hjem › Chassis › Formel for høyden på en avkortet pyramide. Pyramide

Formel for høyden på en avkortet pyramide. Pyramide

Pyramide. Avkuttet pyramide

Pyramide er et polyeder, hvor en av ansiktene er en polygon ( utgangspunkt ), og alle andre flater er trekanter med et felles toppunkt ( sideflater ) (Fig. 15). Pyramiden kalles riktig , hvis basen er en vanlig polygon og toppen av pyramiden projiseres inn i midten av basen (fig. 16). En trekantet pyramide med alle kanter like kalles tetraeder .

Sideribbe av en pyramide er siden av sideflaten som ikke tilhører basen Høyde pyramiden er avstanden fra toppen til basens plan. Alle sidekanter av en vanlig pyramide er like hverandre, alle sideflater er like likebente trekanter. Høyden på sideflaten til en vanlig pyramide trukket fra toppunktet kalles apotem . Diagonalt snitt kalles en del av en pyramide av et plan som går gjennom to sidekanter som ikke tilhører samme flate.

Sideoverflateareal pyramide er summen av arealene til alle sideflater. Totalt overflateareal kalles summen av arealene til alle sideflatene og grunnflaten.

Teoremer

1. Hvis alle sidekantene i en pyramide er like skråstilt til basens plan, projiseres toppen av pyramiden inn i midten av sirkelen som er omskrevet nær basen.

2. Hvis alle sidekantene til en pyramide har like lengder, projiseres toppen av pyramiden inn i midten av en sirkel som er omskrevet nær basen.

3. Hvis alle flatene i en pyramide er like skråstilt til basens plan, projiseres toppen av pyramiden inn i midten av en sirkel innskrevet i basen.

For å beregne volumet til en vilkårlig pyramide, er den riktige formelen:

Hvor V- volum;

S base– basisareal;

H– høyden på pyramiden.

For en vanlig pyramide er følgende formler riktige:

Hvor s– baseomkrets;

h a– apotem;

H- høyde;

S full

S-siden

S base– basisareal;

V– volum av en vanlig pyramide.

Avkuttet pyramide kalt den delen av pyramiden som er innelukket mellom bunnen og et skjæreplan parallelt med bunnen av pyramiden (fig. 17). Vanlig avkortet pyramide kalt den delen av en vanlig pyramide som er innelukket mellom bunnen og et skjæreplan parallelt med bunnen av pyramiden.

Grunner avkortet pyramide - lignende polygoner. Sideflater – trapeser. Høyde av en avkortet pyramide er avstanden mellom dens baser. Diagonal en avkortet pyramide er et segment som forbinder toppene som ikke ligger på samme side. Diagonalt snitt er en del av en avkortet pyramide av et plan som går gjennom to sidekanter som ikke tilhører samme flate.

For en avkortet pyramide er følgende formler gyldige:

(4)

Hvor S 1 , S 2 - områder av øvre og nedre baser;

S full– totalt overflateareal;

S-siden– sideoverflateareal;

H- høyde;

V– volum av en avkortet pyramide.

For en vanlig avkortet pyramide er formelen riktig:

Hvor s 1 , s 2 - omkretsene til basene;

h a– apotem av en vanlig avkortet pyramide.

Eksempel 1. I en vanlig trekantet pyramide er den dihedrale vinkelen ved basen 60º. Finn tangenten til helningsvinkelen til sidekanten til basens plan.

Løsning. La oss lage en tegning (fig. 18).

Pyramiden er regelmessig, noe som betyr at ved basen er det en likesidet trekant og alle sideflatene er like likebente trekanter. Den dihedriske vinkelen ved basen er helningsvinkelen til pyramidens sideflate til basens plan. Den lineære vinkelen er vinkelen en mellom to perpendikulære: osv. Toppen av pyramiden projiseres i midten av trekanten (senteret av den omskrevne sirkelen og den innskrevne sirkelen til trekanten ABC). Helningsvinkelen til sidekanten (for eksempel S.B.) er vinkelen mellom selve kanten og dens projeksjon på basens plan. For ribben S.B. denne vinkelen vil være vinkelen SBD. For å finne tangenten må du kjenne beina SÅ Og O.B.. La lengden på segmentet BD tilsvarer 3 EN. Punktum OM linjestykke BD er delt inn i deler: og Fra finner vi SÅ: Fra finner vi:

Svar:

Eksempel 2. Finn volumet til en vanlig avkortet firkantet pyramide hvis diagonalene til basene er lik cm og cm, og høyden er 4 cm.

Løsning. For å finne volumet til en avkortet pyramide bruker vi formel (4). For å finne arealet til basene, må du finne sidene til basefirkantene, kjenne diagonalene deres. Sidene av basene er lik henholdsvis 2 cm og 8 cm. Dette betyr arealene til basene og Ved å erstatte alle dataene i formelen, beregner vi volumet til den avkortede pyramiden:

Svar: 112 cm 3.

Eksempel 3. Finn arealet av sideflaten til en vanlig trekantet avkortet pyramide, hvis sider er 10 cm og 4 cm, og pyramidens høyde er 2 cm.

Løsning. La oss lage en tegning (fig. 19).

Sideflaten til denne pyramiden er en likebenet trapes. For å beregne arealet til en trapes, må du vite basen og høyden. Basene er gitt i henhold til tilstanden, bare høyden forblir ukjent. Vi finner henne hvorfra EN 1 E vinkelrett fra et punkt EN 1 på planet til den nedre basen, EN 1 D– vinkelrett fra EN 1 pr AC. EN 1 E= 2 cm, siden dette er høyden på pyramiden. Å finne DE La oss lage en ekstra tegning som viser toppvisningen (fig. 20). Punktum OM– projeksjon av sentrene til øvre og nedre baser. siden (se fig. 20) og På den annen side OK– radius innskrevet i sirkelen og OM– radius innskrevet i en sirkel:

MK = DE.

I følge Pythagoras teorem fra

Sideflateområde:

Svar:

Eksempel 4. Ved bunnen av pyramiden ligger en likebenet trapes, hvis baser EN Og b (en> b). Hver sideflate danner en vinkel lik planet til bunnen av pyramiden j. Finn det totale overflatearealet til pyramiden.

Løsning. La oss lage en tegning (fig. 21). Totalt overflateareal av pyramiden SABCD lik summen av arealene og arealet av trapesen ABCD.

La oss bruke påstanden om at hvis alle flatene til pyramiden er like tilbøyelige til basens plan, så projiseres toppunktet inn i midten av sirkelen som er innskrevet i basen. Punktum OM– toppunktprojeksjon S ved bunnen av pyramiden. Triangel SOD er den ortogonale projeksjonen av trekanten CSD til basens plan. Ved å bruke teoremet om arealet av den ortogonale projeksjonen av en plan figur, får vi:

På samme måte betyr det Dermed ble problemet redusert til å finne området til trapesen ABCD. La oss tegne en trapes ABCD separat (fig. 22). Punktum OM– midten av en sirkel innskrevet i en trapes.

Siden en sirkel kan skrives inn i en trapes, så har vi eller Fra Pythagoras teorem

22.09.2014
Driftsprinsipp. Når du trykker på knappen til det første sifferet i SA1-koden, vil DD1.1-utløseren bytte og en høyspenning vises ved D-inngangen til DD1.2-utløseren. Derfor, når du trykker på neste SA2-kodeknapp, endrer trigger DD1.2 status og forbereder neste trigger for veksling. Ved ytterligere korrekt oppringing vil trigger DD2.2 utløses sist, og...
03.10.2014
Den foreslåtte enheten stabiliserer spenning opp til 24V og strøm opp til 2A med kortslutningsbeskyttelse. Ved ustabil oppstart av stabilisatoren, bør synkronisering fra en autonom pulsgenerator brukes (fig. 2. Stabilisatorkretsen er vist i fig. 1. En Schmitt-trigger er satt sammen på VT1 VT2, som styrer en kraftig reguleringstransistor VT3. Detaljer: VT3 er utstyrt med kjøleribbe...
20.09.2014
Forsterkeren (se bilde) er laget i henhold til en tradisjonell krets med auto-biasing-rør: utgang - AL5, drivere - 6G7, kenotron - AZ1. Diagrammet over en av de to kanalene til en stereoforsterker er vist i fig. 1. Fra volumkontrollen leveres signalet til rutenettet til 6G7-lampen, forsterket, og fra anoden til denne lampen gjennom isolasjonskondensatoren C4 leveres til ...
15.11.2017
NE555 er en universell timer - en enhet for å danne (generere) enkle og repeterende pulser med stabile tidskarakteristikk. Det er en asynkron RS-trigger med spesifikke inngangsterskler, nøyaktig definerte analoge komparatorer og en innebygd spenningsdeler (presisjon Schmitt-trigger med RS-trigger). Den brukes til å bygge forskjellige generatorer, modulatorer, tidsreleer, terskelenheter og andre...

Evnen til å beregne volumet av romlige figurer er viktig når man skal løse en rekke praktiske problemer innen geometri. En av de vanligste figurene er pyramiden. I denne artikkelen vil vi vurdere både fulle og avkortede pyramider.

Pyramide som en tredimensjonal figur

Alle vet om de egyptiske pyramidene, så de har en god ide om hva slags figur vi skal snakke om. Imidlertid er egyptiske steinstrukturer bare et spesielt tilfelle av en enorm klasse pyramider.

Det geometriske objektet som vurderes i det generelle tilfellet er en polygonal base, hvor hvert toppunkt er koblet til et bestemt punkt i rommet som ikke tilhører basens plan. Denne definisjonen fører til en figur som består av én n-gon og n trekanter.

Enhver pyramide består av n+1 flater, 2*n kanter og n+1 toppunkter. Siden den aktuelle figuren er et perfekt polyeder, følger antallet markerte elementer Eulers likhet:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Polygonen som ligger ved basen gir navnet på pyramiden, for eksempel trekantet, femkantet, og så videre. Et sett med pyramider med forskjellige baser er vist på bildet nedenfor.

Punktet der n trekanter i en figur møtes kalles toppunktet til pyramiden. Hvis en perpendikulær senkes fra den til basen og den skjærer den i det geometriske sentrum, vil en slik figur bli kalt en rett linje. Hvis denne betingelsen ikke er oppfylt, oppstår en skrå pyramide.

En høyre figur hvis base er dannet av en likesidet (likkantet) n-gon kalles regulær.

Formel for volumet til en pyramide

For å beregne volumet av pyramiden skal vi bruke integralregning. For å gjøre dette deler vi figuren ved å kutte fly parallelt med basen i et uendelig antall tynne lag. Figuren under viser en firkantet pyramide med høyde h og sidelengde L, der firkanten markerer det tynne laget av snittet.

Arealet til hvert slikt lag kan beregnes ved hjelp av formelen:

A(z) = A0*(h-z)2/h2.

Her er A 0 arealet av basen, z er verdien av den vertikale koordinaten. Det kan sees at hvis z = 0, så gir formelen verdien A 0 .

For å få formelen for volumet til en pyramide, bør du beregne integralet over hele høyden på figuren, det vil si:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Ved å erstatte avhengigheten A(z) og beregne antideriverten, kommer vi til uttrykket:

V = -A0*(h-z)3/(3*h2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.

Vi har fått formelen for volumet til en pyramide. For å finne verdien av V, multipliser bare høyden på figuren med arealet av basen, og del deretter resultatet med tre.

Merk at det resulterende uttrykket er gyldig for å beregne volumet til en pyramide av enhver type. Det vil si at den kan skråstilles, og basen kan være en vilkårlig n-gon.

og volumet

Den generelle formelen for volum oppnådd i avsnittet ovenfor kan raffineres i tilfelle av en pyramide med en vanlig base. Arealet til en slik base beregnes ved å bruke følgende formel:

A 0 = n/4*L2 *ctg(pi/n).

Her er L sidelengden til en regulær polygon med n toppunkter. Symbolet pi er tallet pi.

Ved å erstatte uttrykket for A 0 i den generelle formelen får vi volumet til en vanlig pyramide:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

For eksempel, for en trekantet pyramide, resulterer denne formelen i følgende uttrykk:

V3 = 3/12*L2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L2*t.

For en vanlig firkantet pyramide har volumformelen formen:

V4 = 4/12*L2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L2*t.

Å bestemme volumene til vanlige pyramider krever kunnskap om siden av basen deres og høyden på figuren.

Avkuttet pyramide

La oss anta at vi tok en vilkårlig pyramide og kuttet av en del av sideoverflaten som inneholder toppunktet. Den gjenværende figuren kalles en avkortet pyramide. Den består allerede av to n-gonale baser og n trapeser som forbinder dem. Hvis skjæreplanet var parallelt med bunnen av figuren, dannes en avkortet pyramide med lignende parallelle baser. Det vil si at lengdene på sidene til en av dem kan oppnås ved å multiplisere lengdene til den andre med en viss koeffisient k.

Figuren over viser en avkortet regulær.Det kan sees at dens øvre base, som den nedre, er dannet av en regulær sekskant.

Formelen som kan utledes ved å bruke integralregning lik den ovenfor er:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Der A 0 og A 1 er arealene til henholdsvis den nedre (store) og den øvre (små) basen. Variabelen h angir høyden på den avkortede pyramiden.

Volum av Cheops-pyramiden

Det er interessant å løse problemet med å bestemme volumet som den største egyptiske pyramiden inneholder i seg selv.

I 1984 etablerte de britiske egyptologene Mark Lehner og Jon Goodman de nøyaktige dimensjonene til Cheops-pyramiden. Den opprinnelige høyden var 146,50 meter (for tiden omtrent 137 meter). Gjennomsnittlig lengde på hver av de fire sidene av strukturen var 230.363 meter. Basen av pyramiden er firkantet med høy presisjon.

La oss bruke de gitte tallene for å bestemme volumet til denne steingiganten. Siden pyramiden er vanlig firkantet, er formelen gyldig for den:

Ved å erstatte tallene får vi:

V 4 = 1/3*(230.363) 2 *146.5 ≈ 2591444 m 3.

Volumet av Cheops-pyramiden er nesten 2,6 millioner m3. Til sammenligning bemerker vi at det olympiske svømmebassenget har et volum på 2,5 tusen m 3. Det vil si at for å fylle hele Cheops-pyramiden trenger du mer enn 1000 slike bassenger!

er et polyeder som er dannet av bunnen av pyramiden og en seksjon parallelt med den. Vi kan si at en avkortet pyramide er en pyramide med toppen avskåret. Denne figuren har mange unike egenskaper:

Sideflatene til pyramiden er trapeser;
Sidekantene til en vanlig avkortet pyramide er av samme lengde og skrånende til basen i samme vinkel;
Basene er lignende polygoner;
I en vanlig avkortet pyramide er ansiktene identiske likebenede trapeser, hvis areal er likt. De er også tilbøyelige til basen i en vinkel.

Formelen for det laterale overflatearealet til en avkortet pyramide er summen av områdene på sidene:

Siden sidene av en avkortet pyramide er trapeser, må du bruke formelen for å beregne parametrene trapesformet område. For en vanlig avkortet pyramide kan du bruke en annen formel for å beregne arealet. Siden alle sidene, flatene og vinklene ved basen er like, er det mulig å bruke omkretsene til basen og apotemet, og også utlede arealet gjennom vinkelen ved basen.

Hvis, i henhold til forholdene i en vanlig avkortet pyramide, apotem (høyden på siden) og lengdene på sidene av basen er gitt, kan arealet beregnes gjennom halvproduktet av summen av omkretsene til basene og apotemet:

La oss se på et eksempel på beregning av sideoverflatearealet til en avkortet pyramide.
Gitt en vanlig femkantet pyramide. Apotem l= 5 cm, lengden på kanten i den store basen er en= 6 cm, og kanten er ved den mindre basen b= 4 cm. Regn ut arealet av den avkortede pyramiden.

La oss først finne omkretsen til basene. Siden vi får en femkantet pyramide, forstår vi at basene er femkanter. Det betyr at basene inneholder en figur med fem like sider. La oss finne omkretsen til den større basen:

På samme måte finner vi omkretsen til den mindre basen:

Nå kan vi beregne arealet til en vanlig avkortet pyramide. Bytt dataene inn i formelen:

Dermed beregnet vi arealet til en vanlig avkortet pyramide gjennom omkretsene og apotem.

En annen måte å beregne sideoverflatearealet til en vanlig pyramide er formelen gjennom vinklene ved basen og arealet til disse selve basene.

La oss se på et eksempel på beregning. Vi husker at denne formelen bare gjelder for en vanlig avkortet pyramide.

La en vanlig firkantet pyramide gis. Kanten på den nedre basen er a = 6 cm, og kanten på den øvre basen er b = 4 cm. Den dihedrale vinkelen ved basen er β = 60°. Finn det laterale overflatearealet til en vanlig avkortet pyramide.

Først, la oss beregne arealet av basene. Siden pyramiden er regelmessig, er alle kantene på basene like med hverandre. Tatt i betraktning at basen er en firkant, forstår vi at det vil være nødvendig å beregne arealet av torget. Det er produktet av bredde og lengde, men i kvadrat er disse verdiene de samme. La oss finne arealet til den større basen:

Nå bruker vi de funnet verdiene for å beregne sideoverflatearealet.