Hem › Däck och hjul › Exempel på irrationella tal. Rationella och irrationella tal: beskrivning och hur de skiljer sig åt? Siffror är inte irrationella

Exempel på irrationella tal. Rationella och irrationella tal: beskrivning och hur de skiljer sig åt? Siffror är inte irrationella

Irrationellt tal- Det här riktigt nummer, som inte är rationell, det vill säga kan inte representeras som en bråkdel, där är heltal, . Ett irrationellt tal kan representeras som ett oändligt icke-periodiskt decimaltal.

Uppsättningen av irrationella siffror betecknas vanligtvis med en stor latinsk bokstav i fet stil utan skuggning. Alltså: , dvs. det finns många irrationella tal skillnaden mellan mängderna av reella och rationella tal.

Om förekomsten av irrationella tal, mer exakt segment som inte är kommensurerade med ett segment av enhetslängd var redan kända för de gamla matematikerna: de visste till exempel inkommensurabiliteten av diagonalen och sidan av kvadraten, vilket är ekvivalent med numrets irrationalitet.

Egenskaper

Vilket reellt tal som helst kan skrivas som ett oändligt decimalbråk, medan irrationella tal och endast de skrivs som icke-periodiska oändliga decimalbråk.
Irrationella tal definierar Dedekind-snitt i mängden rationella tal som inte har ett största antal i underklassen och inte har ett minsta tal i överklassen.
Varje reellt transcendentalt tal är irrationellt.
Varje irrationellt tal är antingen algebraiskt eller transcendentalt.
Mängden irrationella tal är tät överallt på tallinjen: mellan två valfria tal finns ett irrationellt tal.
Ordningen på mängden irrationella tal är isomorf med ordningen på uppsättningen av reella transcendentala tal.
Uppsättningen av irrationella tal är oräknelig och är en uppsättning av den andra kategorin.

Exempel

Irrationella siffror
- ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

Irrationella är:

Exempel på bevis på irrationalitet

Roten av 2

Låt oss anta motsatsen: det är rationellt, det vill säga det representeras i form av en irreducerbar bråkdel, där är ett heltal och är ett naturligt tal. Låt oss kvadrera den förmodade jämlikheten:

Av detta följer att även är jämnt och . Låt det vara där helheten är. Sedan

Därför betyder även jämn och . Vi fann att och är jämna, vilket motsäger fraktionens irreducerbarhet. Detta betyder att det ursprungliga antagandet var felaktigt, och det är ett irrationellt tal.

Binär logaritm för talet 3

Låt oss anta motsatsen: det är rationellt, det vill säga det representeras som ett bråk, där och är heltal. Eftersom , och kan väljas att vara positiv. Sedan

Men jämnt och udda. Vi får en motsägelse.

e

Berättelse

Begreppet irrationella tal antogs implicit av indiska matematiker på 700-talet f.Kr., när Manava (ca 750 f.Kr. - ca. 690 f.Kr.) kom på att kvadratrötterna av vissa naturliga tal, som 2 och 61, inte kan uttryckas explicit. .

Det första beviset på existensen av irrationella tal tillskrivs vanligtvis Hippasus från Metapontus (ca 500 f.Kr.), en pytagorean som fann detta bevis genom att studera längderna på sidorna av pentagrammet. Vid tiden för pytagoreerna trodde man att det fanns en enda längdenhet, tillräckligt liten och odelbar, som gick in i vilket segment som helst ett helt antal gånger. Hippasus hävdade dock att det inte finns någon enskild längdenhet, eftersom antagandet om dess existens leder till en motsägelse. Han visade att om hypotenusan av en likbent rätvinklig triangel innehåller ett heltal av enhetssegment, måste detta tal vara både jämnt och udda. Beviset såg ut så här:

Förhållandet mellan hypotenusans längd och längden på benet i en likbent rätvinklig triangel kan uttryckas som a:b, Var a Och b väljas som minsta möjliga.
Enligt Pythagoras sats: a² = 2 b².
Därför att a- även, a måste vara jämnt (eftersom kvadraten på ett udda tal skulle vara udda).
Eftersom den a:b oreducerbar b måste vara udda.
Därför att a till och med, betecknar vi a = 2y.
Sedan a² = 4 y² = 2 b².
b² = 2 y² alltså b- även då bäven.
Det har dock bevisats b udda. Motsägelse.

Grekiska matematiker kallade detta förhållande av inkommensurable storheter alogos(obeskrivligt), men enligt legenderna ägnade de inte vederbörlig respekt för Hippasus. Det finns en legend om att Hippasus gjorde upptäckten när han var på en sjöresa och kastades överbord av andra pythagoraner "för att ha skapat ett element i universum som förnekar läran att alla enheter i universum kan reduceras till heltal och deras förhållanden." Upptäckten av Hippasus utgjorde ett allvarligt problem för Pythagoras matematik och förstörde det underliggande antagandet att siffror och geometriska objekt var ett och oskiljaktigt.

Uppsättningen av irrationella tal betecknas vanligtvis med stor bokstav I (\displaystyle \mathbb (I) ) i djärv stil utan skuggning. Således: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), det vill säga mängden irrationella tal är skillnaden mellan mängderna reella och rationella tal.

Förekomsten av irrationella tal, närmare bestämt segment som inte är jämbördiga med ett segment av enhetslängd, var redan känt för forntida matematiker: de visste till exempel inkommensurabiliteten av diagonalen och sidan av en kvadrat, vilket är ekvivalent med irrationaliteten hos numret.

Encyklopedisk YouTube

1 / 5
Irrationella är:

Exempel på bevis på irrationalitet

Roten av 2

Låt oss anta motsatsen: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) rationell, det vill säga representerad som en bråkdel m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), Var m (\displaystyle m)är ett heltal, och n (\displaystyle n)- naturligt nummer .
Låt oss kvadrera den förmodade jämlikheten:
2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Högerpil 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Högerpil m^(2)=2n^(2)).
Berättelse

Antiken

Begreppet irrationella tal antogs implicit av indiska matematiker på 700-talet f.Kr., när Manava (ca 750 f.Kr. - ca. 690 f.Kr.) kom på att kvadratrötterna av vissa naturliga tal, som 2 och 61, inte kan uttryckas explicit. [ ] .
Det första beviset på existensen av irrationella tal tillskrivs vanligtvis Hippasus från Metapontus (ca 500 f.Kr.), en Pythagoras. Vid tiden för pytagoreerna trodde man att det fanns en enda längdenhet, tillräckligt liten och odelbar, som inkluderade ett helt antal gånger i varje segment [ ] .
Det finns inga exakta uppgifter om vilket nummer som visades vara irrationellt av Hippasus. Enligt legenden hittade han det genom att studera längderna på sidorna av pentagrammet. Därför är det rimligt att anta att detta var det gyllene snittet [ ] .
Grekiska matematiker kallade detta förhållande av inkommensurable storheter alogos(obeskrivligt), men enligt legenderna ägnade de inte vederbörlig respekt för Hippasus. Det finns en legend om att Hippasus gjorde upptäckten när han var på en sjöresa och kastades överbord av andra pythagoraner "för att ha skapat ett element i universum som förnekar läran att alla enheter i universum kan reduceras till heltal och deras förhållanden." Upptäckten av Hippasus utgjorde ett allvarligt problem för Pythagoras matematik och förstörde det underliggande antagandet att siffror och geometriska objekt var ett och oskiljaktigt.

Och de härledde sina rötter från det latinska ordet "ratio", som betyder "förnuft". Baserat på den bokstavliga översättningen:
- Ett rationellt tal är ett "rimligt tal".
- Ett irrationellt tal är följaktligen ett "orimligt tal".
Allmänt koncept för ett rationellt tal

Ett rationellt tal är ett tal som kan skrivas som:
1. En vanlig positiv bråkdel.
2. Negativ vanlig bråkdel.
3. Som ett tal noll (0).
Med andra ord gäller följande definitioner för ett rationellt tal:
- Varje naturligt tal är i sig rationellt, eftersom vilket naturligt tal som helst kan representeras som ett vanligt bråk.
- Vilket heltal som helst, inklusive talet noll, eftersom vilket heltal som helst kan skrivas antingen som ett positivt ordinärt bråktal, som ett negativt ordinärt bråktal eller som talet noll.
- Varje vanligt bråk, och det spelar ingen roll om det är positivt eller negativt, närmar sig också direkt definitionen av ett rationellt tal.
- Definitionen kan också inkludera ett blandat tal, ett ändligt decimaltal eller ett oändligt periodiskt bråktal.
Exempel på rationella tal

Låt oss titta på exempel på rationella tal:
- Naturliga tal - "4", "202", "200".
- Heltal - "-36", "0", "42".
- Vanliga bråk.
Från ovanstående exempel är det ganska uppenbart att rationella tal kan vara både positiva och negativa. Naturligtvis hör talet 0 (noll), som i sin tur också är ett rationellt tal, samtidigt inte till kategorin ett positivt eller negativt tal.

Därför skulle jag vilja påminna det allmänna utbildningsprogrammet med följande definition: "Rationella tal" är de tal som kan skrivas som bråk x/y, där x (täljare) är ett heltal och y (nämnare) är ett naturligt nummer.

Allmänt begrepp och definition av ett irrationellt tal

Förutom "rationella tal" känner vi också till de så kallade "irrationella talen." Låt oss kort försöka definiera dessa siffror.

Även forntida matematiker, som ville beräkna diagonalen på en kvadrat längs dess sidor, lärde sig om förekomsten av ett irrationellt tal.
Utifrån definitionen av rationella tal kan man bygga en logisk kedja och ge en definition av ett irrationellt tal.
Så i huvudsak är de reella tal som inte är rationella helt enkelt irrationella tal.
Decimalbråk, som uttrycker irrationella tal, är inte periodiska och oändliga.

Exempel på ett irrationellt tal

För tydlighetens skull, låt oss överväga ett litet exempel på ett irrationellt tal. Som vi redan förstått kallas oändliga decimala icke-periodiska bråk irrationella, till exempel:
- Siffran "-5.020020002... (det är tydligt att tvåorna är åtskilda av en sekvens av en, två, tre, etc. nollor)
- Siffran ”7.040044000444... (här är det tydligt att antalet fyror och antalet nollor ökar med en varje gång i en kedja).
- Alla känner till talet Pi (3.1415...). Ja, ja – det är också irrationellt.
I allmänhet är alla reella tal både rationella och irrationella. Enkelt uttryckt kan ett irrationellt tal inte representeras som en vanlig bråkdel x/y.

Allmän slutsats och kort jämförelse mellan siffror

Vi tittade på varje nummer separat, men skillnaden mellan ett rationellt tal och ett irrationellt tal kvarstår:
1. Ett irrationellt tal uppstår när man extraherar kvadratroten, när man dividerar en cirkel med dess diameter, etc.
2. Ett rationellt tal representerar ett vanligt bråktal.
Låt oss avsluta vår artikel med några definitioner:
- En aritmetisk operation som utförs på ett rationellt tal, annat än division med 0 (noll), kommer i slutändan att leda till ett rationellt tal.
- Det slutliga resultatet, när man utför en aritmetisk operation på ett irrationellt tal, kan leda till både ett rationellt och ett irrationellt värde.
- Om båda talen deltar i en aritmetisk operation (förutom division eller multiplikation med noll), så blir resultatet ett irrationellt tal.
Exempel:
\(4\) är ett rationellt tal, eftersom det kan skrivas som \(\frac(4)(1)\) ;
\(0,0157304\) är också rationell, eftersom den kan skrivas i formen \(\frac(157304)(10000000)\) ;
\(0,333(3)...\) - och detta är ett rationellt tal: kan representeras som \(\frac(1)(3)\) ;
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) är rationell, eftersom den kan representeras som \(\frac(1)(2)\) . Vi kan faktiskt utföra en kedja av transformationer \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)

Irrationellt talär ett tal som inte kan skrivas som ett bråk med en heltalstäljare och nämnare.

Det är omöjligt för det är det ändlös bråk, och även icke-periodiska. Därför finns det inga heltal som, när de divideras med varandra, skulle ge ett irrationellt tal.

Exempel:
\(\sqrt(2)≈1.414213562...\) är ett irrationellt tal;
\(π≈3.1415926... \) är ett irrationellt tal;
\(\log_(2)(5)≈2.321928...\) är ett irrationellt tal.

Exempel (Uppdrag från OGE). Betydelsen av vilket av uttrycken är ett rationellt tal?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

Lösning:

1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) – roten till \(14\) kan inte tas, vilket betyder Det är också omöjligt att representera ett tal som ett bråk med heltal, därför är talet irrationellt.

2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) – det finns inga rötter kvar, talet kan enkelt representeras som ett bråk, till exempel \(\frac(-5)(1)\), vilket betyder att det är rationellt.

3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11)\) – roten kan inte extraheras - talet är irrationellt.

4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) är också irrationellt.

Definition av ett irrationellt tal

Irrationella tal är de tal som i decimalnotation representerar oändliga icke-periodiska decimalbråk.

Så, till exempel, tal som erhålls genom att ta kvadratroten av naturliga tal är irrationella och är inte kvadrater av naturliga tal. Men inte alla irrationella tal erhålls genom att ta kvadratrötter, eftersom talet pi som erhålls genom division också är irrationellt, och det är osannolikt att du får det genom att försöka extrahera kvadratroten ur ett naturligt tal.

Egenskaper för irrationella tal

Till skillnad från tal skrivna som oändliga decimaler, skrivs endast irrationella tal som icke-periodiska oändliga decimaler.
Summan av två icke-negativa irrationella tal kan sluta bli ett rationellt tal.
Irrationella tal definierar Dedekinds snitt i uppsättningen av rationella tal, i den lägre klassen av vilka det inte finns något största antal, och i överklassen finns det ingen mindre.
Varje reellt transcendentalt tal är irrationellt.
Alla irrationella tal är antingen algebraiska eller transcendentala.
Uppsättningen av irrationella tal på en linje är tätt placerade, och mellan två av dess tal finns det säkert ett irrationellt tal.
Uppsättningen av irrationella tal är oändlig, oräknelig och är en uppsättning av den andra kategorin.
När du utför någon aritmetisk operation på rationella tal, förutom division med 0, blir resultatet ett rationellt tal.
När man lägger till ett rationellt tal till ett irrationellt tal blir resultatet alltid ett irrationellt tal.
När vi lägger till irrationella tal kan vi sluta med ett rationellt tal.
Uppsättningen av irrationella tal är inte jämn.

Siffror är inte irrationella

Ibland är det ganska svårt att svara på frågan om ett tal är irrationellt, särskilt i de fall då talet är i form av ett decimalbråk eller i form av ett numeriskt uttryck, rot eller logaritm.
Därför kommer det inte att vara överflödigt att veta vilka tal som inte är irrationella. Om vi följer definitionen av irrationella tal, så vet vi redan att rationella tal inte kan vara irrationella.
Irrationella tal är inte:
Först alla naturliga tal;
För det andra, heltal;
För det tredje, vanliga bråk;
För det fjärde, olika blandade nummer;
För det femte är dessa oändliga periodiska decimalbråk.
Utöver allt ovanstående kan ett irrationellt tal inte vara någon kombination av rationella tal som utförs av tecknen för aritmetiska operationer, såsom +, -, , :, eftersom resultatet av två rationella tal i detta fall också blir ett rationellt tal.
Låt oss nu se vilka siffror som är irrationella:

Känner du till att det finns en fanklubb där fans av detta mystiska matematiska fenomen letar efter mer och mer information om Pi och försöker reda ut dess mysterium? Varje person som kan ett visst antal Pi-tal utantill efter decimalkomma kan bli medlem i denna klubb;
Visste du att i Tyskland, under skydd av UNESCO, finns slottet Castadel Monte, tack vare proportionerna som du kan beräkna Pi. Kung Fredrik II tillägnade hela palatset till detta nummer.
Det visar sig att de försökte använda siffran Pi i byggandet av Babels torn. Men tyvärr ledde detta till projektets kollaps, eftersom den exakta beräkningen av Pi-värdet vid den tiden inte studerades tillräckligt.
Sångerskan Kate Bush spelade på sin nya skiva in en låt som heter "Pi", där etthundratjugofyra nummer från den berömda nummerserien 3, 141... hördes.