Arean av en triangelformel baserad på två sidor. Arean av en triangel
För att bestämma arean av en triangel kan du använda olika formler. Av alla metoder är det enklaste och mest använda att multiplicera höjden med basens längd och sedan dividera resultatet med två. Denna metod är dock långt ifrån den enda. Nedan kan du läsa hur du hittar arean av en triangel med hjälp av olika formler.
Separat kommer vi att titta på sätt att beräkna arean av specifika typer av trianglar - rektangulära, likbenta och liksidiga. Vi åtföljer varje formel med en kort förklaring som hjälper dig att förstå dess väsen.
Universella metoder för att hitta arean av en triangel
Formlerna nedan använder speciell notation. Vi kommer att dechiffrera var och en av dem:
- a, b, c – längderna på de tre sidorna av figuren vi överväger;
- r är radien på cirkeln som kan skrivas in i vår triangel;
- R är radien för cirkeln som kan beskrivas runt den;
- α är storleken på vinkeln som bildas av sidorna b och c;
- β är storleken på vinkeln mellan a och c;
- γ är storleken på vinkeln som bildas av sidorna a och b;
- h är höjden på vår triangel, sänkt från vinkeln α till sidan a;
- p – halva summan av sidorna a, b och c.
Det är logiskt klart varför du kan hitta arean av en triangel på detta sätt. Triangeln kan enkelt kompletteras till ett parallellogram, där ena sidan av triangeln kommer att fungera som en diagonal. Arean av ett parallellogram hittas genom att multiplicera längden på en av dess sidor med värdet på höjden som dras till den. Diagonalen delar detta villkorade parallellogram i 2 identiska trianglar. Därför är det ganska uppenbart att arean av vår ursprungliga triangel måste vara lika med halva arean av detta extra parallellogram.
S=½ a b sin γ
Enligt denna formel hittas arean av en triangel genom att multiplicera längderna på dess två sidor, det vill säga a och b, med sinus för vinkeln som bildas av dem. Denna formel är logiskt härledd från den föregående. Om vi sänker höjden från vinkeln β till sidan b, då, enligt egenskaperna hos en rätvinklig triangel, när vi multiplicerar längden av sidan a med sinus för vinkeln γ, får vi triangelns höjd, det vill säga h .
Arean av figuren i fråga hittas genom att multiplicera halva radien av cirkeln som kan skrivas in i den med dess omkrets. Med andra ord finner vi produkten av halvperimetern och radien för den nämnda cirkeln.
S= a b c/4R
Enligt denna formel kan värdet vi behöver hittas genom att dividera produkten av figurens sidor med 4 radier av cirkeln som beskrivs runt den.
Dessa formler är universella, eftersom de gör det möjligt att bestämma arean för vilken triangel som helst (skala, likbent, liksidig, rektangulär). Detta kan göras med mer komplexa beräkningar, som vi inte kommer att uppehålla oss vid i detalj.
Områden av trianglar med specifika egenskaper
Hur hittar man arean av en rätvinklig triangel? Det speciella med denna figur är att dess två sidor samtidigt är dess höjder. Om a och b är ben och c blir hypotenusan, så hittar vi arean så här:
Hur hittar man arean av en likbent triangel? Den har två sidor med längden a och en sida med längden b. Följaktligen kan dess area bestämmas genom att dividera produkten av kvadraten på sidan a med 2 med sinus för vinkeln γ.
Hur hittar man arean av en liksidig triangel? I den är längden på alla sidor lika med a, och storleken på alla vinklar är α. Dess höjd är lika med halva produkten av längden på sida a och kvadratroten ur 3. För att hitta arean av en vanlig triangel måste du multiplicera kvadraten på sida a med kvadratroten ur 3 och dividera med 4.
Ibland i livet finns det situationer då man måste fördjupa sig i minnet på jakt efter sedan länge bortglömda skolkunskaper. Till exempel måste du bestämma arean för en triangelformad tomt, eller så är det dags för ytterligare en renovering i en lägenhet eller ett privat hus, och du måste beräkna hur mycket material som kommer att behövas för en yta med en triangulär form. Det fanns en tid när du kunde lösa ett sådant problem på ett par minuter, men nu försöker du desperat komma ihåg hur man bestämmer arean av en triangel?
Oroa dig inte för det! När allt kommer omkring är det ganska normalt när en persons hjärna bestämmer sig för att överföra sedan länge oanvänd kunskap någonstans till ett avlägset hörn, från vilket det ibland inte är så lätt att extrahera det. För att du inte ska behöva kämpa med att leta efter glömda skolkunskaper för att lösa ett sådant problem, innehåller den här artikeln olika metoder som gör det enkelt att hitta det önskade området i en triangel.
Det är välkänt att en triangel är en typ av polygon som är begränsad till minsta möjliga antal sidor. I princip kan vilken polygon som helst delas upp i flera trianglar genom att förbinda dess hörn med segment som inte skär dess sidor. Därför, genom att känna till triangeln, kan du beräkna arean av nästan vilken figur som helst.
Bland alla möjliga trianglar som förekommer i livet kan följande speciella typer urskiljas: och rektangulära.
Det enklaste sättet att beräkna arean av en triangel är när en av dess vinklar är rät, det vill säga i fallet med en rätvinklig triangel. Det är lätt att se att det är en halv rektangel. Därför är dess yta lika med hälften av produkten av de sidor som bildar en rät vinkel med varandra.
Om vi vet höjden på en triangel, sänkt från en av dess hörn till den motsatta sidan, och längden på denna sida, som kallas basen, så beräknas arean som hälften av produkten av höjden och basen. Detta är skrivet med följande formel:
S = 1/2*b*h, i vilken
S är det nödvändiga området av triangeln;
b, h - respektive triangelns höjd och bas.
Det är så lätt att beräkna arean av en likbent triangel eftersom höjden delar den motsatta sidan och kan enkelt mätas. Om området bestäms är det lämpligt att ta längden på en av sidorna som bildar en rät vinkel som höjden.
Allt detta är förstås bra, men hur avgör man om en av vinklarna i en triangel är rät eller inte? Om storleken på vår figur är liten, kan vi använda en konstruktionsvinkel, en rittriangel, ett vykort eller ett annat föremål med en rektangulär form.
Men tänk om vi har en trekantig tomt? I detta fall, fortsätt enligt följande: räkna från toppen av den förmodade räta vinkeln på ena sidan en avståndsmultipel av 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), och på andra sidan mät en avståndsmultipel av 4 i samma proportion (40 cm, 160 cm, 4 m). Nu måste du mäta avståndet mellan ändpunkterna för dessa två segment. Om resultatet är en multipel av 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), så kan vi säga att vinkeln är rätt.
Om längden på var och en av de tre sidorna av vår figur är känd, kan triangelns area bestämmas med Herons formel. För att det ska få en enklare form används ett nytt värde, som kallas semi-perimeter. Detta är summan av alla sidor i vår triangel, delat på hälften. Efter att halvomkretsen har beräknats kan du börja bestämma arean med formeln:
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), där
sqrt - kvadratrot;
p - halvperimetervärde (p = (a+b+c)/2);
a, b, c - kanter (sidor) av triangeln.
Men vad händer om triangeln har en oregelbunden form? Det finns två möjliga sätt här. Den första av dem är att försöka dela upp en sådan siffra i två räta trianglar, vars summa arean beräknas separat och läggs sedan till. Eller, om vinkeln mellan två sidor och storleken på dessa sidor är känd, använd formeln:
S = 0,5 * ab * sinC, där
a,b - sidor av triangeln;
c är storleken på vinkeln mellan dessa sidor.
Det senare fallet är sällsynt i praktiken, men ändå är allt möjligt i livet, så ovanstående formel kommer inte att vara överflödig. Lycka till med dina beräkningar!
Som följer:
S = ½ * a * h,
Var:
S – arean av triangeln,
a är längden på dess sida,
h är höjden sänkt till denna sida.
Sidans längd och höjd måste anges i samma måttenheter. I det här fallet kommer arean av triangeln att erhållas i motsvarande " "-enheter.
Exempel.
På ena sidan av en 20 cm lång skalentriangel sänks en vinkelrät från motsatt vertex 10 cm lång.
Arean av triangeln krävs.
Lösning.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).
Om längden på två sidor av en skalentriangel och vinkeln mellan dem är kända, använd formeln:
S = ½ * a * b * sinγ,
där: a, b är längden på två godtyckliga sidor och γ är värdet på vinkeln mellan dem.
I praktiken, till exempel, när man mäter markytan, är användningen av ovanstående formler ibland svår, eftersom det kräver ytterligare konstruktion och mätning av vinklar.
Om du vet längden på alla tre sidorna av en skalentriangel, använd Herons formel:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),
a, b, c – längderna på triangelns sidor,
p – semi-perimeter: p = (a+b+c)/2.
Om radien för cirkeln inskriven i triangeln, förutom längden på alla sidor, är känd, använd följande kompakta formel:
där: r – radien för den inskrivna cirkeln (р – halvperimeter).
För att beräkna arean av en skalentriangel med hjälp av radien på den omslutna cirkeln och längden på dess sidor, använd formeln:
där: R – radien för den omskrivna cirkeln.
Om längden på en av triangelns sidor och värdena på tre vinklar är kända (i princip räcker två - värdet på den tredje beräknas från likheten mellan summan av triangelns tre vinklar - 180º), använd sedan formeln:
S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,
där α är värdet på vinkeln motsatt sidan a;
β, γ – värden för de återstående två vinklarna i triangeln.
En vanlig triangel är en triangel med tre lika sidor. Den har följande egenskaper: alla sidor i en vanlig triangel är lika med varandra och alla vinklar är lika med 60 grader. En vanlig triangel är likbent.
Du kommer behöva
- Kunskaper i geometri.
Instruktioner
Låt en sida av en regelbunden triangel med längden a=7 ges. Genom att känna till sidan av en sådan triangel kan du enkelt beräkna dess yta. För detta används följande: S = (3^(1/2)*a^2)/4. Låt oss ersätta värdet a=7 i den här formeln och få följande: S = (7*7*3^1/2)/4 = 49 * 1,7 / 4 = 20,82. Således fann vi att arean av en liksidig triangel med sidan a=7 är lika med S=20,82.
Om cirkelns radie är given kommer den att se ut så här:
S = 3*3^(1/2)*r^2, där r är radien för den inskrivna cirkeln. Låt radien för den inskrivna cirkeln vara r=4. Låt oss ersätta den med formeln som skrevs tidigare och få följande uttryck: S = 3*1,7*4*4 = 81,6. Det vill säga, om radien för den inskrivna cirkeln är lika med 4, kommer arean av den liksidiga triangeln att vara lika med 81,6.
Med en känd radie av den omskrivna cirkeln ser formeln för arean av en triangel ut så här: S = 3*3^(1/2)*R^2/4, där R är radien för den omskrivna cirkeln . Låt oss anta att R=5, ersätt detta värde i formeln: S = 3*1,7*25/4 = 31,9. Det visar sig att med en radie av den omskrivna cirkeln lika med 5 är arean av triangeln 31,9.
notera
Arean av en triangel är alltid positiv, liksom längden på en sida av en triangel och radierna för de inskrivna och omskrivna cirklarna.
Användbara råd
Radien för de inskrivna och omskrivna cirklarna i en liksidig triangel skiljer sig med en faktor två, om du vet detta kan du bara komma ihåg en formel, till exempel genom radien av den inskrivna cirkeln, och härleda den andra, med att veta detta uttalande.
Om längden på en av sidorna i en triangel och värdena för de intilliggande vinklarna är kända, kan dess area beräknas på flera sätt. Var och en av beräkningsformlerna involverar användning av trigonometriska funktioner, men detta bör inte vara skrämmande - för att beräkna dem räcker det att ha tillgång till Internet, för att inte tala om närvaron av en inbyggd kalkylator i operativsystemet.
Instruktioner
Det första alternativet för att beräkna arean (S) från den kända längden på en av sidorna (A) och värdena för de intilliggande vinklarna (α och β) involverar att beräkna dessa vinklar. Arean i detta fall kommer att vara kvadraten på längden på den kända sidan, dividerad med två gånger cotangenserna för de kända vinklarna: S = A*A/(2*(ctg(α)+ctg(β))). Om t.ex. längden på en känd sida är 15 cm, och de intilliggande vinklarna är 40° och 60°, kommer areaberäkningen att se ut så här: 15*15/(2*(ctg(40)+ctg(60) ))) = 225/(2*(-0,895082918+3,12460562)) = 225/4,4590454 = 50,4592305 kvadratcentimeter.
Det andra alternativet för att beräkna area använder sinus av kända vinklar istället för cotangenter. I den här versionen är arean lika med kvadraten på längden på den kända sidan, multiplicerad med sinusen för var och en av vinklarna och dividerat med dubbelt sinus för summan av dessa vinklar: S = A*A*sin(α) )*sin(p)/(2*sin(a + p)). Till exempel, för samma triangel med en känd sida på 15 cm och angränsande vinklar på 40° och 60°, kommer areaberäkningen att se ut så här: (15*15*sin(40)*sin(60))/( 2* sin(40+60)) = 225*0,74511316*(-0,304810621)/(2*(-0,506365641)) = -51,1016411/-1,01273128 = 50,459230.
Det tredje alternativet för att beräkna arean av en triangel använder vinklarnas tangenter. Arean kommer att vara lika med kvadraten på längden på den kända sidan, multiplicerad med tangenterna för var och en av vinklarna och dividerat med dubbla summan av tangenterna för dessa vinklar: S = A*A*tg(α)*tg (p)/2(tg(a)+tg(p)). Till exempel, för en triangel som användes i de föregående stegen med en sida på 15 cm och intilliggande vinklar på 40° och 60°, kommer beräkningen av arean att se ut så här: (15*15*tg(40)*tg(60) ))/(2*(TG (40)+TG (60)) = (225*(-1.11721493)*0.320040389)/(2*(-1.11721493+0.320040389) = -80.44962777777777777777703030.
Praktiska beräkningar kan göras till exempel med hjälp av Googles sökmotorkalkylator. För att göra detta, ersätt bara numeriska värden i formlerna och skriv in dem i sökfrågefältet.
Tips 4: Hur man hittar arean av en triangel och en rektangel
Triangel och rektangel är de två enklaste plangeometriska figurerna i euklidisk geometri. Inuti omkretsen som bildas av sidorna av dessa polygoner finns det en viss sektion av planet, vars yta kan bestämmas på många sätt. Valet av metod i varje specifikt fall kommer att bero på de kända parametrarna i figurerna.
Arean av en geometrisk figur- en numerisk egenskap hos en geometrisk figur som visar storleken på denna figur (en del av ytan som begränsas av den slutna konturen av denna figur). Storleken på området uttrycks av antalet kvadratenheter som det innehåller.
Formler för triangelarea
- Formel för arean av en triangel vid sida och höjd
Arean av en triangel lika med halva produkten av längden av en sida i en triangel och längden av höjden som dras till denna sida - Formel för arean av en triangel baserad på tre sidor och radien på den omslutna cirkeln
- Formel för arean av en triangel baserad på tre sidor och radien för den inskrivna cirkeln
Arean av en triangelär lika med produkten av triangelns halvomkrets och radien för den inskrivna cirkeln. där S är arean av triangeln,
- längderna på triangelns sidor,
- triangelns höjd,
- vinkeln mellan sidorna och,
- radien för den inskrivna cirkeln,
R - radien för den omskrivna cirkeln,
Formler för kvadratyta
- Formel för arean av en kvadrat vid sida längd
Fyrkantigt område lika med kvadraten på längden på dess sida. - Formel för arean av en kvadrat längs den diagonala längden
Fyrkantigt område lika med halva kvadraten av längden på dess diagonal.S= 1 2 2 där S är kvadratens area,
- längden på sidan av kvadraten,
- längden på kvadratens diagonal.
Formel för rektangelyta
- Arean av en rektangel lika med produkten av längderna av dess två intilliggande sidor
där S är arean av rektangeln,
- längderna på rektangelns sidor.
Parallelogram area formler
- Formel för arean av ett parallellogram baserat på sidolängd och höjd
Arean av ett parallellogram - Formel för arean av ett parallellogram baserat på två sidor och vinkeln mellan dem
Arean av ett parallellogramär lika med produkten av längderna på dess sidor multiplicerat med sinus av vinkeln mellan dem.a b sin α
där S är parallellogrammets area,
- längderna på parallellogrammets sidor,
- längden på parallellogramhöjden,
- vinkeln mellan parallellogrammets sidor.
Formler för området av en romb
- Formel för arean av en romb baserad på sidolängd och höjd
Område av en romb lika med produkten av längden på dess sida och längden på höjden sänkt till denna sida. - Formel för arean av en romb baserad på sidolängd och vinkel
Område av en rombär lika med produkten av kvadraten av längden på dess sida och sinus av vinkeln mellan rombens sidor. - Formel för arean av en romb baserad på längden på dess diagonaler
Område av en romb lika med hälften av produkten av längderna på dess diagonaler. där S är arean av romben,
- längden på sidan av romben,
- längden på rombens höjd,
- vinkeln mellan sidorna av romben,
1, 2 - längder av diagonaler.
Trapetsformler
- Herons formel för trapets
Där S är arean av trapetsen,
- längder på trapetsens baser,
- längderna på trapetsens sidor,
Begreppet område
Konceptet med arean för någon geometrisk figur, särskilt en triangel, kommer att förknippas med en figur som en kvadrat. För enhetsarean för en geometrisk figur tar vi arean av en kvadrat vars sida är lika med en. För fullständighetens skull, låt oss påminna om två grundläggande egenskaper för begreppet områden med geometriska figurer.
Egendom 1: Om geometriska figurer är lika, är deras area också lika.
Egendom 2: Vilken figur som helst kan delas upp i flera figurer. Dessutom är arean av den ursprungliga figuren lika med summan av areorna för alla dess ingående figurer.
Låt oss titta på ett exempel.
Exempel 1
Uppenbarligen är en av sidorna i triangeln en diagonal av en rektangel, vars ena sida har en längd på $5$ (eftersom det finns $5$-celler), och den andra är $6$ (eftersom det finns $6$-celler). Därför kommer arean av denna triangel att vara lika med hälften av en sådan rektangel. Arean av rektangeln är
Då är arean av triangeln lika med
Svar: $15$.
Därefter kommer vi att överväga flera metoder för att hitta arean av trianglar, nämligen att använda höjden och basen, med hjälp av Herons formel och arean av en liksidig triangel.
Hur man hittar arean av en triangel med hjälp av dess höjd och bas
Sats 1
Arean av en triangel kan hittas som halva produkten av längden på en sida och höjden till den sidan.
Matematiskt ser det ut så här
$S=\frac(1)(2)αh$
där $a$ är längden på sidan, $h$ är höjden som dras till den.
Bevis.
Betrakta en triangel $ABC$ där $AC=α$. Höjden $BH$ ritas till denna sida, vilket är lika med $h$. Låt oss bygga upp det till kvadraten $AXYC$ som i figur 2.
Arean av rektangeln $AXBH$ är $h\cdot AH$, och arean av rektangeln $HBYC$ är $h\cdot HC$. Sedan
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Därför är den erforderliga arean av triangeln, av egenskap 2, lika med
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Teoremet har bevisats.
Exempel 2
Hitta arean av triangeln i figuren nedan om cellen har en area lika med ett
Basen på denna triangel är lika med $9$ (eftersom $9$ är $9$ kvadrater). Höjden är också $9$. Sedan, genom sats 1, får vi
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$
Svar: $40.5$.
Herons formel
Sats 2
Om vi får tre sidor av en triangel $α$, $β$ och $γ$, så kan dess area hittas enligt följande
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
här betyder $ρ$ halvomkretsen av denna triangel.
Bevis.
Tänk på följande figur:
Genom Pythagoras sats får vi från triangeln $ABH$
Från triangeln $CBH$, enligt Pythagoras sats, har vi
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Från dessa två relationer får vi jämställdheten
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Eftersom $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, då $α+β+γ=2ρ$, vilket betyder
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Genom sats 1 får vi
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
