वर्गमुळ. उदाहरणांसह तपशीलवार सिद्धांत

ऋण नसलेल्या संख्येच्या वर्गमूळाची संकल्पना

x2 = 4 या समीकरणाचा विचार करा. ते ग्राफिक पद्धतीने सोडवू. हे करण्यासाठी, एका प्रणालीमध्ये समन्वयपॅराबोला y = x2 आणि सरळ रेषा y = 4 तयार करा (चित्र 74). ते A (- 2; 4) आणि B (2; 4) या दोन बिंदूंना छेदतात. बिंदू A आणि B चे abscissas x2 = 4 समीकरणाचे मूळ आहेत. म्हणून, x1 = - 2, x2 = 2.

त्याच प्रकारे युक्तिवाद करताना, आपल्याला x2 = 9 (चित्र 74 पहा): x1 = - 3, x2 = 3 या समीकरणाची मुळे सापडतात.

आणि आता x2 = 5 हे समीकरण सोडवण्याचा प्रयत्न करूया; भूमितीय चित्रण अंजीर मध्ये दर्शविले आहे. 75. हे स्पष्ट आहे की या समीकरणाची दोन मुळे x1 आणि x2 आहेत आणि या संख्या, मागील दोन प्रकरणांप्रमाणेच, निरपेक्ष मूल्यामध्ये समान आहेत आणि चिन्हामध्ये (x1 - - x2) विरुद्ध आहेत - परंतु मागील प्रकरणांप्रमाणे, जेथे समीकरणाची मुळे अडचणीशिवाय सापडली (आणि आलेख न वापरताही ती सापडली), x2 \u003d 5 या समीकरणाच्या बाबतीत असे नाही: रेखांकनानुसार, आम्ही मुळांची मूल्ये दर्शवू शकत नाही , आम्ही फक्त ते स्थापित करू शकतो मूळबिंदू - 2 च्या डावीकडे थोडेसे स्थित आहे आणि दुसरा - बिंदू 2 च्या उजवीकडे थोडासा आहे.

परंतु येथे आम्ही एक अप्रिय आश्चर्यासाठी आहोत. असे काही नाही असे दिसून आले अपूर्णांक DIV_ADBLOCK32">

समजा असा एक अपरिवर्तनीय अंश आहे ज्यासाठी समानता https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}, म्हणजे, m2 = 5n2. शेवटची समानता म्हणजे नैसर्गिक संख्या m2 ला 5 ने नि:शेष भाग जातो (भागात आपल्याला n2 मिळतो).

परिणामी, संख्या m2 ही संख्या 5 किंवा 0 ने संपते. परंतु नंतर नैसर्गिक संख्या m देखील एकतर 5 किंवा संख्या 0 ने समाप्त होते, म्हणजे संख्या m ला 5 ने निःशेष भाग जात नाही. दुसऱ्या शब्दांत, m संख्याला 5 ने भागल्यास भागफलामध्ये काही नैसर्गिक संख्या k प्राप्त होईल. याचा अर्थ m = 5k.

आणि आता पहा:

पहिल्या समीकरणात m साठी 5k बदला:

(5k)2 = 5n2, म्हणजे 25k2 = 5n2 किंवा n2 = 5k2.

शेवटची समानता म्हणजे संख्या. 5n2 ला 5 ने निःशेष भाग जात नाही. वरीलप्रमाणे युक्तिवाद करताना, आपण या निष्कर्षावर पोहोचतो की n ही संख्या देखील 5 ने नि:शेष भाग जाते. उर्वरित.

तर, m 5 ने भाग जातो, n 5 ने भाग जातो, त्यामुळे अपूर्णांक कमी करता येतो (5 ने). परंतु आम्ही असे गृहीत धरले की अपूर्णांक अपरिवर्तनीय आहे. काय झला? का, योग्य रीतीने तर्क करताना, आपण मूर्खपणाकडे आलो किंवा, गणितज्ञ म्हणतात त्याप्रमाणे, एक विरोधाभास आला "! होय, कारण मूळ आधार चुकीचा होता, जणू काही असा एक अपरिवर्तनीय अंश आहे, ज्यासाठी समानता ).

जर, योग्य तर्काच्या परिणामी, आम्ही स्थितीशी विरोधाभास आलो, तर आम्ही निष्कर्ष काढतो: आमची धारणा चुकीची आहे, याचा अर्थ असा की जे सिद्ध करणे आवश्यक होते ते खरे आहे.

त्यामुळे, फक्त येत परिमेय संख्या(आणि आम्हाला अजून इतर संख्या माहित नाहीत), आम्ही समीकरण x2 \u003d 5 सोडवू शकणार नाही.

प्रथमच अशी परिस्थिती आल्याने, गणितज्ञांना समजले की त्यांना गणितीय भाषेत वर्णन करण्याचा मार्ग शोधून काढावा लागेल. त्यांनी एक नवीन चिन्ह विचारात आणले, ज्याला त्यांनी वर्गमूळ म्हटले आणि या चिन्हाच्या मदतीने x2 = 5 समीकरणाची मुळे खालीलप्रमाणे लिहिली: ). आता x2 \u003d a फॉर्मच्या कोणत्याही समीकरणासाठी, जेथे a\u003e O, तुम्हाला मुळे सापडतील - ती संख्या आहेतhttps://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!}संपूर्ण किंवा अपूर्णांक नाही.
याचा अर्थ असा की ही परिमेय संख्या नाही, ती नवीन स्वरूपाची संख्या आहे, आम्ही अशा संख्यांबद्दल नंतर अध्याय 5 मध्ये विशेष बोलू.
आत्तासाठी, फक्त लक्षात घ्या की नवीन संख्या 2 आणि 3 च्या दरम्यान आहे, 22 = 4 पासून, जी 5 पेक्षा कमी आहे; Z2 \u003d 9, जे 5 पेक्षा जास्त आहे. तुम्ही स्पष्ट करू शकता:

पुन्हा एकदा, हे लक्षात घ्या की टेबलमध्ये फक्त सकारात्मक संख्या दिसतात, कारण हे वर्गमूळाच्या व्याख्येत नमूद केले आहे. आणि जरी, उदाहरणार्थ, \u003d 25 ही योग्य समानता असली तरी, वर्गमूळ वापरून त्यावरून नोटेशनवर जा (म्हणजे ते लिहा. .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!}एक सकारात्मक संख्या आहे, म्हणून https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}. काय स्पष्ट आहे की ते 4 पेक्षा मोठे आहे परंतु 5 पेक्षा कमी आहे, कारण 42 = 16 (जे 17 पेक्षा कमी आहे) आणि 52 = 25 (जे 17 पेक्षा जास्त आहे).
तथापि, संख्येचे अंदाजे मूल्य वापरून शोधले जाऊ शकते कॅल्क्युलेटर, ज्यामध्ये वर्गमूळ ऑपरेशन आहे; हे मूल्य 4.123 आहे.

संख्या, वर विचारात घेतलेल्या संख्येप्रमाणे, परिमेय नाही.
e) गणना केली जाऊ शकत नाही कारण ऋण संख्येचे वर्गमूळ अस्तित्वात नाही; प्रवेश निरर्थक आहे. प्रस्तावित कार्य चुकीचे आहे.
e) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="कार्य" width="80" height="33 id=">!}, 75 > 0 आणि 752 = 5625 पासून.

सर्वात सोप्या प्रकरणांमध्ये, वर्गमूळ मूल्य लगेच मोजले जाते:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="कार्य" width="65" height="42 id=">!}
उपाय.
पहिली पायरी."शेपटी" सह उत्तर 50 असेल असा अंदाज लावणे कठीण नाही. खरंच, 502 = 2500 आणि 602 = 3600, तर 2809 हे 2500 आणि 3600 च्या दरम्यान आहे.

x 2 = 4 या समीकरणाचा विचार करा. ते ग्राफिक पद्धतीने सोडवू. हे करण्यासाठी, एका समन्वय प्रणालीमध्ये, आम्ही पॅराबोला y \u003d x 2 आणि एक सरळ रेषा y \u003d 4 (चित्र 74) तयार करतो. ते A (- 2; 4) आणि B (2; 4) या दोन बिंदूंना छेदतात. बिंदू A आणि B चे abscissas x 2 \u003d 4 या समीकरणाचे मूळ आहेत. म्हणून, x 1 \u003d - 2, x 2 \u003d 2.

त्याच प्रकारे युक्तिवाद करताना, आपल्याला x 2 \u003d 9 (चित्र 74 पहा): x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 3 या समीकरणाची मुळे सापडतात.

आणि आता x 2 \u003d 5 हे समीकरण सोडवण्याचा प्रयत्न करूया; भूमितीय चित्रण अंजीर मध्ये दर्शविले आहे. 75. हे स्पष्ट आहे की या समीकरणाची दोन मुळे x 1 आणि x 2 आहेत आणि या संख्या, मागील दोन प्रकरणांप्रमाणेच, निरपेक्ष मूल्यामध्ये समान आहेत आणि चिन्हात (x 1 - - x 2) विरुद्ध आहेत - परंतु मागीलपेक्षा विपरीत प्रकरणे , जिथे समीकरणाची मुळे अडचणीशिवाय सापडली (आणि ते आलेख न वापरता देखील आढळू शकतात), हे समीकरण x 2 \u003d 5 च्या बाबतीत नाही: रेखाचित्रानुसार, आम्ही मूल्ये दर्शवू शकत नाही मुळांच्या, आम्ही फक्त हे स्थापित करू शकतो की एक रूट किंचित डाव्या बिंदूंवर स्थित आहे - 2, आणि दुसरे - थोडेसे उजवीकडे

गुण २.

ही संख्या (बिंदू) काय आहे, जी बिंदू 2 च्या उजवीकडे स्थित आहे आणि जी 5 वर्ग देते? हे स्पष्ट आहे की हे 3 नाही, कारण Z 2 \u003d 9, म्हणजे, ते आवश्यकतेपेक्षा जास्त बाहेर वळते (9\u003e 5).

याचा अर्थ आम्हाला स्वारस्य असलेली संख्या 2 आणि 3 च्या दरम्यान स्थित आहे. परंतु 2 आणि 3 च्या दरम्यान परिमेय संख्यांचा असीम संच आहे, उदाहरणार्थ इत्यादी. कदाचित त्यांच्यामध्ये असा काही अंश असेल की? मग आपल्याला x 2 - 5 या समीकरणात कोणतीही अडचण येणार नाही, आपण ते लिहू शकतो

परंतु येथे आम्ही एक अप्रिय आश्चर्यासाठी आहोत. असे दिसून आले की असा कोणताही अपूर्णांक नाही ज्यासाठी समानता आहे
नमूद केलेल्या प्रतिपादनाचा पुरावा ऐवजी कठीण आहे. तरीसुद्धा, आम्ही ते देतो कारण ते सुंदर आणि बोधप्रद आहे, ते समजून घेण्याचा प्रयत्न करणे खूप उपयुक्त आहे.

समजा की असा एक अपरिवर्तनीय अंश आहे, ज्यासाठी समानता आहे. मग , म्हणजे m 2 = 5n 2 . शेवटच्या समानतेचा अर्थ असा आहे की नैसर्गिक संख्या m 2 ला 5 ने भाग न घेता उर्वरित आहे (विशेषतः, n2 निघेल).

परिणामी, m 2 ही संख्या 5 किंवा संख्या 0 ने संपते. परंतु नंतर नैसर्गिक संख्या m देखील एकतर 5 किंवा क्रमांक 0 ने समाप्त होते, म्हणजे. m ही संख्या 5 ने निःशेष भाग जात नाही. दुसऱ्या शब्दांत, m संख्याला 5 ने भागल्यास भागफलामध्ये काही नैसर्गिक संख्या k प्राप्त होईल. याचा अर्थ,
ते m = 5k.
आणि आता पहा:
m 2 \u003d 5n 2;
पहिल्या समीकरणात m साठी 5k बदला:

(5k) 2 = 5n 2 , म्हणजे 25k 2 = 5n 2 किंवा n 2 = 5k 2 .
शेवटची समानता म्हणजे संख्या. 5n 2 ला 5 ने निःशेष भाग जात नाही. वरीलप्रमाणे युक्तिवाद करताना, आपण या निष्कर्षावर पोहोचतो की n ही संख्या देखील 5 ने निःशेष भाग जात नाही.
तर, m 5 ने भाग जातो, n 5 ने भाग जातो, त्यामुळे अपूर्णांक कमी करता येतो (5 ने). परंतु आम्ही असे गृहीत धरले की अपूर्णांक अपरिवर्तनीय आहे. काय झला? का, योग्य रीतीने तर्क करताना, आपण मूर्खपणाकडे आलो किंवा, गणितज्ञ म्हणतात त्याप्रमाणे, एक विरोधाभास आला "! होय, कारण मूळ आधार चुकीचा होता, जणू काही असा एक अपरिवर्तनीय अंश आहे, ज्यासाठी समानता
यावरून आम्ही निष्कर्ष काढतो: असा कोणताही अंश नाही.
आपण नुकतीच पुराव्याची जी पद्धत लागू केली आहे तिला गणितात विरोधाभासाने पुराव्याची पद्धत म्हणतात. त्याचे सार खालीलप्रमाणे आहे. आपल्याला एक विशिष्ट विधान सिद्ध करणे आवश्यक आहे, आणि आम्ही असे गृहीत धरतो की ते धरून नाही (गणितज्ञ म्हणतात: "समजा उलट" - "अप्रिय" च्या अर्थाने नाही, परंतु "जे आवश्यक आहे त्याच्या विरुद्ध" या अर्थाने).
जर, योग्य तर्काच्या परिणामी, आम्ही स्थितीशी विरोधाभास आलो, तर आम्ही निष्कर्ष काढतो: आमची धारणा चुकीची आहे, याचा अर्थ असा की जे सिद्ध करणे आवश्यक होते ते खरे आहे.

तर, केवळ परिमेय संख्या असल्यामुळे (आणि आम्हाला इतर संख्या अद्याप माहित नाहीत), आम्ही समीकरण x 2 \u003d 5 सोडवू शकणार नाही.
प्रथमच अशी परिस्थिती आल्याने, गणितज्ञांना समजले की त्यांना गणितीय भाषेत वर्णन करण्याचा मार्ग शोधून काढावा लागेल. त्यांनी विचारात एक नवीन चिन्ह सादर केले, ज्याला त्यांनी वर्गमूळ म्हटले आणि या चिन्हाचा वापर करून, x 2 \u003d 5 समीकरणाची मुळे खालीलप्रमाणे लिहिली:

वाचतो: "5 चे वर्गमूळ"). आता x 2 \u003d a फॉर्मच्या कोणत्याही समीकरणासाठी, जेथे a\u003e O, तुम्हाला मुळे सापडतील - ती संख्या आहेत , (अंजीर 76).

पुन्हा, आम्ही यावर जोर देतो की संख्या पूर्णांक नाही आणि अपूर्णांक नाही.
याचा अर्थ असा की ही परिमेय संख्या नाही, ती नवीन स्वरूपाची संख्या आहे, आम्ही अशा संख्यांबद्दल नंतर अध्याय 5 मध्ये विशेष बोलू.
आतासाठी, फक्त लक्षात घ्या की नवीन संख्या 2 आणि 3 च्या दरम्यान आहे, 2 2 = 4 पासून, जी 5 पेक्षा कमी आहे; Z 2 \u003d 9, आणि हे 5 पेक्षा जास्त आहे. तुम्ही स्पष्ट करू शकता:

खरंच, 2.2 2 = 4.84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. तुम्ही अजूनही करू शकता
निर्दिष्ट करा:

खरंच, २.२३ २ = ४.९७२९< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
सराव मध्ये, असे मानले जाते की संख्या 2.23 च्या बरोबरीची आहे किंवा ती 2.24 च्या बरोबरीची आहे, फक्त ही एक सामान्य समानता नाही, परंतु अंदाजे समानता आहे, ज्यासाठी चिन्ह वापरले जाते.
तर,

x 2 = a या समीकरणाच्या सोल्यूशनची चर्चा करताना, आम्हाला गणितासाठी अगदी सामान्य परिस्थितीचा सामना करावा लागला. अ-मानक, असामान्य (अंतराळवीरांना म्हणायचे आहे तसे) परिस्थितीत येणे आणि ज्ञात साधनांच्या मदतीने त्यातून मार्ग न शोधणे, गणितज्ञ गणितासाठी एक नवीन संज्ञा आणि नवीन पद (नवीन चिन्ह) घेऊन येतात. मॉडेल जे त्यांना पहिल्यांदाच भेटले आहे; दुसऱ्या शब्दांत, ते एक नवीन संकल्पना मांडतात आणि नंतर याच्या गुणधर्मांचा अभ्यास करतात
संकल्पना अशा प्रकारे, नवीन संकल्पना आणि त्याचे पदनाम हे गणितीय भाषेचे गुणधर्म बनतात. आम्ही त्याच प्रकारे कार्य केले: आम्ही "अ या संख्येचे वर्गमूळ" हा शब्द प्रचलित केला, ते दर्शविण्यासाठी एक चिन्ह सादर केले आणि थोड्या वेळाने आम्ही नवीन संकल्पनेच्या गुणधर्मांचा अभ्यास करू. आतापर्यंत आम्हाला फक्त एक गोष्ट माहित आहे: जर a > 0,
नंतर समीकरण x 2 = a चे समाधान करणारी धन संख्या आहे. दुसऱ्या शब्दांत, अशी सकारात्मक संख्या आहे, जेव्हा वर्ग केला जातो तेव्हा संख्या a मिळते.
समीकरण x 2 \u003d 0 चे मूळ x \u003d 0 असल्याने, आम्ही असे गृहीत धरण्यास सहमत झालो.
आम्ही आता कठोर व्याख्या देण्यास तयार आहोत.
व्याख्या. नॉन-ऋण संख्या a चे वर्गमूळ ही एक नॉन-ऋणात्मक संख्या आहे ज्याचा वर्ग a आहे.

ही संख्या दर्शविली जाते, संख्या आणि त्याच वेळी मूळ संख्या म्हणतात.
तर, जर एक नॉन-ऋणात्मक संख्या असेल, तर:

जर ए< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
अशा प्रकारे, अभिव्यक्तीचा अर्थ तेव्हाच होतो जेव्हा a > 0.
असे ते म्हणतात - समान गणितीय मॉडेल (नॉन-नकारात्मक संख्यांमधील समान संबंध
(a आणि b), परंतु फक्त दुसऱ्याचे वर्णन पहिल्यापेक्षा सोप्या भाषेत केले आहे (सोपी चिन्हे वापरतात).

ऋण नसलेल्या संख्येचे वर्गमूळ शोधण्याच्या क्रियेला वर्गमूळ घेणे म्हणतात. हे ऑपरेशन स्क्वेअरिंगच्या उलट आहे. तुलना करा:

पुन्हा एकदा, हे लक्षात घ्या की टेबलमध्ये फक्त सकारात्मक संख्या दिसतात, कारण हे वर्गमूळाच्या व्याख्येत नमूद केले आहे. आणि जरी, उदाहरणार्थ, (- 5) 2 \u003d 25 ही योग्य समानता असली तरी, वर्गमूळ वापरून त्यावरून नोटेशनवर जा (म्हणजे ते लिहा.)
ते निषिद्ध आहे. ए-प्रायरी, . एक सकारात्मक संख्या आहे, म्हणून .
बहुतेकदा ते "वर्गमूळ" नाही तर "अंकगणित वर्गमूळ" म्हणतात. आम्ही संक्षिप्ततेसाठी "अंकगणित" हा शब्द वगळतो.

ड) मागील उदाहरणांप्रमाणे, आम्ही संख्येचे अचूक मूल्य निर्दिष्ट करू शकत नाही. हे फक्त स्पष्ट आहे की ते 4 पेक्षा मोठे आहे परंतु 5 पेक्षा कमी आहे

4 2 = 16 (म्हणजे 17 पेक्षा कमी आहे) आणि 5 2 = 25 (म्हणजे 17 पेक्षा जास्त आहे).
तथापि, संख्येचे अंदाजे मूल्य मायक्रोकॅल्क्युलेटर वापरून शोधले जाऊ शकते, ज्यामध्ये वर्गमूळ काढण्याचे ऑपरेशन असते; हे मूल्य 4.123 आहे.
तर,
संख्या, वर विचारात घेतलेल्या संख्येप्रमाणे, परिमेय नाही.
e) गणना केली जाऊ शकत नाही कारण ऋण संख्येचे वर्गमूळ अस्तित्वात नाही; प्रवेश निरर्थक आहे. प्रस्तावित कार्य चुकीचे आहे.
e), 31 > 0 आणि 31 2 = 961 पासून. अशा परिस्थितीत, तुम्हाला नैसर्गिक संख्यांच्या वर्गांचे टेबल किंवा मायक्रोकॅल्क्युलेटर वापरावे लागेल.
g) 75 > 0 आणि 75 2 = 5625 पासून.
सर्वात सोप्या प्रकरणांमध्ये, वर्गमूळाचे मूल्य ताबडतोब मोजले जाते: इत्यादी. अधिक जटिल प्रकरणांमध्ये, तुम्हाला संख्यांच्या वर्गांची सारणी वापरावी लागेल किंवा मायक्रोकॅल्क्युलेटर वापरून गणना करावी लागेल. पण हातात स्प्रेडशीट किंवा कॅल्क्युलेटर नसेल तर? खालील उदाहरण सोडवून या प्रश्नाचे उत्तर देऊ.

उदाहरण २गणना करा
उपाय.
पहिली पायरी."शेपटी" सह उत्तर 50 असेल असा अंदाज लावणे कठीण नाही. खरंच, 50 2 = 2500, आणि 60 2 = 3600, तर संख्या 2809 ही संख्या 2500 आणि 3600 मधील आहे.

दुसरा टप्पा.चला "शेपटी" शोधू, म्हणजे. इच्छित संख्येचा शेवटचा अंक. आतापर्यंत आपल्याला माहित आहे की जर रूट घेतले तर उत्तर 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 किंवा 59 असू शकते. फक्त दोन संख्या तपासल्या पाहिजेत: 53 आणि 57, कारण फक्त तेच आहेत. , स्क्वेअर केल्यावर, परिणाम 9 ने समाप्त होणारी चार अंकी संख्या देईल, 2809 सारखाच अंक.
आमच्याकडे 532 = 2809 आहे - आम्हाला हेच हवे आहे (आम्ही भाग्यवान होतो, आम्ही ताबडतोब "बुल्स डोळा" मारला). तर = 53.
उत्तर:

53
उदाहरण ३काटकोन त्रिकोणाचे पाय 1 सेमी आणि 2 सेमी आहेत. त्रिकोणाचे कर्ण काय आहे? (चित्र.77)

उपाय.

भूमितीवरून ज्ञात पायथागोरियन प्रमेय वापरुया: काटकोन त्रिकोणाच्या पायांच्या लांबीच्या वर्गांची बेरीज त्याच्या कर्णाच्या लांबीच्या चौरसाइतकी असते, म्हणजे a 2 + b 2 \u003d c 2, जेथे a, b हे पाय आहेत, c हा काटकोन त्रिकोणाचा कर्ण आहे.

म्हणजे,

हे उदाहरण दर्शविते की वर्गमूळांची ओळख ही गणितज्ञांची लहरी नसून वस्तुनिष्ठ गरज आहे: वास्तविक जीवनात अशी परिस्थिती असते ज्यांच्या गणितीय मॉडेलमध्ये वर्गमूळ काढण्याची क्रिया असते. कदाचित यापैकी सर्वात महत्वाची परिस्थिती आहे
द्विघात समीकरणे सोडवणे. आत्तापर्यंत, ax 2 + bx + c \u003d 0 या द्विघात समीकरणांना भेटताना, आम्ही एकतर डावी बाजू (जी नेहमी काम करत नाही) फॅक्टराइज केली किंवा ग्राफिकल पद्धती वापरायच्या (ज्या खूप विश्वासार्ह नसल्या तरी सुंदर आहेत). खरं तर, शोधण्यासाठी
गणितातील द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c \u003d 0 ची मूळ x 1 आणि x 2, सूत्रे वापरली जातात

वरवर पाहता, वर्गमूळाचे चिन्ह असलेले. ही सूत्रे खालीलप्रमाणे व्यवहारात लागू केली जातात. उदाहरणार्थ, 2x 2 + bx - 7 \u003d 0 हे समीकरण सोडवणे आवश्यक आहे. येथे a \u003d 2, b \u003d 5, c \u003d - 7. म्हणून,
b2 - 4ac \u003d 5 2 - 4. 2. (- 7) = 81. मग आपण शोधू. म्हणजे,

ती परिमेय संख्या नाही हे आम्ही वर नमूद केले आहे.
गणितज्ञ अशा संख्यांना अपरिमेय म्हणतात. वर्गमूळ न घेतल्यास फॉर्मची कोणतीही संख्या अपरिमेय आहे. उदाहरणार्थ, इ. अपरिमेय संख्या आहेत. अध्याय 5 मध्ये, आपण परिमेय आणि अपरिमेय संख्यांबद्दल अधिक बोलू. परिमेय आणि अपरिमेय संख्या एकत्रितपणे वास्तविक संख्यांचा संच बनवतात, उदा. त्या सर्व संख्यांचा संच ज्यासह आपण वास्तविक जीवनात कार्य करतो (खरं तर,
नेस). उदाहरणार्थ, - या सर्व वास्तविक संख्या आहेत.
ज्याप्रमाणे आपण वर वर्गमूळाची संकल्पना परिभाषित केली आहे, त्याचप्रमाणे आपण घनमूळाची संकल्पना देखील परिभाषित करू शकतो: नॉन-ऋणात्मक संख्या a चे घनमूळ ही एक नॉन-ऋणात्मक संख्या आहे ज्याचा घन a च्या बरोबरीचा आहे. दुसऱ्या शब्दांत, समानता म्हणजे b 3 = a.

हे सर्व आपण 11 व्या वर्गातील बीजगणित अभ्यासक्रमात अभ्यासू.

या लेखात, आम्ही परिचय करू संख्येच्या मुळाची संकल्पना. आपण क्रमाने कार्य करू: आपण वर्गमूळापासून सुरुवात करू, त्यातून आपण घनमूळाच्या वर्णनाकडे जाऊ, त्यानंतर आपण nव्या अंशाचे मूळ परिभाषित करून मूळ संकल्पना सामान्यीकृत करू. त्याच वेळी, आम्ही व्याख्या, नोटेशन सादर करू, मुळांची उदाहरणे देऊ आणि आवश्यक स्पष्टीकरण आणि टिप्पण्या देऊ.

वर्गमूळ, अंकगणित वर्गमूळ

संख्येच्या मुळाची व्याख्या आणि विशेषत: वर्गमूळ समजून घेण्यासाठी, एखाद्याकडे असणे आवश्यक आहे. या टप्प्यावर, आपल्याला अनेकदा संख्येची दुसरी घात येईल - संख्येचा वर्ग.

चला सुरुवात करूया वर्गमूळ व्याख्या.

व्याख्या

a चे वर्गमूळही संख्या आहे ज्याचा वर्ग a आहे.

आणण्यासाठी वर्गमुळांची उदाहरणे, अनेक संख्या घ्या, उदाहरणार्थ, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 , आणि त्यांचा वर्ग करा, आम्हाला अनुक्रमे 25 , 0.09 , 0.09 आणि 0 संख्या मिळतील (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0.3) 2 =(−0.3) (−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 आणि 0 2 =0 0=0 ). नंतर वरील व्याख्येनुसार, 5 हे 25 चे वर्गमूळ आहे, −0.3 आणि 0.3 हे 0.09 चे वर्गमूळ आहेत आणि 0 हे शून्याचे वर्गमूळ आहे.

हे लक्षात घेतले पाहिजे की कोणत्याही संख्येसाठी a अस्तित्वात नाही, ज्याचा वर्ग a च्या बरोबरीचा आहे. म्हणजे, कोणत्याही ऋण संख्या a साठी, खरी संख्या b नाही ज्याचा वर्ग a च्या बरोबरीचा असेल. खरंच, समानता a=b 2 कोणत्याही ऋण a साठी अशक्य आहे, कारण b 2 ही कोणत्याही b साठी नॉन-ऋणात्मक संख्या आहे. अशा प्रकारे, वास्तविक संख्यांच्या संचावर ऋण संख्येचे वर्गमूळ नसते. दुसऱ्या शब्दांत, वास्तविक संख्यांच्या संचावर, ऋण संख्येचे वर्गमूळ परिभाषित केले जात नाही आणि त्याचा अर्थ नाही.

यामुळे तार्किक प्रश्न निर्माण होतो: “कोणत्याही गैर-ऋणात्मक a साठी a चे वर्गमूळ आहे का”? उत्तर होय आहे. या वस्तुस्थितीचा तर्क वर्गमूळाचे मूल्य शोधण्यासाठी वापरण्यात येणारी रचनात्मक पद्धत मानली जाऊ शकते.

मग खालील तार्किक प्रश्न उद्भवतो: "दिलेल्या गैर-ऋणात्मक संख्येच्या सर्व वर्गमूळांची संख्या a - एक, दोन, तीन किंवा त्याहून अधिक"? याचे उत्तर येथे आहे: जर a शून्य असेल, तर शून्याचे वर्गमूळ शून्य असेल; जर a काही सकारात्मक संख्या असेल, तर a मधील वर्गमूळांची संख्या दोन समान असेल आणि मुळे आहेत. चला हे सिद्ध करूया.

चला केस a=0 ने सुरुवात करूया. प्रथम शून्य हे शून्याचे वर्गमूळ आहे हे दाखवू. हे स्पष्ट समानता 0 2 =0·0=0 आणि वर्गमूळाच्या व्याख्येवरून येते.

आता 0 हे शून्याचे वर्गमूळ आहे हे सिद्ध करू. चला उलट पद्धत वापरू. असे गृहीत धरू की शून्य नसलेली काही संख्या b आहे जी शून्याचे वर्गमूळ आहे. नंतर b 2 =0 ही अट पूर्ण करणे आवश्यक आहे, जे अशक्य आहे, कारण शून्य नसलेल्या b साठी b 2 चे मूल्य सकारात्मक आहे. आम्ही विरोधाभासावर आलो आहोत. यावरून हे सिद्ध होते की 0 हे शून्याचे एकमेव वर्गमूळ आहे.

चला अशा प्रकरणांकडे जाऊ या जेथे a ही सकारात्मक संख्या आहे. वर आपण म्हटले आहे की कोणत्याही नॉन-ऋणात्मक संख्येचे वर्गमूळ नेहमीच असते, b हे a चे वर्गमूळ असू द्या. एक संख्या c आहे, जे a चे वर्गमूळ देखील आहे असे म्हणू या. मग, वर्गमूळाच्या व्याख्येनुसार, समानता b 2 =a आणि c 2 =a वैध आहेत, ज्यावरून ते b 2 −c 2 =a−a=0 चे अनुसरण करते, परंतु b 2 −c 2 =( पासून b−c) ( b+c) , नंतर (b−c) (b+c)=0 . सक्तीमध्ये परिणामी समानता वास्तविक संख्यांसह क्रियांचे गुणधर्म b−c=0 किंवा b+c=0 तेव्हाच शक्य आहे. अशा प्रकारे b आणि c संख्या समान किंवा विरुद्ध आहेत.

जर आपण असे गृहीत धरले की एक संख्या d आहे, जी संख्या a चे दुसरे वर्गमूळ आहे, तर आधीच दिलेल्या प्रमाणेच तर्क करून, d ही संख्या b किंवा c संख्या बरोबर आहे हे सिद्ध होते. तर, धनात्मक संख्येच्या वर्गमूळांची संख्या दोन आहे आणि वर्गमूळ विरुद्ध संख्या आहेत.

वर्गमुळांसह काम करण्याच्या सोयीसाठी, नकारात्मक मूळ सकारात्मक पासून "वेगळे" केले जाते. या हेतूने, तो परिचय अंकगणित वर्गमूळाची व्याख्या.

व्याख्या

ऋण नसलेल्या संख्येचे अंकगणित वर्गमूळ aएक नॉन-ऋणात्मक संख्या आहे ज्याचा वर्ग a च्या बरोबरीचा आहे.

अंक a च्या अंकगणित वर्गमूळासाठी, नोटेशन स्वीकारले जाते. चिन्हाला अंकगणित वर्गमूळ चिन्ह म्हणतात. त्याला मूलगामी चिन्ह असेही म्हणतात. म्हणून, आपण अंशतः "रूट" आणि "रॅडिकल" दोन्ही ऐकू शकता, ज्याचा अर्थ समान ऑब्जेक्ट आहे.

अंकगणित वर्गमूळ चिन्हाखाली असलेल्या संख्येला म्हणतात मूळ संख्या, आणि मूळ चिन्हाखाली अभिव्यक्ती - मूलगामी अभिव्यक्ती, तर "रॅडिकल नंबर" हा शब्द अनेकदा "रॅडिकल एक्सप्रेशन" ने बदलला जातो. उदाहरणार्थ, नोटेशनमध्ये, 151 ही संख्या एक मूलगामी संख्या आहे आणि नोटेशनमध्ये, a ही अभिव्यक्ती मूलगामी अभिव्यक्ती आहे.

वाचताना, "अंकगणित" हा शब्द अनेकदा वगळला जातो, उदाहरणार्थ, एंट्री "सात बिंदू एकोणतीसव्या शतकाचे वर्गमूळ" म्हणून वाचली जाते. "अंकगणित" हा शब्द फक्त तेव्हाच उच्चारला जातो जेव्हा ते जोर देऊ इच्छितात की आपण संख्येच्या सकारात्मक वर्गमूळाबद्दल बोलत आहोत.

सादर केलेल्या नोटेशनच्या प्रकाशात, हे अंकगणित वर्गमूळाच्या व्याख्येवरून येते की कोणत्याही गैर-ऋणात्मक संख्येसाठी a .

अंकगणितीय वर्गमूळ चिन्हाचा वापर करून धन संख्या a ची वर्गमुळं लिहिली जातात आणि . उदाहरणार्थ, 13 चे वर्गमूळ आहेत आणि . शून्याचे अंकगणित वर्गमूळ शून्य आहे, म्हणजेच . ऋण संख्या a साठी, आम्ही अभ्यास करेपर्यंत आम्ही नोंदींना अर्थ जोडणार नाही जटिल संख्या. उदाहरणार्थ, अभिव्यक्ती आणि अर्थहीन आहेत.

वर्गमूळाच्या व्याख्येच्या आधारे, वर्गमूळांचे गुणधर्म सिद्ध केले जातात, जे सहसा व्यवहारात वापरले जातात.

या उपविभागाचा निष्कर्ष काढण्यासाठी, आम्ही लक्षात घेतो की संख्येची वर्गमूळ x 2 =a या व्हेरिएबल x च्या संदर्भात समाधाने आहेत.

च्या घनमूळ

घनमूळाची व्याख्यासंख्या a चा वर्गमूळाच्या व्याख्येप्रमाणेच दिला आहे. फक्त ते एका संख्येच्या घनाच्या संकल्पनेवर आधारित आहे, वर्गावर नाही.

व्याख्या

a चे घनमूळज्या संख्येचा घन a च्या समान आहे त्याला म्हणतात.

चला आणूया घनमुळांची उदाहरणे. हे करण्यासाठी, अनेक संख्या घ्या, उदाहरणार्थ, 7 , 0 , −2/3 , आणि त्यांचा घन करा: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . मग, घनमूळाच्या व्याख्येवर आधारित, आपण असे म्हणू शकतो की संख्या 7 हे 343 चे घनमूळ आहे, 0 हे शून्याचे घनमूळ आहे आणि −2/3 हे −8/27 चे घनमूळ आहे.

हे दर्शविले जाऊ शकते की a या संख्येचे घनमूळ, वर्गमूळाच्या विपरीत, नेहमी अस्तित्त्वात असते आणि केवळ गैर-ऋण अ साठीच नाही तर कोणत्याही वास्तविक संख्येसाठी देखील असते. हे करण्यासाठी, तुम्ही वर्गमूळाचा अभ्यास करताना आम्ही उल्लेख केलेल्या पद्धतीचा वापर करू शकता.

शिवाय, दिलेल्या संख्येचे फक्त एक घनमूळ आहे. चला शेवटचे विधान सिद्ध करूया. हे करण्यासाठी, तीन प्रकरणांचा स्वतंत्रपणे विचार करा: a ही सकारात्मक संख्या आहे, a=0 आणि a ही ऋण संख्या आहे.

हे दाखवणे सोपे आहे की सकारात्मक a साठी, a चे घनमूळ ऋण किंवा शून्य असू शकत नाही. खरंच, b हे a चे घनमूळ असू द्या, मग व्याख्येनुसार आपण समानता b 3 =a लिहू शकतो. हे स्पष्ट आहे की ही समानता ऋण b आणि b=0 साठी सत्य असू शकत नाही, कारण या प्रकरणांमध्ये b 3 =b·b·b ही ऋण संख्या किंवा शून्य असेल. तर धन संख्या a चे घनमूळ ही धन संख्या आहे.

आता समजा की संख्या b व्यतिरिक्त a या संख्येचे आणखी एक घनमूळ आहे, तर ते c दर्शवू. नंतर c 3 =a. म्हणून, b 3 −c 3 =a−a=0 , पण b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(हे संक्षिप्त गुणाकार सूत्र आहे चौकोनी तुकडे फरक), कुठून (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . परिणामी समानता तेव्हाच शक्य आहे जेव्हा b−c=0 किंवा b 2 +b c+c 2 =0. पहिल्या समानतेपासून आपल्याकडे b=c आहे, आणि दुसऱ्या समानतेला कोणतेही उपाय नाहीत, कारण तिची डावी बाजू b आणि c या तीन सकारात्मक संज्ञांची बेरीज म्हणून कोणत्याही सकारात्मक संख्यांसाठी सकारात्मक संख्या आहे b 2 , b c आणि c 2 . यावरून धन संख्या a च्या घनमूळाचे वेगळेपण सिद्ध होते.

a=0 साठी, a चे एकमेव घनमूळ शून्य आहे. खरंच, जर आपण असे गृहीत धरले की एक संख्या b आहे, जी शून्याचे शून्य नसलेले घनमूळ आहे, तर समानता b 3 =0 असणे आवश्यक आहे, जे b=0 तेव्हाच शक्य आहे.

नकारात्मक a साठी, सकारात्मक a साठी केस प्रमाणेच वाद घालू शकतो. प्रथम, आम्ही दर्शवितो की ऋण संख्येचे घनमूळ धन संख्या किंवा शून्याच्या बरोबरीचे असू शकत नाही. दुसरे म्हणजे, आम्ही असे गृहीत धरतो की ऋण संख्येचे दुसरे घनमूळ आहे आणि ते पहिल्याशी एकरूप असेल हे दाखवतो.

म्हणून, दिलेल्या कोणत्याही वास्तविक संख्येचे नेहमी एक घनमूळ असते आणि फक्त एक.

देऊया अंकगणित घनमूळाची व्याख्या.

व्याख्या

ऋण नसलेल्या संख्येचे अंकगणित घनमूळ aएक नॉन-ऋणात्मक संख्या ज्याचा घन a च्या समान आहे त्याला म्हणतात.

नॉन-ऋणात्मक संख्येचे अंकगणित घनमूळ a असे दर्शविले जाते, चिन्हाला अंकगणित घनमूळाचे चिन्ह असे म्हणतात, या अंकातील क्रमांक 3 म्हणतात. रूट सूचक. मूळ चिन्हाखालील संख्या आहे मूळ संख्या, मूळ चिन्हाखाली अभिव्यक्ती आहे मूलगामी अभिव्यक्ती.

जरी अंकगणितीय घनमूळ केवळ अ-नकारात्मक संख्यांसाठी परिभाषित केले गेले असले तरी, अंकगणित घनमूळ चिन्हाखाली नकारात्मक संख्या असलेल्या नोंदी वापरणे देखील सोयीचे आहे. आपण त्यांना खालीलप्रमाणे समजू: , जेथे a ही धन संख्या आहे. उदाहरणार्थ, .

आपण मुळांच्या गुणधर्मांच्या सामान्य लेखात घनमुळांच्या गुणधर्मांबद्दल बोलू.

घनमूळाच्या मूल्याची गणना करणे याला घनमूळ काढणे म्हणतात, या क्रियेची मुळे काढणे या लेखात चर्चा केली आहे: पद्धती, उदाहरणे, उपाय.

या उपविभागाचा निष्कर्ष काढण्यासाठी, आम्ही म्हणतो की a चे घनमूळ हे x 3 =a फॉर्मचे समाधान आहे.

Nth मूळ, n चे अंकगणितीय मूळ

आम्ही एका संख्येवरून मूळ संकल्पना सामान्यीकृत करतो - आम्ही परिचय देतो nव्या मूळचे निर्धारण n साठी.

व्याख्या

a चे nवे मूळही एक संख्या आहे जिची n वी घात a च्या समान आहे.

या व्याख्येवरून हे स्पष्ट होते की संख्या a मधील पहिल्या पदवीचे मूळ ही संख्या a आहे, कारण नैसर्गिक निर्देशकासह पदवीचा अभ्यास करताना, आम्ही 1 = a घेतला.

वर, आम्ही n=2 आणि n=3 - वर्गमूळ आणि घनमूळ साठी nth अंशाच्या मुळाची विशेष प्रकरणे विचारात घेतली. म्हणजेच वर्गमूळ हे दुसऱ्या अंशाचे मूळ आहे आणि घनमूळ हे तृतीय अंशाचे मूळ आहे. n = 4, 5, 6, ... साठी n व्या अंशाच्या मुळांचा अभ्यास करण्यासाठी, त्यांना दोन गटांमध्ये विभागणे सोयीचे आहे: पहिला गट - सम अंशांची मुळे (म्हणजे n = 4, 6 साठी , 8, ...), दुसरा गट - मुळे विषम शक्ती (म्हणजे, n=5, 7, 9, ... साठी). हे या वस्तुस्थितीमुळे आहे की सम अंशांची मुळे वर्गमूळासारखी असतात आणि विषम अंशांची मुळे घनमूळासारखी असतात. चला त्या बदल्यात त्यांच्याशी व्यवहार करूया.

चला मुळांपासून सुरुवात करूया, ज्याच्या बळ संख्या 4, 6, 8, या सम संख्या आहेत... आपण आधीच म्हटल्याप्रमाणे, त्या a या संख्येच्या वर्गमूळाप्रमाणे आहेत. म्हणजेच, a या संख्येपासून कोणत्याही सम अंशाचे मूळ केवळ नॉन-ऋणात्मक a साठी अस्तित्वात आहे. शिवाय, जर a=0 असेल, तर a चे मूळ अद्वितीय आणि शून्याच्या बरोबरीचे असेल आणि जर a>0 असेल, तर a या संख्येपासून सम अंशाची दोन मुळे आहेत आणि ती विरुद्ध संख्या आहेत.

आपण शेवटच्या प्रतिपादनाचे समर्थन करूया. b ला सम अंशाचे मूळ असू द्या (आम्ही ते 2·m असे दर्शवतो, जेथे m ही काही नैसर्गिक संख्या आहे) a वरून. समजा एक संख्या c - a चे आणखी 2 m मूळ आहे. नंतर b 2 m −c 2 m =a−a=0 . पण आपल्याला b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) फॉर्म माहित आहे. (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), नंतर (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. या समानतेवरून ते b−c=0 , किंवा b+c=0 , किंवा खालीलप्रमाणे आहे b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. पहिल्या दोन समानता म्हणजे संख्या b आणि c समान आहेत किंवा b आणि c विरुद्ध आहेत. आणि शेवटची समानता फक्त b=c=0 साठी वैध आहे, कारण त्याच्या डाव्या बाजूला एक अभिव्यक्ती आहे जी कोणत्याही b आणि c साठी गैर-ऋणात्मक संख्यांची बेरीज आहे.

विषम n साठी nth अंशाच्या मुळांबद्दल, ते घनमूळासारखेच आहेत. म्हणजेच, a या संख्येपासून कोणत्याही विषम अंशाचे मूळ कोणत्याही वास्तविक संख्येसाठी अस्तित्त्वात असते आणि दिलेल्या संख्येसाठी a ते अद्वितीय असते.

संख्या a पासून विषम अंश 2·m+1 च्या मुळाचे वेगळेपण a मधील घनमूळाच्या विशिष्टतेच्या पुराव्यासह सादृश्यतेने सिद्ध केले जाते. फक्त इथे समानतेऐवजी a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) b 2 m+1 −c 2 m+1 = फॉर्मची समानता (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). शेवटच्या कंसातील अभिव्यक्ती असे पुन्हा लिहिता येते b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). उदाहरणार्थ, m=2 साठी आपल्याकडे आहे b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). जेव्हा a आणि b दोन्ही सकारात्मक किंवा दोन्ही ऋण असतात, तेव्हा त्यांचा गुणाकार ही धन संख्या असते, तर b 2 +c 2 +b·c ही अभिव्यक्ती, जी नेस्टिंगच्या सर्वोच्च पदवीच्या कंसात असते, ती धनाची बेरीज म्हणून सकारात्मक असते. संख्या आता, नेस्टिंगच्या मागील अंशांच्या कंसातील अभिव्यक्तींकडे क्रमशः पुढे जाताना, आम्ही खात्री करतो की ते धन संख्यांच्या बेरीज म्हणून देखील सकारात्मक आहेत. परिणामी, आम्हाला समानता b 2 m+1 −c 2 m+1 = मिळते (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 b−c=0 , म्हणजे जेव्हा b ही संख्या c च्या बरोबरीची असेल तेव्हाच शक्य आहे.

nth डिग्रीच्या मुळांच्या नोटेशनला सामोरे जाण्याची वेळ आली आहे. त्यासाठी दिला आहे nth अंशाच्या अंकगणितीय मूळचे निर्धारण.

व्याख्या

ऋण नसलेल्या संख्येच्या nव्या अंशाचे अंकगणितीय मूळ aएक नॉन-ऋणात्मक संख्या म्हणतात, ज्याची n वी घात a च्या समान आहे.

मी पुन्हा प्लेटकडे पाहिलं... आणि, चला जाऊया!

चला एका सोप्यापासून सुरुवात करूया:

एक मिनिट थांब. हे, याचा अर्थ आपण ते असे लिहू शकतो:

समजले? तुमच्यासाठी हे पुढील आहे:

परिणामी संख्यांची मुळे नक्की काढलेली नाहीत? काळजी करू नका, येथे काही उदाहरणे आहेत:

पण जर दोन गुणक नसतील तर अधिक? सारखे! मूळ गुणाकार सूत्र अनेक घटकांसह कार्य करते:

आता पूर्णपणे स्वतंत्र:

उत्तरे:शाब्बास! सहमत आहे, सर्वकाही अगदी सोपे आहे, मुख्य गोष्ट म्हणजे गुणाकार सारणी जाणून घेणे!

रूट विभागणी

आम्ही मुळांचा गुणाकार शोधला, आता भागाकाराच्या गुणधर्माकडे जाऊया.

मी तुम्हाला आठवण करून देतो की सर्वसाधारणपणे सूत्र असे दिसते:

आणि याचा अर्थ असा भागाचे मूळ मुळांच्या भागाच्या बरोबरीचे असते.

बरं, चला उदाहरणे पाहू:

हे सर्व विज्ञान आहे. आणि येथे एक उदाहरण आहे:

पहिल्या उदाहरणाप्रमाणे सर्व काही गुळगुळीत नाही, परंतु जसे आपण पाहू शकता, तेथे काहीही क्लिष्ट नाही.

अभिव्यक्ती असे दिसल्यास काय होईल:

आपल्याला फक्त उलट सूत्र लागू करण्याची आवश्यकता आहे:

आणि येथे एक उदाहरण आहे:

आपण ही अभिव्यक्ती देखील पाहू शकता:

सर्व काही समान आहे, फक्त येथे तुम्हाला अपूर्णांकांचे भाषांतर कसे करायचे हे लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे (जर तुम्हाला आठवत नसेल तर विषय पहा आणि परत या!). आठवलं? आता आम्ही ठरवू!

मला खात्री आहे की तुम्ही प्रत्येक गोष्टीचा, प्रत्येक गोष्टीचा सामना केला आहे, आता एका डिग्रीमध्ये मुळे तयार करण्याचा प्रयत्न करूया.

घातांक

वर्गमूळाचा वर्ग केल्यास काय होईल? हे सोपे आहे, संख्येच्या वर्गमूळाचा अर्थ लक्षात ठेवा - ही अशी संख्या आहे ज्याचे वर्गमूळ समान आहे.

तर, ज्याचे वर्गमूळ समान आहे अशा संख्येचा वर्ग केला तर आपल्याला काय मिळेल?

बरं, नक्कीच,!

चला उदाहरणे पाहू:

सर्व काही सोपे आहे, बरोबर? आणि जर रूट वेगळ्या प्रमाणात असेल तर? ठीक आहे!

त्याच तर्काला चिकटून राहा आणि अंशांसह गुणधर्म आणि संभाव्य क्रिया लक्षात ठेवा.

"" विषयावरील सिद्धांत वाचा आणि सर्वकाही आपल्यासाठी अत्यंत स्पष्ट होईल.

उदाहरणार्थ, येथे एक अभिव्यक्ती आहे:

या उदाहरणात, पदवी सम आहे, परंतु ती विषम असल्यास काय? पुन्हा, पॉवर गुणधर्म लागू करा आणि सर्वकाही घटक करा:

यासह, सर्व काही स्पष्ट दिसते आहे, परंतु एका संख्येपासून अंशात रूट कसे काढायचे? येथे, उदाहरणार्थ, हे आहे:

तेही सोपे, बरोबर? जर पदवी दोनपेक्षा जास्त असेल तर? आम्ही अंशांचे गुणधर्म वापरून समान तर्काचे अनुसरण करतो:

बरं, सर्व काही स्पष्ट आहे का? मग तुमची स्वतःची उदाहरणे सोडवा:

आणि येथे उत्तरे आहेत:

रूटच्या चिन्हाखाली परिचय

आपण मुळाशी काय करायला शिकलो नाही! हे फक्त मूळ चिन्हाखाली संख्या प्रविष्ट करण्याचा सराव करण्यासाठी राहते!

हे अगदी सोपे आहे!

समजा आमच्याकडे एक संख्या आहे

आपण त्याचे काय करू शकतो? बरं, अर्थातच, ट्रिपल हे मुळाखाली लपवा, हे लक्षात ठेवताना तिहेरी हे वर्गमूळ आहे!

आम्हाला त्याची गरज का आहे? होय, उदाहरणे सोडवताना फक्त आमची क्षमता वाढवण्यासाठी:

तुम्हाला मुळांचा हा गुणधर्म कसा आवडला? जीवन खूप सोपे करते? माझ्यासाठी, ते बरोबर आहे! फक्त आपण हे लक्षात ठेवले पाहिजे की आपण वर्गमूळ चिन्हाखाली फक्त सकारात्मक संख्या प्रविष्ट करू शकतो.

स्वतःसाठी हे उदाहरण वापरून पहा:
आपण व्यवस्थापित केले? आपण काय मिळवावे ते पाहूया:

शाब्बास! तुम्ही रूट चिन्हाखाली नंबर टाकण्यात व्यवस्थापित केले! चला तितक्याच महत्त्वाच्या गोष्टीकडे वळू - वर्गमूळ असलेल्या संख्यांची तुलना कशी करायची याचा विचार करा!

रूट तुलना

वर्गमूळ असलेल्या संख्यांची तुलना करणे का शिकले पाहिजे?

अगदी साधे. बर्‍याचदा, परीक्षेत आलेल्या मोठ्या आणि लांबलचक अभिव्यक्तींमध्ये, आम्हाला एक तर्कहीन उत्तर मिळते (तुम्हाला ते काय आहे ते आठवते का? आम्ही आज याबद्दल आधीच बोललो!)

आम्हाला प्राप्त उत्तरे समन्वय रेषेवर ठेवण्याची आवश्यकता आहे, उदाहरणार्थ, समीकरण सोडवण्यासाठी कोणता मध्यांतर योग्य आहे हे निर्धारित करण्यासाठी. आणि इथेच अडचण निर्माण होते: परीक्षेत कोणतेही कॅल्क्युलेटर नाही आणि त्याशिवाय कोणती संख्या मोठी आहे आणि कोणती लहान आहे याची कल्पना कशी करावी? बस एवढेच!

उदाहरणार्थ, कोणते मोठे आहे ते ठरवा: किंवा?

तुम्ही लगेच बॅटवरून म्हणणार नाही. बरं, मूळ चिन्हाखाली संख्या जोडण्याची पार्स केलेली प्रॉपर्टी वापरू?

मग पुढे:

बरं, स्पष्टपणे, रूटच्या चिन्हाखालील संख्या जितकी मोठी असेल तितकी मूळ स्वतःच मोठी!

त्या. जर याचा अर्थ.

यावरून आम्ही ठामपणे असा निष्कर्ष काढतो आणि कोणीही आम्हाला अन्यथा पटवून देणार नाही!

मोठ्या संख्येने मुळे काढणे

त्यापूर्वी, आम्ही रूटच्या चिन्हाखाली एक घटक ओळखला, परंतु तो कसा काढायचा? आपल्याला फक्त ते बाहेर काढण्याची आणि जे काढले जाते ते काढण्याची आवश्यकता आहे!

दुसऱ्या मार्गाने जाणे आणि इतर घटकांमध्ये विघटन करणे शक्य होते:

वाईट नाही, बरोबर? यापैकी कोणताही दृष्टिकोन योग्य आहे, तुम्हाला कसे आरामदायक वाटते ते ठरवा.

यासारख्या गैर-मानक कार्यांचे निराकरण करताना फॅक्टरिंग खूप उपयुक्त आहे:

आम्ही घाबरत नाही, आम्ही कृती करतो! आम्ही मूळ अंतर्गत प्रत्येक घटकाचे विघटन स्वतंत्र घटकांमध्ये करतो:

आणि आता ते स्वतः वापरून पहा (कॅल्क्युलेटरशिवाय! ते परीक्षेत नसेल):

हा शेवट आहे का? आम्ही अर्ध्यावर थांबत नाही!

हे सर्व आहे, हे सर्व इतके भयानक नाही, बरोबर?

घडले? चांगले केले, तुम्ही बरोबर आहात!

आता हे उदाहरण वापरून पहा:

आणि एक उदाहरण म्हणजे क्रॅक करण्यासाठी एक कठीण नट आहे, त्यामुळे त्याच्याकडे कसे जायचे ते लगेच समजू शकत नाही. पण आपण अर्थातच दात आहोत.

बरं, फॅक्टरिंग सुरू करूया का? ताबडतोब, आम्ही लक्षात घेतो की तुम्ही संख्येला (विभाज्यतेची चिन्हे लक्षात ठेवा):

आणि आता, ते स्वतः वापरून पहा (पुन्हा, कॅल्क्युलेटरशिवाय!):

बरं, चाललं का? चांगले केले, तुम्ही बरोबर आहात!

सारांश

1. नॉन-ऋणात्मक संख्येचे वर्गमूळ (अंकगणित वर्गमूळ) ही एक नॉन-ऋणात्मक संख्या आहे ज्याचा वर्ग समान आहे.
   .
2. जर आपण फक्त एखाद्या गोष्टीचे वर्गमूळ घेतले तर आपल्याला नेहमी एक गैर-नकारात्मक परिणाम मिळतो.
3. अंकगणित मूळ गुणधर्म:
4. वर्गमुळांची तुलना करताना, हे लक्षात ठेवले पाहिजे की रूटच्या चिन्हाखालील संख्या जितकी मोठी असेल तितकी मूळ स्वतःच मोठी असेल.

तुम्हाला वर्गमूळ कसे आवडते? सर्व स्पष्ट?

वर्गमूळाबद्दल परीक्षेत तुम्हाला जे काही माहित असणे आवश्यक आहे ते आम्ही पाण्याशिवाय तुम्हाला समजावून सांगण्याचा प्रयत्न केला.

आता तुझी पाळी. हा विषय तुमच्यासाठी अवघड आहे की नाही हे आम्हाला लिहा.

आपण काहीतरी नवीन शिकलात की सर्वकाही आधीच स्पष्ट होते.

टिप्पण्यांमध्ये लिहा आणि परीक्षेसाठी शुभेच्छा!

चौरस भूखंडाचे क्षेत्रफळ 81 dm² आहे. त्याची बाजू शोधा. समजा चौरसाच्या बाजूची लांबी आहे एक्सडेसिमीटर मग प्लॉटचे क्षेत्रफळ आहे एक्स² चौरस डेसिमीटर. कारण, स्थितीनुसार, हे क्षेत्र 81 dm² आहे, नंतर एक्स² = 81. चौरसाच्या बाजूची लांबी ही धन संख्या आहे. एक धनात्मक संख्या ज्याचा वर्ग 81 आहे ती संख्या 9 आहे. समस्या सोडवताना, x ही संख्या शोधणे आवश्यक होते, ज्याचा वर्ग 81 आहे, म्हणजे समीकरण सोडवा एक्स² = 81. या समीकरणाला दोन मुळे आहेत: x 1 = 9 आणि x 2 \u003d - 9, 9² \u003d 81 आणि (- 9)² \u003d 81 पासून. 9 आणि - 9 या दोन्ही संख्यांना 81 क्रमांकाचे वर्गमूळ म्हणतात.

वर्गमूळांपैकी एक लक्षात घ्या एक्स= 9 ही धन संख्या आहे. याला 81 चे अंकगणित वर्गमूळ म्हणतात आणि √81 असे दर्शवले जाते, म्हणून √81 = 9.

संख्येचे अंकगणित वर्गमूळ एएक नॉन-ऋणात्मक संख्या आहे ज्याचा वर्ग समान आहे ए.

उदाहरणार्थ, संख्या 6 आणि -6 ही 36 चे वर्गमूळ आहेत. संख्या 6 हे 36 चे अंकगणितीय वर्गमूळ आहे, कारण 6 ही नॉन-ऋणात्मक संख्या आहे आणि 6² = 36. संख्या -6 हे अंकगणितीय मूळ नाही.

संख्येचे अंकगणित वर्गमूळ एखालीलप्रमाणे दर्शविले: √ ए.

चिन्हाला अंकगणित वर्गमूळ चिन्ह म्हणतात; एमूळ अभिव्यक्ती म्हणतात. अभिव्यक्ती √ एवाचा याप्रमाणे: संख्येचे अंकगणित वर्गमूळ ए.उदाहरणार्थ, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7. ज्या प्रकरणांमध्ये हे स्पष्ट आहे की आपण अंकगणितीय मुळाबद्दल बोलत आहोत, ते थोडक्यात म्हणतात: "चे वर्गमूळ ए«.

संख्येचे वर्गमूळ शोधण्याच्या क्रियेला वर्गमूळ घेणे म्हणतात. ही क्रिया स्क्वेअरिंगच्या उलट आहे.

कोणत्याही संख्येचा वर्ग केला जाऊ शकतो, परंतु प्रत्येक संख्या वर्गमूळ असू शकत नाही. उदाहरणार्थ, संख्येचे वर्गमूळ काढणे अशक्य आहे - 4. जर असे मूळ अस्तित्त्वात असेल तर, त्यास अक्षराने सूचित करणे एक्स, आम्हाला चुकीची समानता x² \u003d - 4 मिळेल, कारण डावीकडे ऋण नसलेली संख्या आणि उजवीकडे ऋण संख्या आहे.

अभिव्यक्ती √ एतेव्हाच अर्थ प्राप्त होतो a ≥ 0. वर्गमूळाची व्याख्या थोडक्यात लिहिली जाऊ शकते: √ a ≥ 0, (√ए)² = ए. समानता (√ ए)² = एसाठी वैध a ≥ 0. अशा प्रकारे, नॉन-ऋणात्मक संख्येचे वर्गमूळ असल्याची खात्री करणे एसमान b, म्हणजे, ते √ ए =b, तुम्हाला खालील दोन अटी पूर्ण झाल्या आहेत हे तपासण्याची आवश्यकता आहे: b ≥ 0, b² = ए.

अपूर्णांकाचे वर्गमूळ

चला गणना करूया. लक्षात घ्या की √25 = 5, √36 = 6, आणि समानता आहे का ते तपासा.

कारण आणि मग समानता खरी आहे. तर, .

प्रमेय:तर ए≥ 0 आणि b> 0, म्हणजे, अपूर्णांकाचे मूळ हे भाजकाच्या मुळाने भागलेल्या अंशाच्या मुळाशी असते. हे सिद्ध करणे आवश्यक आहे: आणि .

√ पासून ए≥0 आणि √ b> 0, नंतर.

अपूर्णांकाला घात वाढवण्याच्या आणि वर्गमूळ निर्धारित करण्याच्या गुणधर्माद्वारे प्रमेय सिद्ध झाले आहे. चला काही उदाहरणे पाहू.

सिद्ध प्रमेयानुसार गणना करा .

दुसरे उदाहरण: ते सिद्ध करा , तर ए ≤ 0, b < 0. .

दुसरे उदाहरण: गणना करा.

.

स्क्वेअर रूट परिवर्तन

रूटच्या चिन्हाखालील गुणक बाहेर काढणे. एक अभिव्यक्ती द्या. तर ए≥ 0 आणि b≥ 0, नंतर उत्पादनाच्या मुळावरील प्रमेयाद्वारे, आपण लिहू शकतो:

अशा परिवर्तनास मूळ चिन्हाचे फॅक्टरिंग म्हणतात. एक उदाहरण विचारात घ्या;

येथे गणना करा एक्स= 2. थेट प्रतिस्थापन एक्समूलगामी अभिव्यक्तीमध्ये = 2 क्लिष्ट आकडेमोड करते. जर आपण प्रथम मूळ चिन्हाखालील घटक काढून टाकले तर ही गणना सरलीकृत केली जाऊ शकते: . आता x = 2 च्या जागी, आपल्याला मिळते:.

तर, मूळ चिन्हाच्या अंतर्गत घटक काढताना, मूलगामी अभिव्यक्ती एक उत्पादन म्हणून दर्शविली जाते ज्यामध्ये एक किंवा अधिक घटक गैर-ऋणात्मक संख्यांचे वर्ग असतात. त्यानंतर मूळ उत्पादन प्रमेय लागू केला जातो आणि प्रत्येक घटकाचे मूळ घेतले जाते. एका उदाहरणाचा विचार करा: पहिल्या दोन पदांमधील मूळ चिन्हाखालील घटक काढून A = √8 + √18 - 4√2 ही अभिव्यक्ती सोपी करा, आम्हाला मिळते:. आम्ही समानतेवर भर देतो फक्त तेव्हाच वैध ए≥ 0 आणि b≥ 0. जर ए < 0, то .