A área da superfície lateral é quadrangular. Pirâmide
é uma figura cuja base é um polígono arbitrário e as faces laterais são representadas por triângulos. Seus vértices estão no mesmo ponto e correspondem ao topo da pirâmide.
A pirâmide pode ser variada - triangular, quadrangular, hexagonal, etc. Seu nome pode ser determinado dependendo do número de cantos adjacentes à base.
A pirâmide certa chamada de pirâmide na qual os lados da base, ângulos e arestas são iguais. Também nessa pirâmide a área das faces laterais será igual.
A fórmula para a área da superfície lateral de uma pirâmide é a soma das áreas de todas as suas faces: 
Ou seja, para calcular a área da superfície lateral de uma pirâmide arbitrária, você precisa encontrar a área de cada triângulo individual e somá-los. Se a pirâmide for truncada, suas faces serão representadas por trapézios. Existe outra fórmula para uma pirâmide regular. Nele, a área da superfície lateral é calculada através do semiperímetro da base e do comprimento do apótema:
Consideremos um exemplo de cálculo da área da superfície lateral de uma pirâmide.
Seja dada uma pirâmide quadrangular regular. Lado da base b= 6 cm, apótema a= 8 cm Encontre a área da superfície lateral.
Na base de uma pirâmide quadrangular regular há um quadrado. Primeiro, vamos encontrar seu perímetro:
Agora podemos calcular a área da superfície lateral da nossa pirâmide: 
Para encontrar a área total de um poliedro, você precisará encontrar a área de sua base. A fórmula para a área da base de uma pirâmide pode diferir dependendo de qual polígono está na base. Para fazer isso, use a fórmula da área de um triângulo, área de um paralelogramo etc.
Considere um exemplo de cálculo da área da base de uma pirâmide dada pelas nossas condições. Como a pirâmide é regular, sua base possui um quadrado.
Área quadrada calculado pela fórmula: ,
onde a é o lado do quadrado. Para nós é 6 cm, o que significa que a área da base da pirâmide é: 
Agora só falta encontrar a área total do poliedro. A fórmula da área de uma pirâmide consiste na soma da área de sua base e da superfície lateral.
Existe uma fórmula geral? Não, em geral, não. Você só precisa procurar as áreas das faces laterais e resumi-las.
A fórmula pode ser escrita para prisma reto:
Onde está o perímetro da base.
Mas ainda é muito mais fácil somar todas as áreas em cada caso específico do que memorizar fórmulas adicionais. Por exemplo, vamos calcular a superfície total de um prisma hexagonal regular.
Todas as faces laterais são retângulos. Significa.
Isso já foi mostrado no cálculo do volume.
Então obtemos:
Área de superfície da pirâmide
A regra geral também se aplica à pirâmide:
Agora vamos calcular a área da superfície das pirâmides mais populares.
Área de superfície de uma pirâmide triangular regular
Deixe o lado da base ser igual e a borda lateral igual. Precisamos encontrar e.
Vamos agora lembrar que
Esta é a área de um triângulo regular.
E vamos lembrar como procurar essa área. Usamos a fórmula da área:
Para nós, “ ” é isso, e “ ” também é isso, hein.
Agora vamos encontrá-lo.
Usando a fórmula básica da área e o teorema de Pitágoras, encontramos
Atenção: se você tiver um tetraedro regular (ou seja), a fórmula será assim:
Área de superfície de uma pirâmide quadrangular regular
Deixe o lado da base ser igual e a borda lateral igual.
A base é um quadrado e é por isso.
Resta encontrar a área da face lateral
Área de superfície de uma pirâmide hexagonal regular.
Deixe o lado da base ser igual e a borda lateral.
Como encontrar? Um hexágono consiste em exatamente seis triângulos regulares idênticos. Já procuramos a área de um triângulo regular ao calcular a área da superfície de uma pirâmide triangular regular; aqui usamos a fórmula que encontramos.
Bem, já procuramos duas vezes a área da face lateral.
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Área de superfície da pirâmide. Neste artigo veremos problemas com pirâmides regulares. Deixe-me lembrá-lo que uma pirâmide regular é uma pirâmide cuja base é um polígono regular, o topo da pirâmide é projetado no centro deste polígono.
A face lateral dessa pirâmide é um triângulo isósceles.A altura deste triângulo desenhado a partir do vértice de uma pirâmide regular é chamada de apótema, SF - apótema:
No tipo de problema apresentado a seguir, é necessário encontrar a área da superfície de toda a pirâmide ou a área de sua superfície lateral. O blog já discutiu vários problemas com pirâmides regulares, onde a questão era encontrar os elementos (altura, aresta da base, aresta lateral).
As tarefas do Exame de Estado Unificado geralmente examinam pirâmides regulares triangulares, quadrangulares e hexagonais. Não vi nenhum problema com pirâmides pentagonais e heptagonais regulares.
A fórmula para a área de toda a superfície é simples - você precisa encontrar a soma da área da base da pirâmide e a área de sua superfície lateral:
Vamos considerar as tarefas:
Os lados da base de uma pirâmide quadrangular regular são 72, as arestas laterais são 164. Encontre a área da superfície desta pirâmide.
A área da superfície da pirâmide é igual à soma das áreas da superfície lateral e da base:
*A superfície lateral consiste em quatro triângulos de áreas iguais. A base da pirâmide é um quadrado.
Podemos calcular a área do lado da pirâmide usando:
Assim, a área da superfície da pirâmide é:
Resposta: 28224
Os lados da base de uma pirâmide hexagonal regular são iguais a 22, as arestas laterais são iguais a 61. Encontre a área da superfície lateral desta pirâmide.
A base de uma pirâmide hexagonal regular é um hexágono regular.
A área da superfície lateral desta pirâmide consiste em seis áreas de triângulos iguais com lados 61,61 e 22:
Vamos encontrar a área do triângulo usando a fórmula de Heron:
Assim, a área da superfície lateral é:
Resposta: 3240
*Nos problemas apresentados acima, a área da face lateral poderia ser encontrada usando outra fórmula do triângulo, mas para isso é necessário calcular o apótema.
27155. Encontre a área da superfície de uma pirâmide quadrangular regular cujos lados da base são 6 e cuja altura é 4.
Para encontrar a área da superfície da pirâmide, precisamos saber a área da base e a área da superfície lateral:
A área da base é 36 pois é um quadrado de lado 6.
A superfície lateral consiste em quatro faces, que são triângulos iguais. Para encontrar a área desse triângulo, você precisa saber sua base e altura (apótema):
*A área de um triângulo é igual à metade do produto da base pela altura desenhada a esta base.
A base é conhecida, é igual a seis. Vamos encontrar a altura. Considere um triângulo retângulo (destacado em amarelo):
Uma perna é igual a 4, pois é a altura da pirâmide, a outra é igual a 3, pois é igual à metade da aresta da base. Podemos encontrar a hipotenusa usando o teorema de Pitágoras:
Isso significa que a área da superfície lateral da pirâmide é:
Assim, a área da superfície de toda a pirâmide é:
Resposta: 96
27069. Os lados da base de uma pirâmide quadrangular regular são iguais a 10, as arestas laterais são iguais a 13. Encontre a área da superfície desta pirâmide.
27070. Os lados da base de uma pirâmide hexagonal regular são iguais a 10, as arestas laterais são iguais a 13. Encontre a área da superfície lateral desta pirâmide.
Existem também fórmulas para a área da superfície lateral de uma pirâmide regular. Numa pirâmide regular, a base é uma projeção ortogonal da superfície lateral, portanto:
P- perímetro de base, eu- apótema da pirâmide
*Esta fórmula é baseada na fórmula da área de um triângulo.
Se você quiser saber mais sobre como essas fórmulas são derivadas, não perca, acompanhe a publicação dos artigos.Isso é tudo. Boa sorte para você!
Atenciosamente, Alexander Krutitskikh.
P.S: Ficaria muito grato se você me falasse sobre o site nas redes sociais.
Pirâmide triangularé um poliedro cuja base é um triângulo regular.
Em tal pirâmide, as arestas da base e as arestas dos lados são iguais entre si. Assim, a área das faces laterais é encontrada a partir da soma das áreas de três triângulos idênticos. Você pode encontrar a área da superfície lateral de uma pirâmide regular usando a fórmula. E você pode fazer o cálculo várias vezes mais rápido. Para fazer isso, aplique a fórmula para a área da superfície lateral de uma pirâmide triangular:
onde p é o perímetro da base, cujos lados são iguais a b, a é o apótema baixado do topo até esta base. Consideremos um exemplo de cálculo da área de uma pirâmide triangular.
Problema: Seja dada uma pirâmide regular. O lado do triângulo na base é b = 4 cm. O apótema da pirâmide é a = 7 cm. Encontre a área da superfície lateral da pirâmide.
Como, de acordo com as condições do problema, conhecemos os comprimentos de todos os elementos necessários, encontraremos o perímetro. Lembramos que em um triângulo regular todos os lados são iguais e, portanto, o perímetro é calculado pela fórmula:
Vamos substituir os dados e encontrar o valor:
Agora, conhecendo o perímetro, podemos calcular a área da superfície lateral: 
Para aplicar a fórmula da área de uma pirâmide triangular para calcular o valor total, você precisa encontrar a área da base do poliedro. Para fazer isso, use a fórmula: 
A fórmula para a área da base de uma pirâmide triangular pode ser diferente. É possível usar qualquer cálculo de parâmetros para uma determinada figura, mas na maioria das vezes isso não é necessário. Consideremos um exemplo de cálculo da área da base de uma pirâmide triangular.
Problema: Em uma pirâmide regular, o lado do triângulo na base é a = 6 cm. Calcule a área da base.
Para calcular, precisamos apenas do comprimento do lado do triângulo regular localizado na base da pirâmide. Vamos substituir os dados na fórmula: 
Muitas vezes você precisa encontrar a área total de um poliedro. Para fazer isso, você precisará somar a área da superfície lateral e da base. 
Consideremos um exemplo de cálculo da área de uma pirâmide triangular.
Problema: Seja dada uma pirâmide triangular regular. O lado da base é b = 4 cm, o apótema é a = 6 cm Encontre a área total da pirâmide.
Primeiro, vamos encontrar a área da superfície lateral usando a fórmula já conhecida. Vamos calcular o perímetro:
Substitua os dados na fórmula: 
Agora vamos encontrar a área da base: 
Conhecendo a área da base e da superfície lateral, encontramos a área total da pirâmide: 
Ao calcular a área de uma pirâmide regular, não se deve esquecer que a base é um triângulo regular e muitos elementos deste poliedro são iguais entre si.
