Сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга. Функцийн хамгийн бага утгыг хэрхэн олох вэ

Функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утга нь авч үзсэн интервал дахь ордны хамгийн том (хамгийн бага) хүлээн зөвшөөрөгдсөн утга юм.

Хамгийн том эсвэл олохын тулд хамгийн бага утгашаардлагатай функцууд:

1. Өгөгдсөн сегментэд ямар суурин цэгүүд багтаж байгааг шалгана уу.
2. 3-р алхамаас эхлэн сегментийн төгсгөл ба хөдөлгөөнгүй цэг дээрх функцийн утгыг тооцоол
3. Олж авсан үр дүнгээс хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг сонгоно уу.

Хамгийн их эсвэл хамгийн бага оноог олохын тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

1. $f"(x)$ функцийн уламжлалыг ол
2. $f"(x)=0$ тэгшитгэлийг шийдэж хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг ол
3. Функцийн деривативыг үржүүлэх.
4. Координатын шугамыг зурж, дээр нь хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг байрлуулж, 3-р зүйлийн тэмдэглэгээг ашиглан олж авсан интервал дахь деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлно.
5. Дүрмийн дагуу хамгийн их буюу хамгийн бага оноог ол: хэрэв тухайн үед дериватив тэмдэг нэмэхээс хасах хүртэл өөрчлөгдвөл энэ нь хамгийн дээд цэг болно (хэрэв хасахаас нэмэх бол энэ нь хамгийн бага цэг болно). Практикт сумны дүрсийг интервал дээр ашиглах нь тохиромжтой байдаг: дериватив эерэг байх интервал дээр сумыг дээш, эсрэгээр нь зурдаг.

Зарим энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгт:

Чиг үүрэг	Дериватив
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Ялгаварлах үндсэн дүрмүүд

1. Нийлбэр ба зөрүүний дериватив нь гишүүн бүрийн деривативтай тэнцүү байна

$(f(x) ± g(x))'= f'(x)± g'(x)$

$f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$ функцийн уламжлалыг ол.

Нийлбэр ба зөрүүний дериватив нь гишүүн бүрийн деривативтай тэнцүү байна

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Бүтээгдэхүүний дериватив.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

$f(x)=4x∙cosx$ деривативыг ол

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Хэсгийн дериватив

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ деривативыг ол

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Цогц функцийн дериватив нь гадаад функцийн дериватив ба дотоод функцийн деривативын үржвэртэй тэнцүү байна.

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

$y=2x-ln⁡(x+11)+4$ функцийн хамгийн бага цэгийг ол

1. Функцийн ODZ-ийг ол: $x+11>0; x>-11$

2. $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$ функцийн уламжлалыг ол.

3. Деривативыг тэгтэй тэнцүүлэх замаар хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг ол

$(2x+21)/(x+11)=0$

Хэрэв тоологч нь тэг, хуваагч нь тэг биш бол бутархай нь тэг болно

$2x+21=0; x≠-11$

4. Координатын шугамыг зурж, дээр нь хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг байрлуулж, үүссэн интервал дахь деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд бид хэт баруун бүсээс дурын тоог, жишээлбэл, тэгийг дериватив болгон орлуулна.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Хамгийн бага цэг дээр дериватив тэмдэг хасахаас нэмэх рүү өөрчлөгддөг тул $-10.5$ цэг нь хамгийн бага цэг болно.

Хариулт: -10.5 доллар

Хай хамгийн өндөр үнэ цэнэ$[-5;1]$ интервал дээр $y=6x^5-90x^3-5$ функцууд

1. $y′=30x^4-270x^2$ функцийн деривативыг ол.

2. Деривативыг тэгтэй тэнцүүлж, суурин цэгүүдийг ол

$30x^4-270x^2=0$

$30x^2$ нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргая

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Хүчин зүйл бүрийг тэгтэй тэнцүүл

$x^2=0; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Өгөгдсөн $[-5;1]$ сегментэд хамаарах хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг сонго

$x=0$ болон $x=-3$ хөдөлгөөнгүй цэгүүд бидэнд тохиромжтой

4. 3-р зүйлээс сегментийн төгсгөл ба хөдөлгөөнгүй цэг дэх функцийн утгыг тооцоол.

Ихэнхдээ физик, математикийн хувьд функцийн хамгийн бага утгыг олох шаардлагатай байдаг. Үүнийг яаж хийх вэ, бид одоо хэлэх болно.

Функцийн хамгийн бага утгыг хэрхэн олох вэ: заавар

1. Өгөгдсөн интервал дахь тасралтгүй функцын хамгийн бага утгыг тооцоолохын тулд та дараах алгоритмыг дагах хэрэгтэй.
2. Функцийн деривативыг ол.
3. Өгөгдсөн сегмент дээр дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх цэгүүд болон бүх чухал цэгүүдийг ол. Дараа нь эдгээр цэгүүд дэх функцийн утгыг олж, өөрөөр хэлбэл x нь тэгтэй тэнцүү байх тэгшитгэлийг шийднэ. Эдгээр утгуудын аль нь хамгийн бага болохыг олж мэдээрэй.
4. Төгсгөлийн цэгүүдэд функц ямар утгатай болохыг олж мэд. Эдгээр цэгүүдэд функцийн хамгийн бага утгыг тодорхойлно уу.
5. Хүлээн авсан өгөгдлийг хамгийн бага утгатай харьцуул. Хүлээн авсан тоонуудаас бага нь функцийн хамгийн бага утга байх болно.

Хэсэг дээрх функц нь хамгийн жижиг цэгүүдгүй тохиолдолд энэ сегмент дээр нэмэгдэж эсвэл буурч байгааг анхаарна уу. Тиймээс функцийн төгсгөлийн сегментүүд дээр хамгийн бага утгыг тооцоолох хэрэгтэй.

Бусад бүх тохиолдолд функцийн утгыг тодорхойлсон алгоритмын дагуу тооцоолно. Алгоритмын алхам бүрт та энгийн зүйлийг шийдэх хэрэгтэй болно шугаман тэгшитгэлнэг үндэстэй. Алдаа гаргахгүйн тулд тэгшитгэлийг зураг ашиглан шийд.

Хагас нээлттэй сегмент дээрх функцийн хамгийн бага утгыг хэрхэн олох вэ? Хагас нээлттэй буюу нээлттэй үефункцийн хувьд хамгийн бага утгыг дараах байдлаар олох ёстой. Функцийн утгын төгсгөлийн цэгүүдэд функцийн нэг талын хязгаарыг тооцоол. Өөрөөр хэлбэл, а+0 ба b+0 гэсэн утгаар тэлэх цэгүүд өгөгдсөн тэгшитгэлийг шийд, энд a, b нь эгзэгтэй цэгүүдийн нэр юм.

Одоо та функцийн хамгийн бага утгыг хэрхэн олохыг мэддэг болсон. Хамгийн гол нь бүх тооцоог зөв, үнэн зөв, алдаагүй хийх явдал юм.

Сегмент дээрх функцийн хамгийн жижиг, хамгийн том утгыг олох үйл явц нь нисдэг тэрэгний объектын эргэн тойронд (функцийн график) тодорхой цэгүүдэд алсын тусгалын их буугаар буудаж, аль нэгийг нь сонгох сонирхолтой нислэгийг санагдуулдаг. Эдгээр цэгүүдэд зориулсан маш онцгой цэгүүд хяналтын цохилт. Оноо нь тодорхой арга замаар, тодорхой дүрмийн дагуу сонгогддог. Ямар дүрмээр? Энэ талаар бид цаашид ярих болно.

Хэрэв функц бол y = е(x) сегмент дээр тасралтгүй [ а, б], дараа нь энэ сегмент дээр хүрдэг наад зах нь Тэгээд хамгийн өндөр үнэ цэнэ . Энэ нь аль аль нь тохиолдож болно экстремум цэгүүдэсвэл сегментийн төгсгөлд. Тиймээс олох наад зах нь Тэгээд функцийн хамгийн том утгууд , сегмент дээр тасралтгүй [ а, б], та түүний утгыг бүхэлд нь тооцоолох хэрэгтэй чухал цэгүүдмөн сегментийн төгсгөлд, дараа нь хамгийн жижиг, хамгийн томыг нь сонгоно.

Жишээлбэл, функцийн хамгийн их утгыг тодорхойлох шаардлагатай болно е(x) сегмент дээр [ а, б] . Үүнийг хийхийн тулд [ дээр хэвтэж байгаа бүх чухал цэгүүдийг олоорой. а, б] .

чухал цэг байгаа цэг гэж нэрлэдэг функцийг тодорхойлсон, мөн тэр деривативнэг бол тэг эсвэл байхгүй. Дараа нь та чухал цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоолох хэрэгтэй. Эцэст нь функцийн утгыг харьцуулах хэрэгтэй чухал цэгүүдмөн сегментийн төгсгөлд ( е(а) Мөн е(б) ). Эдгээр тоонуудаас хамгийн том нь байх болно сегмент дээрх функцийн хамгийн том утга [а, б] .

олох асуудал функцийн хамгийн бага утгууд .

Бид хамтдаа функцийн хамгийн жижиг, хамгийн том утгуудыг хайж байна

Жишээ 1. Функцийн хамгийн бага ба хамгийн том утгыг ол сегмент дээр [-1, 2] .

Шийдэл. Бид энэ функцийн деривативыг олдог. Деривативыг тэгтэй () тэнцүүлээд хоёр чухал цэгийг авна: ба . Тухайн сегмент дээрх функцийн хамгийн бага ба хамгийн том утгыг олохын тулд сегментийн төгсгөл ба цэг дээрх утгыг тооцоолоход хангалттай, учир нь цэг нь сегментэд хамаарахгүй [-1, 2] . Эдгээр функцын утгууд нь дараах байдалтай байна: , , . Үүнийг дагадаг функцийн хамгийн бага утга(доорх график дээр улаанаар тэмдэглэгдсэн), -7-тэй тэнцүү, сегментийн баруун төгсгөлд - цэг дээр хүрнэ. хамгийн агуу(график дээр мөн улаан), 9-тэй тэнцүү байна, - чухал цэг дээр .

Хэрэв функц нь тодорхой интервалд тасралтгүй бөгөөд энэ интервал нь сегмент биш (гэхдээ жишээлбэл, интервал юм; интервал ба сегментийн хоорондох ялгаа: интервалын хилийн цэгүүд интервалд хамаарахгүй, харин сегментийн хилийн цэгүүд сегментэд багтсан болно), дараа нь функцийн утгуудын дунд хамгийн жижиг, хамгийн том нь байж болохгүй. Жишээлбэл, доорх зурагт үзүүлсэн функц нь ]-∞, +∞[ дээр үргэлжилдэг бөгөөд хамгийн том утгагүй байна.

Гэсэн хэдий ч аливаа интервалд (хаалттай, нээлттэй, эсвэл хязгааргүй) дараах тасралтгүй функцүүдийн шинж чанар хадгалагдана.

Жишээ 4. Функцийн хамгийн бага ба хамгийн том утгыг ол сегмент дээр [-1, 3] .

Шийдэл. Бид энэ функцийн деривативыг хуваалтын дериватив гэж олно.

.

Бид деривативыг тэгтэй тэнцүүлэх бөгөөд энэ нь бидэнд нэг чухал цэгийг өгдөг: . Энэ нь [-1, 3] интервалд хамаарна. Өгөгдсөн сегмент дээрх функцийн хамгийн бага ба хамгийн том утгыг олохын тулд бид сегментийн төгсгөл ба олсон чухал цэгээс түүний утгыг олно.

Эдгээр утгыг харьцуулж үзье. Дүгнэлт: -5/13-тай тэнцүү, цэг дээр ба хамгийн том үнэ цэнэцэг дээр 1-тэй тэнцүү байна.

Бид хамтдаа функцийн хамгийн жижиг, хамгийн том утгуудыг хайсаар байна

Функцийн хамгийн бага, хамгийн том утгыг олох сэдвээр оюутнуудад сая авч үзсэнээс илүү төвөгтэй жишээг өгдөггүй, өөрөөр хэлбэл функц нь олон гишүүнт эсвэл бутархай, тоологч байдаг жишээг өгдөггүй багш нар байдаг. ба хуваагч нь олон гишүүнт байна. Гэхдээ бид ийм жишээгээр хязгаарлагдахгүй, учир нь багш нарын дунд сурагчдыг бүрэн дүүрэн сэтгэх дуртай хүмүүс байдаг (үүсмэлийн хүснэгт). Тиймээс логарифм болон тригонометрийн функцийг ашиглана.

Жишээ 6. Функцийн хамгийн бага ба хамгийн том утгыг ол сегмент дээр .

Шийдэл. Бид энэ функцийн деривативыг олох болно бүтээгдэхүүний дериватив :

Бид деривативыг тэгтэй тэнцүүлэх бөгөөд энэ нь нэг чухал цэгийг өгдөг: . Энэ нь сегментэд хамаарна. Өгөгдсөн сегмент дээрх функцийн хамгийн бага ба хамгийн том утгыг олохын тулд бид сегментийн төгсгөл ба олсон чухал цэг дээрх утгыг олно.

Бүх үйлдлийн үр дүн: функц хамгийн бага утгадаа хүрнэ, 0-тэй тэнцүү, цэг дээр ба цэг дээр ба хамгийн том үнэ цэнэтэнцүү д² , цэг дээр .

Жишээ 7. Функцийн хамгийн бага ба хамгийн том утгыг ол сегмент дээр .

Шийдэл. Бид энэ функцийн деривативыг олдог:

Деривативыг тэгтэй тэнцүүл:

Цорын ганц чухал цэг нь сегментэд хамаарна. Өгөгдсөн сегмент дээрх функцийн хамгийн бага ба хамгийн том утгыг олохын тулд бид сегментийн төгсгөл ба олсон чухал цэг дээрх утгыг олно.

Дүгнэлт: функц хамгийн бага утгадаа хүрнэ, тэнцүү, цэг дээр болон хамгийн том үнэ цэнэ, тэнцүү , цэг дээр .

Хэрэглээний экстремаль асуудлуудад хамгийн бага (хамгийн том) функцын утгыг олох нь дүрмээр бол хамгийн бага (хамгийн их) утгыг олох хүртэл буурдаг. Гэхдээ хамгийн бага эсвэл максимум нь өөрөө илүү практик ашиг сонирхлыг татдаг, харин тэдгээрт хүрсэн аргументуудын үнэ цэнэ юм. Хэрэглэсэн асуудлыг шийдвэрлэхэд нэмэлт бэрхшээл гарч ирдэг - авч үзэж буй үзэгдэл эсвэл үйл явцыг дүрсэлсэн функцүүдийн эмхэтгэл.

Жишээ 8Дөрвөлжин суурьтай параллелепипед хэлбэртэй, дээд тал нь онгорхой, 4-ийн багтаамжтай савыг цагаан тугалгатай байх ёстой. Хамгийн бага материалаар бүрхэхийн тулд савны хэмжээ ямар байх ёстой вэ?

Шийдэл. Болъё x- суурь тал h- савны өндөр, С- бүрхүүлгүй гадаргуугийн талбай, В- түүний эзлэхүүн. Савны гадаргуугийн талбайг томъёогоор илэрхийлнэ, өөрөөр хэлбэл. нь хоёр хувьсагчийн функц юм. Илэрхийлэх Снэг хувьсагчийн функц болгон бид , хаанаас гэсэн баримтыг ашигладаг. Олдсон илэрхийллийг орлуулах hтомъёонд оруулав С:

Энэ функцийг экстремумын хувьд авч үзье. Энэ нь ]0, +∞[ , болон дотор хаа сайгүй тодорхойлогдож, ялгагдах боломжтой

.

Бид деривативыг тэгтэй тэнцүүлж () эгзэгтэй цэгийг олно. Нэмж хэлэхэд, -д дериватив байхгүй, гэхдээ энэ утга нь тодорхойлолтын домэйнд ороогүй тул экстремум цэг байж болохгүй. Тиймээс, - цорын ганц чухал цэг. Хоёрдахь хангалттай шалгуурыг ашиглан экстремум байгаа эсэхийг шалгацгаая. Хоёр дахь деривативыг олъё. Хоёр дахь дериватив нь тэгээс их байх үед (). Энэ нь функц хамгийн багадаа хүрэх үед гэсэн үг юм . Учир нь энэ хамгийн бага - энэ функцийн цорын ганц экстремум, энэ нь түүний хамгийн бага утга юм. Тиймээс савны суурийн хажуу тал нь 2 м, түүний өндөртэй тэнцүү байх ёстой.

Жишээ 9Догол мөрөөс А, төмөр замын шугам дээр байрладаг, цэг хүртэл ХАМТ, түүнээс хол зайд л, барааг тээвэрлэх ёстой. Төмөр замаар жингийн нэгжийг нэгж зайд тээвэрлэх зардал нь , хурдны замаар тэнцүү байна. Ямар цэг хүртэл Мшугамууд төмөр зам-аас ачаа тээвэрлэх хурдны зам тавих ёстой АВ ХАМТхамгийн хэмнэлттэй нь байсан ABТөмөр замыг шулуун гэж үздэг)?

Математик шинжилгээний ийм объектыг функц болгон судлах нь маш чухал юм. утга учирболон шинжлэх ухааны бусад салбарт. Жишээлбэл, in эдийн засгийн шинжилгээзан төлөвийг байнга үнэлэх шаардлагатай байдаг функцуудашиг, тухайлбал түүний дээд хэмжээг тодорхойлох утга учиртүүнд хүрэх стратеги боловсруулах.

Заавар

Аливаа зан үйлийг судлах нь үргэлж тодорхойлолтын домэйн хайхаас эхлэх ёстой. Ихэвчлэн тодорхой асуудлын нөхцөл байдлын дагуу хамгийн томийг нь тодорхойлох шаардлагатай байдаг утга учир функцуудЭнэ талбайг бүхэлд нь, эсвэл задгай эсвэл хаалттай хилийн тодорхой интервалд.

-д үндэслэн хамгийн том нь утга учир функцууд y(x0), түүний доор тодорхойлолтын мужын аль ч цэгийн хувьд y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0) тэгш бус байдал хангагдана. Хэрэв та аргументийн утгыг абсцисса тэнхлэгийн дагуу, функцийг өөрөө ордны тэнхлэгийн дагуу байрлуулбал графикийн хувьд энэ цэг хамгийн өндөр байх болно.

Хамгийн томийг тодорхойлох утга учир функцууд, гурван алхамт алгоритмыг дагана уу. Та нэг талт ба -тай ажиллах, мөн деривативыг тооцоолох чадвартай байх ёстойг анхаарна уу. Тэгэхээр y(x) функц өгөгдөж, хамгийн томыг нь олох шаардлагатай утга учирА ба В хилийн утга бүхий зарим интервал дээр.

Энэ интервал нь хамрах хүрээнд байгаа эсэхийг олж мэдээрэй функцууд. Үүнийг хийхийн тулд та бүх боломжит хязгаарлалтыг харгалзан үүнийг олох хэрэгтэй: илэрхийлэлд бутархай байгаа эсэх, квадрат язгуургэх мэт. Тодорхойлолтын домэйн нь функц нь утга учиртай аргументуудын утгуудын багц юм. Өгөгдсөн интервал нь түүний дэд хэсэг мөн эсэхийг тодорхойл. Хэрэв тийм бол дараагийн алхам руу шилжинэ үү.

Деривативыг ол функцууддеривативыг тэгтэй тэнцүүлэх замаар үүссэн тэгшитгэлийг шийднэ. Тиймээс та суурин цэг гэж нэрлэгддэг утгыг авах болно. Тэдгээрийн дор хаяж нэг нь A, B интервалд хамаарах эсэхийг үнэл.

Гурав дахь шатанд эдгээр цэгүүдийг авч үзээд утгыг нь функцээр орлуулна уу. Интервалын төрлөөс хамааран дараах нэмэлт алхмуудыг гүйцэтгэнэ. Хэрэв [A, B] хэлбэрийн сегмент байгаа бол хилийн цэгүүдийг интервалд оруулна, үүнийг хаалтаар тэмдэглэнэ. Утга тооцох функцууд x = A ба x = B-ийн хувьд. Хэрэв нээлттэй интервал (A, B) байвал хилийн утгууд цоорсон, өөрөөр хэлбэл. үүнд ороогүй болно. x→A ба x→B-ийн нэг талын хязгаарыг шийд. [A, B) эсвэл (A, B) хэлбэрийн нийлмэл интервал, тэдгээрийн аль нэг нь түүнд хамаарах, нөгөө нь хамаарахгүй. x нь цоорсон утга руу чиглэж байгаа нэг талын хязгаарыг олж, нөгөөг нь орлуул. функц.Хязгааргүй хоёр талт интервал (-∞, +∞) эсвэл нэг талт төгсгөлгүй интервалууд: , (-∞, B) Бодит А ба В хязгаарын хувьд аль хэдийн тайлбарласан зарчмуудын дагуу, мөн хязгааргүй хэлбэрээр явна. , x→-∞ болон x→+∞-ийн хязгаарыг тус тус хайх.

Энэ үе шатны даалгавар

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга

Функцийн хамгийн том утгыг хамгийн том, хамгийн бага утгыг түүний бүх утгуудаас хамгийн бага гэж нэрлэдэг.

Функц нь зөвхөн нэг хамгийн том, зөвхөн нэг жижиг утгатай байж болно, эсвэл огт байхгүй байж болно. Тасралтгүй функцүүдийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох нь эдгээр функцүүдийн дараах шинж чанарууд дээр суурилдаг.

1) Хэрэв ямар нэг интервалд (хязгааргүй эсвэл төгсгөлгүй) y=f(x) функц тасралтгүй бөгөөд зөвхөн нэг экстремумтай бөгөөд хэрэв энэ нь хамгийн их (хамгийн бага) бол функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утга болно. энэ интервалд.

2) Хэрэв f(x) функц нь зарим сегмент дээр тасралтгүй байвал энэ сегментийн хамгийн том ба хамгийн бага утгатай байх ёстой. Эдгээр утгууд нь сегмент дотор байрлах экстремум цэгүүд эсвэл энэ сегментийн хил дээр хүрдэг.

Сегмент дээрх хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олохын тулд дараах схемийг ашиглахыг зөвлөж байна.

1. Деривативыг ол.

2. =0 эсвэл байхгүй функцийн критик цэгүүдийг ол.

3. Чухал цэгүүд болон сегментийн төгсгөлд байгаа функцийн утгыг олоод тэдгээрээс хамгийн том f max, хамгийн бага f min-ийг сонгоно.

Хэрэглээний асуудлууд, тухайлбал оновчлолын асуудлуудыг шийдвэрлэхдээ X интервал дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг (дэлхийн максимум ба дэлхийн минимум) олох асуудал чухал байдаг.Ийм асуудлуудыг шийдвэрлэхийн тулд нөхцөл байдалд үндэслэн хийх хэрэгтэй. , бие даасан хувьсагчийг сонгоод судалж буй утгыг энэ хувьсагчаар илэрхийлнэ. Дараа нь үүссэн функцийн хүссэн хамгийн их эсвэл хамгийн бага утгыг ол. Энэ тохиолдолд эцсийн болон хязгааргүй байж болох бие даасан хувьсагчийн өөрчлөлтийн интервалыг мөн асуудлын нөхцөлөөс тодорхойлно.

Жишээ.Дөрвөлжин ёроолтой, дээд тал нь нээлттэй, тэгш өнцөгт параллелепипед хэлбэртэй савыг дотор нь цагаан тугалгатай байх ёстой. 108 литрийн багтаамжтай савны хэмжээ ямар байх ёстой вэ. ус, ингэснээр түүний тугалга хийх зардал хамгийн бага байх болно?

Шийдэл.Хэрэв өгөгдсөн багтаамжийн хувьд түүний гадаргуу хамгийн бага байвал савыг цагаан тугалгагаар бүрэх зардал хамгийн бага байх болно. DM - суурийн тал, b дм - савны өндрийг тэмдэглэнэ. Дараа нь түүний гадаргуугийн S талбай тэнцүү байна

БА

Үүний үр дүнд үүссэн хамаарал нь савны гадаргуугийн талбай S (функц) ба суурийн хажуугийн a (аргумент) хоорондын хамаарлыг тогтооно. Бид S функцийг экстремумын хувьд судалдаг. Эхний деривативыг олж, тэгтэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлийг шийд.

Тиймээс a = 6. (a) > 0 бол a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Жишээ. Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол хооронд.

Шийдэл: Заасан функц нь бүх тооны тэнхлэгт тасралтгүй байна. Функцийн дериватив

Дериватив at and at . Эдгээр цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоолъё.

.

Өгөгдсөн интервалын төгсгөлд функцийн утгууд нь тэнцүү байна. Тиймээс функцийн хамгийн том утга нь at, хамгийн бага утга нь at байна.

Өөрийгөө шалгах асуултууд

1. Маягтын тодорхойгүй байдлыг илчлэх L'Hopital дүрмийг томъёол. L'Hospital-ийн дүрмийг ашиглаж болох янз бүрийн тодорхойгүй байдлын төрлийг жагсаа.

2. Өсөх, буурах функцийн шинж тэмдгийг томъёол.

3. Функцийн хамгийн их ба минимумыг тодорхойл.

4. Экстремум оршин байх зайлшгүй нөхцөлийг томъёол.

5. Аргументийн ямар утгыг (ямар цэгүүдийг) шүүмжлэлтэй гэж нэрлэдэг вэ? Эдгээр цэгүүдийг хэрхэн олох вэ?

6. Функцийн экстремум байгаагийн хангалттай шинж тэмдгүүд юу вэ? Эхний дериватив ашиглан экстремумын функцийг судлах схемийг тоймло.

7. Хоёрдахь деривативыг ашиглан экстремумын функцийг судлах схемийг тоймло.

8. Муруйн гүдгэр, хотгорыг тодорхойлно уу.

9. Функцийн графикийн гулзайлтын цэг гэж юу вэ? Эдгээр цэгүүдийг хэрхэн олохыг зааж өгнө үү.

10. Өгөгдсөн сегмент дээрх муруйн гүдгэр ба хотгорын шаардлагатай ба хангалттай шинж тэмдгүүдийг томъёол.

11. Муруйн асимптотыг тодорхойл. Функцийн графикийн босоо, хэвтээ, ташуу асимптотуудыг хэрхэн олох вэ?

12. Улс ерөнхий схемфункцийг судлах, түүний график байгуулах.

13. Өгөгдсөн сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох дүрмийг томъёол.