2 är ett irrationellt tal. Irrationella tal, definition, exempel

Mängden av alla naturliga tal betecknas med bokstaven N. Naturliga tal är de tal som vi använder för att räkna objekt: 1,2,3,4, ... I vissa källor anses talet 0 också vara ett naturligt tal.

Mängden av alla heltal betecknas med bokstaven Z. Heltal är alla naturliga tal, noll och negativa tal:

1,-2,-3, -4, …

Låt oss nu lägga till mängden av alla heltal mängden av alla vanliga bråk: 2/3, 18/17, -4/5 och så vidare. Då får vi mängden av alla rationella tal.

Uppsättning av rationella tal

Mängden av alla rationella tal betecknas med bokstaven Q. Mängden av alla rationella tal (Q) är en mängd som består av tal av formen m/n, -m/n och talet 0. Vilket naturligt tal som helst kan fungera som n,m. Det bör noteras att alla rationella tal kan representeras som en finit eller oändlig PERIODISK decimalbråkdel. Det omvända är också sant att vilket ändligt eller oändligt periodiskt decimalbråk som helst kan skrivas som ett rationellt tal.

Men hur är det till exempel med siffran 2.0100100010...? Det är en oändligt ICKE-PERIODISK decimalbråkdel. Och det gäller inte rationella tal.

I skolalgebrakursen studeras endast reella (eller reella) tal. Mängden av alla reella tal betecknas med bokstaven R. Mängden R består av alla rationella och alla irrationella tal.

Begreppet irrationella tal

Irrationella tal är alla oändliga decimala icke-periodiska bråk. Irrationella tal har ingen speciell beteckning.

Till exempel kommer alla tal som erhålls genom att extrahera kvadratroten av naturliga tal som inte är kvadrater av naturliga tal att vara irrationella. (√2, √3, √5, √6, etc.).

Men tro inte att irrationella tal erhålls endast genom att extrahera kvadratrötter. Till exempel är talet "pi" också irrationellt, och det erhålls genom division. Och hur mycket du än försöker kan du inte få det genom att ta kvadratroten ur ett naturligt tal.

Och de härledde sina rötter från det latinska ordet "ratio", som betyder "förnuft". Baserat på den bokstavliga översättningen:

• Ett rationellt tal är ett "rimligt tal".
• Ett irrationellt tal är följaktligen ett "orimligt tal".

Allmänt koncept för ett rationellt tal

Ett rationellt tal är ett tal som kan skrivas som:

1. En vanlig positiv bråkdel.
2. Negativ vanlig bråkdel.
3. Som ett tal noll (0).

Med andra ord gäller följande definitioner för ett rationellt tal:

• Varje naturligt tal är i sig rationellt, eftersom vilket naturligt tal som helst kan representeras som ett vanligt bråk.
• Vilket heltal som helst, inklusive talet noll, eftersom vilket heltal som helst kan skrivas antingen som ett positivt ordinärt bråktal, som ett negativt ordinärt bråktal eller som talet noll.
• Varje vanligt bråk, och det spelar ingen roll om det är positivt eller negativt, närmar sig också direkt definitionen av ett rationellt tal.
• Definitionen kan också inkludera ett blandat tal, ett ändligt decimaltal eller ett oändligt periodiskt bråktal.

Exempel på rationella tal

Låt oss titta på exempel på rationella tal:

• Naturliga tal - "4", "202", "200".
• Heltal - "-36", "0", "42".
• Vanliga bråk.

Från ovanstående exempel är det ganska uppenbart att rationella tal kan vara både positiva och negativa. Naturligtvis hör talet 0 (noll), som i sin tur också är ett rationellt tal, samtidigt inte till kategorin ett positivt eller negativt tal.

Därför skulle jag vilja påminna det allmänna utbildningsprogrammet med följande definition: "Rationella tal" är de tal som kan skrivas som bråk x/y, där x (täljare) är ett heltal och y (nämnare) är ett naturligt nummer.

Allmänt begrepp och definition av ett irrationellt tal

Förutom "rationella tal" känner vi också till de så kallade "irrationella talen." Låt oss kort försöka definiera dessa siffror.

Även forntida matematiker, som ville beräkna diagonalen på en kvadrat längs dess sidor, lärde sig om förekomsten av ett irrationellt tal.
Utifrån definitionen av rationella tal kan man bygga en logisk kedja och ge en definition av ett irrationellt tal.
Så i huvudsak är de reella tal som inte är rationella helt enkelt irrationella tal.
Decimalbråk, som uttrycker irrationella tal, är inte periodiska och oändliga.

Exempel på ett irrationellt tal

För tydlighetens skull, låt oss överväga ett litet exempel på ett irrationellt tal. Som vi redan förstått kallas oändliga decimala icke-periodiska bråk irrationella, till exempel:

• Siffran "-5.020020002... (det är tydligt att tvåorna är åtskilda av en sekvens av en, två, tre, etc. nollor)
• Siffran ”7.040044000444... (här är det tydligt att antalet fyror och antalet nollor ökar med en varje gång i en kedja).
• Alla känner till talet Pi (3.1415...). Ja, ja – det är också irrationellt.

I allmänhet är alla reella tal både rationella och irrationella. Enkelt uttryckt kan ett irrationellt tal inte representeras som en vanlig bråkdel x/y.

Allmän slutsats och kort jämförelse mellan siffror

Vi tittade på varje nummer separat, men skillnaden mellan ett rationellt tal och ett irrationellt tal kvarstår:

1. Ett irrationellt tal uppstår när man extraherar kvadratroten, när man dividerar en cirkel med dess diameter, etc.
2. Ett rationellt tal representerar ett vanligt bråktal.

Låt oss avsluta vår artikel med några definitioner:

• En aritmetisk operation som utförs på ett rationellt tal, annat än division med 0 (noll), kommer i slutändan att leda till ett rationellt tal.
• Det slutliga resultatet, när man utför en aritmetisk operation på ett irrationellt tal, kan leda till både ett rationellt och ett irrationellt värde.
• Om båda talen deltar i en aritmetisk operation (förutom division eller multiplikation med noll), så blir resultatet ett irrationellt tal.

Alla rationella tal kan representeras som ett gemensamt bråktal. Detta gäller heltal (till exempel 12, –6, 0) och ändliga decimalbråk (till exempel 0,5; –3,8921) och oändliga periodiska decimalbråk (till exempel 0,11(23); –3 ,(87) )).

dock oändliga icke-periodiska decimaler kan inte representeras som vanliga bråk. Det är vad de är irrationella tal(det vill säga irrationellt). Ett exempel på ett sådant tal är talet π, som är ungefär lika med 3,14. Men vad det exakt är lika med kan inte bestämmas, eftersom det efter siffran 4 finns en oändlig serie av andra tal där upprepade perioder inte kan särskiljas. Dessutom, även om talet π inte kan uttryckas exakt, har det en specifik geometrisk betydelse. Talet π är förhållandet mellan längden på en cirkel och längden på dess diameter. Således existerar irrationella tal faktiskt i naturen, precis som rationella tal.

Ett annat exempel på irrationella tal är kvadratrötterna av positiva tal. Att extrahera rötter från vissa tal ger rationella värden, från andra - irrationella. Till exempel, √4 = 2, dvs roten av 4 är ett rationellt tal. Men √2, √5, √7 och många andra resulterar i irrationella tal, det vill säga de kan bara extraheras genom approximation, avrundning till en viss decimal. I detta fall blir fraktionen icke-periodisk. Det vill säga, det är omöjligt att säga exakt och definitivt vad roten till dessa siffror är.

Så √5 är ett tal som ligger mellan talen 2 och 3, eftersom √4 = 2, och √9 = 3. Vi kan också dra slutsatsen att √5 är närmare 2 än 3, eftersom √4 är närmare √5 än √9 till √5. Faktum är att √5 ≈ 2,23 eller √5 ≈ 2,24.

Irrationella tal erhålls även i andra beräkningar (och inte bara när man extraherar rötter), och kan vara negativa.

När det gäller irrationella tal kan vi säga att oavsett vilket enhetssegment vi tar för att mäta längden uttryckt av ett sådant tal, kommer vi inte att kunna mäta det definitivt.

I aritmetiska operationer kan irrationella tal delta tillsammans med rationella tal. Samtidigt finns det en rad regelbundenheter. Till exempel, om endast rationella tal är involverade i en aritmetisk operation, så är resultatet alltid ett rationellt tal. Om endast irrationella deltar i operationen är det omöjligt att entydigt säga om resultatet blir ett rationellt eller irrationellt tal.

Till exempel, om du multiplicerar två irrationella tal √2 * √2, får du 2 - detta är ett rationellt tal. Å andra sidan är √2 * √3 = √6 ett irrationellt tal.

Om en aritmetisk operation involverar rationella och irrationella tal, blir resultatet irrationellt. Till exempel, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 – 4.

Varför är √17 – 4 ett irrationellt tal? Låt oss föreställa oss att vi får ett rationellt tal x. Då är √17 = x + 4. Men x + 4 är ett rationellt tal, eftersom vi antog att x är rationellt. Talet 4 är också rationellt, så x + 4 är rationellt. Ett rationellt tal kan dock inte vara lika med det irrationella talet √17. Därför är antagandet att √17 – 4 ger ett rationellt resultat felaktigt. Resultatet av en aritmetisk operation blir irrationell.

Det finns dock ett undantag från denna regel. Om vi ​​multiplicerar ett irrationellt tal med 0 får vi det rationella talet 0.

Och π

Således är uppsättningen av irrationella tal skillnaden I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ) uppsättningar av reella och rationella tal.

Förekomsten av irrationella tal, närmare bestämt segment som inte är jämbördiga med ett segment av enhetslängd, var redan känt för forntida matematiker: de visste till exempel inkommensurabiliteten av diagonalen och sidan av en kvadrat, vilket är ekvivalent med irrationaliteten hos numret 2 (\displaystyle (\sqrt (2))).

Egenskaper

• Summan av två positiva irrationella tal kan vara ett rationellt tal.
• Irrationella tal definierar Dedekind-sektioner i uppsättningen av rationella tal som inte har det största antalet i underklassen och inte har det minsta antalet i överklassen.
• Mängden irrationella tal är tät överallt på tallinjen: mellan två distinkta tal finns ett irrationellt tal.
• Ordningen på mängden irrationella tal är isomorf med ordningen på uppsättningen av reella transcendentala tal. [ ]

Algebraiska och transcendentala tal

Varje irrationellt tal är antingen algebraiskt eller transcendentalt. Uppsättningen av algebraiska tal är en räknebar uppsättning. Eftersom mängden reella tal är oräknelig, är mängden irrationella tal oräknelig.

Uppsättningen av irrationella tal är en uppsättning av den andra kategorin.

Låt oss kvadrera den förmodade jämlikheten:

Berättelse

Antiken

Begreppet irrationella tal antogs implicit av indiska matematiker på 700-talet f.Kr., när Manava (ca 750-690 f.Kr.) kom på att kvadratrötterna av vissa naturliga tal, som 2 och 61, inte kunde uttryckas explicit [ ] .

Det första beviset på existensen av irrationella tal, eller mer exakt förekomsten av inkommensurabla segment, tillskrivs vanligtvis Pythagoras Hippasus av Metapontum (cirka 470 f.Kr.). Vid tiden för pytagoreerna trodde man att det fanns en enda längdenhet, tillräckligt liten och odelbar, som inkluderade ett helt antal gånger i varje segment [ ] .

Det finns inga exakta uppgifter om vilket nummer som visades vara irrationellt av Hippasus. Enligt legenden hittade han det genom att studera längderna på sidorna av pentagrammet. Därför är det rimligt att anta att detta var det gyllene snittet eftersom detta är förhållandet mellan diagonalen och sidan i en vanlig femhörning.

Grekiska matematiker kallade detta förhållande av inkommensurable storheter alogos(obeskrivligt), men enligt legenderna ägnade de inte vederbörlig respekt för Hippasus. Det finns en legend om att Hippasus gjorde upptäckten när han var på en sjöresa och kastades överbord av andra pythagoraner "för att ha skapat ett element i universum som förnekar läran att alla enheter i universum kan reduceras till heltal och deras förhållanden." Upptäckten av Hippasus utgjorde ett allvarligt problem för Pythagoras matematik och förstörde det underliggande antagandet att siffror och geometriska objekt var ett och oskiljaktigt.

Senare utvecklade Eudoxus av Cnidus (410 eller 408 f.Kr. - 355 eller 347 f.Kr.) en teori om proportioner som tog hänsyn till både rationella och irrationella samband. Detta fungerade som grunden för att förstå den grundläggande essensen av irrationella tal. Kvantitet började inte betraktas som ett tal, utan som en beteckning på enheter, såsom linjesegment, vinklar, ytor, volymer, tidsintervall - enheter som kan förändras kontinuerligt (i ordets moderna mening). Storleken kontrasterades med siffror, som bara kan ändras genom att "hoppa" från ett tal till nästa, till exempel från 4 till 5. Tal består av den minsta odelbara kvantiteten, medan kvantiteter kan minskas i det oändliga.

Eftersom inget kvantitativt värde var korrelerat med magnitud kunde Eudoxus täcka både proportionerliga och inkommensurabla kvantiteter när man definierade en fraktion som förhållandet mellan två kvantiteter och proportion som likheten mellan två fraktioner. Genom att ta bort kvantitativa värden (tal) från ekvationerna undvek han fällan att behöva kalla en irrationell storhet för ett tal. Eudoxus teori gjorde det möjligt för grekiska matematiker att göra otroliga framsteg inom geometrin, vilket gav dem den nödvändiga logiska grunden för att arbeta med ojämförliga kvantiteter. Den tionde boken av Euklids element ägnas åt klassificeringen av irrationella kvantiteter.

Medeltiden

Medeltiden präglades av antagandet av begrepp som noll, negativa tal, heltal och bråk, först av indiska och sedan av kinesiska matematiker. Senare anslöt sig arabiska matematiker och var de första att betrakta negativa tal som algebraiska objekt (tillsammans med positiva tal), vilket gjorde det möjligt att utveckla den disciplin som nu kallas algebra.

Arabiska matematiker kombinerade de antika grekiska begreppen "antal" och "magnitude" till en enda, mer allmän idé om reella tal. De var kritiska till Euklids idéer om relationer, däremot utvecklade de en teori om relationer av godtyckliga storheter och utvidgade begreppet tal till relationer av kontinuerliga kvantiteter. I sin kommentar till Euklids bok 10 element utforskade och klassificerade den persiske matematikern Al Makhani (ca 800 e.Kr.) kvadratiska irrationella tal (formens tal) och de mer allmänna kubiska irrationella talen. Han definierade rationella och irrationella storheter, som han kallade irrationella tal. Han arbetade lätt med dessa föremål, men talade om dem som separata föremål, till exempel:

I motsats till Euklids koncept att kvantiteter i första hand är linjesegment, ansåg Al Makhani heltal och bråk vara rationella storheter och kvadrat- och kubrötter som irrationella. Han introducerade också det aritmetiska tillvägagångssättet för uppsättningen irrationella tal, eftersom det var han som visade irrationaliteten hos följande kvantiteter:

Den egyptiske matematikern Abu Kamil (c. 850 CE - c. 930 CE) var den första som ansåg det acceptabelt att känna igen irrationella tal som lösningar till andragradsekvationer eller som koefficienter i ekvationer - vanligtvis i kvadratisk eller kubisk form rötter, såväl som rötter av fjärde graden. På 900-talet producerade den irakiske matematikern Al Hashimi allmänna bevis (snarare än visuella geometriska demonstrationer) av irrationaliteten hos produkten, kvoten och resultaten av andra matematiska transformationer över irrationella och rationella tal. Al Khazin (900 AD - 971 AD) ger följande definition av rationell och irrationell kvantitet:

Många av dessa idéer antogs senare av europeiska matematiker efter översättningen av arabiska texter till latin på 1100-talet. Al Hassar, en arabisk matematiker från Maghreb som specialiserat sig på islamiska arvslagar, introducerade modern symbolisk matematisk notation för bråk på 1100-talet, dividerad med täljaren och nämnaren med en horisontell stapel. Samma notation dök sedan upp i Fibonaccis verk på 1200-talet. Under XIV-XVI århundradena. Madhava från Sangamagrama och representanter för Kerala School of Astronomy and Mathematics undersökte oändliga serier som konvergerade till vissa irrationella tal, såsom π, och visade också irrationaliteten hos vissa trigonometriska funktioner. Jestadeva presenterade dessa resultat i boken Yuktibhaza. (bevisar samtidigt existensen av transcendentala tal), och omprövar därigenom Euklids arbete med klassificeringen av irrationella tal. Verk om detta ämne publicerades 1872

Fortsatta bråk, nära besläktade med irrationella tal (en fortsatt bråkdel som representerar ett givet tal är oändlig om och endast om talet är irrationellt), utforskades först av Cataldi 1613, och uppmärksammades sedan igen i Eulers arbete och i tidigt 1800-tal - i Lagranges verk. Dirichlet gjorde också betydande bidrag till utvecklingen av teorin om fortsatta fraktioner. År 1761 använde Lambert fortsatta bråk för att visa det π (\displaystyle \pi )är inte ett rationellt tal, och även det e x (\displaystyle e^(x)) Och tg ⁡ x (\displaystyle \operatörsnamn (tg) x)är irrationella för alla rationella som inte är noll x (\displaystyle x). Även om Lamberts bevis kan kallas ofullständigt anses det i allmänhet vara ganska rigoröst, särskilt med tanke på tiden det skrevs. Legendre 1794, efter att ha introducerat Bessel-Clifford-funktionen, visade det π 2 (\displaystyle \pi ^(2)) irrationell, var kommer irrationalitet ifrån? π (\displaystyle \pi ) följer trivialt (ett rationellt tal i kvadrat skulle ge en rationell).

Existensen av transcendentala tal bevisades av Liouville 1844-1851. Senare visade Georg Cantor (1873) deras existens med en annan metod och hävdade att varje intervall i den reella serien innehåller ett oändligt antal transcendentala tal. Charles Hermite bevisade det 1873 e transcendental, och Ferdinand Lindemann 1882, baserat på detta resultat, visade transcendens π (\displaystyle \pi ) Litteratur

Uppsättningen av irrationella tal betecknas vanligtvis med stor bokstav I (\displaystyle \mathbb (I) ) i djärv stil utan skuggning. Således: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), det vill säga mängden irrationella tal är skillnaden mellan mängderna reella och rationella tal.

Förekomsten av irrationella tal, närmare bestämt segment som inte är jämbördiga med ett segment av enhetslängd, var redan känt för forntida matematiker: de visste till exempel inkommensurabiliteten av diagonalen och sidan av en kvadrat, vilket är ekvivalent med irrationaliteten hos numret.

Encyklopedisk YouTube

• 1 / 5

  Irrationella är:

  Exempel på bevis på irrationalitet

  Roten av 2

  Låt oss anta motsatsen: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) rationell, det vill säga representerad som en bråkdel m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), Var m (\displaystyle m)är ett heltal, och n (\displaystyle n)- naturligt nummer .

  Låt oss kvadrera den förmodade jämlikheten:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Högerpil 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Högerpil m^(2)=2n^(2)).

  Berättelse

  Antiken

  Begreppet irrationella tal antogs implicit av indiska matematiker på 700-talet f.Kr., när Manava (ca 750 f.Kr. - ca. 690 f.Kr.) kom på att kvadratrötterna av vissa naturliga tal, som 2 och 61, inte kan uttryckas explicit. [ ] .

  Det första beviset på existensen av irrationella tal tillskrivs vanligtvis Hippasus från Metapontus (ca 500 f.Kr.), en Pythagoras. Vid tiden för pytagoreerna trodde man att det fanns en enda längdenhet, tillräckligt liten och odelbar, som inkluderade ett helt antal gånger i varje segment [ ] .

  Det finns inga exakta uppgifter om vilket nummer som visades vara irrationellt av Hippasus. Enligt legenden hittade han det genom att studera längderna på sidorna av pentagrammet. Därför är det rimligt att anta att detta var det gyllene snittet [ ] .

  Grekiska matematiker kallade detta förhållande av inkommensurable storheter alogos(obeskrivligt), men enligt legenderna ägnade de inte vederbörlig respekt för Hippasus. Det finns en legend om att Hippasus gjorde upptäckten när han var på en sjöresa och kastades överbord av andra pythagoraner "för att ha skapat ett element i universum som förnekar läran att alla enheter i universum kan reduceras till heltal och deras förhållanden." Upptäckten av Hippasus utgjorde ett allvarligt problem för Pythagoras matematik och förstörde det underliggande antagandet att siffror och geometriska objekt var ett och oskiljaktigt.