Ev › Lastikler ve tekerlekler › Bir aritmetik ilerlemenin farkının formülü. Bir aritmetik dizinin ilk n-teriminin toplamı

Bir aritmetik ilerlemenin farkının formülü. Bir aritmetik dizinin ilk n-teriminin toplamı

Aritmetik ilerleme bir sayı dizisini adlandırın (bir ilerlemenin üyeleri)

Sonraki her terimin bir öncekinden bir çelik terimle farklı olduğu, buna aynı zamanda adım veya ilerleme farkı.

Böylece, ilerlemenin adımını ve ilk terimini ayarlayarak, formülünü kullanarak öğelerinden herhangi birini bulabilirsiniz.

Aritmetik ilerlemenin özellikleri

1) İkinci sayıdan başlayarak aritmetik dizideki her üye, dizideki önceki ve sonraki üyenin aritmetik ortalamasıdır.

Bunun tersi de doğrudur. Dizinin komşu tek (çift) üyelerinin aritmetik ortalaması, aralarında duran üyeye eşitse, bu sayı dizisi bir aritmetik dizidir. Bu iddia ile herhangi bir sırayı kontrol etmek çok kolaydır.

Ayrıca, aritmetik ilerlemenin özelliği ile, yukarıdaki formül aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir.

Terimleri eşittir işaretinin sağına yazarsak bunu doğrulamak kolaydır.

Genellikle problemlerde hesaplamaları basitleştirmek için pratikte kullanılır.

2) Bir aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı şu formülle hesaplanır:

Aritmetik ilerlemenin toplamı formülünü iyi hatırlayın, hesaplamalarda vazgeçilmezdir ve basit yaşam durumlarında oldukça yaygındır.

3) Toplamın tamamını değil de k -inci üyesinden başlayarak dizinin bir bölümünü bulmanız gerekiyorsa, aşağıdaki toplam formülü işinize yarayacaktır.

4) K'inci sayıdan başlayarak bir aritmetik dizinin n üyesinin toplamını bulmak pratik açıdan önemlidir. Bunu yapmak için formülü kullanın

bunun üzerine teorik materyal biter ve ortak pratik problemleri çözmeye devam ederiz.

Örnek 1. Aritmetik dizinin kırkıncı terimini bulun 4;7;...

Çözüm:

Şartlara göre bizde

İlerleme adımını tanımlayın

İyi bilinen formüle göre, ilerlemenin kırkıncı terimini buluruz.

Örnek2. Aritmetik ilerlemeüçüncü ve yedinci üyeleri tarafından verilir. Dizinin ilk terimini ve on'un toplamını bulun.

Çözüm:

İlerlemenin verilen öğelerini formüllere göre yazıyoruz

Birinci denklemi ikinci denklemden çıkarıyoruz, sonuç olarak ilerleme adımını buluyoruz

Bulunan değer, aritmetik ilerlemenin ilk terimini bulmak için herhangi bir denklemde değiştirilir.

İlerlemenin ilk on teriminin toplamını hesaplayın

Karmaşık hesaplamalar yapmadan gerekli tüm değerleri bulduk.

Örnek 3. Payda ve üyelerinden biri tarafından bir aritmetik ilerleme verilir. Dizinin ilk terimini, 50'den başlayarak 50 teriminin toplamını ve ilk 100'ün toplamını bulun.

Çözüm:

İlerlemenin yüzüncü öğesinin formülünü yazalım

ve ilkini bul

İlkine dayanarak, ilerlemenin 50. terimini buluyoruz

İlerleme bölümünün toplamını bulma

ve ilk 100'ün toplamı

İlerlemenin toplamı 250'dir.

Örnek 4

Aşağıdaki durumlarda bir aritmetik dizinin üye sayısını bulun:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Çözüm:

Denklemleri ilk terim ve ilerlemenin basamağı cinsinden yazıp tanımlarız.

Toplamdaki terim sayısını belirlemek için elde edilen değerleri toplam formülüne koyarız.

Sadeleştirmeler yapma

ve ikinci dereceden denklemi çöz

Bulunan iki değerden sadece 8 sayısı problemin durumuna uygundur. Böylece ilerlemenin ilk sekiz teriminin toplamı 111'dir.

Örnek 5

denklemi çözün

1+3+5+...+x=307.

Çözüm: Bu denklem bir aritmetik ilerlemenin toplamıdır. İlk terimini yazıyoruz ve ilerlemenin farkını buluyoruz

Bir aritmetik ilerlemenin toplamı.

Aritmetik ilerlemenin toplamı basit bir şeydir. Hem anlam hem de formül olarak. Ancak bu konuda her türlü görev var. Temelden oldukça katıya.

İlk olarak, toplamın anlamını ve formülünü ele alalım. Ve sonra karar vereceğiz. Kendi zevkiniz için.) Toplamın anlamı, böğürmek kadar basittir. Bir aritmetik ilerlemenin toplamını bulmak için tüm üyelerini dikkatlice toplamanız yeterlidir. Bu terimler azsa, herhangi bir formül olmadan ekleyebilirsiniz. Ama çok şey varsa veya çok varsa ... ekleme can sıkıcıdır.) Bu durumda formül kurtarır.

Toplam formülü basittir:

Formülde ne tür harflerin bulunduğunu bulalım. Bu çok şeyi netleştirecek.

sn aritmetik ilerlemenin toplamıdır. Toplama sonucu Tümüüyeler, ile Birinciİle son. Bu önemli. tam olarak topla Tüm boşluklar ve atlamalar olmadan arka arkaya üyeler. Ve tam olarak, başlayarak Birinci.Üçüncü ve sekizinci terimlerin toplamını veya beşten yirmiye kadar olan terimlerin toplamını bulma gibi problemlerde, formülün doğrudan uygulanması hayal kırıklığı yaratacaktır.)

bir 1 - Birinci ilerlemenin üyesi. Burada her şey açık, çok basit Birinci satır numarası.

BİR- son ilerlemenin üyesi. son numara sıra. Çok tanıdık bir isim değil ama miktar olarak uygulandığında çok uygun. O zaman kendin göreceksin.

N son üyenin numarasıdır. Formülde bu sayının olduğunu anlamak önemlidir. eklenen üye sayısı ile çakışmaktadır.

kavramı tanımlayalım sonüye BİR. Doldurma sorusu: ne tür bir üye olacak son, verilirse sonsuz aritmetik ilerleme?

Kendinden emin bir cevap için, bir aritmetik ilerlemenin temel anlamını anlamanız ve ... ödevi dikkatlice okumanız gerekir!)

Bir aritmetik ilerlemenin toplamını bulma görevinde, son terim her zaman görünür (doğrudan veya dolaylı olarak), hangisi sınırlandırılmalıdır. Aksi takdirde, sonlu, belirli bir miktar sadece yok.Çözüm için, ne tür bir ilerleme verildiği önemli değildir: sonlu veya sonsuz. Nasıl verildiği önemli değil: bir dizi sayıyla veya n'inci üyenin formülüyle.

En önemli şey, formülün ilerlemenin ilk teriminden numaralı terime kadar çalıştığını anlamaktır. N. Aslında, formülün tam adı şöyle görünür: bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı. Bu ilk üyelerin sayısı, yani. N, yalnızca görev tarafından belirlenir. Görevde, tüm bu değerli bilgiler genellikle şifrelenir, evet ... Ama hiçbir şey, aşağıdaki örneklerde bu sırları açığa çıkaracağız.)

Bir aritmetik ilerlemenin toplamı için görev örnekleri.

Öncelikle, yardımcı bilgi:

Bir aritmetik ilerlemenin toplamı için görevlerdeki ana zorluk, formül öğelerinin doğru belirlenmesidir.

Ödevlerin yazarları, bu unsurları sınırsız bir hayal gücü ile şifreler.) Buradaki en önemli şey korkmamaktır. Öğelerin özünü anlamak, sadece onları deşifre etmek için yeterlidir. Birkaç örneğe ayrıntılı olarak bakalım. Gerçek bir GIA'ya dayalı bir görevle başlayalım.

1. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir: an n = 2n-3.5. İlk 10 terimin toplamını bulun.

Aferin. Kolay.) Formüle göre miktarı belirlemek için neleri bilmemiz gerekiyor? İlk Üye bir 1, son dönem BİR, evet son terimin numarası N.

Son üye numarası nereden alınır? N? Evet, aynı yerde, durumda! toplamı bul diyor ilk 10 üye Peki hangi numara olacak son, onuncu üye?) İnanmayacaksınız, numarası onuncu!) Bu nedenle, yerine BİR formülde yerine koyacağız 10, ama velakin N- on. Yine son üye sayısı ile üye sayısı aynıdır.

Karar vermek için kalır bir 1 Ve 10. Bu, problem ifadesinde verilen n'inci terimin formülü ile kolayca hesaplanır. Nasıl yapılacağını bilmiyor musun? Bu olmadan önceki dersi ziyaret edin - hiçbir şey.

bir 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

sn = S 10.

Bir aritmetik ilerlemenin toplamı için formülün tüm öğelerinin anlamını bulduk. Bunları değiştirmek ve saymak için kalır:

Hepsi bu kadar. Cevap: 75.

GIA'ya dayalı başka bir görev. Biraz daha karmaşık:

2. Farkı 3.7 olan bir aritmetik ilerleme (a n) verildiğinde; 1 \u003d 2.3. İlk 15 terimin toplamını bulun.

Hemen toplam formülünü yazıyoruz:

Bu formül, herhangi bir üyenin değerini numarasına göre bulmamızı sağlar. Basit bir ikame arıyoruz:

15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Formüldeki tüm öğeleri aritmetik ilerlemenin toplamı ile değiştirmek ve cevabı hesaplamak için kalır:

Cevap: 423.

Bu arada, toplam formülü yerine BİR sadece n'inci terimin formülünü değiştirin, şunu elde ederiz:

Benzerlerini verirsek, aritmetik ilerlemenin üyelerinin toplamı için yeni bir formül elde ederiz:

Görüldüğü gibi gerek yok n. dönem BİR. Bazı görevlerde bu formül çok yardımcı oluyor, evet ... Bu formülü hatırlayabilirsiniz. Ve burada olduğu gibi doğru zamanda çekebilirsiniz. Sonuçta, toplamın formülü ve n'inci terimin formülü her şekilde hatırlanmalıdır.)

Şimdi görev kısa bir şifreleme şeklinde):

3. Üçün katı olan tüm pozitif iki basamaklı sayıların toplamını bulun.

Nasıl! İlk üye yok, son üye yok, ilerleme yok... Nasıl yaşanır!?

Kafanızla düşünmeniz ve bir aritmetik ilerlemenin toplamının tüm unsurlarını koşuldan çıkarmanız gerekecek. İki basamaklı sayılar nedir - biliyoruz. İki sayıdan oluşurlar.) Hangi iki basamaklı sayı olur? Birinci? 10, muhtemelen.) son şey iki haneli sayı? 99, tabii ki! Üç haneli olanlar onu takip edecek...

Üçün katları... Hm... Bunlar üçe tam olarak bölünebilen sayılar, işte! On üçe bölünmez, 11 bölünmez... 12... bölünebilir! Yani bir şeyler ortaya çıkıyor. Zaten sorunun durumuna göre bir dizi yazabilirsiniz:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Bu dizi aritmetik bir ilerleme mi olacak? Kesinlikle! Her terim bir öncekinden kesinlikle üç kat farklıdır. Terime 2 veya 4 eklenirse sonuç, yani yeni bir sayı artık 3'e bölünmeyecek. Yığına aritmetik ilerlemenin farkını hemen belirleyebilirsiniz: d = 3. Kullanışlı!)

Böylece, bazı ilerleme parametrelerini güvenle yazabiliriz:

sayı ne olacak N son üye? 99'un ölümcül bir şekilde yanıldığını düşünen herkes ... Sayılar - her zaman üst üste gelirler ve üyelerimiz ilk üçün üzerinden atlar. Eşleşmiyorlar.

Burada iki çözüm var. Bir yol süper çalışkan içindir. İlerlemeyi, tüm sayı dizisini çizebilir ve parmağınızla terim sayısını sayabilirsiniz.) İkinci yol, düşünenler içindir. n'inci terim için formülü hatırlamanız gerekir. Formül problemimize uygulanırsa, 99'un ilerlemenin otuzuncu üyesi olduğunu elde ederiz. Onlar. n = 30.

Bir aritmetik ilerlemenin toplamı için formüle bakıyoruz:

Bakıyoruz ve seviniyoruz.) Sorunun durumundan miktarı hesaplamak için gereken her şeyi çıkardık:

bir 1= 12.

30= 99.

sn = S 30.

Geriye temel aritmetik kalıyor. Formüldeki sayıları değiştirin ve hesaplayın:

Cevap: 1665

Başka bir popüler bulmaca türü:

4. Bir aritmetik ilerleme verilir:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Yirmi ile otuz dördüncü arasındaki terimlerin toplamını bulun.

Toplam formülüne bakıyoruz ve ... üzülüyoruz.) Formül, hatırlatmama izin verin, toplamı hesaplıyor birincidenüye. Ve problemde toplamı hesaplamanız gerekir yirminci yıldan beri... Formül işe yaramayacak.

Elbette tüm ilerlemeyi arka arkaya boyayabilir ve üyeleri 20'den 34'e koyabilirsiniz. Ama ... bir şekilde aptalca ve uzun bir süre çıkıyor, değil mi?)

Daha zarif bir çözüm var. Serimizi iki kısma ayıralım. ilk bölüm olacak birinci dönemden on dokuzuncu döneme kadar.İkinci kısım - yirmi ila otuz dört. Açıktır ki, birinci kısmın terimlerinin toplamını hesaplarsak S 1-19, ikinci kısımdaki üyelerin toplamına ekleyelim S 20-34, birinci terimden otuz dördüncü terime ilerlemenin toplamını elde ederiz S 1-34. Bunun gibi:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Bu toplamı bulmak için gösterir S 20-34 basit çıkarma ile yapılabilir

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Sağ taraftaki her iki toplam da dikkate alınır birincidenüye, yani standart toplam formülü onlar için oldukça uygulanabilir. Başlıyor muyuz?

İlerleme parametrelerini görev koşulundan çıkarıyoruz:

d = 1.5.

bir 1= -21,5.

İlk 19 ve ilk 34 terimlerin toplamlarını hesaplamak için 19. ve 34. terimlere ihtiyacımız olacak. Bunları 2. problemdeki gibi n'inci terimin formülüne göre sayıyoruz:

19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Hiçbir şey kalmadı. 34 terimin toplamından 19 terimin toplamını çıkarın:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Cevap: 262.5

Önemli bir not! Bu sorunu çözmede çok kullanışlı bir özellik var. Doğrudan hesaplama yerine neye ihtiyacın var (S 20-34), saydık Görünüşe göre neye gerek yok - S 1-19. Ve sonra belirlediler S 20-34, gereksizleri tam sonuçtan atarak. Böyle bir "kulaklı numara" genellikle kötü bulmacalardan kurtarır.)

Bu derste, bir aritmetik ilerlemenin toplamının anlamını anlamanın yeterli olduğu problemleri inceledik. Pekala, birkaç formül bilmeniz gerekiyor.)

pratik tavsiye:

Bir aritmetik ilerlemenin toplamı için herhangi bir sorunu çözerken, bu konudaki iki ana formülü hemen yazmanızı öneririm.

n'inci üyenin formülü:

Bu formüller size sorunu çözmek için nelere bakmanız, hangi yönde düşünmeniz gerektiğini hemen söyleyecektir. Yardım eder.

Ve şimdi bağımsız çözüm için görevler.

5. Üçe bölünmeyen tüm iki basamaklı sayıların toplamını bulun.

Harika mı?) İpucu, 4. problemin notunda gizli. 3. problem yardımcı olacaktır.

6. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir: a 1 = -5.5; bir n+1 = bir n +0,5. İlk 24 terimin toplamını bulun.

Olağandışı mı?) Bu yinelenen bir formüldür. Bunu bir önceki derste okuyabilirsiniz. Bağlantıyı göz ardı etmeyin, bu tür bulmacalar genellikle GIA'da bulunur.

7. Vasya Tatil için para biriktirdi. 4550 ruble kadar! Ve en sevilen kişiye (kendime) birkaç günlük mutluluk vermeye karar verdim). Kendinizi hiçbir şeyden mahrum bırakmadan güzelce yaşayın. İlk gün 500 ruble harcayın ve sonraki her gün bir öncekinden 50 ruble daha fazla harcayın! Para bitene kadar. Vasya kaç gün mutlu oldu?

Zor mu?) Görev 2'den ek bir formül yardımcı olacaktır.

Cevaplar (dağınık): 7, 3240, 6.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözme alıştırmaları yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenmek - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

cebir çalışırken genel eğitim okulu(9. Sınıf) biri önemli konular geometrik ve aritmetik - ilerlemeleri içeren sayısal dizilerin incelenmesidir. Bu yazıda, aritmetik bir ilerlemeyi ve çözümleri olan örnekleri ele alacağız.

Aritmetik ilerleme nedir?

Bunu anlamak için, ele alınan ilerlemenin bir tanımını vermek ve ayrıca problem çözmede daha sonra kullanılacak temel formülleri vermek gerekir.

aritmetik veya her bir üyesi bir öncekinden bir miktar sabit değerde farklı olan böyle bir sıralı rasyonel sayılar kümesidir. Bu değere fark denir. Yani, sıralı bir sayı dizisinin herhangi bir üyesini ve farkı bilerek, tüm aritmetik ilerlemeyi geri yükleyebilirsiniz.

Bir örnek alalım. Bir sonraki sayı dizisi aritmetik bir ilerleme olacaktır: 4, 8, 12, 16, ..., çünkü bu durumda fark 4'tür (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ancak 3, 5, 8, 12, 17 sayıları artık dikkate alınan ilerleme türüne atfedilemez, çünkü bunun farkı sabit bir değer değildir (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Önemli Formüller

Şimdi aritmetik ilerleme kullanarak problemleri çözmek için ihtiyaç duyulacak temel formülleri veriyoruz. Bir n, dizinin n'inci üyesini göstersin, burada n bir tam sayıdır. Farkı gösterelim Latin harfi D. O zaman aşağıdaki ifadeler doğrudur:

n'inci terimin değerini belirlemek için formül uygundur: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
İlk n terimin toplamını belirlemek için: S n = (a n + a 1)*n/2.

9. sınıftaki bir çözümle aritmetik ilerlemenin herhangi bir örneğini anlamak için, bu iki formülü hatırlamak yeterlidir, çünkü söz konusu türdeki herhangi bir problem kullanımları üzerine inşa edilmiştir. Ayrıca, ilerleme farkının şu formülle belirlendiğini unutmayın: d = a n - a n-1 .

Örnek 1: Bilinmeyen Bir Üyeyi Bulma

Aritmetik ilerlemenin basit bir örneğini ve çözmek için kullanılması gereken formülleri veriyoruz.

10, 8, 6, 4, ... dizisi verilsin, içinde beş terim bulmak gerekiyor.

Problemin koşullarından zaten ilk 4 terimin bilindiğini takip ediyor. Beşinci iki şekilde tanımlanabilir:

Önce farkı hesaplayalım. Elimizde: d = 8 - 10 = -2. Benzer şekilde, yan yana duran herhangi iki terim daha alınabilir. Örneğin, d = 4 - 6 = -2. d \u003d a n - a n-1 olduğu bilindiğinden, d \u003d a 5 - a 4, nereden alırız: a 5 \u003d a 4 + d. Bilinen değerleri yerine koyuyoruz: a 5 = 4 + (-2) = 2.
İkinci yöntem de söz konusu ilerlemenin farkı hakkında bilgi sahibi olmayı gerektirir, bu nedenle önce yukarıda gösterildiği gibi belirlemeniz gerekir (d = -2). İlk terim a 1 = 10 olduğunu bilerek, dizinin n sayısı için formülü kullanırız. Elimizde: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Son ifadede n = 5'i değiştirerek şunu elde ederiz: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Gördüğünüz gibi, her iki çözüm de aynı sonucu veriyor. Bu örnekte ilerlemenin d farkının negatif olduğuna dikkat edin. Bu tür dizilere azalan denir çünkü birbirini izleyen her terim bir öncekinden daha azdır.

Örnek 2: ilerleme farkı

Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım, bir aritmetik ilerlemenin farkının nasıl bulunacağına dair bir örnek verelim.

Bazı cebirsel dizilerde 1. terimin 6'ya, 7. terimin 18'e eşit olduğu bilinmektedir. Farkı bulmak ve bu diziyi 7. terime geri yüklemek gerekir.

Bilinmeyen terimi belirlemek için şu formülü kullanalım: a n = (n - 1) * d + a 1 . Koşuldan bilinen verileri, yani a 1 ve a 7 sayılarını değiştiririz, elimizde: 18 \u003d 6 + 6 * d. Bu ifadeden farkı kolayca hesaplayabilirsiniz: d = (18 - 6) / 6 = 2. Böylece sorunun ilk kısmı cevaplanmış oldu.

Diziyi 7. üyeye geri yüklemek için cebirsel ilerlemenin tanımını kullanmalısınız, yani a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, vb. Sonuç olarak, tüm diziyi geri yüklüyoruz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 6 = 14 + 2 = 16 ve 7 = 18.

Örnek 3: ilerleme kaydetmek

Sorunun durumunu daha da karmaşıklaştıralım. Şimdi bir aritmetik ilerlemenin nasıl bulunacağı sorusuna cevap vermeniz gerekiyor. Şu örneği verebiliriz: iki sayı verilir, örneğin 4 ve 5. Bunların arasına üç terim daha sığacak şekilde cebirsel bir dizi yapmak gerekir.

Bu sorunu çözmeye başlamadan önce, verilen sayıların ileriki süreçte nasıl bir yer kaplayacağını anlamak gerekir. Aralarında üç terim daha olacağı için, o zaman 1 \u003d -4 ve 5 \u003d 5. Bunu belirledikten sonra, öncekine benzer bir göreve geçiyoruz. Yine n'inci terim için şu formülü kullanırız: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Kimden: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Burada fark bir tamsayı değil, rasyonel bir sayıdır, bu nedenle cebirsel ilerleme formülleri aynı kalır.

Şimdi bulunan farkı 1'e ekleyelim ve ilerlemenin eksik üyelerini geri yükleyelim. Şunu elde ederiz: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, bu da sorunun durumuyla örtüşüyordu.

Örnek 4: İlerlemenin ilk üyesi

Çözümlü aritmetik dizi örnekleri vermeye devam ediyoruz. Önceki tüm problemlerde, cebirsel ilerlemenin ilk sayısı biliniyordu. Şimdi farklı türden bir problem ele alalım: a 15 = 50 ve a 43 = 37 olmak üzere iki sayı verilsin. Bu dizinin hangi sayıdan başladığını bulmak gerekiyor.

Şimdiye kadar kullanılan formüller, a 1 ve d'nin bilgisini varsayar. Sorunun durumunda bu sayılar hakkında hiçbir şey bilinmiyor. Yine de bilgi sahibi olduğumuz her terim için ifadeleri yazalım: a 15 = a 1 + 14 * d ve a 43 = a 1 + 42 * d. 2 bilinmeyen miktarın (a 1 ve d) olduğu iki denklemimiz var. Bu, problemin bir doğrusal denklem sistemini çözmeye indirgendiği anlamına gelir.

Her denklemde bir 1 ifade ederseniz ve ardından elde edilen ifadeleri karşılaştırırsanız, belirtilen sistemi çözmesi en kolay olanıdır. Birinci denklem: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ikinci denklem: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Bu ifadeleri eşitleyerek şunu elde ederiz: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, bu nedenle d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 farkı (yalnızca 3 ondalık basamak verilir).

d'yi bilerek, a 1 için yukarıdaki 2 ifadeden herhangi birini kullanabilirsiniz. Örneğin, önce: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Sonuç hakkında şüpheleriniz varsa kontrol edebilirsiniz, örneğin koşulda belirtilen ilerlemenin 43. üyesini belirleyebilirsiniz. Şunu elde ederiz: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. Küçük bir hata, hesaplamalarda binde bir yuvarlama kullanılmasından kaynaklanmaktadır.

Örnek 5: Toplam

Şimdi bir aritmetik ilerlemenin toplamı için çözümler içeren bazı örneklere bakalım.

Aşağıdaki biçimde bir sayısal dizi verilsin: 1, 2, 3, 4, ...,. Bu sayıların 100'ünün toplamı nasıl hesaplanır?

Bilgisayar teknolojisinin gelişmesi sayesinde bu sorun çözülebilir yani kişi Enter tuşuna basar basmaz bilgisayarın yapacağı tüm sayıları sırayla toplayabilirsiniz. Bununla birlikte, sunulan sayı dizisinin cebirsel bir ilerleme olduğuna ve farkının 1 olduğuna dikkat ederseniz, sorun zihinsel olarak çözülebilir. Toplam için formülü uygulayarak şunu elde ederiz: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Bu sorunun "Gauss" olarak adlandırıldığını belirtmek ilginçtir, çünkü 18. yüzyılın başında, henüz 10 yaşında olan ünlü Alman, sorunu zihninde birkaç saniye içinde çözebilmiştir. Çocuk cebirsel ilerlemenin toplamının formülünü bilmiyordu, ancak dizinin kenarlarında bulunan sayı çiftlerini toplarsanız her zaman aynı sonucu, yani 1 + 100 = 2 + 99 elde ettiğinizi fark etti. = 3 + 98 = ... ve bu toplamlar tam olarak 50 (100 / 2) olacağından doğru cevaba ulaşmak için 50'yi 101 ile çarpmanız yeterlidir.

Örnek 6: n'den m'ye kadar olan terimlerin toplamı

Bir aritmetik ilerlemenin toplamının başka bir tipik örneği şudur: bir dizi sayı verildiğinde: 3, 7, 11, 15, ..., 8'den 14'e kadar olan terimlerinin toplamının ne olacağını bulmanız gerekir.

Sorun iki şekilde çözülür. Bunlardan ilki, 8'den 14'e kadar bilinmeyen terimleri bulmayı ve ardından sırayla toplamayı içerir. Az sayıda terim olduğu için bu yöntem yeterince zahmetli değildir. Bununla birlikte, bu sorunun daha evrensel olan ikinci yöntemle çözülmesi önerilmektedir.

Fikir, m ve n terimleri arasındaki cebirsel ilerlemenin toplamı için bir formül elde etmektir, burada n > m tam sayılardır. Her iki durumda da toplam için iki ifade yazarız:

S m \u003d m * (bir m + bir 1) / 2.
S n \u003d n * (bir n + bir 1) / 2.

n > m olduğundan, 2 toplamının birinciyi içerdiği açıktır. Son sonuç, bu toplamlar arasındaki farkı alırsak ve buna a m terimini eklersek (farkın alınması durumunda, S n toplamından çıkarılır), o zaman soruna gerekli cevabı alırız. Elimizde: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + bir n * n / 2 + bir m * (1- m / 2). Bu ifadeye bir n ve bir m yerine formüller koymak gerekir. Sonra şunu elde ederiz: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = bir 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Ortaya çıkan formül biraz külfetlidir, ancak S mn toplamı yalnızca n, m, a 1 ve d'ye bağlıdır. Bizim durumumuzda, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Bu sayıları yerine koyarak şunu elde ederiz: S mn = 301.

Yukarıdaki çözümlerden de görülebileceği gibi, tüm problemler n'inci terim için ifade bilgisine ve birinci terimler kümesinin toplamı formülüne dayanmaktadır. Bu sorunlardan herhangi birini çözmeye başlamadan önce, koşulu dikkatlice okumanız, ne bulmak istediğinizi net bir şekilde anlamanız ve ancak o zaman çözüme geçmeniz önerilir.

Başka bir ipucu, basitlik için çabalamaktır, yani soruyu karmaşık matematiksel hesaplamalar kullanmadan cevaplayabiliyorsanız, o zaman tam da bunu yapmanız gerekir, çünkü bu durumda hata yapma olasılığı daha azdır. Örneğin, 6 numaralı çözüme sahip bir aritmetik ilerleme örneğinde, S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m formülünde durabilir, ve bölünmüş ortak görev ayrı alt görevlere (içinde bu durumönce a n ve a m) terimlerini bulun.

Elde edilen sonuç hakkında şüphe varsa, verilen bazı örneklerde yapıldığı gibi kontrol edilmesi önerilir. Bir aritmetik ilerlemenin nasıl bulunacağını öğrendim. Bunu anladığınızda, o kadar da zor değil.

IV Yakovlev | Matematiğin Materyalleri | MathUs.ru

Aritmetik ilerleme

Aritmetik ilerleme, özel bir dizi türüdür. Bu nedenle, aritmetik (ve sonra geometrik) ilerlemeyi tanımlamadan önce kısaca tartışmamız gerekir. önemli kavram sayı dizisi.

Ekranında bazı sayıların arka arkaya görüntülendiği bir cihaz hayal edin. 2 diyelim; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Böyle bir sayı dizisi sadece bir dizi örneğidir.

Tanım. Sayısal bir dizi, her bir sayıya benzersiz bir sayı atanabilen (yani, tek bir doğal sayı ile karşılık gelen) bir sayılar kümesidir1. n numaralı numara aranır n. üye diziler.

Dolayısıyla, yukarıdaki örnekte, ilk sayı, dizinin ilk üyesi olan ve a1 ile gösterilebilen 2 sayısına sahiptir; beş sayısı, dizinin beşinci üyesi olan ve a5 olarak gösterilebilen 6 sayısına sahiptir. Genel olarak, bir dizinin n'inci üyesi bir (veya bn , cn , vb.) İle gösterilir.

Çok uygun bir durum, dizinin n'inci üyesinin bir formülle belirlenebildiği zamandır. Örneğin, an = 2n 3 formülü diziyi belirtir: 1; 1; 3; 5; 7; : : : an = (1)n formülü diziyi tanımlar: 1; 1; 1; 1; : : :

Her sayı dizisi bir dizi değildir. Dolayısıyla, bir segment bir dizi değildir; yeniden numaralandırılacak ¾çok fazla¿ sayı içeriyor. Tüm gerçek sayıların R kümesi de bir dizi değildir. Bu gerçekler matematiksel analiz sırasında kanıtlanmıştır.

Aritmetik ilerleme: temel tanımlar

Şimdi bir aritmetik ilerlemeyi tanımlamaya hazırız.

Tanım. Aritmetik ilerleme, her terimin (ikinciden başlayarak) bir önceki terimin ve bazı sabit sayıların (aritmetik ilerlemenin farkı olarak adlandırılır) toplamına eşit olduğu bir dizidir.

Örneğin, sıra 2; 5; 8; on bir; : : : ilk terimi 2 ve farkı 3 olan bir aritmetik ilerlemedir. Dizi 7; 2; 3; 8; : : : ilk terimi 7 ve farkı 5 olan bir aritmetik ilerlemedir. Dizi 3; 3; 3; : : : sıfır farkla aritmetik ilerlemedir.

Eşdeğer tanım: Bir an dizisi, an+1 an farkı sabit bir değerse (n'ye bağlı değil) aritmetik ilerleme olarak adlandırılır.

Bir aritmetik dizinin farkı pozitif ise artan, negatif ise azalan olduğu söylenir.

1 Ve işte daha özlü bir tanım: dizi, doğal sayılar kümesinde tanımlanan bir fonksiyondur. Örneğin, gerçek sayıların dizisi f: N! R.

Varsayılan olarak diziler sonsuz kabul edilir, yani sonsuz sayıda sayı içerir. Ancak hiç kimse sonlu dizileri de dikkate alma zahmetine girmez; aslında, herhangi bir sonlu sayı kümesi sonlu bir dizi olarak adlandırılabilir. Örneğin, son dizi 1; 2; 3; 4; 5, beş sayıdan oluşur.

Bir aritmetik ilerlemenin n'inci üyesinin formülü

Bir aritmetik ilerlemenin tamamen iki sayı tarafından belirlendiğini anlamak kolaydır: ilk terim ve fark. Bu nedenle, şu soru ortaya çıkıyor: ilk terimi ve farkı bilerek, aritmetik ilerlemenin keyfi bir terimini nasıl bulursunuz?

Bir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için istenen formülü elde etmek zor değildir. izin ver

fark ile aritmetik ilerleme d. Sahibiz:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
Özellikle şunu yazıyoruz:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
ve şimdi an'ın formülünün şu olduğu açık hale geliyor:
an = a1 + (n 1)d:

Görev 1. Aritmetik ilerlemede 2; 5; 8; on bir; : : : n'inci terimin formülünü bulun ve yüzüncü terimi hesaplayın.

Çözüm. Formül (1)'e göre elimizde:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Aritmetik ilerlemenin özelliği ve işareti

aritmetik ilerlemenin özelliği. Aritmetik ilerlemede a herhangi biri için

Başka bir deyişle, aritmetik ilerlemenin her bir üyesi (ikinciden başlayarak), komşu üyelerin aritmetik ortalamasıdır.

	Kanıt. Sahibiz:
	bir n 1+ bir n+1		(bir d) + (bir + d)

gerekli olan da buydu.

Daha genel olarak, aritmetik ilerleme an eşitliği sağlar

bir n = bir n k+ bir n+k

herhangi bir n > 2 ve herhangi bir doğal k için< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Bir dizinin aritmetik dizi olması için formül (2)'nin yalnızca gerekli değil, aynı zamanda yeterli bir koşul olduğu ortaya çıktı.

Bir aritmetik ilerlemenin işareti. Eşitlik (2) tüm n > 2 için geçerliyse, an dizisi aritmetik bir ilerlemedir.

Kanıt. (2) formülünü aşağıdaki gibi yeniden yazalım:

bir na n 1= bir n+1a n:

Bu, an+1 an farkının n'ye bağlı olmadığını gösterir ve bu sadece an dizisinin aritmetik bir ilerleme olduğu anlamına gelir.

Bir aritmetik ilerlemenin özelliği ve işareti, tek bir ifade olarak formüle edilebilir; kolaylık sağlamak için bunu üç sayı için yapacağız (bu, problemlerde sıklıkla meydana gelen bir durumdur).

Bir aritmetik ilerlemenin karakterizasyonu. Üç sayı a, b, c, ancak ve ancak 2b = a + c ise aritmetik bir ilerleme oluşturur.

Problem 2. (Moskova Devlet Üniversitesi, İktisat Fakültesi, 2007) Belirtilen sırayla üç sayı 8x, 3x2 ve 4 azalan bir aritmetik ilerleme oluşturur. X'i bulun ve bu ilerlemenin farkını yazın.

Çözüm. Bir aritmetik ilerlemenin özelliği gereği, elimizde:

2(3x2 ) = 8x4 , 2x2 + 8x10 = 0 , x2 + 4x5 = 0 , x = 1; x=5:

x = 1 ise 6 farkla 8, 2, 4 azalan dizi elde edilir. x = 5 ise 40, 22, 4 artan dizi elde edilir; bu dava çalışmıyor.

Cevap: x = 1, fark 6'dır.

Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı

Efsaneye göre, öğretmen çocuklara 1'den 100'e kadar olan sayıların toplamını bulmalarını söyledikten sonra sessizce gazeteyi okumak için oturdu. Ancak birkaç dakika içinde bir çocuk sorunu çözdüğünü söyledi. Daha sonra tarihin en büyük matematikçilerinden biri olan 9 yaşındaki Carl Friedrich Gauss'du.

Küçük Gauss'un fikri şuydu. İzin vermek

Ö = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Bu toplamı ters sırayla yazalım:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

ve şu iki formülü ekleyin:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Parantez içindeki her terim 101'e eşittir ve toplamda 100 terim vardır.

2S = 101 100 = 10100;

Toplam formülünü türetmek için bu fikri kullanırız.

S = a1 + a2 + : : : + an + an n n: (3)

Formül (3)'ün yararlı bir modifikasyonu, n'inci terim an = a1 + (n 1)d'nin formülü yerine konularak elde edilir: