hjem › Brems › Konverter numeriske og alfabetiske uttrykk. Potensuttrykk (uttrykk med potenser) og deres konvertering 10 bokstavsuttrykk

Konverter numeriske og alfabetiske uttrykk. Potensuttrykk (uttrykk med potenser) og deres konvertering 10 bokstavsuttrykk

Uttrykk, uttrykkskonvertering

Maktuttrykk (uttrykk med makter) og deres transformasjon

I denne artikkelen vil vi snakke om å konvertere uttrykk med krefter. Først vil vi fokusere på transformasjoner som utføres med uttrykk av noe slag, inkludert kraftuttrykk, som å åpne parenteser og bringe lignende termer. Og så vil vi analysere transformasjonene som er iboende spesifikt i uttrykk med grader: arbeide med basen og eksponenten, bruke egenskapene til grader, etc.

Sidenavigering.

Hva er maktuttrykk?

Begrepet "maktuttrykk" forekommer praktisk talt ikke i lærebøker om matematikk i skolen, men det forekommer ganske ofte i oppgavesamlinger, spesielt de som er beregnet på forberedelse til Unified State Exam og Unified State Exam, for eksempel. Etter å ha analysert oppgavene der det er nødvendig å utføre eventuelle handlinger med maktuttrykk, blir det klart at maktuttrykk forstås som uttrykk som inneholder makter i sine oppføringer. Derfor kan du godta følgende definisjon for deg selv:

Definisjon.

Maktuttrykk er uttrykk som inneholder grader.

La oss gi eksempler på maktuttrykk. Videre vil vi presentere dem etter hvordan utviklingen av synspunkter på fra en grad med naturlig eksponent til en grad med reell eksponent skjer.

Som kjent blir man først kjent med potensen til et tall med en naturlig eksponent på dette stadiet, de første enkleste potensuttrykkene av typen 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 vises −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 osv.

Litt senere studeres potensen til et tall med en heltallseksponent, noe som fører til utseendet til potensuttrykk med negative heltallskrefter, som følgende: 3 −2, , a -2 +2 b -3 +c2.

På videregående går de tilbake til grader. Der introduseres en grad med en rasjonell eksponent, som innebærer utseendet til de tilsvarende kraftuttrykkene: , , og så videre. Til slutt vurderes grader med irrasjonelle eksponenter og uttrykk som inneholder dem: , .

Saken er ikke begrenset til de oppførte potensuttrykkene: videre trenger variabelen inn i eksponenten, og for eksempel oppstår følgende uttrykk: 2 x 2 +1 eller . Og etter å ha blitt kjent med , begynner uttrykk med potenser og logaritmer å dukke opp, for eksempel x 2·lgx −5·x lgx.

Så vi har behandlet spørsmålet om hva maktuttrykk representerer. Deretter vil vi lære å forvandle dem.

Hovedtyper av transformasjoner av maktuttrykk

Med maktuttrykk kan du utføre hvilken som helst av de grunnleggende identitetstransformasjonene til uttrykk. For eksempel kan du åpne parenteser, erstatte numeriske uttrykk med deres verdier, legge til lignende termer, etc. Naturligvis, i dette tilfellet, er det nødvendig å følge den aksepterte prosedyren for å utføre handlinger. La oss gi eksempler.

Eksempel.

Regn ut verdien av potensuttrykket 2 3 ·(4 2 −12) .

Løsning.

I henhold til rekkefølgen for utførelse av handlinger, utfør først handlingene i parentes. Der erstatter vi for det første potensen 4 2 med dens verdi 16 (om nødvendig, se), og for det andre beregner vi differansen 16−12=4. Vi har 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

I det resulterende uttrykket erstatter vi potensen 2 3 med verdien 8, hvoretter vi beregner produktet 8·4=32. Dette er ønsket verdi.

Så, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Svar:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Eksempel.

Forenkle uttrykk med krefter 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Løsning.

Det er klart at dette uttrykket inneholder lignende termer 3·a 4 ·b −7 og 2·a 4 ·b −7 , og vi kan presentere dem: .

Svar:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Eksempel.

Uttrykk et uttrykk med krefter som et produkt.

Løsning.

Du kan takle oppgaven ved å representere tallet 9 som en potens av 3 2 og deretter bruke formelen for forkortet multiplikasjon - kvadratforskjell:

Svar:

Det er også en rekke identiske transformasjoner iboende spesifikt i maktuttrykk. Vi vil analysere dem videre.

Arbeid med base og eksponent

Det er potenser hvis base og/eller eksponent ikke bare er tall eller variabler, men noen uttrykk. Som et eksempel gir vi oppføringene (2+0,3·7) 5−3,7 og (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Når du arbeider med slike uttrykk, kan du erstatte både uttrykket i basisen av graden og uttrykket i eksponenten med et identisk likt uttrykk i ODZ av variablene. Med andre ord, i henhold til reglene som er kjent for oss, kan vi separat transformere gradens basis og eksponenten separat. Det er klart at som et resultat av denne transformasjonen vil det oppnås et uttrykk som er identisk likt det opprinnelige.

Slike transformasjoner lar oss forenkle uttrykk med krefter eller oppnå andre mål vi trenger. For eksempel, i potensuttrykket nevnt ovenfor (2+0,3 7) 5−3,7, kan du utføre operasjoner med tallene i grunntallet og eksponenten, som lar deg gå til potensen 4,1 1,3. Og etter å ha åpnet parentesene og ført lignende ledd til grunnen av graden (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), får vi et potensuttrykk av en enklere form a 2·(x+ 1) .

Bruke gradsegenskaper

Et av hovedverktøyene for å transformere uttrykk med krefter er likheter som reflekterer . La oss huske de viktigste. For alle positive tall a og b og vilkårlige reelle tall r og s, er følgende egenskaper til potenser sanne:

a r ·a s =a r+s;
a r:a s =a r−s;
(a·b) r =a r ·b r;
(a:b) r =a r:b r;
(a r) s =a r·s .

Legg merke til at for naturlige, heltalls- og positive eksponenter kan det hende at begrensningene for tallene a og b ikke er så strenge. For naturlige tall m og n gjelder for eksempel likheten a m ·a n =a m+n ikke bare for positiv a, men også for negativ a, og for a=0.

På skolen er hovedfokuset når du transformerer kraftuttrykk på evnen til å velge riktig egenskap og bruke den riktig. I dette tilfellet er grunnene til grader vanligvis positive, noe som gjør at egenskapene til grader kan brukes uten begrensninger. Det samme gjelder for transformasjon av uttrykk som inneholder variabler i potensenes baser - rekkevidden av tillatte verdier for variabler er vanligvis slik at basene bare tar positive verdier på den, noe som lar deg fritt bruke egenskapene til potenser . Generelt må du hele tiden spørre deg selv om det er mulig å bruke en hvilken som helst egenskap av grader i dette tilfellet, fordi unøyaktig bruk av eiendommer kan føre til en innsnevring av den pedagogiske verdien og andre problemer. Disse punktene diskuteres i detalj og med eksempler i artikkelen transformasjon av uttrykk ved bruk av egenskaper til grader. Her skal vi begrense oss til å vurdere noen få enkle eksempler.

Eksempel.

Uttrykk uttrykket a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 som potens med grunntall a.

Løsning.

Først transformerer vi den andre faktoren (a 2) −3 ved å bruke egenskapen til å heve en potens til en potens: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Det opprinnelige kraftuttrykket vil ha formen a 2,5 ·a −6:a −5,5. Åpenbart gjenstår det å bruke egenskapene til multiplikasjon og deling av potenser med samme base, vi har
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Svar:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Egenskaper til potenser ved transformering av kraftuttrykk brukes både fra venstre til høyre og fra høyre til venstre.

Eksempel.

Finn verdien av kraftuttrykket.

Løsning.

Likheten (a·b) r =a r ·b r, brukt fra høyre til venstre, lar oss bevege oss fra det opprinnelige uttrykket til et produkt av formen og videre. Og når du multipliserer potenser med de samme basene, summeres eksponentene: .

Det var mulig å transformere det opprinnelige uttrykket på en annen måte:

Svar:

Eksempel.

Gitt potensuttrykket a 1,5 −a 0,5 −6, introduser en ny variabel t=a 0,5.

Løsning.

Graden a 1,5 kan representeres som en 0,5 3 og deretter, basert på egenskapen til graden til graden (a r) s =a r s, brukt fra høyre til venstre, transformere den til formen (a 0,5) 3. Dermed, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Nå er det enkelt å introdusere en ny variabel t=a 0,5, vi får t 3 −t−6.

Svar:

t 3 −t−6 .

Konvertering av brøker som inneholder potenser

Potensuttrykk kan inneholde eller representere brøker med potenser. Enhver av de grunnleggende transformasjonene av fraksjoner som er iboende i fraksjoner av noe slag, er fullt anvendelige for slike fraksjoner. Det vil si at brøker som inneholder potenser kan reduseres, reduseres til en ny nevner, arbeides separat med telleren sin og separat med nevneren osv. For å illustrere disse ordene, vurder løsninger på flere eksempler.

Eksempel.

Forenkle kraftuttrykk .

Løsning.

Dette kraftuttrykket er en brøkdel. La oss jobbe med telleren og nevneren. I telleren åpner vi parentesene og forenkler det resulterende uttrykket ved å bruke egenskapene til potenser, og i nevneren presenterer vi lignende termer:

Og la oss også endre fortegnet til nevneren ved å sette et minus foran brøken: .

Svar:

Å redusere brøker som inneholder potenser til en ny nevner utføres på samme måte som å redusere rasjonelle brøker til en ny nevner. I dette tilfellet finner man også en tilleggsfaktor, og telleren og nevneren til brøken multipliseres med den. Når du utfører denne handlingen, er det verdt å huske at reduksjon til en ny nevner kan føre til en innsnevring av VA. For å forhindre at dette skjer, er det nødvendig at tilleggsfaktoren ikke går til null for noen verdier av variablene fra ODZ-variablene for det opprinnelige uttrykket.

Eksempel.

Reduser brøkene til en ny nevner: a) til nevner a, b) til nevneren.

Løsning.

a) I dette tilfellet er det ganske enkelt å finne ut hvilken ekstra multiplikator som bidrar til å oppnå ønsket resultat. Dette er en multiplikator på 0,3, siden a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Legg merke til at i området av tillatte verdier for variabelen a (dette er settet av alle positive reelle tall), forsvinner ikke kraften til en 0,3, derfor har vi rett til å multiplisere telleren og nevneren til en gitt brøk med denne tilleggsfaktoren:

b) Hvis du ser nærmere på nevneren, vil du finne det

og multiplisere dette uttrykket med vil gi summen av terninger og , det vil si . Og dette er den nye nevneren som vi må redusere den opprinnelige brøken til.

Slik fant vi tilleggsfaktoren. I området av tillatte verdier for variablene x og y forsvinner ikke uttrykket, derfor kan vi multiplisere telleren og nevneren til brøken med det:

Svar:

EN) , b) .

Det er heller ikke noe nytt i å redusere brøker som inneholder potenser: telleren og nevneren er representert som en rekke faktorer, og de samme faktorene til telleren og nevneren reduseres.

Eksempel.

Reduser brøken: a) , b) .

Løsning.

a) For det første kan telleren og nevneren reduseres med tallene 30 og 45, som er lik 15. Det er også åpenbart mulig å utføre en reduksjon med x 0,5 +1 og med . Her er hva vi har:

b) I dette tilfellet er ikke identiske faktorer i telleren og nevneren umiddelbart synlige. For å få dem, må du utføre foreløpige transformasjoner. I dette tilfellet består de i å faktorisere nevneren ved å bruke formelen for forskjellen på kvadrater:

Svar:

EN)

b) .

Å konvertere brøker til en ny nevner og redusere brøker brukes hovedsakelig til å gjøre ting med brøker. Handlinger utføres i henhold til kjente regler. Når man legger til (subtraherer) brøker, reduseres de til en fellesnevner, hvoretter tellerne adderes (trekkes fra), men nevneren forblir den samme. Resultatet er en brøk hvis teller er produktet av tellerne, og nevneren er produktet av nevnerne. Divisjon med en brøk er multiplikasjon med dens invers.

Eksempel.

Følg stegene .

Løsning.

Først trekker vi fra brøkene i parentes. For å gjøre dette bringer vi dem til en fellesnevner, som er , hvoretter vi trekker fra tellerne:

Nå multipliserer vi brøkene:

Åpenbart er det mulig å redusere med en potens på x 1/2, hvoretter vi har .

Du kan også forenkle potensuttrykket i nevneren ved å bruke formelen for kvadratforskjellen: .

Svar:

Eksempel.

Forenkle kraftuttrykket .

Løsning.

Selvfølgelig kan denne brøken reduseres med (x 2,7 +1) 2, dette gir brøken . Det er klart at noe annet må gjøres med kreftene til X. For å gjøre dette transformerer vi den resulterende fraksjonen til et produkt. Dette gir oss muligheten til å dra nytte av egenskapen til å dele makter med samme grunnlag: . Og på slutten av prosessen går vi fra det siste produktet til brøken.

Svar:

Og la oss også legge til at det er mulig, og i mange tilfeller ønskelig, å overføre faktorer med negative eksponenter fra telleren til nevneren eller fra nevneren til telleren, og endre eksponentens fortegn. Slike transformasjoner forenkler ofte videre handlinger. For eksempel kan et potensuttrykk erstattes med .

Konvertering av uttrykk med røtter og krefter

Ofte, i uttrykk der det kreves noen transformasjoner, er røtter med brøkeksponenter også til stede sammen med potenser. For å transformere et slikt uttrykk til ønsket form, er det i de fleste tilfeller nok å gå bare til røtter eller bare til makter. Men siden det er mer praktisk å jobbe med krefter, beveger de seg vanligvis fra røtter til krefter. Det er imidlertid tilrådelig å utføre en slik overgang når ODZ av variabler for det opprinnelige uttrykket lar deg erstatte røttene med potenser uten å måtte referere til modulen eller dele ODZ i flere intervaller (vi diskuterte dette i detalj i artikkelen overgang fra røtter til potenser og tilbake Etter å ha blitt kjent med graden med en rasjonell eksponent introduseres en grad med en irrasjonell eksponent, som lar oss snakke om en grad med en vilkårlig reell eksponent. På dette stadiet begynner det å være studerte på skolen. eksponentiell funksjon, som er analytisk gitt av en potens, hvis basis er et tall, og eksponenten er en variabel. Så vi står overfor maktuttrykk som inneholder tall i potensens basis, og i eksponenten - uttrykk med variabler, og naturlig nok oppstår behovet for å utføre transformasjoner av slike uttrykk.

Det skal sies at transformasjonen av uttrykk av den angitte typen vanligvis må utføres ved løsning eksponentielle ligninger Og eksponentielle ulikheter, og disse konverteringene er ganske enkle. I det overveldende flertallet av tilfellene er de basert på gradens egenskaper og er for det meste rettet mot å introdusere en ny variabel i fremtiden. Ligningen vil tillate oss å demonstrere dem 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

For det første erstattes potenser, i hvis eksponenter er summen av en viss variabel (eller uttrykk med variabler) og et tall, med produkter. Dette gjelder det første og siste leddet i uttrykket på venstre side:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Deretter blir begge sider av likheten delt med uttrykket 7 2 x, som på ODZ av variabelen x for den opprinnelige ligningen tar bare positive verdier (dette er en standardteknikk for å løse ligninger av denne typen, vi er ikke snakker om det nå, så fokuser på påfølgende transformasjoner av uttrykk med krefter ):

Nå kan vi annullere brøker med potenser, som gir .

Til slutt er forholdet mellom potenser med de samme eksponentene erstattet med potenser av relasjoner, noe som resulterer i ligningen , som tilsvarer . Transformasjonene som er gjort tillater oss å introdusere en ny variabel, som reduserer løsningen av den opprinnelige eksponentialligningen til løsningen av en andregradsligning

I. V. Boykov, L. D. Romanova Samling av oppgaver for forberedelse til Unified State Exam. Del 1. Penza 2003.

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg med unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser og/eller på grunnlag av offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige myndigheter på territoriet til den russiske føderasjonen - for å avsløre din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlig viktige formål.
I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Valgfagsprogram "Konvertering av numeriske og alfabetiske uttrykk"

Forklarende merknad

De siste årene har kvalitetskontroll av skolematematikkundervisning blitt utført ved hjelp av CMM-er, hvor hoveddelen av oppgavene tilbys i testform. Denne formen for testing skiller seg fra den klassiske eksamensoppgaven og krever spesifikk forberedelse. Et trekk ved testing i den formen som har utviklet seg til dags dato er behovet for å svare på et stort antall spørsmål i løpet av en begrenset tidsperiode, dvs. Det kreves ikke bare å svare riktig på spørsmålene, men også å gjøre det raskt nok. Derfor er det viktig for elevene å mestre ulike teknikker og metoder som gjør at de kan oppnå ønsket resultat.

Når du løser nesten alle matematiske skoleoppgaver, må du gjøre noen transformasjoner. Ofte er kompleksiteten helt bestemt av graden av kompleksitet og mengden transformasjon som må utføres. Det er ikke uvanlig at en elev ikke klarer å løse et problem, ikke fordi han ikke vet hvordan det er løst, men fordi han ikke kan gjøre alle nødvendige transformasjoner og beregninger på tildelt tid uten feil.

Eksempler på konvertering av numeriske uttrykk er viktige ikke i seg selv, men som et middel til å utvikle konverteringsteknikker. For hvert skoleår utvides tallbegrepet fra naturlig til reelt, og i videregående skole studeres transformasjoner av makt, logaritmiske og trigonometriske uttrykk. Dette materialet er ganske vanskelig å studere, siden det inneholder mange formler og transformasjonsregler.

For å forenkle et uttrykk, utføre de nødvendige handlingene eller beregne verdien av et uttrykk, må du vite i hvilken retning du bør "bevege deg" langs veien til transformasjoner som fører til det riktige svaret langs den korteste "ruten". Valget av en rasjonell vei avhenger i stor grad av besittelsen av hele volumet av informasjon om metodene for å transformere uttrykk.

I videregående skole er det behov for å systematisere og utdype kunnskap og praktiske ferdigheter i arbeid med numeriske uttrykk. Statistikk viser at om lag 30 % av feilene som gjøres ved søknad til universiteter er av beregningsmessig karakter. Derfor, når du vurderer relevante emner på ungdomsskolen og når du gjentar dem på videregående, er det nødvendig å være mer oppmerksom på utviklingen av dataferdigheter hos skolebarn.

Derfor, for å hjelpe lærere som underviser i 11. klasse på en spesialisert skole, kan vi tilby et valgfag "Konvertering av numeriske og alfabetiske uttrykk i et skolematematikkkurs."

Karakterer:== 11

Type valgfag:

systematiserende, generaliserende og fordypende kurs.

Antall timer:

34 (per uke – 1 time)

Utdanningsområde:

matematikk

Mål og mål med kurset:

Systematisering, generalisering og utvidelse av elevenes kunnskap om tall og operasjoner med dem; - dannelse av interesse for databehandlingsprosessen; - utvikling av uavhengighet, kreativ tenkning og kognitiv interesse hos studentene; - tilpasning av studenter til nye regler for opptak til universiteter.

Organisering av kursstudiet

Valgfaget «Konvertering av tall- og bokstavuttrykk» utvider og utdyper den grunnleggende matematikkplanen i videregående skole og er laget for studier i 11. klasse. Det foreslåtte kurset tar sikte på å utvikle beregningsevner og tenkning. Kurset er bygget opp etter en klassisk timeplan, med vekt på praktiske øvelser. Den er designet for studenter med et høyt eller gjennomsnittlig nivå av matematisk forberedelse og er designet for å hjelpe dem med å forberede seg på opptak til universiteter og lette fortsettelsen av seriøs matematisk utdanning.

Planlagte resultater:

Kunnskap om nummerklassifisering;

Forbedre raske telleferdigheter og evner;

Evne til å bruke matematiske verktøy ved løsning av ulike problemer;

Utvikling av logisk tenkning, tilrettelegging for videreføring av seriøs matematisk utdanning.

Innhold i valgfaget "Transformasjon av numeriske og alfabetiske uttrykk"

Heltall (4 timer): Nummerserie. Grunnleggende teorem for aritmetikk. GCD og NOC. Tegn på delbarhet. Metode for matematisk induksjon.

Rasjonelle tall (2t): Definisjon av et rasjonelt tall. Hovedegenskapen til en brøk. Forkortede multiplikasjonsformler. Definisjon av periodisk brøk. Regelen for å konvertere fra en desimal periodisk brøk til en vanlig brøk.

Irrasjonelle tall. Radikale. grader. Logaritmer (6t): Definisjon av et irrasjonelt tall. Bevis på irrasjonaliteten til et tall. Å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren. Reelle tall. Gradens egenskaper. Egenskaper til den aritmetiske roten av n-te grad. Definisjon av logaritme. Egenskaper til logaritmer.

Trigonometriske funksjoner (4t): Tallsirkel. Numeriske verdier av trigonometriske funksjoner av grunnleggende vinkler. Konvertering av størrelsen på en vinkel fra et gradmål til et radianmål og omvendt. Grunnleggende trigonometriske formler. Reduksjonsformler. Inverse trigonometriske funksjoner. Trigonometriske operasjoner på buefunksjoner. Grunnleggende forhold mellom buefunksjoner.

Komplekse tall (2t): Konseptet med et komplekst tall. Handlinger med komplekse tall. Trigonometriske og eksponentielle former for komplekse tall.

Middels testing (2t)

Sammenligning av numeriske uttrykk (4t): Numeriske ulikheter på settet av reelle tall. Egenskaper til numeriske ulikheter. Støtte ulikheter. Metoder for å bevise numeriske ulikheter.

Bokstavelige uttrykk (8t): Regler for konvertering av uttrykk med variabler: polynomer; algebraiske brøker; irrasjonelle uttrykk; trigonometriske og andre uttrykk. Bevis på identiteter og ulikheter. Forenkling av uttrykk.

Pedagogisk og tematisk plan

Planen varer i 34 timer. Den er utformet under hensyntagen til temaet for oppgaven, så to separate deler vurderes: numeriske og alfabetiske uttrykk. Etter lærerens skjønn kan alfabetiske uttrykk vurderes sammen med numeriske uttrykk i aktuelle emner.

№	Leksjonens tema	Antall timer
1.1	Hele tall	2
1.2	Metode for matematisk induksjon	2
2.1	Rasjonelle tall	1
2.2	Desimal periodiske brøker	1
3.1	Irrasjonelle tall	2
3.2	Røtter og grader	2
3.3	Logaritmer	2
4.1	Trigonometriske funksjoner	2
4.2	Inverse trigonometriske funksjoner	2
5	Komplekse tall	2
	Test om emnet "Numeriske uttrykk"	2
6	Sammenligning av numeriske uttrykk	4
7.1	Konvertering av uttrykk med radikaler	2
7.2	Konvertering av kraft og logaritmiske uttrykk	2
7.3	Konvertering av trigonometriske uttrykk	2
	Siste prøve	2
	Total	34

Å skrive vilkårene for problemer ved å bruke notasjonen som er akseptert i matematikk fører til utseendet til såkalte matematiske uttrykk, som ganske enkelt kalles uttrykk. I denne artikkelen vil vi snakke i detalj om numeriske, alfabetiske og variable uttrykk: vi vil gi definisjoner og gi eksempler på uttrykk av hver type.

Sidenavigering.

Numeriske uttrykk - hva er de?

Bekjentskap med numeriske uttrykk begynner nesten fra de aller første matematikktimene. Men de får offisielt navnet sitt - numeriske uttrykk - litt senere. For eksempel, hvis du følger kurset til M.I. Moro, skjer dette på sidene i en matematikk-lærebok for 2 karakterer. Der er ideen om numeriske uttrykk gitt som følger: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6), 1+1+1+1+1, etc. - dette er alt numeriske uttrykk, og hvis vi utfører de angitte handlingene i uttrykket, finner vi uttrykksverdi.

Vi kan konkludere med at på dette stadiet av å studere matematikk er numeriske uttrykk poster med en matematisk betydning som består av tall, parenteser og addisjons- og subtraksjonstegn.

Litt senere, etter å ha blitt kjent med multiplikasjon og divisjon, begynner registreringer av numeriske uttrykk å inneholde tegnene "·" og ":". La oss gi noen eksempler: 6·4, (2+5)·2, 6:2, (9·3):3, osv.

Og på videregående vokser mangfoldet av opptak av numeriske uttrykk som en snøball som ruller nedover et fjell. De inneholder vanlige og desimalbrøker, blandede tall og negative tall, potenser, røtter, logaritmer, sinus, cosinus, og så videre.

La oss oppsummere all informasjon i definisjonen av et numerisk uttrykk:

Definisjon.

Numerisk uttrykk er en kombinasjon av tall, tegn på aritmetiske operasjoner, brøklinjer, tegn på røtter (radikaler), logaritmer, notasjoner for trigonometriske, inverse trigonometriske og andre funksjoner, samt parenteser og andre spesielle matematiske symboler, kompilert i samsvar med de aksepterte reglene i matematikk.

La oss forklare alle komponentene i den angitte definisjonen.

Numeriske uttrykk kan involvere absolutt et hvilket som helst tall: fra naturlig til ekte, og til og med komplekse. Det vil si at i numeriske uttrykk man kan finne

Alt er klart med tegnene til aritmetiske operasjoner - disse er tegnene på addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon, henholdsvis med formen "+", "−", "·" og ":". Numeriske uttrykk kan inneholde ett av disse tegnene, noen av dem, eller alle på en gang, og dessuten flere ganger. Her er eksempler på numeriske uttrykk med dem: 3+6, 2,2+3,3+4,4+5,5, 41−2·4:2−5+12·3·2:2:3:12−1/12.

Når det gjelder parenteser, er det både numeriske uttrykk som inneholder parenteser og uttrykk uten dem. Hvis det er parenteser i et numerisk uttrykk, så er de det i utgangspunktet

Og noen ganger har parenteser i numeriske uttrykk et spesifikt, separat angitt spesielt formål. For eksempel kan du finne firkantede parenteser som angir heltallsdelen av et tall, så det numeriske uttrykket +2 betyr at tallet 2 legges til heltallsdelen av tallet 1,75.

Fra definisjonen av et numerisk uttrykk er det også klart at uttrykket kan inneholde , , log , ln , lg , notasjoner eller etc. Her er eksempler på numeriske uttrykk med dem: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 og .

Inndeling i numeriske uttrykk kan angis med . I dette tilfellet finner numeriske uttrykk med brøker sted. Her er eksempler på slike uttrykk: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 og .

Som spesielle matematiske symboler og notasjoner som kan finnes i numeriske uttrykk, presenterer vi . La oss for eksempel vise et numerisk uttrykk med modulen .

Hva er bokstavelige uttrykk?

Begrepet bokstavuttrykk er gitt nesten umiddelbart etter å ha blitt kjent med numeriske uttrykk. Det legges inn omtrent slik. I et bestemt numerisk uttrykk skrives ikke et av tallene ned, men i stedet plasseres en sirkel (eller firkant, eller noe lignende), og det sies at et bestemt tall kan erstatte sirkelen. La oss for eksempel se på oppføringen. Setter du for eksempel tallet 2 i stedet for kvadrat, får du det numeriske uttrykket 3+2. Så i stedet for sirkler, firkanter osv. gikk med på å skrive ned bokstaver, og slike uttrykk med bokstaver ble kalt bokstavelige uttrykk. La oss gå tilbake til vårt eksempel, hvis vi i denne oppføringen setter bokstaven a i stedet for en firkant, får vi et bokstavelig uttrykk av formen 3+a.

Så hvis vi i et numerisk uttrykk tillater tilstedeværelsen av bokstaver som angir visse tall, får vi et såkalt bokstavelig uttrykk. La oss gi den tilsvarende definisjonen.

Definisjon.

Et uttrykk som inneholder bokstaver som representerer visse tall kalles bokstavelig uttrykk.

Fra denne definisjonen er det klart at et bokstavelig uttrykk skiller seg fundamentalt fra et numerisk uttrykk ved at det kan inneholde bokstaver. Vanligvis brukes små bokstaver i det latinske alfabetet (a, b, c, ...) i bokstavuttrykk, og små bokstaver i det greske alfabetet (α, β, γ, ...) brukes til å angi vinkler.

Så, bokstavelige uttrykk kan være sammensatt av tall, bokstaver og inneholde alle de matematiske symbolene som kan vises i numeriske uttrykk, for eksempel parenteser, rottegn, logaritmer, trigonometriske og andre funksjoner, etc. Vi understreker separat at et bokstavelig uttrykk inneholder minst én bokstav. Men den kan også inneholde flere like eller forskjellige bokstaver.

La oss nå gi noen eksempler på bokstavelige uttrykk. For eksempel er a+b et bokstavelig uttrykk med bokstavene a og b. Her er et annet eksempel på det bokstavelige uttrykket 5 x 3 −3 x 2 +x−2,5. Og her er et eksempel på et komplekst bokstavelig uttrykk: .

Uttrykk med variabler

Hvis en bokstav i et bokstavelig uttrykk angir en mengde som ikke får en bestemt verdi, men som kan anta forskjellige verdier, kalles denne bokstaven variabel og uttrykket heter uttrykk med variabel.

Definisjon.

Uttrykk med variabler er et bokstavelig uttrykk der bokstavene (alle eller noen) angir mengder som får ulike verdier.

La for eksempel bokstaven x i uttrykket x 2 −1 ta eventuelle naturlige verdier fra intervallet fra 0 til 10, så er x en variabel, og uttrykket x 2 −1 er et uttrykk med variabelen x.

Det er verdt å merke seg at det kan være flere variabler i et uttrykk. For eksempel, hvis vi anser x og y som variabler, så er uttrykket er et uttrykk med to variabler x og y.

Generelt skjer overgangen fra begrepet et bokstavelig uttrykk til et uttrykk med variabler i 7. klasse, når de begynner å studere algebra. Frem til dette punktet modellerte bokstavuttrykk noen spesifikke oppgaver. I algebra begynner de å se på uttrykket mer generelt, uten referanse til et spesifikt problem, med den forståelse at dette uttrykket passer til et stort antall problemer.

Som konklusjon av dette punktet, la oss ta hensyn til ett punkt til: ved utseendet til et bokstavelig uttrykk er det umulig å vite om bokstavene som er inkludert i det er variabler eller ikke. Derfor er det ingenting som hindrer oss i å betrakte disse bokstavene som variabler. I dette tilfellet forsvinner forskjellen mellom begrepene "bokstavelig uttrykk" og "uttrykk med variabler".

Bibliografi.

Matematikk. 2 klasser Lærebok for allmennutdanning institusjoner med adj. per elektron transportør. Kl. 14.00 Del 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, etc.] - 3. utg. - M.: Utdanning, 2012. - 96 s.: ill. - (Russlands skole). - ISBN 978-5-09-028297-0.
Matematikk: lærebok for 5. klasse. allmennutdanning institusjoner / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
Algebra: lærebok for 7. klasse allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 17. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 240 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: lærebok for 8. klasse. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Et bokstavelig uttrykk (eller variabelt uttrykk) er et matematisk uttrykk som består av tall, bokstaver og matematiske symboler. For eksempel er følgende uttrykk bokstavelig:

a+b+4

Ved hjelp av alfabetiske uttrykk kan du skrive lover, formler, likninger og funksjoner. Evnen til å manipulere bokstavuttrykk er nøkkelen til god kunnskap om algebra og høyere matematikk.

Ethvert alvorlig problem i matematikk kommer ned til å løse ligninger. Og for å kunne løse ligninger, må du kunne jobbe med bokstavelige uttrykk.

For å jobbe med bokstavelige uttrykk, må du være godt bevandret i grunnleggende aritmetikk: addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon, grunnleggende matematikklover, brøker, operasjoner med brøker, proporsjoner. Og ikke bare studere, men forstå grundig.

Leksjonens innhold

Variabler

Bokstaver som er inneholdt i bokstavelige uttrykk kalles variabler. For eksempel i uttrykket a+b+ 4 variabler er bokstaver en Og b. Hvis vi erstatter noen tall i stedet for disse variablene, blir det bokstavelige uttrykket a+b+ 4 vil bli til et numerisk uttrykk hvis verdi kan finnes.

Tall som erstattes med variabler kalles verdier av variabler. La oss for eksempel endre verdiene til variablene en Og b. Likhetstegnet brukes til å endre verdier

a = 2, b = 3

Vi har endret verdiene til variablene en Og b. Variabel en tildelt en verdi 2 , variabel b tildelt en verdi 3 . Som et resultat, det bokstavelige uttrykket a+b+4 blir til et regulært numerisk uttrykk 2+3+4 hvis verdi kan finnes:

Når variabler multipliseres, skrives de sammen. For eksempel, ta opp ab betyr det samme som oppføringen a×b. Hvis vi erstatter variablene en Og b tall 2 Og 3 , da får vi 6

Du kan også skrive sammen multiplikasjonen av et tall med et uttrykk i parentes. For eksempel i stedet for a×(b + c) kan skrives ned a(b + c). Ved å anvende fordelingsloven for multiplikasjon får vi a(b + c)=ab+ac.

Odds

I bokstavelige uttrykk kan du ofte finne en notasjon der et tall og en variabel er skrevet sammen, for eksempel 3a. Dette er faktisk en forkortelse for å multiplisere tallet 3 med en variabel. en og denne oppføringen ser ut som 3×a .

Med andre ord uttrykket 3a er produktet av tallet 3 og variabelen en. Antall 3 i dette arbeidet kaller de koeffisient. Denne koeffisienten viser hvor mange ganger variabelen vil økes en. Dette uttrykket kan leses som " en tre ganger" eller "tre ganger EN", eller "øk verdien av en variabel en tre ganger", men leses oftest som "tre en«

For eksempel hvis variabelen en lik 5 , deretter verdien av uttrykket 3a vil være lik 15.

3 × 5 = 15

Enkelt sagt er koeffisienten tallet som står foran bokstaven (før variabelen).

Det kan for eksempel være flere bokstaver 5abc. Her er koeffisienten tallet 5 . Denne koeffisienten viser at produktet av variabler abc femdobles. Dette uttrykket kan leses som " abc fem ganger" eller "øke verdien av uttrykket abc fem ganger" eller "fem abc «.

Hvis i stedet for variabler abc erstatte tallene 2, 3 og 4, deretter verdien av uttrykket 5abc vil være lik 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Du kan mentalt forestille deg hvordan tallene 2, 3 og 4 først ble multiplisert, og den resulterende verdien ble femdoblet:

Tegnet til koeffisienten refererer kun til koeffisienten, og gjelder ikke for variablene.

Tenk på uttrykket −6b. Minus før koeffisienten 6 , gjelder kun for koeffisienten 6 , og tilhører ikke variabelen b. Å forstå dette faktum vil tillate deg å ikke gjøre feil i fremtiden med tegn.

La oss finne verdien av uttrykket −6b på b = 3.

−6b −6×b. For klarhets skyld, la oss skrive uttrykket −6b i utvidet form og erstatte verdien av variabelen b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Eksempel 2. Finn verdien av et uttrykk −6b på b = −5

La oss skrive ned uttrykket −6b i utvidet form

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Eksempel 3. Finn verdien av et uttrykk −5a+b på a = 3 Og b = 2

−5a+b dette er et kort skjema for −5 × a + b, så for klarhetens skyld skriver vi uttrykket −5×a+b i utvidet form og erstatte verdiene til variablene en Og b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Noen ganger skrives bokstaver uten koeffisient, for eksempel en eller ab. I dette tilfellet er koeffisienten enhet:

men tradisjonelt er ikke enheten skrevet ned, så de skriver rett og slett en eller ab

Hvis det er et minus før bokstaven, er koeffisienten et tall −1 . For eksempel uttrykket −a ser faktisk ut som −1a. Dette er produktet av minus én og variabelen en. Det ble slik:

−1 × a = −1a

Det er en liten hake her. I uttrykk −a minustegn foran variabelen en refererer faktisk til en "usynlig enhet" i stedet for en variabel en. Derfor bør du være forsiktig når du løser problemer.

For eksempel hvis gitt uttrykket −a og vi blir bedt om å finne dens verdi på a = 2, så på skolen erstattet vi en to i stedet for en variabel en og fikk svar −2 , uten å fokusere for mye på hvordan det ble. Faktisk ble minus én multiplisert med det positive tallet 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Hvis gitt uttrykket −a og du må finne verdien på a = −2, så erstatter vi −2 i stedet for en variabel en

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

For å unngå feil kan usynlige enheter først skrives ned eksplisitt.

Eksempel 4. Finn verdien av et uttrykk abc på a=2 , b=3 Og c=4

Uttrykk abc 1×a×b×c. For klarhets skyld, la oss skrive uttrykket abc a, b Og c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Eksempel 5. Finn verdien av et uttrykk abc på a=−2, b=−3 Og c=−4

La oss skrive ned uttrykket abc i utvidet form og erstatte verdiene til variablene a, b Og c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Eksempel 6. Finn verdien av et uttrykk − abc på a=3, b=5 og c=7

Uttrykk − abc dette er et kort skjema for −1×a×b×c. For klarhets skyld, la oss skrive uttrykket − abc i utvidet form og erstatte verdiene til variablene a, b Og c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Eksempel 7. Finn verdien av et uttrykk − abc på a=−2, b=−4 og c=−3

La oss skrive ned uttrykket − abc i utvidet form:

−abc = −1 × a × b × c

La oss erstatte verdiene til variablene en , b Og c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Hvordan bestemme koeffisienten

Noen ganger må du løse et problem der du må bestemme koeffisienten til et uttrykk. I prinsippet er denne oppgaven veldig enkel. Det er nok å kunne multiplisere tall riktig.

For å bestemme koeffisienten i et uttrykk, må du multiplisere tallene som er inkludert i dette uttrykket separat og multiplisere bokstavene separat. Den resulterende numeriske faktoren vil være koeffisienten.

Eksempel 1. 7m×5a×(−3)×n

Uttrykket består av flere faktorer. Dette kan man tydelig se hvis man skriver uttrykket i utvidet form. Det vil si fungerer 7m Og 5a skriv det i skjemaet 7×m Og 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

La oss bruke den assosiative loven om multiplikasjon, som lar deg multiplisere faktorer i hvilken som helst rekkefølge. Vi vil nemlig multiplisere tallene hver for seg og multiplisere bokstavene (variablene) separat:

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105mann

Koeffisienten er −105 . Etter fullføring er det tilrådelig å ordne bokstavdelen i alfabetisk rekkefølge:

−105 om morgenen

Eksempel 2. Bestem koeffisienten i uttrykket: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Koeffisienten er 6.

Eksempel 3. Bestem koeffisienten i uttrykket:

La oss multiplisere tall og bokstaver hver for seg:

Koeffisienten er −1. Vær oppmerksom på at enheten ikke skrives ned, siden det er vanlig å ikke skrive koeffisienten 1.

Disse tilsynelatende enkle oppgavene kan spille en veldig grusom spøk på oss. Det viser seg ofte at tegnet på koeffisienten er satt feil: enten mangler minus, eller tvert imot er det satt forgjeves. For å unngå disse irriterende feilene må det studeres på et godt nivå.

Legger til i bokstavelige uttrykk

Ved å legge til flere tall får man summen av disse tallene. Tall som legger til kalles addends. Det kan være flere begreper, for eksempel:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Når et uttrykk består av termer, er det mye lettere å vurdere fordi det er lettere å legge til enn å trekke fra. Men uttrykket kan inneholde ikke bare addisjon, men også subtraksjon, for eksempel:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

I dette uttrykket er tallene 3 og 5 subtrahends, ikke addends. Men ingenting hindrer oss i å erstatte subtraksjon med addisjon. Da får vi igjen et uttrykk som består av termer:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Det spiller ingen rolle at tallene −3 og −5 nå har et minustegn. Hovedsaken er at alle tallene i dette uttrykket er forbundet med et addisjonstegn, det vil si at uttrykket er en sum.

Begge uttrykk 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Og 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) lik samme verdi - minus én

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Dermed vil ikke betydningen av uttrykket lide hvis vi erstatter subtraksjon med addisjon et sted.

Du kan også erstatte subtraksjon med addisjon i bokstavelige uttrykk. Tenk for eksempel på følgende uttrykk:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

For alle verdier av variabler a, b, c, d Og s uttrykkene 7a + 6b − 3c + 2d − 4s Og 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) vil være lik samme verdi.

Du må være forberedt på at en lærer på skolen eller en lærer ved et institutt kan kalle partall (eller variabler) som ikke er tillegg.

For eksempel hvis forskjellen er skrevet på tavlen a − b, da vil ikke læreren si det en er en minuend, og b- fratrekkbar. Han vil kalle begge variablene med ett vanlig ord - vilkår. Og alt på grunn av uttrykket til formen a − b matematikeren ser hvordan summen a+(−b). I dette tilfellet blir uttrykket en sum, og variablene en Og (−b) bli vilkår.

Lignende termer

Lignende termer- dette er termer som har samme bokstavdel. Tenk for eksempel på uttrykket 7a + 6b + 2a. Komponenter 7a Og 2a ha samme bokstavdel - variabel en. Så vilkårene 7a Og 2a er like.

Vanligvis legges lignende termer til for å forenkle et uttrykk eller løse en ligning. Denne operasjonen kalles med lignende vilkår.

For å få lignende termer, må du legge til koeffisientene til disse termene, og multiplisere resultatet med den vanlige bokstavdelen.

For eksempel presenterer vi lignende termer i uttrykket 3a + 4a + 5a. I dette tilfellet er alle begreper like. La oss legge sammen koeffisientene deres og gange resultatet med den vanlige bokstavdelen - med variabelen en

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Lignende termer kommer vanligvis til tankene, og resultatet skrives ned umiddelbart:

3a + 4a + 5a = 12a

Man kan også resonnere som følger:

Det var 3 variabler a , 4 flere variabler a og 5 flere variabler a ble lagt til dem. Som et resultat fikk vi 12 variabler a

La oss se på flere eksempler på å bringe lignende termer. Med tanke på at dette emnet er veldig viktig, vil vi først skrive ned hver minste detalj i detalj. Til tross for at alt er veldig enkelt her, gjør de fleste mange feil. Hovedsakelig på grunn av uoppmerksomhet, ikke uvitenhet.

Eksempel 1. 3et + 2et + 6et + 8en

La oss legge sammen koeffisientene i dette uttrykket og multiplisere det resulterende resultatet med den vanlige bokstavdelen:

3et + 2et + 6et + 8a=(3 + 2 + 6 + 8)× a = 19en

Konstruksjon (3 + 2 + 6 + 8) ×a Du trenger ikke å skrive det ned, så vi skriver ned svaret med en gang

3 et + 2 et + 6 et + 8 a = 19 en

Eksempel 2. Gi lignende termer i uttrykket 2a+a

Andre termin en skrevet uten en koeffisient, men faktisk er det en koeffisient foran den 1 , som vi ikke ser fordi det ikke er registrert. Så uttrykket ser slik ut:

2a + 1a

La oss nå presentere lignende termer. Det vil si at vi legger sammen koeffisientene og multipliserer resultatet med den vanlige bokstavdelen:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

La oss skrive løsningen kort:

2a + a = 3a

2a+a, du kan tenke annerledes:

Eksempel 3. Gi lignende termer i uttrykket 2a−a

La oss erstatte subtraksjon med addisjon:

2a + (-a)

Andre termin (−a) skrevet uten koeffisient, men faktisk ser det ut som (−1a). Koeffisient −1 igjen usynlig på grunn av at den ikke er registrert. Så uttrykket ser slik ut:

2a + (−1a)

La oss nå presentere lignende termer. La oss legge til koeffisientene og multiplisere resultatet med den totale bokstavdelen:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Vanligvis skrevet kortere:

2a − a = a

Gir lignende termer i uttrykket 2a−a Du kan tenke annerledes:

Det var 2 variabler a, trekk fra en variabel a, og som et resultat var det bare en variabel a igjen

Eksempel 4. Gi lignende termer i uttrykket 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

La oss nå presentere lignende termer. La oss legge til koeffisientene og gange resultatet med den totale bokstavdelen

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

La oss skrive løsningen kort:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Det finnes uttrykk som inneholder flere forskjellige grupper av lignende termer. For eksempel, 3a + 3b + 7a + 2b. For slike uttrykk gjelder de samme reglene som for de andre, nemlig å legge til koeffisientene og multiplisere resultatet med den vanlige bokstavdelen. Men for å unngå feil er det praktisk å fremheve ulike grupper av termer med ulike linjer.

For eksempel i uttrykket 3a + 3b + 7a + 2b de begrepene som inneholder en variabel en, kan understrekes med én linje, og de termene som inneholder en variabel b, kan understrekes med to linjer:

Nå kan vi presentere lignende termer. Det vil si, legg til koeffisientene og multipliser det resulterende resultatet med den totale bokstavdelen. Dette må gjøres for begge grupper av termer: for termer som inneholder en variabel en og for termer som inneholder en variabel b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Igjen, vi gjentar, uttrykket er enkelt, og lignende termer kan gis i tankene:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Eksempel 5. Gi lignende termer i uttrykket 5a − 6a −7b + b

La oss erstatte subtraksjon med addisjon der det er mulig:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

La oss understreke lignende termer med forskjellige linjer. Termer som inneholder variabler en vi understreker med én linje, og termene som inneholder variabler b, understrek med to linjer:

Nå kan vi presentere lignende termer. Det vil si, legg til koeffisientene og multipliser det resulterende resultatet med den vanlige bokstavdelen:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Hvis uttrykket inneholder vanlige tall uten bokstavfaktorer, legges de til separat.

Eksempel 6. Gi lignende termer i uttrykket 4a + 3a − 5 + 2b + 7

La oss erstatte subtraksjon med addisjon der det er mulig:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

La oss presentere lignende termer. Tall −5 Og 7 har ikke bokstavfaktorer, men de er lignende termer - de må bare legges til. Og begrepet 2b vil forbli uendret, siden det er den eneste i dette uttrykket som har en bokstavfaktor b, og det er ingenting å legge det til:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

La oss skrive løsningen kort:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Begrepene kan ordnes slik at de begrepene som har samme bokstavdel er plassert i samme del av uttrykket.

Eksempel 7. Gi lignende termer i uttrykket 5t+2x+3x+5t+x

Siden uttrykket er en sum av flere ledd, lar dette oss vurdere det i hvilken som helst rekkefølge. Derfor er begrepene som inneholder variabelen t, kan skrives i begynnelsen av uttrykket, og termene som inneholder variabelen x på slutten av uttrykket:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Nå kan vi presentere lignende termer:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

La oss skrive løsningen kort:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Summen av motsatte tall er null. Denne regelen fungerer også for bokstavelige uttrykk. Hvis uttrykket inneholder identiske termer, men med motsatte tegn, kan du bli kvitt dem på stadiet med å redusere lignende termer. Med andre ord, bare eliminer dem fra uttrykket, siden summen deres er null.

Eksempel 8. Gi lignende termer i uttrykket 3t − 4t − 3t + 2t

La oss erstatte subtraksjon med addisjon der det er mulig:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Komponenter 3t Og (−3t) er motsatte. Summen av motsatte ledd er null. Hvis vi fjerner denne nullen fra uttrykket, vil ikke verdien til uttrykket endres, så vi fjerner den. Og vi fjerner det ved å bare krysse av vilkårene 3t Og (−3t)

Som et resultat vil vi sitte igjen med uttrykket (−4t) + 2t. I dette uttrykket kan du legge til lignende termer og få det endelige svaret:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

La oss skrive løsningen kort:

Forenkle uttrykk

"forenkle uttrykket" og nedenfor er uttrykket som må forenkles. Forenkle et uttrykk betyr å gjøre det enklere og kortere.

Faktisk har vi allerede forenklet uttrykk når vi har redusert brøker. Etter reduksjon ble brøken kortere og lettere å forstå.

Tenk på følgende eksempel. Forenkle uttrykket.

Denne oppgaven kan bokstavelig talt forstås som følger: "Bruk alle gyldige handlinger på dette uttrykket, men gjør det enklere." .

I dette tilfellet kan du redusere brøken, nemlig dele telleren og nevneren til brøken med 2:

Hva annet kan du gjøre? Du kan beregne den resulterende brøken. Da får vi desimalbrøken 0,5

Som et resultat ble fraksjonen forenklet til 0,5.

Det første spørsmålet du må stille deg selv når du løser slike problemer bør være "Hva kan bli gjort?" . For det er handlinger du kan gjøre, og det er handlinger du ikke kan gjøre.

Et annet viktig poeng å huske er at betydningen av uttrykket ikke skal endres etter forenkling av uttrykket. La oss gå tilbake til uttrykket. Dette uttrykket representerer en deling som kan utføres. Etter å ha utført denne inndelingen får vi verdien av dette uttrykket, som er lik 0,5

Men vi forenklet uttrykket og fikk et nytt forenklet uttrykk. Verdien av det nye forenklede uttrykket er fortsatt 0,5

Men vi prøvde også å forenkle uttrykket ved å beregne det. Som et resultat fikk vi et endelig svar på 0,5.

Dermed, uansett hvordan vi forenkler uttrykket, er verdien av de resulterende uttrykkene fortsatt lik 0,5. Dette betyr at forenklingen ble utført korrekt i alle ledd. Det er nettopp dette vi bør strebe etter når vi forenkler uttrykk – meningen med uttrykket skal ikke lide under våre handlinger.

Det er ofte nødvendig å forenkle bokstavelige uttrykk. De samme forenklingsreglene gjelder for dem som for numeriske uttrykk. Du kan utføre alle gyldige handlinger, så lenge verdien av uttrykket ikke endres.

La oss se på noen få eksempler.

Eksempel 1. Forenkle et uttrykk 5,21s × t × 2,5

For å forenkle dette uttrykket kan du multiplisere tallene hver for seg og multiplisere bokstavene hver for seg. Denne oppgaven er veldig lik den vi så på da vi lærte å bestemme koeffisienten:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Så uttrykket 5,21s × t × 2,5 forenklet til 13 025st.

Eksempel 2. Forenkle et uttrykk −0,4 × (−6,3b) × 2

Andre stykke (−6.3b) kan oversettes til et skjema som er forståelig for oss, nemlig skrevet i skjemaet ( −6,3)×b , multipliser deretter tallene hver for seg og multipliser bokstavene hver for seg:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Så uttrykket −0,4 × (−6,3b) × 2 forenklet til 5.04b

Eksempel 3. Forenkle et uttrykk

La oss skrive dette uttrykket mer detaljert for å tydelig se hvor tallene er og hvor bokstavene er:

La oss nå multiplisere tallene hver for seg og multiplisere bokstavene hver for seg:

Så uttrykket forenklet til −abc. Denne løsningen kan skrives kort:

Ved forenkling av uttrykk kan brøker reduseres under løsningsprosessen, og ikke helt på slutten, slik vi gjorde med vanlige brøker. For eksempel, hvis vi i løpet av løsningen kommer over et uttrykk for formen , er det slett ikke nødvendig å beregne telleren og nevneren og gjøre noe slikt:

En brøk kan reduseres ved å velge en faktor i både telleren og nevneren og redusere disse faktorene med deres største felles faktor. Med andre ord, bruk der vi ikke beskriver i detalj hva telleren og nevneren ble delt inn i.

For eksempel, i telleren er faktoren 12 og i nevneren kan faktoren 4 reduseres med 4. Vi beholder de fire i tankene, og deler 12 og 4 på disse fire, skriver vi ned svarene ved siden av disse tallene, etter først å ha strøket dem ut

Nå kan du multiplisere de resulterende små faktorene. I dette tilfellet er det få av dem, og du kan multiplisere dem i tankene dine:

Over tid kan du oppdage at når du løser et bestemt problem, begynner uttrykk å "bli fete", så det er tilrådelig å venne seg til raske beregninger. Det som kan beregnes i sinnet, må beregnes i sinnet. Det som raskt kan reduseres, må raskt reduseres.

Eksempel 4. Forenkle et uttrykk

Så uttrykket forenklet til

Eksempel 5. Forenkle et uttrykk

La oss multiplisere tallene hver for seg og bokstavene hver for seg:

Så uttrykket forenklet til mn.

Eksempel 6. Forenkle et uttrykk

La oss skrive dette uttrykket mer detaljert for å tydelig se hvor tallene er og hvor bokstavene er:

La oss nå multiplisere tallene hver for seg og bokstavene hver for seg. For å lette beregningen kan desimalbrøken -6,4 og et blandet tall konverteres til vanlige brøker:

Så uttrykket forenklet til

Løsningen for dette eksemplet kan skrives mye kortere. Det vil se slik ut:

Eksempel 7. Forenkle et uttrykk

La oss multiplisere tall hver for seg og bokstaver hver for seg. For å lette beregningen kan blandede tall og desimalbrøk 0,1 og 0,6 konverteres til vanlige brøker:

Så uttrykket forenklet til abcd. Hvis du hopper over detaljene, kan denne løsningen skrives mye kortere:

Legg merke til hvordan brøken er redusert. Nye faktorer som oppnås som følge av reduksjon av tidligere faktorer tillates også redusert.

La oss nå snakke om hva vi ikke skal gjøre. Ved forenkling av uttrykk er det strengt forbudt å multiplisere tall og bokstaver dersom uttrykket er en sum og ikke et produkt.

For eksempel hvis du ønsker å forenkle uttrykket 5a+4b, så kan du ikke skrive det slik:

Dette er det samme som om vi ble bedt om å legge til to tall og vi multipliserte dem i stedet for å legge dem til.

Når du erstatter eventuelle variabelverdier en Og b uttrykk 5a +4b blir til et vanlig numerisk uttrykk. La oss anta at variablene en Og b har følgende betydninger:

a = 2, b = 3

Da vil verdien av uttrykket være lik 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Først utføres multiplikasjon, og deretter legges resultatene til. Og hvis vi prøvde å forenkle dette uttrykket ved å multiplisere tall og bokstaver, ville vi få følgende:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Det viser seg en helt annen betydning av uttrykket. I det første tilfellet fungerte det 22 , i det andre tilfellet 120 . Dette betyr at å forenkle uttrykket 5a+4b ble utført feil.

Etter å ha forenklet uttrykket, bør verdien ikke endres med de samme verdiene til variablene. Hvis det oppnås én verdi når du erstatter noen variabelverdier i det opprinnelige uttrykket, bør samme verdi oppnås etter forenkling av uttrykket som før forenklingen.

Med uttrykk 5a+4b det er egentlig ingenting du kan gjøre. Det forenkler det ikke.

Hvis et uttrykk inneholder lignende termer, kan de legges til hvis målet vårt er å forenkle uttrykket.

Eksempel 8. Forenkle et uttrykk 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

eller kortere: 0,3a − 0,4a + a = 0,9a

Så uttrykket 0,3a−0,4a+a forenklet til 0,9a

Eksempel 9. Forenkle et uttrykk −7,5a − 2,5b + 4a

For å forenkle dette uttrykket kan vi legge til lignende termer:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

eller kortere −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Begrep (−2,5b) forble uendret fordi det ikke var noe å sette det med.

Eksempel 10. Forenkle et uttrykk

For å forenkle dette uttrykket kan vi legge til lignende termer:

Koeffisienten var for enkel beregning.

Så uttrykket forenklet til

Eksempel 11. Forenkle et uttrykk

For å forenkle dette uttrykket kan vi legge til lignende termer:

Så uttrykket forenklet til.

I dette eksemplet vil det være mer hensiktsmessig å legge til den første og siste koeffisienten først. I dette tilfellet ville vi ha en kort løsning. Det ville sett slik ut:

Eksempel 12. Forenkle et uttrykk

For å forenkle dette uttrykket kan vi legge til lignende termer:

Så uttrykket forenklet til .

Begrepet forble uendret, siden det ikke var noe å legge det til.

Denne løsningen kan skrives mye kortere. Det vil se slik ut:

Den korte løsningen hoppet over trinnene med å erstatte subtraksjon med addisjon og detaljering av hvordan brøker ble redusert til en fellesnevner.

En annen forskjell er at i detaljløsningen ser svaret slik ut , men kort sagt . Faktisk er de det samme uttrykket. Forskjellen er at i det første tilfellet erstattes subtraksjon med addisjon, fordi i begynnelsen, da vi skrev ned løsningen i detaljert form, erstattet vi subtraksjon med addisjon der det var mulig, og denne erstatningen ble bevart for svaret.

Identiteter. Identisk like uttrykk

Når vi har forenklet ethvert uttrykk, blir det enklere og kortere. For å sjekke om det forenklede uttrykket er riktig, er det nok å erstatte eventuelle variabelverdier først i det forrige uttrykket som måtte forenkles, og deretter i det nye som ble forenklet. Hvis verdien i begge uttrykkene er den samme, er det forenklede uttrykket sant.

La oss se på et enkelt eksempel. La det være nødvendig å forenkle uttrykket 2a×7b. For å forenkle dette uttrykket kan du multiplisere tall og bokstaver hver for seg:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

La oss sjekke om vi forenklet uttrykket riktig. For å gjøre dette, la oss erstatte eventuelle verdier av variablene en Og b først inn i det første uttrykket som måtte forenkles, og deretter inn i det andre, som ble forenklet.

La verdiene til variablene en , b vil være som følger:

a = 4, b = 5

La oss erstatte dem med det første uttrykket 2a×7b

La oss nå erstatte de samme variabelverdiene i uttrykket som ble resultatet av forenkling 2a×7b, nemlig i uttrykket 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Vi ser at når a=4 Og b=5 verdien av det første uttrykket 2a×7b og betydningen av det andre uttrykket 14ab lik

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Det samme vil skje for alle andre verdier. For eksempel, la a=1 Og b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 = 28

Dermed for alle verdier av uttrykksvariablene 2a×7b Og 14ab er lik samme verdi. Slike uttrykk kalles identisk like.

Vi konkluderer med det mellom uttrykkene 2a×7b Og 14ab du kan sette et likhetstegn fordi de er like med samme verdi.

2a × 7b = 14ab

En likhet er ethvert uttrykk som er forbundet med et likhetstegn (=).

Og likhet i formen 2a×7b = 14ab kalt identitet.

En identitet er en likhet som er sann for alle verdier av variablene.

Andre eksempler på identiteter:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Ja, matematikkens lover som vi studerte er identiteter.

Ekte numeriske likheter er også identiteter. For eksempel:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Ved løsning av et komplekst problem, for å gjøre utregningen enklere, erstattes det komplekse uttrykket med et enklere uttrykk som er identisk likt det forrige. Denne erstatningen kalles identisk transformasjon av uttrykket eller rett og slett transformere uttrykket.

For eksempel har vi forenklet uttrykket 2a×7b, og fikk et enklere uttrykk 14ab. Denne forenklingen kan kalles identitetstransformasjonen.

Du kan ofte finne en oppgave som sier "bevis at likhet er en identitet" og så gis likestillingen som må bevises. Vanligvis består denne likheten av to deler: venstre og høyre del av likheten. Vår oppgave er å utføre identitetstransformasjoner med en av delene av likestillingen og oppnå den andre delen. Eller utfør identiske transformasjoner på begge sider av likheten og sørg for at begge sider av likheten inneholder de samme uttrykkene.

For eksempel, la oss bevise at likheten 0,5a × 5b = 2,5ab er en identitet.

La oss forenkle venstresiden av denne likestillingen. For å gjøre dette, multipliser tallene og bokstavene hver for seg:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Som et resultat av en liten identitetstransformasjon ble venstre side av likheten lik høyre side av likheten. Så vi har bevist at likestillingen 0,5a × 5b = 2,5ab er en identitet.

Fra identiske transformasjoner lærte vi å addere, subtrahere, multiplisere og dividere tall, redusere brøker, legge til lignende termer og også forenkle noen uttrykk.

Men dette er ikke alle identiske transformasjoner som finnes i matematikk. Det er mange flere identiske transformasjoner. Dette vil vi se mer enn en gang i fremtiden.