src=">2).

мөн хэрэв А > б , дараа нь хэдэн удаа харуулдаг А > б

Png" align="left" width="16" height="41 src=">

б) хэрэв А < б , дараа нь ямар хэсэг болохыг харуулна А -аас б

https://pandia.ru/text/78/170/images/image202.png" align="зүүн" өргөн="391" өндөр="45 src=">

https://pandia.ru/text/78/170/images/image204.png" align="зүүн" өргөн="191" өндөр="45 src=">.png" align="зүүн" өргөн="193" " өндөр "45 src=">

43. Ямар харилцааг харуулж байна.

https://pandia.ru/text/78/170/images/image208.png" align="зүүн" өргөн="351" өндөр="45 src=">

44. Цэцгийн мандал дээр 6 цагаан, 12 улаан сарнай байдаг. Харилцаа нь юу харуулж байна:

a) 6: 12; б) 12: 6; в) 6:18; г) 18:12?

45. Харилцааг хялбарчлах (өөрөөр хэлбэл бутархай тоог багасгах).

https://pandia.ru/text/78/170/images/image210.png" align="зүүн" өргөн="60" өндөр="44 src=">.png" align="зүүн" өргөн="29" " өндөр "41 src=">

а) 4:5; b) c) d) 77: 28; г)

https://pandia.ru/text/78/170/images/image214.png" align="зүүн" өргөн="53" өндөр="41 src=">

47. Цэцэрлэг нь 5.6 а, хүнсний ногооны талбай 3.2 а талбайг эзэлдэг. Цэцэрлэгийн талбай нь хүнсний ногооны талбайгаас хэд дахин их вэ? Бүхэл бүтэн талбайн аль хэсгийг хүнсний ногооны талбай эзэлдэг вэ?

48. Сержа 5,6 км алхаж, автобусаар 12,6 км замыг туулсан. Явган явсан зам нь автобусны туулсан замаас хэд дахин богино вэ? Серёжа нийт аяллын хэдэн хувийг автобусаар явсан бэ?

49. Бригад 25 хүн байдгийн 20 нь эрэгтэй. Багийн нийт хүмүүсийн хэдэн хувь нь эрчүүд вэ?

50. Ангийн 32 сурагчаас 4 сурагч өвчний улмаас тасалсан. Сурагчдын хэдэн хувь нь хамрагдсан бэ?

51. Төлөвлөсөн 75 ширхэгийн оронд ажилчин 80 ширхэг үйлдвэрлэсэн. Төлөвлөгөөний гүйцэтгэл хэдэн хувьтай байна вэ?

52. Үрийн соёололтыг тодорхойлохын тулд 300 үр тарьсан. Үүнээс 273 нь соёолжээ.Үрийн соёололт хэдэн хувьтай байна вэ?

53. Бие даасан ажил.

a) Бид хүнсний ногоог 2.6 рубль, жимс жимсгэнэ 9.1 рубль худалдаж авсан. Жимсэнд хүнсний ногоогоос хэд дахин их мөнгө төлсөн бэ? Нийт худалдан авалтын хэдэн хувийг хүнсний ногоо эзэлж байна вэ?

б) Нийт замын урт нь 360 км. 240 км хатуу хучилттай болсон. энэ зам. Замын аль хэсэг нь хатуу хучилттай вэ? Зам бүхэлдээ хатуу хучилттай хэсгээсээ хэд дахин урт вэ?

в) 250 үрээс 200 нь соёолон.Соёололтын хувийг ол.

§ 4 Пхарьцаа. Пропорцын үндсэн шинж чанар.

Хийсвэр

1. Хандлага = хандлага

https://pandia.ru/text/78/170/images/image216.png" align="зүүн" өргөн="27" өндөр="34 src=">.png" align="зүүн" өргөн="46" " өндөр "3 src="> хувь хэмжээ

а : б = в : г эсвэл

https://pandia.ru/text/78/170/images/image219.png" align="зүүн" өргөн="139" өндөр="41 src="> 3.

Тест 13-16 "Харьцаа ба пропорц".

Санал болгож буй тестүүд нь зургадугаар ангийн математикийн хичээлийн оюутнуудын мэдлэг, чадварыг шалгах зорилготой юм."Харьцаа ба пропорц" . Үзүүлсэн тестүүдийг ашиглан дараахь сэдвүүдийн боловсролын материалыг эзэмшсэн эсэхийг шалгана. "Харьцаа", "Пропорциональ", "шууд ба урвуу пропорциональ хамаарал", "Масштаб", "Тойргийн тойрог ба талбай", "Бөмбөлөг". Энэхүү сонгон шалгаруулалтыг анги-хичээлийн системд заасан хэсгийг судлах эсвэл гэртээ бие даан эсвэл өөрийгөө хянах зорилгоор зайн сургалтын явцад ашиглаж болно.

Шалгалт нь арван минутын хугацаатай. Энэ хугацааны төгсгөлд тест ажлаа дуусгаад үр дүнгийн цонх руу орохыг санал болгож байна. Цагийн чиг баримжаа олгоход хялбар болгохын тулд баруун дээд буланд цаг тоологч байдаг. Энэхүү тестийн програм нь асуултуудын хооронд тохиромжтой навигац хийх боломжийг олгодог бөгөөд өмнө нь сонгосон эсвэл бүртгэгдсэн хариултанд өөрчлөлт оруулах боломжтой. Туршилтуудыг хоёр ижил хувилбараар танилцуулсан бөгөөд тус бүр нь янз бүрийн түвшний бэрхшээлтэй даалгавар хэлбэрээр боловсруулсан долоон асуултыг агуулдаг. Эхний дөрвөн асуулт нь нэг оноотой бөгөөд дөрвөн сонголтоос нэг зөв хариултыг сонгох шаардлагатай. Тав, зургаа дугаартай бодлого нь дунд зэргийн хүндрэлтэй бөгөөд тус бүр хоёр оноотой. Сүүлийн, долоо дахь даалгавар нь өндөр түвшний хүндрэлтэй тохирч байгаа бөгөөд зөв шийдэлд хамрагдсан хүн гурван оноо авдаг.

Туршилт дууссаны дараа оноо бүхий үр дүнгийн цонх гарч ирнэ. Та мөн үнэлгээний нарийвчилсан мэдээллийг үзэх боломжтой бөгөөд хэрэв шаардлагатай бол зөв, сонгосон (бичлэгдсэн) хариултын дараа дүн шинжилгээ хийж тестийн даалгавар руу буцаж болно.

Санал болгож буй туршилтуудын талаар товч дүн шинжилгээ хийцгээе.

ЭхлээдТэгээд хоёр дахь туршилтуудсэдвээр мэдлэг, ур чадварыг шалгах "Харилцаа". Оюутан эхний шалгалтын даалгаврыг давахдаа хоёр тооны харьцааг бичиж, нэг тоо нь нөгөө тоотой харьцуулахад аль хэсэг болохыг тодорхойлох (нэг тоо нөгөөгөөсөө хэд дахин их байх), нэг тооны хэдэн хувийг олох чадвартай байх ёстой. нь өөр бөгөөд өгөгдсөн харьцааны урвуу харьцааг бичнэ. Долоо дахь даалгавар нь онцгой анхаарал татаж байна. Энэ тохиолдолд тухайн тооны хувийн хэдэн хувь нь хэдэн хувьтай тэнцүү байгааг өгөгдсөн бөгөөд та энэ тоо хэдтэй тэнцүү болохыг олох хэрэгтэй.

Даалгаврууд хоёр дахь туршилтХэдийгээр тэдгээр нь эхний шалгалтын даалгавартай ижил сэдэвтэй холбоотой боловч энэ сэдвээр онолын болон практикийн суурь мэдлэг, ур чадварыг шалгахад тулгуурлахаа больсон бөгөөд асуудлыг шийдвэрлэхэд харилцаа холбоог ашиглахад чиглэгддэг. Эхний асуулт нь хоёр сегментийг харуулсан график зургийг агуулна. Оюутан эдгээр сегментүүдийн уртын харьцааг тодорхойлох ёстой. Хоёрдахь даалгаварт хоёр хэмжигдэхүүнийг өөр өөр хэмжүүрээр өгсөн бөгөөд та тэдгээрийн харьцааг олох хэрэгтэй. Гуравдугаар даалгавар нь өгөгдсөн хоёр тооны хувийн харьцааг тодорхойлохыг хүсч байна. Дөрөвдүгээрт, өгөгдсөн харьцааг (холимог тоогоор бичсэн) өгөгдсөн тохиолдолд та урвуу харьцааг олох хэрэгтэй. Тав дахь асуулт нь нэг тооны хэдэн хувь нь нөгөө тооноос байгааг тодорхойлох даалгавартай. Зургаа дахь даалгаварт байгаа бодлогод та нэг тоо нөгөө тоотой харьцуулахад ямар хэсгийг олох хэрэгтэй. Долдугаар асуултад асуудлын тайлбар нь хоёр тооны харьцааг агуулдаг бөгөөд энэ харьцаанд оролцсон хоёр тооны нийлбэрээс том тооны харьцааг олох хэрэгтэй.

Гурав дахь туршилтсэдвээр мониторинг хийхэд зориулагдсан "Пропорц"Тэгээд "Шууд ба урвуу пропорциональ хамаарал". Шалгалтанд амжилттай тэнцэхийн тулд оюутан пропорциональ нөхцлүүдийг мэдэх (пропорцын аль нь туйл, аль нь дундаж байх), өгөгдсөн пропорциональ тэмдэглэгээг ашиглан үл мэдэгдэх пропорциональ гишүүнийг олох, пропорциональ хамаарлыг зохиох чадвартай байх (болон тэдгээрийг шийдвэрлэх) асуудлыг шийдвэрлэх.

IN дөрөв дэх туршилтдаалгаврууд нь мэдлэг, пропорцтой ажиллах чадварыг шалгадаг, мөн сэдвээр "Тойргийн тойрог ба талбай"Тэгээд "масштаб". Эхний хоёр асуултанд та пропорцийг шийдэх хэрэгтэй. Дараа нь өгөгдсөн радиустай тойргийн уртыг олохыг санал болгож байна. Дараа нь мэдэгдэж буй радиусыг ашиглан тойргийн талбайг тооцоолох хэрэгтэй. Тав, зургаа дахь даалгаварууд нь үндсэндээ бие биенээсээ эсрэг байдаг. Тавдугаарт, мэдэгдэж буй масштабыг ашиглан газрын зураг дээр (газар дээрх) энэ зай тодорхой байвал газрын зураг (газар дээр) ямар зайтай байхыг тодорхойлох хэрэгтэй. Зургаа дахь даалгавар нь эсрэгээрээ газрын зураг, газар нутгийн мэдэгдэж буй харгалзах зайг ашиглан газрын зургийн масштабыг олохыг санал болгож байна. Долоо дахь асуултанд хариулах нь логик сэтгэлгээ, анхаарал шаарддаг. Өгөгдсөн дөрвөн цифрээс хэдэн тэгш (5-ын олон) хоёр оронтой тоо гаргаж болохыг тодорхойлох хэрэгтэй.

Харцызск хотын 25-р дунд сургууль "Тагнуул" бие даасан хичээлийг гүнзгийрүүлсэн.

Наконечная Лариса Петровна

математикийн багш

Туршилтын ажил

Математик, 6-р анги

Сэдэв. Харилцаа ба харьцаа

Сурах бичиг: Математик. 6-р анги: Боловсролын байгууллагуудын сурах бичиг / S.M. Никольский, М.К. Потапов, Н.И. Решетников, A.V. Шевкин. -М.: Боловсрол, 2016 он.

2017-2018 оны хичээлийн жилийн сургалтын үндсэн хөтөлбөрийн дагуу 6-р ангийн математикийн хичээлд долоо хоногт 4 цаг хуваарилсан. "Харилцаа ба харьцаа" сэдвийг судлахад 12 цаг зарцуулдаг.

Энэ сэдвийг судлахаар төлөвлөсөн үр дүн:

Сурагчид бодлого шийдвэрлэхдээ харьцаа, масштаб, пропорц гэсэн ойлголтуудыг ашиглаж сурна. Эдгээр ойлголтыг практикт ашиглах жишээг өг. Пропорциональ хуваах (бодит практикийн асуудлуудыг оролцуулан) асуудлыг шийдвэрлэх.

Үгийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ хэмжигдэхүүнүүдийн (хурд, цаг, зай, ажил, бүтээмж, цаг гэх мэт) хоорондын хамаарлын (шууд ба урвуу пропорциональ) талаарх мэдлэгийг ашиглах: бодлогын текстийг ойлгох, шаардлагатай мэдээллийг гаргаж авах, логик хэлхээг бий болгох. үндэслэл гаргах, хүлээн авсан хариултыг шүүмжлэлтэй үнэлэх, энгийн практик тооцоолол хийх.

Сэдвийн агуулгыг эзэмшсэний үр дүн:

Хувийн

Боловсрол, үе тэнгийнхэнтэйгээ хамтран ажиллах харилцааны чадварыг хөгжүүлэх;

Асуудлыг шийдвэрлэхдээ өөрийн бодлоо үнэн зөв, чадварлаг илэрхийлэх чадвар, даалгаврын утгыг ойлгох, аргумент үүсгэх чадвар;

Бүтээлч сэтгэлгээ, санаачлага, авхаалж самбаа, арифметикийн асуудлыг шийдвэрлэх идэвх;

Математикийн объект, асуудал, шийдэл, үндэслэлийг сэтгэл хөдлөлөөр мэдрэх чадварыг бий болгох.

Мета субьект

Зорилгодоо хүрэх өөр арга замыг бие даан төлөвлөх, боловсролын болон танин мэдэхүйн асуудлыг шийдвэрлэх хамгийн үр дүнтэй аргыг ухамсартайгаар сонгох чадвар;

Математикийн асуудлыг бусад салбар дахь, хүрээлэн буй орчинд харах чадварыг хөгжүүлэх;

Алгоритм зааврын мөн чанарыг ойлгох, санал болгож буй алгоритмын дагуу ажиллах чадвар.

Сэдэв

Үндсэн ойлголтын аппарат эзэмших: харилцаа холбоо, пропорциональ байдал, шууд ба урвуу пропорциональ байдал, цар хүрээ, бодит ертөнц дэх хэв маягийн талаархи санаа бодлыг бий болгох талаархи ойлголттой байх;

Сурсан ойлголтоо өгөгдсөн харьцаанд хуваах шууд ба урвуу пропорционалийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах чадвар.

Санал болгож буй тест нь судалж буй "Харьцаа ба пропорциональ" сэдвийн материалыг бүхэлд нь хамарсан бөгөөд агуулга нь ерөнхий боловсролын байгууллагын 6-р ангийн математикийн хөтөлбөрт нийцсэн, нарийн төвөгтэй байдал, танилцуулгын хэлбэрээрээ ялгаатай 12 даалгавараас бүрдэнэ. .

Ажлын зорилго нь 6-р ангийн сурагчдын энэ сэдвээр боловсролын материалыг эзэмшсэн түвшинг шалгах, дараа нь мэдлэг, ур чадвараа засах явдал юм.

Эхний 9 даалгавар бол нэг зөв хариултыг сонгох даалгавар юм. Даалгавар бүрт дөрвөн боломжит хариулт байгаа бөгөөд тэдгээрийн зөвхөн нэг нь зөв. Оюутан хариултын хүснэгтэд зөв хариултыг харуулсан зөвхөн нэг үсгийг зааж өгсөн бол даалгаврыг зөв гүйцэтгэсэн гэж үзнэ. Ямар нэгэн тайлбар хийх шаардлагагүй. Зөв хариулт бүрийн хувьд оюутан 1 оноо авдаг. Хамгийн их оноо - 9

Дараагийн 3 даалгавар (10 - 12) нь даалгавар (1 - 4) ба тэдгээрийн хариулт (A - D) хоорондын захидал харилцааг тогтоох явдал юм. Тоогоор тэмдэглэгдсэн дөрвөн мөр бүрийн хувьд та үсгээр заасан нэг хариултыг сонгох ёстой. Зөв хариулт бүрийн хувьд оюутан 1 оноо авдаг. 10 - 12 даалгаврын хамгийн дээд оноо нь 12. Нийт 21 оноо

Цэгүүдийг тэмдэгт болгон хувиргах хүснэгт

оноо	тэмдэг
1 - 5	"1"
6 - 10	"2"
11 - 15	"3"
16 - 19	"4"
20 - 21	"5"

Ажлыг дуусгахад 45 минут зарцуулна.

Туршилтын ажил

1. 23 ба 70-ын харьцаа нь:

A) B) C) 47; D) 93.

2. Санал болгож буй харьцааны аль нь тэнцүү вэ?

A) 4:7 ба 8:28; B) 30:5 ба 65:13; B) 2:1 ба 6:3; D) 3:9 ба 13:39.

3. Эдгээр тэгшитгэлийн аль нь пропорциональ вэ?

A) 40: 8 = 4: 2; B) 6:13 = 7:12; B) 7: 2 = 21: 4; D) 36:9 = 16:4;

4. 40 минут ба 2 цагийн харьцааг ол

A) 1: 3; B) 20: 1; B) 1: 20; D) 3:1.

5.Ямар хэмжигдэхүүнүүд шууд пропорциональ вэ?

A) Талбай ба түүний тал;

B) Ажилчдын тоо, тэдний ажлыг дуусгах хугацаа;

C) Явган хүний ​​туулсан зам, зам дээр байсан цаг;

D) Усан санг дүүргэх хоолойн тоо, усан санг дүүргэхэд шаардагдах хугацаа.

6. Оросын аль зүйр үг урвуу пропорциональ хэмжигдэхүүнүүдийн тухай өгүүлдэг вэ?

B) Дамар нь жижиг боловч үнэтэй;

C) Хожуул өндөр байх тусам сүүдэр өндөр болно;

D) Сайн уу, хариулт нь юу вэ?

7. Пропорцын үл мэдэгдэх гишүүнийг тооцоолоход ямар илэрхийлэл тохиромжтой вэцагт : 24 = 3: 7

A) .

8. Өгөгдсөн пропорциональ 13:X = 17: цагт. Дараахь тэгшитгэлүүдийн аль нь пропорциональ биш вэ?

A)x:y= 13:17; B) x: 13 = y: 17; IN)у: x= 17:13; G)x:y = 17: 13.

9. Ямар харьцаатай вэ??

A) 8; B) ; IN) ; G).

10. Эдгээр хамаарал (1 - 4) ба хэмжигдэхүүнүүдийн (A - D) хоорондын захидал харилцааг тогтоо.

1. ; Тоо;

2. ; B) үнэ;

3. ; B) төвлөрөл;

4. ; D) хурд;

11. Өгөгдсөн тэгшитгэлүүд (1 - 4) ба тэдгээрийн үндэс (A - D) хоорондын хамаарлыг тогтоо.

1. 7: 8 = X: 96; A) 2;

2. ; B) 6

3. Т IN 1 ;

4. руу : D) 50;

D) 84.

12. Эдгээр бодлогын хариулт болох бодлого (1 - 4) болон тоонуудын (A - D) хоорондын захидал харилцааг тогтоо.

1. Елена Молоховецын "Залуу гэрийн эзэгтэй нарт зориулсан бэлэг" номонд байдаг тайрах бялуу жор. 10 хүний ​​бялуунд нэг фунт prunes хэрэглээрэй. 3 хүний ​​бялуунд хэдэн грамм prunes хэрэглэх вэ? 1 фунт = 400 гр гэдгийг анхаарч үзээрэй. 2. Гурван мандарин мод нийлээд 240 жимс гаргаж авсан ба тэдгээрийн жимсний тоо 1:3:4 харьцаатай байв. Жимсний тоо нь хамгийн том нь ч биш, хамгийн бага нь ч биш тэр модонд хэдэн жимс ургасан бэ? 3. 6 тоннын даацтай машинаар ачаа тээвэрлэхийн тулд 10 рейс хийх шаардлагатай. Энэ ачааг даац нь 2 тонноор багатай тээврийн хэрэгслээр тээвэрлэхэд хэдэн удаа явах шаардлагатай вэ? 4. Газрын зураг дээрх хоёр хотын хоорондох зай 7 см байна. Газрын зургийн масштаб 1: 200,000 бол газар дээрх хот хоорондын зайг километрээр ол.

A) 90; B) 15; AT 12; D) 120; D) 14.

1-9-р даалгаврын ХАРИУ.

10-12-р даалгаврын ХАРИУ

Даалгавар 10

Даалгавар 11

Даалгавар 12

Мэдлэгийг засахын тулд та боломжит алдааны шинж чанарыг харуулсан дараах хүснэгтийг ашиглаж болно

p/p	Дүр алдаа	С.М.Никольский Математик, 5-р анги М.: 2016 он		С.М.Никольский Математик, 6-р анги М.: 2016 он
		онол	дадлага хийх	онол	дадлага хийх
	Та хандлагын тодорхойлолтыг мэдэхгүй байна.			1.1-р зүйл	№ 4, №5
	Та харилцааны шинж чанарыг мэддэггүй.			1.1-р зүйл	№6, №7, №9
	Та янз бүрийн хэмжигдэхүүнтэй нэгэн төрлийн хэмжигдэхүүнүүдийн харьцааг хэрхэн олохоо мэдэхгүй байна.			1.1-р зүйл	№10, №11
	Та өөр өөр нэртэй тоонуудын харьцааг хэрхэн олохоо мэдэхгүй байна.			1.1-р зүйл	№12 - №16 №18, №19
	Хэмжээний тодорхойлолтыг мэдэхгүй байна			1.2-р зүйл	№ 21
	Газрын зураг дээрх масштаб, зайг мэддэг тул газар дээрх зайг хэрхэн олохоо мэдэхгүй байна.			1.2-р зүйл	№24, №28, №29
	Та тоог өгөгдсөн харьцаанд хэрхэн хувахаа мэдэхгүй байна.			1.3-р зүйл	№36, №37, №39, №40
	Та пропорцын тодорхойлолтыг мэдэхгүй байна.			1.4-р зүйл	№46 - №48, №50
	Та пропорцын үндсэн шинж чанарыг мэддэггүй.			1.4-р зүйл	№51, №52
	Та пропорцын үл мэдэгдэх гишүүнийг яаж олохоо мэдэхгүй байна.			1.4-р зүйл	№53 - №55, №57, №58, №60, №61
11.	Та шууд пропорциональ хэмжигдэхүүнүүдийн тодорхойлолтыг мэдэхгүй байна.			1.5-р зүйл	№72 - №75
12.	Та урвуу пропорциональ хэмжигдэхүүнүүдийн тодорхойлолтыг мэдэхгүй байна.			1.5-р зүйл	№76, №77, №79
13.	Та бутархайг хэрхэн үржүүлэхээ мэдэхгүй байна.	4.9-р зүйл	№892 - №900
14.	Та энгийн бутархайг хэрхэн хувахаа мэдэхгүй байна.	4.11-р зүйл	№925, №926, №927
	Тооны бутархайг хэрхэн олохоо мэдэхгүй байна уу?	4.12-р зүйл	№941, №943, №945

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт

1. Математик. 5-р анги: Боловсролын байгууллагуудын сурах бичиг / S.M. Никольский, М.К. Потапов, Н.И. Решетников, A.V. Шевкин. -М.: Боловсрол, 2016 он.

2. Математик. 6-р анги: Боловсролын байгууллагуудын сурах бичиг / S.M. Никольский, М.К. Потапов, Н.И. Решетников, A.V. Шевкин

3. Математик. 6-р анги: Сэдэвчилсэн үнэлгээний даалгавар, даалгаврын цуглуулга / A.G. Merzlyak, V.B. Полонский, E.M. Рабинович, М.С.Якир. - Харьковын "Гимнази", 2008 он

4. 5-р ангийн математикийн дидактик материал: бие даасан болон тестийн ажил / A.S. Chesnokov, K.I. Neshkov. -М.: Боловсрол, 1981 он.

5. Математик 6-р анги: бие даасан болон туршилтын ажил / A.P. Ershova, V.V. Goloborodko. . - Харьковын "Гимнази", 2007 он