Desigualdades lineares. Sistemas de desigualdades lineares

veja também Resolvendo graficamente um problema de programação linear, Forma canônica de problemas de programação linear

O sistema de restrições para tal problema consiste em desigualdades em duas variáveis:
e a função objetivo tem a forma F = C 1 x + C 2 sim que precisa ser maximizado.

Vamos responder à pergunta: quais pares de números ( x; sim) são soluções para o sistema de desigualdades, ou seja, satisfazem cada uma das desigualdades simultaneamente? Em outras palavras, o que significa resolver um sistema graficamente?
Primeiro você precisa entender qual é a solução para uma desigualdade linear com duas incógnitas.
Resolver uma desigualdade linear com duas incógnitas significa determinar todos os pares de valores desconhecidos para os quais a desigualdade é válida.
Por exemplo, desigualdade 3 x – 5sim≥ 42 pares satisfatórios ( x , sim) : (100, 2); (3, –10), etc. A tarefa é encontrar todos esses pares.
Vamos considerar duas desigualdades: machado + por≤ c, machado + por≥ c. Direto machado + por = c divide o plano em dois semiplanos de modo que as coordenadas dos pontos de um deles satisfaçam a desigualdade machado + por >c, e a outra desigualdade machado + +por <c.
Na verdade, tomemos um ponto com coordenadas x = x 0; então um ponto situado em uma linha e tendo uma abcissa x 0, tem uma ordenada

Deixe com certeza a< 0, b>0, c>0. Todos os pontos com abscissa x 0 deitado acima P(por exemplo, ponto M), ter e M>sim 0 e todos os pontos abaixo do ponto P, com abscissa x 0, tem e N<sim 0. Porque o x 0 é um ponto arbitrário, então sempre haverá pontos em um lado da linha para os quais machado+ por > c, formando um semiplano, e do outro lado - pontos para os quais machado + por< c.

Imagem 1

O sinal de desigualdade no semiplano depende dos números a, b , c.
Isto implica o seguinte método para resolver graficamente sistemas de desigualdades lineares em duas variáveis. Para resolver o sistema você precisa:

1. Para cada desigualdade, escreva a equação correspondente a esta desigualdade.
2. Construa linhas retas que sejam gráficos de funções especificadas por equações.
3. Para cada reta, determine o semiplano, que é dado pela desigualdade. Para fazer isso, pegue um ponto arbitrário que não esteja na reta e substitua suas coordenadas na desigualdade. se a desigualdade for verdadeira, então o semiplano que contém o ponto escolhido é a solução da desigualdade original. Se a desigualdade for falsa, então o semiplano do outro lado da reta é o conjunto de soluções para essa desigualdade.
4. Para resolver um sistema de desigualdades, é necessário encontrar a área de intersecção de todos os semiplanos que são a solução para cada desigualdade do sistema.

Esta área pode ficar vazia, então o sistema de desigualdades não tem soluções e é inconsistente. Caso contrário, o sistema é dito consistente.
Pode haver um número finito ou um número infinito de soluções. A área pode ser um polígono fechado ou ilimitado.

Vejamos três exemplos relevantes.

Exemplo 1. Resolva o sistema graficamente:
x + você – 1 ≤ 0;
–2x- 2sim + 5 ≤ 0.

• considere as equações x+y–1=0 e –2x–2y+5=0 correspondentes às desigualdades;
• Vamos construir linhas retas dadas por essas equações.

Figura 2

Vamos definir os semiplanos definidos pelas desigualdades. Tomemos um ponto arbitrário, seja (0; 0). Vamos considerar x+ você– 1 0, substitua o ponto (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Isso significa que no semiplano onde está o ponto (0; 0), x + sim – 1 ≤ 0, ou seja, o semiplano abaixo da linha é uma solução para a primeira desigualdade. Substituindo este ponto (0; 0) no segundo, obtemos: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, ou seja, no semiplano onde está o ponto (0; 0), –2 x – 2sim+ 5≥ 0, e nos perguntaram onde –2 x – 2sim+ 5 ≤ 0, portanto, no outro semiplano - naquele acima da reta.
Vamos encontrar a intersecção desses dois semiplanos. As retas são paralelas, portanto os planos não se cruzam em lugar nenhum, o que significa que o sistema dessas desigualdades não tem solução e é inconsistente.

Exemplo 2. Encontre soluções gráficas para o sistema de desigualdades:

Figura 3
1. Vamos escrever as equações correspondentes às desigualdades e construir retas.
x + 2sim– 2 = 0

x	2	0
sim	0	1

sim – x – 1 = 0

x	0	2
sim	1	3

sim + 2 = 0;
sim = –2.
2. Escolhido o ponto (0; 0), determinamos os sinais das desigualdades nos semiplanos:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, ou seja, x + 2sim– 2 ≤ 0 no semiplano abaixo da reta;
0 – 0 – 1 ≤ 0, ou seja, sim –x– 1 ≤ 0 no semiplano abaixo da reta;
0 + 2 =2 ≥ 0, ou seja, sim+ 2 ≥ 0 no semiplano acima da reta.
3. A intersecção destes três semiplanos será uma área que é um triângulo. Não é difícil encontrar os vértices da região como pontos de intersecção das linhas correspondentes


Por isso, A(–3; –2), EM(0; 1), COM(6; –2).

Consideremos outro exemplo em que o domínio de solução resultante do sistema não é limitado.

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Existem apenas “X” e apenas o eixo x, mas agora “Y” são adicionados e o campo de atividade se expande para todo o plano de coordenadas. Mais adiante no texto, a expressão “desigualdade linear” é entendida num sentido bidimensional, o que ficará claro em questão de segundos.

Além da geometria analítica, o material é relevante para diversos problemas de análise matemática e modelagem econômica e matemática, por isso recomendo estudar esta palestra com toda a seriedade.

Desigualdades lineares

Existem dois tipos de desigualdades lineares:

1) Estrito desigualdades: .

2) Relaxado desigualdades: .

Qual é o significado geométrico dessas desigualdades? Se uma equação linear define uma reta, então uma desigualdade linear define meio plano.

Para compreender as informações a seguir, você precisa conhecer os tipos de retas em um plano e ser capaz de construir retas. Se você tiver alguma dificuldade nesta parte, leia a ajuda Gráficos e propriedades de funções– parágrafo sobre função linear.

Vamos começar com as desigualdades lineares mais simples. O sonho de todo estudante pobre é um plano coordenado no qual não há nada:

Como você sabe, o eixo x é dado pela equação - o “y” é sempre (para qualquer valor de “x”) igual a zero

Vamos considerar a desigualdade. Como entender isso informalmente? “Y” é sempre (para qualquer valor de “x”) positivo. Obviamente, essa desigualdade define o semiplano superior - afinal, todos os pontos com “jogos” positivos estão localizados ali.

Caso a desigualdade não seja estrita, para o semiplano superior adicionalmente o próprio eixo é adicionado.

Da mesma forma: a desigualdade é satisfeita por todos os pontos do semiplano inferior; uma desigualdade não estrita corresponde ao semiplano inferior + eixo.

A mesma história prosaica acontece com o eixo y:

– a desigualdade especifica o semiplano direito;
– a desigualdade especifica o semiplano direito, incluindo o eixo das ordenadas;
– a desigualdade especifica o semiplano esquerdo;
– a desigualdade especifica o semiplano esquerdo, incluindo o eixo das ordenadas.

Na segunda etapa, consideramos desigualdades nas quais falta uma das variáveis.

Faltando "Y":

Ou não há “x”:

Essas desigualdades podem ser tratadas de duas maneiras: por favor considere ambas as abordagens. Ao longo do caminho, vamos relembrar e consolidar ações escolares com desigualdades, já discutidas em aula Domínio de Função.

Exemplo 1

Resolva desigualdades lineares:

O que significa resolver uma desigualdade linear?

Resolver uma desigualdade linear significa encontrar um semiplano, cujos pontos satisfazem esta desigualdade (mais a própria reta, se a desigualdade não for estrita). Solução, geralmente, gráfico.

É mais conveniente executar imediatamente o desenho e depois comentar tudo:

a) Resolva a desigualdade

Método um

O método lembra muito a história dos eixos coordenados, que discutimos acima. A ideia é transformar a desigualdade - deixar uma variável do lado esquerdo sem nenhuma constante, neste caso a variável “x”.

Regra: Em uma desigualdade, os termos são transferidos de parte para parte com uma mudança de sinal, enquanto o próprio sinal da desigualdade não muda(por exemplo, se houvesse um sinal “menos que”, então permanecerá “menos que”).

Movemos o “cinco” para o lado direito com uma mudança de sinal:

Regra POSITIVO não muda.

Agora desenhe uma linha reta (linha pontilhada azul). A linha reta é desenhada como uma linha pontilhada porque a desigualdade estrito, e os pontos pertencentes a esta linha certamente não serão incluídos na solução.

Qual é o significado da desigualdade? “X” é sempre (para qualquer valor de “Y”) menor que . Obviamente, esta afirmação é satisfeita por todos os pontos do semiplano esquerdo. Esse meio plano, em princípio, pode ser sombreado, mas vou me limitar a pequenas setas azuis para não transformar o desenho em uma paleta artística.

Método dois

Este é um método universal. LEIA COM MUITO ATENÇÃO!

Primeiro traçamos uma linha reta. A propósito, para maior clareza, é aconselhável apresentar a equação na forma .

Agora selecione qualquer ponto do plano, não pertencente a direto. Na maioria dos casos, o ponto ideal é, claro. Vamos substituir as coordenadas deste ponto na desigualdade:

Recebido falsa desigualdade(em palavras simples, isso não pode ser), isso significa que o ponto não satisfaz a desigualdade.

A regra fundamental da nossa tarefa:
não satisfaz desigualdade, então TODOS pontos de um determinado semiplano não satisfaça essa desigualdade.
– Se algum ponto do semiplano (não pertencente a uma reta) satisfaz desigualdade, então TODOS pontos de um determinado semiplano satisfazer essa desigualdade.

Você pode testar: qualquer ponto à direita da reta não satisfará a desigualdade.

Qual é a conclusão do experimento com o ponto? Não há para onde ir, a desigualdade é satisfeita por todos os pontos do outro - meio plano esquerdo (você também pode verificar).

b) Resolva a desigualdade

Método um

Vamos transformar a desigualdade:

Regra: Ambos os lados da desigualdade podem ser multiplicados (divididos) por NEGATIVO número, com o sinal de desigualdade MUDANDO ao contrário (por exemplo, se houvesse um sinal de “maior ou igual”, ele se tornará “menor ou igual”).

Multiplicamos ambos os lados da desigualdade por:

Vamos traçar uma linha reta (vermelha) e uma linha sólida, pois temos desigualdade não estrito, e a linha reta obviamente pertence à solução.

Depois de analisar a desigualdade resultante, chegamos à conclusão de que sua solução é o semiplano inferior (+ a própria reta).

Sombreamos ou marcamos o semiplano apropriado com setas.

Método dois

Vamos traçar uma linha reta. Vamos escolher um ponto arbitrário do plano (não pertencente a uma reta), por exemplo, e substituir suas coordenadas em nossa desigualdade:

Recebido verdadeira desigualdade, o que significa que o ponto satisfaz a desigualdade e, em geral, TODOS os pontos do semiplano inferior satisfazem esta desigualdade.

Aqui, com o ponto experimental, “atingimos” o semiplano desejado.

A solução do problema é indicada por uma linha vermelha e setas vermelhas.

Pessoalmente prefiro a primeira solução, pois a segunda é mais formal.

Exemplo 2

Resolva desigualdades lineares:

Este é um exemplo para você resolver sozinho. Tente resolver o problema de duas maneiras (aliás, essa é uma boa forma de verificar a solução). A resposta ao final da aula conterá apenas o desenho final.

Acho que depois de todas as ações feitas nos exemplos, você terá que casá-los; não será difícil resolver a desigualdade mais simples como, etc.

Passemos a considerar o terceiro caso geral, quando ambas as variáveis ​​​​estão presentes na desigualdade:

Alternativamente, o termo livre “ce” pode ser zero.

Exemplo 3

Encontre semiplanos correspondentes às seguintes desigualdades:

Solução: O método de solução universal com substituição de pontos é usado aqui.

a) Vamos construir uma equação para a reta, e a reta deve ser traçada como uma reta pontilhada, pois a desigualdade é estrita e a própria reta não será incluída na solução.

Selecionamos um ponto experimental do plano que não pertence a uma determinada reta, por exemplo, e substituímos suas coordenadas em nossa desigualdade:

Recebido falsa desigualdade, o que significa que o ponto e TODOS os pontos de um determinado semiplano não satisfazem a desigualdade. A solução para a desigualdade será outro meio plano, vamos admirar o raio azul:

b) Vamos resolver a desigualdade. Primeiro, vamos construir uma linha reta. Isto não é difícil de fazer; temos a proporcionalidade direta canônica. Traçamos a linha continuamente, uma vez que a desigualdade não é estrita.

Escolhamos um ponto arbitrário do plano que não pertence à reta. Gostaria de usar a origem novamente, mas, infelizmente, não é adequada agora. Portanto, você terá que trabalhar com outro amigo. É mais lucrativo pegar um ponto com pequenos valores de coordenadas, por exemplo, . Vamos substituir suas coordenadas em nossa desigualdade:

Recebido verdadeira desigualdade, o que significa que o ponto e todos os pontos de um determinado semiplano satisfazem a desigualdade. O semiplano desejado está marcado com setas vermelhas. Além disso, a solução inclui a própria reta.

Exemplo 4

Encontre semiplanos correspondentes às desigualdades:

Este é um exemplo para você resolver sozinho. Solução completa, uma amostra aproximada do desenho final e a resposta no final da aula.

Vejamos o problema inverso:

Exemplo 5

a) Dada uma linha reta. Definir o semiplano em que o ponto está localizado, enquanto a própria reta deve ser incluída na solução.

b) Dada uma linha reta. Definir semiplano em que o ponto está localizado. A linha reta em si não está incluída na solução.

Solução: Não há necessidade de desenho aqui e a solução será analítica. Nada difícil:

a) Vamos compor um polinômio auxiliar e calcular seu valor no ponto:
. Assim, a desigualdade desejada terá um sinal “menor que”. Por condição, a linha reta está incluída na solução, portanto a desigualdade não será estrita:

b) Vamos compor um polinômio e calcular seu valor no ponto:
. Assim, a desigualdade desejada terá um sinal “maior que”. Por condição, a reta não está incluída na solução, portanto, a desigualdade será estrita: .

Responder:

Exemplo criativo para auto-estudo:

Exemplo 6

Dados pontos e uma linha reta. Entre os pontos listados, encontre aqueles que, juntamente com a origem das coordenadas, ficam do mesmo lado da reta dada.

Uma pequena dica: primeiro você precisa criar uma desigualdade que determine o semiplano em que está localizada a origem das coordenadas. Solução analítica e resposta no final da aula.

Sistemas de desigualdades lineares

Um sistema de desigualdades lineares é, como você entende, um sistema composto por diversas desigualdades. Haha, bem, eu dei a definição =) Um ouriço é um ouriço, uma faca é uma faca. Mas é verdade – ficou simples e acessível! Não, sério, não quero dar exemplos gerais, então vamos direto às questões urgentes:

O que significa resolver um sistema de desigualdades lineares?

Resolva um sistema de desigualdades lineares- isso significa encontre o conjunto de pontos no plano, que satisfaz para cada desigualdade do sistema.

Como exemplos mais simples, considere os sistemas de desigualdades que determinam os trimestres de coordenadas de um sistema de coordenadas retangulares (“a imagem dos alunos pobres” está logo no início da lição):

O sistema de desigualdades define o primeiro trimestre de coordenadas (canto superior direito). Coordenadas de qualquer ponto do primeiro trimestre, por exemplo, etc. satisfazer para cada desigualdade deste sistema.

Da mesma maneira:
– o sistema de desigualdades especifica o segundo quarto de coordenadas (canto superior esquerdo);
– o sistema de desigualdades define o terceiro quarto de coordenadas (canto inferior esquerdo);
– o sistema de desigualdades define o quarto trimestre de coordenadas (canto inferior direito).

Um sistema de desigualdades lineares pode não ter soluções, isto é, ser não articulado. Novamente o exemplo mais simples: . É bastante óbvio que “x” não pode ser simultaneamente maior que três e menor que dois.

A solução para o sistema de desigualdades pode ser uma linha reta, por exemplo: . Um cisne, um lagostim, sem lúcio, puxando a carroça em duas direções diferentes. Sim, as coisas ainda estão lá – a solução para este sistema é a linha reta.

Mas o caso mais comum é quando a solução do sistema é alguma região plana. Área de solução Talvez não limitado(por exemplo, trimestres coordenados) ou limitado. A região de solução limitada é chamada sistema de solução de polígono.

Exemplo 7

Resolva um sistema de desigualdades lineares

Na prática, na maioria dos casos temos que lidar com desigualdades fracas, por isso serão eles que conduzirão as danças circulares durante o resto da aula.

Solução: O facto de existirem demasiadas desigualdades não deve ser assustador. Quantas desigualdades pode haver no sistema? Sim, tanto quanto você quiser. O principal é aderir a um algoritmo racional para construir uma área de solução:

1) Primeiro tratamos das desigualdades mais simples. As desigualdades definem o primeiro quarto de coordenadas, incluindo o limite dos eixos de coordenadas. Já é muito mais fácil, pois a área de busca diminuiu significativamente. No desenho, marcamos imediatamente os semiplanos correspondentes com setas (setas vermelhas e azuis)

2) A segunda desigualdade mais simples é que não há “Y” aqui. Em primeiro lugar, construímos a própria linha reta e, em segundo lugar, depois de transformar a desigualdade na forma , fica imediatamente claro que todos os “X's” são menores que 6. Marcamos o semiplano correspondente com setas verdes. Bem, a área de pesquisa ficou ainda menor - esse retângulo não é limitado por cima.

3) Na última etapa resolvemos as desigualdades “com munição completa”: . Discutimos o algoritmo de solução em detalhes no parágrafo anterior. Resumindo: primeiro construímos uma linha reta, depois, usando um ponto experimental, encontramos o semiplano que precisamos.

Levantem-se, crianças, formem um círculo:


A área de solução do sistema é um polígono, no desenho é contornado com linha carmesim e sombreado. Exagerei um pouco =) No caderno basta sombrear a área da solução ou contorná-la mais ousada com um simples lápis.

Qualquer ponto de um determinado polígono satisfaz TODAS as desigualdades do sistema (você pode verificar isso por diversão).

Responder: A solução do sistema é um polígono.

Ao solicitar uma cópia limpa, seria uma boa ideia descrever detalhadamente quais pontos você usou para construir linhas retas (ver lição Gráficos e propriedades de funções) e como os semiplanos foram determinados (veja o primeiro parágrafo desta lição). Porém, na prática, na maioria dos casos, você receberá apenas o desenho correto. Os próprios cálculos podem ser realizados em rascunho ou mesmo oralmente.

Além do polígono de solução do sistema, na prática, embora com menor frequência, existe uma região aberta. Tente entender você mesmo o exemplo a seguir. Embora, por uma questão de precisão, não haja tortura aqui - o algoritmo de construção é o mesmo, só que a área não será limitada.

Exemplo 8

Resolva o sistema

A solução e a resposta estão no final da lição. Provavelmente você terá letras diferentes para os vértices da região resultante. Isso não é importante, o principal é encontrar os vértices corretamente e construir a área corretamente.

Não é incomum que os problemas exijam não apenas a construção do domínio de solução de um sistema, mas também a localização das coordenadas dos vértices do domínio. Nos dois exemplos anteriores, as coordenadas destes pontos eram óbvias, mas na prática tudo está longe de ser gelo:

Exemplo 9

Resolva o sistema e encontre as coordenadas dos vértices da região resultante

Solução: Vamos representar no desenho a área de solução deste sistema. A desigualdade define o semiplano esquerdo com o eixo das ordenadas, e não há mais brinde aqui. Após cálculos sobre a cópia/rascunho final ou processos de reflexão profunda, obtemos a seguinte área de soluções:

Desigualdades e sistemas de desigualdades são um dos temas abordados em álgebra no ensino médio. Em termos de nível de dificuldade, não é dos mais difíceis, pois possui regras simples (mais sobre elas um pouco mais tarde). Via de regra, os alunos aprendem a resolver sistemas de desigualdades com bastante facilidade. Isso também se deve ao fato de os professores simplesmente “treinarem” seus alunos nesse tema. E eles não podem deixar de fazer isso, porque futuramente será estudado com outras grandezas matemáticas, e também será testado no Exame Estadual Unificado e no Exame Estadual Unificado. Nos livros escolares, o tema das desigualdades e dos sistemas de desigualdades é abordado com grande detalhe, por isso, se vai estudá-lo, o melhor é recorrer a eles. Este artigo apenas resume material maior e pode haver algumas omissões.

O conceito de sistema de desigualdades

Se recorrermos à linguagem científica, podemos definir o conceito de “sistema de desigualdades”. Este é um modelo matemático que representa diversas desigualdades. Este modelo, é claro, requer uma solução, e esta será a resposta geral para todas as desigualdades do sistema proposto no problema (geralmente está escrito nele, por exemplo: “Resolva o sistema de desigualdades 4 x + 1 > 2 e 30 - x > 6... "). No entanto, antes de passar para os tipos e métodos de soluções, você precisa entender outra coisa.

Sistemas de desigualdades e sistemas de equações

Ao aprender um novo tópico, muitas vezes surgem mal-entendidos. Por um lado, tudo está claro e pretende-se começar a resolver as tarefas o mais rapidamente possível, mas por outro lado, alguns momentos ficam na “sombra” e não são totalmente compreendidos. Além disso, alguns elementos do conhecimento já adquirido podem estar interligados com outros novos. Como resultado desta “sobreposição”, ocorrem frequentemente erros.

Portanto, antes de começarmos a analisar o nosso tema, devemos lembrar as diferenças entre equações e desigualdades e seus sistemas. Para fazer isso, precisamos explicar mais uma vez o que esses conceitos matemáticos representam. Uma equação é sempre uma igualdade e é sempre igual a alguma coisa (em matemática esta palavra é denotada pelo sinal "="). A desigualdade é um modelo em que um valor é maior ou menor que outro, ou contém uma afirmação de que eles não são iguais. Assim, no primeiro caso, convém falar em igualdade e, no segundo, por mais óbvio que pareça pelo próprio nome, sobre a desigualdade dos dados iniciais. Os sistemas de equações e desigualdades praticamente não diferem entre si e os métodos para resolvê-los são os mesmos. A única diferença é que no primeiro caso são utilizadas igualdades e no segundo caso são utilizadas desigualdades.

Tipos de desigualdades

Existem dois tipos de desigualdades: numéricas e com variável desconhecida. O primeiro tipo representa quantidades fornecidas (números) que são desiguais entre si, por exemplo, 8 > 10. O segundo são desigualdades que contêm uma variável desconhecida (denotada por uma letra do alfabeto latino, na maioria das vezes X). Esta variável precisa ser encontrada. Dependendo de quantas são, o modelo matemático distingue entre desigualdades com uma (constituem um sistema de desigualdades com uma variável) ou várias variáveis ​​(constituem um sistema de desigualdades com diversas variáveis).

Os dois últimos tipos, de acordo com o grau de construção e o nível de complexidade da solução, dividem-se em simples e complexos. As simples também são chamadas de desigualdades lineares. Eles, por sua vez, são divididos em estritos e não estritos. Os estritos “dizem” especificamente que uma quantidade deve necessariamente ser menor ou maior, então isso é pura desigualdade. Vários exemplos podem ser dados: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, etc. Os não estritos também incluem igualdade. Ou seja, um valor pode ser maior ou igual a outro valor (sinal “≥”) ou menor ou igual a outro valor (sinal “≤”). Mesmo nas desigualdades lineares, a variável não está na raiz, é quadrada ou divisível por nada, por isso são chamadas de “simples”. Os complexos envolvem variáveis ​​desconhecidas que requerem mais matemática para serem encontradas. Muitas vezes estão localizados em um quadrado, cubo ou sob uma raiz, podem ser modulares, logarítmicos, fracionários, etc. Mas como nossa tarefa é a necessidade de entender a solução de sistemas de desigualdades, falaremos sobre um sistema de desigualdades lineares . Porém, antes disso, algumas palavras devem ser ditas sobre suas propriedades.

Propriedades das desigualdades

As propriedades das desigualdades incluem o seguinte:

1. O sinal de desigualdade é invertido se uma operação for usada para alterar a ordem dos lados (por exemplo, se t 1 ≤ t 2, então t 2 ≥ t 1).
2. Ambos os lados da desigualdade permitem adicionar o mesmo número a si mesmo (por exemplo, se t 1 ≤ t 2, então t 1 + número ≤ t 2 + número).
3. Duas ou mais desigualdades com sinal na mesma direção permitem que seus lados esquerdo e direito sejam somados (por exemplo, se t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, então t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. Ambas as partes da desigualdade podem ser multiplicadas ou divididas pelo mesmo número positivo (por exemplo, se t 1 ≤ t 2 e um número ≤ 0, então o número · t 1 ≥ número · t 2).
5. Duas ou mais desigualdades que possuem termos positivos e um sinal na mesma direção permitem-se multiplicar entre si (por exemplo, se t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 então t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. Ambas as partes da desigualdade permitem-se multiplicar ou dividir pelo mesmo número negativo, mas neste caso o sinal da desigualdade muda (por exemplo, se t 1 ≤ t 2 e um número ≤ 0, então o número · t 1 ≥ número · t 2).
7. Todas as desigualdades têm a propriedade de transitividade (por exemplo, se t 1 ≤ t 2 e t 2 ≤ t 3, então t 1 ≤ t 3).

Agora, depois de estudar os princípios básicos da teoria relativa às desigualdades, podemos proceder diretamente à consideração das regras para resolver seus sistemas.

Resolvendo sistemas de desigualdades. Informações gerais. Soluções

Conforme mencionado acima, a solução são os valores da variável que são adequados para todas as desigualdades de um determinado sistema. A resolução de sistemas de desigualdades é a implementação de operações matemáticas que acabam por levar a uma solução para todo o sistema ou provar que este não tem soluções. Neste caso, diz-se que a variável pertence a um conjunto numérico vazio (escrito da seguinte forma: carta denotando uma variável∈ (sinal “pertence”) ø (sinal “conjunto vazio”), por exemplo, x ∈ ø (leia-se: “A variável “x” pertence ao conjunto vazio”). Existem várias maneiras de resolver sistemas de desigualdades: gráfico, algébrico, método de substituição. Vale ressaltar que se referem àqueles modelos matemáticos que possuem diversas variáveis ​​desconhecidas. No caso em que existe apenas um, o método intervalar é adequado.

Método gráfico

Permite resolver um sistema de desigualdades com várias quantidades desconhecidas (de dois e acima). Graças a este método, um sistema de desigualdades lineares pode ser resolvido com bastante facilidade e rapidez, por isso é o método mais comum. Isso é explicado pelo fato de que traçar um gráfico reduz a quantidade de operações matemáticas escritas. Torna-se especialmente agradável fazer uma pequena pausa na caneta, pegar um lápis com uma régua e iniciar outras ações com a ajuda deles quando muito trabalho já foi feito e você deseja um pouco de variedade. No entanto, algumas pessoas não gostam desse método porque precisam se afastar da tarefa e mudar sua atividade mental para o desenho. No entanto, este é um método muito eficaz.

Para resolver um sistema de desigualdades por método gráfico, é necessário transferir todos os termos de cada desigualdade para o seu lado esquerdo. Os sinais serão invertidos, zero deverá ser escrito à direita, então cada desigualdade deverá ser escrita separadamente. Como resultado, as funções serão obtidas a partir das desigualdades. Depois disso, você pode pegar um lápis e uma régua: agora você precisa desenhar um gráfico de cada função obtida. Todo o conjunto de números que estará no intervalo de sua intersecção será uma solução para o sistema de desigualdades.

Maneira algébrica

Permite resolver um sistema de desigualdades com duas variáveis ​​desconhecidas. Além disso, as desigualdades devem ter o mesmo sinal de desigualdade (ou seja, devem conter apenas o sinal “maior que” ou apenas o sinal “menor que”, etc.). Apesar das suas limitações, este método também é mais complexo. É aplicado em duas etapas.

A primeira envolve ações para se livrar de uma das variáveis ​​desconhecidas. Primeiro você precisa selecioná-lo e, em seguida, verificar a presença de números na frente desta variável. Se não estiverem (então a variável parecerá uma única letra), então não mudamos nada, se houver (o tipo da variável será, por exemplo, 5y ou 12y), então é necessário fazer certifique-se de que em cada desigualdade o número na frente da variável selecionada seja o mesmo. Para fazer isso, você precisa multiplicar cada termo das desigualdades por um fator comum, por exemplo, se 3y estiver escrito na primeira desigualdade e 5y na segunda, então você precisa multiplicar todos os termos da primeira desigualdade por 5 , e o segundo por 3. O resultado é 15y e 15y, respectivamente.

Segunda etapa de solução. É necessário transferir o lado esquerdo de cada desigualdade para o lado direito, mudando o sinal de cada termo para o oposto, e escrever zero à direita. Depois vem a parte divertida: livrar-se da variável selecionada (também conhecida como “redução”) enquanto adiciona as desigualdades. Isso resulta em uma desigualdade com uma variável que precisa ser resolvida. Depois disso, você deve fazer a mesma coisa, só que com outra variável desconhecida. Os resultados obtidos serão a solução do sistema.

Método de substituição

Permite resolver um sistema de desigualdades se for possível introduzir uma nova variável. Normalmente, este método é usado quando a variável desconhecida em um termo da desigualdade é elevada à quarta potência e no outro termo é elevada ao quadrado. Assim, este método visa reduzir o grau de desigualdades no sistema. A desigualdade amostral x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 é resolvida desta forma. Uma nova variável é introduzida, por exemplo t. Eles escrevem: “Seja t = x 2”, então o modelo é reescrito em uma nova forma. No nosso caso, obtemos t 2 - t - 1 ≤0. Essa desigualdade precisa ser resolvida usando o método do intervalo (mais sobre isso um pouco mais tarde), depois voltar para a variável X e fazer o mesmo com a outra desigualdade. As respostas recebidas serão a solução do sistema.

Método de intervalo

Esta é a forma mais simples de resolver sistemas de desigualdades e, ao mesmo tempo, é universal e generalizada. É utilizado em escolas secundárias e até mesmo em escolas superiores. Sua essência reside no fato de o aluno procurar intervalos de desigualdade em uma reta numérica, que está desenhada em um caderno (este não é um gráfico, mas apenas uma reta comum com números). Onde os intervalos de desigualdades se cruzam, a solução do sistema é encontrada. Para usar o método de intervalo, você precisa seguir estas etapas:

1. Todos os termos de cada desigualdade são transferidos para o lado esquerdo com o sinal mudando para o oposto (zero está escrito à direita).
2. As desigualdades são escritas separadamente e a solução para cada uma delas é determinada.
3. As interseções das desigualdades na reta numérica são encontradas. Todos os números localizados nessas interseções serão uma solução.

Qual método devo usar?

Obviamente aquele que parece mais fácil e conveniente, mas há casos em que as tarefas exigem um determinado método. Na maioria das vezes eles dizem que você precisa resolver usando um gráfico ou o método intervalar. O método algébrico e a substituição são muito raramente ou nunca utilizados, pois são bastante complexos e confusos e, além disso, são mais utilizados para resolver sistemas de equações do que desigualdades, por isso deve-se recorrer ao desenho de gráficos e intervalos. Eles trazem clareza, o que não pode deixar de contribuir para a execução eficiente e rápida das operações matemáticas.

Se algo não der certo

Ao estudar um determinado tópico de álgebra, naturalmente, podem surgir problemas com sua compreensão. E isso é normal, porque nosso cérebro é projetado de tal forma que não é capaz de compreender materiais complexos de uma só vez. Freqüentemente, você precisa reler um parágrafo, pedir a ajuda de um professor ou praticar a resolução de tarefas padrão. No nosso caso, eles se parecem, por exemplo, com isto: “Resolva o sistema de desigualdades 3 x + 1 ≥ 0 e 2 x - 1 > 3.” Assim, o desejo pessoal, a ajuda de pessoas de fora e a prática auxiliam na compreensão de qualquer tema complexo.

Solucionador?

Um livro de soluções também é muito adequado, mas não para copiar o dever de casa, mas para autoajuda. Neles você pode encontrar sistemas de desigualdades com soluções, observá-los (como modelos), tentar entender exatamente como o autor da solução lidou com a tarefa e depois tentar fazer o mesmo por conta própria.

conclusões

Álgebra é uma das matérias mais difíceis da escola. Bem, o que você pode fazer? A matemática sempre foi assim: para uns é fácil, mas para outros é difícil. Mas em qualquer caso, deve-se lembrar que o programa de educação geral está estruturado de forma que qualquer aluno possa atendê-lo. Além disso, é preciso ter em mente o grande número de assistentes. Alguns deles foram mencionados acima.

Após obter informações iniciais sobre as desigualdades com variáveis, passamos à questão de resolvê-las. Analisaremos a solução de desigualdades lineares com uma variável e todos os métodos para resolvê-las com algoritmos e exemplos. Apenas equações lineares com uma variável serão consideradas.

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O que é desigualdade linear?

Primeiro você precisa definir uma equação linear e descobrir sua forma padrão e como ela será diferente das outras. Do percurso escolar temos que não existe diferença fundamental entre as desigualdades, por isso é necessário utilizar diversas definições.

Definição 1

Desigualdade linear com uma variável x é uma desigualdade da forma a · x + b > 0, quando qualquer sinal de desigualdade é usado em vez de >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Definição 2

Desigualdades a x< c или a · x >c, com x sendo uma variável e a e c sendo alguns números, é chamado desigualdades lineares com uma variável.

Como nada é dito sobre se o coeficiente pode ser igual a 0, então uma desigualdade estrita da forma 0 x > c e 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Suas diferenças são:

• forma de notação a · x + b > 0 no primeiro, e a · x > c – no segundo;
• admissibilidade do coeficiente a ser igual a zero, a ≠ 0 - no primeiro, e a = 0 - no segundo.

Acredita-se que as desigualdades a · x + b > 0 e a · x > c são equivalentes, pois são obtidas pela transferência de um termo de uma parte para outra. Resolver a desigualdade 0 x + 5 > 0 levará ao fato de que ela precisará ser resolvida, e o caso a = 0 não funcionará.

Definição 3

Acredita-se que as desigualdades lineares em uma variável x são desigualdades da forma a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0 E a x + b ≥ 0, onde aeb são números reais. Em vez de x pode haver um número regular.

Com base na regra, temos que 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 são chamados de redutíveis a lineares.

Como resolver a desigualdade linear

A principal forma de resolver tais desigualdades é usar transformações equivalentes para encontrar as desigualdades elementares x< p (≤ , >, ≥) , p que é um certo número, para a ≠ 0, e da forma a< p (≤ , >, ≥) para a = 0.

Para resolver desigualdades em uma variável, você pode usar o método intervalar ou representá-lo graficamente. Qualquer um deles pode ser usado separadamente.

Usando transformações equivalentes

Para resolver uma desigualdade linear da forma a x + b< 0 (≤ , >, ≥), é necessário aplicar transformações de desigualdade equivalentes. O coeficiente pode ou não ser zero. Vamos considerar os dois casos. Para descobrir, você precisa seguir um esquema composto por 3 pontos: a essência do processo, o algoritmo e a própria solução.

Definição 4

Algoritmo para resolver desigualdade linear a x + b< 0 (≤ , >, ≥) para um ≠ 0

• o número b será movido para o lado direito da inequação com sinal oposto, o que nos permitirá chegar ao equivalente a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• Ambos os lados da desigualdade serão divididos por um número diferente de 0. Além disso, quando a é positivo, o sinal permanece; quando a é negativo, muda para o oposto.

Consideremos a aplicação deste algoritmo para resolver exemplos.

Exemplo 1

Resolva a desigualdade da forma 3 x + 12 ≤ 0.

Solução

Esta desigualdade linear tem a = 3 e b = 12. Isso significa que o coeficiente a de x não é igual a zero. Vamos aplicar os algoritmos acima e resolvê-lo.

É necessário mover o termo 12 para outra parte da desigualdade e mudar o sinal antes dele. Então obtemos uma desigualdade da forma 3 x ≤ − 12. É necessário dividir ambas as partes por 3. O sinal não mudará porque 3 é um número positivo. Obtemos que (3 x): 3 ≤ (− 12): 3, o que dá o resultado x ≤ − 4.

Uma desigualdade da forma x ≤ − 4 é equivalente. Ou seja, a solução para 3 x + 12 ≤ 0 é qualquer número real menor ou igual a 4. A resposta é escrita como uma desigualdade x ≤ − 4, ou um intervalo numérico da forma (− ∞, − 4].

Todo o algoritmo descrito acima é escrito assim:

3 x + 12 ≤ 0 ; 3 x ≤ − 12; x ≤ − 4 .

Responder: x ≤ − 4 ou (− ∞ , − 4 ] .

Exemplo 2

Indique todas as soluções disponíveis para a desigualdade − 2, 7 · z > 0.

Solução

A partir da condição, vemos que o coeficiente a para z é igual a -2,7 e b está explicitamente ausente ou igual a zero. Você não pode usar a primeira etapa do algoritmo, mas passar imediatamente para a segunda.

Dividimos ambos os lados da equação pelo número - 2, 7. Como o número é negativo, é necessário inverter o sinal de desigualdade. Ou seja, obtemos que (− 2, 7 z): (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Vamos escrever todo o algoritmo de forma resumida:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

Responder: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Exemplo 3

Resolva a desigualdade - 5 x - 15 22 ≤ 0.

Solução

Pela condição, vemos que é necessário resolver a desigualdade com coeficiente a para a variável x, que é igual a - 5, com coeficiente b, que corresponde à fração - 15 22. É necessário resolver a desigualdade seguindo o algoritmo, ou seja: passar - 15 22 para outra parte com sinal oposto, dividir as duas partes por - 5, mudar o sinal da desigualdade:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Durante a última transição para o lado direito, utiliza-se a regra de divisão de um número com sinais diferentes 15 22: - 5 = - 15 22: 5, após a qual dividimos a fração ordinária por um número natural - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

Responder: x ≥ - 3 22 e [ - 3 22 + ∞) .

Vamos considerar o caso em que a = 0. Expressão linear da forma a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Tudo se baseia na determinação da solução para a desigualdade. Para qualquer valor de x obtemos uma desigualdade numérica da forma b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Consideraremos todos os julgamentos na forma de um algoritmo para resolver desigualdades lineares 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Definição 5

Desigualdade numérica da forma b< 0 (≤ , >, ≥) for verdadeira, então a desigualdade original tem solução para qualquer valor e é falsa quando a desigualdade original não tem solução.

Exemplo 4

Resolva a desigualdade 0 x + 7 > 0.

Solução

Esta desigualdade linear 0 x + 7 > 0 pode assumir qualquer valor x. Então obtemos uma desigualdade da forma 7 > 0. A última desigualdade é considerada verdadeira, o que significa que qualquer número pode ser sua solução.

Responder: intervalo (− ∞ , + ∞) .

Exemplo 5

Encontre uma solução para a desigualdade 0 x − 12, 7 ≥ 0.

Solução

Ao substituir a variável x de qualquer número, obtemos que a desigualdade assume a forma − 12, 7 ≥ 0. Está incorreto. Ou seja, 0 x − 12, 7 ≥ 0 não tem soluções.

Responder: não há soluções.

Vamos considerar a resolução de desigualdades lineares onde ambos os coeficientes são iguais a zero.

Exemplo 6

Determine a desigualdade insolúvel de 0 x + 0 > 0 e 0 x + 0 ≥ 0.

Solução

Ao substituir qualquer número em vez de x, obtemos duas desigualdades da forma 0 > 0 e 0 ≥ 0. A primeira está incorreta. Isso significa que 0 x + 0 > 0 não tem soluções, e 0 x + 0 ≥ 0 tem um número infinito de soluções, ou seja, qualquer número.

Responder: a desigualdade 0 x + 0 > 0 não tem soluções, mas 0 x + 0 ≥ 0 tem soluções.

Este método é discutido no curso de matemática escolar. O método intervalar é capaz de resolver diversos tipos de desigualdades, inclusive lineares.

O método do intervalo é usado para desigualdades lineares quando o valor do coeficiente x não é igual a 0. Caso contrário, você terá que calcular usando um método diferente.

Definição 6

O método de intervalo é:

• introduzindo a função y = a · x + b ;
• busca de zeros para dividir o domínio de definição em intervalos;
• definição de sinais para seus conceitos em intervalos.

Vamos montar um algoritmo para resolver equações lineares a x + b< 0 (≤ , >, ≥) para a ≠ 0 usando o método de intervalo:

• encontrar os zeros da função y = a · x + b para resolver uma equação da forma a · x + b = 0 . Se a ≠ 0, então a solução será uma raiz única, que receberá a designação x 0;
• construção de uma linha de coordenadas com imagem de um ponto com coordenada x 0, com uma desigualdade estrita o ponto é denotado por um perfurado, com uma desigualdade não estrita – por um sombreado;
• determinação dos sinais da função y = a · x + b nos intervalos, para isso é necessário encontrar os valores da função nos pontos do intervalo;
• resolver uma inequação com sinais > ou ≥ na reta de coordenadas, adicionando sombreamento ao longo do intervalo positivo;< или ≤ над отрицательным промежутком.

Vejamos vários exemplos de resolução de desigualdades lineares usando o método de intervalo.

Exemplo 6

Resolva a desigualdade − 3 x + 12 > 0.

Solução

Segue-se do algoritmo que primeiro você precisa encontrar a raiz da equação − 3 x + 12 = 0. Obtemos que − 3 · x = − 12 , x = 4 . É necessário traçar uma linha de coordenadas onde marcamos o ponto 4. Será perfurado porque a desigualdade é estrita. Considere o desenho abaixo.

É necessário determinar os sinais nos intervalos. Para determiná-lo no intervalo (− ∞, 4), é necessário calcular a função y = − 3 x + 12 em x = 3. A partir daqui obtemos que − 3 3 + 12 = 3 > 0. O sinal no intervalo é positivo.

Determinamos o sinal do intervalo (4, + ∞) e depois substituímos o valor x = 5. Temos que − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Resolvemos a inequação com o sinal > e o sombreamento é realizado no intervalo positivo. Considere o desenho abaixo.

Pelo desenho fica claro que a solução desejada tem a forma (− ∞ , 4) ou x< 4 .

Responder: (− ∞ , 4) ou x< 4 .

Para entender como representar graficamente, é necessário considerar 4 desigualdades lineares como exemplo: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 e 0, 5 x − 1 ≥ 0. Suas soluções serão os valores de x< 2 , x ≤ 2 , x >2 e x ≥ 2. Para fazer isso, vamos representar graficamente a função linear y = 0, 5 x − 1 mostrada abaixo.

Está claro que

Definição 7

• resolvendo a desigualdade 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• a solução 0, 5 x − 1 ≤ 0 é considerada o intervalo onde a função y = 0, 5 x − 1 é menor que O x ou coincide;
• a solução 0, 5 · x − 1 > 0 é considerada um intervalo, a função está localizada acima de O x;
• a solução 0, 5 · x − 1 ≥ 0 é considerada o intervalo onde o gráfico acima de O x ou coincide.

O objetivo de resolver graficamente as desigualdades é encontrar os intervalos que precisam ser representados no gráfico. Neste caso, descobrimos que o lado esquerdo tem y = a · x + b, e o lado direito tem y = 0, e coincide com O x.

Definição 8

O gráfico da função y = a x + b é traçado:

• ao resolver a desigualdade a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• ao resolver a desigualdade a · x + b ≤ 0, o intervalo é determinado onde o gráfico está representado abaixo do eixo O x ou coincide;
• ao resolver a desigualdade a · x + b > 0, o intervalo é determinado onde o gráfico é representado acima de O x;
• Ao resolver a desigualdade a · x + b ≥ 0, determina-se o intervalo onde o gráfico está acima de O x ou coincide.

Exemplo 7

Resolva a desigualdade - 5 · x - 3 > 0 usando um gráfico.

Solução

É necessário construir um gráfico da função linear - 5 · x - 3 > 0. Esta linha está diminuindo porque o coeficiente de x é negativo. Para determinar as coordenadas do ponto de sua intersecção com O x - 5 · x - 3 > 0, obtemos o valor - 3 5. Vamos descrevê-lo graficamente.

Resolvendo a desigualdade com o sinal >, então você precisa prestar atenção ao intervalo acima de O x. Vamos destacar a parte necessária do avião em vermelho e obter isso

A lacuna necessária é parte O x vermelho. Isso significa que o raio numérico aberto - ∞ , - 3 5 será uma solução para a desigualdade. Se, de acordo com a condição, tivéssemos uma desigualdade não estrita, então o valor do ponto - 3 5 também seria uma solução para a desigualdade. E coincidiria com O x.

Responder: - ∞ , - 3 5 ou x< - 3 5 .

A solução gráfica é utilizada quando o lado esquerdo corresponde à função y = 0 x + b, ou seja, y = b. Então a linha reta será paralela a O x ou coincidindo em b = 0. Estes casos mostram que a desigualdade pode não ter soluções, ou a solução pode ser qualquer número.

Exemplo 8

Determine a partir das desigualdades 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Solução

A representação de y = 0 x + 7 é y = 7, então um plano de coordenadas será dado com uma linha paralela a O x e localizada acima de O x. Então 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

O gráfico da função y = 0 x + 0 é considerado y = 0, ou seja, a reta coincide com O x. Isso significa que a desigualdade 0 x + 0 ≥ 0 tem muitas soluções.

Responder: A segunda desigualdade tem solução para qualquer valor de x.

Desigualdades que se reduzem a lineares

A solução das desigualdades pode ser reduzida à solução de uma equação linear, que são chamadas de desigualdades que se reduzem a lineares.

Essas desigualdades foram consideradas no percurso escolar, por se tratarem de um caso especial de resolução de desigualdades, o que levou à abertura de parênteses e à redução de termos semelhantes. Por exemplo, considere que 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

As desigualdades dadas acima são sempre reduzidas à forma de uma equação linear. Em seguida, abrem-se os colchetes e dão-se termos semelhantes, transferidos de partes diferentes, mudando o sinal para o oposto.

Ao reduzir a desigualdade 5 − 2 x > 0 a linear, representamos-na de tal forma que tenha a forma − 2 x + 5 > 0, e para reduzir a segunda obtemos que 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . É necessário abrir os colchetes, trazer termos semelhantes, mover todos os termos para o lado esquerdo e trazer termos semelhantes. Se parece com isso:

7 x - 7 + 3 ≤ 4 x - 2 + x 7 x - 4 ≤ ​​5 x - 2 7 x - 4 - 5 x + 2 ≤ 0 2 x - 2 ≤ 0

Isso leva a solução a uma desigualdade linear.

Essas desigualdades são consideradas lineares, pois possuem o mesmo princípio de solução, após o qual é possível reduzi-las a desigualdades elementares.

Para resolver este tipo de desigualdade, é necessário reduzi-la a linear. Deve ser feito desta forma:

Definição 9

• abra parênteses;
• colete variáveis ​​à esquerda e números à direita;
• forneça termos semelhantes;
• divida ambos os lados pelo coeficiente de x.

Exemplo 9

Resolva a desigualdade 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.

Solução

Abrimos os colchetes e obtemos uma desigualdade da forma 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1. Depois de reduzir termos semelhantes, temos que 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Depois de mover os termos da esquerda para a direita, descobrimos que 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Portanto, existe uma desigualdade da forma 32 ≤ 0 daquela obtida calculando 0 x + 32 ≤ 0. Percebe-se que a desigualdade é falsa, o que significa que a desigualdade dada pela condição não tem solução.

Responder: sem soluções.

É importante notar que existem muitos outros tipos de desigualdades que podem ser reduzidas a desigualdades lineares ou do tipo mostrado acima. Por exemplo, 5 2 x − 1 ≥ 1 é uma equação exponencial que se reduz a uma solução da forma linear 2 x − 1 ≥ 0. Esses casos serão considerados na resolução de desigualdades deste tipo.

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