Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн тангенс гэж юу вэ. Зөв гурвалжин

Би чамайг үүнээс илүү ихийг хүртэх ёстой гэж бодож байна. Энд миний тригонометрийн түлхүүр байна:

• Бөмбөг, хана, таазыг зур
• Тригонометрийн функцууд нь эдгээр гурван хэлбэрийн хувь хэмжээнээс өөр зүйл биш юм.

Синус ба косинусын зүйрлэл: бөмбөгөр

Гурвалжныг зүгээр л харахын оронд бодит амьдралаас тодорхой жишээ олж, тэдгээрийг ажиллаж байгаагаар төсөөл.

Та бөмбөрцгийн голд байгаа бөгөөд кино проекторын дэлгэцийг өлгөхийг хүсч байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Бөмбөг рүү хуруугаа ямар нэгэн "x" өнцгөөр чиглүүлэх бөгөөд тэр цэгээс дэлгэц өлгөгдсөн байх ёстой.

Таны зааж буй өнцөг нь дараахь зүйлийг тодорхойлно.

• синус(х) = син(х) = дэлгэцийн өндөр (шалнаас бөмбөгөрт холбох цэг)
• косинус(х) = cos(x) = чамаас дэлгэц хүртэлх зай (давхараар)
• гипотенуз, чамаас дэлгэцийн дээд хэсэг хүртэлх зай үргэлж ижил, бөмбөгөрийн радиустай тэнцүү

Та дэлгэцийг аль болох том болгохыг хүсч байна уу? Яг дээрээс нь өлгө.

Та дэлгэцийг өөрөөсөө аль болох хол байлгахыг хүсч байна уу? Үүнийг шулуун перпендикуляр өлгө. Энэ байрлалд дэлгэц нь тэг өндөртэй байх бөгөөд таны хүссэн хэмжээгээр хойшоо унжина.

Дэлгэцээс өндөр ба зай нь урвуу хамааралтай: дэлгэц ойртох тусам түүний өндөр өндөр байх болно.

Синус ба косинус нь хувь юм

Тригонометрийн функцууд нь синус ба косинус бол хувь хэмжээнээс өөр зүйл биш гэдгийг харамсалтай нь миний суралцсан жилүүдэд хэн ч надад тайлбарлаагүй. Тэдгээрийн утга нь +100% -аас 0-ээс -100% хүртэл, эсвэл эерэг дээд хэмжээнээс тэг хүртэл сөрөг байдаг.

Би 14 рублийн татвар төлсөн гэж бодъё. Хэр их байгааг та мэдэхгүй. Харин намайг 95 хувийн татвар төлсөн гээд хэлчихвэл зүгээр л наалдамхай юм шиг арьсаа хуулсан гэж ойлгоно.

Үнэмлэхүй өндөр гэдэг нь юу ч биш гэсэн үг. Гэхдээ хэрэв синусын утга нь 0.95 бол зурагт таны бөмбөгөр дээр бараг өлгөөтэй байна гэж би ойлгож байна. Тун удалгүй энэ нь бөмбөгөрийн төв хэсэгт хамгийн дээд өндөрт хүрч, дараа нь дахин буурч эхэлнэ.

Бид энэ хувийг хэрхэн тооцоолох вэ? Маш энгийн: одоогийн дэлгэцийн өндрийг боломжит дээд хэмжээнд хуваана (бөмбөгний радиусыг гипотенуз гэж нэрлэдэг).

Тийм ч учраасБидэнд "косинус = эсрэг талын хөл / гипотенуз" гэж хэлсэн. Энэ бүхэн хувь авахын тулд юм! Синусыг тодорхойлох хамгийн сайн арга бол "боломжтой өндөрөөс одоогийн өндрийн хувь" юм. (Хэрэв таны өнцөг "газар доогуур" чиглэж байвал синус сөрөг болно. Хэрэв өнцөг нь таны ард байгаа бөмбөгөр рүү чиглэж байвал косинус сөрөг болно.)

Нэгж тойргийн төвд (радиус = 1) байна гэж үзээд тооцооллыг хялбаршуулъя. Бид хуваалтыг алгасаад өндөртэй тэнцүү синусыг авч болно.

Тойрог бүр нь дан, томруулсан эсвэл хүссэн хэмжээгээр нь багасгасан хэмжээтэй байдаг. Тиймээс нэгж тойрог дээрх хамаарлыг тодорхойлж, үр дүнг өөрийн тойргийн хэмжээнд хэрэглээрэй.

Туршилт: дурын буланг аваад өндрөөс өргөний хэдэн хувийг харуулж байгааг харна уу:

Синусын утгын өсөлтийн график нь зүгээр нэг шулуун шугам биш юм. Эхний 45 градус нь өндрийн 70%, сүүлийн 10 градус (80 ° -аас 90 ° хүртэл) зөвхөн 2% -ийг эзэлдэг.

Энэ нь танд илүү ойлгомжтой байх болно: хэрэв та тойрог замаар явбал 0 ° -д та бараг босоо тэнхлэгт өсдөг, гэхдээ та бөмбөгөр орой руу ойртох тусам өндөр нь бага, бага өөрчлөгддөг.

Тангенс ба секант. Хана

Нэгэн өдөр хөрш нь хана босгожээ баруун хойшоотаны бөмбөгөр рүү. Таны цонхны үзэмж, сайн дахин худалдах үнэ уйлж байна!

Гэхдээ ийм нөхцөлд ямар нэгэн байдлаар ялах боломжтой юу?

Мэдээж хэрэг тийм. Хэрвээ бид хөршийнхөө ханан дээр киноны дэлгэц өлгөвөл яах вэ? Та буланд (x) онилж, дараахь зүйлийг авна.

• tan(x) = tan(x) = ханан дээрх дэлгэцийн өндөр
• чамаас хана хүртэлх зай: 1 (энэ бол таны бөмбөгөрийн радиус, хана чамаас хаашаа ч хөдөлдөггүй, тийм үү?)
• secant(x) = sec(x) = "шатны урт" та бөмбөгөнгийн голд зогсохоос дүүжин дэлгэцийн орой хүртэл

Тангенс буюу дэлгэцийн өндрийн талаар хэд хэдэн зүйлийг тодруулъя.

• Энэ нь 0-ээс эхэлдэг бөгөөд хязгааргүй өндөрт хүрч болно. Та дуртай киногоо үзэхийн тулд дэлгэцийг ханан дээр улам өндөрт сунгаж болно! (Ийм асар том зүйлийн хувьд мэдээжийн хэрэг та маш их мөнгө зарцуулах хэрэгтэй болно).
• Тангенс бол синусын томруулсан хувилбар юм! Бөмбөгний орой руу шилжихэд синусын өсөлт удааширч байхад шүргэгч өссөөр байна!

Секансуд бас онгирох зүйл бий:

• секант 1-ээс эхэлж (шат шалан дээр, чамаас хол, хана руу чиглэн) тэндээс дээш гарч эхэлнэ.
• Секант нь шүргэгчээс үргэлж урт байдаг. Таны дэлгэцээ өлгөх налуу шат нь дэлгэцээсээ урт байх ёстой, тийм үү? (Бодит бус хэмжээтэй, дэлгэц нь маш урт, шатыг бараг босоо байдлаар байрлуулах шаардлагатай үед тэдгээрийн хэмжээ бараг ижил байдаг. Гэхдээ тэр ч байтугай секант нь арай урт байх болно).

Үнэт зүйлс гэдгийг санаарай хувь. Хэрэв та дэлгэцийг 50 градусын өнцгөөр өлгөхөөр шийдсэн бол tan(50)=1.19. Таны дэлгэц нь хана хүртэлх зайнаас 19%-иар том байна (бөмбөрцгийн радиус).

(x=0 гэж оруулаад зөн совингоо шалгаарай - tan(0) = 0, sec(0) = 1.)

Котангенс ба косекант. Тааз

Гайхалтай нь, хөрш чинь одоо таны бөмбөгөр дээр тааз барихаар шийдсэн. (Түүнд юу тохиолдоо вэ? Хашаандаа нүцгэн явж байхад нь тэр чамайг харахыг хүсэхгүй байгаа бололтой...)

За, дээвэр дээр гарах гарц барьж, хөрштэйгээ ярилцах цаг болжээ. Та налуу өнцгийг сонгоод барьж эхэлнэ.

• дээврийн гарц ба шалны хоорондох босоо зай нь үргэлж 1 (бөмбөгний радиус)
• котангенс(x) = cot(x) = бөмбөгөр орой ба гарах цэгийн хоорондох зай
• cosekant(x) = csc(x) = дээвэр хүрэх замын урт

Тангенс ба секант нь ханыг дүрсэлдэг бол котангенс ба косекант нь шалыг дүрсэлдэг.

Энэ удаагийн бидний зөн совингийн дүгнэлт өмнөхтэй төстэй байна:

• Хэрэв та 0 ° өнцгийг авбал дээвэр рүү гарах гарц нь таазанд хэзээ ч хүрэхгүй тул үүрд үргэлжлэх болно. Асуудал.
• Хэрэв та шалан дээр 90 градусын өнцгөөр барьсан бол дээвэр рүү хүрэх хамгийн богино "шат" болно. Котангенс нь 0-тэй тэнцүү байх болно (бид дээврийн дагуу огт хөдөлдөггүй, бид хатуу перпендикуляраар гардаг), косекант нь 1-тэй тэнцүү байх болно (шатны урт нь хамгийн бага байх болно).

Холболтуудыг дүрслэн харуулах

Гурван тохиолдлыг бөмбөгөр хана-шалны хослолоор зурсан бол дараахь зүйлийг авна.

За, хөөх, энэ бүгд ижил гурвалжин, хана таазанд хүрэхийн тулд томруулсан. Бидэнд босоо талууд (синус, тангенс), хэвтээ талууд (косинус, котангенс), "гипотенус" (секант, косекант) байдаг. (Та сумнаас элемент бүр хэр хол хүрч байгааг харж болно. Косекант нь чамаас дээвэр хүртэлх нийт зай юм).

Жаахан ид шид. Бүх гурвалжин ижил тэнцүү байна:

Пифагорын теоремоос (a 2 + b 2 = c 2) бид гурвалжин бүрийн талууд хэрхэн холбогдож байгааг хардаг. Үүнээс гадна бүх гурвалжны хувьд өндөр, өргөний харьцаа ижил байх ёстой. (Зүгээр л хамгийн том гурвалжингаас жижиг гурвалжин руу буцна уу. Тийм ээ, хэмжээ нь өөрчлөгдсөн, гэхдээ талуудын харьцаа ижил хэвээр байх болно).

Гурвалжин бүрийн аль тал нь 1 (бөмбөгний радиус) болохыг мэдэж байгаа тул бид "sin/cos = tan/1" гэдгийг хялбархан тооцоолж чадна.

Би эдгээр баримтуудыг энгийн дүрслэлээр санахыг үргэлж хичээдэг байсан. Зураг дээр та эдгээр хамаарлыг тодорхой харж, хаанаас ирснийг ойлгох болно. Энэ техник нь хуурай томъёо цээжлэхээс хамаагүй дээр юм.

Бусад өнцгүүдийн талаар бүү мартаарай

Чшш... Шүргэх нь үргэлж 1-ээс бага байдаг гэж бодоод нэг график дээр гацах шаардлагагүй. Хэрэв та өнцгийг нэмэгдүүлбэл хананд хүрэхгүйгээр таазанд хүрч болно:

Пифагорын холболтууд үргэлж ажилладаг боловч харьцангуй хэмжээ нь өөр байж болно.

(Синус ба косинусын харьцаа нь бөмбөрцөг дотор байрладаг тул хамгийн бага байдаг гэдгийг та анзаарсан байх.)

Дүгнэж хэлэхэд: бид юу санах хэрэгтэй вэ?

Бидний ихэнх нь энэ нь хангалттай байх болно гэж би хэлэх болно:

• тригонометр нь тойрог, давтагдах интервал зэрэг математикийн объектуудын анатомийг тайлбарладаг
• Дом/хана/дээврийн аналоги нь янз бүрийн тригонометрийн функцүүдийн хоорондын хамаарлыг харуулдаг
• Тригонометрийн функцүүдийн үр дүн нь бидний хувилбарт хэрэглэх хувь юм.

Та 1 2 + cot 2 = csc 2 гэх мэт томъёог цээжлэх шаардлагагүй. Эдгээр нь зөвхөн бодит байдлын талаархи мэдлэгийг түүнийг ойлгох мэтээр харуулсан тэнэг туршилтуудад тохиромжтой. Бөмбөг, хана, дээвэр хэлбэрээр хагас тойрог зурж, элементүүдэд гарын үсэг зурж, бүх томъёог цаасан дээр асуух болно.

Хэрэглээ: Урвуу функцууд

Аливаа тригонометрийн функц нь өнцгийг оролт болгон авч үр дүнг хувь болгон буцаана. sin(30) = 0.5. Энэ нь 30 градусын өнцөг нь хамгийн дээд өндрийн 50% -ийг эзэлдэг гэсэн үг юм.

Урвуу тригонометрийн функцийг sin -1 эсвэл arcsin (“arxine”) гэж бичнэ. Энэ нь ихэвчлэн янз бүрийн програмчлалын хэл дээр бичигдсэн байдаг.

Хэрэв бидний өндөр нь бөмбөгөрийн өндрийн 25% бол бидний өнцөг хэд вэ?

Манай пропорцын хүснэгтээс та секантыг 1-д хуваасан харьцааг олж болно. Жишээлбэл, секант 1-ээр (гипотенузаас хэвтээ) 1-ийг косинусаар хуваасантай тэнцүү байна:

Бидний секант 3.5 байна гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. Нэгж тойргийн радиусын 350%. Энэ утга нь хананд налуу ямар өнцөгтэй тохирч байна вэ?

Хавсралт: Зарим жишээ

Уйтгартай даалгавар. "Синусыг олох" гэсэн улиг болсон үгийг "Өндөр нь хамгийн их (гипотенуз) хэдэн хувьтай тэнцэх вэ?" гэж хүндрүүлье.

Эхлээд гурвалжин эргэлдэж байгааг анзаараарай. Үүнд буруудах зүйл байхгүй. Гурвалжин нь бас өндөртэй бөгөөд зураг дээр ногоон өнгөөр ​​дүрслэгдсэн байна.

Гипотенуз хэдтэй тэнцүү вэ? Пифагорын теоремоор бид дараахь зүйлийг мэддэг.

3 2 + 4 2 = гипотенуз 2 25 = гипотенуз 2 5 = гипотенуз

Сайн байна! Синус нь гурвалжны хамгийн урт тал буюу гипотенузын өндрийн хувь юм. Бидний жишээнд синус нь 3/5 буюу 0.60 байна.

Мэдээжийн хэрэг, бид хэд хэдэн аргаар явж болно. Одоо бид синус нь 0.60 гэдгийг мэдэж байгаа бөгөөд бид зүгээр л арксинусыг олох боломжтой.

Asin(0.6)=36.9

Мөн энд өөр нэг арга байна. Гурвалжин нь "ханатай нүүр тулсан" гэдгийг анхаарна уу, тиймээс бид синусын оронд шүргэгчийг ашиглаж болно. Өндөр нь 3, хана хүртэлх зай нь 4, тиймээс шүргэгч нь ¾ буюу 75% байна. Бид нумын тангенсыг хувиараас буцаж өнцөг рүү шилжүүлэхдээ ашиглаж болно.

Тан = 3/4 = 0.75 атан(0.75) = 36.9 Жишээ нь: Та эрэг рүү сэлэх үү?

Та завинд сууж, 2 км зайд явах хангалттай түлштэй байна. Та одоо эргээс 0.25 км-ийн зайд байна. Та эрэг рүү хамгийн ихдээ ямар өнцгөөр сэлж чадах вэ, ингэснээр танд хангалттай түлш байгаа юу? Асуудлын нөхцөл дээр нэмэлт: бидэнд зөвхөн нумын косинусын утгуудын хүснэгт байна.

Бидэнд юу байгаа вэ? Эргийн шугамыг манай алдартай гурвалжинд "хана" гэж, хананд наасан "шатны урт" -ыг завиар эрэг хүртэл хамгийн их зайд (2 км) төлөөлж болно. Секант гарч ирнэ.

Эхлээд та хувь хэмжээ рүү шилжих хэрэгтэй. Бид 2 / 0.25 = 8 байна, энэ нь бид эрэг рүү (эсвэл хана руу) 8 дахин шулуун зайд сэлж чадна гэсэн үг юм.

"8-р секант гэж юу вэ?" Гэсэн асуулт гарч ирнэ. Гэхдээ бид зөвхөн нуман косинустай тул үүнд хариулт өгөх боломжгүй.

Бид секантыг косинустай харьцуулахын тулд өмнө нь үүссэн хамаарлаа ашигладаг: "sec/1 = 1/cos"

8-ын секант нь ⅛-ийн косинустай тэнцүү байна. Косинусын ⅛ өнцөг нь acos(1/8) = 82.8 байна. Энэ бол заасан хэмжээний түлштэй завин дээр бидний төлж чадах хамгийн том өнцөг юм.

Муу биш, тийм үү? Бөмбөг-хана-таазны зүйрлэлгүйгээр би олон тооны томъёолол, тооцоололд будилна. Асуудлыг дүрслэн харуулах нь шийдлийн эрэл хайгуулыг ихээхэн хялбаршуулдаг бөгөөд үүнээс гадна аль тригонометрийн функц нь эцэст нь туслах болно гэдэг нь сонирхолтой юм.

Даалгавар бүрийн хувьд ингэж бодоорой: би бөмбөрцөг (sin/cos), хана (тан/сек) эсвэл тааз (ор/csc) сонирхож байна уу?

Мөн тригонометр нь илүү тааламжтай байх болно. Танд хялбар тооцоо!

Синус нь тригонометрийн үндсэн функцүүдийн нэг бөгөөд зөвхөн геометрээр хязгаарлагдахгүй. Инженерийн тооцоолуур гэх мэт тригонометрийн функцийг тооцоолох хүснэгтүүд үргэлж бэлэн байдаггүй бөгөөд заримдаа янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд синусыг тооцоолох шаардлагатай байдаг. Ерөнхийдөө синусын тооцоолол нь зургийн ур чадвар, тригонометрийн ижил төстэй байдлын талаархи мэдлэгийг нэгтгэхэд тусална.

Захирагч, харандаа тоглоом

Энгийн даалгавар: цаасан дээр зурсан өнцгийн синусыг хэрхэн олох вэ? Шийдвэрлэхийн тулд танд ердийн захирагч, гурвалжин (эсвэл луужин) болон харандаа хэрэгтэй. Өнцгийн синусыг тооцоолох хамгийн энгийн арга бол тэгш өнцөгт гурвалжны алсын хөлийг урт тал буюу гипотенузаар хуваах явдал юм. Тиймээс эхлээд өнцгийн оройноос дурын зайд цацрагуудын аль нэгэнд перпендикуляр шугам татах замаар тэгш өнцөгт гурвалжны дүрсийн хурц өнцгийг дуусгах хэрэгтэй. Яг 90 ° өнцгийг ажиглах шаардлагатай бөгөөд үүний тулд бидэнд бичиг хэргийн гурвалжин хэрэгтэй болно.

Луужин ашиглах нь арай илүү нарийвчлалтай боловч илүү урт хугацаа шаардагдана. Цацрагийн аль нэг дээр та тодорхой зайд 2 цэгийг тэмдэглэж, луужин дээр цэгүүдийн хоорондох зайтай ойролцоо радиусыг тогтоож, эдгээр цэгүүд дээр төвүүдтэй хагас тойрог зурж, эдгээр шугамууд огтлолцох хүртэл зурах хэрэгтэй. Бидний тойргийн огтлолцлын цэгүүдийг хооронд нь холбосноор бид өнцгийн туяанд хатуу перпендикуляр авах болно, энэ нь өөр туяатай огтлолцох хүртэл шугамыг сунгахад л үлддэг.

Үүссэн гурвалжинд та булангийн эсрэг талын талыг, туяануудын аль нэг дээр урт талыг захирагчаар хэмжих хэрэгтэй. Эхний хэмжилтийн хоёр дахь хэмжилтийн харьцаа нь хурц өнцгийн синусын хүссэн утга байх болно.

90°-аас их өнцгийн синусыг ол

Мохоо өнцгийн хувьд даалгавар нь тийм ч хэцүү биш юм. Бидний сонирхож буй өнцгийн аль нэг туяатай шулуун шугам үүсгэхийн тулд захирагч ашиглан эсрэг чиглэлд оройгоос туяа зурах шаардлагатай. Үүссэн цочмог өнцгийн хувьд та дээр дурдсанчлан ажиллах ёстой, зэргэлдээ өнцгүүдийн синусууд нь хамтдаа 180 ° өнцгийг бүрдүүлдэг.

Бусад тригонометрийн функцуудаас синусыг тооцоолох

Мөн өнцгийн бусад тригонометрийн функцуудын утгууд эсвэл дор хаяж гурвалжны талуудын уртыг мэддэг бол синусыг тооцоолох боломжтой. Тригонометрийн таних тэмдэг нь үүнд тусална. Нийтлэг жишээнүүдийг авч үзье.

Өнцгийн мэдэгдэж буй косинустай синусыг хэрхэн олох вэ? Пифагорын теоремоос гаралтай анхны тригонометрийн ижил төстэй байдал нь ижил өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү гэж хэлдэг.

Өнцгийн мэдэгдэж буй тангенс бүхий синусыг хэрхэн олох вэ? Шүргэгчийг холын хөлийг ойрын хөлөөр хуваах эсвэл синусын косинусыг хуваах замаар олж авна. Тиймээс синус нь косинус ба шүргэгчийн үржвэр байх ба синусын квадрат нь энэ бүтээгдэхүүний квадрат болно. Бид квадрат косинусыг нэгдэл ба квадрат синус хоёрын зөрүүгээр эхний тригонометрийн адилтгалын дагуу орлуулж, энгийн залилангийн тусламжтайгаар шүргэгчээр дамжуулан квадрат синусыг тооцоолох тэгшитгэлийг авчирч, синусыг тооцоолохын тулд та үүнийг хийх хэрэгтэй болно. олж авсан үр дүнгээс үндсийг гаргаж авна.

Өнцгийн мэдэгдэж буй котангенс бүхий синусыг хэрхэн олох вэ? Котангенсын утгыг хөлийн өнцгөөс ойрын уртыг алсын уртад хувааж, косинусын синусыг хуваах замаар тооцоолж болно, өөрөөр хэлбэл котангенс нь тангенсийн урвуу функц юм. 1-ийн тоог харгалзан үзэх. Синусыг тооцоолохын тулд та tg α \u003d 1 / ctg α томъёог ашиглан шүргэгчийг тооцоолж, хоёр дахь хувилбарт томъёог ашиглаж болно. Та мөн шүргэгчтэй зүйрлэн шууд томъёо гаргаж болох бөгөөд энэ нь иймэрхүү харагдах болно.

Гурвалжны гурван талын синусыг хэрхэн олох вэ

Эсрэг өнцгийн косинусын тригонометрийн функцийг ашиглан мэдэгдэж буй хоёр тал өгөгдсөн тэгш өнцөгт гурвалжны бус аль ч гурвалжны үл мэдэгдэх талын уртыг олох томъёо байдаг. Тэр ийм харагдаж байна.

Эхлээд тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хэмжигдэхүүнийг тооцоолох хэрэгцээ шаардлагаас болж синус ба косинус үүссэн. Хэрэв тэгш өнцөгт гурвалжны өнцгүүдийн градусын хэмжүүрийн утга өөрчлөгдөхгүй бол эдгээр талуудын урт нь хэчнээн их өөрчлөгдсөнөөс үл хамааран талуудын харьцаа үргэлж ижил хэвээр байдгийг анзаарсан.

Ингэж синус, косинусын тухай ойлголтууд гарч ирсэн. Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн синус нь эсрэг талын хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа, косинус нь зэргэлдээх хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Косинус ба синусын теоремууд

Гэхдээ косинус ба синусыг зөвхөн тэгш өнцөгт гурвалжинд ашиглаж болохгүй. Аливаа гурвалжны хажуугийн мохоо буюу хурц өнцгийн утгыг олохын тулд косинус ба синусын теоремыг хэрэглэхэд хангалттай.

Косинусын теорем нь маш энгийн: "Гурвалжны хажуугийн квадрат нь нөгөө хоёр талын квадратуудын нийлбэрээс эдгээр талуудын хоорондох өнцгийн косинусын үржвэрийг хоёр дахин хассантай тэнцүү байна."

Синусын теоремын хоёр тайлбар байдаг: жижиг ба өргөтгөсөн. Жижиг хэлснээр: "Гурвалжинд өнцөг нь эсрэг талуудтай пропорциональ байна." Гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн шинж чанараас шалтгаалан энэ теоремыг ихэвчлэн өргөжүүлдэг: "Гурвалжинд өнцөг нь эсрэг талуудтай пропорциональ бөгөөд тэдгээрийн харьцаа нь хүрээлэгдсэн тойргийн диаметртэй тэнцүү байна."

Дериватив

Дериватив нь аргумент дахь өөрчлөлттэй холбоотойгоор функц хэр хурдан өөрчлөгдөж байгааг харуулдаг математикийн хэрэгсэл юм. Деривативыг геометр, техникийн олон салбарт ашигладаг.

Асуудлыг шийдэхдээ тригонометрийн функцүүдийн деривативуудын хүснэгтийн утгыг мэдэх хэрэгтэй: синус ба косинус. Синусын дериватив нь косинус, косинусын дериватив нь синус боловч хасах тэмдэгтэй.

Математикийн хэрэглээ

Ялангуяа синус, косинусыг тэгш өнцөгт гурвалжин, түүнтэй холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг.

Синус болон косинусын тав тухтай байдал нь технологид мөн тусгагдсан байдаг. Өнцөг болон талуудыг косинус ба синусын теоремуудыг ашиглан үнэлэхэд хялбар байсан бөгөөд нарийн төвөгтэй хэлбэр, объектыг "энгийн" гурвалжин болгон хуваасан. Инженерүүд гол төлөв талуудын харьцаа, градусын хэмжүүрийн тооцоололтой тулгардаг тул хүснэгтийн бус өнцгийн косинус ба синусыг тооцоолоход маш их цаг хугацаа, хүчин чармайлт гаргасан.

Дараа нь янз бүрийн өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангентын олон мянган утгыг агуулсан Брадисын хүснэгтүүд аврах ажилд ирэв. ЗХУ-ын үед зарим багш нар тойрогтоо Брадисын хүснэгтийн хуудсыг цээжлэхийг албаддаг байв.

Радиан - радиус буюу 57.295779513 ° градустай тэнцүү уртын дагуу нумын өнцгийн утга.

Зэрэг (геометрийн хувьд) - тойргийн 1/360 буюу тэгш өнцөгтийн 1/90.

π = 3.141592653589793238462… (pi-ийн ойролцоо утга).

Өнцгийн косинусын хүснэгт: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Тэгш өнцөгт гурвалжинг шийдэх даалгавруудыг авч үзэхэд би синус ба косинусын тодорхойлолтыг цээжлэх арга техникийг танилцуулна гэж амласан. Үүнийг ашигласнаар та аль хөл нь гипотенуз (зэргэлдээ эсвэл эсрэг) багтдаг болохыг үргэлж хурдан санах болно. Тодорхойгүй хугацаагаар хойш тавихгүй гэж шийдлээ, шаардлагатай материал доор байгаа, уншина уу 😉

10-11-р ангийн сурагчид эдгээр тодорхойлолтыг санахад хэцүү байгааг би олон удаа ажигласан. Тэд хөл нь гипотенузыг хэлдэг гэдгийг маш сайн санаж байна, гэхдээ аль нь вэ- мартах ба андуурсан. Алдааны үнэ бол шалгалтын явцад алдсан оноо юм.

Миний математикт шууд танилцуулах мэдээлэл ямар ч хамаагүй. Энэ нь дүрслэлийн сэтгэлгээ, аман-логик холболтын аргуудтай холбоотой юм. Энэ нь зөв, би өөрөө нэг удаа санаж байнатодорхойлолтын өгөгдөл. Хэрэв та тэдгээрийг мартсан хэвээр байгаа бол танилцуулсан техникүүдийн тусламжтайгаар үүнийг санах нь үргэлж хялбар байдаг.

Тэгш өнцөгт гурвалжны синус ба косинусын тодорхойлолтыг танд сануулъя.

КосинусТэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг нь зэргэлдээх хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

СинусТэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг нь эсрэг талын хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Тэгэхээр, косинус гэдэг үг таны дотор ямар холбоог төрүүлдэг вэ?

Хүн бүр өөрийн гэсэн байдаг байхХолбоосыг санаарай:

Тиймээс та тэр даруй таны ой санамжинд илэрхийлэл байх болно -

«… ЗЖЛИЙН хөл ба гипотенузын харьцаа».

Косинусын тодорхойлолттой холбоотой асуудал шийдэгдсэн.

Хэрэв та тэгш өнцөгт гурвалжин дахь синусын тодорхойлолтыг санаж байх шаардлагатай бол косинусын тодорхойлолтыг санаж байвал тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцгийн синус нь эсрэг талын хөлийн гипотенузын харьцаа гэдгийг хялбархан тогтоож чадна. Эцсийн эцэст, зөвхөн хоёр хөл байдаг, хэрэв зэргэлдээх хөл нь косинусаар "эзлэгдсэн" бол синусын хувьд зөвхөн эсрэг тал нь үлддэг.

Тангенс ба котангенсын талаар юу хэлэх вэ? Үүнтэй ижил төөрөгдөл. Оюутнууд энэ бол хөлний харьцаа гэдгийг мэддэг боловч аль нь зэргэлдээх, эсвэл эсрэгээрээ аль нь хамааралтай болохыг санах нь асуудал юм.

Тодорхойлолт:

ТангенсТэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг нь эсрэг талын хөлийг зэргэлдээхтэй харьцуулсан харьцаа юм.

КотангенсТэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг нь зэргэлдээх хөлийн эсрэг талын харьцаа юм.

Хэрхэн санах вэ? Хоёр арга бий. Нэг нь аман-логик холболтыг ашигладаг, нөгөө нь математикийн холболтыг ашигладаг.

МАТЕМАТИКИЙН АРГА

Ийм тодорхойлолт байдаг - хурц өнцгийн тангенс нь өнцгийн синусыг косинустай харьцуулсан харьцаа юм.

* Томьёог санаж, тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцгийн тангенс нь эсрэг талын хөлийг зэргэлдээхтэй харьцуулсан харьцаа гэдгийг үргэлж тодорхойлж болно.

Үүний нэгэн адил.Хурц өнцгийн котангенс нь өнцгийн косинусын синусын харьцаа юм.

Тэгэхээр! Эдгээр томъёог санаж, та үргэлж дараахь зүйлийг тодорхойлж чадна.

- тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцгийн тангенс нь эсрэг талын хөлийг зэргэлдээхтэй харьцуулсан харьцаа юм.

- тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцгийн котангенс нь зэргэлдээх хөлийг эсрэг талынхтай харьцуулсан харьцаа юм.

ҮГЭЭР-ЛОГИКИЙН АРГА

Шүргэгчийн тухай. Холбоосыг санаарай:

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв та энэ логик холболтыг ашиглан шүргэгчийн тодорхойлолтыг санах хэрэгтэй бол энэ нь юу болохыг амархан санаж чадна.

"... эсрэг талын хөлийг зэргэлдээхтэй харьцуулсан харьцаа"

Хэрэв котангенсийн тухай ярих юм бол шүргэгчийн тодорхойлолтыг санаж байвал котангенсын тодорхойлолтыг хялбархан хэлж чадна.

"... зэргэлдээх хөлийн эсрэг талын харьцаа"

Сайт дээр тангенс, котангенсыг цээжлэх сонирхолтой техник байдаг " Математикийн тандем " , хар.

УНИВЕРСАЛ АРГА

Та зүгээр л нунтаглаж болно.Гэхдээ практикээс харахад аман-логик холболтын ачаар хүн зөвхөн математик төдийгүй мэдээллийг удаан хугацаанд санаж байдаг.

Энэ материал танд хэрэгтэй байсан гэж найдаж байна.

Хүндэтгэсэн, Александр Крутицких

P.S: Хэрэв та сайтын талаар олон нийтийн сүлжээгээр хэлвэл би талархах болно.

Косинус бол алдартай тригонометрийн функц бөгөөд энэ нь мөн тригонометрийн үндсэн функцүүдийн нэг юм. Тэгш өнцөгт гурвалжны өнцгийн косинус нь гурвалжны зэргэлдээх хөлийг гурвалжны гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм. Ихэнхдээ косинусын тодорхойлолт нь яг тэгш өнцөгт хэлбэрийн гурвалжинтай холбоотой байдаг. Гэхдээ тэгш өнцөгт хэлбэрийн гурвалжин дахь косинусыг тооцоолох шаардлагатай өнцөг нь тэгш өнцөгт хэлбэрийн энэ гурвалжинд байдаггүй. Тэгээд яах вэ? Гурвалжны өнцгийн косинусыг хэрхэн олох вэ?

Хэрэв та тэгш өнцөгт гурвалжин дахь өнцгийн косинусыг тооцоолохыг хүсвэл бүх зүйл маш энгийн. Та зүгээр л косинусын тодорхойлолтыг санах хэрэгтэй бөгөөд үүнд энэ асуудлыг шийдэх шийдэл байдаг. Та зүгээр л зэргэлдээх хөл, гурвалжны гипотенузын хоорондох ижил харьцааг олох хэрэгтэй. Үнэн хэрэгтээ энд өнцгийн косинусыг илэрхийлэх нь тийм ч хэцүү биш юм. Томъёо нь дараах байдалтай байна: - cosα = a/c, энд "a" нь хөлний урт, "c" тал нь гипотенузын урт юм. Жишээлбэл, тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн косинусыг энэ томъёог ашиглан олж болно.

Хэрэв та дурын гурвалжин дахь өнцгийн косинус нь юутай тэнцүү болохыг сонирхож байгаа бол косинусын теорем нь аврах ажилд ирдэг бөгөөд үүнийг ийм тохиолдолд ашиглах ёстой. Косинусын теорем нь гурвалжны хажуугийн квадрат нь ижил гурвалжны бусад талуудын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү боловч тэдгээрийн хооронд байрлах өнцгийн косинусаар эдгээр талуудын үржвэрийг хоёр дахин тооцохгүйгээр априори гэж заасан байдаг. тэд.

1. Хэрэв та гурвалжин дахь хурц өнцгийн косинусыг олох шаардлагатай бол дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй: cosα \u003d (a 2 + b 2 - c 2) / (2ab).
2. Хэрэв гурвалжинд мохоо өнцгийн косинусыг олох шаардлагатай бол та дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй: cosα \u003d (c 2 - a 2 - b 2) / (2ab). Томъёоны тэмдэглэгээ - a ба b - хүссэн өнцгөөр зэргэлдээх талуудын урт, c нь хүссэн өнцгийн эсрэг талын урт юм.

Мөн өнцгийн косинусыг синусын теорем ашиглан тооцоолж болно. Гурвалжны бүх талууд нь эсрэг талын өнцгүүдийн синусуудтай пропорциональ гэж хэлдэг. Синусын теоремыг ашигласнаар та гурвалжны үлдсэн элементүүдийг тооцоолж, зөвхөн хоёр тал ба нэг талын эсрэг талын өнцгийг, эсвэл хоёр өнцөг ба нэг талыг мэдэж болно. Жишээ авч үзье. Асуудлын нөхцөл: a=1; b=2; c=3. "A" талын эсрэг талын өнцгийг бид - α гэж тэмдэглээд, томъёоны дагуу бид: cosα \u003d (b² + c²-a²) / (2 * b * c) \u003d (2² + 3²) -1²) / (2 * 2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Хариулт: 1.

Хэрэв өнцгийн косинусыг гурвалжинд биш, харин бусад дурын геометрийн дүрсээр тооцоолох шаардлагатай бол бүх зүйл арай илүү төвөгтэй болно. Эхлээд өнцгийн утгыг радиан эсвэл градусаар тодорхойлох ёстой бөгөөд зөвхөн дараа нь энэ утгаас косинусыг тооцоолно. Косинусыг тоон утгаараа Bradis хүснэгт, инженерийн тооцоолуур эсвэл тусгай математикийн программ ашиглан тодорхойлно.

Математикийн тусгай хэрэглээ нь өгөгдсөн зургийн өнцгийн косинусыг автоматаар тооцоолох зэрэг функцтэй байж болно. Ийм програмуудын гоо үзэсгэлэн нь тэд зөв хариулт өгдөг бөгөөд хэрэглэгч заримдаа нэлээд төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд цаг заваа зориулдаггүй. Нөгөөтэйгүүр, зөвхөн асуудал шийдвэрлэхэд зориулагдсан програмуудыг байнга ашигласнаар гурвалжны өнцгийн косинусыг олох математикийн бодлого, түүнчлэн бусад дурын тоонуудын талаархи бүх ур чадвар алдагддаг.