Вектор ба өөрөө хоорондын үржвэр. Координатаар өгөгдсөн векторуудын вектор үржвэр

Англи:Википедиа сайтыг илүү аюулгүй болгож байна. Та ирээдүйд Википедиа руу холбогдох боломжгүй хуучин вэб хөтөч ашиглаж байна. Төхөөрөмжөө шинэчлэх эсвэл мэдээллийн технологийн админтайгаа холбогдоно уу.

中文: 维基 百科 正在 使 网站 更加 安全 您 正在 使用 旧 的 浏览器 ， 在 在 将来 无法 维基百科。 更新 您 的 设备 或 联络 您 的 管理员。 提供 更 长 ， 更 具 的 的 仅 仅 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语

Испани: Wikipedia сайтад нэвтэрч болно. Wikipedia-д холбогдох вэб сайтыг ашиглах боломжгүй. Мэдээллийн администратортай холбоо барих эсвэл бодит байдлыг шалгах. Más abajo hay una actualizacion más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Франц:Википедиа болон хоёр талын аюулгүй байдлыг нэмэгдүүлэх сайт. Википедиа руу холбогчийг ашиглан вэб хөтөчийг ашиглах боломжтой. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des information supplementaires plus техник болон en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ウィキペディア で は サイト の セキュリティ を 高め て ます。 ご 利用 の ブラウザ は バージョン が 古く 、 、 ウィキペディア に 接続 でき なく なる 性 が あり。 を 更新 か 、 、 管理 管理 者 相談 ください。 技術 の 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい HIP情報は以下に英語で提供しています。

Герман:Википедиа Sicherheit der Webseite-г ашиглах боломжгүй. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator болон. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise Du unten-ийг englischer Sprache хэл дээр олжээ.

италио: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Вэб хөтчийг futuro дахь Википедиа руу холбоно уу. Хүссэн тохиолдолд та мэдээлэлтэй холбоотой эсвэл удирдах боломжтой. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico англи хэл дээр.

Мажар:Википедиа бидтонсагосаб lesz. А бөнгэсзо, амит хаснальсз, нем лесз кепес капчсолодни а жөвөбен. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (анголул).

Швед: Wikipedia gor sidan mer saker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Мэдээллийн технологийн администраторыг шинэчлэх боломжтой. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Бид таны хөтчийн программ хангамжийг манай сайтуудтай холбоход тулгуурласан TLSv1.0 болон TLSv1.1, ялангуяа TLSv1.0 болон TLSv1.1-ийн найдвартай бус TLS протоколын дэмжлэгийг устгаж байна. Энэ нь ихэвчлэн хуучирсан хөтчүүд эсвэл хуучин Android ухаалаг гар утаснуудаас болдог. Эсвэл энэ нь корпорацийн эсвэл хувийн "Вэб аюулгүй байдлын" програм хангамжийн хөндлөнгийн оролцоо байж болох бөгөөд энэ нь холболтын аюулгүй байдлын түвшинг бууруулдаг.

Та манай сайтад нэвтрэхийн тулд вэб хөтчөө шинэчлэх эсвэл энэ асуудлыг засах ёстой. Энэ зурвас 2020 оны 1-р сарын 1 хүртэл үргэлжилнэ. Энэ өдрөөс хойш таны хөтөч манай серверүүдтэй холбогдох боломжгүй болно.

Тодорхойлолт. a (үржүүлэгч) векторын векторын (үржүүлэгч) вектортой зөрчилддөггүй вектор үржвэр нь гурав дахь вектор в (бүтээгдэхүүн) бөгөөд дараах байдлаар бүтээгдэнэ.

1) түүний модуль нь зураг дээрх параллелограммын талбайтай тоон хувьд тэнцүү байна. 155), векторууд дээр баригдсан, өөрөөр хэлбэл, дурдсан параллелограммын хавтгайд перпендикуляр чиглэлтэй тэнцүү байна;

3) энэ тохиолдолд в векторын чиглэлийг (хоёр боломжит хувилбараас) сонгосон бөгөөд векторууд нь баруун гартай систем үүсгэдэг (§ 110).

Тэмдэглэл: эсвэл

Тодорхойлолтын нэмэлт. Хэрэв векторууд хоорондоо уялдаатай байвал уг зургийг (нөхцөлт) параллелограмм гэж үзвэл тэг талбайг өгөх нь зүйн хэрэг. Тийм ч учраас вектор бүтээгдэхүүнколлинеар векторуудыг тэг вектортой тэнцүү гэж үзнэ.

Тэг вектор ямар ч чиглэл өгч болох тул энэхүү конвенци нь тодорхойлолтын 2 ба 3-р зүйлтэй зөрчилдөхгүй.

Тайлбар 1. "Вектор үржвэр" гэсэн нэр томьёоны эхний үг нь үйлдлийн үр дүн нь вектор болохыг илтгэнэ (скаляр үржвэрийн эсрэг; § 104, тайлбар 1).

Жишээ 1. Зөв координатын системийн гол векторууд байрлах вектор үржвэрийг ол (Зураг 156).

1. Үндсэн векторуудын урт нь масштабын нэгжтэй тэнцүү тул параллелограммын талбай (квадрат) тоон хувьд нэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс вектор үржвэрийн модуль нэгтэй тэнцүү байна.

2. Хавтгайд перпендикуляр нь тэнхлэг тул хүссэн вектор үржвэр нь k вектортой коллинеар вектор болно; аль аль нь модуль 1-тэй тул шаардлагатай хөндлөн үржвэр нь k эсвэл -k байна.

3. Энэ хоёр боломжит векторуудаас эхнийхийг нь сонгох ёстой, учир нь k векторууд нь зөв системийг (мөн векторууд нь зүүнийг үүсгэдэг).

Жишээ 2. Хөндлөн үржвэрийг ол

Шийдэл. 1-р жишээн дээр бид вектор нь k эсвэл -k байна гэж дүгнэж байна. Харин одоо векторууд нь зөв системийг (мөн векторууд зүүнийг бүрдүүлдэг) тул -k-г сонгох хэрэгтэй. Тэгэхээр,

Жишээ 3 Векторууд нь тус тус 80 ба 50 см урттай бөгөөд 30 ° өнцгийг үүсгэдэг. Метрийг уртын нэгж болгон авч вектор үржвэрийн уртыг ол

Шийдэл. Векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбай нь тэнцүү байна Хүссэн вектор бүтээгдэхүүний урт нь тэнцүү байна

Жишээ 4. Сантиметрийг уртын нэгж болгон авч ижил векторуудын хөндлөн үржвэрийн уртыг ол.

Шийдэл. Векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбай нь вектор бүтээгдэхүүний урттай тэнцүү тул 2000 см, өөрөөр хэлбэл.

3 ба 4-р жишээнүүдийн харьцуулалтаас харахад векторын урт нь зөвхөн хүчин зүйлсийн уртаас гадна уртын нэгжийн сонголтоос хамаарна.

Вектор бүтээгдэхүүний физик утга.Вектор үржвэрээр илэрхийлэгдсэн олон физик хэмжигдэхүүнүүдээс бид зөвхөн хүчний моментийг авч үзэх болно.

Хүчний хэрэглээний цэгийг А гэж үзье.О цэгтэй харьцах хүчний моментийг вектор үржвэр гэж нэрлэдэг.Энэ вектор үржвэрийн модуль нь параллелограммын талбайтай тоон хувьд тэнцүү байна (Зураг 157), моментийн модуль нь суурийн үржвэрийн өндөртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл хүч нь О цэгээс хүч үйлчлэх шулуун шугам хүртэлх зайгаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

Механикийн хувьд хатуу биетийн тэнцвэрт байдлыг хангахын тулд зөвхөн биед үйлчлэх хүчийг төлөөлөх векторуудын нийлбэр төдийгүй хүчний моментуудын нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай гэдгийг баталсан. Бүх хүчнүүд нэг хавтгайд параллель байх тохиолдолд моментуудыг төлөөлсөн векторуудын нэмэлтийг тэдгээрийн модулиудын нэмэх, хасах замаар сольж болно. Гэхдээ дур зоргоороо хүчний чиглэлийн хувьд ийм солих боломжгүй юм. Үүний дагуу хөндлөн үржвэрийг тоогоор биш харин вектороор нарийн тодорхойлдог.

The онлайн тооцоолуурвекторуудын хөндлөн үржвэрийг тооцоолно. Нарийвчилсан шийдлийг өгсөн болно. Векторуудын хөндлөн үржвэрийг тооцоолохын тулд нүднүүдэд векторуудын координатыг оруулаад "Тооцоолох" дээр дарна уу.

×

Анхааруулга

Бүх нүдийг арилгах уу?

Цэвэр хаах

Өгөгдөл оруулах заавар.Тоонуудыг бүхэл тоо (жишээ нь: 487, 5, -7623 гэх мэт), аравтын тоо (жишээ нь. 67., 102.54 гэх мэт) эсвэл бутархай хэлбэрээр оруулна. Бутархайг a/b хэлбэрээр бичих ёстой бөгөөд энд a ба b (b>0) нь бүхэл буюу аравтын тоо юм. Жишээ 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 гэх мэт.

Векторуудын хөндлөн үржвэр

Векторуудын вектор бүтээгдэхүүний тодорхойлолтыг үргэлжлүүлэхийн өмнө ойлголтуудыг авч үзье дараалсан гурвалсан вектор, векторын зүүн гурав, векторын баруун гурав.

Тодорхойлолт 1. Гурван векторыг нэрлэдэг гурав дахин захиалсан(эсвэл гурвалсан) эдгээр векторуудын аль нь эхнийх, аль нь хоёр дахь, аль нь гурав дахь нь болохыг заасан бол.

Бичлэг хийж байна cba- эхнийх нь вектор гэсэн үг в, хоёр дахь нь вектор юм бгурав дахь нь вектор юм а.

Тодорхойлолт 2. Хавсарсан бус векторуудын гурвалсан хэсэг abcХэрэв нийтлэг эхлэл болгон бууруулвал эдгээр векторууд нь том, нугараагүй индекс болон дунд хуруубаруун (зүүн) гар.

2-р тодорхойлолтыг өөр аргаар томъёолж болно.

Тодорхойлолт 2. Хавсарсан бус векторуудын гурвалсан хэсэг abcХэрэв нийтлэг гарал үүсэлтэй болвол векторыг баруун (зүүн) гэж нэрлэдэг ввекторуудаар тодорхойлогдсон хавтгайн нөгөө талд байрлана аТэгээд б, хаанаас хамгийн богино эргэлт аруу бцагийн зүүний эсрэг (цагийн зүүний дагуу) гүйцэтгэнэ.

Вектор гурвал abcЗурагт үзүүлэв. 1 нь зөв ба гурвалсан abcЗурагт үзүүлэв. 2 үлдсэн.

Хэрэв хоёр гурвалсан вектор баруун эсвэл зүүн байвал тэдгээрийг ижил чиг баримжаатай гэж үзнэ. Үгүй бол эсрэг чиглэлтэй гэж ярьдаг.

Тодорхойлолт 3. Гурван суурь вектор нь баруун (зүүн) гурвалсан бол декарт буюу аффин координатын системийг баруун (зүүн) гэж нэрлэдэг.

Тодорхой байхын тулд бид зөвхөн баруун гарын координатын системийг авч үзэх болно.

Тодорхойлолт 4. вектор урлагвектор авектор бүрт бвектор гэж нэрлэдэг -тай, тэмдгээр тэмдэглэнэ c=[ab] (эсвэл c=[а,б], эсвэл c=a×b) ба дараах гурван шаардлагыг хангасан байна.

• вектор урт -тайвекторуудын уртын үржвэртэй тэнцүү байна аТэгээд бөнцгийн синус хүртэл φ тэдний хооронд:

|в|=|[ab]|=|а||б|sinφ;

(1)

• вектор -тайвектор тус бүрт ортогональ байна аТэгээд б;
• вектор вчиглүүлсэн тул гурвын abcзөв.

Векторуудын хөндлөн үржвэр нь дараахь шинж чанартай байдаг.

• [ab]=−[ба] (эсрэг тэсрэгхүчин зүйлүүд);
• [(λa)б]=λ [ab] (нийцтэй байдалтоон хүчин зүйлтэй харьцуулахад);
• [(a+b)в]=[ав]+[бв] (хуваарилалтвекторуудын нийлбэртэй харьцуулахад);
• [аадурын векторын хувьд ]=0 а.

Векторуудын хөндлөн үржвэрийн геометрийн шинж чанарууд

Теорем 1. Хоёр вектор коллинеар байхын тулд тэдгээрийн вектор үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Баталгаа. Хэрэгцээ. Векторуудыг оруулъя аТэгээд б collinear. Дараа нь тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь 0 эсвэл 180 ° ба sinφ=гэм 180=нүгэл 0=0. Тиймээс (1) илэрхийллийг харгалзан векторын урт втэгтэй тэнцүү. Дараа нь втэг вектор.

Хангалттай байдал. Векторуудын хөндлөн үржвэрийг үзье аТэгээд бтэг рүү шилжих: [ ab]=0. Векторууд гэдгийг баталцгаая аТэгээд б collinear. Хэрэв векторуудын дор хаяж нэг нь байвал аТэгээд бтэг бол эдгээр векторууд коллинеар байна (учир нь тэг вектор нь тодорхой бус чиглэлтэй бөгөөд дурын вектортой коллинеар гэж үзэж болно).

Хэрэв хоёр вектор байвал аТэгээд бтэг биш, дараа нь | а|>0, |б|>0. Дараа нь [-аас ab]=0 ба (1)-ээс дараах нь гарна sinφ=0. Тиймээс векторууд аТэгээд б collinear.

Теорем нь батлагдсан.

Теорем 2. Вектор үржвэрийн урт (модуль) [ ab] талбайтай тэнцүү байна Снийтлэг гарал үүсэл болгон бууруулсан векторууд дээр баригдсан параллелограмм аТэгээд б.

Баталгаа. Таны мэдэж байгаагаар параллелограммын талбай нь энэ параллелограммын зэргэлдээ талуудын үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синустай тэнцүү байна. Тиймээс:

Дараа нь эдгээр векторуудын хөндлөн үржвэр нь дараах хэлбэртэй байна.

Тодорхойлогчийг эхний эгнээний элементүүд дээр өргөжүүлснээр бид векторын задралыг олж авна a×bсуурь i, j, k, энэ нь томъёо (3)-тай тэнцүү байна.

Теоремын баталгаа 3. Бүх боломжит хос суурь векторуудыг зохио i, j, kтэдгээрийн вектор үржвэрийг тооцоолох. Суурь векторууд нь харилцан ортогональ, зөв ​​гурвалсан, нэгж урттай (өөрөөр хэлбэл, бид үүнийг гэж үзэж болно) гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. би={1, 0, 0}, j={0, 1, 0}, к=(0, 0, 1)). Дараа нь бидэнд байна:

Сүүлийн тэгш байдал ба харилцаанаас (4) бид дараахь зүйлийг олж авна.

Эхний эгнээ нь суурь векторууд болох 3×3 матрицыг зохио би, ж, к,үлдсэн мөрүүд нь векторын элементүүдээр дүүрсэн байна аТэгээд б.

Вектор бүтээгдэхүүний тухай ойлголтыг өгөхийн өмнө гурван хэмжээст орон зайд a → , b → , c → векторуудын дараалсан гурвалсан чиг баримжаа олгох тухай асуулт руу орцгооё.

Эхлэхийн тулд a → , b → , c → векторуудыг нэг цэгээс хойш тавья. a → , b → , c → гурвалсан чиглэлийн чиглэл нь в → векторын чиглэлээс хамаарч баруун эсвэл зүүн байна. c → векторын төгсгөлөөс a → b → вектороос хамгийн богино эргэлт хийх чиглэлээс a → , b → , c → гурвалсан хэлбэрийг тодорхойлно.

Хэрэв хамгийн богино эргэлт нь цагийн зүүний эсрэг байвал a → , b → , c → векторуудын гурвалсан хэсгийг гэнэ. зөвцагийн зүүний дагуу бол - зүүн.

Дараа нь a → ба b → коллинеар бус хоёр векторыг авна. Дараа нь A цэгээс A B → = a → ба A C → = b → векторуудыг хойшлуулъя. A B → болон A C → аль алинд нь нэгэн зэрэг перпендикуляр байх A D → = c → векторыг байгуулъя. Тиймээс, A D → = c → векторыг байгуулахдаа бид хоёр зүйлийг хийж, түүнд нэг чиглэл эсвэл эсрэг чиглэл өгөх боломжтой (зураг харна уу).

a → , b → , c → векторуудын эрэмбэлэгдсэн гурвал нь бидний олж мэдсэнээр векторын чиглэлээс хамаарч баруун эсвэл зүүн байж болно.

Дээрхээс бид вектор бүтээгдэхүүний тодорхойлолтыг танилцуулж болно. Энэ тодорхойлолтгурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд тодорхойлсон хоёр векторын хувьд өгөгдсөн.

Тодорхойлолт 1

a → ба b → хоёр векторын вектор үржвэр Гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд өгөгдсөн ийм векторыг бид дараах байдлаар нэрлэх болно.

• a → ба b → векторууд нь коллинеар байвал тэг болно;
• a →​​ вектор ба b вектор → i.e. вектор хоёуланд нь перпендикуляр байх болно. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• түүний уртыг дараах томъёогоор тодорхойлно: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• a → , b → , c → векторуудын гурвалсан координатын системтэй ижил чиглэлтэй байна.

a → ба b → векторуудын хөндлөн үржвэр нь дараах тэмдэглэгээтэй байна: a → × b → .

Бүтээгдэхүүний хоорондын координат

Аливаа вектор координатын системд тодорхой координаттай байдаг тул векторын бүтээгдэхүүний хоёр дахь тодорхойлолтыг нэвтрүүлэх боломжтой бөгөөд энэ нь векторуудын өгөгдсөн координатаас координатыг олох боломжийг олгоно.

Тодорхойлолт 2

Гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд a → = (a x ; a y ; a z) ба b → = (b x ; b y ; b z) хоёр векторын вектор үржвэр векторыг c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , энд i → , j → , k → нь координатын векторууд гэж нэрлэнэ.

Векторын үржвэрийг гуравдахь эрэмбийн квадрат матрицын тодорхойлогчоор төлөөлж болох бөгөөд эхний мөрөнд i → , j → , k → дунд векторууд, хоёр дахь мөрөнд a → векторын координатууд, гурав дахь эгнээнд векторууд багтана. нь өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын систем дэх b → векторын координат бөгөөд энэ матриц тодорхойлогч дараах байдлаар харагдана: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Энэ тодорхойлогчийг эхний эгнээний элементүүд дээр өргөжүүлбэл бид тэгшитгэлийг олж авна: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x b = a → x b = a → a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Бүтээгдэхүүний хоорондын шинж чанар

Координат дахь вектор үржвэр нь c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z, дараа нь суурь дээр матрицын тодорхойлогчоор илэрхийлэгддэг нь мэдэгдэж байна. матрицын тодорхойлогч шинж чанарууддараах вектор бүтээгдэхүүний шинж чанар:

1. anticommutativity a → × b → = - b → × a → ;
2. тархалт a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → эсвэл a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. ассоциатив байдал λ a → × b → = λ a → × b → эсвэл a → × (λ b →) = λ a → × b → , энд λ нь дурын бодит тоо юм.

Эдгээр шинж чанарууд нь нарийн төвөгтэй нотолгоо биш юм.

Жишээлбэл, бид вектор бүтээгдэхүүний антикоммутацийн шинж чанарыг баталж чадна.

Эсрэг солилцооны нотолгоо

Тодорхойлолтоор a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ба b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. Хэрэв матрицын хоёр эгнээ солигдвол матрицын тодорхойлогчийн утга эсрэгээр өөрчлөгдөх ёстой тул a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x = y байна. - b → × a → , энэ нь вектор бүтээгдэхүүний антикоммутатив чанарыг баталж байна.

Вектор бүтээгдэхүүн - Жишээ ба шийдэл

Ихэнх тохиолдолд гурван төрлийн даалгавар байдаг.

Эхний төрлийн бодлогод ихэвчлэн хоёр векторын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг өгдөг боловч хөндлөн үржвэрийн уртыг олох хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд дараах томъёог ашиглана c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Жишээ 1

a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 нь мэдэгдэж байгаа бол a → ба b → векторуудын хөндлөн үржвэрийн уртыг ол.

Шийдэл

a → ба b → векторуудын вектор үржвэрийн уртын тодорхойлолтыг ашиглан бид энэ асуудлыг шийднэ: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Хариулт: 15 2 2 .

Хоёрдахь төрлийн даалгавар нь векторуудын координаттай холбоотой бөгөөд тэдгээр нь векторын бүтээгдэхүүн, түүний урт гэх мэтийг агуулдаг. мэдэгдэж буй координатуудаар хайсан өгөгдсөн векторууд a → = (a x ; a y ; a z) Тэгээд b → = (b x ; b y ; b z) .

Энэ төрлийн даалгаврын хувьд та даалгаврын олон сонголтыг шийдэж чадна. Жишээлбэл, a → ба b → векторуудын координатууд биш, харин тэдгээрийн координат векторууд дахь хэлбэрийн өргөтгөлүүд. b → = b x i → + b y j → + b z k → ба c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , эсвэл a → ба b → векторуудыг тэдгээрийн координатаар өгч болно. эхлэл ба төгсгөлийн цэгүүд.

Дараах жишээнүүдийг авч үзье.

Жишээ 2

Тэгш өнцөгт координатын системд хоёр векторыг тогтоосон a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Тэдний вектор бүтээгдэхүүнийг ол.

Шийдэл

Хоёр дахь тодорхойлолтын дагуу бид өгөгдсөн координат дахь хоёр векторын вектор үржвэрийг олно: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 к → .

Хэрэв бид хөндлөн үржвэрийг матриц тодорхойлогчоор бичвэл шийдэл энэ жишээдараах байдалтай байна: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Хариулт: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Жишээ 3

Тэгш өнцөгт декартын координатын системийн i → , j → , k → - orts i → - j → ба i → + j → + k → векторуудын хөндлөн үржвэрийн уртыг ол.

Шийдэл

Эхлээд өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын систем дэх i → - j → × i → + j → + k → вектор үржвэрийн координатыг олъё.

i → - j → ба i → + j → + k → векторууд тус тус (1 ; - 1 ; 0) ба (1 ; 1 ; 1) координаттай байдаг нь мэдэгдэж байна. Матриц тодорхойлогчийг ашиглан вектор бүтээгдэхүүний уртыг олбол i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 к → .

Иймд i → - j → × i → + j → + k → вектор үржвэр нь өгөгдсөн координатын системд (- 1 ; - 1 ; 2) координаттай байна.

Бид вектор бүтээгдэхүүний уртыг томъёогоор олно (векторын уртыг олох хэсгийг үзнэ үү): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Хариулт: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Жишээ 4

A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) , C (1 , 4 , 2) гэсэн гурван цэгийн координатыг тэгш өнцөгт декартын координатын системд өгсөн болно. A B → ба A C →-д нэгэн зэрэг перпендикуляр байх векторыг ол.

Шийдэл

A B → ба A C → векторууд нь дараах координатуудтай (- 1 ; 2 ; 2) ба (0 ; 4 ; 1) байна. A B → ба A C → векторуудын вектор үржвэрийг олсноор энэ нь A B → ба A C → аль алинд нь перпендикуляр вектор болох нь тодорхой байна, өөрөөр хэлбэл энэ нь бидний асуудлын шийдэл юм. Үүнийг олоорой A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Хариулт: - 6 i → + j → - 4 k → . перпендикуляр векторуудын нэг юм.

Гурав дахь төрлийн асуудлууд нь векторуудын вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарыг ашиглахад чиглэгддэг. Үүнийг хэрэглэсний дараа бид өгөгдсөн асуудлын шийдлийг олж авах болно.

Жишээ 5

a → ба b → векторууд перпендикуляр бөгөөд тэдгээрийн урт нь тус тус 3 ба 4 байна. 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → хөндлөн үржвэрийн уртыг ол. + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Шийдэл

Вектор бүтээгдэхүүний тархалтын шинж чанараар бид 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 гэж бичиж болно. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Ассоциацийн шинж чанараар бид сүүлчийн илэрхийлэл дэх вектор бүтээгдэхүүний тэмдэгээс давсан тоон коэффициентүүдийг гаргаж авдаг: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

a → × a → = a → a → sin 0 = 0 ба b → × b → = b → b → sin 0 = 0 тул a → × a → ба b → × b → вектор бүтээгдэхүүнүүд нь 0-тэй тэнцүү байна. дараа нь 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Вектор бүтээгдэхүүний антикоммутатив чанараас - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарыг ашиглан бид 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → тэгшитгэлийг олж авна.

Нөхцөлөөр a→ ба b → векторууд перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь π 2-тэй тэнцүү байна. Одоо зөвхөн олсон утгыг харгалзах томъёонд орлуулахад л үлдлээ: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → нүгэл (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Хариулт: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Тодорхойлолтоор векторуудын хөндлөн үржвэрийн урт нь a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Гурвалжны талбай нь түүний хоёр талын уртын үржвэрийн хагасыг эдгээр талуудын хоорондох өнцгийн синусаар үржүүлсэнтэй тэнцүү гэдгийг (сургуулийн хичээлээс) аль хэдийн мэддэг болсон. Тиймээс вектор бүтээгдэхүүний урт нь параллелограммын талбайтай тэнцүү байна - давхар гурвалжин, тухайлбал а → ба b → вектор хэлбэрийн талуудын үржвэр нь нэг цэгээс синусаар тусгаарлагдсан байна. тэдгээрийн хоорондох өнцгийн sin ∠ a → , b → .

Энэ бол вектор бүтээгдэхүүний геометрийн утга юм.

Вектор бүтээгдэхүүний физик утга

Физикийн салбаруудын нэг болох механикийн хувьд вектор бүтээгдэхүүний ачаар орон зайн цэгтэй харьцуулахад хүчний моментийг тодорхойлж болно.

Тодорхойлолт 3

А цэгтэй харьцуулахад B цэгт хэрэглэсэн F → хүчний моментийн дор бид дараах вектор бүтээгдэхүүн болох A B → × F → ойлгох болно.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Цэг бүтээгдэхүүний шинж чанар

Векторуудын цэгийн үржвэр, тодорхойлолт, шинж чанар

Вектор дээрх шугаман үйлдлүүд.

Векторууд, үндсэн ойлголтууд, тодорхойлолтууд, тэдгээрийн шугаман үйлдлүүд

Хавтгай дээрх вектор нь цэгүүдийн дараалсан хос бөгөөд эхний цэгийг векторын эхлэл, хоёр дахь цэгийг төгсгөл гэж нэрлэдэг.

Хоёр векторыг тэнцүү ба кодиректортой бол тэнцүү гэж нэрлэдэг.

Нэг шулуун дээр байрлах векторууд энэ шулуун дээр оршихгүй ижил векторын заримтай кодиректортой байвал кодиректор гэнэ.

Нэг шулуун дээр эсвэл параллель шулуун дээр байрлах векторуудыг коллинеар, харин колайнеар биш харин эсрэг чиглэлтэй векторуудыг нэрлэдэг.

Перпендикуляр шулуун дээр байрлах векторуудыг ортогональ гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 5.4. нийлбэр a+b векторууд а Тэгээд б векторын эхнээс ирж буй вектор гэж нэрлэдэг А векторын төгсгөл хүртэл б , хэрэв векторын эхлэл бол б векторын төгсгөлтэй давхцаж байна А .

Тодорхойлолт 5.5. ялгаа а - б векторууд А Тэгээд б ийм вектор гэж нэрлэдэг -тай , энэ нь вектортой хамт б вектор өгдөг А .

Тодорхойлолт 5.6. ажилк а вектор А тоо бүрт квектор гэж нэрлэдэг б , коллинеар вектор А , модуль нь |-тэй тэнцүү байна к||а |, мөн чиглэлтэй ижил чиглэл А цагт к>0 ба эсрэгээр А цагт к<0.

Векторыг тоогоор үржүүлэх шинж чанарууд:

Үл хөдлөх хөрөнгө 1. к(a+b ) = к а+ к б.

Үл хөдлөх хөрөнгө 2. (к+м)а = к а+ м а.

Эд хөрөнгө 3. к(м а) = (км)а .

Үр дагавар. Хэрэв тэг биш векторууд А Тэгээд б collinear бол тоо байна к, Юу b= к а.

Хоёр тэгээс өөр векторын скаляр үржвэр аТэгээд бэдгээр векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох φ өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү тоо (скаляр) гэж нэрлэдэг. Скаляр үржвэрийг янз бүрийн аргаар илэрхийлж болно, жишээлбэл ab, а · б, (а , б), (а · б). Тиймээс цэгийн бүтээгдэхүүн нь:

а · б = |а| · | б| cos φ

Хэрэв векторуудын дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү бол скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна.

Орлуулах шинж чанар: а · б = б · а(скаляр үржвэр нь хүчин зүйлсийн солилцооноос өөрчлөгддөггүй);

түгээх өмч: а · ( б · в) = (а · б) · в(үр дүн нь үржүүлэх дарааллаас хамаарахгүй);

Хосолсон шинж чанар (скаляр хүчин зүйлтэй холбоотой): (λ а) · б = λ ( а · б).

Ортогональ байдлын шинж чанар (перпендикуляр): вектор бол аТэгээд бтэг биш бол эдгээр векторууд ортогональ (бие биедээ перпендикуляр) байхад л тэдгээрийн цэгийн үржвэр тэг болно. а ┴ б;

Дөрвөлжин өмч: а · а = а 2 = |а| 2 (векторын скаляр үржвэр нь түүний модулийн квадраттай тэнцүү);

Хэрэв векторуудын координатууд а=(x 1 , y 1 , z 1 ) ба б=(x 2 , y 2 , z 2 ), тэгвэл скаляр үржвэр болно а · б= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

Вектор барих векторууд. Тодорхойлолт: Хоёр векторын вектор үржвэр бөгөөд үүнийг вектор гэж ойлгодог.

Модуль нь эдгээр векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбайтай тэнцүү байна, жишээлбэл. , ба векторуудын хоорондох өнцөг хаана байна

Энэ вектор нь үржүүлсэн векторуудад перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл.

Хэрэв векторууд нь коллинеар биш бол векторуудын зөв гурвалсан хэсгийг бүрдүүлнэ.

Бүтээгдэхүүний хоорондын шинж чанар:

1. Хүчин зүйлсийн дарааллыг өөрчлөх үед вектор бүтээгдэхүүн нь модулийг хадгалан, тэмдгээ эсрэгээр өөрчилдөг, i.e.

2 .Вектор квадрат нь тэг вектортой тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.

3 .Скаляр коэффициентийг вектор үржвэрийн тэмдгээс гаргаж авч болно, өөрөөр хэлбэл.

4 .Дурын гурван векторын хувьд тэгш байдал

5 .Хоёр векторын коллинеар байх шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл ба :