Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн синус гэж юу вэ. Зөв гурвалжин

Зааварчилгаа

Хэрэв та косинусыг олох шаардлагатай бол өнцөгдурын гурвалжинд та косинусын теоремыг ашиглах хэрэгтэй.
хэрэв өнцөг нь хурц байвал: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
хэрэв өнцөг: cos? = (c2 – a2 – b2)/(2ab), энд a, b нь булангийн хажуугийн талуудын урт, c нь булангийн эсрэг талын урт юм.

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Косинусын математик тэмдэглэгээ нь cos.
Косинусын утга 1-ээс их, -1-ээс бага байж болохгүй.

Эх сурвалжууд:

• өнцгийн косинусыг хэрхэн тооцоолох
• Нэгж тойрог дээрх тригонометрийн функцууд

Косинусөнцгийн үндсэн тригонометрийн функц юм. Косинусыг тодорхойлох чадвар нь вектор алгебрийн хувьд янз бүрийн тэнхлэг дээрх векторуудын төсөөллийг тодорхойлоход хэрэгтэй байдаг.

Зааварчилгаа

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

3, 4, 5 мм-тэй тэнцүү a, b, c талуудтай гурвалжин байдаг.

Хай косинустом талуудын хоорондох өнцөг.

a талын эсрэг талын өнцгийг ?-ээр тэмдэглээд, дээр дурдсан томъёоны дагуу бид:

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0.8

Хариулт: 0.8.

Хэрэв гурвалжин зөв өнцөгтэй бол олох хэрэгтэй косинусөнцгийн хувьд зөвхөн хоёр талын уртыг мэдэхэд хангалттай ( косинусзөв өнцөг нь 0).

c нь гипотенуз болох a, b, c талуудтай тэгш өнцөгт гурвалжин байг.

Бүх сонголтыг авч үзье:

a ба b талуудын урт (гурвалжны) мэдэгдэж байгаа бол cos?-г ол

Пифагорын теоремыг нэмж ашиглацгаая.

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

Үүссэн томьёо зөв эсэхийг баталгаажуулахын тулд бид 1-р жишээн дээр орлуулна, өөрөөр хэлбэл.

Зарим үндсэн тооцоог хийсний дараа бид дараахь зүйлийг авна.

Үүнтэй адил олдсон косинустэгш өнцөгт хэлбэрээр гурвалжинбусад тохиолдолд:

Мэдэгдэж байгаа a ба c (гипотенуз ба эсрэг тал), cos олох уу?

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?)) =(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.

Жишээн дээрх a=3 ба c=5 утгыг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Мэдэгдэж байгаа b ба c (гипотенуз ба зэргэлдээх хөл).

Кос олох уу?

Үүнтэй төстэй өөрчлөлтүүдийг хийсний дараа (2 ба 3-р жишээнд үзүүлэв) бид энэ тохиолдолд үүнийг олж авна косинусВ гурвалжинмаш энгийн томъёогоор тооцоолно:

Гарсан томъёоны энгийн байдлыг энгийнээр тайлбарлаж болно: үнэндээ булангийн хажууд уу? хөл нь гипотенузын проекц бөгөөд түүний урт нь гипотенузын уртыг cos?-ээр үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

Эхний жишээн дээрх b = 4 ба c = 5 утгыг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Энэ нь бидний бүх томъёо зөв гэсэн үг юм.

Зөвлөгөө 5: Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийг хэрхэн олох вэ

Шууд нүүрстөрөгчгурвалжин нь түүхэн үүднээс хамгийн алдартай нь байж магадгүй юм. геометрийн хэлбэрүүд. Пифагорын "өмд" зөвхөн "Эврика!" Архимед.

Танд хэрэгтэй болно

• - гурвалжин зурах;
• - шугам;
• - протектор

Зааварчилгаа

Гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 градус байна. Тэгш өнцөгт хэлбэрээр гурвалжиннэг өнцөг (шулуун) үргэлж 90 градус байх болно, үлдсэн хэсэг нь хурц, өөрөөр хэлбэл. тус бүр 90 градусаас бага. Тэгш өнцөгт ямар өнцөг байгааг тодорхойлох гурвалжиншулуун бол гурвалжны талыг хэмжиж, хамгийн томыг нь тодорхойлохдоо захирагч ашиглана. Энэ нь гипотенуз (AB) бөгөөд зөв өнцгийн (C) эсрэг байрладаг. Үлдсэн хоёр тал нь зөв өнцөг ба хөл (AC, BC) үүсгэдэг.

Аль өнцөг нь хурц болохыг тодорхойлсны дараа математикийн томьёо ашиглан өнцгийг протектор ашиглан тооцоолж болно.

Протекторын тусламжтайгаар өнцгийг тодорхойлохын тулд түүний дээд хэсгийг (А үсгээр тэмдэглэе) хэмжигчний голд байрлах захирагч дээр тусгай тэмдэг тавьж, АС хөл нь дээд ирмэгтэй давхцах ёстой. Протекторын хагас дугуй хэсэгт AB гипотенуз дамжих цэгийг тэмдэглэ. Энэ цэгийн утга нь градусын өнцөгтэй тохирч байна. Хэрэв протектор дээр 2 утгыг зааж өгсөн бол хурц өнцөгТа жижигийг нь сонгох хэрэгтэй, тэнэг бол томыг нь сонгох хэрэгтэй.

Брадисын лавлах номноос гарсан утгыг олж, гарсан тоон утга нь аль өнцөгт тохирохыг тодорхойл. Манай эмээ нар энэ аргыг хэрэглэдэг байсан.

Манайд тригонометрийн томъёог тооцоолох функцийг авахад хангалттай. Жишээлбэл, суурилуулсан Windows тооцоолуур. "Тооцоолуур" програмыг ажиллуулж, "Харах" цэсийн зүйлээс "Инженерчлэл" -ийг сонгоно уу. Хүссэн өнцгийн синусыг тооцоол, жишээлбэл, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0.5

Тооны машиныг урвуу функцийн горимд шилжүүлж, тооцоолуурын дэлгэц дээрх INV товчлуур дээр дарж, дараа нь arcsine функцийн товчлуур дээр дарна уу (дэлгэц дээр нүгэл хасах эхний хүчийг харуулсан). Тооцооллын цонхонд дараах мессеж гарч ирнэ: asind (0.5) = 30. I.e. хүссэн өнцгийн утга нь 30 градус байна.

Эх сурвалжууд:

• Брадисын хүснэгт (синус, косинус)

Математикийн косинусын теоремыг өнцгийн гурав дахь тал ба хоёр талыг олох шаардлагатай үед ихэвчлэн ашигладаг. Гэсэн хэдий ч заримдаа асуудлын нөхцөл байдал эсрэгээр тавигддаг: өгөгдсөн гурван талтай өнцгийг олох хэрэгтэй.

Зааварчилгаа

Танд хоёр талын урт ба нэг өнцгийн утгыг мэддэг гурвалжин өгөгдсөн гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэ гурвалжны бүх өнцөг нь хоорондоо тэнцүү биш бөгөөд талууд нь өөр өөр хэмжээтэй байдаг. γ өнцөг нь гурвалжны хажуугийн эсрэг талд байрладаг бөгөөд AB гэж тэмдэглэсэн нь энэ зураг юм. Энэ өнцгөөр, түүнчлэн AC ба BC үлдсэн талуудаар дамжуулан та гурвалжны үл мэдэгдэх талыг косинусын теоремоор олж, доор үзүүлсэн томъёог гаргаж болно.
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, энд a=BC, b=AB, c=AC
Косинусын теоремыг өөрөөр ерөнхийд нь Пифагорын теорем гэж нэрлэдэг.

Одоо зургийн гурван тал өгөгдсөн боловч γ өнцөг нь тодорхойгүй байна гэж төсөөлөөд үз дээ. a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ хэлбэрийг мэдэж, хүссэн утга нь γ өнцөг болохын тулд энэ илэрхийллийг хувирга: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Дараа нь дээрх тэгшитгэлийг арай өөр хэлбэрт оруул: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Дараа нь энэ илэрхийллийг дараах илэрхийлэл рүү хөрвүүлнэ: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Үлдсэн зүйл бол томъёонд тоонуудыг орлуулж, тооцоолол хийх явдал юм.

γ гэж тэмдэглэгдсэн косинусыг олохын тулд нуман косинус гэж нэрлэгддэг тригонометрийн урвуу утгаар илэрхийлэх ёстой. m тооны нумын косинус нь γ өнцгийн косинус нь m-тэй тэнцүү байх γ өнцгийн утга юм. y=arccos m функц буурч байна. Жишээлбэл, γ өнцгийн косинус нь хагастай тэнцүү байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Дараа нь нумын косинусаар γ өнцгийг дараах байдлаар тодорхойлж болно.
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, энд m = 1/2.
Үүнтэй адилаар гурвалжны үлдсэн өнцгүүдийг үл мэдэгдэх хоёр талтай нь олж болно.

Синус ба косинус нь "шууд" гэж нэрлэгддэг хоёр тригонометрийн функц юм. Тэдгээрийг бусдаас илүү олон удаа тооцоолох шаардлагатай байдаг бөгөөд өнөөдөр энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бидний хүн нэг бүр нэлээд олон сонголттой байдаг. Хамгийн их заримыг нь доор харуулав энгийн аргууд.

Зааварчилгаа

Тооцоолох өөр хэрэгсэл байхгүй бол протектор, харандаа, цаас ашиглана уу. Косинусын тодорхойлолтуудын нэг нь тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцгүүдийн хувьд өгөгдсөн - энэ нь энэ өнцгийн эсрэг талын хөлний урт ба уртын хоорондох харьцаатай тэнцүү юм. Нэг өнцөг нь зөв (90°), нөгөө нь таны тооцоолохыг хүссэн өнцөг байх гурвалжин зур. Хажуугийн урт нь хамаагүй - тэдгээрийг хэмжихэд илүү тохиромжтой байдлаар зур. Хүссэн хөл, гипотенузын уртыг хэмжиж, эхнийхийг нь хоёр дахь нь аль ч тохиромжтой аргаар хуваана.

Утга олох боломжийг ашигла тригонометрийн функцуудХэрэв та интернетэд холбогдсон бол Nigma хайлтын системд суурилуулсан тооцоолуур ашиглан. Жишээлбэл, хэрэв та 20 ° өнцгийн косинусыг тооцоолох шаардлагатай бол ачаалах замаар нүүр хуудасүйлчилгээ http://nigma.ru, хайлтын асуулгын талбарт "косинус 20" гэж бичээд "хайд!" товчийг дарна уу. Та "зэрэг"-ийг орхиж, "косинус" гэсэн үгийг cos-ээр сольж болно - ямар ч тохиолдолд хайлтын систем үр дүнг аравтын 15 орон хүртэл нарийвчлалтай харуулах болно (0.939692620785908).

Үйлдлийн системд суулгасан стандарт програмыг нээнэ үү Windows систем, хэрэв интернетэд нэвтрэх боломжгүй бол. Жишээлбэл, та win болон r товчлууруудыг зэрэг дарж, calc командыг оруулаад OK товчийг дарж үүнийг хийж болно. Тригонометрийн функцийг тооцоолохын тулд энд "инженерчлэлийн" эсвэл "шинжлэх ухааны" (OS-ийн хувилбараас хамаарч) гэж нэрлэгддэг интерфэйс байдаг - тооцоолуур цэсний "Харах" хэсгээс хүссэн зүйлээ сонгоно уу. Үүний дараа өнцгийн утгыг оруулаад програмын интерфейс дэх cos товчийг дарна уу.

Сэдвийн талаархи видео

Зөвлөгөө 8: Тэгш өнцөгт гурвалжны өнцгийг хэрхэн тодорхойлох вэ

Тэгш өнцөгт нь булан ба талуудын хооронд тодорхой харилцаа холбоогоор тодорхойлогддог. Тэдгээрийн заримын үнэ цэнийг мэдэхийн тулд та бусдыг тооцоолж болно. Энэ зорилгоор геометрийн аксиом ба теорем дээр үндэслэн томъёог ашигладаг.

Тангенс (tg x) ба котангенс (ctg x)-ийн лавлагаа өгөгдөл. Геометрийн тодорхойлолт, шинж чанар, график, томьёо. Шүргэгч ба котангентын хүснэгт, дериватив, интеграл, цувааны өргөтгөл. Нарийн төвөгтэй хувьсагчаар дамжуулан илэрхийлэл. Гиперболик функцуудтай холболт.

Геометрийн тодорхойлолт

|BD| - төв нь А цэгтэй тойргийн нумын урт.
α нь радианаар илэрхийлэгдсэн өнцөг юм.

шүргэгч ( бор α) нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз ба хөлийн хоорондох α өнцгөөс хамаарах тригонометрийн функц бөгөөд эсрэг талын хөлийн уртын харьцаатай тэнцүү |BC| зэргэлдээх хөлний урт хүртэл |AB| .

Котангенс ( ctg α) нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз ба хөлийн хоорондох α өнцгөөс хамаарах тригонометрийн функц бөгөөд зэргэлдээх хөлийн уртын харьцаатай тэнцүү |AB| эсрэг талын хөлний урт хүртэл |BC| .

Тангенс

Хаана n- бүхэлд нь.

Барууны уран зохиолд шүргэгчийг дараах байдлаар тэмдэглэдэг.
.
;
;
.

Шүргэх функцийн график, y = tan x

Котангенс

Хаана n- бүхэлд нь.

Барууны уран зохиолд котангенсыг дараах байдлаар тэмдэглэсэн байдаг.
.
Дараах тэмдэглэгээг мөн хүлээн зөвшөөрнө.
;
;
.

Котангенсийн функцийн график, y = ctg x

Тангенс ба котангенсын шинж чанарууд

Үе үе

Функцууд y = tg xба у = ctg xπ үетэй үечилсэн байна.

Паритет

Тангенс ба котангенс функцууд нь сондгой.

Тодорхойлолт, үнэлэмжийн талбарууд, нэмэгдэж, буурч байна

Тангенс ба котангенс функцууд нь тодорхойлолтын муждаа тасралтгүй байдаг (тасралтгүй байдлын баталгааг үзнэ үү). Тангенс ба котангентын үндсэн шинж чанарыг хүснэгтэд үзүүлэв ( n- бүхэлд нь).

	у = tg x	у = ctg x
Хамрах хүрээ ба тасралтгүй байдал
Утгын хүрээ	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Нэмэгдэх		-
Бууж байна	-
Хэт их	-	-
Тэг, у = 0
Ординатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд, x = 0	у = 0	-

Томъёо

Синус ба косинусыг ашигласан илэрхийллүүд

; ;
; ;
;

Нийлбэр ба ялгавартай тангенс ба котангенсийн томъёо

Жишээ нь, үлдсэн томьёог олж авахад хялбар байдаг

Шүргэгчийн бүтээгдэхүүн

Шүргэгчийн нийлбэр ба зөрүүний томъёо

Энэхүү хүснэгтэд аргументийн тодорхой утгуудын шүргэгч ба котангентын утгыг харуулав.

Комплекс тоо ашигласан илэрхийлэл

Гиперболын функцээр илэрхийлэгдэх илэрхийлэл

;
;

Дериватив

; .

.
Функцийн х хувьсагчийн хувьд n-р эрэмбийн дериватив:
.
Шүргэгчийн томъёо гаргах > > > ; котангенсийн хувьд > > >

Интеграл

Цуврал өргөтгөлүүд

X-ийн зэрэглэлийн тангенсийн тэлэлтийг олж авахын тулд функцүүдийн чадлын цуврал дахь тэлэлтийн хэд хэдэн нөхцөлийг авах шаардлагатай. гэм хТэгээд cos xмөн эдгээр олон гишүүнтүүдийг хооронд нь хуваах, . Энэ нь дараах томъёог үүсгэдэг.

-д.

цагт.
Хаана Bn- Бернуллигийн тоо. Тэдгээрийг дахилтын хамаарлаас аль нэгээр нь тодорхойлно.
;
;
Хаана.
Эсвэл Лапласын томъёоны дагуу:

Урвуу функцууд

Урвуу функцуудшүргэгч ба котангенс нь арктангенс ба арккотангенс юм.

Арктангенс, арктг

, Хаана n- бүхэлд нь.

Арккотангенс, arcctg

, Хаана n- бүхэлд нь.

Лавлагаа:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.
Г.Корн, Эрдэмтэн, инженерүүдэд зориулсан математикийн гарын авлага, 2012 он.

Синус бол тригонометрийн үндсэн функцүүдийн нэг бөгөөд зөвхөн геометрээр хязгаарлагдахгүй. Инженерийн тооцоолуур гэх мэт тригонометрийн функцийг тооцоолох хүснэгтүүд үргэлж бэлэн байдаггүй бөгөөд заримдаа янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд синусыг тооцоолох шаардлагатай байдаг. Ерөнхийдөө синусыг тооцоолох нь зурах ур чадвар, тригонометрийн таних тэмдгийн талаархи мэдлэгийг нэгтгэхэд тусална.

Захирагч, харандаа бүхий тоглоомууд

Энгийн даалгавар: цаасан дээр зурсан өнцгийн синусыг хэрхэн олох вэ? Шийдвэрлэхийн тулд танд ердийн захирагч, гурвалжин (эсвэл луужин) болон харандаа хэрэгтэй болно. Өнцгийн синусыг тооцоолох хамгийн энгийн арга бол тэгш өнцөгт гурвалжны алсын хөлийг урт тал буюу гипотенузаар хуваах явдал юм. Тиймээс та эхлээд өнцгийн оройноос дурын зайд цацрагуудын аль нэгэнд перпендикуляр шугам татах замаар тэгш өнцөгт гурвалжин хэлбэртэй хурц өнцгийг дуусгах хэрэгтэй. Бид яг 90 ° өнцгийг хадгалах шаардлагатай бөгөөд үүний тулд бидэнд бичиг хэргийн гурвалжин хэрэгтэй болно.

Луужин ашиглах нь арай илүү нарийвчлалтай боловч илүү их цаг хугацаа шаардагдах болно. Цацрагийн аль нэг дээр та тодорхой зайд 2 цэгийг тэмдэглэж, луужин дээр цэгүүдийн хоорондох зайтай ойролцоо радиусыг тогтоож, эдгээр шугамын огтлолцлыг олж авах хүртэл эдгээр цэгүүдэд төвтэй хагас тойрог зурах хэрэгтэй. Тойргуудын огтлолцох цэгүүдийг хооронд нь холбосноор бид өнцгийнхөө туяанд хатуу перпендикуляр олж авдаг бөгөөд энэ нь өөр туяатай огтлолцох хүртэл шугамыг сунгах явдал юм.

Үүссэн гурвалжинд та шугамын тусламжтайгаар булангийн эсрэг талын талыг, туяаны аль нэг дээр урт талыг нь хэмжих хэрэгтэй. Эхний хэмжээсийг хоёр дахь хэмжээсийн харьцаа нь хурц өнцгийн синусын хүссэн утга байх болно.

90°-аас их өнцгийн синусыг ол

Мохоо өнцгийн хувьд даалгавар нь тийм ч хэцүү биш юм. Бидний сонирхож буй өнцгийн аль нэг туяатай шулуун шугам үүсгэхийн тулд бид захирагч ашиглан эсрэг чиглэлд оройноос туяа зурах хэрэгтэй. Үүссэн хурц өнцгийг дээр дурдсанчлан авч үзэх хэрэгтэй; нийлээд 180 ° урвуу өнцгийг үүсгэдэг зэргэлдээх өнцгүүдийн синусууд тэнцүү байна.

Бусад тригонометрийн функцуудыг ашиглан синусыг тооцоолох

Мөн өнцгийн бусад тригонометрийн функцүүдийн утгууд эсвэл дор хаяж гурвалжны талуудын уртыг мэддэг бол синусыг тооцоолох боломжтой. Тригонометрийн таних тэмдэг нь үүнд тусална. Нийтлэг жишээнүүдийг авч үзье.

Өнцгийн мэдэгдэж буй косинустай синусыг хэрхэн олох вэ? Пифагорын теорем дээр үндэслэсэн анхны тригонометрийн ижил төстэй байдал нь ижил өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэр нэгтэй тэнцүү байна.

Өнцгийн мэдэгдэж буй тангенс бүхий синусыг хэрхэн олох вэ? Шүргэгчийг алсын талыг ойрын талд нь хуваах эсвэл синусын косинусыг хуваах замаар олж авна. Тиймээс синус нь косинус ба шүргэгчийн үржвэр байх ба синусын квадрат нь энэ бүтээгдэхүүний квадрат болно. Бид квадрат косинусыг нэгдэл ба квадрат синус хоёрын зөрүүгээр тригонометрийн ижил төстэй байдлын дагуу орлуулж, энгийн заль мэхийн тусламжтайгаар шүргэгчээр дамжуулан квадрат синусыг тооцоолох тэгшитгэлийг багасгаж, үүний дагуу синусын тооцоог хийх болно. олж авсан үр дүнгийн үндсийг задлах хэрэгтэй.

Өнцгийн мэдэгдэж буй котангенс бүхий синусыг хэрхэн олох вэ? Котангенсын утгыг өнцөгт хамгийн ойр байгаа хөлийн уртыг алсын уртад хувааж, косинусын синусыг хуваах замаар тооцоолж болно, өөрөөр хэлбэл котангенс нь шүргэгч харьцангуйтай урвуу функц юм. тоо руу 1. Синусыг тооцоолохдоо tg α = 1 / ctg α томъёог ашиглан шүргэгчийг тооцоолж, хоёр дахь хувилбарт томъёог ашиглана. Та мөн шүргэгчтэй зүйрлэн шууд томъёо гаргаж болох бөгөөд энэ нь иймэрхүү харагдах болно.

Гурвалжны гурван талын синусыг хэрхэн олох вэ

Эсрэг өнцгийн косинусын тригонометрийн функцийг ашиглан зөвхөн тэгш өнцөгт гурвалжны бус аль ч гурвалжны үл мэдэгдэх талын уртыг мэдэгдэж буй хоёр талаас нь олох томъёо байдаг. Тэр ийм харагдаж байна.

За, синусыг дээр дурдсан томъёоны дагуу косинусаас нэмж тооцоолж болно.

Синус, косинус, тангенс, котангенс гэсэн ойлголтууд нь математикийн нэг салбар болох тригонометрийн үндсэн ангилал бөгөөд өнцгийн тодорхойлолттой салшгүй холбоотой. Энэхүү математикийн шинжлэх ухааныг эзэмшихийн тулд томьёо, теоремыг цээжлэх, ойлгох, орон зайн сэтгэлгээг хөгжүүлэх шаардлагатай. Тийм ч учраас тригонометрийн тооцоолол нь сургуулийн сурагчид, оюутнуудад хүндрэл учруулдаг. Тэдгээрийг даван туулахын тулд та тригонометрийн функц, томъёог илүү сайн мэддэг байх ёстой.

Тригонометрийн ойлголтууд

Тригонометрийн үндсэн ойлголтуудыг ойлгохын тулд эхлээд тэгш өнцөгт гурвалжин ба тойрог дахь өнцөг гэж юу болох, яагаад бүх үндсэн тригонометрийн тооцоолол нь тэдгээртэй холбоотой байдгийг ойлгох хэрэгтэй. Нэг өнцөг нь 90 градусын хэмжээтэй гурвалжин тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна. Түүхийн хувьд энэ дүрсийг архитектур, навигаци, урлаг, одон орон судлалын чиглэлээр хүмүүс ихэвчлэн ашигладаг байсан. Үүний дагуу хүмүүс энэ зургийн шинж чанарыг судалж, дүн шинжилгээ хийснээр түүний параметрүүдийн харгалзах харьцааг тооцоолохоор ирсэн.

Тэгш өнцөгт гурвалжинтай холбоотой гол ангилал нь гипотенуз ба хөл юм. Гипотенуз нь гурвалжны зөв өнцгийн эсрэг талын тал юм. Хөл нь тус тусын нөгөө хоёр тал юм. Аливаа гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь үргэлж 180 градус байдаг.

Бөмбөрцөг тригонометр бол сургуульд судлагдаагүй тригонометрийн хэсэг боловч одон орон, геодези зэрэг хэрэглээний шинжлэх ухаанд эрдэмтэд үүнийг ашигладаг. Бөмбөрцөг тригонометрийн гурвалжны онцлог нь түүний өнцгийн нийлбэр нь үргэлж 180 градусаас их байдагт оршино.

Гурвалжны өнцөг

Тэгш өнцөгт гурвалжинд өнцгийн синус нь хүссэн өнцгийн эсрэг талын хөлийг гурвалжны гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм. Үүний дагуу косинус нь зэргэлдээх хөл ба гипотенузын харьцаа юм. Гипотенуз нь хөлөөс үргэлж урт байдаг тул эдгээр хоёр утга нь үргэлж нэгээс бага хэмжээтэй байдаг.

Өнцгийн шүргэгч гэдэг нь хүссэн өнцгийн зэргэлдээ талын эсрэг талын харьцаа буюу синусын косинустай тэнцүү утга юм. Котангенс нь эргээд хүссэн өнцгийн зэргэлдээ талыг эсрэг талтай харьцуулсан харьцаа юм. Мөн өнцгийн котангенсыг тангенсийн утгад нэгийг хуваах замаар олж болно.

Нэгж тойрог

Геометрийн нэгж тойрог нь радиус нь нэгтэй тэнцүү тойрог юм. Ийм тойрог нь декартын координатын системд баригдсан бөгөөд тойргийн төв нь гарал үүслийн цэгтэй давхцаж, радиус векторын анхны байрлалыг X тэнхлэгийн (абсцисса тэнхлэг) эерэг чиглэлийн дагуу тодорхойлно. Тойрог дээрх цэг бүр нь XX ба YY гэсэн хоёр координаттай, өөрөөр хэлбэл абсцисса ба ординатын координат юм. XX хавтгай дахь тойргийн дурын цэгийг сонгоод, түүнээс абсцисса тэнхлэг рүү перпендикуляр буулгаснаар бид сонгосон цэгийн радиусаар үүссэн тэгш өнцөгт гурвалжинг (С үсгээр тэмдэглэсэн), X тэнхлэгт татсан перпендикулярыг олж авна. ( огтлолцлын цэгийг G үсгээр тэмдэглэсэн), сегмент нь гарал үүсэл (цэг нь А үсгээр тэмдэглэгдсэн) ба уулзвар G цэгийн хоорондох абсцисса тэнхлэг юм. Үүссэн ACG гурвалжин нь тойрог дотор бичээстэй тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Энд AG нь гипотенуз, AC ба GC нь хөл юм. AC тойргийн радиус ба абсцисса тэнхлэгийн AG тэмдэглэгээтэй сегментийн хоорондох өнцгийг α (альфа) гэж тодорхойлно. Тиймээс cos α = AG/AC. АС нь нэгж тойргийн радиус бөгөөд нэгтэй тэнцүү гэж үзвэл cos α=AG болно. Үүний нэгэн адил, sin α=CG.

Нэмж дурдахад, энэ өгөгдлийг мэдсэнээр та тойрог дээрх С цэгийн координатыг тодорхойлж болно, учир нь cos α=AG, sin α=CG, энэ нь C цэг нь байна гэсэн үг юм. өгөгдсөн координатууд(cos α;sin α). Тангенс нь синус ба косинусын харьцаатай тэнцүү гэдгийг мэдэж байгаа тул tan α = y/x, cot α = x/y гэдгийг тодорхойлж болно. Сөрөг координатын систем дэх өнцгийг харгалзан үзвэл зарим өнцгийн синус ба косинусын утгууд сөрөг байж болохыг тооцоолж болно.

Тооцоолол ба үндсэн томъёо

Тригонометрийн функцын утгууд

Нэгж тойргоор дамжуулан тригонометрийн функцүүдийн мөн чанарыг авч үзээд зарим өнцгийн хувьд эдгээр функцүүдийн утгыг гаргаж авах боломжтой. Доорх хүснэгтэд утгуудыг жагсаав.

Хамгийн энгийн тригонометрийн таних тэмдэг

Тригонометрийн функцийн тэмдгийн дор үл мэдэгдэх утга байгаа тэгшитгэлийг тригонометр гэж нэрлэдэг. sin x = α, k утгатай таних тэмдгүүд - дурын бүхэл тоо:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, шийдэл байхгүй.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

cos x = a утгатай таних тэмдэгтүүд, k нь дурын бүхэл тоо:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, шийдэл байхгүй.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

tg x = a утгатай таних тэмдэгтүүд, k нь дурын бүхэл тоо:

1. tan x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = arctan α + πk.

ctg x = a утгатай таних тэмдэгтүүд, k нь дурын бүхэл тоо:

1. cot x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Бууруулах томъёо

Тогтмол томъёоны энэ категори нь хэлбэрийн тригонометрийн функцээс аргументийн функц руу шилжих аргуудыг илэрхийлдэг, өөрөөр хэлбэл ямар ч утгын өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсыг өнцгийн харгалзах үзүүлэлт болгон бууруулж болно. Тооцооллыг илүү хялбар болгохын тулд 0-ээс 90 градусын интервал.

Өнцгийн синусын функцийг багасгах томъёо дараах байдалтай байна.

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = нүгэл α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• нүгэл(3600 + α) = нүгэл α.

Өнцгийн косинусын хувьд:

• cos(900 - α) = нүгэл α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = нүгэл α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Дээрх томъёог ашиглах нь хоёр дүрмийн дагуу боломжтой. Нэгдүгээрт, хэрэв өнцгийг утга (π/2 ± a) эсвэл (3π/2 ± a) хэлбэрээр илэрхийлж чадвал функцийн утга өөрчлөгдөнө.

• нүглээс cos хүртэл;
• учираас нүгэл рүү;
• tg-ээс ctg хүртэл;
• ctg-ээс tg хүртэл.

Хэрэв өнцгийг (π ± a) эсвэл (2π ± a) гэж дүрсэлж чадвал функцийн утга өөрчлөгдөхгүй хэвээр байна.

Хоёрдугаарт, бууруулсан функцийн тэмдэг өөрчлөгдөхгүй: хэрэв энэ нь анх эерэг байсан бол энэ нь хэвээр байна. Сөрөг функцтэй мөн адил.

Нэмэлт томъёо

Эдгээр томьёо нь тригонометрийн функцээр дамжуулан хоёр эргэлтийн өнцгийн нийлбэр ба зөрүүний синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгыг илэрхийлдэг. Ихэвчлэн өнцгийг α ба β гэж тэмдэглэдэг.

Томъёо нь дараах байдалтай байна.

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * нүгэл.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * нүгэл.
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Эдгээр томъёо нь α ба β өнцөгт хүчинтэй.

Давхар ба гурвалсан өнцгийн томьёо

Давхар ба гурвалсан өнцгийн тригонометрийн томъѐо нь 2α ба 3α өнцгийн функцийг α өнцгийн тригонометрийн функцтэй холбосон томъёо юм. Нэмэлт томъёоноос гаргаж авсан:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
5. cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Нийлбэрээс бүтээгдэхүүн рүү шилжих

2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) гэдгийг авч үзвэл энэ томьёог хялбарчлан sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 ижилслийг олж авна. Үүний нэгэн адил sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = нүгэл(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Бүтээгдэхүүнээс нийлбэр рүү шилжих

Эдгээр томьёо нь нийлбэрийг бүтээгдэхүүн рүү шилжүүлэх тодорхойлогддог.

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Зэрэг бууруулах томъёо

Эдгээр ижил төстэй байдлын хувьд синус ба косинусын квадрат ба куб хүчийг олон өнцгийн эхний түвшний синус ба косинусаар илэрхийлж болно.

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Бүх нийтийн орлуулалт

Бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтын томьёо нь тригонометрийн функцийг хагас өнцгийн шүргэгчээр илэрхийлдэг.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), энд x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), энд x = π + 2πn;
• cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), x = π + 2πn-тэй.

Онцгой тохиолдлууд

Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн тусгай тохиолдлыг доор өгөв (k нь дурын бүхэл тоо).

Синусын үзүүлэлтүүд:

Sin x утга	x утга
0	πк
1	π/2 + 2πк
-1	-π/2 + 2πк
1/2	π/6 + 2πk эсвэл 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk эсвэл -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk эсвэл 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk эсвэл -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk эсвэл 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk эсвэл -2π/3 + 2πk

Косинусын үзүүлэлтүүд:

cos x утга	x утга
0	π/2 + 2πк
1	2πк
-1	2 + 2πк
1/2	±π/3 + 2πк
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πк
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Тангенсийн коэффициентүүд:

tg x утга	x утга
0	πк
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Котангенсийн коэффициентүүд:

ctg x утга	x утга
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Теоремууд

Синусын теорем

Теоремын хоёр хувилбар байдаг - энгийн ба өргөтгөсөн. Энгийн синусын теорем: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Энэ тохиолдолд a, b, c нь гурвалжны талууд, α, β, γ нь эсрэг талын өнцөг юм.

Дурын гурвалжны өргөтгөсөн синусын теорем: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Энэ адилтгалын хувьд R нь өгөгдсөн гурвалжныг дүрсэлсэн тойргийн радиусыг илэрхийлнэ.

Косинусын теорем

Тодорхойлолтыг дараах байдлаар харуулна: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Томъёонд a, b, c нь гурвалжны талууд, α нь а талын эсрэг талын өнцөг юм.

Тангенс теорем

Томъёо нь хоёр өнцгийн шүргэгч ба тэдгээрийн эсрэг талын талуудын уртын хоорондын хамаарлыг илэрхийлдэг. Талуудыг a, b, c гэж тэмдэглэсэн бөгөөд харгалзах эсрэг талын өнцөг нь α, β, γ байна. Шүргэх теоремын томъёо: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Котангентын теорем

Гурвалжинд сийлсэн тойргийн радиусыг талуудын урттай нь холбоно. Хэрэв a, b, c нь гурвалжны талууд, A, B, C нь тус тусын эсрэг талын өнцөг, r нь бичээстэй тойргийн радиус, p нь гурвалжны хагас периметр бол дараах байдалтай байна. таних тэмдэг хүчинтэй байна:

• ор A/2 = (p-a)/r;
• ор B/2 = (p-b)/r;
• ор C/2 = (p-c)/r.

Өргөдөл

Тригонометр - зөвхөн биш онолын шинжлэх ухаанматематикийн томьёотой холбоотой. Түүний шинж чанар, теорем, дүрмийг янз бүрийн салбарууд практикт ашигладаг. хүний ​​үйл ажиллагаа— одон орон судлал, агаарын ба далайн навигаци, хөгжмийн онол, геодези, хими, акустик, оптик, электроник, архитектур, эдийн засаг, механик инженерчлэл, хэмжих ажил, компьютер график, зураг зүй, далай судлал, бусад олон.

Синус, косинус, тангенс, котангенс нь тригонометрийн үндсэн ойлголтууд бөгөөд тэдгээрийн тусламжтайгаар гурвалжны талуудын өнцөг ба уртын хоорондын хамаарлыг математикийн аргаар илэрхийлж, адилтгал, теорем, дүрмээр дамжуулан шаардлагатай хэмжигдэхүүнүүдийг олох боломжтой.

Өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу вэ гэхээр тэгш өнцөгт гурвалжинг ойлгоход тусална.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талуудыг юу гэж нэрлэдэг вэ? Энэ нь зөв, гипотенуз ба хөл: гипотенуз нь зөв өнцгийн эсрэг байрлах тал юм (бидний жишээнд энэ нь \(AC\) тал юм); хөл нь үлдсэн хоёр тал \(AB\) ба \(BC\) (зөв өнцгөөр зэргэлдээх) бөгөөд хэрэв бид хөлийг \(BC\) өнцгөөс хамааруулан авч үзвэл \(AB\) хөл болно. зэргэлдээх хөл, хөл \(BC\) эсрэг талд байна. Тэгвэл одоо өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу вэ гэсэн асуултад хариулъя.

Өнцгийн синус– энэ нь эсрэг талын (алсын) хөлний гипотенузын харьцаа юм.

Манай гурвалжинд:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Өнцгийн косинус– энэ нь зэргэлдээх (ойр) хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Манай гурвалжинд:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Өнцгийн тангенс– энэ нь эсрэг талын (алслагдсан) хажуугийн (ойр) харьцаа юм.

Манай гурвалжинд:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Өнцгийн котангенс– энэ нь зэргэлдээх (ойр) хөлийн эсрэг (хол) хөлний харьцаа юм.

Манай гурвалжинд:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Эдгээр тодорхойлолтууд зайлшгүй шаардлагатай санаж байна! Аль хөлийг юунд хуваахыг санахад хялбар болгохын тулд та үүнийг тодорхой ойлгох хэрэгтэй шүргэгчТэгээд котангенсзөвхөн хөл нь сууж, гипотенуз нь зөвхөн дотор гарч ирдэг синусТэгээд косинус. Дараа нь та холбоодын гинжин хэлхээг гаргаж ирж болно. Жишээлбэл, энэ нь:

Косинус→хүрэх→хүргэх→зэргэлдээ;

Котангенс → мэдрэгч → зэргэлдээ.

Юуны өмнө гурвалжны талуудын харьцаа нь эдгээр талуудын уртаас (ижил өнцгөөр) хамаардаггүй тул синус, косинус, тангенс, котангенс гэдгийг санах хэрэгтэй. Итгэхгүй байна? Дараа нь зургийг харж байгаа эсэхийг шалгаарай:

Жишээ нь, өнцгийн косинусыг авч үзье \(\бета \) . Тодорхойлолтоор \(ABC\) гурвалжингаас: \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), гэхдээ бид \(AHI \) гурвалжнаас \(\бета \) өнцгийн косинусыг тооцоолж болно: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Та харж байна уу, талуудын урт нь өөр боловч нэг өнцгийн косинусын утга ижил байна. Тиймээс синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгууд нь зөвхөн өнцгийн хэмжээнээс хамаарна.

Хэрэв та тодорхойлолтыг ойлгож байгаа бол үргэлжлүүлээд нэгтгэж үзээрэй!

Доорх зурагт үзүүлсэн \(ABC \) гурвалжны хувьд бид олно \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\эхлэх(массив)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\төгс(массив) \)

За, чи авсан уу? Дараа нь өөрөө оролдоод үзээрэй: \(\бета \) өнцгийн хувьд ижил тооцоолоорой.

Хариултууд: \(\sin \ \бета =0.6;\ \cos \ \бета =0.8;\ tg\ \бета =0.75;\ ctg\ \бета =\dfrac(4)(3) \).

Нэгж (тригонометрийн) тойрог

Зэрэг ба радиануудын тухай ойлголтыг бид \(1\) -тэй тэнцүү радиустай тойргийг авч үзсэн. Ийм тойрог гэж нэрлэдэг ганц бие. Энэ нь тригонометрийг судлахад маш их хэрэг болно. Тиймээс үүнийг бага зэрэг нарийвчлан авч үзье.

Таны харж байгаагаар энэ тойрог нь декартын координатын системд баригдсан. Тойргийн радиус нэгтэй тэнцүү байхад тойргийн төв нь координатын эхэнд байрладаг бол радиус векторын анхны байрлал нь \(x\) тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн дагуу тогтмол байна (бидний жишээнд энэ радиус нь \(AB\)).

Тойрог дээрх цэг бүр нь \(x\) тэнхлэгийн дагуух координат ба \(y\) тэнхлэгийн дагуух координат гэсэн хоёр тоотой тохирч байна. Эдгээр координатын тоо юу вэ? Тэгээд ер нь тэд яригдаж байгаа сэдэвтэй ямар холбоотой вэ? Үүнийг хийхийн тулд бид зөв гурвалжны талаар санаж байх хэрэгтэй. Дээрх зураг дээр та бүхэл бүтэн хоёр гурвалжинг харж болно. \(ACG\) гурвалжинг авч үзье. \(CG\) нь \(x\) тэнхлэгт перпендикуляр тул тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.

\(ACG \) гурвалжингаас \(\cos \ \alpha \) гэж юу вэ? Яг зөв \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Нэмж хэлэхэд, \(AC\) нь нэгж тойргийн радиус бөгөөд \(AC=1\) гэсэн утгатай гэдгийг бид мэднэ. Энэ утгыг косинусын томъёонд орлуулъя. Энд юу болох вэ:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

\(ACG \) гурвалжны \(\sin \ \alpha \) нь хэдтэй тэнцүү вэ? За, мэдээжийн хэрэг, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Энэ томьёонд \(AC\) радиусын утгыг орлуулаад дараахийг авна.

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Тэгэхээр тойрогт хамаарах \(С\) цэг ямар координаттай болохыг хэлж чадах уу? За яахав дээ? \(\cos \ \alpha \) болон \(\sin \alpha \) нь зүгээр л тоо гэдгийг ойлговол яах вэ? \(\cos \alpha \) ямар координаттай тохирч байна вэ? За, мэдээжийн хэрэг, координат \(x\)! \(\sin \alpha \) ямар координаттай тохирч байна вэ? Энэ нь зөв, координат \(y\)! Тэгэхээр гол нь \(C(x;y)=C(\cos \alpha;\sin \alpha) \).

Тэгвэл \(tg \alpha \) ба \(ctg \alpha \) хэдтэй тэнцүү вэ? Тийм ээ, шүргэгч ба котангенсийн харгалзах тодорхойлолтыг ашиглаад үүнийг олж авцгаая \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), А \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Хэрэв өнцөг нь том бол яах вэ? Жишээлбэл, энэ зурган дээрх шиг:

Юу өөрчлөгдсөн бэ энэ жишээнд? Үүнийг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд дахин тэгш өнцөгт гурвалжин руу эргэцгээе. Тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : өнцөг (өнцөгтэй зэргэлдээх \(\бета \) ). Өнцгийн хувьд синус, косинус, тангенс, котангенсийн утга хэд вэ \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\бета \ \)? Энэ нь зөв, бид тригонометрийн функцүүдийн холбогдох тодорхойлолтыг дагаж мөрддөг.

\(\begin(массив)(l)\sin \өнцөг ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\өнцөг ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\өнцөг ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(массив) \)

Таны харж байгаагаар өнцгийн синусын утга нь координаттай тохирч байна \(y\) ; өнцгийн косинусын утга - координат \(x\) ; ба шүргэгч ба котангенсын утгуудыг харгалзах харьцаатай харьцуулна. Тиймээс эдгээр харилцаа нь радиус векторын аль ч эргэлтэнд хамаарна.

Радиус векторын анхны байрлал нь \(x\) тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн дагуу байна гэж аль хэдийн дурдсан. Одоогоор бид энэ векторыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлсэн боловч цагийн зүүний дагуу эргүүлбэл юу болох вэ? Ер бусын зүйл байхгүй, та тодорхой утгын өнцгийг авах болно, гэхдээ зөвхөн сөрөг байх болно. Тиймээс радиус векторыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлэх үед бид олж авна эерэг өнцөг, мөн цагийн зүүний дагуу эргэх үед - сөрөг.

Тиймээс бид тойргийн эргэн тойрон дахь радиус векторын бүхэл бүтэн эргэлт нь \(360()^\circ \) эсвэл \(2\pi \) гэдгийг бид мэднэ. Радиус векторыг \(390()^\circ \) эсвэл \(-1140()^\circ \)-ээр эргүүлэх боломжтой юу? За, мэдээжийн хэрэг та чадна! Эхний тохиолдолд, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), ингэснээр радиус вектор нэг бүтэн эргэлт хийж \(30()^\circ \) эсвэл \(\dfrac(\pi )(6) \) байрлалд зогсоно.

Хоёр дахь тохиолдолд, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), өөрөөр хэлбэл радиус вектор гурван бүтэн эргэлт хийж \(-60()^\circ \) эсвэл \(-\dfrac(\pi )(3) \) байрлалд зогсоно.

Тиймээс, дээрх жишээнүүдээс бид дүгнэж болно: өнцөг нь \(360()^\circ \cdot m \) эсвэл \(2\pi \cdot m \) (энд \(m \) нь дурын бүхэл тоо), радиус векторын ижил байрлалд тохирно.

Доорх зураг нь өнцгийг харуулж байна \(\бета =-60()^\circ \) . Ижил зураг нь булантай тохирч байна \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)гэх мэт. Энэ жагсаалтыг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлж болно. Эдгээр бүх өнцгийг ерөнхий томъёогоор бичиж болно \(\бета +360()^\circ \cdot m\)эсвэл \(\бета +2\pi \cdot m \) (энд \(m \) нь дурын бүхэл тоо)

\(\эхлэх(массив)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(массив) \)

Одоо үндсэн тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтыг мэдэж, нэгж тойргийг ашиглан утгууд нь юу вэ гэдэгт хариулахыг хичээ.

\(\begin(массив)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\текст (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(массив) \)

Энд танд туслах нэгж тойрог байна:

Хэцүү байна уу? Дараа нь ойлгоцгооё. Тиймээс бид үүнийг мэднэ:

\(\эхлэх(массив)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\төгсгөл(массив)\)

Эндээс бид тодорхой өнцгийн хэмжигдэхүүнд тохирох цэгүүдийн координатыг тодорхойлно. За, дарааллаар нь эхэлцгээе: булан дахь булан \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)\(\left(0;1 \right) \) координаттай цэгтэй тохирч байгаа тул:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Баруун сум \text(tg)\ 90()^\circ \)- байдаггүй;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Цаашилбал, ижил логикийг баримталснаар бид булангууд дотор байгааг олж мэдэв \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )координаттай цэгүүдэд тохирно \(\left(-1;0 \баруун),\text( )\left(0;-1 \баруун),\text( )\left(1;0 \баруун),\text( )\left(0 ;1 \баруун) \), тус тус. Үүнийг мэдсэнээр тригонометрийн функцүүдийн утгыг харгалзах цэгүүдэд тодорхойлоход хялбар байдаг. Эхлээд өөрөө туршаад дараа нь хариултуудыг шалгаарай.

Хариултууд:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \\pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \\pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Баруун сум \text(ctg)\ \pi \)- байдаггүй

\(\нүгэл \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Баруун сум \text(tg)\ 270()^\circ \)- байдаггүй

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Баруун сум \text(ctg)\ 2\pi \)- байдаггүй

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \баруун)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Баруун сум \text(tg)\ 450()^\circ \)- байдаггүй

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \баруун)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Тиймээс бид дараах хүснэгтийг хийж болно.

Энэ бүх үнэт зүйлсийг санах шаардлагагүй. Нэгж тойрог дээрх цэгүүдийн координат ба тригонометрийн функцүүдийн утгуудын хоорондын захидал харилцааг санахад хангалттай.

\(\зүүн. \begin(массив)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(массив) \баруун\)\ \text(Та үүнийг санаж эсвэл харуулах боломжтой байх ёстой!! \) !}

Гэхдээ өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн утгууд ба \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)Доорх хүснэгтэд өгөгдсөн бол та санаж байх ёстой:

Бүү ай, одоо бид танд тохирох утгуудыг маш энгийн цээжлэх нэг жишээг үзүүлэх болно.

Энэ аргыг ашиглахын тулд өнцгийн гурван хэмжүүрийн синусын утгыг санах нь чухал юм. \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), түүнчлэн \(30()^\circ \) дахь өнцгийн тангенсийн утга. Эдгээр \(4\) утгыг мэдсэнээр хүснэгтийг бүхэлд нь сэргээхэд маш энгийн байдаг - косинусын утгыг сумны дагуу шилжүүлдэг, өөрөөр хэлбэл:

\(\begin(массив)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \төгсгөл(массив) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), үүнийг мэдсэнээр та утгыг сэргээх боломжтой \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). "\(1 \)" тоологч нь \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \)-д, харин "\(\sqrt(\text(3)) \)"-д тохирох болно. \(\текст (tg)\ 60()^\circ \ \) . Котангентын утгыг зурагт заасан сумны дагуу шилжүүлнэ. Хэрэв та үүнийг ойлгож, сумтай диаграммыг санаж байвал хүснэгтээс зөвхөн \(4\) утгыг санахад хангалттай.

Тойрог дээрх цэгийн координатууд

Тойргийн төвийн координат, түүний радиус, эргэлтийн өнцгийг мэдэж, тойрог дээрх цэгийг (түүний координатыг) олох боломжтой юу? За, мэдээжийн хэрэг та чадна! Цэгийн координатыг олох ерөнхий томьёог гаргая. Жишээлбэл, бидний өмнө тойрог байна:

Тэр оноог бидэнд өгсөн \(K(((x)_(0));((y)_(0)=K(3;2) \)- тойргийн төв. Тойргийн радиус нь \(1.5\) . \(O\) цэгийг \(\дельта \) градусаар эргүүлснээр олж авсан \(P\) цэгийн координатыг олох шаардлагатай.

Зургаас харахад \(P\) цэгийн координат \(x\) нь сегментийн урттай тохирч байна \(TP=UQ=UK+KQ\) . \(UK\) сегментийн урт нь тойргийн төвийн координат \(x\)-тай тохирч, өөрөөр хэлбэл \(3\) -тэй тэнцүү байна. \(KQ\) сегментийн уртыг косинусын тодорхойлолтыг ашиглан илэрхийлж болно.

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Дараа нь бид \(P\) цэгийн координатыг авна \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

Үүнтэй ижил логикийг ашиглан \(P\) цэгийн у координатын утгыг олно. Тиймээс,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

Тэгэхээр, in ерөнхий үзэлЦэгүүдийн координатыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

\(\begin(массив)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \төгсгөл(массив) \), Хаана

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - тойргийн төвийн координат,

\(r\) - тойргийн радиус,

\(\delta \) - векторын радиусын эргэлтийн өнцөг.

Таны харж байгаагаар бидний авч үзэж буй нэгж тойргийн хувьд төвийн координат нь тэг, радиус нь нэгтэй тэнцүү тул эдгээр томьёо нь мэдэгдэхүйц буурсан байна.

\(\begin(массив)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(массив) \)

Таны хөтөч дээр Javascript идэвхгүй байна.
Тооцоолол хийхийн тулд та ActiveX хяналтыг идэвхжүүлэх ёстой!