Ludwig Boltzmann: Personlige prestasjoner. Boltzmann konstant

Plan:

Introduksjon

• 1 Sammenheng mellom temperatur og energi
• 2 Definisjon av entropi
Notater

Introduksjon

Boltzmanns konstant (k eller k B) er en fysisk konstant som definerer forholdet mellom temperatur og energi. Oppkalt etter den østerrikske fysikeren Ludwig Boltzmann, som ga store bidrag til statistisk fysikk, der denne konstanten spiller en nøkkelrolle. Dens eksperimentelle verdi i SI-systemet er

J/K .

Tallene i parentes indikerer standardfeilen i de siste sifrene i mengdeverdien. Boltzmanns konstant kan fås fra definisjonen av absolutt temperatur og andre fysiske konstanter. Å beregne Boltzmann-konstanten ved å bruke de første prinsippene er imidlertid for komplisert og umulig med den nåværende kunnskapstilstanden. I det naturlige systemet av Planck-enheter er den naturlige enheten for temperatur gitt slik at Boltzmanns konstant er lik enhet.

Den universelle gasskonstanten er definert som produktet av Boltzmanns konstant og Avogadros tall, R = kN EN. Gasskonstanten er mer praktisk når antall partikler er gitt i mol.

1. Sammenheng mellom temperatur og energi

I en homogen ideell gass ved absolutt temperatur T, energien per hver translasjonsgrad av frihet er lik, som følger av Maxwell-fordelingen kT/ 2 . Ved romtemperatur (300 K) er denne energien J, eller 0,013 eV. I en monoatomisk idealgass har hvert atom tre frihetsgrader tilsvarende tre romlige akser, som betyr at hvert atom har en energi på .

Når vi kjenner den termiske energien, kan vi beregne rotmiddelkvadrathastigheten til atomene, som er omvendt proporsjonal med kvadratroten av atommassen. Rotens gjennomsnittlige kvadrathastighet ved romtemperatur varierer fra 1370 m/s for helium til 240 m/s for xenon. Når det gjelder en molekylær gass, blir situasjonen mer komplisert, for eksempel har en diatomisk gass allerede omtrent fem frihetsgrader.

2. Definisjon av entropi

Entropien til et termodynamisk system er definert som den naturlige logaritmen av antall forskjellige mikrotilstander Z, tilsvarende en gitt makroskopisk tilstand (for eksempel en tilstand med en gitt total energi).

S = k ln Z.

Proporsjonalitetsfaktor k og er Boltzmanns konstant. Dette er et uttrykk som definerer forholdet mellom mikroskopiske ( Z) og makroskopiske tilstander ( S), uttrykker den sentrale ideen om statistisk mekanikk.

Notater

1. 1 2 3 http://physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt - physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt Fundamental Physical Constants - Komplett oppføring

nedlasting
Dette sammendraget er basert på en artikkel fra russisk Wikipedia. Synkronisering fullført 07/10/11 01:04:29
Lignende sammendrag:

Boltzmanns konstant, som er en koeffisient lik k = 1,38 · 10 - 23 J K, er en del av et betydelig antall formler i fysikk. Den har fått navnet sitt fra den østerrikske fysikeren, en av grunnleggerne av molekylær kinetisk teori. La oss formulere definisjonen av Boltzmanns konstant:

Definisjon 1

Boltzmann konstant er en fysisk konstant som brukes til å bestemme forholdet mellom energi og temperatur.

Den må ikke forveksles med Stefan-Boltzmann-konstanten, som er assosiert med stråling av energi fra et helt fast legeme.

Det finnes ulike metoder for å beregne denne koeffisienten. I denne artikkelen skal vi se på to av dem.

Finne Boltzmanns konstant gjennom den ideelle gassligningen

Denne konstanten kan bli funnet ved å bruke ligningen som beskriver tilstanden til en ideell gass. Det kan bestemmes eksperimentelt at oppvarming av enhver gass fra T 0 = 273 K til T 1 = 373 K fører til en endring i trykket fra p 0 = 1,013 10 5 Pa til p 0 = 1,38 10 5 P a. Dette er et ganske enkelt eksperiment som kan gjøres selv bare med luft. For å måle temperatur må du bruke et termometer, og trykk - et manometer. Det er viktig å huske at antall molekyler i en mol av en hvilken som helst gass er omtrent lik 6 · 10 23, og volumet ved et trykk på 1 atm er lik V = 22,4 liter. Når vi tar i betraktning alle disse parameterne, kan vi fortsette med å beregne Boltzmann-konstanten k:

For å gjøre dette skriver vi ligningen to ganger, og erstatter tilstandsparametrene i den.

Når vi kjenner resultatet, kan vi finne verdien av parameter k:

Å finne Boltzmanns konstant gjennom den Brownske bevegelsesformelen

For den andre beregningsmetoden må vi også gjennomføre et eksperiment. For å gjøre dette må du ta et lite speil og henge det i luften ved hjelp av en elastisk tråd. La oss anta at speil-luft-systemet er i en stabil tilstand (statisk likevekt). Luftmolekylene treffer speilet, som i hovedsak oppfører seg som en Brownsk partikkel. Men med tanke på dens suspenderte tilstand, kan vi observere rotasjonsvibrasjoner rundt en viss akse som sammenfaller med suspensjonen (vertikalt rettet gjenge). La oss nå rette en lysstråle mot overflaten av speilet. Selv med mindre bevegelser og rotasjoner av speilet, vil strålen som reflekteres i det merkbart skifte. Dette gir oss muligheten til å måle rotasjonsvibrasjonene til et objekt.

Ved å betegne torsjonsmodulen som L, treghetsmomentet til speilet i forhold til rotasjonsaksen som J, og speilets rotasjonsvinkel som φ, kan vi skrive oscillasjonsligningen på følgende form:

Minus i ligningen er assosiert med retningen til momentet av elastiske krefter, som har en tendens til å returnere speilet til en likevektsposisjon. La oss nå multiplisere begge sider med φ, integrere resultatet og få:

Følgende ligning er loven om bevaring av energi, som vil bli tilfredsstilt for disse vibrasjonene (det vil si at potensiell energi vil transformeres til kinetisk energi og omvendt). Vi kan betrakte disse vibrasjonene som harmoniske, derfor:

Når vi utledet en av formlene tidligere, brukte vi loven om enhetlig fordeling av energi over frihetsgrader. Så vi kan skrive det slik:

Som vi allerede har sagt, kan rotasjonsvinkelen måles. Så hvis temperaturen er omtrent 290 K, og torsjonsmodulen L ≈ 10 - 15 Nm; φ ≈ 4 · 10 - 6, så kan vi beregne verdien av koeffisienten vi trenger som følger:

Derfor, ved å vite det grunnleggende om Brownsk bevegelse, kan vi finne Boltzmanns konstant ved å måle makroparametere.

Boltzmann konstant verdi

Betydningen av koeffisienten som studeres er at den kan brukes til å relatere parametrene til mikroverdenen med de parameterne som beskriver makroverdenen, for eksempel termodynamisk temperatur med energien til translasjonsbevegelse av molekyler:

Denne koeffisienten er inkludert i ligningene for den gjennomsnittlige energien til et molekyl, tilstanden til en ideell gass, den kinetiske teorien om gasser, Boltzmann-Maxwell-fordelingen og mange andre. Boltzmanns konstant er også nødvendig for å bestemme entropi. Det spiller en viktig rolle i studiet av halvledere, for eksempel i ligningen som beskriver avhengigheten av elektrisk ledningsevne på temperatur.

Eksempel 1

Betingelse: beregne gjennomsnittsenergien til et gassmolekyl som består av N-atommolekyler ved temperatur T, vel vitende om at alle frihetsgrader er opphisset i molekylene - rotasjons-, translasjons-, vibrasjonsgrad. Alle molekyler anses å være volumetriske.

Løsning

Energien er jevnt fordelt over frihetsgradene for hver av sine grader, noe som betyr at disse gradene vil ha samme kinetiske energi. Det vil være lik ε i = 1 2 k T . For å beregne den gjennomsnittlige energien kan vi bruke formelen:

ε = i 2 k T , hvor i = m p o s t + m υ r + 2 m k o l representerer summen av de translasjonsrotasjonelle frihetsgradene. Bokstaven k angir Boltzmanns konstant.

La oss gå videre til å bestemme antall frihetsgrader til molekylet:

m p o s t = 3, m υ r = 3, som betyr m k o l = 3 N - 6.

i = 6 + 6 N - 12 = 6 N - 6; e = 6 N - 6 2 k T = 3 N - 3 k T.

Svar: under disse forholdene vil gjennomsnittsenergien til molekylet være lik ε = 3 N - 3 k T.

Eksempel 2

Betingelse: er en blanding av to ideelle gasser hvis tetthet under normale forhold er lik p. Bestem hva konsentrasjonen av én gass i blandingen vil være, forutsatt at vi kjenner molmassene til begge gassene μ 1, μ 2.

Løsning

Først, la oss beregne den totale massen av blandingen.

m = ρ V = N 1 m 01 + N 2 m 02 = n 1 V m 01 + n 2 V m 02 → ρ = n 1 m 01 + n 2 m 02.

Parameteren m 01 angir massen til et molekyl av én gass, m 02 – massen til et molekyl av en annen, n 2 – konsentrasjonen av molekyler til én gass, n 2 – konsentrasjonen til den andre. Tettheten til blandingen er ρ.

Fra denne ligningen uttrykker vi konsentrasjonen av den første gassen:

n 1 = ρ - n 2 m 02 m 01; n 2 = n - n 1 → n 1 = ρ - (n - n 1) m 02 m 01 → n 1 = ρ - n m 02 + n 1 m 02 m 01 → n 1 m 01 - n 1 m 02 = ρ - n m 02 → n 1 (m 01 - m 02) = ρ - n m 02.

p = n k T → n = p k T .

La oss erstatte den resulterende lik verdien:

n 1 (m 01 - m 02) = ρ - p k T m 02 → n 1 = ρ - p k T m 02 (m 01 - m 02).

Siden vi kjenner de molare massene til gasser, kan vi finne massene til molekylene til den første og andre gassen:

m 01 = μ 1 N A, m 02 = μ 2 N A.

Vi vet også at blandingen av gasser er under normale forhold, d.v.s. trykket er 1 a t m, og temperaturen er 290 K. Det betyr at vi kan vurdere problemet løst.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

I følge Stefan-Boltzmann-loven, tettheten av integrert halvkuleformet stråling E 0 avhenger kun av temperatur og varierer proporsjonalt med fjerde potens av absolutt temperatur T:

Stefan–Boltzmann-konstanten σ 0 er en fysisk konstant inkludert i loven som bestemmer den volumetriske tettheten til den termiske likevektsstrålingen til et absolutt svart legeme:

Historisk sett ble Stefan-Boltzmann-loven formulert før Plancks strålingslov, som den følger som en konsekvens. Plancks lov fastslår avhengigheten av den spektrale flukstettheten til stråling E 0 på bølgelengde λ og temperatur T:

hvor λ – bølgelengde, m; Med=2.998 10 8 m/s – lysets hastighet i vakuum; T– kroppstemperatur, K;
h= 6.625 ×10 -34 J×s – Plancks konstant.

Fysisk konstant k, lik forholdet mellom den universelle gasskonstanten R=8314J/(kg×K) til Avogadros nummer N.A.=6,022× 10 26 1/(kg×mol):

Antall forskjellige systemkonfigurasjoner fra N partikler for et gitt sett med tall n i(antall partikler i Jeg-tilstanden som energien e i tilsvarer) er proporsjonal med verdien:

Omfanget W det er en rekke måter å distribuere på N partikler etter energinivåer. Hvis relasjon (6) er sann, anses det at det opprinnelige systemet følger Boltzmann-statistikken. Sett med tall n i, hvor nummeret W maksimum, forekommer hyppigst og tilsvarer den mest sannsynlige fordelingen.

Fysisk kinetikk– mikroskopisk teori om prosesser i statistisk ikke-likevektssystemer.

Beskrivelsen av et stort antall partikler kan med hell utføres ved bruk av sannsynlige metoder. For en monatomisk gass bestemmes tilstanden til et sett med molekyler av deres koordinater og verdiene av hastighetsprojeksjoner på de tilsvarende koordinataksene. Matematisk beskrives dette av fordelingsfunksjonen, som karakteriserer sannsynligheten for at en partikkel er i en gitt tilstand:

er det forventede antallet molekyler i et volum d d hvis koordinater er i området fra til +d, og hvis hastigheter er i området fra til +d.

Hvis den tidsgjennomsnittlige potensielle energien for interaksjon av molekyler kan neglisjeres sammenlignet med deres kinetiske energi, kalles gassen ideell. En ideell gass kalles en Boltzmann-gass hvis forholdet mellom banelengden til molekylene i denne gassen og den karakteristiske størrelsen på strømmen L selvfølgelig, dvs.

fordi banelengden er omvendt proporsjonal nd 2(n er den numeriske tettheten 1/m 3, d er diameteren til molekylet, m).

Størrelse

kalt H-Boltzmann-funksjon for en enhetsvolum, som er assosiert med sannsynligheten for å oppdage et system av gassmolekyler i en gitt tilstand. Hver tilstand tilsvarer et visst antall fyllende seksdimensjonale romhastighetsceller som faserommet til de aktuelle molekylene kan deles inn i. La oss betegne W sannsynligheten for at det vil være N 1 molekyler i den første cellen i det aktuelle rommet, N 2 i den andre osv.

Opp til en konstant som bestemmer opprinnelsen til sannsynligheten, er følgende relasjon gyldig:

,

Hvor – H-funksjon av et område i rommet EN okkupert av gass. Fra (9) er det klart at W Og H sammenkoblet, dvs. en endring i sannsynligheten for en tilstand fører til en tilsvarende utvikling av H-funksjonen.

Boltzmanns prinsipp etablerer sammenhengen mellom entropi S fysisk system og termodynamisk sannsynlighet W hennes uttaler:

(publisert i henhold til publikasjonen: Kogan M.N. Dynamics of a foreldet gass. - M.: Nauka, 1967.)

Generell visning av CUBE:

hvor er massekraften på grunn av tilstedeværelsen av forskjellige felt (gravitasjonsfelt, elektriske, magnetiske) som virker på molekylet; J– kollisjonsintegral. Det er dette begrepet i Boltzmann-ligningen som tar hensyn til kollisjonene av molekyler med hverandre og de tilsvarende endringene i hastighetene til partikler som interagerer. Kollisjonsintegralet er et femdimensjonalt integral og har følgende struktur:

Ligning (12) med integral (13) ble oppnådd for kollisjoner av molekyler hvor det ikke oppstår tangentielle krefter, dvs. kolliderende partikler anses å være helt glatte.

Under interaksjonen endres ikke den indre energien til molekylene, d.v.s. disse molekylene antas å være perfekt elastiske. Vi tar for oss to grupper av molekyler som har hastigheter og før de kolliderer med hverandre (kollisjon) (fig. 1), og etter kollisjonen henholdsvis hastigheter og . Forskjellen i hastighet kalles relativ hastighet, dvs. . Det er klart at for en jevn elastisk kollisjon. Distribusjonsfunksjoner f 1 ", f", f 1 , f beskrive molekylene til de tilsvarende gruppene etter og før kollisjoner, dvs. ; ; ; .

Ris. 1. Kollisjon av to molekyler.

(13) inkluderer to parametere som karakteriserer plasseringen av kolliderende molekyler i forhold til hverandre: b og e; b– sikteavstand, dvs. den minste avstanden som molekyler vil nærme seg i fravær av interaksjon (fig. 2); ε kalles kollisjonsvinkelparameteren (fig. 3). Integrasjon over b fra 0 til ¥ og fra 0 til 2p (to eksterne integraler i (12)) dekker hele kraftplanet vinkelrett på vektoren

Ris. 2. Molekylenes bane.

Ris. 3. Betraktning av samspillet mellom molekyler i et sylindrisk koordinatsystem: z, b, ε

Boltzmann kinetiske ligning er utledet under følgende forutsetninger og forutsetninger.

1. Det antas at det hovedsakelig skjer kollisjoner av to molekyler, dvs. rollen til kollisjoner av tre eller flere molekyler samtidig er ubetydelig. Denne antakelsen lar oss bruke en efor analyse, som ovenfor ganske enkelt kalles distribusjonsfunksjonen. Å ta hensyn til kollisjonen av tre molekyler fører til behovet for å bruke en to-partikkelfordelingsfunksjon i studien. Følgelig blir analysen betydelig mer komplisert.

2. Antagelse om molekylært kaos. Det kommer til uttrykk i at sannsynlighetene for å detektere partikkel 1 ved fasepunktet og partikkel 2 ved fasepunktet er uavhengige av hverandre.

3. Kollisjoner av molekyler med en hvilken som helst støtavstand er like sannsynlig, dvs. fordelingsfunksjonen endres ikke ved interaksjonsdiameteren. Det skal bemerkes at det analyserte elementet må være lite slik at f innenfor dette elementet endres ikke, men samtidig slik at den relative fluktuasjonen ~ ikke er stor. Interaksjonspotensialene som brukes ved beregning av kollisjonsintegralet er sfærisk symmetriske, dvs. .

Maxwell-Boltzmann distribusjon

Likevektstilstanden til gassen er beskrevet av den absolutte Maxwell-fordelingen, som er en eksakt løsning av Boltzmann kinetiske ligning:

hvor m er massen til molekylet, kg.

Den generelle lokale Maxwell-distribusjonen, ellers kalt Maxwell-Boltzmann-distribusjonen:

i tilfelle når gassen beveger seg som en helhet med hastighet og variablene n, T avhenger av koordinaten
og tid t.

I jordens gravitasjonsfelt viser den nøyaktige løsningen av Boltzmann-ligningen:

Hvor n 0 = tetthet ved jordoverflaten, 1/m3; g– gravitasjonsakselerasjon, m/s 2 ; h– høyde, m. Formel (16) er en eksakt løsning av Boltzmann kinetiske ligning enten i ubegrenset plass eller i nærvær av grenser som ikke bryter med denne fordelingen, mens temperaturen også må holde seg konstant.

Denne siden er designet av Puzina Yu.Yu. med støtte fra Russian Foundation for Basic Research - prosjekt nr. 08-08-00638.

Født i 1844 i Wien. Boltzmann er en pioner og pioner innen vitenskap. Hans arbeider og forskning var ofte uforståelige og avvist av samfunnet. Men med den videre utviklingen av fysikk ble verkene hans anerkjent og deretter publisert.

Forskerens vitenskapelige interesser dekket så grunnleggende områder som fysikk og matematikk. Siden 1867 arbeidet han som lærer ved en rekke høyere utdanningsinstitusjoner. I sin forskning fastslo han at dette skyldes de kaotiske innvirkningene molekyler har på veggene i fartøyet de befinner seg i, mens temperaturen direkte avhenger av bevegelseshastigheten til partikler (molekyler), med andre ord på deres Derfor, jo høyere hastighet disse partiklene beveger seg, jo høyere temperatur. Boltzmanns konstant er oppkalt etter den berømte østerrikske vitenskapsmannen. Det var han som ga et uvurderlig bidrag til utviklingen av statisk fysikk.

Fysisk betydning av denne konstante mengden

Boltzmanns konstant definerer forholdet mellom temperatur og energi. I statisk mekanikk spiller det en stor nøkkelrolle. Boltzmanns konstant er lik k=1,3806505(24)*10 -23 J/K. Tallene i parentes indikerer den tillatte feilen til verdien i forhold til de siste sifrene. Det er verdt å merke seg at Boltzmanns konstant også kan avledes fra andre fysiske konstanter. Imidlertid er disse beregningene ganske komplekse og vanskelige å utføre. De krever dyp kunnskap ikke bare innen fysikk, men også

(k eller k B) er en fysisk konstant som definerer forholdet mellom temperatur og energi. Oppkalt etter den østerrikske fysikeren Ludwig Boltzmann, som ga store bidrag til statistisk fysikk, hvor dette ble en nøkkelposisjon. Dens eksperimentelle verdi i SI-systemet er

Tallene i parentes indikerer standardfeilen i de siste sifrene i mengdeverdien. I prinsippet kan Boltzmanns konstant hentes fra definisjonen av absolutt temperatur og andre fysiske konstanter (for å gjøre dette, må du kunne beregne temperaturen til trippelpunktet til vann fra de første prinsippene). Men å bestemme Boltzmann-konstanten ved å bruke de første prinsippene er for komplekst og urealistisk med den nåværende kunnskapsutviklingen på dette feltet.
Boltzmanns konstant er en redundant fysisk konstant hvis du måler temperatur i energienheter, noe som ofte gjøres i fysikk. Det er faktisk en sammenheng mellom en veldefinert størrelse - energi og grad, hvis betydning har utviklet seg historisk.
Definisjon av entropi
Entropien til et termodynamisk system er definert som den naturlige logaritmen av antall forskjellige mikrotilstander Z som tilsvarer en gitt makroskopisk tilstand (for eksempel tilstander med en gitt total energi).

Proporsjonalitetsfaktor k og er Boltzmanns konstant. Dette uttrykket, som definerer forholdet mellom mikroskopiske (Z) og makroskopiske (S) egenskaper, uttrykker den viktigste (sentrale) ideen om statistisk mekanikk.