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Fórmula para a altura de uma pirâmide truncada. Pirâmide

Pirâmide. Pirâmide truncada

Pirâmideé um poliedro, uma de cujas faces é um polígono ( base ), e todas as outras faces são triângulos com um vértice comum ( faces laterais ) (Fig. 15). A pirâmide é chamada correto , se sua base for um polígono regular e o topo da pirâmide for projetado no centro da base (Fig. 16). Uma pirâmide triangular com todas as arestas iguais é chamada tetraedro .

Costela lateral de uma pirâmide é o lado da face lateral que não pertence à base Altura pirâmide é a distância do seu topo ao plano da base. Todas as arestas laterais de uma pirâmide regular são iguais entre si, todas as faces laterais são triângulos isósceles iguais. A altura da face lateral de uma pirâmide regular desenhada a partir do vértice é chamada apótema . Seção diagonal é chamada de seção de uma pirâmide por um plano que passa por duas arestas laterais que não pertencem à mesma face.

Superfície lateral pirâmide é a soma das áreas de todas as faces laterais. Superfície total é chamada de soma das áreas de todas as faces laterais e da base.

Teoremas

1. Se em uma pirâmide todas as arestas laterais estão igualmente inclinadas em relação ao plano da base, então o topo da pirâmide é projetado no centro do círculo circunscrito próximo à base.

2. Se todas as arestas laterais de uma pirâmide tiverem comprimentos iguais, então o topo da pirâmide é projetado no centro de um círculo circunscrito próximo à base.

3. Se todas as faces de uma pirâmide estiverem igualmente inclinadas em relação ao plano da base, então o topo da pirâmide será projetado no centro de um círculo inscrito na base.

Para calcular o volume de uma pirâmide arbitrária, a fórmula correta é:

Onde V- volume;

base S– área base;

H– altura da pirâmide.

Para uma pirâmide regular, as seguintes fórmulas estão corretas:

Onde p– perímetro da base;

ha– apótema;

H- altura;

Está cheio

Lado S

base S– área base;

V– volume de uma pirâmide regular.

Pirâmide truncada chamada de parte da pirâmide delimitada entre a base e um plano de corte paralelo à base da pirâmide (Fig. 17). Pirâmide truncada regular chamada de parte de uma pirâmide regular delimitada entre a base e um plano de corte paralelo à base da pirâmide.

Terrenos pirâmide truncada - polígonos semelhantes. Faces laterais – trapézios. Altura de uma pirâmide truncada é a distância entre suas bases. Diagonal uma pirâmide truncada é um segmento que conecta seus vértices que não estão na mesma face. Seção diagonal é uma seção de uma pirâmide truncada por um plano que passa por duas arestas laterais que não pertencem à mesma face.

Para uma pirâmide truncada, as seguintes fórmulas são válidas:

(4)

Onde S 1 , S 2 – áreas das bases superior e inferior;

Está cheio– área superficial total;

Lado S– superfície lateral;

H- altura;

V– volume de uma pirâmide truncada.

Para uma pirâmide truncada regular a fórmula está correta:

Onde p 1 , p 2 – perímetros das bases;

ha– apótema de uma pirâmide truncada regular.

Exemplo 1. Em uma pirâmide triangular regular, o ângulo diédrico na base é 60º. Encontre a tangente do ângulo de inclinação da aresta lateral ao plano da base.

Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 18).

A pirâmide é regular, o que significa que na base existe um triângulo equilátero e todas as faces laterais são triângulos isósceles iguais. O ângulo diédrico na base é o ângulo de inclinação da face lateral da pirâmide em relação ao plano da base. O ângulo linear é o ângulo a entre duas perpendiculares: etc. O topo da pirâmide é projetado no centro do triângulo (o centro do círculo circunscrito e do círculo inscrito do triângulo abc). O ângulo de inclinação da borda lateral (por exemplo SB) é o ângulo entre a própria aresta e sua projeção no plano da base. Para a costela SB este ângulo será o ângulo SBD. Para encontrar a tangente você precisa conhecer as pernas ENTÃO E O.B.. Deixe o comprimento do segmento BDé igual a 3 A. Ponto SOBRE segmento de linha BDé dividido em partes: e De encontramos ENTÃO: De encontramos:

Responder:

Exemplo 2. Encontre o volume de uma pirâmide quadrangular truncada regular se as diagonais de suas bases forem iguais a cm e cm e sua altura for 4 cm.

Solução. Para encontrar o volume de uma pirâmide truncada, usamos a fórmula (4). Para encontrar a área das bases, é necessário encontrar os lados dos quadrados da base, conhecendo suas diagonais. Os lados das bases são iguais a 2 cm e 8 cm, respectivamente, isso significa as áreas das bases e Substituindo todos os dados na fórmula, calculamos o volume da pirâmide truncada:

Responder: 112cm3.

Exemplo 3. Encontre a área da face lateral de uma pirâmide truncada triangular regular, cujos lados das bases são 10 cm e 4 cm, e a altura da pirâmide é 2 cm.

Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 19).

A face lateral desta pirâmide é um trapézio isósceles. Para calcular a área de um trapézio, você precisa conhecer a base e a altura. As bases são dadas de acordo com a condição, apenas a altura permanece desconhecida. Nós a encontraremos de onde A 1 E perpendicular a um ponto A 1 no plano da base inferior, A 1 D– perpendicular a A 1 por AC. A 1 E= 2 cm, pois esta é a altura da pirâmide. Encontrar DE Faremos um desenho adicional mostrando a vista superior (Fig. 20). Ponto SOBRE– projeção dos centros das bases superior e inferior. desde (ver Fig. 20) e Por outro lado OK– raio inscrito na circunferência e OM– raio inscrito em um círculo:

MK = DE.

De acordo com o teorema de Pitágoras de

Área lateral da face:

Responder:

Exemplo 4. Na base da pirâmide encontra-se um trapézio isósceles, cujas bases A E b (a> b). Cada face lateral forma um ângulo igual ao plano da base da pirâmide j. Encontre a área total da superfície da pirâmide.

Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 21). Superfície total da pirâmide SABCD igual à soma das áreas e à área do trapézio ABCD.

Usemos a afirmação de que se todas as faces da pirâmide estão igualmente inclinadas em relação ao plano da base, então o vértice é projetado no centro do círculo inscrito na base. Ponto SOBRE– projeção de vértice S na base da pirâmide. Triângulo SODé a projeção ortogonal do triângulo CSD ao plano da base. Usando o teorema da área da projeção ortogonal de uma figura plana, obtemos:

Da mesma forma significa Assim, o problema foi reduzido a encontrar a área do trapézio ABCD. Vamos desenhar um trapézio ABCD separadamente (Fig. 22). Ponto SOBRE– o centro de um círculo inscrito em um trapézio.

Como um círculo pode ser inscrito em um trapézio, então ou Do teorema de Pitágoras temos

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A capacidade de calcular o volume de figuras espaciais é importante na resolução de uma série de problemas práticos de geometria. Uma das figuras mais comuns é a pirâmide. Neste artigo consideraremos pirâmides completas e truncadas.

Pirâmide como figura tridimensional

Todo mundo conhece as pirâmides egípcias, então eles têm uma boa ideia de que tipo de figura estaremos falando. No entanto, as estruturas de pedra egípcias são apenas um caso especial de uma enorme classe de pirâmides.

O objeto geométrico considerado no caso geral é uma base poligonal, cada vértice da qual está conectado a um determinado ponto do espaço que não pertence ao plano da base. Esta definição leva a uma figura que consiste em um n-gon e n triângulos.

Qualquer pirâmide consiste em n+1 faces, 2*n arestas e n+1 vértices. Como a figura em questão é um poliedro perfeito, os números dos elementos marcados obedecem à igualdade de Euler:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

O polígono localizado na base dá o nome da pirâmide, por exemplo, triangular, pentagonal e assim por diante. Um conjunto de pirâmides com bases diferentes é mostrado na foto abaixo.

O ponto onde n triângulos de uma figura se encontram é chamado de vértice da pirâmide. Se uma perpendicular for baixada até a base e a cruzar no centro geométrico, essa figura será chamada de linha reta. Se esta condição não for atendida, ocorre uma pirâmide inclinada.

Uma figura reta cuja base é formada por um n-gon equilátero (equiangular) é chamada regular.

Fórmula de volume da pirâmide

Para calcular o volume da pirâmide, usaremos o cálculo integral. Para fazer isso, dividimos a figura cortando planos paralelos à base em um número infinito de camadas finas. A figura abaixo mostra uma pirâmide quadrangular de altura h e comprimento lateral L, na qual a fina camada da seção é marcada com um quadrilátero.

A área de cada camada pode ser calculada usando a fórmula:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Aqui A 0 é a área da base, z é o valor da coordenada vertical. Pode-se ver que se z = 0, então a fórmula dá o valor A 0 .

Para obter a fórmula do volume de uma pirâmide, deve-se calcular a integral sobre toda a altura da figura, ou seja:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Substituindo a dependência A(z) e calculando a antiderivada, chegamos à expressão:

V = -A 0 *(hz) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.

Obtivemos a fórmula do volume de uma pirâmide. Para encontrar o valor de V, basta multiplicar a altura da figura pela área da base e depois dividir o resultado por três.

Observe que a expressão resultante é válida para calcular o volume de uma pirâmide de qualquer tipo. Ou seja, pode ser inclinado e sua base pode ser um n-gon arbitrário.

e seu volume

A fórmula geral do volume obtida no parágrafo acima pode ser refinada no caso de uma pirâmide de base regular. A área dessa base é calculada pela seguinte fórmula:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Aqui L é o comprimento lateral de um polígono regular com n vértices. O símbolo pi é o número pi.

Substituindo a expressão A 0 na fórmula geral, obtemos o volume de uma pirâmide regular:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Por exemplo, para uma pirâmide triangular, esta fórmula resulta na seguinte expressão:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

Para uma pirâmide quadrangular regular, a fórmula do volume assume a forma:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.

Determinar os volumes de pirâmides regulares requer conhecimento do lado de sua base e da altura da figura.

Pirâmide truncada

Suponhamos que pegamos uma pirâmide arbitrária e cortamos parte de sua superfície lateral contendo o vértice. A figura restante é chamada de pirâmide truncada. Já consiste em duas bases n-gonais e n trapézios que as conectam. Se o plano de corte for paralelo à base da figura, então uma pirâmide truncada é formada com bases paralelas semelhantes. Ou seja, os comprimentos dos lados de um deles podem ser obtidos multiplicando-se os comprimentos do outro por um determinado coeficiente k.

A figura acima mostra um regular truncado, podendo-se observar que sua base superior, assim como a inferior, é formada por um hexágono regular.

A fórmula que pode ser derivada usando cálculo integral semelhante ao acima é:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Onde A 0 e A 1 são as áreas das bases inferior (grande) e superior (pequena), respectivamente. A variável h denota a altura da pirâmide truncada.

Volume da pirâmide de Quéops

É interessante resolver o problema de determinar o volume que a maior pirâmide egípcia contém dentro de si.

Em 1984, os egiptólogos britânicos Mark Lehner e Jon Goodman estabeleceram as dimensões exatas da pirâmide de Quéops. Sua altura original era de 146,50 metros (atualmente cerca de 137 metros). O comprimento médio de cada um dos quatro lados da estrutura foi de 230.363 metros. A base da pirâmide é quadrada com alta precisão.

Vamos usar os números fornecidos para determinar o volume deste gigante de pedra. Como a pirâmide é quadrangular regular, então a fórmula é válida para ela:

Substituindo os números, obtemos:

V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.

O volume da pirâmide de Quéops é de quase 2,6 milhões de m3. Para efeito de comparação, notamos que a piscina olímpica tem volume de 2,5 mil m 3. Ou seja, para preencher toda a pirâmide de Quéops você precisará de mais de 1000 dessas piscinas!

é um poliedro formado pela base da pirâmide e uma seção paralela a ela. Podemos dizer que uma pirâmide truncada é uma pirâmide com o topo cortado. Esta figura tem muitas propriedades exclusivas:

As faces laterais da pirâmide são trapézios;
As arestas laterais de uma pirâmide truncada regular têm o mesmo comprimento e estão inclinadas em relação à base no mesmo ângulo;
As bases são polígonos semelhantes;
Em uma pirâmide truncada regular, as faces são trapézios isósceles idênticos, cuja área é igual. Eles também estão inclinados em relação à base em um ângulo.

A fórmula para a área da superfície lateral de uma pirâmide truncada é a soma das áreas de seus lados:

Como os lados de uma pirâmide truncada são trapézios, para calcular os parâmetros você terá que usar a fórmula área trapézio. Para uma pirâmide truncada regular, você pode aplicar uma fórmula diferente para calcular a área. Como todos os seus lados, faces e ângulos na base são iguais, é possível aplicar os perímetros da base e do apótema, e também derivar a área através do ângulo na base.

Se, de acordo com as condições de uma pirâmide truncada regular, são dados o apótema (altura do lado) e os comprimentos dos lados da base, então a área pode ser calculada através do meio produto da soma dos perímetros de as bases e o apótema:

Vejamos um exemplo de cálculo da área da superfície lateral de uma pirâmide truncada.
Dada uma pirâmide pentagonal regular. Apótema eu= 5 cm, o comprimento da borda na base grande é a= 6 cm, e a borda fica na base menor b= 4 cm Calcule a área da pirâmide truncada.

Primeiro, vamos encontrar os perímetros das bases. Como temos uma pirâmide pentagonal, entendemos que as bases são pentágonos. Isto significa que as bases contêm uma figura com cinco lados idênticos. Vamos encontrar o perímetro da base maior:

Da mesma forma encontramos o perímetro da base menor:

Agora podemos calcular a área de uma pirâmide truncada regular. Substitua os dados na fórmula:

Assim, calculamos a área de uma pirâmide truncada regular através dos perímetros e apótemas.

Outra forma de calcular a área da superfície lateral de uma pirâmide regular é a fórmula através dos ângulos da base e da área dessas mesmas bases.

Vejamos um exemplo de cálculo. Lembramos que esta fórmula se aplica apenas a uma pirâmide truncada regular.

Seja dada uma pirâmide quadrangular regular. A borda da base inferior é a = 6 cm, e a borda da base superior é b = 4 cm. O ângulo diédrico na base é β = 60°. Encontre a área da superfície lateral de uma pirâmide truncada regular.

Primeiro vamos calcular a área das bases. Como a pirâmide é regular, todas as arestas das bases são iguais entre si. Considerando que a base é um quadrilátero, entendemos que será necessário calcular área da praça. É o produto da largura pelo comprimento, mas quando elevados ao quadrado esses valores são iguais. Vamos encontrar a área da base maior:

Agora usamos os valores encontrados para calcular a área da superfície lateral.