Ludwig Boltzmann: Conquistas pessoais. Constante de Boltzmann

Plano:

Introdução

• 1 Relação entre temperatura e energia
• 2 Definição de entropia
Notas

Introdução

Constante de Boltzmann (k ou k B) é uma constante física que define a relação entre temperatura e energia. Nomeado em homenagem ao físico austríaco Ludwig Boltzmann, que fez contribuições importantes para a física estatística, na qual esta constante desempenha um papel fundamental. Seu valor experimental no sistema SI é

J/K.

Os números entre parênteses indicam o erro padrão nos últimos dígitos do valor da quantidade. A constante de Boltzmann pode ser obtida a partir da definição de temperatura absoluta e de outras constantes físicas. No entanto, calcular a constante de Boltzmann usando os primeiros princípios é muito complexo e inviável no estado atual do conhecimento. No sistema natural de unidades de Planck, a unidade natural de temperatura é dada de forma que a constante de Boltzmann seja igual à unidade.

A constante universal dos gases é definida como o produto da constante de Boltzmann e do número de Avogadro, R = kN A. A constante dos gases é mais conveniente quando o número de partículas é dado em moles.

1. Relação entre temperatura e energia

Em um gás ideal homogêneo à temperatura absoluta T, a energia para cada grau de liberdade translacional é igual, como segue da distribuição de Maxwell kT/ 2 . À temperatura ambiente (300 K) esta energia é J, ou 0,013 eV. Em um gás ideal monoatômico, cada átomo possui três graus de liberdade correspondentes a três eixos espaciais, o que significa que cada átomo possui uma energia de .

Conhecendo a energia térmica, podemos calcular a raiz quadrada média da velocidade dos átomos, que é inversamente proporcional à raiz quadrada da massa atômica. A velocidade quadrática média à temperatura ambiente varia de 1370 m/s para o hélio a 240 m/s para o xenônio. No caso de um gás molecular a situação fica mais complicada, por exemplo um gás diatômico já possui aproximadamente cinco graus de liberdade.

2. Definição de entropia

A entropia de um sistema termodinâmico é definida como o logaritmo natural do número de microestados diferentes Z, correspondendo a um determinado estado macroscópico (por exemplo, um estado com uma determinada energia total).

S = k Em Z.

Fator de proporcionalidade k e é a constante de Boltzmann. Esta é uma expressão que define a relação entre microscópico ( Z) e estados macroscópicos ( S), expressa a ideia central da mecânica estatística.

Notas

1. 1 2 3 http://physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt - Physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt Constantes Físicas Fundamentais - Lista Completa

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A constante de Boltzmann, que é um coeficiente igual a k = 1,38 · 10 - 23 J K, faz parte de um número significativo de fórmulas em física. Seu nome vem do físico austríaco, um dos fundadores da teoria cinética molecular. Formulemos a definição da constante de Boltzmann:

Definição 1

Constante de Boltzmanné uma constante física usada para determinar a relação entre energia e temperatura.

Não deve ser confundida com a constante de Stefan-Boltzmann, que está associada à radiação de energia de um corpo totalmente sólido.

Existem vários métodos para calcular este coeficiente. Neste artigo veremos dois deles.

Encontrando a constante de Boltzmann através da equação dos gases ideais

Esta constante pode ser encontrada usando a equação que descreve o estado de um gás ideal. Pode ser determinado experimentalmente que o aquecimento de qualquer gás de T 0 = 273 K a T 1 = 373 K leva a uma mudança em sua pressão de p 0 = 1,013 10 5 P a para p 0 = 1,38 10 5 P a . Este é um experimento bastante simples que pode ser feito apenas com ar. Para medir a temperatura, você precisa usar um termômetro e a pressão - um manômetro. É importante lembrar que o número de moléculas em um mol de qualquer gás é aproximadamente igual a 6 · 10 23, e o volume à pressão de 1 atm é igual a V = 22,4 litros. Levando em consideração todos esses parâmetros, podemos proceder ao cálculo da constante k de Boltzmann:

Para fazer isso, escrevemos a equação duas vezes, substituindo nela os parâmetros de estado.

Conhecendo o resultado, podemos encontrar o valor do parâmetro k:

Encontrando a constante de Boltzmann através da fórmula do movimento browniano

Para o segundo método de cálculo, também precisaremos realizar um experimento. Para isso, é necessário pegar um pequeno espelho e pendurá-lo no ar com um fio elástico. Suponhamos que o sistema espelho-ar esteja em um estado estável (equilíbrio estático). As moléculas de ar atingem o espelho, que se comporta essencialmente como uma partícula browniana. Porém, tendo em conta o seu estado suspenso, podemos observar vibrações rotacionais em torno de um determinado eixo coincidente com a suspensão (fio direcionado verticalmente). Agora vamos direcionar um feixe de luz para a superfície do espelho. Mesmo com pequenos movimentos e rotações do espelho, o feixe refletido nele mudará visivelmente. Isto nos dá a oportunidade de medir as vibrações rotacionais de um objeto.

Denotando o módulo de torção como L, o momento de inércia do espelho em relação ao eixo de rotação como J e o ângulo de rotação do espelho como φ, podemos escrever a equação de oscilação da seguinte forma:

O menos na equação está associado à direção do momento das forças elásticas, que tende a retornar o espelho à posição de equilíbrio. Agora vamos multiplicar ambos os lados por φ, integrar o resultado e obter:

A equação a seguir é a lei da conservação da energia, que será satisfeita para essas vibrações (ou seja, a energia potencial se transformará em energia cinética e vice-versa). Podemos considerar essas vibrações como harmônicas, portanto:

Ao derivar uma das fórmulas anteriores, usamos a lei da distribuição uniforme de energia em graus de liberdade. Então podemos escrever assim:

Como já dissemos, o ângulo de rotação pode ser medido. Portanto, se a temperatura for de aproximadamente 290 K e o módulo de torção L ≈ 10 - 15 N m; φ ≈ 4 · 10 - 6, então podemos calcular o valor do coeficiente que precisamos da seguinte forma:

Portanto, conhecendo os fundamentos do movimento browniano, podemos encontrar a constante de Boltzmann medindo macroparâmetros.

Valor constante de Boltzmann

A importância do coeficiente em estudo é que ele pode ser usado para relacionar os parâmetros do micromundo com aqueles parâmetros que descrevem o macromundo, por exemplo, a temperatura termodinâmica com a energia do movimento translacional das moléculas:

Este coeficiente está incluído nas equações da energia média de uma molécula, do estado de um gás ideal, da teoria cinética dos gases, da distribuição de Boltzmann-Maxwell e muitas outras. A constante de Boltzmann também é necessária para determinar a entropia. Desempenha um papel importante no estudo de semicondutores, por exemplo, na equação que descreve a dependência da condutividade elétrica com a temperatura.

Exemplo 1

Doença: calcule a energia média de uma molécula de gás composta por moléculas N-atômicas à temperatura T, sabendo que todos os graus de liberdade são excitados nas moléculas - rotacional, translacional, vibracional. Todas as moléculas são consideradas volumétricas.

Solução

A energia é distribuída uniformemente pelos graus de liberdade de cada um dos seus graus, o que significa que esses graus terão a mesma energia cinética. Será igual a ε i = 1 2 k T . Então para calcular a energia média podemos usar a fórmula:

ε = i 2 k T , onde i = m p o s t + m υ r + 2 m k o l representa a soma dos graus de liberdade rotacionais translacionais. A letra k denota a constante de Boltzmann.

Vamos prosseguir para determinar o número de graus de liberdade da molécula:

m p o s t = 3, m υ r = 3, o que significa m k o l = 3 N - 6.

eu = 6 + 6 N - 12 = 6 N - 6 ; ε = 6 N - 6 2 k T = 3 N - 3 k T .

Responder: nessas condições, a energia média da molécula será igual a ε = 3 N - 3 k T.

Exemplo 2

Doença:é uma mistura de dois gases ideais cuja densidade em condições normais é igual a p. Determine qual será a concentração de um gás na mistura, desde que conheçamos as massas molares de ambos os gases μ 1, μ 2.

Solução

Primeiro, vamos calcular a massa total da mistura.

m = ρ V = N 1 m 01 + N 2 m 02 = n 1 V m 01 + n 2 V m 02 → ρ = n 1 m 01 + n 2 m 02.

O parâmetro m 01 denota a massa de uma molécula de um gás, m 02 – a massa de uma molécula de outro, n 2 – a concentração de moléculas de um gás, n 2 – a concentração do segundo. A densidade da mistura é ρ.

Agora, a partir desta equação, expressamos a concentração do primeiro gás:

n 1 = ρ - n 2 m 02 m 01 ; n 2 = n - n 1 → n 1 = ρ - (n - n 1) m 02 m 01 → n 1 = ρ - n m 02 + n 1 m 02 m 01 → n 1 m 01 - n 1 m 02 = ρ - n m 02 → n 1 (m 01 - m 02) = ρ - n m 02.

p = n k T → n = p k T .

Vamos substituir o valor igual resultante:

n 1 (m 01 - m 02) = ρ - p k T m 02 → n 1 = ρ - p k T m 02 (m 01 - m 02) .

Como conhecemos as massas molares dos gases, podemos encontrar as massas das moléculas do primeiro e do segundo gás:

m 01 = μ 1 N A, m 02 = μ 2 N A.

Sabemos também que a mistura de gases está em condições normais, ou seja, a pressão é 1 at m e a temperatura é 290 K. Isso significa que podemos considerar o problema resolvido.

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De acordo com a lei de Stefan-Boltzmann, a densidade da radiação hemisférica integral E 0 depende apenas da temperatura e varia proporcionalmente à quarta potência da temperatura absoluta T:

A constante de Stefan-Boltzmann σ 0 é uma constante física incluída na lei que determina a densidade volumétrica da radiação térmica de equilíbrio de um corpo absolutamente negro:

Historicamente, a lei de Stefan-Boltzmann foi formulada antes da lei da radiação de Planck, da qual decorre como consequência. A lei de Planck estabelece a dependência da densidade do fluxo espectral da radiação E 0 no comprimento de onda λ e temperatura T:

onde λ – comprimento de onda, m; Com=2,998 10 8 m/s – velocidade da luz no vácuo; T– temperatura corporal, K;
h= 6,625 ×10 -34 J×s – constante de Planck.

Constante física k, igual à razão da constante universal do gás R=8314J/(kg×K) elevado ao número de Avogadro N / D.=6,022× 10 26 1/(kg×mol):

Número de configurações de sistema diferentes de N partículas para um determinado conjunto de números e eu(número de partículas em eu-o estado ao qual corresponde a energia e i) é proporcional ao valor:

Magnitude C existem várias formas de distribuição N partículas por níveis de energia. Se a relação (6) for verdadeira, então considera-se que o sistema original obedece à estatística de Boltzmann. Conjunto de números e eu, em que o número C máximo, ocorre com mais frequência e corresponde à distribuição mais provável.

Cinética física– teoria microscópica de processos em sistemas estatisticamente fora de equilíbrio.

A descrição de um grande número de partículas pode ser realizada com sucesso utilizando métodos probabilísticos. Para um gás monoatômico, o estado de um conjunto de moléculas é determinado por suas coordenadas e pelos valores das projeções de velocidade nos eixos de coordenadas correspondentes. Matematicamente, isso é descrito pela função de distribuição, que caracteriza a probabilidade de uma partícula estar em um determinado estado:

é o número esperado de moléculas em um volume d d cujas coordenadas estão na faixa de a +d, e cujas velocidades estão na faixa de a +d.

Se a energia potencial média de interação das moléculas pode ser desprezada em comparação com sua energia cinética, então o gás é chamado de ideal. Um gás ideal é chamado de gás de Boltzmann se a razão entre o comprimento do caminho das moléculas neste gás e o tamanho característico do fluxo eu claro, ou seja,

porque o comprimento do caminho é inversamente proporcional segundo 2(n é a densidade numérica 1/m 3, d é o diâmetro da molécula, m).

Tamanho

chamado H-Função de Boltzmann para um volume unitário, que está associada à probabilidade de detectar um sistema de moléculas de gás em um determinado estado. Cada estado corresponde a um certo número de células de velocidade espacial hexadimensionais nas quais o espaço de fase das moléculas em consideração pode ser dividido. Vamos denotar C a probabilidade de que haja N 1 moléculas na primeira célula do espaço em consideração, N 2 na segunda, etc.

Até uma constante que determine a origem da probabilidade, é válida a seguinte relação:

,

Onde – Função H de uma região do espaço A ocupado por gás. De (9) fica claro que C E H interligados, ou seja, uma mudança na probabilidade de um estado leva a uma evolução correspondente da função H.

O princípio de Boltzmann estabelece a conexão entre entropia S sistema físico e probabilidade termodinâmica C ela afirma:

(publicado de acordo com a publicação: Kogan M.N. Dynamics of a rarefied gas. - M.: Nauka, 1967.)

Visão geral do CUBO:

onde é a força de massa devido à presença de vários campos (gravitacionais, elétricos, magnéticos) atuando sobre a molécula; J.– integral de colisão. É este termo da equação de Boltzmann que leva em consideração as colisões de moléculas entre si e as mudanças correspondentes nas velocidades das partículas em interação. A integral de colisão é uma integral pentadimensional e tem a seguinte estrutura:

A equação (12) com integral (13) foi obtida para colisões de moléculas nas quais não surgem forças tangenciais, ou seja, as partículas que colidem são consideradas perfeitamente lisas.

Durante a interação, a energia interna das moléculas não muda, ou seja, essas moléculas são consideradas perfeitamente elásticas. Consideramos dois grupos de moléculas que possuem velocidades e antes de colidirem entre si (colisão) (Fig. 1), e após a colisão, respectivamente, velocidades e . A diferença de velocidade é chamada de velocidade relativa, ou seja, . É claro que para uma colisão elástica suave. Funções de distribuição f 1 ", f", f 1 , f descrever as moléculas dos grupos correspondentes antes e depois das colisões, ou seja, ; ; ; .

Arroz. 1. Colisão de duas moléculas.

(13) inclui dois parâmetros que caracterizam a localização das moléculas em colisão umas em relação às outras: b e ε; b– distância de mira, ou seja, a menor distância que as moléculas se aproximariam na ausência de interação (Fig. 2); ε é chamado de parâmetro angular de colisão (Fig. 3). Integração encerrada b de 0 a ¥ e de 0 a 2p (duas integrais externas em (12)) cobre todo o plano de interação de força perpendicular ao vetor

Arroz. 2. A trajetória das moléculas.

Arroz. 3. Consideração da interação de moléculas em um sistema de coordenadas cilíndricas: z, b, ε

A equação cinética de Boltzmann é derivada sob as seguintes suposições e suposições.

1. Acredita-se que ocorrem principalmente colisões de duas moléculas, ou seja, o papel das colisões de três ou mais moléculas simultaneamente é insignificante. Esta suposição nos permite usar uma função de distribuição de partícula única para análise, que acima é chamada simplesmente de função de distribuição. Levar em consideração a colisão de três moléculas leva à necessidade de utilizar uma função de distribuição de duas partículas no estudo. Assim, a análise torna-se significativamente mais complicada.

2. Suposição de caos molecular. É expresso no fato de que as probabilidades de detecção da partícula 1 no ponto de fase e da partícula 2 no ponto de fase são independentes uma da outra.

3. Colisões de moléculas com qualquer distância de impacto são igualmente prováveis, ou seja, a função de distribuição não muda no diâmetro de interação. Ressalta-se que o elemento analisado deve ser pequeno para que f dentro deste elemento não muda, mas ao mesmo tempo de modo que a flutuação relativa ~ não é grande. Os potenciais de interação usados ​​no cálculo da integral de colisão são esfericamente simétricos, ou seja, .

Distribuição Maxwell-Boltzmann

O estado de equilíbrio do gás é descrito pela distribuição Maxwelliana absoluta, que é uma solução exata da equação cinética de Boltzmann:

onde m é a massa da molécula, kg.

A distribuição Maxwelliana local geral, também chamada de distribuição Maxwell-Boltzmann:

no caso em que o gás se move como um todo com velocidade e as variáveis ​​​​n, T dependem da coordenada
e tempo t.

No campo gravitacional da Terra, a solução exata da equação de Boltzmann mostra:

Onde n 0 = densidade na superfície da Terra, 1/m3; g– aceleração da gravidade, m/s 2 ; h– altura, M. A fórmula (16) é uma solução exata da equação cinética de Boltzmann, seja no espaço ilimitado ou na presença de limites que não violem esta distribuição, enquanto a temperatura também deve permanecer constante.

Esta página foi desenhada por Puzina Yu.Yu. com o apoio da Fundação Russa para Pesquisa Básica - projeto nº 08-08-00638.

Nasceu em 1844 em Viena. Boltzmann é um pioneiro e pioneiro na ciência. Suas obras e pesquisas eram muitas vezes incompreensíveis e rejeitadas pela sociedade. No entanto, com o desenvolvimento da física, seus trabalhos foram reconhecidos e posteriormente publicados.

Os interesses científicos do cientista abrangiam áreas fundamentais como física e matemática. Desde 1867, trabalhou como professor em diversas instituições de ensino superior. Em sua pesquisa, ele constatou que isso se deve aos impactos caóticos das moléculas nas paredes do recipiente em que estão localizadas, enquanto a temperatura depende diretamente da velocidade de movimento das partículas (moléculas), ou seja, de sua Portanto, quanto maior a velocidade com que essas partículas se movem, maior será a temperatura. A constante de Boltzmann leva o nome do famoso cientista austríaco. Foi ele quem deu uma contribuição inestimável para o desenvolvimento da física estática.

Significado físico desta quantidade constante

A constante de Boltzmann define a relação entre temperatura e energia. Na mecânica estática, ele desempenha um papel fundamental. A constante de Boltzmann é igual a k=1,3806505(24)*10 -23 J/K. Os números entre parênteses indicam o erro permitido do valor em relação aos últimos dígitos. Vale a pena notar que a constante de Boltzmann também pode ser derivada de outras constantes físicas. No entanto, estes cálculos são bastante complexos e difíceis de realizar. Eles exigem profundo conhecimento não apenas no campo da física, mas também

(k ou k B)é uma constante física que define a relação entre temperatura e energia. Nomeado em homenagem ao físico austríaco Ludwig Boltzmann, que fez contribuições importantes para a física estatística, na qual esta se tornou uma posição-chave. Seu valor experimental no sistema SI é

Os números entre parênteses indicam o erro padrão nos últimos dígitos do valor da quantidade. Em princípio, a constante de Boltzmann pode ser obtida a partir da definição da temperatura absoluta e de outras constantes físicas (para fazer isso, você precisa ser capaz de calcular a temperatura do ponto triplo da água a partir dos primeiros princípios). Mas determinar a constante de Boltzmann utilizando primeiros princípios é demasiado complexo e irrealista com o actual desenvolvimento do conhecimento neste campo.
A constante de Boltzmann é uma constante física redundante se você medir a temperatura em unidades de energia, o que é feito com muita frequência em física. É, na verdade, uma ligação entre uma quantidade bem definida - energia e grau, cujo significado se desenvolveu historicamente.
Definição de entropia
A entropia de um sistema termodinâmico é definida como o logaritmo natural do número de diferentes microestados Z correspondentes a um determinado estado macroscópico (por exemplo, estados com uma determinada energia total).

Fator de proporcionalidade k e é a constante de Boltzmann. Esta expressão, que define a relação entre características microscópicas (Z) e macroscópicas (S), expressa a ideia principal (central) da mecânica estatística.