Hem › Bränslesystem › Hur man hittar det minsta värdet på en funktion från en ekvation. De största och minsta värdena av en funktion av två variabler i ett slutet område

Hur man hittar det minsta värdet på en funktion från en ekvation. De största och minsta värdena av en funktion av två variabler i ett slutet område

En miniatyr och ganska enkel uppgift av det slag som fungerar som livlina för en flytande elev. I naturen, det sömniga riket i mitten av juli, så det är dags att slå sig ner med en bärbar dator på stranden. Spelade tidigt på morgonen solstråle teori för att snart fokusera på praktiken, som trots sin påstådda lätthet innehåller glasbitar i sanden. I detta avseende rekommenderar jag att du samvetsgrant överväger några exempel på den här sidan. För att lösa praktiska uppgifter behöver du kunna hitta derivat och förstå materialet i artikeln Intervaller av monotoni och extrema för en funktion.

Först, kort om det viktigaste. I en lektion om funktionskontinuitet Jag gav definitionen av kontinuitet vid en punkt och kontinuitet på ett intervall. Det exemplariska beteendet för en funktion på ett segment formuleras liknande. En funktion är kontinuerlig på ett segment om:

1) den är kontinuerlig i intervallet;
2) kontinuerlig vid en punkt till höger och vid punkten vänster.

Andra stycket behandlar s.k ensidig kontinuitet fungerar vid en punkt. Det finns flera tillvägagångssätt för dess definition, men jag kommer att hålla mig till den linje som började tidigare:

Funktionen är kontinuerlig vid en punkt till höger, om den är definierad vid en given punkt och dess högra gräns sammanfaller med värdet på funktionen vid en given punkt: . Den är kontinuerlig vid punkten vänster, om den definieras vid en given punkt och dess vänstra gräns är lika med värdet vid den punkten:

Föreställ dig att de gröna prickarna är naglarna som det magiska gummibandet är fäst på:

Mentalt ta den röda linjen i dina händer. Uppenbarligen, oavsett hur långt vi sträcker grafen upp och ner (längs axeln), kommer funktionen fortfarande att finnas kvar begränsad- en häck ovanför, en häck under, och vår produkt betar i en hage. Således, en funktion som är kontinuerlig på ett segment är avgränsad på den. Under loppet av matematisk analys framställs och bevisas detta till synes enkla faktum Weierstrass första teorem.... Många människor är irriterade över att elementära påståenden är tråkigt underbyggda i matematik, men det finns viktig betydelse. Anta att en viss invånare från frottémedeltiden drog grafen upp i himlen bortom synbarhetens gränser, detta infogades. Före uppfinningen av teleskopet var den begränsade funktionen i rymden inte alls uppenbar! Ja, hur vet du vad som väntar oss bortom horisonten? När allt kommer omkring, en gång ansågs jorden vara platt, så idag kräver även vanlig teleportering bevis =)

Enligt andra Weierstrass-satsen, kontinuerligt på segmentetfunktionen når sin exakt överkant och hans exakt nedre kant .

Numret kallas också det maximala värdet för funktionen på segmentet och betecknas med , och numret - minimivärdet för funktionen på intervallet märkt.

I vårat fall:

Notera : i teorin är poster vanliga .

På ett ungefär, högsta värde ligger där hög punkt grafik, och den minsta - där är den lägsta punkten.

Viktig! Som redan påpekats i artikeln om extrema av funktionen, det största värdet av funktionen Och minsta funktionsvärde – INTE DET SAMMA, Vad funktion maximalt Och funktion minimum. Så i det här exemplet är numret funktionens minimum, men inte minimivärdet.

Förresten, vad händer utanför segmentet? Ja, även översvämningen, i samband med det aktuella problemet, intresserar detta oss inte alls. Uppgiften går ut på att bara hitta två siffror och det är allt!

Dessutom är lösningen rent analytisk, därför inget behov av att rita!

Algoritmen ligger på ytan och föreslår sig själv från ovanstående figur:

1) Hitta funktionsvärdena i kritiska punkter, som tillhör detta segment.

Fånga en godbit till: det finns inget behov av att kontrollera ett tillräckligt tillstånd för ett extremum, eftersom, som just visat, förekomsten av ett minimum eller maximum ännu inte garanterat vad är lägsta eller högsta värde. Demonstrationsfunktionen når sitt maximum och enligt ödets vilja är samma nummer det största värdet på funktionen i intervallet. Men en sådan slump inträffar förstås inte alltid.

Så i det första steget är det snabbare och lättare att beräkna värdena för funktionen vid kritiska punkter som hör till segmentet, utan att bry sig om de har extrema eller inte.

2) Vi beräknar värdena för funktionen i slutet av segmentet.

3) Bland värdena för funktionen som finns i 1:a och 2:a styckena väljer vi den minsta och mest stort antal, skriv ner svaret.

Vi sitter på stranden av det blå havet och slår i hälarna i grunt vatten:

Exempel 1

Hitta den största och minsta värde fungerar på intervallet

Lösning:
1) Beräkna värdena för funktionen vid kritiska punkter som hör till detta segment:

Låt oss beräkna värdet på funktionen vid den andra kritiska punkten:

2) Beräkna värdena för funktionen i slutet av segmentet:

3) "Fet" resultat erhölls med exponential och logaritmer, vilket avsevärt komplicerar deras jämförelse. Av denna anledning kommer vi att beväpna oss med en miniräknare eller Excel och beräkna de ungefärliga värdena, utan att glömma att:

Nu är allt klart.

Svar:

Bråkrationell instans för oberoende lösning:

Exempel 6

Hitta maximala och lägsta värden för en funktion på ett segment

Funktionens största (minsta) värde är det största (minsta) accepterade värdet på ordinatan i det betraktade intervallet.

För att hitta det största eller minsta värdet på en funktion måste du:

Kontrollera vilka stationära punkter som ingår i det givna segmentet.
Beräkna värdet på funktionen i ändarna av segmentet och vid stationära punkter från steg 3
Välj bland de erhållna resultaten det största eller minsta värdet.

För att hitta högsta eller lägsta poäng måste du:

Hitta derivatan av funktionen $f"(x)$
Hitta stationära punkter genom att lösa ekvationen $f"(x)=0$
Faktorisera derivatan av en funktion.
Rita en koordinatlinje, placera stationära punkter på den och bestäm tecknen för derivatan i de erhållna intervallen, med hjälp av beteckningen i klausul 3.
Hitta max- eller minimumpoäng enligt regeln: om derivatan vid en punkt ändrar tecken från plus till minus, så kommer detta att vara maxpoängen (om från minus till plus, så kommer detta att vara minimipunkten). I praktiken är det bekvämt att använda bilden av pilar på intervallen: på intervallet där derivatan är positiv, dras pilen uppåt och vice versa.

Tabell över derivator av några elementära funktioner:

Fungera	Derivat
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Grundläggande regler för differentiering

1. Derivatan av summan och skillnaden är lika med derivatan av varje term

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Hitta derivatan av funktionen $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Derivatan av summan och skillnaden är lika med derivatan av varje term

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivat av en produkt.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Hitta derivatan $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Derivat av kvoten

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Hitta derivatan $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Derivatan av en komplex funktion är lika med produkten av derivatan av den externa funktionen och derivatan av den interna funktionen

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Hitta minimipunkten för funktionen $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Hitta ODZ för funktionen: $x+11>0; x>-11$

2. Hitta derivatan av funktionen $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Hitta stationära punkter genom att likställa derivatan med noll

$(2x+21)/(x+11)=0$

Ett bråk är noll om täljaren är noll och nämnaren inte är noll

$2x+21=0; x≠-11$

4. Rita en koordinatlinje, placera stationära punkter på den och bestäm tecknen för derivatan i de erhållna intervallen. För att göra detta, ersätter vi till derivatan vilket tal som helst från den extrema högra regionen, till exempel noll.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Vid minimipunkten ändrar derivatan tecken från minus till plus, därför är $-10,5$ poängen minimipunkten.

Svar: $-10,5$

Hitta maxvärdet för funktionen $y=6x^5-90x^3-5$ på segmentet $[-5;1]$

1. Hitta derivatan av funktionen $y′=30x^4-270x^2$

2. Jämför derivatan med noll och hitta stationära punkter

$30x^4-270x^2=0$

Låt oss ta den gemensamma faktorn $30x^2$ från parentes

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Ställ in varje faktor lika med noll

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Välj stationära punkter som tillhör det givna segmentet $[-5;1]$

Stationära punkter $x=0$ och $x=-3$ är lämpliga för oss

4. Beräkna värdet på funktionen i ändarna av segmentet och vid stationära punkter från punkt 3

Vad är ett extremum för en funktion och vad är det nödvändiga villkoret för ett extremum?

En funktions extremum är funktionens maximum och minimum.

Det nödvändiga villkoret för funktionens maximum och minimum (extremum) är följande: om funktionen f(x) har ett extremum i punkten x = a, så är derivatan vid denna punkt antingen noll eller oändlig, eller gör inte existera.

Detta villkor är nödvändigt, men inte tillräckligt. Derivatan i punkten x = a kan försvinna, gå till oändlighet eller inte existera utan att funktionen har ett extremum vid denna punkt.

Vilket är det tillräckliga villkoret för funktionens extremum (maximum eller minimum)?

Första villkoret:

Om, i tillräcklig närhet av punkten x = a, derivatan f?(x) är positiv till vänster om a och negativ till höger om a, så har funktionen f(x) i själva punkten x = a. maximal

Om, i tillräcklig närhet till punkten x = a, derivatan f?(x) är negativ till vänster om a och positiv till höger om a, så har funktionen f(x) i själva punkten x = a. minimum förutsatt att funktionen f(x) är kontinuerlig här.

Istället kan du använda det andra tillräckliga villkoret för funktionens extremum:

Låt vid punkten x = och den första derivatan f? (x) försvinner; om andraderivatan f??(а) är negativ, så har funktionen f(x) ett maximum vid punkten x = a, om den är positiv, då ett minimum.

Vad är den kritiska punkten för en funktion och hur hittar man den?

Detta är värdet på funktionsargumentet där funktionen har ett extremum (dvs. maximum eller minimum). För att hitta den behöver du hitta derivatan funktionen f?(x) och likställer den med noll, lösa ekvationen f?(x) = 0. Rötterna till denna ekvation, såväl som de punkter där derivatan av denna funktion inte existerar, är kritiska punkter, d.v.s. värdena för argumentet där det kan finnas ett extremum . De kan lätt identifieras genom att titta på derivata graf: vi är intresserade av de värden av argumentet där grafen för funktionen skär abskissaxeln (Ox-axeln) och de där grafen lider av brott.

Till exempel, låt oss hitta extremum av parabeln.

Funktion y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Funktionsderivata: y?(x) = 6x + 2

Vi löser ekvationen: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

I det här fallet den kritiska punkten är x0=-1/3. Det är för detta värde av argumentet som funktionen har extremum. Att få det hitta, ersätter vi det hittade numret i uttrycket med funktionen istället för "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Hur man bestämmer max och minimum för en funktion, d.v.s. dess största och minsta värden?

Om tecknet för derivatan ändras från "plus" till "minus" när den passerar genom den kritiska punkten x0, är x0 högsta poäng; om tecknet för derivatan ändras från minus till plus, då är x0 minimipunkt; om tecknet inte ändras, så finns det varken ett maximum eller ett minimum vid punkten x0.

För det övervägda exemplet:

Vi tar ett godtyckligt värde av argumentet till vänster om kritisk punkt: x = -1

När x = -1 blir värdet på derivatan y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (dvs minustecknet).

Nu tar vi ett godtyckligt värde för argumentet till höger om den kritiska punkten: x = 1

För x = 1 blir värdet på derivatan y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (dvs plustecknet).

Som du kan se ändrade derivatan tecken från minus till plus när den passerade den kritiska punkten. Det betyder att vid det kritiska värdet av x0 har vi en minimipunkt.

Funktionens största och minsta värde på intervallet(på segmentet) hittas med samma procedur, endast med hänsyn till det faktum att kanske inte alla kritiska punkter kommer att ligga inom det angivna intervallet. De kritiska punkter som ligger utanför intervallet måste uteslutas från beaktande. Om det bara finns en kritisk punkt i intervallet kommer den antingen att ha ett maximum eller ett minimum. I det här fallet, för att bestämma de största och minsta värdena för funktionen, tar vi också hänsyn till funktionens värden i slutet av intervallet.

Låt oss till exempel hitta de största och minsta värdena för funktionen

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

i intervaller:

Så derivatan av funktionen är

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Vi löser ekvationen 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Vi hittar kritiska punkter på intervallet [-9; 9]:

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11.163 (ingår ej i intervallet)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (ingår inte i intervallet)

Vi hittar värdena för funktionen vid kritiska värden för argumentet:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Det kan ses att på intervallet [-9; 9] funktionen har det största värdet vid x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

och den minsta - vid x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

På intervallet [-6; -3] har vi bara en kritisk punkt: x = -4,88. Funktionens värde vid x = -4,88 är y = 5,398.

Vi hittar värdet på funktionen i slutet av intervallet:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

På intervallet [-6; -3] vi har det största värdet av funktionen

y = 5,398 vid x = -4,88

det minsta värdet är

y = 1,077 vid x = -3

Hur hittar man böjningspunkterna för en funktionsgraf och bestämmer sidorna av konvexitet och konkavitet?

För att hitta alla böjningspunkter för linjen y \u003d f (x), måste du hitta den andra derivatan, likställa den med noll (lös ekvationen) och testa alla de värden på x för vilka den andra derivatan är noll , oändlig eller inte existerar. Om, när den passerar genom ett av dessa värden, den andra derivatan ändrar tecken, så har grafen för funktionen en böjning vid denna punkt. Om det inte ändras, så finns det ingen böjning.

Rötterna till ekvationen f ? (x) = 0, samt eventuella diskontinuitetspunkter för funktionen och andraderivatan, dela upp funktionens domän i ett antal intervall. Konvexiteten vid vart och ett av deras intervall bestäms av tecknet för den andra derivatan. Om andraderivatan vid en punkt på det studerade intervallet är positiv, så är linjen y = f(x) konkav uppåt här, och om den är negativ, då nedåt.

Hur hittar man extrema för en funktion av två variabler?

För att hitta ytterpunkterna för funktionen f(x, y), differentierbar i området för dess tilldelning, behöver du:

1) hitta de kritiska punkterna och lös ekvationssystemet för detta

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) för varje kritisk punkt P0(a;b), undersök om tecknet på skillnaden förblir oförändrat

för alla punkter (x; y) tillräckligt nära P0. Om skillnaden behåller ett positivt tecken, så har vi vid punkten P0 ett minimum, om negativt, då ett maximum. Om skillnaden inte behåller sitt tecken, finns det inget extremum vid punkten Р0.

På liknande sätt bestäms extrema för funktionen för ett större antal argument.

Vad handlar Shrek Forever After om?
Tecknad film: Shrek Forever After Utgivningsår: 2010 Premiär (Ryssland): 20 maj 2010 Land: USA Regi: Michael Pitchel Manus: Josh Klausner, Darren Lemke Genre: familjekomedi, fantasy, äventyr Officiell webbplats: www.shrekforeverafter.com handling mula

Kan jag donera blod under min mens?
Läkare rekommenderar inte att donera blod under menstruationen, eftersom. blodförlust, om än inte i en betydande mängd, är fylld med en minskning av hemoglobinnivåerna och en försämring av kvinnans välbefinnande. Under blodgivningsproceduren kan situationen med välbefinnande förvärras fram till upptäckten av blödning. Därför bör kvinnor avstå från att donera blod under menstruationen. Och redan på 5:e dagen efter att de slutade

Hur många kcal/timme går åt när man tvättar golv
Typer fysisk aktivitet Energiförbrukning, kcal/h Matlagning 80 Påklädning 30 Körning 50 Dammning 80 Äta 30 Trädgårdsarbete 135 Strykning 45 Bädda 130 Shopping 80 Stillasittande arbete 75 Hugga ved 300 Tvätta golv 130 Sex 100-150 Lågintensiv dans aerobic

Vad betyder ordet "skurk"?
En skurk är en tjuv som ägnar sig åt småstöld, eller en oseriös person som är benägen att bedrägliga trick. Bekräftelse av denna definition finns i Krylovs etymologiska ordbok, enligt vilken ordet "svindlare" bildas av ordet "svindlare" (tjuv, svindlare), besläktad med verbet &la

Vad är namnet på den senast publicerade historien om bröderna Strugatsky
En liten historia Arkady och Boris Strugatsky "Om frågan om cyklotation" publicerades första gången i april 2008 i science fiction-antologin "Noon. XXI century" (tillägg till tidningen "Vokrug sveta", publicerad under redaktion av Boris Strugatsky). Publikationen ägnades åt 75-årsdagen av Boris Strugatsky.

Var kan jag läsa berättelserna om deltagarna i Work And Travel USA-programmet
Work and Travel USA (arbeta och resa i USA) är ett populärt studentutbytesprogram där du kan tillbringa sommaren i Amerika, lagligt arbeta inom tjänstesektorn och resa. History of the Work & Travel-programmet är en del av Cultural Exchange Pro-programmet för mellanstatliga utbyten

Öra. Kulinarisk och historisk referens I mer än två och ett halvt sekel har ordet "ukha" använts för att beteckna soppor eller ett avkok av färsk fisk. Men det fanns en tid då detta ord tolkades bredare. De betecknade soppa - inte bara fisk, utan också kött, ärter och till och med sött. Så i det historiska dokumentet - "

Informations- och rekryteringsportaler Superjob.ru - rekryteringsportal Superjob.ru arbetar med ryska marknaden onlinerekrytering sedan 2000 och är ledande bland de resurser som erbjuder jobbsökning och bemanning. Mer än 80 000 meritförteckningar av specialister och mer än 10 000 lediga tjänster läggs till webbplatsdatabasen dagligen.

Vad är motivation
Definition av motivation Motivation (från lat. moveo - jag rör mig) - en impuls till handling; en dynamisk process av en fysiologisk och psykologisk plan som styr mänskligt beteende, bestämmer dess riktning, organisation, aktivitet och stabilitet; människans förmåga att tillfredsställa sina behov genom arbete. Motivac

Vem är Bob Dylan
Bob Dylan (eng. Bob Dylan, riktiga namn - Robert Allen Zimmerman eng. Robert Allen Zimmerman; född 24 maj 1941) är en amerikansk låtskrivare som - enligt en undersökning från Rolling Stone magazine - är den andra (

Hur man transporterar inomhusväxter
Efter köpet inomhusväxter, står trädgårdsmästaren inför uppgiften att leverera inköpta exotiska blommor oskadda. Att känna till de grundläggande reglerna för packning och transport av inomhusväxter hjälper till att lösa detta problem. Växter måste vara förpackade för att kunna transporteras eller transporteras. Oavsett hur kort sträcka växterna bärs kan de skadas, de kan torka ut och på vintern &m

Vad är ett extremum för en funktion och vad är det nödvändiga villkoret för ett extremum?

En funktions extremum är funktionens maximum och minimum.

Detta villkor är nödvändigt, men inte tillräckligt. Derivatan i punkten x = a kan försvinna, gå till oändlighet eller inte existera utan att funktionen har ett extremum vid denna punkt.

Vilket är det tillräckliga villkoret för funktionens extremum (maximum eller minimum)?

Första villkoret:

Om, i tillräcklig närhet av punkten x = a, derivatan f?(x) är positiv till vänster om a och negativ till höger om a, så har funktionen f(x) i själva punkten x = a. maximal

Istället kan du använda det andra tillräckliga villkoret för funktionens extremum:

Låt vid punkten x = och den första derivatan f? (x) försvinner; om andraderivatan f??(а) är negativ, så har funktionen f(x) ett maximum vid punkten x = a, om den är positiv, då ett minimum.

Vad är den kritiska punkten för en funktion och hur hittar man den?

Till exempel, låt oss hitta extremum av parabeln.

Funktion y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Funktionsderivata: y?(x) = 6x + 2

Vi löser ekvationen: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

I detta fall är den kritiska punkten x0=-1/3. Det är för detta värde av argumentet som funktionen har extremum. Att få det hitta, ersätter vi det hittade numret i uttrycket med funktionen istället för "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Hur man bestämmer max och minimum för en funktion, d.v.s. dess största och minsta värden?

För det övervägda exemplet:

Vi tar ett godtyckligt värde för argumentet till vänster om den kritiska punkten: x = -1

När x = -1 blir värdet på derivatan y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (dvs minustecknet).

Nu tar vi ett godtyckligt värde för argumentet till höger om den kritiska punkten: x = 1

För x = 1 blir värdet på derivatan y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (dvs plustecknet).

Som du kan se ändrade derivatan tecken från minus till plus när den passerade den kritiska punkten. Det betyder att vid det kritiska värdet av x0 har vi en minimipunkt.

Låt oss till exempel hitta de största och minsta värdena för funktionen

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

i intervaller:

Så derivatan av funktionen är

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Vi löser ekvationen 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Vi hittar kritiska punkter på intervallet [-9; 9]:

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11.163 (ingår ej i intervallet)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (ingår inte i intervallet)

Vi hittar värdena för funktionen vid kritiska värden för argumentet:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Det kan ses att på intervallet [-9; 9] funktionen har det största värdet vid x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

och den minsta - vid x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

På intervallet [-6; -3] har vi bara en kritisk punkt: x = -4,88. Funktionens värde vid x = -4,88 är y = 5,398.

Vi hittar värdet på funktionen i slutet av intervallet:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

På intervallet [-6; -3] vi har det största värdet av funktionen

y = 5,398 vid x = -4,88

det minsta värdet är

y = 1,077 vid x = -3

Hur hittar man böjningspunkterna för en funktionsgraf och bestämmer sidorna av konvexitet och konkavitet?

Hur hittar man extrema för en funktion av två variabler?

För att hitta ytterpunkterna för funktionen f(x, y), differentierbar i området för dess tilldelning, behöver du:

1) hitta de kritiska punkterna och lös ekvationssystemet för detta

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) för varje kritisk punkt P0(a;b), undersök om tecknet på skillnaden förblir oförändrat

På liknande sätt bestäms extrema för funktionen för ett större antal argument.

Hur hittar man de största och minsta värdena för en funktion på ett segment?

För detta vi följer den välkända algoritmen:

1 . Vi hittar ODZ-funktioner.

2 . Hitta derivatan av en funktion

3 . Jämställ derivatan med noll

4 . Vi hittar intervallen vid vilka derivatan behåller sitt tecken, och från dem bestämmer vi intervallen för ökning och minskning av funktionen:

Om på intervallet I derivatan av funktionen 0" title="f^(primtal)(x)>0">, то функция !} ökar under detta intervall.

Om på intervallet I derivatan av funktionen , då funktionen minskar under detta intervall.

5 . Vi hittar maximala och minimala poäng för funktionen.

I funktionen maxpunkt, derivatan ändrar tecken från "+" till "-".

I minimipunkt för funktionenderivata ändrar tecken från "-" till "+".

6 . Vi hittar värdet på funktionen i slutet av segmentet,

sedan jämför vi värdet på funktionen i slutet av segmentet och vid maxpunkterna, och välj den största av dem om du behöver hitta det största värdet på funktionen
eller så jämför vi värdet på funktionen i slutet av segmentet och vid minimipunkterna, och välj den minsta av dem om du behöver hitta det minsta värdet på funktionen

Men beroende på hur funktionen beter sig på intervallet kan denna algoritm reduceras avsevärt.

Tänk på funktionen . Grafen för denna funktion ser ut så här:

Låt oss titta på några exempel på att lösa problem från öppen bank uppdrag för

1 . Uppgift B15 (#26695)

På snittet.

1. Funktionen är definierad för alla reella värden av x

Uppenbarligen har denna ekvation inga lösningar, och derivatan är positiv för alla värden på x. Därför ökar funktionen och får det största värdet i den högra änden av intervallet, det vill säga vid x=0.

Svar: 5.

2 . Uppgift B15 (nr 26702)

Hitta det största värdet på en funktion på segmentet.

1.ODZ-funktion title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Derivatan är noll vid , men vid dessa punkter ändrar den inte tecken:

Därför, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} ökar och tar det största värdet i den högra änden av intervallet, vid .

För att göra det tydligt varför derivatan inte ändrar tecken, transformerar vi uttrycket för derivatan enligt följande:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Svar: 5.

3 . Uppgift B15 (#26708)

Hitta det minsta värdet på funktionen på intervallet.

1. ODZ-funktioner: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Låt oss placera rötterna till denna ekvation på en trigonometrisk cirkel.

Intervallet innehåller två siffror: och

Låt oss sätta upp skyltarna. För att göra detta bestämmer vi tecknet för derivatan vid punkten x=0: . När man passerar genom punkterna och derivatan byter tecken.

Låt oss skildra förändringen av tecken för derivatan av funktionen på koordinatlinjen:

Uppenbarligen är punkten en minimipunkt (där derivatan ändrar tecken från "-" till "+"), och för att hitta det minsta värdet av funktionen på intervallet måste du jämföra funktionens värden vid minimipunkten och i den vänstra änden av segmentet, .

Populär i kategorin: