hjem › Diverse › Hva er definisjon av logaritmer. Logaritme - egenskaper, formler, graf

Hva er definisjon av logaritmer. Logaritme - egenskaper, formler, graf

hovedegenskaper.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

identiske grunner

Log6 4 + log6 9.

La oss nå komplisere oppgaven litt.

Eksempler på løsning av logaritmer

Hva om basen eller argumentet til en logaritme er en potens? Deretter kan eksponenten for denne graden tas ut av logaritmens fortegn i henhold til følgende regler:

Selvfølgelig gir alle disse reglene mening hvis ODZ til logaritmen blir observert: a > 0, a ≠ 1, x >

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Overgang til ny stiftelse

La logaritmen logaks gis. Så for et hvilket som helst tall c slik at c > 0 og c ≠ 1, er likheten sann:

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Se også:

Grunnleggende egenskaper for logaritmen

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponenten er 2,718281828…. For å huske eksponenten kan du studere regelen: eksponenten er lik 2,7 og to ganger fødselsåret til Leo Nikolaevich Tolstoy.

Grunnleggende egenskaper ved logaritmer

Når du kjenner denne regelen, vil du vite både eksponentverdien og fødselsdatoen til Leo Tolstoy.

Eksempler på logaritmer

Logaritmeuttrykk

Eksempel 1.
EN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Ved hjelp av egenskaper 3.5 beregner vi

4. Hvor .

Eksempel 2. Finn x if

Eksempel 3. La verdien av logaritmer gis

Beregn log(x) if

Grunnleggende egenskaper ved logaritmer

Logaritmer, som alle tall, kan legges til, trekkes fra og transformeres på alle måter. Men siden logaritmer ikke er helt vanlige tall, er det regler her, som kalles hovedegenskaper.

Du trenger definitivt å kjenne disse reglene - uten dem kan ikke et eneste alvorlig logaritmisk problem løses. I tillegg er det svært få av dem – du kan lære alt på en dag. Så la oss komme i gang.

Legge til og subtrahere logaritmer

Tenk på to logaritmer med samme base: logax og logay. Deretter kan de legges til og trekkes fra, og:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Så summen av logaritmer er lik logaritmen til produktet, og forskjellen er lik logaritmen til kvotienten. Vennligst merk: nøkkelen her er identiske grunner. Hvis årsakene er forskjellige, fungerer ikke disse reglene!

Disse formlene vil hjelpe deg med å beregne et logaritmisk uttrykk selv når dets individuelle deler ikke vurderes (se leksjonen "Hva er en logaritme"). Ta en titt på eksemplene og se:

Siden logaritmer har samme base, bruker vi sumformelen:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log2 48 − log2 3.

Basene er de samme, vi bruker forskjellsformelen:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log3 135 − log3 5.

Igjen er basene de samme, så vi har:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Som du kan se, består de opprinnelige uttrykkene av "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men etter transformasjonene får man helt normale tall. Mange tester er basert på dette faktum. Ja, testlignende uttrykk tilbys i fullt alvor (noen ganger med praktisk talt ingen endringer) på Unified State Examination.

Trekke ut eksponenten fra logaritmen

Det er lett å se at den siste regelen følger de to første. Men det er bedre å huske det uansett - i noen tilfeller vil det redusere mengden beregninger betydelig.

Selvfølgelig gir alle disse reglene mening hvis ODZ til logaritmen blir observert: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Og en ting til: lær å bruke alle formler ikke bare fra venstre til høyre, men også omvendt , dvs. Du kan legge inn tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen. Dette er det som oftest kreves.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log7 496.

La oss bli kvitt graden i argumentet ved å bruke den første formelen:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Legg merke til at nevneren inneholder en logaritme, hvis basis og argument er eksakte potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

Jeg tror det siste eksemplet krever litt avklaring. Hvor har logaritmene blitt av? Helt til siste øyeblikk jobber vi kun med nevneren.

Logaritmeformler. Logaritmer eksempler på løsninger.

Vi presenterte grunnlaget og argumentet for logaritmen som sto der i form av potenser og tok ut eksponentene - vi fikk en "tre-etasjers" brøk.

La oss nå se på hovedbrøken. Telleren og nevneren inneholder samme tall: log2 7. Siden log2 7 ≠ 0, kan vi redusere brøken - 2/4 vil forbli i nevneren. I henhold til reglene for regnestykket kan de fire overføres til telleren, som er det som ble gjort. Resultatet ble svaret: 2.

Overgang til ny stiftelse

Når jeg snakker om reglene for å addere og subtrahere logaritmer, la jeg spesielt vekt på at de bare fungerer med de samme basene. Hva om årsakene er forskjellige? Hva om de ikke er nøyaktige potenser av samme tall?

Formler for overgang til en ny stiftelse kommer til unnsetning. La oss formulere dem i form av et teorem:

La logaritmen logaks gis. Så for et hvilket som helst tall c slik at c > 0 og c ≠ 1, er likheten sann:

Spesielt hvis vi setter c = x, får vi:

Fra den andre formelen følger det at basen og argumentet til logaritmen kan byttes, men i dette tilfellet blir hele uttrykket "snudd", dvs. logaritmen vises i nevneren.

Disse formlene finnes sjelden i vanlige numeriske uttrykk. Det er mulig å vurdere hvor praktiske de er bare når man løser logaritmiske ligninger og ulikheter.

Det er imidlertid problemer som ikke kan løses i det hele tatt bortsett fra ved å flytte til en ny stiftelse. La oss se på et par av disse:

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log5 16 log2 25.

Merk at argumentene til begge logaritmene inneholder eksakte potenser. La oss ta ut indikatorene: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

La oss nå "reversere" den andre logaritmen:

Siden produktet ikke endrer seg ved omorganisering av faktorer, multipliserte vi rolig fire og to, og behandlet deretter logaritmer.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log9 100 lg 3.

Grunnlaget og argumentet til den første logaritmen er eksakte potenser. La oss skrive dette ned og bli kvitt indikatorene:

La oss nå bli kvitt desimallogaritmen ved å flytte til en ny base:

Grunnleggende logaritmisk identitet

Ofte i løsningsprosessen er det nødvendig å representere et tall som en logaritme til en gitt base. I dette tilfellet vil følgende formler hjelpe oss:

I det første tilfellet blir tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolutt hva som helst, fordi det bare er en logaritmeverdi.

Den andre formelen er faktisk en omskrevet definisjon. Det heter det: .

Faktisk, hva skjer hvis tallet b heves til en slik potens at tallet b i denne potensen gir tallet a? Det stemmer: resultatet er det samme tallet a. Les denne paragrafen nøye igjen - mange setter seg fast i den.

Som formler for å flytte til en ny base, er den grunnleggende logaritmiske identiteten noen ganger den eneste mulige løsningen.

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Legg merke til at log25 64 = log5 8 - ganske enkelt tok kvadratet fra basen og argumentet til logaritmen. Når vi tar i betraktning reglene for å multiplisere potenser med samme base, får vi:

Hvis noen ikke vet, var dette en skikkelig oppgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhet og logaritmisk null

Avslutningsvis vil jeg gi to identiteter som vanskelig kan kalles egenskaper – snarere er de konsekvenser av definisjonen av logaritmen. De dukker stadig opp i problemer og, overraskende nok, skaper de problemer selv for "avanserte" studenter.

logaa = 1 er. Husk en gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst base a av selve basen er lik én.
loga 1 = 0 er. Grunnlaget a kan være hva som helst, men hvis argumentet inneholder en, er logaritmen lik null! Fordi a0 = 1 er en direkte konsekvens av definisjonen.

Det er alle egenskapene. Sørg for å trene på å sette dem ut i livet! Last ned juksearket i begynnelsen av leksjonen, skriv det ut og løs problemene.

Se også:

Logaritmen til b for å basere a angir uttrykket. Å beregne logaritmen betyr å finne en potens x () der likheten er tilfredsstilt

Grunnleggende egenskaper for logaritmen

Det er nødvendig å kjenne egenskapene ovenfor, siden nesten alle problemer og eksempler relatert til logaritmer løses på grunnlag av dem. Resten av de eksotiske egenskapene kan utledes gjennom matematiske manipulasjoner med disse formlene

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Når man regner ut formelen for sum og forskjell av logaritmer (3.4) kommer man over ganske ofte. Resten er noe sammensatt, men i en rekke oppgaver er de uunnværlige for å forenkle komplekse uttrykk og beregne deres verdier.

Vanlige tilfeller av logaritmer

Noen av de vanlige logaritmene er de der basen til og med er ti, eksponentiell eller to.
Logaritmen til grunntallet ti kalles vanligvis desimallogaritmen og er ganske enkelt betegnet med lg(x).

Det fremgår tydelig av opptaket at det grunnleggende ikke er skrevet i opptaket. For eksempel

En naturlig logaritme er en logaritme hvis base er en eksponent (angitt med ln(x)).

Eksponenten er 2,718281828…. For å huske eksponenten kan du studere regelen: eksponenten er lik 2,7 og to ganger fødselsåret til Leo Nikolaevich Tolstoy. Når du kjenner denne regelen, vil du vite både eksponentverdien og fødselsdatoen til Leo Tolstoy.

Og en annen viktig logaritme til base to er betegnet med

Den deriverte av logaritmen til en funksjon er lik en dividert med variabelen

Integral- eller antiderivertelogaritmen bestemmes av forholdet

Det gitte materialet er nok for deg til å løse en bred klasse av problemer knyttet til logaritmer og logaritmer. For å hjelpe deg å forstå materialet, vil jeg bare gi noen få vanlige eksempler fra skolepensum og universiteter.

Eksempler på logaritmer

Logaritmeuttrykk

Eksempel 1.
EN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Ved hjelp av egenskaper 3.5 beregner vi

2.
Ved egenskapen forskjell av logaritmer har vi

3.
Ved å bruke egenskaper 3.5 finner vi

4. Hvor .

Et tilsynelatende komplekst uttrykk forenkles til å danne ved hjelp av en rekke regler

Finne logaritmeverdier

Eksempel 2. Finn x if

Løsning. For beregning gjelder vi siste termin 5 og 13 eiendommer

Vi setter det på rekord og sørger

Siden basene er like, setter vi likhetstegn mellom uttrykkene

Logaritmer. Første nivå.

La verdien av logaritmer gis

Beregn log(x) if

Løsning: La oss ta en logaritme av variabelen for å skrive logaritmen gjennom summen av dens ledd

Dette er bare begynnelsen på vårt bekjentskap med logaritmer og deres egenskaper. Øv på beregninger, berik dine praktiske ferdigheter - du vil snart trenge kunnskapen du får for å løse logaritmiske ligninger. Etter å ha studert de grunnleggende metodene for å løse slike ligninger, vil vi utvide kunnskapen din til et annet like viktig emne - logaritmiske ulikheter ...

Grunnleggende egenskaper ved logaritmer

Logaritmer, som alle tall, kan legges til, trekkes fra og transformeres på alle måter. Men siden logaritmer ikke er helt vanlige tall, er det regler her, som kalles hovedegenskaper.

Legge til og subtrahere logaritmer

Tenk på to logaritmer med samme base: logax og logay. Deretter kan de legges til og trekkes fra, og:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Disse formlene vil hjelpe deg med å beregne et logaritmisk uttrykk selv når dets individuelle deler ikke vurderes (se leksjonen "Hva er en logaritme"). Ta en titt på eksemplene og se:

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log6 4 + log6 9.

Siden logaritmer har samme base, bruker vi sumformelen:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log2 48 − log2 3.

Basene er de samme, vi bruker forskjellsformelen:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log3 135 − log3 5.

Igjen er basene de samme, så vi har:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Trekke ut eksponenten fra logaritmen

La oss nå komplisere oppgaven litt. Hva om basen eller argumentet til en logaritme er en potens? Deretter kan eksponenten for denne graden tas ut av logaritmens fortegn i henhold til følgende regler:

Det er lett å se at den siste regelen følger de to første. Men det er bedre å huske det uansett - i noen tilfeller vil det redusere mengden beregninger betydelig.

Hvordan løse logaritmer

Dette er det som oftest kreves.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log7 496.

La oss bli kvitt graden i argumentet ved å bruke den første formelen:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Legg merke til at nevneren inneholder en logaritme, hvis basis og argument er eksakte potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

Jeg tror det siste eksemplet krever litt avklaring. Hvor har logaritmene blitt av? Helt til siste øyeblikk jobber vi kun med nevneren. Vi presenterte grunnlaget og argumentet for logaritmen som sto der i form av potenser og tok ut eksponentene - vi fikk en "tre-etasjers" brøk.

Overgang til ny stiftelse

Formler for overgang til en ny stiftelse kommer til unnsetning. La oss formulere dem i form av et teorem:

La logaritmen logaks gis. Så for et hvilket som helst tall c slik at c > 0 og c ≠ 1, er likheten sann:

Spesielt hvis vi setter c = x, får vi:

Fra den andre formelen følger det at basen og argumentet til logaritmen kan byttes, men i dette tilfellet blir hele uttrykket "snudd", dvs. logaritmen vises i nevneren.

Disse formlene finnes sjelden i vanlige numeriske uttrykk. Det er mulig å vurdere hvor praktiske de er bare når man løser logaritmiske ligninger og ulikheter.

Det er imidlertid problemer som ikke kan løses i det hele tatt bortsett fra ved å flytte til en ny stiftelse. La oss se på et par av disse:

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log5 16 log2 25.

Merk at argumentene til begge logaritmene inneholder eksakte potenser. La oss ta ut indikatorene: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

La oss nå "reversere" den andre logaritmen:

Siden produktet ikke endrer seg ved omorganisering av faktorer, multipliserte vi rolig fire og to, og behandlet deretter logaritmer.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log9 100 lg 3.

Grunnlaget og argumentet til den første logaritmen er eksakte potenser. La oss skrive dette ned og bli kvitt indikatorene:

La oss nå bli kvitt desimallogaritmen ved å flytte til en ny base:

Grunnleggende logaritmisk identitet

Ofte i løsningsprosessen er det nødvendig å representere et tall som en logaritme til en gitt base. I dette tilfellet vil følgende formler hjelpe oss:

I det første tilfellet blir tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolutt hva som helst, fordi det bare er en logaritmeverdi.

Den andre formelen er faktisk en omskrevet definisjon. Det heter det: .

Som formler for å flytte til en ny base, er den grunnleggende logaritmiske identiteten noen ganger den eneste mulige løsningen.

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Legg merke til at log25 64 = log5 8 - ganske enkelt tok kvadratet fra basen og argumentet til logaritmen. Når vi tar i betraktning reglene for å multiplisere potenser med samme base, får vi:

Hvis noen ikke vet, var dette en skikkelig oppgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhet og logaritmisk null

logaa = 1 er. Husk en gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst base a av selve basen er lik én.
loga 1 = 0 er. Grunnlaget a kan være hva som helst, men hvis argumentet inneholder en, er logaritmen lik null! Fordi a0 = 1 er en direkte konsekvens av definisjonen.

Det er alle egenskapene. Sørg for å trene på å sette dem ut i livet! Last ned juksearket i begynnelsen av leksjonen, skriv det ut og løs problemene.

Logaritme positivt tall N til basen(b> 0, b 1 ) kalt eksponent x , som du må bygge til b for å få N .

Logaritmenotasjon:

Denne oppføringen tilsvarer følgende:b x = N .

EKSEMPLER: logg 3 81 = 4, siden 3 4 = 81;

Logg 1/3 27 = – 3, siden (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

Ovennevnte definisjon av logaritme kan skrives som en identitet:

Grunnleggende egenskaper ved logaritmer.

1) Logg b= 1 , fordi b 1 = b.

2) logg 1 = 0 , fordi b 0 = 1 .

3) Logaritmen til produktet er lik summen av logaritmene til faktorene:

Logg( ab) = logg en+ logg b.

4) Logaritmen til kvotienten er lik differansen mellom logaritmene til utbyttet og divisoren:

Logg( en/b) = logg en- Logg b.

5) Logaritmen til en potens er lik produktet av eksponenten og logaritmen til basen:

Logg (b k ) = k Logg b.

Konsekvensen av denne egenskapen er følgende:logaritmen til roten lik logaritmen til det radikale tallet delt på kraften til roten:

6) Hvis basen til logaritmen er en grad, så verdien inversen av eksponenten, kan tas ut av loggtegnet rim:

De to siste egenskapene kan kombineres til én:

7) Formel for overgangsmodul (dvs. e . overgang fra én baselogaritme til en annen base):

I det spesielle tilfellet når N=a vi har:

Desimal logaritme kalt basislogaritme 10. Det er utpekt lg, dvs. logg 10 N = lg N. Logaritmer av tallene 10, 100, 1000, ... s tallene er henholdsvis 1, 2, 3, …de. har så mye positivt

enheter, hvor mange nuller er det i et logaritmisk tall etter én. Logaritmer av tallene 0,1, 0,01, 0,001, ... s avna henholdsvis –1, –2, –3, …, dvs. ha like mange negative som det er nuller før én i det logaritmiske tallet ( telling og null heltall). Logaritmer andre tall har en brøkdel kalt mantissa. Helen del av logaritmen kalles karakteristisk. For praktisk brukDesimallogaritmer er mest praktisk.

Naturlig logaritme kalt basislogaritme e. Det er utpekt ln, dvs. Logg eN = ln N. Antall eer irrasjonelt, detomtrentlig verdi 2,718281828. Den er grensen som antallet går mot(1 + 1 / n) n med ubegrenset økningn(cm. første fantastiske grensen ).
Hvor rart det kan virke, viste naturlige logaritmer seg å være veldig praktiske når man utfører ulike typer operasjoner knyttet til analyse av funksjoner.Beregner logaritmer til grunneutføres mye raskere enn av noen annen grunn.

Logaritmen til et tall b til å basere a er eksponenten som tallet a må heves til for å oppnå tallet b.

Hvis da .

Logaritme - ekstrem viktig matematisk størrelse, siden logaritmisk kalkulering ikke bare tillater å løse eksponentielle ligninger, men også operere med eksponenter, differensiere eksponentielle og logaritmiske funksjoner, integrere dem og føre dem til en mer akseptabel form som skal beregnes.

I kontakt med

Alle egenskapene til logaritmer er direkte relatert til egenskapene til eksponentielle funksjoner. For eksempel det faktum at betyr at:

Det skal bemerkes at når du løser spesifikke problemer, kan egenskapene til logaritmer vise seg å være viktigere og nyttige enn reglene for å jobbe med potenser.

La oss presentere noen identiteter:

Her er de grunnleggende algebraiske uttrykkene:

;

Merk følgende! kan bare eksistere for x>0, x≠1, y>0.

La oss prøve å forstå spørsmålet om hva naturlige logaritmer er. Spesiell interesse for matematikk representerer to typer- den første har tallet "10" som base, og kalles "desimallogaritmen". Den andre kalles naturlig. Grunnlaget for den naturlige logaritmen er tallet "e". Dette er hva vi vil snakke om i detalj i denne artikkelen.

Betegnelser:

lg x - desimal;
ln x - naturlig.

Ved å bruke identiteten kan vi se at ln e = 1, samt det faktum at lg 10=1.

Naturlig logaritme graf

La oss konstruere en graf av den naturlige logaritmen ved å bruke standard klassisk metode punkt for punkt. Hvis du ønsker det, kan du sjekke om vi konstruerer funksjonen riktig ved å undersøke funksjonen. Imidlertid er det fornuftig å lære å bygge det "manuelt" for å vite hvordan du beregner logaritmen riktig.

Funksjon: y = ln x. La oss skrive ned en tabell med punkter som grafen vil passere gjennom:

La oss forklare hvorfor vi valgte disse spesielle verdiene av argumentet x. Alt handler om identitet: . For den naturlige logaritmen vil denne identiteten se slik ut:

For enkelhets skyld kan vi ta fem referansepunkter:

;

Derfor er det en ganske enkel oppgave å beregne naturlige logaritmer; dessuten forenkler det beregninger av operasjoner med potenser, og gjør dem til vanlig multiplikasjon.

Ved å plotte en graf punkt for punkt får vi en omtrentlig graf:

Definisjonsdomenet til den naturlige logaritmen (dvs. alle gyldige verdier av argumentet X) er alle tall større enn null.

Merk følgende! Definisjonsdomenet til den naturlige logaritmen inkluderer bare positive tall! Definisjonsomfanget inkluderer ikke x=0. Dette er umulig basert på betingelsene for eksistensen av logaritmen.

Verdiområdet (dvs. alle gyldige verdier for funksjonen y = ln x) er alle tall i intervallet.

Naturlig logggrense

Når du studerer grafen, oppstår spørsmålet - hvordan oppfører funksjonen seg ved y<0.

Selvfølgelig har grafen til funksjonen en tendens til å krysse y-aksen, men vil ikke være i stand til å gjøre dette, siden den naturlige logaritmen til x<0 не существует.

Begrensning av naturlig Logg kan skrives slik:

Formel for å erstatte basen til en logaritme

Å håndtere en naturlig logaritme er mye enklere enn å håndtere en logaritme som har en vilkårlig base. Det er derfor vi vil prøve å lære å redusere enhver logaritme til en naturlig, eller uttrykke den til en vilkårlig base gjennom naturlige logaritmer.

La oss starte med den logaritmiske identiteten:

Da kan et hvilket som helst tall eller variabel y representeres som:

hvor x er et hvilket som helst tall (positivt i henhold til egenskapene til logaritmen).

Dette uttrykket kan tas logaritmisk på begge sider. La oss gjøre dette ved å bruke en vilkårlig base z:

La oss bruke egenskapen (bare i stedet for "c" har vi uttrykket):

Herfra får vi den universelle formelen:

Spesielt hvis z=e, da:

Vi var i stand til å representere en logaritme til en vilkårlig base gjennom forholdet mellom to naturlige logaritmer.

Vi løser problemer

For å bedre forstå naturlige logaritmer, la oss se på eksempler på flere problemer.

Oppgave 1. Det er nødvendig å løse likningen ln x = 3.

Løsning: Ved å bruke definisjonen av logaritmen: hvis , da , får vi:

Oppgave 2. Løs ligningen (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Løsning: Ved å bruke definisjonen av logaritmen: hvis , så får vi:

La oss bruke definisjonen av en logaritme igjen:

Dermed:

Du kan omtrent beregne svaret, eller du kan la det stå i dette skjemaet.

Oppgave 3. Løs ligningen.

Løsning: La oss gjøre en erstatning: t = ln x. Deretter vil ligningen ha følgende form:

Vi har en andregradsligning. La oss finne den diskriminerende:

I statistikk og sannsynlighetsteori finnes logaritmiske størrelser svært ofte. Dette er ikke overraskende, fordi tallet e ofte gjenspeiler veksthastigheten til eksponentielle størrelser.

I informatikk, programmering og datateori støter man på logaritmer ganske ofte, for eksempel for å lagre N biter i minnet.

I teoriene om fraktaler og dimensjoner brukes logaritmer konstant, siden dimensjonene til fraktaler kun bestemmes med deres hjelp.

I mekanikk og fysikk Det er ingen seksjon der logaritmer ikke ble brukt. Barometrisk fordeling, alle prinsippene for statistisk termodynamikk, Tsiolkovsky-ligningen osv. er prosesser som kan matematisk beskrives kun ved hjelp av logaritmer.

I kjemi brukes logaritmer i Nernst-ligninger og beskrivelser av redoksprosesser.

Utrolig nok, selv i musikk, for å finne ut antall deler av en oktav, brukes logaritmer.

Naturlig logaritme Funksjon y=ln x dens egenskaper

Bevis på hovedegenskapen til den naturlige logaritmen

Logaritmen av et positivt tall b til grunntallet a (a>0, a er ikke lik 1) er et tall c slik at a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Merk at logaritmen til et ikke-positivt tall er udefinert. I tillegg må basen til logaritmen være et positivt tall som ikke er lik 1. Hvis vi for eksempel kvadrerer -2, får vi tallet 4, men dette betyr ikke at logaritmen til grunntallet -2 av 4 er lik 2.

Grunnleggende logaritmisk identitet

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Det er viktig at omfanget av definisjon av høyre og venstre side av denne formelen er forskjellig. Venstre side er definert kun for b>0, a>0 og a ≠ 1. Høyre side er definert for enhver b, og er ikke avhengig av a i det hele tatt. Dermed kan anvendelsen av den grunnleggende logaritmiske "identiteten" ved løsning av likninger og ulikheter føre til en endring i OD.

To åpenbare konsekvenser av definisjonen av logaritme

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Faktisk, når vi hever tallet a til første potens, får vi det samme tallet, og når vi hever det til null potens, får vi en.

Logaritme av produktet og logaritme av kvotienten

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Logg a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Jeg vil advare skoleelever mot tankeløst å bruke disse formlene når de løser logaritmiske ligninger og ulikheter. Når du bruker dem "fra venstre til høyre", smalner ODZ, og når du flytter fra summen eller differansen av logaritmer til logaritmen til produktet eller kvotienten, utvides ODZ.

Faktisk er uttrykket log a (f (x) g (x)) definert i to tilfeller: når begge funksjonene er strengt tatt positive eller når f(x) og g(x) begge er mindre enn null.

Ved å transformere dette uttrykket til summen log a f (x) + log a g (x), er vi tvunget til å begrense oss til tilfellet når f(x)>0 og g(x)>0. Det er en innsnevring av utvalget av akseptable verdier, og dette er kategorisk uakseptabelt, siden det kan føre til tap av løsninger. Et lignende problem eksisterer for formel (6).

Graden kan tas ut av logaritmens fortegn

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Og igjen vil jeg gjerne be om nøyaktighet. Tenk på følgende eksempel:

Logg a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Venstre side av likheten er åpenbart definert for alle verdier av f(x) bortsett fra null. Høyre side er kun for f(x)>0! Ved å ta graden ut av logaritmen, begrenser vi igjen ODZ. Den omvendte prosedyren fører til en utvidelse av utvalget av akseptable verdier. Alle disse merknadene gjelder ikke bare for kraft 2, men også for enhver jevn kraft.

Formel for å flytte til en ny stiftelse

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Det sjeldne tilfellet når ODZ ikke endres under transformasjon. Hvis du har valgt base c med omhu (positiv og ikke lik 1), er formelen for å flytte til en ny base helt trygg.

Hvis vi velger tallet b som ny grunntall c, får vi et viktig spesialtilfelle av formel (8):

Logg a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Noen enkle eksempler med logaritmer

Eksempel 1. Regn ut: log2 + log50.
Løsning. log2 + log50 = log100 = 2. Vi brukte summen av logaritmene formel (5) og definisjonen av desimallogaritmen.

Eksempel 2. Regn ut: lg125/lg5.
Løsning. log125/log5 = log 5 125 = 3. Vi brukte formelen for å flytte til en ny base (8).

Tabell over formler relatert til logaritmer

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Følger av dens definisjon. Og så logaritmen til tallet b av grunn EN er definert som eksponenten som et tall må heves til en for å få nummeret b(logaritme eksisterer bare for positive tall).

Av denne formuleringen følger det at beregningen x=log a b, tilsvarer å løse ligningen a x =b. For eksempel, log 2 8 = 3 fordi 8 = 2 3 . Formuleringen av logaritmen gjør det mulig å rettferdiggjøre at if b=a c, deretter logaritmen til tallet b av grunn en er lik Med. Det er også klart at temaet logaritmer er nært knyttet til emnet potenser av et tall.

Med logaritmer, som med alle tall, kan du gjøre operasjoner med addisjon, subtraksjon og transformere på alle mulige måter. Men på grunn av at logaritmer ikke er helt vanlige tall, gjelder her egne spesielle regler, som kalles hovedegenskaper.