Huvudelementen i triangeln abc. Vad är halveringslinjen för en triangel: egenskaper relaterade till bildförhållandet

Bland de många ämnena i gymnasieskolan finns som "geometri". Man tror traditionellt att grundarna av denna systematiska vetenskap är grekerna. Idag kallas grekisk geometri elementär, eftersom det var hon som började studien av de enklaste formerna: plan, linjer och trianglar. Vi kommer att fokusera på det senare, eller snarare på bisektorn av denna figur. För dem som redan har glömt, är bisektrisen av en triangel ett segment av bisektrisen av en av triangelns vinklar, som delar den på mitten och förbinder vertexet med en punkt på motsatt sida.

Halslinjen i en triangel har ett antal egenskaper som du behöver känna till när du löser vissa problem:

• En vinkels bisektrik är platsen för punkter som är lika långt från de sidor som gränsar till vinkeln.
• Bisektrisen i en triangel delar upp den motsatta sidan av vinkeln i segment som är proportionella mot de intilliggande sidorna. Till exempel, given triangel MKB, där en bisektris framträder från vinkeln K, som förbinder denna vinkels spets med punkt A på motsatt sida av MB. Efter att ha analyserat denna egenskap och vår triangel har vi MA/AB=MK/KB.
• Punkten där halvledarna för alla tre vinklarna i en triangel skär är mitten av en cirkel som är inskriven i samma triangel.
• Basen för halveringslinjen för en yttre och två inre vinklar är på samma linje, förutsatt att bisektrisen för den yttre vinkeln inte är parallell med den motsatta sidan av triangeln.
• Om två bisektorer av en så detta

Det bör noteras att om tre bisektorer ges, är det omöjligt att bygga en triangel med hjälp av dem, även med hjälp av en kompass.

Mycket ofta, när man löser problem, är bisektrisen av en triangel okänd, men det är nödvändigt att bestämma dess längd. För att lösa ett sådant problem är det nödvändigt att känna till vinkeln som delas av bisekturen i hälften och sidorna intill denna vinkel. I detta fall definieras den önskade längden som förhållandet mellan den dubbla produkten av sidorna som gränsar till hörnet och cosinus för vinkeln delad på hälften till summan av sidorna intill hörnet. Till exempel, givet samma triangel MKB. Bisektrisen lämnar vinkeln K och skär den motsatta sidan av MB i punkt A. Vinkeln från vilken bisektrisen lämnar betecknas med y. Låt oss nu skriva ner allt som sägs i ord i form av en formel: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Om värdet på vinkeln från vilken triangelns bisektur kommer ut är okänt, men alla dess sidor är kända, så för att beräkna längden på bisekturen kommer vi att använda en extra variabel, som vi kallar halvperimetern och betecknar med bokstaven P: P=1/2*(MK+KB+MB). Efter det kommer vi att göra några ändringar i den föregående formeln, enligt vilken längden på bisekturen bestämdes, nämligen i täljaren för bråket sätter vi två gånger produkten av längderna på sidorna intill hörnet med halvperimetern och kvoten, där längden på den tredje sidan subtraheras från halvperimetern. Vi lämnar nämnaren oförändrad. I form av en formel kommer det att se ut så här: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Bisektrisen i en likbent triangel har tillsammans med gemensamma egenskaper flera egna. Låt oss komma ihåg vad en triangel är. I en sådan triangel är två sidor lika, och vinklarna intill basen är lika. Det följer att bisektrarna som går ner till sidorna av en likbent triangel är lika med varandra. Dessutom är bisektrisen sänkt till basen både höjden och medianen på samma gång.

De inre vinklarna i en triangel kallas triangelns bisektrik.
Vinkelhalveringslinjen för en triangel förstås också som segmentet mellan dess spets och skärningspunkten mellan halveringslinjen och triangelns motsatta sida.
Sats 8. De tre halvledarna i en triangel skär varandra i en punkt.
Betrakta faktiskt först punkten Р för skärningspunkten mellan två halvledarlinjer, till exempel AK 1 och VC 2. Denna punkt är lika långt från sidorna AB och AC, eftersom den ligger på bisektrisen av vinkeln A, och är lika långt från sidorna AB och BC, som tillhörande bisektrisen av vinkel B. Därför är den lika långt från sidorna AC och BC och tillhör alltså den tredje bisektrisen SK 3 , det vill säga i punkten P skär alla tre bisektriserna.
Egenskaper för halveringslinjer för inre och yttre vinklar i en triangel
Sats 9. Bisektrisen för den inre vinkeln i en triangel delar den motsatta sidan i delar som är proportionella mot de intilliggande sidorna.
Bevis. Betrakta triangeln ABC och bisektrisen för dess vinkel B. Låt oss dra en rät linje CM genom spetsen C, parallell med bisektrisen BK, tills den skär i punkten M som en förlängning av sidan AB. Eftersom VC är bisektrisen av vinkeln ABC, så är ∠ ABK=∠ KBC. Vidare, ∠ ABK=∠ VMS, som motsvarande vinklar vid parallella linjer, och ∠ KBC=∠ VCM, som de tvärliggande vinklarna vid parallella linjer. Därav ∠ VCM=∠ VMS, och därför är VMS-triangeln likbent, därav BC=VM. Enligt satsen om parallella linjer som skär en vinkels sidor har vi AK:K C=AB:VM=AB:BC, vilket krävdes för att bevisas.
Sats 10 Bisektrisen för den yttre vinkeln B i triangeln ABC har en liknande egenskap: segmenten AL och CL från hörnen A och C till punkten L för skärningspunkten mellan bisektaren och förlängningen av sidan AC är proportionella mot sidorna av triangeln: AL: CL=AB :BC .
Denna egenskap bevisas på samma sätt som den föregående: en rät hjälplinje CM ritas i figuren, parallell med bisektrisen BL . Vinklarna BMC och BCM är lika, vilket betyder att sidorna BM och BC i triangeln BMC är lika. Från vilken vi kommer till slutsatsen AL:CL=AB:BC.

Sats d4. (den första formeln för halveringslinjen): Om i triangeln ABC är segmentet AL halveringslinjen för vinkeln A, då AL? = AB AC - LB LC.

Bevis: Låt M vara skärningspunkten för linjen AL med cirkeln omskriven kring triangeln ABC (Fig. 41). BAM-vinkeln är lika med MAC-vinkeln enligt konvention. Vinklar BMA och BCA är lika som inskrivna vinklar baserat på samma ackord. Därför är trianglarna BAM och LAC lika i två vinklar. Därför AL: AC = AB: AM. Så AL AM = AB AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>AL? = AB AC - AL LM = AB AC - BL LC. Vilket var det som behövde bevisas. Notera: för satsen om segment av korsande ackord i en cirkel och om inskrivna vinklar, se ämnet cirkel och cirkel.

Sats d5. (andra formeln för halveringslinjen): I triangel ABC med sidorna AB=a, AC=b och vinkel A lika med 2? och bisektorn l sker likheten:
l = (2ab / (a+b)) · cos?.

Bevis: Låt ABC vara en given triangel, AL dess bisektrik (fig. 42), a=AB, b=AC, l=AL. Då S ABC = S ALB + S ALC . Därav absin2? = alsin? +blsin?<=>2absin? cos? = (a + b)lsin?<=>l = 2 (ab / (a+b)) cos?. Teoremet har bevisats.

Vad är vinkelhalveringslinjen för en triangel? På denna fråga har vissa människor den beryktade råttan springande runt hörnen och delar hörnet på mitten."Om svaret måste vara "med humor" så kanske det är korrekt. Men ur vetenskaplig synvinkel är svaret på den här frågan borde ha låtit ungefär så här: börja längst upp i hörnet och dela upp det senare i två lika stora delar. I geometrin uppfattas denna figur också som ett segment av bisektrisen tills den skär den motsatta sidan av triangeln. Det här är inte felaktig uppfattning. Och vad mer är känt om vinkelhalveringslinjen, förutom dess definition?

Som alla punkter har den sina egna egenskaper. Den första av dem är snarare inte ens ett tecken, utan en sats som kortfattat kan uttryckas på följande sätt: "Om den motsatta sidan delas i två delar av en bisektrik, kommer deras förhållande att motsvara förhållandet mellan sidorna i en stor triangel."

Den andra egenskapen som den har: skärningspunkten för alla vinklars bisektrar kallas incentrum.

Det tredje tecknet: halvledarna för en inre och två yttre vinklar i en triangel skär i mitten av en av de tre cirklarna inskrivna i den.

Den fjärde egenskapen för vinkelhalveringslinjen i en triangel är att om var och en av dem är lika, så är den sista likbent.

Det femte tecknet berör också en likbent triangel och är den huvudsakliga riktlinjen för dess igenkänning i ritningen med bisektrar, nämligen: i en likbent triangel fungerar den samtidigt som median och höjd.

En vinkelhalveringslinje kan konstrueras med hjälp av en kompass och rätlina:

Den sjätte regeln säger att det är omöjligt att konstruera en triangel med den senare endast med de tillgängliga bisektrarna, precis som det är omöjligt att konstruera en fördubbling av en kub, en kvadrat av en cirkel och en tresektion av en vinkel på detta sätt. Strängt taget är detta alla egenskaperna hos bisektrisen av en triangels vinkel.

Om du noggrant läser föregående stycke, kanske du var intresserad av en fras. "Vad är tresektionen av en vinkel?" - du kommer säkert att fråga. Trisectrix är lite lik bisektrisen, men om du ritar den senare, kommer vinkeln att delas i två lika delar, och när du konstruerar en tresektion, i tre. Naturligtvis är halveringslinjen för en vinkel lättare att komma ihåg, eftersom tresektionen inte lärs ut i skolan. Men för fullständighetens skull kommer jag att berätta om det.

Trisektorn kan som sagt inte byggas bara med en kompass och en linjal, utan den kan skapas med Fujita-reglerna och några kurvor: Pascals sniglar, kvadrater, Nicomedes conchoids, koniska sektioner,

Problem med tresektionen av en vinkel löses helt enkelt med hjälp av nevsis.

Inom geometri finns det en sats om en vinkels trisektorer. Det kallas Morleys (Morley) teorem. Hon säger att skärningspunkterna för trisektorerna i mitten av varje vinkel kommer att vara hörn

En liten svart triangel inuti en stor kommer alltid att vara liksidig. Detta teorem upptäcktes av den brittiske vetenskapsmannen Frank Morley 1904.

Här är hur mycket du kan lära dig om indelningen av en vinkel: trisektorn och bisektrisen av en vinkel kräver alltid detaljerade förklaringar. Men här har många definitioner givits som ännu inte avslöjats av mig: Pascals snigel, Nicomedes conchoid, etc. Utan tvekan kan mer skrivas om dem.

BISECTORS EGENSKAPER

Halvledsegenskap: I en triangel delar bisektrisen den motsatta sidan i segment som är proportionella mot de intilliggande sidorna.

Halvled av en yttre vinkel Halvled av en yttre vinkel av en triangel skär förlängningen av dess sida vid en punkt, varifrån avstånden till ändarna av denna sida är proportionella mot de intilliggande sidorna av triangeln. C B A D

Formler för halvledarlängd:

Formeln för att hitta längden på segmenten i vilka bisektaren delar den motsatta sidan av triangeln

Formeln för att hitta förhållandet mellan längderna av segmenten i vilka bisektrisen delas med halveringspunkten

Uppgift 1. En av halvledarna i en triangel delas med skärningspunkten för halvledarna i förhållandet 3:2, räknat från vertex. Hitta omkretsen av en triangel om längden på sidan av triangeln som denna bisektrik är tecknad till är 12 cm.

Lösning Vi använder formeln för att ta reda på förhållandet mellan längderna på segmenten som bisektrisen delas i med halveringspunkten i triangeln: 30. Svar: P = 30cm.

Uppgift 2. Bisektorerna BD och CE ∆ ABC skär varandra i punkt O. AB=14, BC=6, AC=10. Hitta O D .

Lösning. Låt oss använda formeln för att hitta längden på bisektrisen: Vi har: BD = BD = = Enligt formeln för förhållandet mellan segmenten i vilka bisektrisen delas med skärningspunkten för halveringslinjen: l = . 2 + 1 = 3 delar av allt.

detta är del 1  OD = Svar: OD =

Uppgifter I ∆ ABC ritas halvledarna AL och BK. Hitta längden på segmentet KLif AB \u003d 15, AK \u003d 7.5, BL \u003d 5. I ∆ ABC ritas bisektrisen AD, och genom punkt D är en rät linje parallell med AC och skär AB i punkt E. Ta reda på förhållandet mellan ytorna ∆ ABC och ∆ BDE , om AB = 5, AC = 7. Hitta bisektriserna för de spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel med benen 24 cm och 18 cm. Halvled i en rätvinklig triangel spetsig vinkel delar upp det motsatta benet i segment 4 och 5 cm långa. Bestäm arean av triangeln.

5. I en likbent triangel är basen och sidan 5 respektive 20 cm. Hitta bisektrisen för vinkeln vid triangelns bas. 6. Hitta bisektrisen för den räta vinkeln i en triangel vars ben är lika med a och b. 7. Beräkna längden på bisektrisen av vinkel A i triangeln ABC med sidolängderna a = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm. Hitta förhållandet i vilket halveringslinjerna för de inre vinklarna delar sig vid skärningspunkten.

Svar: Svar: Svar: Svar: Svar: Svar: Svar: Svar: Svar: AP = 6 AP = 10 se KL = CP =

Halvled i en triangel är ett vanligt geometriskt begrepp som inte orsakar stora svårigheter att lära sig. Genom att veta om dess egenskaper kan många problem lösas utan större svårighet. Vad är en bisektrik? Vi kommer att försöka bekanta läsaren med alla hemligheterna i denna matematiska linje.

I kontakt med

Kärnan i konceptet

Namnet på begreppet kom från användningen av ord på latin, vars betydelse är "bi" - två, "sectio" - skär. De pekar specifikt på den geometriska innebörden av begreppet - att bryta upp utrymmet mellan strålarna i två lika delar.

Bisektrisen av en triangel är ett segment som härstammar från toppen av figuren, och den andra änden är placerad på sidan som är belägen mittemot den, samtidigt som utrymmet delas i två identiska delar.

Många lärare för snabb associativ memorering av matematiska begrepp av elever använder olika terminologi, som visas i verser eller associationer. Naturligtvis rekommenderas denna definition för äldre barn.

Hur är denna linje markerad? Här förlitar vi oss på reglerna för att beteckna segment eller strålar. Om vi pratar om beteckningen av bisektrisen av vinkeln för en triangulär figur, skrivs det vanligtvis som ett segment, vars ändar är vertex och skärningspunkten med den motsatta sidan av vertexen. Dessutom är början av beteckningen skriven exakt från toppen.

Uppmärksamhet! Hur många bisektrar har en triangel? Svaret är uppenbart: så många som det finns hörn - tre.

Egenskaper

Förutom definitionen, skolbok man kan inte hitta så många egenskaper hos detta geometriska koncept. Den första egenskapen för bisektrisen i en triangel, som skolbarn introduceras till, är det inskrivna centret, och den andra, direkt relaterad till det, är segmentens proportionalitet. Summan av kardemumman är denna:

1. Oavsett skiljelinje finns det punkter på den som är det på samma avstånd från sidorna, som utgör utrymmet mellan strålarna.
2. För att inskriva en cirkel i en triangulär figur är det nödvändigt att bestämma punkten där dessa segment kommer att skära varandra. Detta är cirkelns mittpunkt.
3. Delar av en triangulär sida geometrisk figur, i vilken dess skiljelinje delar sig, är i proportion till sidorna som bildar vinkeln.

Vi kommer att försöka föra in resten av funktionerna i ett system och presentera ytterligare fakta som hjälper till att bättre förstå fördelarna med detta geometriska koncept.

Längd

En av de typer av uppgifter som orsakar svårigheter för skolbarn är att hitta längden på bisektrisen av en triangels vinkel. Det första alternativet, där dess längd är belägen, innehåller följande data:

• storleken på utrymmet mellan strålarna, från vars topp det givna segmentet kommer fram;
• längderna på sidorna som bildar denna vinkel.

För att lösa problemet formeln används, vars innebörd är att hitta förhållandet mellan den fördubblade produkten av värdena på sidorna som utgör vinkeln, med cosinus av dess halva, till summan av sidorna.

Låt oss titta på ett specifikt exempel. Antag att vi får en figur ABC, där segmentet ritas från vinkel A och skär sidan BC i punkt K. Vi betecknar värdet på A med Y. Baserat på detta, AK \u003d (2 * AB * AC * cos ( Y/2))/(AB + AS).

Den andra versionen av problemet, där längden på bisektrisen av en triangel bestäms, innehåller följande data:

• värdena för alla sidor av figuren är kända.

När man löser ett problem av denna typ, initialt bestämma semiperimetern. För att göra detta, lägg till värdena för alla sidor och dela på mitten: p \u003d (AB + BC + AC) / 2. Därefter tillämpar vi beräkningsformeln, som användes för att bestämma längden på detta segment i föregående problem. Det är bara nödvändigt att göra några ändringar i formelns väsen i enlighet med de nya parametrarna. Så det är nödvändigt att hitta förhållandet mellan två gånger roten av den andra graden från produkten av längderna på sidorna som gränsar till toppen, till halvperimetern och skillnaden mellan halvperimetern och längden på motsatt sida till summan av sidorna som utgör vinkeln. Det vill säga AK \u003d (2٦AB * AC * p * (r-BC)) / (AB + AC).

Uppmärksamhet! För att göra det lättare att bemästra materialet kan du hänvisa till det som finns på Internet komiska berättelser, berättar om "äventyren" i denna linje.