Тэгшитгэлээс функцийн хамгийн бага утгыг хэрхэн олох вэ. Хаалттай муж дахь хоёр хувьсагчийн функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд
Хөвөгч сурагчийн аврах шугам болох бяцхан бөгөөд маш энгийн даалгавар. Байгаль дээр 7-р сарын дундуур нойрмог газар байдаг тул далайн эрэг дээр зөөврийн компьютертэй амьдрах цаг болжээ. Өглөө эрт тоглосон нарны туяаУдахгүй практик дээр анхаарлаа төвлөрүүлэхийн тулд онолыг хөнгөхөн гэж мэдэгдсэн ч элсэнд шилний хэлтэрхий агуулсан. Үүнтэй холбогдуулан би энэ хуудасны цөөн хэдэн жишээг ухамсартайгаар авч үзэхийг зөвлөж байна. Практик даалгавруудыг шийдвэрлэхийн тулд та чадвартай байх хэрэгтэй деривативуудыг олохмөн нийтлэлийн материалыг ойлгох Функцийн монотон ба экстремын интервалууд.
Нэгдүгээрт, гол зүйлийн талаар товчхон хэлье. тухай хичээл дээр функцын тасралтгүй байдалБи нэг цэг дэх тасралтгүй байдал, интервал дахь тасралтгүй байдлын тодорхойлолтыг өгсөн. Сегмент дээрх функцын үлгэр жишээ зан төлөвийг томъёолсон болно адилхан. Дараах тохиолдолд функц сегмент дээр тасралтгүй байна:
1) энэ нь интервал дээр тасралтгүй;
2) нэг цэг дээр тасралтгүй баруун талдмөн цэг дээр зүүн.
Хоёр дахь догол мөр нь гэж нэрлэгддэг зүйлийг авч үздэг нэг талын тасралтгүй байдалцэг дээр ажилладаг. Үүнийг тодорхойлох хэд хэдэн арга байдаг, гэхдээ би өмнө нь эхлүүлсэн мөрийг баримтлах болно:
Функц нь цэг дээр тасралтгүй байна баруун талд, хэрэв энэ нь тухайн цэг дээр тодорхойлогдсон бөгөөд түүний баруун гар талын хязгаар нь тухайн цэг дэх функцийн утгатай давхцаж байвал: 
. Энэ нь цэг дээр үргэлжилдэг зүүн, хэрэв тухайн цэг дээр тодорхойлогдсон бөгөөд түүний зүүн талын хязгаар нь тухайн цэгийн утгатай тэнцүү бол: 
Ногоон цэгүүд нь шидэт резинэн тууз наасан хадаас юм гэж төсөөлөөд үз дээ.
Оюун санааны хувьд улаан шугамыг гартаа аваарай. Мэдээжийн хэрэг, бид графикийг дээш доош (тэнхлэгийн дагуу) хичнээн хол сунгасан ч функц хэвээр байх болно. хязгаарлагдмал- дээр нь хедж, доор нь хашлага, манай бүтээгдэхүүн талбай дээр бэлчдэг. Тиймээс, сегмент дээр үргэлжилсэн функц нь түүн дээр хязгаарлагддаг. Математикийн шинжилгээний явцад энэ энгийн мэт бодит баримтыг хэлж, хатуу нотолсон болно Вейерштрассын анхны теорем.... Математикийн хичээлд анхан шатны хэллэгүүд уйтгартай үндэслэлтэй байдаг нь олон хүн бухимддаг. чухал утга. Дундад зууны Терригийн тодорхой оршин суугч графикийг үзэгдэх хязгаараас хэтрүүлэн тэнгэр рүү татсан гэж бодъё. Телескопыг зохион бүтээхээс өмнө сансар огторгуй дахь хязгаарлагдмал функц нь огтхон ч тодорхой байгаагүй! Үнэхээр, тэнгэрийн хаяанд биднийг юу хүлээж байгааг та яаж мэдэх вэ? Эцсийн эцэст, нэгэн цагт дэлхийг хавтгай гэж үздэг байсан тул өнөөдөр энгийн телепортац хүртэл нотлох баримт шаарддаг =)
дагуу Вейерштрассын хоёр дахь теорем, сегмент дээр тасралтгүйфункц түүндээ хүрнэ яг дээд ирмэгболон түүний яг доод ирмэг .
Энэ дугаарыг бас дууддаг сегмент дээрх функцийн хамгийн их утгаба тоогоор тэмдэглэгдсэн - сегмент дээрх функцийн хамгийн бага утгатэмдэглэгдсэн.
Манай тохиолдолд: 
Анхаарна уу
: онолын хувьд бичлэгүүд нийтлэг байдаг 
.
Бүдүүлэг хэлэхэд, хамгийн өндөр үнэ цэнэхаана байрладаг өндөр оноографик, хамгийн жижиг нь - хамгийн доод цэг хаана байна.
Чухал!Өгүүлэлд аль хэдийн дурдсанчлан функцийн экстремум, функцийн хамгийн том утгаТэгээд функцийн хамгийн бага утга – АДИЛХАН БИШ, Юу функцийн дээд хэмжээТэгээд хамгийн бага функц. Тиймээс, энэ жишээнд тоо нь функцийн хамгийн бага утга боловч хамгийн бага утга биш юм.
Дашрамд хэлэхэд сегментээс гадуур юу болдог вэ? Тийм ээ, үер ч гэсэн авч үзэж буй асуудлын хүрээнд энэ нь биднийг огт сонирхдоггүй. Даалгавар нь зөвхөн хоёр тоог олох явдал юм 
тэгээд л болоо!
Түүнээс гадна шийдэл нь зөвхөн аналитик шинж чанартай тул зурах шаардлагагүй!
Алгоритм нь гадаргуу дээр байрладаг бөгөөд дээрх зургаас өөрийгөө харуулж байна.
1) Функцийн утгуудыг ол чухал цэгүүд, Энэ сегментэд хамаарах.
Дахин нэг сайн зүйл олж аваарай: экстремумын хувьд хангалттай нөхцөлийг шалгах шаардлагагүй, учир нь зүгээр л харуулсанчлан хамгийн бага эсвэл дээд хэмжээ байгаа эсэх. хараахан баталгаагүй байнахамгийн бага буюу дээд утга нь хэд вэ. Үзүүлэн харуулах функц нь дээд цэгтээ хүрч, хувь заяаны хүслээр ижил тоо нь интервал дээрх функцийн хамгийн том утга юм. Гэхдээ мэдээжийн хэрэг, ийм давхцал үргэлж тохиолддоггүй.
Тиймээс эхний алхамд сегментэд хамаарах чухал цэгүүдэд функцийн утгыг экстремумтай эсэхээс үл хамааран тооцоолох нь илүү хурдан бөгөөд хялбар байдаг.
2) Бид сегментийн төгсгөлд функцийн утгыг тооцоолно.
3) 1, 2-р догол мөрөнд байгаа функцийн утгуудаас бид хамгийн жижиг, хамгийн ихийг нь сонгоно. том тоо, хариултыг бичнэ үү.
Бид цэнхэр далайн эрэг дээр суугаад гүехэн усанд өсгийгөөр цохив:
Жишээ 1
Хамгийн томыг нь олох ба хамгийн бага утгасегмент дээрх функцууд
Шийдэл:
1) Энэ сегментэд хамаарах чухал цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоол.
Хоёр дахь чухал цэг дээрх функцийн утгыг тооцоолъё.
2) Сегментийн төгсгөлд байгаа функцийн утгыг тооцоол. 
3) Экспоненциал ба логарифмын тусламжтайгаар "Бод" үр дүнг олж авсан нь тэдгээрийн харьцуулалтыг ихээхэн хүндрүүлдэг. Энэ шалтгааны улмаас бид тооцоолуур эсвэл Excel-ээр өөрийгөө зэвсэглэж, ойролцоо утгыг тооцоолох болно, үүнийг мартаж болохгүй. 
Одоо бүх зүйл тодорхой боллоо.
Хариулах:
Бие даасан шийдлийн бутархай-рационал жишээ:
Жишээ 6
Сегмент дээрх функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол
Функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утга нь авч үзсэн интервал дахь ордны хамгийн том (хамгийн бага) хүлээн зөвшөөрөгдсөн утга юм.
Функцийн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг олохын тулд та дараах зүйлийг хийх хэрэгтэй.
- Өгөгдсөн сегментэд ямар суурин цэгүүд багтаж байгааг шалгана уу.
- 3-р алхамаас эхлэн сегментийн төгсгөл ба хөдөлгөөнгүй цэг дээрх функцийн утгыг тооцоол
- Олж авсан үр дүнгээс хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг сонгоно уу.
Хамгийн их эсвэл хамгийн бага оноог олохын тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.
- $f"(x)$ функцийн уламжлалыг ол
- $f"(x)=0$ тэгшитгэлийг шийдэж хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг ол
- Функцийн деривативыг үржүүлэх.
- Координатын шугамыг зурж, дээр нь хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг байрлуулж, 3-р зүйлийн тэмдэглэгээг ашиглан олж авсан интервал дахь деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлно.
- Дүрмийн дагуу хамгийн их буюу хамгийн бага оноог ол: хэрэв тухайн үед дериватив тэмдэг нэмэхээс хасах хүртэл өөрчлөгдвөл энэ нь хамгийн дээд цэг болно (хэрэв хасахаас нэмэх бол энэ нь хамгийн бага цэг болно). Практикт сумны дүрсийг интервал дээр ашиглах нь тохиромжтой байдаг: дериватив эерэг байх интервал дээр сумыг дээш, эсрэгээр нь зурдаг.
Зарим энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгт:
| Чиг үүрэг | Дериватив |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n, n∈N$ | $nx^(n-1), n∈N$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $(1)/x(^n), n∈N$ | $-(n)/(x^(n+1)), n∈N$ |
| $√^n(x), n∈N$ | $(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(sin^2x)$ |
| $cos^2x$ | $-sin2x$ |
| $sin^2x$ | $sin2x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^xlna$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $log_(a)x$ | $(1)/(xlna)$ |
Ялгаварлах үндсэн дүрмүүд
1. Нийлбэр ба зөрүүний дериватив нь гишүүн бүрийн деривативтай тэнцүү байна
$(f(x) ± g(x))'= f'(x)± g'(x)$
$f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$ функцийн уламжлалыг ол.
Нийлбэр ба зөрүүний дериватив нь гишүүн бүрийн деривативтай тэнцүү байна
$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$
2. Бүтээгдэхүүний дериватив.
$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$
$f(x)=4x∙cosx$ деривативыг ол
$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$
3. Хэсгийн дериватив
$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$
$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ деривативыг ол
$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$
4. Цогц функцийн дериватив нь гадаад функцийн дериватив ба дотоод функцийн деривативын үржвэртэй тэнцүү байна.
$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$
$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$
$y=2x-ln(x+11)+4$ функцийн хамгийн бага цэгийг ол
1. Функцийн ODZ-ийг ол: $x+11>0; x>-11$
2. $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$ функцийн уламжлалыг ол.
3. Деривативыг тэгтэй тэнцүүлэх замаар хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг ол
$(2x+21)/(x+11)=0$
Хэрэв тоологч нь тэг, хуваагч нь тэг биш бол бутархай нь тэг болно
$2x+21=0; x≠-11$
4. Координатын шугамыг зурж, дээр нь хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг байрлуулж, үүссэн интервал дахь деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд бид хэт баруун бүсээс дурын тоог, жишээлбэл, тэгийг дериватив болгон орлуулна.
$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$
5. Хамгийн бага цэг дээр дериватив тэмдэг хасахаас нэмэх рүү өөрчлөгддөг тул $-10.5$ цэг нь хамгийн бага цэг болно.
Хариулт: -10.5 доллар
$[-5;1]$ интервал дээр $y=6x^5-90x^3-5$ функцийн хамгийн их утгыг ол.
1. $y′=30x^4-270x^2$ функцийн деривативыг ол.
2. Деривативыг тэгтэй тэнцүүлж, суурин цэгүүдийг ол
$30x^4-270x^2=0$
$30x^2$ нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргая
$30x^2(x^2-9)=0$
$30x^2(x-3)(x+3)=0$
Хүчин зүйл бүрийг тэгтэй тэнцүүл
$x^2=0; x-3=0; x+3=0$
$x=0;x=3;x=-3$
3. Өгөгдсөн $[-5;1]$ сегментэд хамаарах хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг сонго
$x=0$ болон $x=-3$ хөдөлгөөнгүй цэгүүд бидэнд тохиромжтой
4. 3-р зүйлээс сегментийн төгсгөл ба хөдөлгөөнгүй цэг дэх функцийн утгыг тооцоол.
Функцийн экстремум гэж юу вэ, экстремум байх ёстой нөхцөл юу вэ?
Функцийн экстремум нь функцийн хамгийн их ба минимум юм.
Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага (экстремум) байх шаардлагатай нөхцөл нь дараах байдалтай байна: хэрэв f(x) функц нь x = a цэг дээр экстремумтай бол энэ үед дериватив нь тэг, эсвэл хязгааргүй, эсвэл тэг болно. байхгүй.
Энэ нөхцөл шаардлагатай боловч хангалттай биш юм. X = a цэг дээрх дериватив нь энэ цэгт экстремумгүй функц байхгүй бол алга болж, хязгааргүйд очих эсвэл байхгүй байж болно.
Функцийн экстремум (хамгийн их эсвэл хамгийн бага) хангалттай нөхцөл юу вэ?
Эхний нөхцөл:
Хэрэв x = a цэгт хангалттай ойрхон байвал f?(x) дериватив нь a-ийн зүүн талд эерэг, а-ын баруун талд сөрөг байвал x = a цэгт өөрөө f(x) функц байна. дээд тал нь
Хэрэв x = a цэгт хангалттай ойрхон байвал f?(x) дериватив нь a-ийн зүүн талд сөрөг, а-ын баруун талд эерэг байвал x = a цэг дээр f(x) функц өөрөө байна. хамгийн бага f(x) функц энд тасралтгүй байх нөхцөлд.
Үүний оронд та функцийн экстремумын хоёр дахь хангалттай нөхцөлийг ашиглаж болно:
x = цэг дээр эхний дериватив f?(x) алга болно; хэрэв хоёр дахь уламжлал f??(а) сөрөг байвал f(x) функц x = a цэгт максимум, эерэг бол минимум байна.
Функцийн чухал цэг гэж юу вэ, түүнийг хэрхэн олох вэ?
Энэ нь функц нь экстремум (жишээ нь хамгийн их эсвэл хамгийн бага) байх функцын аргументийн утга юм. Үүнийг олохын тулд танд хэрэгтэй деривативыг ол f?(x) функц ба үүнийг тэгтэй тэнцүүлэх, тэгшитгэлийг шийд f?(x) = 0. Энэ тэгшитгэлийн үндэс, түүнчлэн энэ функцийн дериватив байхгүй цэгүүд нь эгзэгтэй цэгүүд, өөрөөр хэлбэл экстремум байж болох аргументийн утгууд юм. . Тэдгээрийг харахад хялбархан тодорхойлж болно дериватив график: функцийн график абсцисса тэнхлэгтэй (Ox тэнхлэг) огтлолцдог аргументуудын утгуудыг бид сонирхож байгаа бөгөөд график эвдэрсэн утгуудыг сонирхож байна.
Жишээлбэл, олъё параболын экстремум.
y(x) = 3x2 + 2x - 50 функц.
Функцийн дериватив: y?(x) = 6x + 2
Бид тэгшитгэлийг шийднэ: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
IN Энэ тохиолдолдэгзэгтэй цэг нь x0=-1/3 байна. Функц нь аргументийн энэ утгын хувьд байна экстремум. Үүнийг авахын тулд олох, бид "x"-ийн оронд функцийн илэрхийлэлд олдсон тоог орлуулна:
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.
Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага хэмжээг хэрхэн тодорхойлох вэ, i.e. түүний хамгийн том ба хамгийн бага үнэ цэнэ?
Хэрэв x0 эгзэгтэй цэгээр дамжин өнгөрөх үед деривативын тэмдэг "нэмэх" -ээс "хасах" болж өөрчлөгдвөл x0 болно. хамгийн дээд цэг; Хэрэв деривативын тэмдэг хасахаас нэмэх хүртэл өөрчлөгдвөл x0 болно хамгийн бага цэг; хэрэв тэмдэг өөрчлөгдөөгүй бол x0 цэг дээр хамгийн их эсвэл хамгийн бага нь байхгүй.
Үзсэн жишээний хувьд:
Бид зүүн талд байгаа аргументийн дурын утгыг авдаг чухал цэг: x = -1
x = -1 үед деривативын утга нь у байх болно? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (өөрөөр хэлбэл хасах тэмдэг).
Одоо бид эгзэгтэй цэгийн баруун талд байгаа аргументын дурын утгыг авна: x = 1
x = 1-ийн хувьд деривативын утга нь y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (өөрөөр хэлбэл нэмэх тэмдэг) байх болно.
Таны харж байгаагаар эгзэгтэй цэгийг дайран өнгөрөхөд дериватив тэмдэг нь хасахаас нэмэх болж өөрчлөгдсөн. Энэ нь x0-ийн эгзэгтэй утгад бид хамгийн бага цэгтэй байна гэсэн үг юм.
Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга интервал дээр(сегмент дээр) ижил журмаар олно, зөвхөн бүх чухал цэгүүд заасан интервалд багтахгүй байж магадгүй гэдгийг харгалзан үзнэ. Интервалаас гадуур байгаа чухал цэгүүдийг авч үзэхээс хасах ёстой. Хэрэв интервал дотор зөвхөн нэг чухал цэг байгаа бол энэ нь хамгийн их эсвэл хамгийн багатай байх болно. Энэ тохиолдолд функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тодорхойлохын тулд интервалын төгсгөлд функцийн утгыг харгалзан үзнэ.
Жишээлбэл, функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олъё
y (x) \u003d 3 нүгэл (x) - 0.5x
интервалаар:
Тэгэхээр функцийн дериватив нь байна
y?(x) = 3cos(x) - 0.5
Бид 3cos(x) - 0.5 = 0 тэгшитгэлийг шийднэ
cos(x) = 0.5/3 = 0.16667
x \u003d ± arccos (0.16667) + 2πk.
Бид интервал дээр чухал цэгүүдийг олдог [-9; 9]:
x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11.163 (интервалд ороогүй)
x \u003d -arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -7.687
x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -4.88
x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1.403
x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403
x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 4.88
x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 7.687
x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11.163 (интервалд ороогүй)
Бид аргументийн эгзэгтэй утгуудаас функцийн утгыг олдог.
y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885
y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398
y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256
y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256
y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398
y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885
Эндээс харахад [-9; 9] функц нь x = -4.88 үед хамгийн их утгатай байна:
x = -4.88, y = 5.398,
ба хамгийн бага нь - x = 4.88:
x = 4.88, y = -5.398.
Интервал дээр [-6; -3] бидэнд ганцхан чухал цэг бий: x = -4.88. x = -4.88 дахь функцийн утга нь у = 5.398 байна.
Бид интервалын төгсгөлд функцийн утгыг олно.
y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838
y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077
Интервал дээр [-6; -3] бид функцийн хамгийн том утгыг агуулна
x = -4.88 үед y = 5.398
хамгийн бага утга нь
x = -3 үед y = 1.077
Функцийн графикийн гулзайлтын цэгүүдийг хэрхэн олж, гүдгэр ба хонхор талыг тодорхойлох вэ?
y \u003d f (x) шугамын бүх гулзайлтын цэгүүдийг олохын тулд та хоёр дахь деривативыг олж, үүнийг тэгтэй тэнцүүлэх (тэгшитгэлийг шийдэх), хоёр дахь дериватив нь тэг байх x-ийн бүх утгыг шалгах хэрэгтэй. , хязгааргүй эсвэл байхгүй. Хэрэв эдгээр утгуудын аль нэгээр дамжин өнгөрөхөд хоёр дахь дериватив тэмдэг өөрчлөгдвөл функцийн график энэ цэг дээр гулзайлттай байна. Хэрэв энэ нь өөрчлөгдөхгүй бол нугалах зүйл байхгүй болно.
Тэгшитгэлийн үндэс f ? (x) = 0, түүнчлэн функцийн тасалдлын боломжит цэгүүд ба хоёр дахь дериватив нь функцийн мужийг хэд хэдэн интервалд хуваана. Тэдний интервал тус бүрийн гүдгэр байдлыг хоёр дахь деривативын тэмдгээр тодорхойлно. Хэрэв судалж буй интервалын цэг дээрх хоёр дахь дериватив эерэг байвал y = f(x) шулуун энд дээш хонхойж, сөрөг байвал доошоо байна.
Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумыг хэрхэн олох вэ?
Оношилгооны талбарт дифференциал болох f(x, y) функцийн экстремумыг олохын тулд танд дараах зүйлс хэрэгтэй:
1) чухал цэгүүдийг олж, үүний тулд тэгшитгэлийн системийг шийд
fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0
2) P0(a;b) чухал цэг бүрийн хувьд ялгааны тэмдэг өөрчлөгдөхгүй эсэхийг судална.
бүх цэгийн хувьд (x; y) P0-д хангалттай ойрхон байна. Хэрэв ялгаа нь эерэг тэмдэгтэй хэвээр байвал P0 цэг дээр бид хамгийн бага, сөрөг бол хамгийн их утгатай байна. Хэрэв ялгаа нь тэмдэгээ хадгалахгүй бол Р0 цэгт экстремум байхгүй болно.
Үүний нэгэн адил функцын экстремумыг илүү олон тооны аргументуудад тодорхойлно.
Forever After Shrek гэж юу вэ?
Хүүхэлдэйн кино: Шрек үүрд гарсан он: 2010 оны нээлт (Орос): 2010 оны 5-р сарын 20 Улс: АНУ Найруулагч: Майкл Питчел Зохиол: Жош Клауснер, Даррен Лемке Төрөл: гэр бүлийн инээдмийн, уран зөгнөлт, адал явдал Албан ёсны вэбсайт: www.shrekforeverafter.com үйл явдал. луус
Сарын тэмдгийн үед цусаа өгч болох уу?
Эмч нар сарын тэмдгийн үед цус өгөхийг зөвлөдөггүй, учир нь. Цусны алдагдал нь тийм ч их биш боловч гемоглобины түвшин буурч, эмэгтэй хүний сайн байдал муудаж байна. Цусны донорын процедурын үед цус алдалт илрэх хүртэл сайн сайхан байдлын нөхцөл байдал улам дордож болно. Тиймээс эмэгтэйчүүд сарын тэмдгийн үед цусаа өгөхөөс татгалзах хэрэгтэй. Тэгээд аль хэдийн дууссаны дараа 5 дахь өдөр
Шалыг угаахад хэдэн ккал / цаг зарцуулдаг
Төрлийн Идэвхтэй хөдөлгөөн хийхЭрчим хүчний зарцуулалт, ккал/цаг Хоол хийх 80 Хувцаслах 30 Жолоо барих 50 Тоос цэвэрлэх 80 Хоол идэх 30 Цэцэрлэгжүүлэлт 135 Индүүдэх 45 Ор дэр засах 130 Худалдаа хийх 80 Суурин ажил 75 Мод хагалах 300 Шал угаах 130 Секс 100-150 Бага эрчимтэй дасгал хийх
"Луйварчин" гэдэг үг ямар утгатай вэ?
Луйварчин бол жижиг хулгай хийдэг хулгайч, эсвэл заль мэхэнд өртөмтгий луйварчин юм. Энэхүү тодорхойлолтыг батлах нь Крыловын этимологийн толь бичигт агуулагдаж байгаа бөгөөд үүний дагуу "луйварчин" гэдэг үг нь &la үйл үгтэй төстэй "луйварчин" (хулгайч, луйварчин) гэсэн үгнээс бүрддэг.
Ах дүү Стругацкийн хамгийн сүүлд хэвлэгдсэн түүхийг юу гэж нэрлэдэг вэ?
Бяцхан түүхАркадий, Борис Стругацкий "Циклотацийн асуудлаар" анх 2008 оны 4-р сард "Үд дунд. XXI зуун" шинжлэх ухааны уран зөгнөлт антологид хэвлэгдсэн (Борис Стругацкийн редакцийн дор хэвлэгдсэн "Вокруг света" сэтгүүлийн нэмэлт). Энэхүү нийтлэлийг Борис Стругацкийн 75 жилийн ойд зориулжээ.
Work And Travel USA хөтөлбөрийн оролцогчдын түүхийг хаанаас уншиж болох вэ?
Work and Travel USA (АНУ-д ажил, аялал) нь Америкт зуныг өнгөрүүлэх, үйлчилгээний салбарт хууль ёсны дагуу ажиллах, аялах зэрэг алдартай оюутан солилцооны хөтөлбөр юм. Work & Travel хөтөлбөрийн түүх нь засгийн газар хоорондын солилцооны Cultural Exchange Pro хөтөлбөрийн нэг хэсэг юм
Чих. Хоолны болон түүхийн лавлагаа Хоёр жил хагасын турш "уха" гэдэг үгийг шөл эсвэл шинэ загасны декоциний нэр томъёонд ашигладаг. Гэхдээ энэ үгийг илүү өргөн хүрээнд тайлбарлаж байсан үе бий. Тэд зөвхөн загас төдийгүй мах, вандуй, тэр ч байтугай чихэрлэг шөлийг тэмдэглэв. Тиймээс түүхэн баримт бичигт - "
Superjob.ru мэдээлэл, элсүүлэх порталууд - Superjob.ru элсүүлэх портал дээр ажилладаг Оросын зах зээл 2000 оноос хойш онлайнаар ажилд зуучилж байгаа бөгөөд ажил хайх, боловсон хүчнийг санал болгодог эх сурвалжуудын дунд тэргүүлэгч юм. Өдөр бүр 80,000 гаруй мэргэжилтнүүдийн анкет, 10,000 гаруй сул орон тоо сайтын мэдээллийн санд нэмэгддэг.
Урам зориг гэж юу вэ
Урам зоригийн тодорхойлолт Мотивация (лат. moveo - Би хөдөлж байна) - үйлдэл хийх түлхэц; хүний зан үйлийг хянадаг, түүний чиглэл, зохион байгуулалт, үйл ажиллагаа, тогтвортой байдлыг тодорхойлдог физиологи, сэтгэл зүйн төлөвлөгөөний динамик үйл явц; хүний хөдөлмөрөөр хэрэгцээгээ хангах чадвар. Мотивак
Боб Дилан гэж хэн бэ?
Боб Дилан (англи. Боб Дилан, жинхэнэ нэр - Роберт Аллен Зиммерман англи. Роберт Аллен Зиммерман; 1941 оны 5-р сарын 24-нд төрсөн) нь Америкийн дуу зохиогч бөгөөд Rolling Stone сэтгүүлээс явуулсан санал асуулгаар хоёр дахь (
Тасалгааны ургамлыг хэрхэн тээвэрлэх вэ
Худалдан авалтын дараа доторх ургамал, цэцэрлэгч нь худалдан авсан чамин цэцэгсийг гэмтээхгүйгээр хүргэх даалгавартай тулгардаг. Тасалгааны ургамлыг савлах, тээвэрлэх үндсэн дүрмийг мэдэх нь энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд тусална. Ургамлыг тээвэрлэх эсвэл тээвэрлэхийн тулд савласан байх ёстой. Ургамлыг хэчнээн богино зайд зөөвөрлөхөөс үл хамааран тэдгээр нь гэмтэж, хатаж, өвлийн улиралд & м
Функцийн экстремум гэж юу вэ, экстремум байх ёстой нөхцөл юу вэ?
Функцийн экстремум нь функцийн хамгийн их ба минимум юм.
Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага (экстремум) байх шаардлагатай нөхцөл нь дараах байдалтай байна: хэрэв f(x) функц нь x = a цэг дээр экстремумтай бол энэ үед дериватив нь тэг, эсвэл хязгааргүй, эсвэл тэг болно. байхгүй.
Энэ нөхцөл шаардлагатай боловч хангалттай биш юм. X = a цэг дээрх дериватив нь энэ цэгт экстремумгүй функц байхгүй бол алга болж, хязгааргүйд очих эсвэл байхгүй байж болно.
Функцийн экстремум (хамгийн их эсвэл хамгийн бага) хангалттай нөхцөл юу вэ?
Эхний нөхцөл:
Хэрэв x = a цэгт хангалттай ойрхон байвал f?(x) дериватив нь a-ийн зүүн талд эерэг, а-ын баруун талд сөрөг байвал x = a цэгт өөрөө f(x) функц байна. дээд тал нь
Хэрэв x = a цэгт хангалттай ойрхон байвал f?(x) дериватив нь a-ийн зүүн талд сөрөг, а-ын баруун талд эерэг байвал x = a цэг дээр f(x) функц өөрөө байна. хамгийн бага f(x) функц энд тасралтгүй байх нөхцөлд.
Үүний оронд та функцийн экстремумын хоёр дахь хангалттай нөхцөлийг ашиглаж болно:
x = цэг дээр эхний дериватив f?(x) алга болно; хэрэв хоёр дахь уламжлал f??(а) сөрөг байвал f(x) функц x = a цэгт максимум, эерэг бол минимум байна.
Функцийн чухал цэг гэж юу вэ, түүнийг хэрхэн олох вэ?
Энэ нь функц нь экстремум (жишээ нь хамгийн их эсвэл хамгийн бага) байх функцын аргументийн утга юм. Үүнийг олохын тулд танд хэрэгтэй деривативыг ол f?(x) функц ба үүнийг тэгтэй тэнцүүлэх, тэгшитгэлийг шийд f?(x) = 0. Энэ тэгшитгэлийн үндэс, түүнчлэн энэ функцийн дериватив байхгүй цэгүүд нь эгзэгтэй цэгүүд, өөрөөр хэлбэл экстремум байж болох аргументийн утгууд юм. . Тэдгээрийг харахад хялбархан тодорхойлж болно дериватив график: функцийн график абсцисса тэнхлэгтэй (Ox тэнхлэг) огтлолцдог аргументуудын утгуудыг бид сонирхож байгаа бөгөөд график эвдэрсэн утгуудыг сонирхож байна.
Жишээлбэл, олъё параболын экстремум.
y(x) = 3x2 + 2x - 50 функц.
Функцийн дериватив: y?(x) = 6x + 2
Бид тэгшитгэлийг шийднэ: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
Энэ тохиолдолд эгзэгтэй цэг нь x0=-1/3 байна. Функц нь аргументийн энэ утгын хувьд байна экстремум. Үүнийг авахын тулд олох, бид "x"-ийн оронд функцийн илэрхийлэлд олдсон тоог орлуулна:
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.
Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага хэмжээг хэрхэн тодорхойлох вэ, i.e. түүний хамгийн том ба хамгийн бага үнэ цэнэ?
Хэрэв x0 эгзэгтэй цэгээр дамжин өнгөрөх үед деривативын тэмдэг "нэмэх" -ээс "хасах" болж өөрчлөгдвөл x0 болно. хамгийн дээд цэг; Хэрэв деривативын тэмдэг хасахаас нэмэх хүртэл өөрчлөгдвөл x0 болно хамгийн бага цэг; хэрэв тэмдэг өөрчлөгдөөгүй бол x0 цэг дээр хамгийн их эсвэл хамгийн бага нь байхгүй.
Үзсэн жишээний хувьд:
Бид чухал цэгийн зүүн талд байгаа аргументийн дурын утгыг авна: x = -1
x = -1 үед деривативын утга нь у байх болно? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (өөрөөр хэлбэл хасах тэмдэг).
Одоо бид эгзэгтэй цэгийн баруун талд байгаа аргументын дурын утгыг авна: x = 1
x = 1-ийн хувьд деривативын утга нь y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (өөрөөр хэлбэл нэмэх тэмдэг) байх болно.
Таны харж байгаагаар эгзэгтэй цэгийг дайран өнгөрөхөд дериватив тэмдэг нь хасахаас нэмэх болж өөрчлөгдсөн. Энэ нь x0-ийн эгзэгтэй утгад бид хамгийн бага цэгтэй байна гэсэн үг юм.
Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга интервал дээр(сегмент дээр) ижил журмаар олно, зөвхөн бүх чухал цэгүүд заасан интервалд багтахгүй байж магадгүй гэдгийг харгалзан үзнэ. Интервалаас гадуур байгаа чухал цэгүүдийг авч үзэхээс хасах ёстой. Хэрэв интервал дотор зөвхөн нэг чухал цэг байгаа бол энэ нь хамгийн их эсвэл хамгийн багатай байх болно. Энэ тохиолдолд функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тодорхойлохын тулд интервалын төгсгөлд функцийн утгыг харгалзан үзнэ.
Жишээлбэл, функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олъё
y (x) \u003d 3 нүгэл (x) - 0.5x
интервалаар:
Тэгэхээр функцийн дериватив нь байна
y?(x) = 3cos(x) - 0.5
Бид 3cos(x) - 0.5 = 0 тэгшитгэлийг шийднэ
cos(x) = 0.5/3 = 0.16667
x \u003d ± arccos (0.16667) + 2πk.
Бид интервал дээр чухал цэгүүдийг олдог [-9; 9]:
x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11.163 (интервалд ороогүй)
x \u003d -arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -7.687
x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -4.88
x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1.403
x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403
x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 4.88
x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 7.687
x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11.163 (интервалд ороогүй)
Бид аргументийн эгзэгтэй утгуудаас функцийн утгыг олдог.
y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885
y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398
y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256
y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256
y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398
y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885
Эндээс харахад [-9; 9] функц нь x = -4.88 үед хамгийн их утгатай байна:
x = -4.88, y = 5.398,
ба хамгийн бага нь - x = 4.88:
x = 4.88, y = -5.398.
Интервал дээр [-6; -3] бидэнд ганцхан чухал цэг бий: x = -4.88. x = -4.88 дахь функцийн утга нь у = 5.398 байна.
Бид интервалын төгсгөлд функцийн утгыг олно.
y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838
y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077
Интервал дээр [-6; -3] бид функцийн хамгийн том утгыг агуулна
x = -4.88 үед y = 5.398
хамгийн бага утга нь
x = -3 үед y = 1.077
Функцийн графикийн гулзайлтын цэгүүдийг хэрхэн олж, гүдгэр ба хонхор талыг тодорхойлох вэ?
y \u003d f (x) шугамын бүх гулзайлтын цэгүүдийг олохын тулд та хоёр дахь деривативыг олж, үүнийг тэгтэй тэнцүүлэх (тэгшитгэлийг шийдэх), хоёр дахь дериватив нь тэг байх x-ийн бүх утгыг шалгах хэрэгтэй. , хязгааргүй эсвэл байхгүй. Хэрэв эдгээр утгуудын аль нэгээр дамжин өнгөрөхөд хоёр дахь дериватив тэмдэг өөрчлөгдвөл функцийн график энэ цэг дээр гулзайлттай байна. Хэрэв энэ нь өөрчлөгдөхгүй бол нугалах зүйл байхгүй болно.
Тэгшитгэлийн үндэс f ? (x) = 0, түүнчлэн функцийн тасалдлын боломжит цэгүүд ба хоёр дахь дериватив нь функцийн мужийг хэд хэдэн интервалд хуваана. Тэдний интервал тус бүрийн гүдгэр байдлыг хоёр дахь деривативын тэмдгээр тодорхойлно. Хэрэв судалж буй интервалын цэг дээрх хоёр дахь дериватив эерэг байвал y = f(x) шулуун энд дээш хонхойж, сөрөг байвал доошоо байна.
Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумыг хэрхэн олох вэ?
Оношилгооны талбарт дифференциал болох f(x, y) функцийн экстремумыг олохын тулд танд дараах зүйлс хэрэгтэй:
1) чухал цэгүүдийг олж, үүний тулд тэгшитгэлийн системийг шийд
fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0
2) P0(a;b) чухал цэг бүрийн хувьд ялгааны тэмдэг өөрчлөгдөхгүй эсэхийг судална.
бүх цэгийн хувьд (x; y) P0-д хангалттай ойрхон байна. Хэрэв ялгаа нь эерэг тэмдэгтэй хэвээр байвал P0 цэг дээр бид хамгийн бага, сөрөг бол хамгийн их утгатай байна. Хэрэв ялгаа нь тэмдэгээ хадгалахгүй бол Р0 цэгт экстремум байхгүй болно.
Үүний нэгэн адил функцын экстремумыг илүү олон тооны аргументуудад тодорхойлно.
Сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг хэрхэн олох вэ?
Үүний төлөө Бид сайн мэддэг алгоритмыг дагаж мөрддөг:
1 . Бид ODZ функцуудыг олдог.
2 . Функцийн деривативыг олох
3 . Деривативыг тэгтэй тэнцүүл
4 . Бид дериватив тэмдэгээ хадгалах интервалыг олж, тэдгээрээс функцийн өсөлт ба бууралтын интервалыг тодорхойлно.
Хэрэв I интервал дээр функцийн дериватив 0" title="f^(prime)(x)>0 байна.">, то функция !} Энэ интервалд нэмэгддэг.
Хэрэв I интервал дээр функцийн дериватив байвал функц байна Энэ интервалд буурдаг.
5 . Бид олдог функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүд.
IN функцийн дээд цэг, дериватив тэмдэг нь "+"-ээс "-" болж өөрчлөгддөг..
IN функцийн хамгийн бага цэгдериватив тэмдэг нь "-"-ээс "+" хүртэл өөрчлөгддөг.
6 . Бид сегментийн төгсгөлд байгаа функцийн утгыг олдог.
- дараа нь сегментийн төгсгөл ба хамгийн их цэгүүд дэх функцийн утгыг харьцуулж, ба Хэрэв та функцийн хамгийн том утгыг олох шаардлагатай бол тэдгээрийн хамгийн томыг нь сонгоно уу
- эсвэл сегментийн төгсгөл ба хамгийн бага цэгүүд дэх функцын утгыг харьцуулж, ба Хэрэв та функцийн хамгийн бага утгыг олох шаардлагатай бол тэдгээрийн хамгийн багыг сонгоно уу
Гэсэн хэдий ч функц интервал дээр хэрхэн ажиллахаас хамааран энэ алгоритмыг мэдэгдэхүйц бууруулж болно.
Функцийг авч үзье 
. Энэ функцийн график дараах байдалтай байна.
Асуудлыг шийдвэрлэх зарим жишээг авч үзье нээлттэй банкдаалгаврууд
1 . Даалгавар B15 (#26695)
Зүссэн дээр.
1. Функц нь x-ийн бүх бодит утгуудад тодорхойлогддог
Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэлд шийдэл байхгүй бөгөөд дериватив нь x-ийн бүх утгын хувьд эерэг байна. Тиймээс функц нь нэмэгдэж интервалын баруун төгсгөлд, өөрөөр хэлбэл x=0 үед хамгийн том утгыг авна.
Хариулт: 5.
2 . Даалгавар B15 (No 26702)
Функцийн хамгийн том утгыг ол 
сегмент дээр.
1.ODZ функц title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Дериватив нь -д тэг байх боловч эдгээр цэгүүдэд тэмдэг өөрчлөгдөхгүй:
Тиймээс title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} нэмэгдэж, интервалын баруун төгсгөлд хамгийн их утгыг авна.
Дериватив яагаад тэмдэг өөрчлөгддөггүйг тодорхой болгохын тулд деривативын илэрхийллийг дараах байдлаар хувиргана.
Гарчиг="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2) (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}
Хариулт: 5.
3 . Даалгавар B15 (#26708)
Интервал дээрх функцийн хамгийн бага утгыг ол.
1. ODZ функцууд: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Энэ тэгшитгэлийн үндсийг тригонометрийн тойрог дээр байрлуулъя.
Интервал нь хоёр тоог агуулна: ба
Тэмдгүүдийг байрлуулцгаая. Үүнийг хийхийн тулд бид x=0 цэг дээрх деривативын тэмдгийг тодорхойлно. 
. Цэгүүд болон дериватив өөрчлөлтүүдээр дамжин өнгөрөхөд тэмдэг.
Функцийн деривативын тэмдгийн өөрчлөлтийг координатын шугам дээр дүрсэлье.
Мэдээжийн хэрэг, цэг нь хамгийн бага цэг (үүсмэл шинж тэмдэг нь "-" -ээс "+" болж өөрчлөгддөг) бөгөөд интервал дээрх функцийн хамгийн бага утгыг олохын тулд та функцийн утгуудыг харьцуулах хэрэгтэй. хамгийн бага цэг болон сегментийн зүүн төгсгөлд, .
