Hem › Ljus och glas › Derivat av produkten av funktioner vid en given punkt. Hitta derivatan: algoritm och exempel på lösningar

Derivat av produkten av funktioner vid en given punkt. Hitta derivatan: algoritm och exempel på lösningar

I den här lektionen fortsätter vi att studera derivator av funktioner och går vidare till ett mer avancerat ämne, nämligen derivator av produkter och kvoter. Om du tittade på föregående lektion insåg du förmodligen att vi bara övervägde de enklaste konstruktionerna, nämligen derivatan av en potensfunktion, summa och skillnad. I synnerhet lärde vi oss att derivatan av en summa är lika med deras summa och derivatan av en skillnad är lika med deras skillnad. Tyvärr, när det gäller kvot- och produktderivat, kommer formlerna att vara mycket mer komplicerade. Vi börjar med formeln för derivatan av en produkt av funktioner.

Derivater av trigonometriska funktioner

Låt mig till att börja med göra en liten lyrisk utvikning. Faktum är att utöver standardeffektfunktionen - $y=((x)^(n))$, kommer vi i den här lektionen också att stöta på andra funktioner, nämligen $y=\sin x$, samt $ y=\ cos x$ och annan trigonometri - $y=tgx$ och, naturligtvis, $y=ctgx$.

Om vi alla mycket väl känner till derivatan av en potensfunktion, nämligen $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, så gäller trigonometriska funktioner, måste nämnas separat. Låt oss skriva ner det:

\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

Men du känner till dessa formler mycket väl, låt oss gå vidare.

Vad är derivatet av en produkt?

Först, det viktigaste: om en funktion är produkten av två andra funktioner, till exempel $f\cdot g$, så kommer derivatan av denna konstruktion att vara lika med följande uttryck:

Som du kan se är denna formel betydligt annorlunda och mer komplex än de formler vi tittade på tidigare. Till exempel, derivatan av en summa beräknas på ett elementärt sätt - $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$, eller derivatan av en skillnad, som också beräknas på ett elementärt sätt - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.

Låt oss försöka tillämpa den första formeln för att beräkna derivatorna av de två funktionerna som ges till oss i problemet. Låt oss börja med det första exemplet:

Uppenbarligen fungerar följande konstruktion som en produkt, eller mer exakt, som en multiplikator: $((x)^(3))$, vi kan betrakta det som $f$, och $\left(x-5 \right) $ kan vi betrakta som $g$. Då kommer deras produkt att vara just produkten av två funktioner. Vi bestämmer:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \ höger))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(align)\].

Låt oss nu titta närmare på var och en av våra termer. Vi ser att både den första och den andra termen innehåller graden $x$: i det första fallet är det $((x)^(2))$, och i det andra är det $((x)^(3)) $. Låt oss ta den minsta graden ur parentes och lämna inom parentes:

\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2) ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2))(4x-15)\\\end(align)\]

Det var allt, vi hittade svaret.

Låt oss återgå till våra problem och försöka lösa:

Så låt oss skriva om:

Återigen noterar vi att vi talar om produkten av produkten av två funktioner: $x$, som kan betecknas med $f$, och $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, som kan betecknas med $g$.

Således har vi återigen framför oss produkten av två funktioner. För att hitta derivatan av funktionen $f\left(x \right)$ använder vi vår formel igen. Vi får:

\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(align)\]

Svaret har hittats.

Varför faktorderivat?

Vi har precis använt flera mycket viktiga matematiska fakta, som i sig inte är relaterade till derivator, men utan deras vetskap är all ytterligare studie av detta ämne helt enkelt inte meningsfull.

För det första, medan vi löste det allra första problemet och redan hade blivit av med alla tecken på derivat, började vi av någon anledning faktorisera detta uttryck.

För det andra, när vi löste följande problem, gick vi från roten till potensen med en rationell exponent och tillbaka flera gånger, med hjälp av formeln 8-9:e klass, vilket skulle vara värt att upprepa separat.

Angående faktorisering – varför behövs alla dessa ytterligare ansträngningar och transformationer? Faktum är att om problemet bara säger "hitta derivatan av en funktion", så krävs inte dessa ytterligare steg. Men i verkliga problem som väntar dig i alla typer av tentor och tester, är det ofta inte tillräckligt att bara hitta derivatan. Faktum är att derivatan bara är ett verktyg med vilket du kan ta reda på till exempel ökningen eller minskningen av en funktion, och för detta måste du lösa ekvationen och faktorisera den. Och det är här denna teknik kommer att vara mycket lämplig. Och generellt sett är det mycket bekvämare och trevligare att arbeta med en funktion faktoriserad i framtiden om några transformationer krävs. Därför, regel nr 1: om derivatan kan faktoriseras, är det vad du bör göra. Och omedelbart regel nr 2 (i huvudsak är detta material för klass 8-9): om problemet innehåller en rot n-th graden, och roten är klart större än två, då kan denna rot ersättas av en vanlig grad med en rationell exponent, och ett bråk kommer att dyka upp i exponenten, där n― just den grad ― kommer att vara i nämnaren för denna bråkdel.

Naturligtvis, om det finns någon grad under roten (i vårt fall är detta graden k), då går det ingenstans, utan hamnar helt enkelt i täljaren för just denna grad.

Nu när du förstår allt detta, låt oss gå tillbaka till produktens derivator och beräkna ytterligare några ekvationer.

Men innan jag går direkt till beräkningarna vill jag påminna dig om följande mönster:

\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Låt oss överväga det första exemplet:

Vi har återigen en produkt av två funktioner: den första är $f$, den andra är $g$. Låt mig påminna dig om formeln:

\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

Låt oss bestämma:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end(align)\]

Låt oss gå vidare till den andra funktionen:

Återigen, $\left(3x-2 \right)$ är en funktion av $f$, $\cos x$ är en funktion av $g$. Totalt kommer derivatan av produkten av två funktioner att vara lika med:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end(align)\]

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\prime ))\]

Låt oss skriva ner det separat:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]

Vi faktoriserar inte detta uttryck, eftersom detta inte är det slutgiltiga svaret ännu. Nu måste vi lösa den andra delen. Låt oss skriva ut det:

\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(align)\]

Låt oss nu återgå till vår ursprungliga uppgift och sätta ihop allt till en enda struktur:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]

Det är det, det här är det sista svaret.

Låt oss gå vidare till det sista exemplet - det kommer att vara det mest komplexa och mest omfattande när det gäller beräkningar. Så, ett exempel:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]

Vi räknar varje del för sig:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=(\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

För att återgå till den ursprungliga funktionen, låt oss beräkna dess derivata som helhet:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2))))((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Det var faktiskt allt jag ville berätta om de härledda verken. Som du kan se ligger huvudproblemet med formeln inte i att memorera den, utan i det faktum att den involverar en ganska stor mängd beräkningar. Men det är okej, för nu går vi vidare till kvotderivatet, där vi kommer att få jobba riktigt hårt.

Vad är derivatan av en kvot?

Så formeln för derivatan av kvoten. Detta är kanske den mest komplexa formeln i skolkursen om derivat. Låt oss säga att vi har en funktion av formen $\frac(f)(g)$, där $f$ och $g$ också är funktioner från vilka vi också kan ta bort primtal. Sedan kommer det att beräknas enligt följande formel:

Täljaren påminner något om formeln för en produkts derivata, men det finns ett minustecken mellan termerna och kvadraten på den ursprungliga nämnaren har också lagts till nämnaren. Låt oss se hur detta fungerar i praktiken:

Låt oss försöka lösa:

\[(f)"=((\vänster(\frac(((x)^(2)))-1)(x+2) \höger))^(\prime ))=\frac(((\vänster) (((x)^(2))-1 \höger))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \höger)-\left(((x)^(2))-1 \höger )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]

Jag föreslår att du skriver ut varje del separat och skriver ner:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ höger))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \right))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\end(align)\]

Låt oss skriva om vårt uttryck:

\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\vänster(x+2 \höger))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\vänster(x+2 \höger))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\vänster(x+2 \höger) ))^(2))) \\\end(align)\]

Vi har hittat svaret. Låt oss gå vidare till den andra funktionen:

Att döma av det faktum att dess täljare helt enkelt är en, kommer beräkningarna här att vara lite enklare. Så låt oss skriva:

\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime )))(( (\vänster(((x)^(2))+4 \höger))^(2)))\]

Låt oss beräkna varje del av exemplet separat:

\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \right))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]

Låt oss skriva om vårt uttryck:

\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)(((\left(((x)^(2) )+4 \höger))^(2)))=-\frac(2x)(((\vänster(((x)^(2))+4 \höger))^(2)))\]

Vi har hittat svaret. Som väntat visade sig mängden beräkningar vara betydligt mindre än för den första funktionen.

Vad är skillnaden mellan beteckningarna?

Uppmärksamma elever har förmodligen redan en fråga: varför betecknar vi i vissa fall funktionen som $f\left(x \right)$, och i andra fall skriver vi helt enkelt $y$? Faktum är att ur matematikens synvinkel är det absolut ingen skillnad - du har rätt att använda både den första beteckningen och den andra, och det kommer inte att finnas några påföljder i tentor eller prov. För de som fortfarande är intresserade kommer jag att förklara varför författarna till läroböcker och problem i vissa fall skriver $f\left(x \right)$, och i andra (mycket oftare) - helt enkelt $y$. Faktum är att genom att skriva en funktion i formen \, antyder vi implicit till dem som läser våra beräkningar att vi talar specifikt om den algebraiska tolkningen av funktionellt beroende. Det vill säga att det finns en viss variabel $x$, vi betraktar beroendet av denna variabel och betecknar den $f\left(x \right)$. Samtidigt, efter att ha sett en sådan beteckning, kommer den som läser dina beräkningar, till exempel inspektören, omedvetet att förvänta sig att i framtiden endast algebraiska transformationer väntar honom - inga grafer och ingen geometri.

Å andra sidan, med hjälp av notationer av formen \, dvs. betecknar en variabel med en enda bokstav, gör vi det omedelbart klart att vi i framtiden är intresserade av den geometriska tolkningen av funktionen, dvs. vi är intresserade, först av allt i sin graf. Följaktligen har läsaren rätt att förvänta sig grafiska beräkningar, dvs grafer, konstruktioner etc., när de står inför en registrering av formuläret, men i inget fall analytiska transformationer.

Jag skulle också vilja uppmärksamma er på en del av utformningen av de uppgifter som vi överväger idag. Många elever tycker att jag ger för detaljerade beräkningar, och många av dem skulle kunna hoppa över eller helt enkelt lösas i huvudet. Men det är just en sådan detaljerad post som gör att du kan bli av med stötande misstag och avsevärt öka andelen korrekt lösta problem, till exempel när det gäller självförberedelser för tester eller tentor. Därför, om du fortfarande är osäker på dina förmågor, om du precis har börjat studera detta ämne, skynda dig inte - beskriv varje steg i detalj, skriv ner varje faktor, varje slag, och mycket snart kommer du att lära dig att lösa sådana exempel bättre än många skollärare. Jag hoppas att detta är tydligt. Låt oss räkna några fler exempel.

Flera intressanta uppgifter

Den här gången, som vi ser, finns trigonometri i de derivator som beräknas. Låt mig därför påminna dig om följande:

\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(align )\]

Naturligtvis kan vi inte klara oss utan derivatan av kvoten, nämligen:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Låt oss överväga den första funktionen:

\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x) \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Så vi har hittat en lösning på detta uttryck.

Låt oss gå vidare till det andra exemplet:

Uppenbarligen kommer dess derivata att vara mer komplex, om så bara för att trigonometri finns i både täljaren och nämnaren för denna funktion. Vi bestämmer:

\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]

Observera att vi har ett derivat av produkten. I det här fallet kommer det att vara lika med:

\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \ höger))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]

Låt oss återgå till våra beräkningar. Vi skriver ner:

\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \höger))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos) )^(2))x) \\\end(align)\]

Det är allt! Vi gjorde matematiken.

Hur reducerar man derivatan av en kvot till en enkel formel för derivatan av en produkt?

Och här skulle jag vilja göra en mycket viktig anmärkning angående trigonometriska funktioner. Faktum är att vår ursprungliga konstruktion innehåller ett uttryck av formen $\frac(\sin x)(\cos x)$, som enkelt kan ersättas med $tgx$. Således reducerar vi derivatan av en kvot till en enklare formel för derivatan av en produkt. Låt oss räkna ut det här exemplet igen och jämföra resultaten.

Så nu måste vi överväga följande:

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Låt oss skriva om vår ursprungliga funktion $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ med hänsyn till detta faktum. Vi får:

Låt oss räkna:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align) \]

Om vi nu jämför det erhållna resultatet med det vi fick tidigare vid beräkning på ett annat sätt, så kommer vi att vara övertygade om att vi har fått samma uttryck. Således, oavsett vilken väg vi går när vi beräknar derivatan, om allt beräknas korrekt, så kommer svaret att vara detsamma.

Viktiga nyanser vid problemlösning

Avslutningsvis skulle jag vilja berätta ytterligare en subtilitet relaterad till beräkning av derivatan av en kvot. Det jag ska berätta nu fanns inte i det ursprungliga manuset till videolektionen. Men ett par timmar innan inspelningen studerade jag med en av mina elever, och vi diskuterade just ämnet kvotderivat. Och, som det visade sig, förstår många studenter inte denna punkt. Så låt oss säga att vi måste beräkna borttagningsslaget för följande funktion:

I princip finns det vid första anblicken inget övernaturligt med det. Men i beräkningsprocessen kan vi göra många dumma och kränkande misstag, som jag skulle vilja diskutera nu.

Så vi beräknar denna derivata. Först och främst noterar vi att vi har termen $3((x)^(2))$, så det är lämpligt att komma ihåg följande formel:

\[((\vänster(((x)^(n)) \höger))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Dessutom har vi termen $\frac(48)(x)$ - vi kommer att hantera det genom derivatan av kvoten, nämligen:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Så låt oss bestämma:

\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \right)) ^(\prime ))+10(0)"\]

Det är inga problem med den första termen, se:

\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]

Men med den första termen, $\frac(48)(x)$, måste du arbeta separat. Faktum är att många elever förvirrar situationen när de behöver hitta $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ och när de behöver hitta $((\left) (\frac (48)(x) \right))^(\prime ))$. Det vill säga att de blir förvirrade när konstanten finns i nämnaren respektive när konstanten finns i täljaren, när variabeln finns i täljaren eller i nämnaren.

Låt oss börja med det första alternativet:

\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

Å andra sidan, om vi försöker göra samma sak med den andra bråkdelen, får vi följande:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48) )(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Men samma exempel kan beräknas annorlunda: i det skede där vi gick över till derivatan av kvoten, kan vi betrakta $\frac(1)(x)$ som en potens med en negativ exponent, dvs. vi får följande :

\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(- 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1) )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Och så, och så fick vi samma svar.

Därmed är vi återigen övertygade om två viktiga fakta. För det första kan samma derivata beräknas på helt olika sätt. Till exempel kan $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ betraktas både som derivatan av en kvot och som derivatan av en potensfunktion. Dessutom, om alla beräkningar utförs korrekt, kommer svaret alltid att vara detsamma. För det andra, när man beräknar derivator som innehåller både en variabel och en konstant, är det fundamentalt viktigt var variabeln finns - i täljaren eller i nämnaren. I det första fallet, när variabeln finns i täljaren, får vi en enkel linjär funktion som lätt kan beräknas. Och om variabeln finns i nämnaren, så får vi ett mer komplext uttryck med de tillhörande beräkningarna som givits tidigare.

Vid denna tidpunkt kan lektionen anses vara komplett, så om du inte förstår något om derivaten av en kvot eller en produkt, och i allmänhet, om du har några frågor om detta ämne, tveka inte - gå till min webbplats , skriv, ring, och jag ska definitivt försöka kan jag hjälpa dig.

Derivat i sig är inte ett komplext ämne, men de är mycket omfattande och det vi studerar nu kommer att användas i framtiden för att lösa mer komplexa problem. Det är därför det är bättre att identifiera alla missförstånd relaterade till beräkningen av derivat av en kvot eller en produkt omedelbart, just nu. Inte när de är en enorm snöboll av missförstånd, utan när de är en liten tennisboll som är lätt att ha att göra med.

Om du följer definitionen är derivatan av en funktion vid en punkt gränsen för förhållandet mellan ökningen av funktionen Δ y till argumentökningen Δ x:

Allt verkar vara klart. Men försök använda den här formeln för att beräkna, säg, derivatan av funktionen f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x synd x. Om du gör allt per definition, kommer du helt enkelt att somna efter ett par sidor av beräkningar. Därför finns det enklare och effektivare sätt.

Till att börja med noterar vi att vi från hela variationen av funktioner kan urskilja de så kallade elementära funktionerna. Dessa är relativt enkla uttryck, vars derivator länge har beräknats och tabellerats. Sådana funktioner är ganska lätta att komma ihåg - tillsammans med deras derivator.

Derivater av elementära funktioner

Elementära funktioner är alla de som listas nedan. Derivaterna av dessa funktioner måste vara kända utantill. Dessutom är det inte alls svårt att memorera dem - det är därför de är elementära.

Så, derivator av elementära funktioner:

namn	Fungera	Derivat
Konstant	f(x) = C, C ∈ R	0 (ja, noll!)
Makt med rationell exponent	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = synd x	cos x
Cosinus	f(x) = cos x	−synd x(minus sinus)
Tangent	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Cotangens	f(x) = ctg x	− 1/synd 2 x
Naturlig logaritm	f(x) = log x	1/x
Godtycklig logaritm	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Exponentiell funktion	f(x) = e x	e x(Inget förändrat)

Om en elementär funktion multipliceras med en godtycklig konstant, beräknas också derivatan av den nya funktionen enkelt:

(C · f)’ = C · f ’.

I allmänhet kan konstanter tas ur derivatans tecken. Till exempel:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Uppenbarligen kan elementära funktioner läggas till varandra, multipliceras, delas - och mycket mer. Så kommer nya funktioner att dyka upp, inte längre särskilt elementära, utan även differentierade enligt vissa regler. Dessa regler diskuteras nedan.

Derivat av summa och skillnad

Låt funktionerna ges f(x) Och g(x), vars derivat är kända för oss. Du kan till exempel ta de elementära funktionerna som diskuterats ovan. Sedan kan du hitta derivatan av summan och skillnaden av dessa funktioner:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Så derivatan av summan (skillnaden) av två funktioner är lika med summan (skillnaden) av derivatorna. Det kan finnas fler termer. Till exempel, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strängt taget finns det inget koncept för "subtraktion" i algebra. Det finns ett koncept av "negativt element". Därför skillnaden f − g kan skrivas om som en summa f+ (−1) g, och då återstår bara en formel - derivatan av summan.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Fungera f(x) är summan av två elementära funktioner, därför:

f ’(x) = (x 2 + synd x)’ = (x 2)’ + (synd x)’ = 2x+ cos x;

Vi resonerar likadant för funktionen g(x). Bara det finns redan tre termer (ur algebras synvinkel):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Svar:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat av produkten

Matematik är en logisk vetenskap, så många tror att om derivatan av en summa är lika med summan av derivator, så är derivatan av produkten strejk">lika med produkten av derivator. Men tråkigt! En produkts derivata beräknas med en helt annan formel. Nämligen:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formeln är enkel, men den glöms ofta bort. Och inte bara skolbarn, utan också studenter. Resultatet är felaktigt lösta problem.

Uppgift. Hitta derivator av funktioner: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Fungera f(x) är produkten av två elementära funktioner, så allt är enkelt:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− synd x) = x 2 (3cos x − x synd x)

Fungera g(x) den första multiplikatorn är lite mer komplicerad, men det allmänna schemat ändras inte. Uppenbarligen den första faktorn för funktionen g(x) är ett polynom och dess derivata är derivatan av summan. Vi har:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Svar:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x synd x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Observera att i det sista steget faktoriseras derivatan. Formellt behöver detta inte göras, men de flesta derivator beräknas inte på egen hand, utan för att undersöka funktionen. Detta innebär att ytterligare derivatan kommer att likställas med noll, dess tecken kommer att bestämmas, och så vidare. För ett sådant fall är det bättre att ha ett uttryck faktoriserat.

Om det finns två funktioner f(x) Och g(x), och g(x) ≠ 0 på uppsättningen vi är intresserade av, vi kan definiera en ny funktion h(x) = f(x)/g(x). För en sådan funktion kan du också hitta derivatan:

Inte svag, va? Var kom minuset ifrån? Varför g 2? Och så här! Detta är en av de mest komplexa formlerna - du kan inte räkna ut det utan en flaska. Därför är det bättre att studera det med specifika exempel.

Uppgift. Hitta derivator av funktioner:

Täljaren och nämnaren för varje bråkdel innehåller elementära funktioner, så allt vi behöver är formeln för derivatan av kvoten:

Enligt traditionen, låt oss faktorisera täljaren - detta kommer att förenkla svaret avsevärt:

En komplex funktion är inte nödvändigtvis en halvkilometer lång formel. Det räcker till exempel att ta funktionen f(x) = synd x och byt ut variabeln x säg på x 2 + ln x. Det kommer att lösa sig f(x) = synd ( x 2 + ln x) - detta är en komplex funktion. Den har också en derivata, men det kommer inte att vara möjligt att hitta den med reglerna som diskuterats ovan.

Vad ska jag göra? I sådana fall hjälper det att ersätta en variabel och formel för derivatan av en komplex funktion:

f ’(x) = f ’(t) · t', Om x ersätts av t(x).

Som regel är situationen med att förstå denna formel ännu mer sorglig än med derivatan av kvoten. Därför är det också bättre att förklara det med specifika exempel, med en detaljerad beskrivning av varje steg.

Uppgift. Hitta derivator av funktioner: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = synd ( x 2 + ln x)

Observera att om i funktionen f(x) istället för uttryck 2 x+ 3 blir lätt x, då får vi en elementär funktion f(x) = e x. Därför gör vi en ersättning: låt 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Vi letar efter derivatan av en komplex funktion med formeln:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Och nu - uppmärksamhet! Vi utför det omvända utbytet: t = 2x+ 3. Vi får:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Låt oss nu titta på funktionen g(x). Det är klart att det måste bytas ut x 2 + ln x = t. Vi har:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (synd t)’ · t’ = cos t · t ’

Omvänd ersättning: t = x 2 + ln x. Sedan:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Det är allt! Som framgår av det sista uttrycket har hela problemet reducerats till att beräkna derivatsumman.

Svar:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) för ( x 2 + ln x).

Mycket ofta i mina lektioner, istället för termen "derivat", använder jag ordet "prime". Till exempel är summans streck lika med summan av strecken. Är det tydligare? Ja det är bra.

Att beräkna derivatan handlar alltså om att bli av med samma slag enligt reglerna som diskuterats ovan. Som ett sista exempel, låt oss återgå till derivatan med en rationell exponent:

(x n)’ = n · x n − 1

Det är få som känner till det i rollen n kan mycket väl vara ett bråktal. Till exempel är roten x 0,5. Tänk om det finns något fint under roten? Återigen blir resultatet en komplex funktion - de ger gärna sådana konstruktioner i prov och tentor.

Uppgift. Hitta derivatan av funktionen:

Låt oss först skriva om roten som en potens med en rationell exponent:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Nu gör vi en ersättare: låt x 2 + 8x − 7 = t. Vi hittar derivatan med formeln:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Låt oss göra omvänd ersättning: t = x 2 + 8x− 7. Vi har:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Till sist, tillbaka till rötterna:

Att upprätthålla din integritet är viktigt för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs igenom vår sekretesspraxis och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Nedan finns några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information samlar vi in:

När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.

Hur vi använder din personliga information:

De personuppgifter vi samlar in gör att vi kan kontakta dig med unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och kommunikationer.
Vi kan även använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att utföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande kampanj kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Utlämnande av information till tredje part

Vi lämnar inte ut informationen från dig till tredje part.

Undantag:

Om nödvändigt - i enlighet med lag, rättsligt förfarande, i rättsliga förfaranden och/eller på grundval av offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga organ i Ryska federationen - att avslöja din personliga information. Vi kan också komma att avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhets-, brottsbekämpande eller andra offentliga ändamål.
I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra den personliga information vi samlar in till tillämplig efterträdande tredje part.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Respektera din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker kommunicerar vi sekretess- och säkerhetsstandarder till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.

Att lösa fysiska problem eller exempel i matematik är helt omöjligt utan kunskap om derivatan och metoder för att beräkna den. Derivaten är ett av de viktigaste begreppen inom matematisk analys. Vi bestämde oss för att ägna dagens artikel till detta grundläggande ämne. Vad är en derivata, vad är dess fysiska och geometriska betydelse, hur beräknar man derivatan av en funktion? Alla dessa frågor kan kombineras till en: hur förstår man derivatan?

Geometrisk och fysisk betydelse av derivata

Låt det finnas en funktion f(x) , specificerad i ett visst intervall (a, b) . Punkterna x och x0 hör till detta intervall. När x ändras ändras själva funktionen. Ändra argumentet - skillnaden i dess värden x-x0 . Denna skillnad skrivs som delta x och kallas argumentökning. En förändring eller ökning av en funktion är skillnaden mellan värdena för en funktion vid två punkter. Definition av derivat:

Derivatan av en funktion vid en punkt är gränsen för förhållandet mellan ökningen av funktionen vid en given punkt och ökningen av argumentet när det senare tenderar till noll.

Annars kan det skrivas så här:

Vad är poängen med att hitta en sådan gräns? Och här är vad det är:

derivatan av en funktion i en punkt är lika med tangenten för vinkeln mellan OX-axeln och tangenten till grafen för funktionen i en given punkt.

Fysisk betydelse av derivatan: derivatan av banan med avseende på tid är lika med hastigheten för rätlinjig rörelse.

Sedan skoltiden vet alla att hastighet är en speciell väg x=f(t) och tid t . Medelhastighet under en viss tidsperiod:

För att ta reda på rörelsens hastighet vid ett ögonblick t0 du måste beräkna gränsen:

Regel ett: sätt en konstant

Konstanten kan tas ut ur derivattecknet. Dessutom måste detta göras. När du löser exempel i matematik, ta det som regel - Om du kan förenkla ett uttryck, se till att förenkla det .

Exempel. Låt oss beräkna derivatan:

Regel två: derivata av summan av funktioner

Derivatan av summan av två funktioner är lika med summan av derivatan av dessa funktioner. Detsamma gäller för derivatan av skillnaden mellan funktioner.

Vi kommer inte att ge ett bevis för detta teorem, utan snarare överväga ett praktiskt exempel.

Hitta derivatan av funktionen:

Regel tre: derivata av produkten av funktioner

Derivatan av produkten av två differentierbara funktioner beräknas med formeln:

Exempel: hitta derivatan av en funktion:

Lösning:

Det är viktigt att prata om att beräkna derivator av komplexa funktioner här. Derivatan av en komplex funktion är lika med produkten av derivatan av denna funktion med avseende på det mellanliggande argumentet och derivatan av det mellanliggande argumentet med avseende på den oberoende variabeln.

I exemplet ovan stöter vi på uttrycket:

I det här fallet är det mellanliggande argumentet 8x i femte potensen. För att beräkna derivatan av ett sådant uttryck, beräknar vi först derivatan av den externa funktionen med avseende på det mellanliggande argumentet och multiplicerar sedan med derivatan av själva det mellanliggande argumentet med avseende på den oberoende variabeln.

Regel fyra: derivata av kvoten av två funktioner

Formel för att bestämma derivatan av kvoten av två funktioner:

Vi försökte prata om derivat för dummies från grunden. Det här ämnet är inte så enkelt som det verkar, så varnas: det finns ofta fallgropar i exemplen, så var försiktig när du beräknar derivator.

Vid frågor om detta och andra ämnen kan du kontakta studenttjänsten. På kort tid hjälper vi dig att lösa det svåraste testet och förstå uppgifterna, även om du aldrig tidigare gjort derivatberäkningar.

Låt funktionerna u definieras i ett visst område av en punkt och ha derivator vid punkten. Sedan har deras produkt en derivata vid punkten, som bestäms av formeln:
(1) .

Bevis

Låt oss presentera följande notation:
;
.
Här och är funktioner av variablerna och . Men för att underlätta notationen kommer vi att utelämna beteckningarna på deras argument.

Därefter märker vi det
;
.
Efter villkor har funktionerna och derivator vid punkten, som är följande gränser:
;
.
Av förekomsten av derivator följer att funktionerna och är kontinuerliga vid punkten. Det är därför
;
.

Betrakta funktionen y av variabeln x, som är produkten av funktionerna och:
.
Låt oss överväga ökningen av denna funktion vid punkten:

.
Nu hittar vi derivatan:

.

Så,
.
Regeln är bevisad.

Istället för en variabel kan du använda vilken annan variabel som helst. Låt oss beteckna det som x. Sedan om det finns derivator och , bestäms derivatan av produkten av två funktioner av formeln:
.
Eller i en kortare version
(1) .