Logaritmiske ulikheter - Kunnskapshypermarked. Alt om logaritmiske ulikheter

Blant hele variasjonen av logaritmiske ulikheter studeres ulikheter med en variabel base separat. De løses ved hjelp av en spesiell formel, som av en eller annen grunn sjelden blir undervist på skolen:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

I stedet for avmerkingsboksen "∨", kan du sette et hvilket som helst ulikhetstegn: mer eller mindre. Hovedsaken er at i begge ulikhetene er tegnene de samme.

På denne måten blir vi kvitt logaritmer og reduserer problemet til en rasjonell ulikhet. Sistnevnte er mye lettere å løse, men når man forkaster logaritmer kan det dukke opp ekstra røtter. For å kutte dem av, er det nok å finne utvalget av akseptable verdier. Hvis du har glemt ODZ for en logaritme, anbefaler jeg på det sterkeste å gjenta den - se "Hva er en logaritme".

Alt relatert til rekkevidden av akseptable verdier må skrives ut og løses separat:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Disse fire ulikhetene utgjør et system og må tilfredsstilles samtidig. Når utvalget av akseptable verdier er funnet, gjenstår det bare å krysse det med løsningen av den rasjonelle ulikheten - og svaret er klart.

Oppgave. Løs ulikheten:

Først, la oss skrive ut logaritmens ODZ:

De to første ulikhetene tilfredsstilles automatisk, men den siste må skrives ut. Siden kvadratet av et tall er null hvis og bare hvis selve tallet er null, har vi:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Det viser seg at ODZ til logaritmen er alle tall unntatt null: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Nå løser vi hovedulikheten:

Vi gjør overgangen fra logaritmisk ulikhet til rasjonell. Den opprinnelige ulikheten har et "mindre enn"-tegn, noe som betyr at den resulterende ulikheten også må ha et "mindre enn"-tegn. Vi har:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Nullpunktene til dette uttrykket er: x = 3; x = −3; x = 0. Dessuten er x = 0 en rot av den andre multiplisiteten, noe som betyr at når du passerer gjennom den, endres ikke funksjonens fortegn. Vi har:

Vi får x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Dette settet er fullstendig inneholdt i ODZ for logaritmen, noe som betyr at dette er svaret.

Konvertering av logaritmiske ulikheter

Ofte er den opprinnelige ulikheten forskjellig fra den ovenfor. Dette kan enkelt korrigeres ved å bruke standardreglene for arbeid med logaritmer - se "Grunnleggende egenskaper for logaritmer". Nemlig:

1. Ethvert tall kan representeres som en logaritme med en gitt base;
2. Summen og differansen av logaritmer med samme base kan erstattes med én logaritme.

Separat vil jeg minne deg om utvalget av akseptable verdier. Siden det kan være flere logaritmer i den opprinnelige ulikheten, er det nødvendig å finne VA til hver av dem. Dermed, generell ordning løsninger på logaritmiske ulikheter er som følger:

1. Finn VA for hver logaritme inkludert i ulikheten;
2. Reduser ulikheten til en standard ved å bruke formlene for å legge til og subtrahere logaritmer;
3. Løs den resulterende ulikheten ved å bruke skjemaet gitt ovenfor.

Oppgave. Løs ulikheten:

La oss finne definisjonsdomenet (DO) til den første logaritmen:

Vi løser ved hjelp av intervallmetoden. Finne nullene til telleren:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Deretter - nullene til nevneren:

x − 1 = 0;
x = 1.

Vi markerer nuller og tegn på koordinatpilen:

Vi får x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Den andre logaritmen vil ha samme VA. Hvis du ikke tror det, kan du sjekke det. Nå transformerer vi den andre logaritmen slik at basen er to:

Som du kan se, er treerne ved basen og foran logaritmen redusert. Vi fikk to logaritmer med samme grunntall. La oss legge dem sammen:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Vi oppnådde standard logaritmisk ulikhet. Vi kvitter oss med logaritmer ved hjelp av formelen. Siden den opprinnelige ulikheten inneholder et "mindre enn"-tegn, må det resulterende rasjonelle uttrykket også være mindre enn null. Vi har:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Vi har to sett:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Kandidatens svar: x ∈ (−1; 3).

Det gjenstår å krysse disse settene - vi får det virkelige svaret:

Vi er interessert i skjæringspunktet mellom sett, så vi velger intervaller som er skyggelagt på begge pilene. Vi får x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - alle punktene er punktert.

En ulikhet kalles logaritmisk hvis den inneholder en logaritmisk funksjon.

Metoder for å løse logaritmiske ulikheter er ikke forskjellig fra, bortsett fra to ting.

For det første, når man går fra den logaritmiske ulikheten til ulikheten til sublogaritmiske funksjoner, bør man følg tegnet på den resulterende ulikheten. Den overholder følgende regel.

Hvis basen til den logaritmiske funksjonen er større enn $1$, så når man går fra den logaritmiske ulikheten til ulikheten til sublogaritmiske funksjoner, beholdes tegnet på ulikheten, men hvis det er mindre enn $1$, endres det til det motsatte .

For det andre er løsningen på enhver ulikhet et intervall, og derfor, på slutten av å løse ulikheten til sublogaritmiske funksjoner, er det nødvendig å lage et system med to ulikheter: den første ulikheten til dette systemet vil være ulikheten til sublogaritmiske funksjoner, og den andre vil være intervallet til definisjonsdomenet til de logaritmiske funksjonene som er inkludert i den logaritmiske ulikheten.

Øve på.

La oss løse ulikhetene:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Basen til logaritmen er $2>1$, så tegnet endres ikke. Ved å bruke definisjonen av logaritme får vi:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )