Geometrik ilerleme örnekleri. Her zaman havasında ol

Aritmetik ile birlikte geometrik ilerleme, 9. sınıftaki okul cebir dersinde çalışılan önemli bir sayı dizisidir. Bu yazıda, bir geometrik dizinin paydasını ve değerinin özelliklerini nasıl etkilediğini ele alacağız.

Geometrik ilerlemenin tanımı

Başlamak için, bu sayı dizisinin tanımını veriyoruz. Geometrik ilerleme, ilk elemanı payda adı verilen sabit bir sayı ile art arda çarpılarak oluşturulan bir dizi rasyonel sayıdır.

Örneğin 3, 6, 12, 24, ... serisindeki sayılar geometrik bir dizidir çünkü 3'ü (ilk eleman) 2 ile çarparsak 6 elde ederiz. 6'yı 2 ile çarparsak 12, vb.

Ele alınan dizinin üyeleri genellikle i'nin dizideki eleman sayısını gösteren bir tam sayı olduğu ai sembolü ile gösterilir.

Bir ilerlemenin yukarıdaki tanımı matematik dilinde şu şekilde yazılabilir: an = bn-1 * a1, burada b paydadır. Bu formülü kontrol etmek kolaydır: eğer n = 1 ise, o zaman b1-1 = 1 ve a1 = a1 elde ederiz. n = 2 ise, o zaman an = b * a1 ve yine söz konusu sayı dizisinin tanımına geliyoruz. Benzer muhakeme şu şekilde devam ettirilebilir: büyük değerler N.

Geometrik ilerlemenin paydası

B sayısı, tüm sayı dizisinin hangi karaktere sahip olacağını tamamen belirler. Payda b pozitif, negatif olabilir ve birden büyük veya daha küçük bir değere sahip olabilir. Yukarıdaki seçeneklerin tümü farklı dizilere yol açar:

• b > 1. Artan bir rasyonel sayılar dizisi vardır. Örneğin, 1, 2, 4, 8, ... a1 öğesi negatifse, tüm dizi yalnızca modulo artacak, ancak sayıların işaretini dikkate alarak azalacaktır.
• b = 1. Özdeş rasyonel sayılardan oluşan sıradan bir dizi olduğundan, genellikle böyle bir duruma ilerleme denmez. Örneğin, -4, -4, -4.

toplam için formül

Söz konusu ilerleme türünün paydasını kullanarak belirli problemlerin değerlendirilmesine geçmeden önce, ilk n öğesinin toplamı için önemli bir formül verilmelidir. Formül: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

İlerleme üyelerinin özyinelemeli bir dizisini düşünürseniz, bu ifadeyi kendiniz elde edebilirsiniz. Ayrıca, yukarıdaki formülde, rastgele sayıda terimin toplamını bulmak için yalnızca ilk öğeyi ve paydayı bilmenin yeterli olduğuna dikkat edin.

Sonsuz azalan dizi

Yukarıda ne olduğuna dair bir açıklama vardı. Şimdi, Sn'nin formülünü bilerek, onu bu sayı serisine uygulayalım. Modülü 1'i geçmeyen herhangi bir sayı büyük kuvvetlere yükseltildiğinde sıfıra eğilimli olduğundan, yani -1 ise b∞ => 0

Paydanın değerinden bağımsız olarak fark (1 - b) her zaman pozitif olacağından, sonsuz azalan bir geometrik dizi S∞ toplamının işareti, ilk elemanı a1'in işareti tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir.

Şimdi, edinilen bilgiyi belirli sayılara nasıl uygulayacağımızı göstereceğimiz birkaç sorunu ele alacağız.

Görev numarası 1. İlerleme ve toplamın bilinmeyen öğelerinin hesaplanması

Bir geometrik dizi verildiğinde, dizinin paydası 2 ve ilk elemanı 3'tür. 7. ve 10. terimleri ne olacak ve ilk yedi öğesinin toplamı nedir?

Sorunun durumu oldukça basittir ve yukarıdaki formüllerin doğrudan kullanımını içerir. Bu nedenle, n numaralı elemanı hesaplamak için an = bn-1 * a1 ifadesini kullanırız. 7. eleman için şuna sahibiz: a7 = b6 * a1, bilinen verileri değiştirerek şunu elde ederiz: a7 = 26 * 3 = 192. Aynısını 10. üye için de yapıyoruz: a10 = 29 * 3 = 1536.

Toplam için bilinen formülü kullanıyoruz ve bu değeri serinin ilk 7 elemanı için belirliyoruz. Elimizde: Ö7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Görev numarası 2. İlerlemenin isteğe bağlı öğelerinin toplamını belirleme

-2, bn-1 * 4 üstel ilerlemesinin paydası olsun, burada n bir tamsayıdır. Bu serinin 5. elemanından 10. elemanına kadar olan toplamını belirlemek gerekir.

Ortaya konan problem bilinen formüller kullanılarak doğrudan çözülemez. 2 farklı şekilde çözülebilir. Bütünlük uğruna, ikisini de sunuyoruz.

Yöntem 1. Fikri basit: ilk terimlerin karşılık gelen iki toplamını hesaplamanız ve ardından diğerini birinden çıkarmanız gerekir. Küçük toplamı hesaplayın: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Şimdi hesaplıyoruz büyük miktarda: Ö4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Son ifadede sadece 4 terimin özetlendiğine dikkat edin, çünkü 5. terim zaten problemin durumuna göre hesaplanması gereken toplama dahil edilmiştir. Son olarak farkı alıyoruz: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Yöntem 2. Sayıları yerine koymadan ve saymadan önce, söz konusu serinin m ve n terimleri arasındaki toplam için bir formül elde edebilirsiniz. Yöntem 1'dekiyle tamamen aynı şekilde hareket ediyoruz, sadece önce toplamın sembolik gösterimi ile çalışıyoruz. Elimizde: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Elde edilen ifadede bilinen sayıları değiştirebilir ve nihai sonucu hesaplayabilirsiniz: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Görev numarası 3. Payda nedir?

a1 = 2 olsun, sonsuz toplamı 3 olmak şartıyla geometrik dizinin paydasını bulun ve bunun azalan bir sayılar dizisi olduğunu bilin.

Problemin durumuna göre çözmek için hangi formülün kullanılması gerektiğini tahmin etmek zor değil. Tabii ki, sonsuz azalan bir ilerlemenin toplamı için. Elimizde: S∞ = a1 / (1 - b). Paydayı ifade ettiğimiz yerden: b = 1 - a1 / S∞. Bilinen değerleri değiştirmek ve gerekli sayıyı almak için kalır: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 veya -0.333 (3). Bu tür bir dizi için, b modülünün 1'in ötesine geçmemesi gerektiğini hatırlarsak, bu sonucu niteliksel olarak kontrol edebiliriz. Gördüğünüz gibi, |-1 / 3|

Görev numarası 4. Bir dizi sayıyı geri yükleme

Bir sayı dizisinin 2 elemanı verilsin, örneğin, 5'i 30'a ve 10'u 60'a eşittir. Geometrik bir ilerlemenin özelliklerini karşıladığını bilerek, tüm seriyi bu verilerden geri yüklemek gerekir.

Problemi çözmek için, önce bilinen her üye için karşılık gelen ifadeyi yazmalısınız. Elimizde: a5 = b4 * a1 ve a10 = b9 * a1 var. Şimdi ikinci ifadeyi birinciye böleriz, şunu elde ederiz: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Buradan, problemin koşulundan bilinen üyelerin oranının beşinci derece kökünü alarak paydayı belirliyoruz, b = 1.148698. Ortaya çıkan sayıyı bilinen bir öğenin ifadelerinden birine koyarız, şunu elde ederiz: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Böylece bn dizisinin paydasının ne olduğunu ve bn-1 * 17.2304966 = an geometrik dizisinin paydasını bulduk, burada b = 1.148698.

Geometrik ilerlemeler nerede kullanılır?

Bu sayısal dizinin pratikte bir uygulaması olmasaydı, o zaman onun çalışması tamamen teorik bir ilgiye indirgenirdi. Ama böyle bir uygulama var.

En ünlü 3 örnek aşağıda listelenmiştir:

• Çevik Aşil'in yavaş kaplumbağayı yakalayamadığı Zeno paradoksu, sonsuz azalan sayı dizisi kavramı kullanılarak çözülür.
• Satranç tahtasının her hücresine buğday taneleri yerleştirilirse, 1 tane 1. hücreye, 2 - 2. hücreye, 3 - 3. hücreye vb. pano!
• "Tower of Hanoi" oyununda diskleri bir çubuktan diğerine yeniden düzenlemek için 2n - 1 işlem yapmak gerekir, yani sayıları kullanılan disk sayısından n katlanarak artar.

Geometrik ilerleme matematikte aritmetikten daha az önemli değil. Bir geometrik dizi, b1, b2,..., b[n] gibi her bir elemanı bir öncekinin sabit bir sayı ile çarpılmasıyla elde edilen böyle bir sayı dizisidir. İlerlemedeki büyüme veya azalma hızını da karakterize eden bu sayıya denir. geometrik ilerlemenin paydası ve belirtmek

İçin görevi tamamla geometrik dizi, paydaya ek olarak ilk terimini bilmek veya belirlemek gerekir. Paydanın pozitif bir değeri için, ilerleme monoton bir dizidir ve bu sayı dizisi ne zaman monoton olarak azalıyor ve monoton olarak artıyorsa. Paydanın bire eşit olduğu durum pratikte dikkate alınmaz, çünkü bir özdeş sayı dizimiz vardır ve bunların toplamı pratikte ilgi çekici değildir.

Geometrik ilerlemenin genel terimi formüle göre hesaplanır

Bir geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı formül tarafından belirlenir

Klasik geometrik ilerleme problemlerinin çözümlerini ele alalım. Anlamak için en basitinden başlayalım.

Örnek 1. Bir geometrik dizinin ilk terimi 27'dir ve paydası 1/3'tür. Bir geometrik ilerlemenin ilk altı terimini bulun.

Çözüm: Formda sorunun durumunu yazıyoruz.

Hesaplamalar için, bir geometrik ilerlemenin n'inci üyesi için formülü kullanırız.

Buna dayanarak, ilerlemenin bilinmeyen üyelerini buluyoruz.

Gördüğünüz gibi, geometrik bir ilerlemenin terimlerini hesaplamak zor değil. İlerlemenin kendisi şöyle görünecek

Örnek 2. Bir geometrik dizinin ilk üç üyesi şu şekilde verilmiştir: 6; -12; 24. Paydayı ve yedinci terimi bulun.

Çözüm: Geometrik ilerlemenin paydasını tanımına göre hesaplıyoruz

Paydası -2 olan alternatif bir geometrik dizimiz var. Yedinci terim formülle hesaplanır

Bu görev çözüldü.

Örnek 3. İki üyesi tarafından verilen bir geometrik ilerleme . İlerlemenin onuncu terimini bulun.

Çözüm:

Verilen değerleri formüller üzerinden yazalım

Kurallara göre, paydayı bulmak ve ardından istenen değeri aramak gerekir, ancak onuncu terim için elimizde

Aynı formül, girdi verileriyle yapılan basit işlemler temelinde elde edilebilir. Serinin altıncı terimini diğerine böleriz, sonuç olarak

Ortaya çıkan değer altıncı terimle çarpılırsa onuncu değeri elde ederiz.

Böylece, bu tür problemler için, basit dönüşümler yardımıyla hızlı yol doğru çözümü bulabilirsiniz.

Örnek 4. Geometrik ilerleme, yinelenen formüllerle verilir

Geometrik ilerlemenin paydasını ve ilk altı terimin toplamını bulun.

Çözüm:

Verilen verileri bir denklem sistemi şeklinde yazıyoruz

Paydayı ikinci denklemi birinciye bölerek ifade edin

İlk denklemden ilerlemenin ilk terimini bulun

Geometrik ilerlemenin toplamını bulmak için aşağıdaki beş terimi hesaplayın

Her doğal sayı ise N gerçek bir sayıyla eşleş BİR , sonra verildiğini söylüyorlar sayı dizisi :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , BİR , . . . .

Dolayısıyla, sayısal bir dizi, doğal bir argümanın bir fonksiyonudur.

Sayı A 1 isminde dizinin ilk üyesi , sayı A 2 — dizinin ikinci üyesi , sayı A 3 — üçüncü ve benzeri. Sayı BİR isminde n. üye diziler ve doğal sayı N — onun numarası .

İki komşu üyeden BİR Ve BİR +1 üye dizileri BİR +1 isminde sonraki (karşı BİR ), A BİR — öncesi (karşı BİR +1 ).

Bir dizi belirtmek için, herhangi bir sayıya sahip bir dizi üyesi bulmanızı sağlayan bir yöntem belirtmeniz gerekir.

Genellikle sıra ile verilir n'inci terim formülleri , yani bir sıra üyesini numarasına göre belirlemenizi sağlayan bir formül.

Örneğin,

Pozitif tek sayıların dizisi formülle verilebilir.

BİR= 2N- 1,

ve dönüşümlü sıralama 1 Ve -1 - formül

B N = (-1)N +1 . ◄

Sıra belirlenebilir yinelenen formül, diğer bir deyişle, bazılarından başlayarak önceki (bir veya daha fazla) üyeye kadar dizinin herhangi bir üyesini ifade eden bir formül.

Örneğin,

Eğer A 1 = 1 , A BİR +1 = BİR + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Eğer bir 1= 1, 2 = 1, BİR +2 = BİR + BİR +1 , daha sonra sayısal dizinin ilk yedi üyesi aşağıdaki gibi ayarlanır:

bir 1 = 1,

2 = 1,

3 = bir 1 + 2 = 1 + 1 = 2,

4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sıralar olabilir son Ve sonsuz .

sıra denir nihai eğer sonlu sayıda üyeye sahipse. sıra denir sonsuz eğer sonsuz sayıda üyesi varsa.

Örneğin,

iki basamaklı doğal sayılar dizisi:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

son.

Asal sayı dizisi:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sonsuz. ◄

sıra denir artan , ikinciden başlayarak üyelerinin her biri bir öncekinden büyükse.

sıra denir azalan , ikinciden başlayarak üyelerinin her biri bir öncekinden daha azsa.

Örneğin,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . artan bir dizidir;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . azalan bir dizidir. ◄

Artan sayı ile elemanları azalmayan veya tersine artmayan bir diziye denir. monoton dizi .

Özellikle monoton diziler, artan diziler ve azalan dizilerdir.

Aritmetik ilerleme

Aritmetik ilerleme her üyesi ikinciden başlayarak bir öncekine eşit olan ve aynı sayının eklendiği bir dizi çağrılır.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , BİR, . . .

herhangi bir doğal sayı için ise aritmetik bir ilerlemedir N koşul karşılanıyor:

BİR +1 = BİR + D,

Nerede D - bir numara.

Böylece, belirli bir grubun bir sonraki ve bir önceki üyeleri arasındaki fark aritmetik ilerleme her zaman sabit:

2 - A 1 = 3 - A 2 = . . . = BİR +1 - BİR = D.

Sayı D isminde aritmetik ilerlemenin farkı.

Bir aritmetik ilerleme ayarlamak için ilk terimini ve farkını belirtmek yeterlidir.

Örneğin,

Eğer A 1 = 3, D = 4 , ardından dizinin ilk beş terimi aşağıdaki gibi bulunur:

bir 1 =3,

2 = bir 1 + D = 3 + 4 = 7,

3 = 2 + D= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + D= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

İlk terimle aritmetik ilerleme için A 1 ve fark D o N

BİR = bir 1 + (N- 1)D.

Örneğin,

aritmetik ilerlemenin otuzuncu terimini bulun

1, 4, 7, 10, . . .

bir 1 =1, D = 3,

30 = bir 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

bir n-1 = bir 1 + (N- 2)D,

BİR= bir 1 + (N- 1)D,

BİR +1 = A 1 + nd,

o zaman belli ki

ikinciden başlayarak aritmetik ilerlemenin her bir üyesi, önceki ve sonraki üyelerin aritmetik ortalamasına eşittir.

a, b ve c sayıları, ancak ve ancak bunlardan biri diğer ikisinin aritmetik ortalamasına eşitse, bazı aritmetik dizilerin ardışık üyeleridir.

Örneğin,

BİR = 2N- 7 , aritmetik bir ilerlemedir.

Yukarıdaki ifadeyi kullanalım. Sahibiz:

BİR = 2N- 7,

bir n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

bir n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Buradan,

◄

Dikkat N -bir aritmetik dizinin inci üyesi yalnızca aracılığıyla bulunamaz A 1 , aynı zamanda herhangi bir önceki bir k

BİR = bir k + (N- k)D.

Örneğin,

İçin A 5 yazılabilir

5 = bir 1 + 4D,

5 = 2 + 3D,

5 = 3 + 2D,

5 = 4 + D. ◄

BİR = bir nk + kd,

BİR = bir n+k - kd,

o zaman belli ki

aritmetik dizinin herhangi bir üyesi, ikinciden başlayarak, bu aritmetik dizinin ondan eşit uzaklıkta bulunan üyelerinin toplamının yarısına eşittir.

Ek olarak, herhangi bir aritmetik ilerleme için eşitlik doğrudur:

bir m + bir n = bir k + bir l,

m + n = k + l.

Örneğin,

aritmetik ilerlemede

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) bir 2 + bir 12 = bir 5 + bir 9, Çünkü

2 + 12= 4 + 34 = 38,

bir 5 + bir 9 = 13 + 25 = 38. ◄

sn= bir 1 + bir 2 + bir 3 + . . .+ BİR,

Birinci N aritmetik dizinin üyeleri, uç terimlerin toplamının yarısının terim sayısına göre çarpımına eşittir:

Bundan, özellikle, terimleri toplamanın gerekli olup olmadığı sonucu çıkar.

bir k, bir k +1 , . . . , BİR,

o zaman önceki formül yapısını korur:

Örneğin,

aritmetik ilerlemede 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Bir aritmetik ilerleme verilirse, o zaman miktarlar A 1 , BİR, D, N VeS N iki formülle bağlantılı:

Bu nedenle, bu niceliklerden üçünün değerleri verilirse, diğer iki niceliğin karşılık gelen değerleri, iki bilinmeyenli iki denklem sisteminde birleştirilen bu formüllerden belirlenir.

Aritmetik ilerleme monoton bir dizidir. burada:

• Eğer D > 0 , o zaman artıyor;
• Eğer D < 0 , o zaman azalıyor;
• Eğer D = 0 , dizi durağan olacaktır.

Geometrik ilerleme

geometrik ilerleme her terimi ikinciden başlayarak bir öncekine eşit olan ve aynı sayı ile çarpılan bir dizi çağrılır.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , bn, . . .

herhangi bir doğal sayı için geometrik bir ilerlemedir N koşul karşılanıyor:

bn +1 = bn · Q,

Nerede Q ≠ 0 - bir numara.

Böylece, bu geometrik ilerlemenin bir sonraki teriminin bir öncekine oranı sabit bir sayıdır:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = bn +1 / bn = Q.

Sayı Q isminde geometrik ilerlemenin paydası.

Bir geometrik ilerleme ayarlamak için ilk terimini ve paydasını belirtmek yeterlidir.

Örneğin,

Eğer B 1 = 1, Q = -3 , ardından dizinin ilk beş terimi aşağıdaki gibi bulunur:

b 1 = 1,

b2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b3 = b2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b4 = b3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 ve payda Q o N -th terimi aşağıdaki formülle bulunabilir:

bn = B 1 · q n -1 .

Örneğin,

geometrik ilerlemenin yedinci terimini bulun 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

bn = b 1 · q n -1 ,

bn +1 = B 1 · q n,

o zaman belli ki

bn 2 = bn -1 · bn +1 ,

ikinciden başlayarak geometrik ilerlemenin her bir üyesi, önceki ve sonraki üyelerin geometrik ortalamasına (orantılı) eşittir.

Tersi de doğru olduğundan, aşağıdaki iddia geçerlidir:

a, b ve c sayıları, ancak ve ancak birinin karesi diğer ikisinin çarpımına eşitse, yani sayılardan biri diğer ikisinin geometrik ortalamasıysa, bazı geometrik dizilerin ardışık üyeleridir.

Örneğin,

formül tarafından verilen dizinin olduğunu kanıtlayalım bn= -3 2 N , geometrik bir ilerlemedir. Yukarıdaki ifadeyi kullanalım. Sahibiz:

bn= -3 2 N,

bn -1 = -3 2 N -1 ,

bn +1 = -3 2 N +1 .

Buradan,

bn 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) (-3 2 N +1 ) = bn -1 · bn +1 ,

ki bu da gerekli iddiayı kanıtlıyor. ◄

Dikkat N Geometrik ilerlemenin inci terimi yalnızca B 1 , aynı zamanda önceki herhangi bir terim b k , bunun için formülü kullanmak yeterlidir

bn = b k · q n - k.

Örneğin,

İçin B 5 yazılabilir

b5 = b 1 · Q 4 ,

b5 = b2 · q 3,

b5 = b3 · q2,

b5 = b4 · Q. ◄

bn = b k · q n - k,

bn = bn - k · q k,

o zaman belli ki

bn 2 = bn - k· bn + k

ikinciden başlayarak bir geometrik dizinin herhangi bir üyesinin karesi, bu dizinin ondan eşit uzaklıktaki elemanlarının çarpımına eşittir.

Ek olarak, herhangi bir geometrik ilerleme için eşitlik doğrudur:

bm· bn= b k· b l,

M+ N= k+ ben.

Örneğin,

katlanarak

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , Çünkü

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

sn= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + bn

Birinci N paydalı geometrik ilerleme terimleri Q ≠ 0 formülle hesaplanır:

Ve ne zaman Q = 1 - formüle göre

sn= not 1

Terimleri toplamamız gerekirse,

b k, b k +1 , . . . , bn,

sonra formül kullanılır:

Örneğin,

katlanarak 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Geometrik bir ilerleme verilirse, nicelikler B 1 , bn, Q, N Ve sn iki formülle bağlantılı:

Bu nedenle, bu niceliklerden herhangi üçünün değerleri verilirse, diğer iki niceliğin karşılık gelen değerleri, iki bilinmeyenli iki denklem sisteminde birleştirilen bu formüllerden belirlenir.

İlk terim ile geometrik ilerleme için B 1 ve payda Q aşağıdakiler gerçekleşir monotonluk özellikleri :

• Aşağıdaki koşullardan biri karşılanırsa ilerleme artar:

B 1 > 0 Ve Q> 1;

B 1 < 0 Ve 0 < Q< 1;

• Aşağıdaki koşullardan biri karşılanırsa bir ilerleme azalmaktadır:

B 1 > 0 Ve 0 < Q< 1;

B 1 < 0 Ve Q> 1.

Eğer Q< 0 , o zaman geometrik ilerleme işaret dönüşümlüdür: tek sayılı terimleri ilk terimiyle aynı işarete sahiptir ve çift sayılı terimleri zıt işarete sahiptir. Alternatif bir geometrik ilerlemenin monoton olmadığı açıktır.

İlk ürün N geometrik bir ilerlemenin terimleri aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

P n= b 1 · b2 · b3 · . . . · bn = (b 1 · bn) N / 2 .

Örneğin,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Sonsuz azalan geometrik ilerleme

Sonsuz azalan geometrik ilerleme payda modülü daha küçük olan sonsuz bir geometrik ilerleme olarak adlandırılır 1 , yani

|Q| < 1 .

Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin azalan bir dizi olmayabileceğini unutmayın. Bu duruma uyuyor

1 < Q< 0 .

Böyle bir payda ile dizi işaret dönüşümlüdür. Örneğin,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı birincinin toplamının geldiği sayıyı söyle N sayısında sınırsız artış ile ilerleme şartları N . Bu sayı her zaman sonludur ve formülle ifade edilir.

Örneğin,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmetik ve geometrik ilerlemeler arasındaki ilişki

aritmetik ve geometrik ilerleme yakından ilişkilidir. Sadece iki örneği ele alalım.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . D , O

b bir 1 , b bir 2 , b bir 3 , . . . b d .

Örneğin,

1, 3, 5, . . . — farkla aritmetik ilerleme 2 Ve

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . bir payda ile geometrik bir ilerlemedir 7 2 . ◄

B 1 , B 2 , B 3 , . . . bir payda ile geometrik bir ilerlemedir Q , O

a b 1 günlüğü, a b 2 günlüğü, a b 3 günlüğü, . . . — farkla aritmetik ilerleme oturum açQ .

Örneğin,

2, 12, 72, . . . bir payda ile geometrik bir ilerlemedir 6 Ve

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — farkla aritmetik ilerleme lg 6 . ◄

Bir dizi düşünelim.

7 28 112 448 1792...

Öğelerinden herhangi birinin değerinin bir öncekinden tam olarak dört kat daha fazla olduğu kesinlikle açıktır. Yani bu seri bir ilerlemedir.

Geometrik bir ilerleme sonsuz bir sayı dizisidir ana özellik yani bir sonraki sayı, bir öncekinden belirli bir sayı ile çarpılarak elde edilir. Bu, aşağıdaki formülle ifade edilir.

a z +1 =a z q, burada z, seçilen öğenin sayısıdır.

Buna göre, z ∈ N.

Okulda geometrik bir dizinin çalışıldığı dönem 9. sınıftır. Örnekler, kavramı anlamanıza yardımcı olacaktır:

0.25 0.125 0.0625...

Bu formüle dayanarak, ilerlemenin paydası aşağıdaki gibi bulunabilir:

Ne q ne de bz sıfır olamaz. Ayrıca, ilerlemenin öğelerinin her biri sıfıra eşit olmamalıdır.

Buna göre dizideki bir sonraki sayıyı bulmak için son sayıyı q ile çarpmanız gerekir.

Bu ilerlemeyi belirtmek için, ilk öğesini ve paydasını belirtmeniz gerekir. Bundan sonra, sonraki terimlerden herhangi birini ve toplamlarını bulmak mümkündür.

Çeşitler

q ve a 1'e bağlı olarak, bu ilerleme birkaç türe ayrılır:

• Hem a 1 hem de q birden büyükse, böyle bir dizi sonraki her elemanla artan geometrik bir dizidir. Bunun bir örneği aşağıda sunulmuştur.

Örnek: a 1 =3, q=2 - her iki parametre de birden büyüktür.

Daha sonra sayısal dizi şu şekilde yazılabilir:

3 6 12 24 48 ...

• eğer |q| birden az, yani onunla çarpma bölmeye eşdeğerdir, o zaman benzer koşullara sahip bir dizi, azalan bir geometrik dizidir. Bunun bir örneği aşağıda sunulmuştur.

Örnek: a 1 =6, q=1/3 - a 1 birden büyüktür, q küçüktür.

O zaman sayısal dizi aşağıdaki gibi yazılabilir:

6 2 2/3 ... - herhangi bir eleman, onu takip eden elemandan 3 kat daha büyüktür.

• İşaret değişkeni. eğer q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Örnek: a 1 = -3 , q = -2 - her iki parametre de sıfırdan küçüktür.

O zaman dizi şu şekilde yazılabilir:

3, 6, -12, 24,...

formüller

Geometrik ilerlemelerin rahat kullanımı için birçok formül vardır:

• z'inci üyenin formülü. Önceki sayıları hesaplamadan belirli bir sayının altındaki öğeyi hesaplamanıza olanak tanır.

Örnek:Q = 3, A 1 = 4. Dizinin dördüncü elemanının hesaplanması gerekmektedir.

Çözüm:A 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• sayısı olan ilk elemanların toplamı z. Bir dizinin tüm öğelerinin toplamını hesaplamanıza izin verir.bir zdahil.

beri (1-Q) paydada ise (1 - q)≠ 0, dolayısıyla q 1'e eşit değildir.

Not: q=1 ise, ilerleme sonsuz tekrar eden bir sayı dizisi olacaktır.

Geometrik ilerlemenin toplamı, örnekler:A 1 = 2, Q= -2. S5'i hesaplayın.

Çözüm:S 5 = 22 - formüle göre hesaplama.

• tutar eğer |Q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Örnek:A 1 = 2 , Q= 0.5 Miktarı bulun.

Çözüm:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Bazı özellikler:

• karakteristik özellik. Aşağıdaki koşul ise herhangi biri için gerçekleştirilenz, o zaman verilen sayı serisi geometrik bir ilerlemedir:

bir z 2 = bir z -1 · Az+1

• Ayrıca, herhangi bir sayıdaki geometrik dizinin karesi, bu elemandan eşit uzaklıktalarsa, belirli bir dizideki diğer iki sayının kareleri toplanarak bulunur.

bir z 2 = bir z - T 2 + bir z + T 2 , NeredeTbu sayılar arasındaki mesafedir.

• Elementlerq'da farklılıkbir kere.
• İlerleme öğelerinin logaritmaları da bir ilerleme oluşturur, ancak zaten aritmetiktir, yani her biri bir öncekinden belirli bir sayı daha fazladır.

Bazı klasik problemlere örnekler

Geometrik ilerlemenin ne olduğunu daha iyi anlamak için 9. sınıf için çözümlü örnekler yardımcı olabilir.

• Koşullar:A 1 = 3, A 3 = 48. BulQ.

Çözüm: Sonraki her eleman bir öncekinden daha büyüktür.Q bir kere.Bir payda kullanarak bazı unsurları diğerleri aracılığıyla ifade etmek gerekir.

Buradan,A 3 = Q 2 · A 1

ikame ederkenQ= 4

• Koşullar:A 2 = 6, A 3 = 12. S 6'yı hesaplayın.

Çözüm:Bunun için ilk eleman olan q'yu bulup formülde yerine koymak yeterlidir.

A 3 = Q· A 2 , buradan,Q= 2

bir 2 = q bir 1 ,Bu yüzden bir 1 = 3

Ö 6 = 189

• · A 1 = 10, Q= -2. İlerlemenin dördüncü öğesini bulun.

Çözüm: Bunu yapmak için dördüncü öğeyi birinci ve payda üzerinden ifade etmek yeterlidir.

bir 4 = q 3· 1 = -80

Uygulama örneği:

• Bankanın müşterisi 10.000 ruble tutarında bir depozito yatırdı ve bu şartlara göre müşteri her yıl bunun% 6'sını anapara miktarına ekleyecek. 4 yıl sonra hesapta ne kadar para olur?

Çözüm: İlk miktar 10 bin ruble. Yani, yatırımdan bir yıl sonra, hesap 10.000 + 10.000'e eşit bir tutara sahip olacaktır. · 0,06 = 10000 1,06

Buna göre bir yıl sonra hesaptaki tutar aşağıdaki gibi ifade edilecektir:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Yani her yıl miktar 1,06 kat artıyor. Bu, 4 yıl sonra hesaptaki fon miktarını bulmak için, ilk öğenin 10 bine eşit olduğu ve paydanın 1,06'ya eşit olduğu ilerlemenin dördüncü öğesini bulmak için yeterli olduğu anlamına gelir.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Toplamı hesaplamak için görev örnekleri:

Çeşitli problemlerde geometrik ilerleme kullanılır. Toplamı bulmak için bir örnek şu şekilde verilebilir:

A 1 = 4, Q= 2, hesaplaS5.

Çözüm: Hesaplama için gerekli tüm veriler biliniyor, bunları formülde yerine koymanız yeterli.

S 5 = 124

• A 2 = 6, A 3 = 18. İlk altı elemanın toplamını hesaplayın.

Çözüm:

Geom. ilerleme, sonraki her öğe bir öncekinden q kat daha büyüktür, yani toplamı hesaplamak için öğeyi bilmeniz gerekirA 1 ve paydaQ.

A 2 · Q = A 3

Q = 3

Benzer şekilde, bulmamız gerekiyorA 1 , bilmekA 2 VeQ.

A 1 · Q = A 2

bir 1 =2

S 6 = 728.

Geometrik ilerleme, ilk terimi sıfır olmayan ve sonraki her terim önceki terimin sıfır olmayan aynı sayı ile çarpımına eşit olan sayısal bir dizidir.

Geometrik ilerleme kavramı

Geometrik ilerleme b1,b2,b3, …, bn, … ile gösterilir.

Geometrik hatanın herhangi bir teriminin önceki terimine oranı aynı sayıya eşittir, yani b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Bu, doğrudan bir aritmetik ilerlemenin tanımından kaynaklanır. Bu sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir. Genellikle geometrik bir ilerlemenin paydası q harfi ile gösterilir.

|q| için sonsuz geometrik ilerlemenin toplamı<1

Bir geometrik ilerleme belirlemenin bir yolu, ilk terimini b1 ve geometrik hata q'nun paydasını ayarlamaktır. Örneğin, b1=4, q=-2. Bu iki koşul 4, -8, 16, -32, … şeklinde bir geometrik dizi verir.

q>0 ise (q 1'e eşit değildir), o zaman ilerleme monoton bir dizidir. Örneğin, 2, 4,8,16,32, ... dizisi monoton artan bir dizidir (b1=2, q=2).

Geometrik hatada payda q=1 ise, geometrik dizinin tüm üyeleri birbirine eşit olacaktır. Bu gibi durumlarda, ilerlemenin sabit bir dizi olduğu söylenir.

Sayı dizisinin (bn) geometrik bir ilerleme olması için, ikinciden başlayarak her bir üyesinin, komşu üyelerin geometrik ortalaması olması gerekir. Yani, aşağıdaki denklemi yerine getirmek gerekir
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), herhangi bir n>0 için, burada n, N doğal sayılar kümesine aittir.

Şimdi (Xn) - geometrik bir ilerleme koyalım. |q|∞) ile geometrik dizi q'nun paydası.
Şimdi sonsuz bir geometrik ilerlemenin toplamını S ile gösterirsek, aşağıdaki formül geçerli olacaktır:
S=x1/(1-q).

Basit bir örnek düşünün:

Sonsuz bir geometrik dizinin toplamını bulun 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

S'yi bulmak için sonsuz aritmetik ilerlemenin toplamı formülünü kullanırız. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.