Ev › Yakıt sistemi › Farkın aritmetik ilerlemesini yapın. Aritmetik ilerleme - sayı dizisi

Farkın aritmetik ilerlemesini yapın. Aritmetik ilerleme - sayı dizisi

Cevrimici hesap makinesi.
Aritmetik ilerleme çözümü.
Verilen: bir n , d, n
Bul: bir 1

Bu matematik programı, kullanıcı tanımlı $a_n, d $ ve $n $ sayılarına dayalı bir aritmetik ilerlemenin $a_1$ öğesini bulur.
$a_n$ ve $d $ sayıları yalnızca tamsayılar olarak değil, aynı zamanda kesirler olarak da belirtilebilir. Ayrıca, ondalık kesir (\ (2,5 \)) şeklinde ve formda bir kesirli sayı girilebilir. ortak kesir($-5\frac(2)(7) $).

Program sadece sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda çözüm bulma sürecini de gösteriyor.

Bu çevrimiçi hesap makinesi lise öğrencileri için yararlı olabilir genel eğitim okulları hazırlık aşamasında kontrol işi ve sınavlar, sınav öncesi bilgiyi test ederken, ebeveynler matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol eder. Ya da belki bir öğretmen tutmak veya yeni ders kitapları almak sizin için çok pahalı? Yoksa bir an önce halletmek mi istiyorsunuz? Ev ödevi matematik mi cebir mi? Bu durumda detaylı çözümlü programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Böylece işlemlerinizi gerçekleştirebilirsiniz. kendi eğitimi ve/veya küçük erkek veya kız kardeşlerinin eğitimi, çözülmesi gereken görevler alanındaki eğitim düzeyi yükseltilir.

Sayı girme kurallarına aşina değilseniz, bunları öğrenmenizi öneririz.

Sayı girme kuralları

$a_n$ ve $d $ sayıları yalnızca tamsayılar olarak değil, aynı zamanda kesirler olarak da belirtilebilir.
$n$ sayısı yalnızca pozitif bir tam sayı olabilir.

Ondalık kesirleri girme kuralları.
Ondalık kesirlerde tamsayı ve kesirli kısımlar nokta veya virgülle ayrılabilir.
Örneğin, 2,5 veya 2,5 gibi ondalık sayılar girebilirsiniz.

Adi kesirleri girme kuralları.
Bir kesrin pay, payda ve tamsayı kısmı olarak yalnızca bir tam sayı işlev görebilir.

Payda negatif olamaz.

Sayısal bir kesir girerken, pay paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır: /
Giriş:
Sonuç: $-\frac(2)(3) $

Tamsayı kısmı kesirden bir ve işaretiyle ayrılır: &
Giriş:
Sonuç: $-1\frac(2)(3) $

a n , d, n sayılarını girin 1 bul

Bu görevi çözmek için gereken bazı komut dosyalarının yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği bulundu.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda, devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.

Tarayıcınızda JavaScript devre dışı bırakıldı.
Çözümün görünmesi için JavaScript etkinleştirilmelidir.
Burada, tarayıcınızda JavaScript'i nasıl etkinleştireceğinize ilişkin talimatlar verilmiştir.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye sonra çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...

Eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
Unutma hangi görev olduğunu belirt ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Biraz teori.

sayısal dizi

Numaralandırma genellikle günlük pratikte kullanılır. çesitli malzemeler sıralamalarını belirtmek için. Örneğin her sokaktaki evler numaralandırılmıştır. Kütüphanede okuyucu abonelikleri numaralandırılmakta ve özel dosya dolaplarında atanan numara sırasına göre düzenlenmektedir.

Bir tasarruf bankasında, mudinin kişisel hesabının numarasına göre, bu hesabı kolayca bulabilir ve ne tür bir mevduatı olduğunu görebilirsiniz. 1 numaralı hesaba a1 ruble, 2 numaralı hesaba a2 ruble depozito olsun, vb. sayısal dizi
bir 1 , bir 2 , bir 3 , ..., bir N
N, tüm hesapların sayısıdır. Burada, 1'den N'ye kadar olan her doğal sayıya bir n numarası atanır.

Matematik de çalışır sonsuz sayı dizileri:
bir 1 , bir 2 , bir 3 , ..., bir n , ... .
1 sayısı denir dizinin ilk üyesi, numara 2 - dizinin ikinci üyesi, numara 3 - dizinin üçüncü üyesi vesaire.
a n'nin çağrıldığı sayı dizinin nth (nth) üyesi ve doğal sayı n onun sayı.

Örneğin 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... ve 1 = 1 doğal sayılarının kareler dizisinde dizinin ilk üyesi; ve n = n 2 n. üye diziler; a n+1 = (n + 1) 2, dizinin (n + 1)inci (en artı birinci) üyesidir. Genellikle bir dizi, n'inci teriminin formülüyle belirtilebilir. Örneğin, $a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) $ formülü $1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \noktalar,\frac(1)(n) , \noktalar $

Aritmetik ilerleme

Bir yılın uzunluğu yaklaşık 365 gündür. Daha Kesin değer$365\frac(1)(4) $ güne eşittir, dolayısıyla her dört yılda bir günlük bir hata birikir.

Bu hatayı telafi etmek için her dört yılda bir gün eklenir ve uzayan yıla artık yıl denir.

Örneğin, üçüncü bin yılda artık yıllar 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

Bu dizide, ikinciden başlayarak her üye bir öncekine eşittir ve aynı sayı 4 ile eklenir. Bu tür dizilere denir. aritmetik ilerlemeler.

Tanım.
a 1 , a 2 , a 3 , ..., an n , ... sayısal dizisine denir aritmetik ilerleme, tüm doğal n için eşitlik ise
$a_(n+1) = a_n+d, $
burada d bir sayıdır.

Bu formülden a n+1 - a n = d olduğu sonucu çıkar. d sayısına fark denir aritmetik ilerleme.

Bir aritmetik ilerlemenin tanımına göre, elimizde:
$a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, $
Neresi
$a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) $, burada $n>1 $

Böylece, ikinciden başlayarak aritmetik ilerlemenin her bir üyesi, kendisine bitişik iki üyenin aritmetik ortalamasına eşittir. Bu, "aritmetik" ilerleme adını açıklar.

a 1 ve d verilirse, aritmetik ilerlemenin kalan terimleri a n+1 = a n + d özyinelemeli formülü kullanılarak hesaplanabileceğini unutmayın. Bu şekilde, ilerlemenin ilk birkaç terimini hesaplamak zor değildir, ancak örneğin bir 100 için zaten birçok hesaplama gerekecektir. Bunun için genellikle n'inci terim formülü kullanılır. Bir aritmetik ilerlemenin tanımına göre
$a_2=a_1+d, $
$a_3=a_2+d=a_1+2d, $
$a_4=a_3+d=a_1+3d$
vesaire.
hiç,
$a_n=a_1+(n-1)d, $
Çünkü n. üye aritmetik ilerleme birinci terimden d sayısının (n-1) katı alınarak elde edilir.
Bu formül denir aritmetik ilerlemenin n'inci üyesinin formülü.

Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı

1'den 100'e kadar tüm doğal sayıların toplamını bulalım.
Bu toplamı iki şekilde yazıyoruz:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
B = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Bu eşitlikleri terim terim ekliyoruz:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Bu toplamda 100 terim vardır.
Bu nedenle, 2S = 101 * 100, dolayısıyla S = 101 * 50 = 5050.

Şimdi keyfi bir aritmetik ilerleme düşünün
bir 1 , bir 2 , bir 3 , ..., bir n , ...
Bu ilerlemenin ilk n teriminin toplamı S n olsun:
S n \u003d bir 1, bir 2, bir 3, ..., bir n
Daha sonra bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı
$S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) $

$a_n=a_1+(n-1)d $ olduğundan, bu formülde bir n'yi değiştirerek, bulmak için başka bir formül elde ederiz. aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamları:
$S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) $

Kitaplar (ders kitapları) Birleşik Devlet Sınavının Özetleri ve çevrimiçi OGE testleri Oyunlar, bulmacalar İşlev grafiklerinin inşası Rus Dili Yazım Sözlüğü Gençlik argo sözlüğü Rus okulları dizini Rusya'daki ortaokullar kataloğu Rus üniversiteleri kataloğu Görev listesi

Veya aritmetik - bu, özellikleri bir okul cebir kursunda incelenen bir tür sıralı sayısal dizidir. Bu makale, bir aritmetik ilerlemenin toplamının nasıl bulunacağı sorusunu ayrıntılı olarak tartışmaktadır.

Bu ilerleme nedir?

Sorunun değerlendirilmesine geçmeden önce (bir aritmetik ilerlemenin toplamı nasıl bulunur), neyin tartışılacağını anlamaya değer.

Önceki her sayıdan bir değer ekleyerek (çıkararak) elde edilen herhangi bir gerçek sayı dizisine cebirsel (aritmetik) ilerleme denir. Matematik diline çevrilen bu tanım şu şekli alır:

Burada i, a i serisinin elemanının sıra sayısıdır. Böylece, yalnızca bir ilk sayıyı bilerek, tüm seriyi kolayca geri yükleyebilirsiniz. Formüldeki d parametresine ilerleme farkı denir.

İncelenen sayı dizileri için aşağıdaki eşitliğin geçerli olduğu kolayca gösterilebilir:

bir n \u003d bir 1 + d * (n - 1).

Yani sırayla n'inci elemanın değerini bulmak için ilk elemana d farkını 1 n-1 kez ekleyin.

Bir aritmetik ilerlemenin toplamı nedir: formül

Belirtilen miktar için formülü vermeden önce, basit bir düşünmeye değer. özel durum. Doğal sayıların 1'den 10'a ilerlemesi verildiğinde, toplamlarını bulmanız gerekir. İlerlemede (10) az sayıda terim olduğu için, sorunu kafa kafaya çözmek, yani tüm öğeleri sırayla toplamak mümkündür.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

İlginç bir şeyi dikkate almaya değer: her terim bir sonrakinden aynı d \u003d 1 değeriyle farklı olduğundan, o zaman birincinin onuncu, ikincinin dokuzuncu ile ikili toplamı aynı sonucu verecektir. . Gerçekten mi:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Gördüğünüz gibi bu toplamlardan sadece 5 tane var yani dizideki eleman sayısından tam olarak iki kat daha az. Daha sonra toplam sayısını (5) her toplamın sonucuyla (11) çarparak, ilk örnekte elde edilen sonuca geleceksiniz.

Bu argümanları genelleştirirsek, aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz:

S n \u003d n * (bir 1 + bir n) / 2.

Bu ifade, bir satırdaki tüm elemanları toplamanın hiç gerekli olmadığını, ilk a 1 ve son a n'nin değerini ve ayrıca toplam sayısı terimler

Gauss'un bu eşitliği ilk olarak okul öğretmeni tarafından belirlenen probleme bir çözüm ararken düşündüğüne inanılıyor: ilk 100 tam sayıyı toplamak.

m'den n'ye kadar olan öğelerin toplamı: formül

Önceki paragrafta verilen formül, bir aritmetik dizinin (ilk öğelerin) toplamının nasıl bulunacağı sorusuna cevap verir, ancak görevlerde genellikle ilerlemenin ortasında bir dizi sayı toplamak gerekir. Nasıl yapılır?

Bu soruyu cevaplamanın en kolay yolu şu örneği ele almaktır: m'den n'ye kadar olan terimlerin toplamını bulmak gerekli olsun. Problemi çözmek için, ilerlemenin m'den n'ye kadar verilen bir bölümü yeni bir sayı serisi olarak temsil edilmelidir. böyle gösterim m-th terim a m ilk olacak ve bir n n-(m-1) olarak numaralandırılacaktır. Bu durumda toplam için standart formül uygulanarak aşağıdaki ifade elde edilir:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Formül kullanma örneği

Bir aritmetik ilerlemenin toplamını nasıl bulacağınızı bilmek, yukarıdaki formülleri kullanmanın basit bir örneğini düşünmeye değer.

Aşağıda sayısal bir dizi var, 5'ten başlayıp 12'ye kadar olan üyelerinin toplamını bulmalısınız:

Verilen sayılar d farkının 3'e eşit olduğunu gösterir. n'inci eleman için ifadeyi kullanarak dizinin 5. ve 12. üyelerinin değerlerini bulabilirsiniz. Anlaşıldı:

5 \u003d 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
12 \u003d 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Söz konusu cebirsel ilerlemenin sonundaki sayıların değerlerini bilmek ve ayrıca dizide hangi sayıları işgal ettiklerini bilmek, önceki paragrafta elde edilen toplam için formülü kullanabilirsiniz. Elde etmek:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Bu değerin farklı bir şekilde elde edilebileceğini belirtmekte fayda var: önce standart formülü kullanarak ilk 12 öğenin toplamını bulun, ardından aynı formülü kullanarak ilk 4 öğenin toplamını hesaplayın ve ardından ikinciyi ilk toplamdan çıkarın. .

Ne ana nokta formüller?

Bu formül bulmanızı sağlar herhangi NUMARASINA GÖRE" N" .

Tabii ki, ilk terimi bilmeniz gerekiyor bir 1 ve ilerleme farkı D, peki, bu parametreler olmadan belirli bir ilerleme yazamazsınız.

Bu formülü ezberlemek (veya kopya çekmek) yeterli değildir. Özünü özümsemek ve formülü çeşitli problemlerde uygulamak gerekir. Evet ve doğru zamanda unutma, evet ...) Nasıl unutma- Bilmiyorum. Ve burada nasıl hatırlanır Gerekirse sana bir ipucu veririm. Dersi sonuna kadar bilenler için.)

Öyleyse, bir aritmetik ilerlemenin n'inci üyesinin formülünü ele alalım.

Genel olarak formül nedir - hayal ediyoruz.) Aritmetik dizi nedir, üye sayısı, dizi farkı nedir - bir önceki derste açıkça belirtilmiştir. Okumadıysanız bir göz atın. Orada her şey basit. Ne olduğunu bulmak için kalır n. üye

ilerleme Genel görünüm bir sayı dizisi olarak yazılabilir:

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , .....

bir 1- bir aritmetik ilerlemenin ilk terimini gösterir, 3- üçüncü üye 4- dördüncü vb. Beşinci dönemle ilgileniyorsak, birlikte çalışıyoruz diyelim. 5, yüz yirminci ise - itibaren 120.

Genel olarak nasıl tanımlanır herhangi bir aritmetik ilerlemenin üyesi, s herhangi sayı? Çok basit! Bunun gibi:

BİR

işte bu aritmetik ilerlemenin n'inci üyesi. N harfinin altında tüm üye sayıları aynı anda gizlenir: 1, 2, 3, 4 vb.

Ve böyle bir kayıt bize ne veriyor? Bir düşünün, bir sayı yerine bir mektup yazdılar ...

Bu gösterim bize aritmetik ilerlemelerle çalışmak için güçlü bir araç sağlar. Gösterimi kullanma BİR, hızlıca bulabiliriz herhangiüye herhangi aritmetik ilerleme. Ve ilerlemede çözülmesi gereken bir dizi görev. Devamını göreceksiniz.

Bir aritmetik ilerlemenin n'inci üyesinin formülünde:

bir n = bir 1 + (n-1)d

bir 1- aritmetik ilerlemenin ilk üyesi;

N- üye numarası.

Formül, herhangi bir ilerlemenin temel parametrelerini birbirine bağlar: BİR ; bir 1; D Ve N. Bu parametreler etrafında, tüm bulmacalar ilerleme içinde döner.

n'inci terim formülü, belirli bir ilerlemeyi yazmak için de kullanılabilir. Örneğin, problemde ilerlemenin koşul tarafından verildiği söylenebilir:

n = 5 + (n-1) 2.

Böyle bir problem kafa karıştırabilir bile ... Seri yok, fark yok ... Ama durumu formülle karşılaştırarak, bu ilerlemede bunu anlamak kolaydır. 1 \u003d 5 ve d \u003d 2.

Ve daha da öfkeli olabilir!) Aynı koşulu alırsak: bir n = 5 + (n-1) 2, evet, parantezleri açıp benzerlerini veriyor musunuz? Yeni bir formül elde ediyoruz:

bir = 3 + 2n.

Bu Sadece genel değil, belirli bir ilerleme için. Tuzağın yattığı yer burasıdır. Bazı insanlar ilk terimin üç olduğunu düşünüyor. Gerçekte ilk üye beş olmasına rağmen ... Biraz daha aşağıda böyle değiştirilmiş bir formülle çalışacağız.

İlerleme görevlerinde başka bir gösterim var - bir n+1. Bu, tahmin ettiğiniz gibi, ilerlemenin "n artı ilk" terimidir. Anlamı basit ve zararsızdır.) Bu, sayısı n sayısından birer fazla olan dizilim üyesidir. Örneğin, eğer bazı problemlerde BİR beşinci dönem, o zaman bir n+1 altıncı üye olacak. Vesaire.

Çoğu zaman atama bir n+1özyinelemeli formüllerde oluşur. Bu korkunç kelimeden korkma!) Bu sadece bir aritmetik ilerleme terimini ifade etmenin bir yoludur. bir önceki aracılığıyla. Tekrarlayan formülü kullanarak bize bu formda bir aritmetik ilerleme verildiğini varsayalım:

bir n+1 = bir n +3

2 = 1 + 3 = 5+3 = 8

3 = 2 + 3 = 8+3 = 11

Dördüncü - üçüncü, beşinci - dördüncü, vb. Ve hemen nasıl sayılır, yirminci terim söyle, 20? Ama olmaz!) 19. dönem bilinmezken 20. dönem sayılamaz. Özyinelemeli formül ile n'inci terimin formülü arasındaki temel fark budur. Yinelemeli yalnızca aracılığıyla çalışır öncesi terim ve n'inci terimin formülü - aracılığıyla Birinci ve izin verir hemen herhangi bir üyeyi numarasına göre bulun. Tüm sayı dizisini sırayla saymamak.

Bir aritmetik ilerlemede, özyinelemeli bir formül kolayca düzenli bir formüle dönüştürülebilir. Bir çift ardışık terimi sayın, farkı hesaplayın D, gerekirse ilk terimi bulun bir 1, formülü her zamanki biçimde yazın ve onunla çalışın. GIA'da bu tür görevler sıklıkla bulunur.

Bir aritmetik ilerlemenin n'inci üyesinin formülünün uygulanması.

İlk olarak, formülün doğrudan uygulanmasına bakalım. Bir önceki dersin sonunda bir problem vardı:

Bir aritmetik ilerleme (a n) verildiğinde. a 1 =3 ve d=1/6 ise 121'i bulun.

Bu problem, herhangi bir formül olmaksızın, basitçe aritmetik ilerlemenin anlamına bağlı olarak çözülebilir. Ekle, evet ekle ... Bir veya iki saat.)

Ve formüle göre çözüm bir dakikadan az sürecek. Zamanlayabilirsiniz.) Biz karar veririz.

Koşullar, formülü kullanmak için tüm verileri sağlar: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. ne olduğu görülmeye devam ediyor N. Sorun değil! Bulmalıyız 121. İşte yazıyoruz:

Lütfen dikkatini ver! indeks yerine N belirli bir sayı ortaya çıktı: 121. Bu oldukça mantıklı.) Aritmetik dizinin üyesiyle ilgileniyoruz. numara yüz yirmi bir. Bu bizim olacak N. Bu anlam N= 121'i formülde parantez içinde yerine koyacağız. Formüldeki tüm sayıları değiştirin ve hesaplayın:

121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Hepsi bu kadar. Beş yüz onuncu üye ve bin üçüncü üye herhangi biri kadar çabuk bulunabilirdi. yerine koyduk N" harfinin dizininde istenen sayı A" ve parantez içinde ve düşünüyoruz.

Size özü hatırlatmama izin verin: bu formül bulmanızı sağlar herhangi aritmetik ilerleme terimi NUMARASINA GÖRE" N" .

Sorunu daha akıllıca çözelim. Diyelim ki aşağıdaki sorunumuz var:

a 17 = -2 ise, aritmetik dizinin ilk terimini (a n) bulun; d=-0.5.

Herhangi bir zorluk yaşarsanız, ilk adımı önereceğim. Bir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için formülü yazın! Evet evet. El ile doğrudan defterinize yazın:

bir n = bir 1 + (n-1)d

Ve şimdi formülün harflerine baktığımızda hangi verilere sahip olduğumuzu ve neyin eksik olduğunu anlıyoruz? Mevcut d=-0.5, on yedinci bir üye var ... Her şey mi? Hepsi bu kadar sanıyorsanız, o zaman sorunu çözemezsiniz, evet...

numaramız da var N! durumda bir 17 = -2 gizlenmiş İki seçenek. Bu hem on yedinci üyenin değeri (-2) hem de numarasıdır (17). Onlar. n=17. Bu "küçük şey" genellikle başın yanından kayar ve onsuz ("küçük şey" olmadan, kafa değil!) Sorun çözülemez. Yine de ... ve kafasız da.)

Şimdi verilerimizi aptalca formüle koyabiliriz:

17 \u003d 1 + (17-1) (-0,5)

Oh evet, 17-2 olduğunu biliyoruz. Tamam, koyalım:

-2 \u003d 1 + (17-1) (-0,5)

Özünde hepsi bu. Geriye aritmetik ilerlemenin ilk terimini formülden ifade etmek ve hesaplamak kalır. Cevabı alırsınız: 1 = 6

Böyle bir teknik - bir formül yazmak ve basitçe bilinen verileri değiştirmek - basit görevlerde çok yardımcı olur. Peki, elbette, bir formülden bir değişkeni ifade edebilmelisiniz, ama ne yapmalı!? Bu beceri olmadan matematik hiç çalışılamaz ...

Başka bir popüler sorun:

a 1 = 2 ise aritmetik ilerlemenin (a n) farkını bulun; bir 15 = 12.

Biz ne yapıyoruz? Şaşıracaksınız, formülü biz yazıyoruz!)

bir n = bir 1 + (n-1)d

Ne bildiğimizi düşünün: bir 1 =2; 15 = 12; ve (özel vurgu!) n=15. Formülde değiştirmekten çekinmeyin:

12=2 + (15-1)d

Aritmetiği yapalım.)

12=2 + 14d

D=10/14 = 5/7

Bu doğru cevap.

Yani, görevler bir n , bir 1 Ve D karar verilmiş. Numarayı nasıl bulacağınızı öğrenmek için kalır:

99 sayısı, a 1 = 12 olduğu bir aritmetik ilerlemenin (bir n) üyesidir; d=3. Bu üyenin numarasını bulun.

Bilinen miktarları n'inci terimin formülünde yerine koyarız:

bir n = 12 + (n-1) 3

İlk bakışta burada bilinmeyen iki nicelik vardır: bir n ve n. Ancak BİR numaralı ilerlemenin bir üyesidir N... Ve bildiğimiz ilerlemenin bu üyesi! 99. Numarasını bilmiyoruz. N, bu yüzden bu sayının da bulunması gerekiyor. İlerleme terimi 99'u formülde değiştirin:

99 = 12 + (n-1) 3

Formülden ifade ediyoruz N, düşünürüz. Cevabı alıyoruz: n=30.

Ve şimdi aynı konuyla ilgili, ancak daha yaratıcı bir problem):

117 sayısının bir aritmetik ilerlemenin (bir n) üyesi olup olmayacağını belirleyin:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Formülü tekrar yazalım. Ne, seçenek yok mu? Hm... Neden göze ihtiyacımız var?) İlerlemenin ilk üyesini görüyor muyuz? Görürüz. Bu -3.6. Güvenle yazabilirsiniz: 1 \u003d -3.6. Fark D seriden belirlenebilir mi? Bir aritmetik ilerlemenin farkının ne olduğunu biliyorsanız, bu kolaydır:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Evet, en basit şeyi yaptık. Bilinmeyen bir numara ile uğraşmaya devam ediyor N ve anlaşılmaz bir sayı 117. Bir önceki problemde en azından verilen ilerlemenin terimi olduğu biliniyordu. Ama burada bunu bile bilmiyoruz ... Nasıl olunur!? Peki nasıl olunur, nasıl olunur... Aç Yaratıcı beceriler!)

Biz sanmak 117, ne de olsa ilerlememizin bir üyesi. Bilinmeyen numara ile N. Ve tıpkı önceki problemdeki gibi bu sayıyı bulmaya çalışalım. Onlar. formülü (evet-evet!) yazıyoruz ve sayılarımızı değiştiriyoruz:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Yine formülden ifade ediyoruzN, sayar ve elde ederiz:

Hata! Numara ortaya çıktı kesirli! Yüz bir buçuk. Ve ilerlemelerde kesirli sayılar olamaz. Nasıl bir sonuç çıkarıyoruz? Evet! 117 numara değil ilerlememizin üyesi. 101. ve 102. üyeler arasında bir yerdedir. Sayının doğal olduğu ortaya çıktıysa, yani. pozitif tamsayı, o zaman sayı bulunan sayı ile ilerlemenin bir üyesi olacaktır. Ve bizim durumumuzda, sorunun cevabı şöyle olacaktır: HAYIR.

GIA'nın gerçek bir versiyonuna dayalı görev:

Aritmetik ilerleme koşul tarafından verilir:

bir n \u003d -4 + 6.8n

İlerlemenin ilk ve onuncu terimlerini bulun.

Burada ilerleme alışılmadık bir şekilde belirlenir. Bir çeşit formül ... Olur.) Ancak bu formül (yukarıda yazdığım gibi) - ayrıca bir aritmetik ilerlemenin n'inci üyesinin formülü! O da izin verir ilerlemenin herhangi bir üyesini numarasına göre bulun.

İlk üyeyi arıyoruz. Düşünen kişi. ilk terimin eksi dört olması ölümcül bir hatadır!) Çünkü problemdeki formül değiştirilmiş. İçinde bir aritmetik ilerlemenin ilk terimi gizlenmiş. Hiçbir şey, şimdi bulacağız.)

Tıpkı önceki görevlerde olduğu gibi, değiştiriyoruz n=1 bu formüle:

1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Burada! İlk terim 2.8, -4 değil!

Benzer şekilde, onuncu terimi arıyoruz:

10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Hepsi bu kadar.

Ve şimdi bu satırlara kadar okuyanlara vaat edilen ikramiye.)

Diyelim ki, GIA'nın veya Birleşik Devlet Sınavının zorlu bir savaş durumunda, bir aritmetik ilerlemenin n'inci üyesinin yararlı formülünü unuttunuz. Aklına bir şey geliyor, ama bir şekilde belirsiz ... N orada veya n+1 veya n-1... nasıl olunur!?

Sakinlik! Bu formülü türetmek kolaydır. Çok katı değil, ama kesinlikle güven ve doğru karar için yeterli!) Sonuç için, aritmetik ilerlemenin temel anlamını hatırlamak ve birkaç dakika zaman ayırmak yeterli. Sadece bir resim çizmeniz gerekiyor. Açıklık için.

Sayısal bir eksen çiziyoruz ve ilkini üzerine işaretliyoruz. ikinci, üçüncü vb. üyeler. Ve farkı not edin Düyeler arasında. Bunun gibi:

Resme bakıyoruz ve düşünüyoruz: ikinci terim neye eşit? Saniye bir D:

A 2 = bir 1 + 1 D

Üçüncü terim nedir? Üçüncü terim eşittir birinci terim artı iki D.

A 3 = bir 1 + 2 D

anladın mı Bazı kelimeleri boşuna kalın harflerle yazmadım. Tamam, bir adım daha.)

Dördüncü terim nedir? Dördüncü terim eşittir birinci terim artı üç D.

A 4 = bir 1 + 3 D

Boşluk sayısının farkına varmanın zamanı geldi, yani. D, Her zaman aradığınız üye sayısından bir eksik N. Yani sayıya kadar n, boşluk sayısı irade n-1. Yani, formül şöyle olacaktır (seçenek yok!):

bir n = bir 1 + (n-1)d

Genel olarak, görsel resimler matematikteki birçok problemin çözümünde çok yardımcı olur. Resimleri ihmal etmeyin. Ama bir resim çizmek zorsa, o zaman ... sadece bir formül!) Ek olarak, n'inci terimin formülü, matematiğin tüm güçlü cephaneliğini çözüme - denklemler, eşitsizlikler, sistemler vb. - bağlamanıza olanak tanır. Denkleme bir resim koyamazsınız...

Bağımsız karar için görevler.

ısınma için:

1. Aritmetik dizide (a n) a 2 =3; 5 \u003d 5.1. 3'ü bulun.

İpucu: resme göre problem 20 saniyede çözülüyor ... Formüle göre daha zor çıkıyor. Ancak formüle hakim olmak için daha kullanışlıdır.) 555. Bölümde bu sorun hem resimle hem de formülle çözülmektedir. Farkı Hisset!)

Ve bu artık bir ısınma değil.)

2. Aritmetik ilerlemede (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. 3'ü bulun.

Ne, resim çizme isteksizliği mi?) Yine de! Daha iyi formül, evet...

3. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir:1 \u003d -5,5; bir n+1 = bir n +0,5. Bu dizinin yüz yirmi beşinci terimini bulun.

Bu görevde, ilerleme tekrarlayan bir şekilde verilir. Ama yüz yirmi beşinci döneme kadar saymak... Herkes böyle bir başarıyı başaramaz.) Ama n'inci dönemin formülü herkesin elinde!

4. Bir aritmetik ilerleme (a n) verildiğinde:

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

İlerlemedeki en küçük pozitif terimin sayısını bulun.

5. Görev 4'ün durumuna göre, ilerlemenin en küçük pozitif ve en büyük negatif üyelerinin toplamını bulun.

6. Artan bir aritmetik dizinin beşinci ve on ikinci terimlerinin çarpımı -2,5, üçüncü ve on birinci terimlerin toplamı sıfırdır. 14'ü bulun.

En kolay görev değil, evet ...) Burada "parmaklarda" yöntemi işe yaramayacak. Formüller yazmalı ve denklemleri çözmelisiniz.

Yanıtlar (karmaşa içinde):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Olmuş? Bu iyi!)

Her şey yolunda değil mi? Olur. bu arada, içinde son ödev ince bir nokta var. Sorunu okurken dikkat gerekli olacaktır. Ve mantık.

Tüm bu sorunların çözümü, Bölüm 555'te ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Ve dördüncü için fantezi unsuru ve altıncı için ince an ve n'inci terimin formülü için herhangi bir sorunu çözmek için genel yaklaşımlar - her şey boyanmıştır. Ben tavsiye ediyorum.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözme alıştırmaları yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenmek - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Evet, evet: aritmetik ilerleme sizin için bir oyuncak değil :)

Pekala arkadaşlar, eğer bu metni okuyorsanız, içsel sınır kanıtı bana aritmetik ilerlemenin ne olduğunu hala bilmediğinizi, ancak gerçekten (hayır, bunun gibi: ÇOOOOOO!) bilmek istediğinizi söylüyor. Bu nedenle, sizi uzun tanıtımlarla eziyet etmeyeceğim ve hemen işe başlayacağım.

Başlamak için birkaç örnek. Birkaç sayı kümesini göz önünde bulundurun:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Tüm bu setlerin ortak noktası nedir? İlk bakışta, hiçbir şey. Ama aslında bir şey var. Yani: sonraki her eleman bir öncekinden aynı sayı kadar farklıdır.

Kendiniz için yargılayın. İlk küme, her biri bir öncekinden fazla olan ardışık sayılardan oluşur. İkinci durumda, bitişik sayılar arasındaki fark zaten beşe eşittir, ancak bu fark hala sabittir. Üçüncü durumda, genel olarak kökler vardır. Ancak, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ iken, $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, yani bu durumda sonraki her öğe basitçe $\sqrt(2)$ artar (ve bu sayının irrasyonel olduğundan korkmayın).

Yani: tüm bu dizilere sadece aritmetik ilerlemeler denir. Kesin bir tanım verelim:

Tanım. Her birinin bir öncekinden tamamen aynı miktarda farklı olduğu bir sayı dizisine aritmetik dizi denir. Sayıların farklı olduğu miktara ilerleme farkı denir ve çoğunlukla $d$ harfiyle gösterilir.

Gösterim: $\left(((a)_(n)) \right)$ ilerlemenin kendisidir, $d$ farkıdır.

Ve sadece birkaç önemli açıklama. İlk olarak, ilerleme sadece kabul edilir düzenli sayı dizisi: kesinlikle yazıldıkları sıraya göre okunmalarına izin verilir - başka hiçbir şeye izin verilmez. Numaraları yeniden düzenleyemez veya değiştiremezsiniz.

İkincisi, dizinin kendisi sonlu veya sonsuz olabilir. Örneğin, (1; 2; 3) kümesi açıkça sonlu bir aritmetik ilerlemedir. Ama ruhta bir şey yazarsanız (1; 2; 3; 4; ...) - bu zaten sonsuz ilerleme. Dörtten sonraki üç nokta, olduğu gibi, pek çok sayının daha ileri gittiğini ima ediyor. Örneğin sonsuz sayıda. :)

Ayrıca ilerlemelerin arttığını ve azaldığını da belirtmek isterim. Artanları zaten gördük - aynı küme (1; 2; 3; 4; ...). İşte azalan ilerleme örnekleri:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

tamam tamam son örnek fazla karmaşık görünebilir. Ama geri kalanı, bence anlıyorsun. Bu nedenle, yeni tanımlar getiriyoruz:

Tanım. Bir aritmetik ilerleme denir:

sonraki her eleman bir öncekinden büyükse artan;

aksine, sonraki her öğe bir öncekinden daha azsa azalır.

Ek olarak, sözde "sabit" diziler vardır - bunlar aynı tekrar eden sayıdan oluşur. Örneğin, (3; 3; 3; ...).

Geriye tek bir soru kalıyor: artan bir ilerlemeyi azalan bir ilerlemeden nasıl ayırt edebilirim? Neyse ki, buradaki her şey yalnızca $d$ sayısının işaretine bağlıdır, yani. ilerleme farklılıkları:

$d \gt 0$ ise, ilerleme artıyor demektir;
$d \lt 0$ ise, ilerleme açıkça azalmaktadır;
Son olarak, $d=0$ durumu vardır - bu durumda tüm ilerleme aynı sayılardan oluşan durağan bir diziye indirgenir: (1; 1; 1; 1; ...), vb.

Yukarıdaki üç azalan ilerleme için $d$ farkını hesaplamaya çalışalım. Bunu yapmak için, herhangi iki bitişik öğeyi (örneğin, birinci ve ikinci) alıp sağdaki sayıdan soldaki sayıyı çıkarmak yeterlidir. Bunun gibi görünecek:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Gördüğünüz gibi, her üç durumda da fark gerçekten negatif çıktı. Ve şimdi tanımları az çok anladığımıza göre, ilerlemelerin nasıl tanımlandığını ve hangi özelliklere sahip olduklarını anlamanın zamanı geldi.

İlerleme üyeleri ve yinelenen formül

Dizilerimizin öğeleri değiştirilemediğinden, numaralandırılabilirler:

\[\left(((a)_(n)) \sağ)=\left$ ((a)_(1))\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \Sağ$\]

Bu kümenin bireysel öğelerine ilerlemenin üyeleri denir. Bir sayı yardımıyla bu şekilde belirtilirler: birinci üye, ikinci üye vb.

Ek olarak, zaten bildiğimiz gibi, ilerlemenin komşu üyeleri aşağıdaki formülle ilişkilidir:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Kısacası dizinin $n$th terimini bulmak için $n-1$th terimini ve $d$ farkını bilmeniz gerekir. Böyle bir formüle tekrarlayan denir, çünkü onun yardımıyla, yalnızca bir öncekini (ve aslında öncekilerin tümünü) bilerek herhangi bir sayıyı bulabilirsiniz. Bu çok elverişsizdir, dolayısıyla herhangi bir hesaplamayı ilk terime ve farka indirgeyen daha kurnaz bir formül vardır:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \sağ)d\]

Muhtemelen bu formülle daha önce karşılaşmışsınızdır. Her türlü kaynak kitap ve reşebniklerde vermeyi severler. Ve matematikle ilgili herhangi bir mantıklı ders kitabında, ilklerden biridir.

Ancak, biraz pratik yapmanızı öneririm.

Görev numarası 1. $((a)_(1))=8,d=-5$ ise, $\left(((a)_(n)) \right)$ aritmetik dizinin ilk üç terimini yazın.

Çözüm. Böylece, $((a)_(1))=8$ ilk terimini ve $d=-5$ ilerleme farkını biliyoruz. Biraz önce verilen formülü kullanalım ve $n=1$, $n=2$ ve $n=3$ yerine koyalım:

\[\begin(hizala) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \sağ)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \sağ)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \sağ)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(hizala)\]

Cevap: (8; 3; -2)

Bu kadar! İlerlememizin azaldığına dikkat edin.

Elbette, $n=1$ değiştirilemezdi - ilk terimi zaten biliyoruz. Ancak birimi değiştirerek formülümüzün ilk terim için bile çalışmasını sağladık. Diğer durumlarda, her şey banal aritmetiğe indi.

Görev numarası 2. Yedinci terimi -40 ve on yedinci terimi -50 olan bir aritmetik dizinin ilk üç terimini yazın.

Çözüm. Sorunun durumunu olağan terimlerle yazıyoruz:

\[((a)_(7))=-40;\dörtlü ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(hizala) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(hizala) \sağ.\]

\[\left\( \begin(hizala) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(hizala) \Sağ.\]

Bu gereksinimlerin eş zamanlı olarak karşılanması gerektiği için sistemin işaretini koyuyorum. Ve şimdi birinci denklemi ikinci denklemden çıkarırsak (bunu yapmaya hakkımız var, çünkü bir sistemimiz var), şunu elde ederiz:

\[\begin(hizala) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \sağ)=-50-\left(-40 \sağ); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(hizala)\]

Aynen böyle, ilerleme farkını bulduk! Bulunan sayıyı sistemin denklemlerinden herhangi birinde değiştirmek için kalır. Örneğin, ilkinde:

\[\begin(matris) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matris)\]

Şimdi, birinci terimi ve farkı bilerek, ikinci ve üçüncü terimleri bulmaya devam ediyor:

\[\begin(hizala) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(hizala)\]

Hazır! Sorun çözüldü.

Cevap: (-34; -35; -36)

Dizinin keşfettiğimiz ilginç bir özelliğine dikkat edin: $n$th ve $m$th terimlerini alıp birbirinden çıkarırsak, dizilim farkının $n-m$ sayısıyla çarpımını elde ederiz:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Basit ama çok kullanışlı özellik, kesinlikle bilmeniz gereken - onun yardımıyla, ilerlemelerdeki birçok sorunun çözümünü önemli ölçüde hızlandırabilirsiniz. İşte bunun en önemli örneği:

Görev numarası 3. Aritmetik dizinin beşinci terimi 8.4 ve onuncu terimi 14.4'tür. Bu ilerlemenin on beşinci terimini bulun.

Çözüm. $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ olduğundan ve $((a)_(15))$ bulmamız gerektiğinden, şunu not ediyoruz:

\[\begin(hizala) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(hizala)\]

Ancak $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ koşuluna göre, yani $5d=6$, dolayısıyla:

\[\begin(hizala) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(hizala)\]

Cevap: 20.4

Bu kadar! Herhangi bir denklem sistemi oluşturmamıza ve ilk terimi ve farkı hesaplamamıza gerek yoktu - her şeye sadece birkaç satırda karar verildi.

Şimdi başka bir sorun türünü ele alalım - ilerlemenin olumsuz ve olumlu üyelerini aramak. İlerleme artarsa, ilk terimi negatifken, er ya da geç pozitif terimlerin içinde görüneceği bir sır değil. Ve tam tersi: azalan bir ilerlemenin koşulları er ya da geç olumsuz olacaktır.

Aynı zamanda, öğeleri sırayla sıralayarak bu anı "alında" bulmak her zaman mümkün olmaktan uzaktır. Genellikle problemler, formülleri bilmeden hesaplamalar birkaç sayfa alacak şekilde tasarlanır - cevabı bulana kadar uyuyakalırdık. Dolayısıyla bu sorunları daha hızlı çözmeye çalışacağız.

Görev numarası 4. Bir aritmetik ilerlemede kaç tane negatif terim -38.5; -35.8; …?

Çözüm. Yani, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, buradan hemen farkı buluruz:

Farkın pozitif olduğuna dikkat edin, bu nedenle ilerleme artıyor. İlk terim negatiftir, yani gerçekten de bir noktada pozitif sayılara rastlayacağız. Tek soru bunun ne zaman olacağı.

Terimlerin olumsuzluğunun ne kadar süreyle (yani, hangi $n$ doğal sayısına kadar) korunduğunu bulmaya çalışalım:

\[\begin(hizala) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \sağ)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \sağ. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \sağ) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(hizala)\]

Son satırın açıklığa kavuşturulması gerekiyor. Yani $n \lt 15\frac(7)(27)$ olduğunu biliyoruz. Öte yandan, sayının yalnızca tamsayı değerleri bize uyacaktır (ayrıca: $n\in \mathbb(N)$), bu nedenle izin verilen en büyük sayı tam olarak $n=15$ ve hiçbir durumda 16 değildir.

Görev numarası 5. Aritmetik ilerlemede $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Bu ilerlemenin ilk pozitif teriminin sayısını bulun.

Bu, bir öncekiyle tamamen aynı problem olurdu, ancak $((a)_(1))$'ı bilmiyoruz. Ancak komşu terimler bilinmektedir: $((a)_(5)$ ve $((a)_(6))$, böylece ilerleme farkını kolayca bulabiliriz:

Ayrıca beşinci terimi birinci terim ve fark cinsinden standart formülü kullanarak ifade etmeye çalışalım:

\[\begin(hizala) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \sağ)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cnokta 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(hizala)\]

Şimdi bir önceki probleme benzeterek ilerliyoruz. Sıralamamızın hangi noktasında pozitif sayıların görüneceğini öğreniyoruz:

\[\begin(hizala) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \sağ)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Sağ ok ((n)_(\min ))=56. \\ \end(hizala)\]

Bu eşitsizliğin minimum tamsayı çözümü 56 sayısıdır.

Lütfen son görevde her şeyin katı eşitsizliğe indirgendiğini unutmayın, bu nedenle $n=55$ seçeneği bize uymayacaktır.

Artık basit problemleri nasıl çözeceğimizi öğrendiğimize göre, daha karmaşık problemlere geçelim. Ama önce, aritmetik ilerlemelerin bize çok zaman kazandıracak ve gelecekte eşit olmayan hücreler kazandıracak çok yararlı bir özelliğini daha öğrenelim. :)

Aritmetik ortalama ve eşit girintiler

$\left(((a)_(n)) \right)$ artan aritmetik dizinin birkaç ardışık terimini ele alalım. Bunları bir sayı satırında işaretlemeye çalışalım:

Sayı doğrusundaki aritmetik ilerleme üyeleri

$((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ rastgele üyelerini özellikle not ettim ve $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ vb. Çünkü şimdi size anlatacağım kural her "segment" için aynı şekilde işliyor.

Ve kural çok basit. Özyinelemeli formülü hatırlayalım ve tüm işaretli üyeler için yazalım:

\[\begin(hizala) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(hizala)\]

Ancak, bu eşitlikler farklı şekilde yeniden yazılabilir:

\[\begin(hizala) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(hizala)\]

Peki ne olmuş? Ancak $((a)_(n-1))$ ve $((a)_(n+1))$ terimlerinin $((a)_(n)) $'dan aynı uzaklıkta olması gerçeği . Ve bu uzaklık $d$'a eşittir. Aynı şey $((a)_(n-2))$ ve $((a)_(n+2))$ terimleri için de söylenebilir - bunlar ayrıca $((a)_(n)'den çıkarılır. )$ aynı mesafe ile $2d$'a eşit. Süresiz olarak devam edebilirsiniz, ancak resim anlamı iyi açıklıyor

İlerleme üyeleri merkezden aynı uzaklıkta bulunur

Bu bizim için ne anlama geliyor? Bu, eğer komşu numaralar biliniyorsa $((a)_(n))$ bulabileceğiniz anlamına gelir:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Muhteşem bir önerme çıkardık: Bir aritmetik dizinin her bir üyesi, komşu üyelerin aritmetik ortalamasına eşittir! Dahası, $((a)_(n))$'den sola ve sağa bir adım değil, $k$ adım sapabiliriz - ve yine de formül doğru olacaktır:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Onlar. $((a)_(100))$ ve $((a)_(200))$'yi bilirsek kolayca $((a)_(150)$ bulabiliriz, çünkü $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200))))(2)$. İlk bakışta, bu gerçek bize yararlı bir şey vermiyor gibi görünebilir. Bununla birlikte, pratikte, birçok görev, aritmetik ortalamanın kullanımı için özel olarak "keskinleştirilmiştir". Bir göz at:

Görev numarası 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ ve $14+4((x)^(2))$ sayıları ardışık üyeler olacak şekilde $x$'ın tüm değerlerini bulun bir aritmetik ilerleme (belirtilen sırada).

Çözüm. Bu sayılar bir ilerlemenin üyeleri olduğundan, aritmetik ortalama koşulu onlar için karşılanır: merkezi öğe $x+1$, komşu öğeler cinsinden ifade edilebilir:

\[\begin(hizala) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(hizala)\]

Klasik çıktı ikinci dereceden denklem. Kökleri: $x=2$ ve $x=-3$ cevaplar.

Cevap: -3; 2.

Görev numarası 7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ sayıları bir aritmetik ilerleme oluşturacak şekilde $$ değerlerini bulun (bu sırayla).

Çözüm. Yine orta terimi komşu terimlerin aritmetik ortalaması cinsinden ifade edelim:

\[\begin(hizala) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\sağ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2)-7x+6=0. \\ \end(hizala)\]

Başka bir ikinci dereceden denklem. Ve yine iki kök: $x=6$ ve $x=1$.

Cevap 1; 6.

Bir sorunu çözme sürecinde bazı acımasız sayılar alırsanız veya bulunan cevapların doğruluğundan tam olarak emin değilseniz, o zaman kontrol etmenizi sağlayan harika bir numara vardır: sorunu doğru çözdük mü?

Diyelim ki 6. problemde -3 ve 2 cevaplarını aldık. Bu cevapların doğru olup olmadığını nasıl kontrol edebiliriz? Onları orijinal durumuna takalım ve ne olacağını görelim. Aritmetik bir ilerleme oluşturması gereken üç sayıya ($-6(()^(2))$, $+1$ ve $14+4(()^(2))$) sahip olduğumuzu hatırlatmama izin verin. $x=-3$'ı değiştirin:

\[\begin(hizala) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(hizala)\]

-54 rakamlarını aldık; -2; 52 farkla 50, şüphesiz aritmetik bir dizidir. Aynı şey $x=2$ için de olur:

\[\begin(hizala) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(hizala)\]

Yine bir ilerleme ama 27 farkla. Böylece sorun doğru bir şekilde çözülmüş oluyor. Dileyenler ikinci görevi kendileri kontrol edebilir ama hemen söyleyeceğim: orada da her şey doğru.

Genel olarak, son görevleri çözerken başka birine rastladık. ilginç gerçek, ayrıca hatırlanması gereken:

Üç sayı, ikincisi birinci ve sonuncunun ortalaması olacak şekildeyse, bu sayılar bir aritmetik ilerleme oluşturur.

Gelecekte, bu ifadeyi anlamak, sorunun durumuna bağlı olarak gerekli ilerlemeleri kelimenin tam anlamıyla "inşa etmemize" izin verecektir. Ancak böyle bir "inşaya" girmeden önce, daha önce ele alınanların doğrudan sonucu olan bir gerçeğe daha dikkat etmeliyiz.

Gruplandırma ve öğelerin toplamı

Tekrar sayı doğrusuna dönelim. Orada, belki aralarında, ilerlemenin birkaç üyesini not ediyoruz. diğer birçok üyeye değer:

Sayı doğrusunda işaretlenmiş 6 element

"Sol kuyruk"u $((a)_(n))$ ve $d$ cinsinden ve "sağ kuyruk"u $((a)_(k))$ ve $ cinsinden ifade etmeye çalışalım. d$. Çok basit:

\[\begin(hizala) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(hizala)\]

Şimdi aşağıdaki toplamların eşit olduğuna dikkat edin:

\[\begin(hizala) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(hizala)\]

Basitçe söylemek gerekirse, ilerlemenin toplamda $S$ sayısına eşit olan iki öğesini bir başlangıç olarak ele alırsak ve sonra bu öğelerden zıt yönlerde adım atmaya başlarsak (birbirimize doğru veya tam tersi uzaklaşmak için), Daha sonra rastlayacağımız elementlerin toplamları da eşit olacaktır.$S$. Bu en iyi grafiksel olarak temsil edilebilir:

Aynı girintiler eşit toplamlar verir

Anlamak bu gerçek sorunları temelde daha fazla çözmemize izin verecek yüksek seviye yukarıda tartışılanlardan daha karmaşıktır. Örneğin, bunlar:

Görev numarası 8. Birinci terimi 66 olan ve ikinci ve on ikinci terimlerin çarpımı mümkün olan en küçük olan bir aritmetik dizinin farkını belirleyin.

Çözüm. Bildiğimiz her şeyi yazalım:

\[\begin(hizala) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(hizala)\]

Yani, $d$ ilerlemesinin farkını bilmiyoruz. Aslında, $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ çarpımı aşağıdaki gibi yeniden yazılabileceğinden, tüm çözüm fark etrafında inşa edilecektir:

\[\begin(hizala) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \sağ)\cdot \left(d+6 \sağ). \end(hizala)\]

Tanktakiler için: 11 ortak çarpanını ikinci parantezden çıkardım. Böylece istenen ürün, $d$ değişkenine göre ikinci dereceden bir fonksiyondur. Bu nedenle, $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ fonksiyonunu düşünün - grafiği dalları yukarı olan bir parabol olacaktır, çünkü parantezleri açarsak şunu elde ederiz:

\[\begin(hizala) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(hizala)\]

Gördüğünüz gibi, en yüksek terimdeki katsayı 11'dir - bu pozitif sayı, bu yüzden gerçekten dalları olan bir parabol ile uğraşıyoruz:

ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiği - parabol
Lütfen dikkat: bu parabol minimum değerini apsis $((d)_(0))$ ile tepe noktasında alır. Elbette bu apsisi standart şemaya göre hesaplayabiliriz ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ formülü vardır), ancak çok daha mantıklı olacaktır. istenen tepe noktasının parabolün eksen simetrisi üzerinde olduğuna dikkat edin, dolayısıyla $((d)_(0))$ noktası $f\left(d \right)=0$ denkleminin köklerinden eşit uzaklıktadır:

\[\begin(hizala) & f\left(d\sağ)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \sağ)\cdot \left(d+6 \sağ)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\dörtlü ((d)_(2))=-6. \\ \end(hizala)\]

Bu yüzden köşeli parantezleri açmak için acelem yoktu: orijinal haliyle kökleri bulmak çok ama çok kolaydı. Bu nedenle, apsis -66 ve -6 sayılarının aritmetik ortalamasına eşittir:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Bize keşfedilen sayıyı veren nedir? Bununla birlikte, gerekli ürün alır en küçük değer(Bu arada, $((y)_(\min ))$ hesaplamadık - bunu yapmak zorunda değiliz). Aynı zamanda, bu sayı ilk ilerlemenin farkıdır, yani. cevabı bulduk :)

Cevap: -36

Görev numarası 9. $-\frac(1)(2)$ ve $-\frac(1)(6)$ sayıları arasına üç sayı yerleştirin, böylece verilen sayılarla birlikte aritmetik bir dizi oluştururlar.

Çözüm. Aslında, birinci ve ikinci olmak üzere beş sayıdan oluşan bir dizi oluşturmamız gerekiyor. son numara zaten biliniyor Eksik sayıları $x$, $y$ ve $z$ değişkenleriyle belirtin:

\[\left(((a)_(n)) \sağ)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \sağ\ )\]

$y$ sayısının dizimizin "ortası" olduğuna dikkat edin - $x$ ve $z$ sayılarından ve $-\frac(1)(2)$ ve $-\frac sayılarından eşit uzaklıktadır (1)( 6)$. Ve eğer $x$ ve $z$ sayılarından ise şu an$y$ alamıyoruz, o zaman ilerlemenin sonları ile durum farklı. Aritmetik ortalamayı hatırla:

Şimdi, $y$'ı bilerek kalan sayıları bulacağız. $x$'ın yeni bulunan $-\frac(1)(2)$ ve $y=-\frac(1)(3)$ arasında olduğuna dikkat edin. Bu yüzden

Benzer şekilde tartışarak, kalan sayıyı buluruz:

Hazır! Üç sayıyı da bulduk. Cevapta orijinal sayıların arasına yerleştirilmeleri gereken sırayla yazalım.

Yanıt: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Görev numarası 10. Girilen sayıların birinci, ikinci ve sonuncularının toplamının 56 olduğu biliniyorsa, 2 ile 42 sayıları arasına, verilen sayılarla birlikte aritmetik bir ilerleme oluşturan birkaç sayı girin.

Çözüm. Bununla birlikte, öncekilerle aynı şekilde - aritmetik ortalama yoluyla çözülen daha da zor bir görev. Sorun şu ki, tam olarak kaç sayı ekleyeceğimizi bilmiyoruz. Bu nedenle, kesinlik için, ekleme işleminden sonra tam olarak $n$ sayısı olacağını ve bunlardan ilkinin 2 ve sonuncusunun 42 olduğunu varsayıyoruz. Bu durumda, istenen aritmetik ilerleme şu şekilde temsil edilebilir:

\[\left(((a)_(n)) \sağ)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \sağ$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Bununla birlikte, $((a)_(2))$ ve $((a)_(n-1))$ sayılarının, kenarlarda birbirine doğru bir adım duran 2 ve 42 sayılarından elde edildiğine dikkat edin. , yani . dizinin merkezine. Ve bu şu anlama gelir:

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ancak daha sonra yukarıdaki ifade şu şekilde yeniden yazılabilir:

\[\begin(hizala) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \sağ)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(hizala)\]

$((a)_(3)$ ve $((a)_(1))$'yi bilerek, ilerleme farkını kolayca bulabiliriz:

\[\begin(hizala) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \sağ)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Sağ ok d=5. \\ \end(hizala)\]

Sadece kalan üyeleri bulmak için kalır:

\[\begin(hizala) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2)=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cnokta 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cnokta 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cnokta 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cnokta 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cnokta 5=42; \\ \end(hizala)\]

Böylece, zaten 9. adımda dizinin sol ucuna geleceğiz - 42 sayısı. Toplamda yalnızca 7 sayının eklenmesi gerekiyordu: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Cevap: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

İlerlemeli metin görevleri

Sonuç olarak, nispeten basit birkaç sorunu ele almak istiyorum. Pekala, basit olanlar: Okulda matematik okuyan ve yukarıda yazılanları okumamış çoğu öğrenci için bu görevler bir jest gibi görünebilir. Bununla birlikte, matematikte OGE ve USE'de tam olarak bu tür görevler karşımıza çıkıyor, bu yüzden onlara aşina olmanızı tavsiye ederim.

Görev numarası 11. Ekip Ocak ayında 62 parça üretti ve takip eden her ay bir öncekinden 14 parça daha fazla üretti. Tugay Kasım ayında kaç parça üretti?

Çözüm. Açıkçası, aya göre boyanmış parça sayısı artan bir aritmetik ilerleme olacaktır. Ve:

\[\begin(hizala) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cnokta 14. \\ \end(hizala)\]

Kasım yılın 11. ayıdır, dolayısıyla $((a)_(11))$'ı bulmamız gerekiyor:

\[((a)_(11))=62+10\cnokta 14=202\]

Bu nedenle Kasım ayında 202 parça üretilecek.

Görev numarası 12. Cilt atölyesi Ocak ayında 216 kitap ciltledi ve her ay bir önceki aya göre 4 kitap daha ciltledi. Atölye Aralık ayında kaç kitap ciltledi?

Çözüm. Hepsi aynı:

$\begin(hizala) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(hizala)$

Aralık yılın son 12. ayıdır, dolayısıyla $((a)_(12))$'ı arıyoruz:

\[((a)_(12))=216+11\cnokta 4=260\]

Cevap bu - Aralık ayında 260 kitap ciltlenecek.

Pekala, buraya kadar okuduysanız, sizi tebrik etmek için acele ediyorum: "genç dövüşçü kursunu" aritmetik ilerlemelerde başarıyla tamamladınız. güvenle gidebilirsiniz gelecek dersİlerleme toplamı formülünü ve bunun önemli ve çok faydalı sonuçlarını inceleyeceğimiz yer.

Her doğal sayı ise N gerçek bir sayıyla eşleş BİR , sonra verildiğini söylüyorlar sayı dizisi :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , BİR , . . . .

Dolayısıyla, sayısal bir dizi, doğal bir argümanın bir fonksiyonudur.

Sayı A 1 isminde dizinin ilk üyesi , sayı A 2 — dizinin ikinci üyesi , sayı A 3 — üçüncü ve benzeri. Sayı BİR isminde dizinin n. üyesi ve doğal sayı N — onun numarası .

İki komşu üyeden BİR Ve BİR +1 üye dizileri BİR +1 isminde sonraki (karşı BİR ), A BİR — öncesi (karşı BİR +1 ).

Bir dizi belirtmek için, herhangi bir sayıya sahip bir dizi üyesi bulmanızı sağlayan bir yöntem belirtmeniz gerekir.

Genellikle sıra ile verilir n'inci terim formülleri , yani bir sıra üyesini numarasına göre belirlemenizi sağlayan bir formül.

Örneğin,

Pozitif tek sayıların dizisi formülle verilebilir.

BİR= 2N- 1,

ve dönüşümlü sıralama 1 Ve -1 - formül

B N = (-1)N +1 . ◄

Sıra belirlenebilir yinelenen formül, yani, dizinin herhangi bir üyesini, bazılarından başlayarak önceki (bir veya daha fazla) üyeye kadar ifade eden bir formül.

Örneğin,

Eğer A 1 = 1 , A BİR +1 = BİR + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Eğer bir 1= 1, bir 2 = 1, BİR +2 = BİR + BİR +1 , daha sonra sayısal dizinin ilk yedi üyesi aşağıdaki gibi ayarlanır:

bir 1 = 1,

bir 2 = 1,

3 = bir 1 + bir 2 = 1 + 1 = 2,

4 = bir 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sıralar olabilir son Ve sonsuz .

sıra denir nihai eğer sonlu sayıda üyeye sahipse. sıra denir sonsuz eğer sonsuz sayıda üyesi varsa.

Örneğin,

iki basamaklı doğal sayılar dizisi:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

son.

Asal sayı dizisi:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sonsuz. ◄

sıra denir artan , ikinciden başlayarak üyelerinin her biri bir öncekinden büyükse.

sıra denir azalan , ikinciden başlayarak üyelerinin her biri bir öncekinden daha azsa.

Örneğin,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . artan bir dizidir;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . azalan bir dizidir. ◄

Artan sayı ile elemanları azalmayan veya tersine artmayan bir diziye denir. monoton dizi .

Özellikle monoton diziler, artan diziler ve azalan dizilerdir.

Aritmetik ilerleme

Aritmetik ilerleme her üyesi ikinciden başlayarak bir öncekine eşit olan ve aynı sayının eklendiği bir dizi çağrılır.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , BİR, . . .

herhangi bir doğal sayı için ise aritmetik bir ilerlemedir N koşul karşılanıyor:

BİR +1 = BİR + D,

Nerede D - bir numara.

Böylece, belirli bir aritmetik ilerlemenin sonraki ve önceki üyeleri arasındaki fark her zaman sabittir:

bir 2 - A 1 = 3 - A 2 = . . . = BİR +1 - BİR = D.

Sayı D isminde aritmetik ilerlemenin farkı.

Bir aritmetik ilerleme ayarlamak için ilk terimini ve farkını belirtmek yeterlidir.

Örneğin,

Eğer A 1 = 3, D = 4 , ardından dizinin ilk beş terimi aşağıdaki gibi bulunur:

bir 1 =3,

bir 2 = bir 1 + D = 3 + 4 = 7,

3 = bir 2 + D= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + D= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

İlk terimle aritmetik ilerleme için A 1 ve fark D o N

BİR = bir 1 + (N- 1)D.

Örneğin,

aritmetik ilerlemenin otuzuncu terimini bulun

1, 4, 7, 10, . . .

bir 1 =1, D = 3,

30 = bir 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

bir n-1 = bir 1 + (N- 2)D,

BİR= bir 1 + (N- 1)D,

BİR +1 = A 1 + nd,

o zaman belli ki

BİR=	bir n-1 + bir n+1
	2

ikinciden başlayarak aritmetik ilerlemenin her bir üyesi, önceki ve sonraki üyelerin aritmetik ortalamasına eşittir.

a, b ve c sayıları, ancak ve ancak bunlardan biri diğer ikisinin aritmetik ortalamasına eşitse, bazı aritmetik dizilerin ardışık üyeleridir.

Örneğin,

BİR = 2N- 7 , aritmetik bir ilerlemedir.

Yukarıdaki ifadeyi kullanalım. Sahibiz:

BİR = 2N- 7,

bir n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

bir n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Buradan,

bir n+1 + bir n-1	=	2N- 5 + 2N- 9	= 2N- 7 = BİR,
2		2

◄

Dikkat N -bir aritmetik dizinin inci üyesi yalnızca aracılığıyla bulunamaz A 1 , aynı zamanda herhangi bir önceki bir k

BİR = bir k + (N- k)D.

Örneğin,

İçin A 5 yazılabilir

5 = bir 1 + 4D,

5 = bir 2 + 3D,

5 = 3 + 2D,

5 = 4 + D. ◄

BİR = bir nk + kd,

BİR = bir n+k - kd,

o zaman belli ki

BİR=	A nk +a n+k
	2

aritmetik dizinin herhangi bir üyesi, ikinciden başlayarak, bu aritmetik dizinin ondan eşit uzaklıkta bulunan üyelerinin toplamının yarısına eşittir.

Ek olarak, herhangi bir aritmetik ilerleme için eşitlik doğrudur:

bir m + bir n = bir k + bir l,

m + n = k + l.

Örneğin,

aritmetik ilerlemede

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) bir 2 + bir 12 = bir 5 + bir 9, Çünkü

2 + 12= 4 + 34 = 38,

bir 5 + bir 9 = 13 + 25 = 38. ◄

sn= bir 1 + bir 2 + bir 3 + . . .+ BİR,

Birinci N aritmetik dizinin üyeleri, uç terimlerin toplamının yarısının terim sayısına göre çarpımına eşittir:

Bundan, özellikle, terimleri toplamanın gerekli olup olmadığı sonucu çıkar.

bir k, bir k +1 , . . . , BİR,

o zaman önceki formül yapısını korur:

Örneğin,

aritmetik ilerlemede 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Bir aritmetik ilerleme verilirse, o zaman miktarlar A 1 , BİR, D, N VeS N iki formülle bağlantılı:

Bu nedenle, bu niceliklerden üçünün değerleri verilirse, diğer iki niceliğin karşılık gelen değerleri, iki bilinmeyenli iki denklem sisteminde birleştirilen bu formüllerden belirlenir.

Aritmetik ilerleme monoton bir dizidir. burada:

Eğer D > 0 , o zaman artıyor;
Eğer D < 0 , o zaman azalıyor;
Eğer D = 0 , dizi durağan olacaktır.

Geometrik ilerleme

geometrik ilerleme her terimi ikinciden başlayarak bir öncekine eşit olan ve aynı sayı ile çarpılan bir dizi çağrılır.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , bn, . . .

herhangi bir doğal sayı için geometrik bir ilerlemedir N koşul karşılanıyor:

bn +1 = bn · Q,

Nerede Q ≠ 0 - bir numara.

Böylece, bu geometrik ilerlemenin bir sonraki teriminin bir öncekine oranı sabit bir sayıdır:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = bn +1 / bn = Q.

Sayı Q isminde geometrik ilerlemenin paydası.

Bir geometrik ilerleme ayarlamak için ilk terimini ve paydasını belirtmek yeterlidir.

Örneğin,

Eğer B 1 = 1, Q = -3 , ardından dizinin ilk beş terimi aşağıdaki gibi bulunur:

b 1 = 1,

b2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b3 = b2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b4 = b3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 ve payda Q o N -th terimi aşağıdaki formülle bulunabilir:

bn = B 1 · q n -1 .

Örneğin,

geometrik ilerlemenin yedinci terimini bulun 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

bn = b 1 · q n -1 ,

bn +1 = B 1 · q n,

o zaman belli ki

bn 2 = bn -1 · bn +1 ,

ikinciden başlayarak geometrik ilerlemenin her bir üyesi, önceki ve sonraki üyelerin geometrik ortalamasına (orantılı) eşittir.

Tersi de doğru olduğundan, aşağıdaki iddia geçerlidir:

a, b ve c sayıları, ancak ve ancak birinin karesi diğer ikisinin çarpımına eşitse, yani sayılardan biri diğer ikisinin geometrik ortalamasıysa, bazı geometrik dizilerin ardışık üyeleridir.

Örneğin,

formül tarafından verilen dizinin olduğunu kanıtlayalım bn= -3 2 N , geometrik bir ilerlemedir. Yukarıdaki ifadeyi kullanalım. Sahibiz:

bn= -3 2 N,

bn -1 = -3 2 N -1 ,

bn +1 = -3 2 N +1 .

Buradan,

bn 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) (-3 2 N +1 ) = bn -1 · bn +1 ,

ki bu da gerekli iddiayı kanıtlıyor. ◄

Dikkat N Geometrik ilerlemenin inci terimi yalnızca B 1 , aynı zamanda önceki herhangi bir terim bk , bunun için formülü kullanmak yeterlidir

bn = bk · q n - k.

Örneğin,

İçin B 5 yazılabilir

b5 = b 1 · Q 4 ,

b5 = b2 · q 3,

b5 = b3 · q2,

b5 = b4 · Q. ◄

bn = bk · q n - k,

bn = bn - k · q k,

o zaman belli ki

bn 2 = bn - k· bn + k

ikinciden başlayarak bir geometrik dizinin herhangi bir üyesinin karesi, bu dizinin ondan eşit uzaklıktaki elemanlarının çarpımına eşittir.

Ek olarak, herhangi bir geometrik ilerleme için eşitlik doğrudur:

b m· bn= bk· b l,

M+ N= k+ ben.

Örneğin,

katlanarak

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , Çünkü

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

sn= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + bn

Birinci N paydalı geometrik ilerleme terimleri Q ≠ 0 formülle hesaplanır:

Ve ne zaman Q = 1 - formüle göre

sn= not 1

Terimleri toplamamız gerekirse,

bk, bk +1 , . . . , bn,

sonra formül kullanılır:

sn- sk -1 = bk + bk +1 + . . . + bn = bk ·	1 - q n - k +1	.
	1 - Q

Örneğin,

katlanarak 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

verilirse geometrik ilerleme, ardından miktarlar B 1 , bn, Q, N Ve sn iki formülle bağlantılı:

Bu nedenle, bu niceliklerden herhangi üçünün değerleri verilirse, diğer iki niceliğin karşılık gelen değerleri, iki bilinmeyenli iki denklem sisteminde birleştirilen bu formüllerden belirlenir.

İlk terim ile geometrik ilerleme için B 1 ve payda Q aşağıdakiler gerçekleşir monotonluk özellikleri :

Aşağıdaki koşullardan biri karşılanırsa ilerleme artar:

B 1 > 0 Ve Q> 1;

B 1 < 0 Ve 0 < Q< 1;

Aşağıdaki koşullardan biri karşılanırsa bir ilerleme azalmaktadır:

B 1 > 0 Ve 0 < Q< 1;

B 1 < 0 Ve Q> 1.

Eğer Q< 0 , o zaman geometrik ilerleme işaret dönüşümlüdür: tek sayılı terimleri ilk terimiyle aynı işarete sahiptir ve çift sayılı terimleri zıt işarete sahiptir. Alternatif bir geometrik ilerlemenin monoton olmadığı açıktır.

İlk ürün N geometrik bir ilerlemenin terimleri aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

P n= b 1 · b2 · b3 · . . . · bn = (b 1 · bn) N / 2 .

Örneğin,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Sonsuz azalan geometrik ilerleme

Sonsuz azalan geometrik ilerleme payda modülü daha küçük olan sonsuz bir geometrik ilerleme olarak adlandırılır 1 , yani

|Q| < 1 .

Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin azalan bir dizi olmayabileceğini unutmayın. Bu duruma uyuyor

1 < Q< 0 .

Böyle bir payda ile dizi işaret dönüşümlüdür. Örneğin,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı birincinin toplamının geldiği sayıyı söyle N sayısında sınırsız artış ile ilerleme koşulları N . Bu sayı her zaman sonludur ve formülle ifade edilir.