Головна › Ходова частина › Парадокс Монті Холла. Найточніша математика

Парадокс Монті Холла. Найточніша математика

Рішення якої, на перший погляд, суперечить здоровому глузду.

Енциклопедичний YouTube

1 / 5

Завдання формулюється як опис гри, заснованої на американській телегрі "Let's Make a Deal", і названа на честь ведучого цієї передачі. Найбільш поширене формулювання цього завдання, опубліковане в 1990-му році в журналі Parade Magazine, звучить так:

Уявіть, що ви стали учасником гри, в якій вам потрібно вибрати одну з трьох дверей. За одними з дверей знаходиться автомобіль, за двома іншими дверима-кози. Ви вибираєте одну з дверей, наприклад, номер 1, після цього ведучий, який знає, де знаходиться автомобіль, а де - кози, відкриває одну з дверей, наприклад, номер 3, за якою знаходиться коза. Після цього він запитує вас – чи не бажаєте ви змінити свій вибір та вибрати двері номер 2? Чи збільшаться ваші шанси виграти автомобіль, якщо ви приймете пропозицію ведучого та зміните свій вибір?

Після публікації негайно з'ясувалося, що завдання сформульовано некоректно: не всі умови обумовлено. Наприклад, ведучий може дотримуватися стратегії «пекельний Монті»: пропонувати змінити вибір тоді і лише тоді, коли гравець першим ходом вибрав автомобіль. Очевидно, що зміна початкового вибору вестиме в такій ситуації до гарантованого програшу (див. нижче).

Найбільш популярним є завдання з додатковою умовою - учаснику гри заздалегідь відомі такі правила:

автомобіль рівноймовірно розташований за будь-яким із трьох дверей;
ведучий у будь-якому випадку зобов'язаний відчинити двері з козою (але не ту, яку вибрав гравець) і запропонувати гравцеві змінити вибір;
якщо у ведучого є вибір, яку з двох дверей відчинити, він обирає будь-яку з них з однаковою ймовірністю.

У наведеному нижче тексті обговорюється завдання Монті Холла саме в цьому формулюванні.

Розбір

Для стратегії виграшу важливо таке: якщо ви змінюєте вибір дверей після дій ведучого, то ви вигруєте, якщо спочатку вибрали програшні двері. Це станеться з ймовірністю 2 ⁄ 3 , так як спочатку вибрати програшні двері можна 2 способами з 3.

Але часто при вирішенні цього завдання міркують приблизно так: ведучий завжди в результаті прибирає одну програшну двері, і тоді ймовірності появи автомобіля за двома не відкритими стають рівними, незалежно від початкового вибору. Але це не так: хоча можливостей вибору дійсно залишається дві, ці можливості (з урахуванням передісторії) не є рівноймовірними! Це так, оскільки всі двері мали рівні шанси бути виграшними, але потім мали різні ймовірності бути виключеними.

Для більшості людей цей висновок суперечить інтуїтивному сприйняттю ситуації, і завдяки невідповідності між логічним висновком і відповіддю, до якої схиляє інтуїтивну думку, завдання і називається парадоксом Монті Холла.

Ще наочніша ситуація з дверима стає, якщо уявити що дверей не 3 а, скажімо 1000, і після вибору гравця ведучий прибирає 998 зайвих, залишаючи 2 двері: ту, яку вибрав гравець і ще одну. Звісно ж очевидним, що можливості перебування призу за цими дверима різні, і рівні ½ . Якщо ми міняємо двері, то програємо лише в тому випадку, якщо спочатку вибрали призові двері, ймовірність чого 1:1000. А ми виграємо в тому випадку, якщо наш початковий вибір був неправильним, а ймовірність цього – 999 з 1000. У випадку з 3 дверима логіка зберігається, але ймовірність виграшу при зміні рішення відповідно нижче, а саме 2 ⁄ 3 .

Інший спосіб міркування – заміна умови еквівалентним. Уявимо, що замість здійснення гравцем початкового вибору (нехай це завжди будуть двері № 1) і наступного відкриття ведучим двері з козою серед тих, що залишилися (тобто завжди серед № 2 і № 3), уявімо, що гравцеві потрібно вгадати двері з першої спроби, але йому попередньо повідомляється, що за дверима № 1 автомобіль може бути з вихідною ймовірністю (33%), а серед дверей, що залишилися, вказується за який з дверей автомобіля точно немає (0%). Відповідно, на останні двері завжди припадатиме 67%, і стратегія її вибору краща.

Інша поведінка ведучого

Класична версія парадоксу Монті Холла стверджує, що ведучий обов'язково запропонує гравцеві змінити двері незалежно від того, вибрав той машину чи ні. Але можлива і складніша поведінка ведучого. У цій таблиці коротко описано кілька варіантів поведінки.

Можлива поведінка ведучого
Поведінка ведучого	Результат
«Пекельний Монті»: ведучий пропонує змінити, якщо двері правильні .	Зміна завжди дасть козу.
«Ангельський Монті»: ведучий пропонує змінити, якщо двері неправильні.	Зміна завжди дасть автомобіль.
Несвідомий Монті або Монті Бух: ведучий ненароком падає, відчиняються двері, і виявляється, що за нею не машина. Іншими словами, ведучий сам не знає, що за дверима, відчиняє двері повністю навмання, і лише випадково за нею не виявилося автомобіля.	Зміна дає виграш у 1/2 випадків. Саме так влаштовано американське шоу «Deal or No Deal» - правда, випадкові двері відчиняє сам гравець, і якщо за нею немає автомобіля, ведучий пропонує змінити.
Ведучий вибирає одну з кіз і відкриває її, якщо гравець вибрав інші двері.	Зміна дає виграш у 1/2 випадків.
Ведучий завжди відкриває козу. Якщо вибрано автомобіль, ліва коза відкривається з ймовірністю pта права з ймовірністю q=1−p.	Якщо ведучий відкрив ліві двері, зміна дає виграш із ймовірністю 1 1 + p (\displaystyle (\frac (1)(1+p))). Якщо праву - 1 1 + q (\displaystyle (\frac (1)(1+q))). Однак випробуваний ніяк не може вплинути на ймовірність того, що будуть відкриті праві двері – незалежно від його вибору це станеться з ймовірністю 1 + q 3 (\displaystyle (\frac (1+q)(3))).
Теж саме, p=q= ½ (класичний випадок).	Зміна дає виграш із ймовірністю 2 ⁄ 3 .
Теж саме, p=1, q=0 («безсилий Монті» - втомлений ведучий стоїть біля лівих дверей і відкриває ту козу, яка ближче).	Якщо ведучий відчинив праві двері, зміна дає гарантований виграш. Якщо ліву – ймовірність ½.
Ведучий відкриває козу завжди, якщо вибрано автомобіль, і з ймовірністю ½ інакше.	Зміна дає виграш із ймовірністю ½.
Загальний випадок: гра повторюється багаторазово, ймовірність сховати автомобіль за тими чи іншими дверима, а також відкрити ті чи інші двері довільні, проте ведучий знає, де автомобіль і завжди пропонує зміну, відкриваючи одну з кіз.	Рівнавага Неша : провідному найвигідніше саме парадокс Монті Холла в класичному вигляді (імовірність виграшу 2 ⁄ 3 ). Машина ховається за будь-яким із дверей з ймовірністю ⅓; якщо є вибір, відкриваємо будь-яку козу навмання.
Те саме, але ведучий може не відчиняти двері взагалі.	Рівнавага Неша: провідному вигідно не відчиняти двері, ймовірність виграшу ⅓.

Див. також

Примітки

Tierney, John (July 21, 1991), "Behind?Monty?Hall"s Doors: Puzzle, Debate and and Answer? ", The New York Times, . Перевірено 18 січня 2008 року.

У грудні 1963 року на американському телеканалі NBC вперше вийшла програма Let's Make a Deal («Укладемо угоду!»), в якій учасники, обрані з глядачів у студії, торгувалися один з одним і з ведучим, грали в невеликі ігри або просто вгадували відповідь на питання. Наприкінці передачі учасники могли зіграти у угоду дня. Перед ними було три двері, про які було відомо, що за одними з них – Головний Приз (наприклад, автомобіль), а за двома іншими – менш цінні або зовсім абсурдні подарунки (наприклад, живі кози). Після того як гравець робив свій вибір, ведучий програми Монті Холл (Monty Hall) відкривав одну з двох дверей, що залишилися, показуючи, що за нею Приза немає і даючи учаснику порадіти тому, що він зберігає шанси на виграш.

У 1975 році вчений з Каліфорнійського університету Стів Селвін задався питанням про те, що буде, якщо в цей момент, після відкриття дверей без Приза, запропонувати учаснику змінити свій вибір. Чи зміниться у цьому випадку шанси гравця отримати Приз, а якщо так, то в який бік? Він відправив відповідне питання у вигляді завдання до журналу The American Statistician («Американський статистик»), а також – самому Монті Холлу, який дав на нього досить цікаву відповідь. Незважаючи на цю відповідь (а може, і завдяки їй) завдання набуло поширення під ім'ям «завдання Монті Холла».

Найбільш поширене формулювання цього завдання, опубліковане в 1990 році в журналі Parade Magazine, звучить так:

«Уявіть, що ви стали учасником гри, в якій вам потрібно вибрати одну з трьох дверей. За одними з дверей знаходиться автомобіль, за двома іншими дверима - кози. Ви вибираєте одну з дверей, наприклад, номер 1, після цього ведучий, який знає, де знаходиться автомобіль, а де - кози, відкриває одну з дверей, наприклад, номер 3, за якою знаходиться коза. Після цього він запитує вас, чи не бажаєте ви змінити свій вибір і вибрати двері номер 2. Чи збільшаться ваші шанси виграти автомобіль, якщо ви приймете пропозицію ведучого і зміните свій вибір?

Найбільш популярним є завдання з додатковою умовою - учаснику гри заздалегідь відомі такі правила:

автомобіль рівноймовірно розміщений за будь-який із 3 дверей;
ведучий у будь-якому випадку зобов'язаний відчинити двері з козою (але не ту, яку вибрав гравець) і запропонувати гравцеві змінити вибір;
якщо у ведучого є вибір, яку з двох дверей відчинити, він обирає будь-яку з них з однаковою ймовірністю.

Підказка

Спробуйте розглянути людей, які вибрали в тому самому випадку (тобто коли Приз знаходиться, наприклад, за дверима №1) різні двері. Хто буде у виграші від зміни свого вибору, а хто – ні?

Рішення

Як і було запропоновано у підказці, розглянемо людей, які зробили різний вибір. Припустимо, що Приз знаходиться за дверима №1, а за дверима №2 та №3 – кози. Нехай у нас є шестеро людей, причому кожну двері вибрали по дві людини, і з кожної пари одна згодом змінила рішення, а інша - ні.

Зауважимо, що вибравши двері №1 Ведучий відкриє одну з двох дверей на свій смак, при цьому, незалежно від цього, Автомобіль отримає той, хто не змінить свого вибору, а той, що змінив свій початковий вибір, залишиться без Призу. Тепер подивимося на двері №2 і №3, які вибрали. Оскільки за дверима №1 стоїть Автомобіль, відкрити її Ведучий не може, що не залишає йому вибору – він відкриває їм двері №3 та №2 відповідно. При цьому той, хто змінив рішення в кожній парі, в результаті вибере Приз, а не той, хто змінив - залишиться ні з чим. Таким чином, із трьох людей, які змінили рішення, двоє отримають Приз, а один - козу, тоді як із трьох, які залишили свій початковий вибір незмінним, Приз дістанеться лише одному.

Необхідно відзначити, що якби Автомобіль опинився за дверима №2 або №3, результат був би тим самим, чи змінилися б лише конкретні переможці. Таким чином, припускаючи, що спочатку кожні двері вибираються з рівною ймовірністю, ми отримуємо, що міняючі свій вибір виграють приз у два рази частіше, тобто ймовірність виграшу в цьому випадку більша.

Подивимося це завдання з погляду математичної теорії ймовірностей. Припускатимемо, що ймовірність початкового вибору кожної з дверей однакова, так само як і ймовірність знаходження за кожним з дверей Автомобіля. Крім того, корисно зробити застереження, що Ведучий, коли він може відчинити два двері, вибирає кожну з них з рівною ймовірністю. Тоді виявиться, що після першого ухвалення рішення ймовірність того, що Приз за обраними дверима дорівнює 1/3, тоді як ймовірність того, що він - за одним з двох інших дверей, дорівнює 2/3. При цьому, після того як Ведучий відкрив одну з двох «невибраних» дверей, вся ймовірність 2/3 припадає лише на одну з дверей, створюючи тим самим підставу для зміни рішення, яка збільшить ймовірність виграшу в 2 рази. Що, звичайно, його анітрохи не гарантує в одному конкретному випадку, але призведе до вдалих результатів у разі багаторазового повторення експерименту.

Післямова

Завдання Монті Холла - це не перше з відомих формулювань цієї проблеми. Зокрема, в 1959 році Мартін Гарднер опублікував у журналі Scientific American аналогічне завдання «про трьох в'язнів» (Three Prisoners problem) з наступним формулюванням: «З трьох в'язнів одного повинні помилувати, а двох - стратити. В'язень A вмовляє стражника назвати йому ім'я того з двох інших, якого стратять (будь-якого, якщо стратять обох), після чого, отримавши ім'я B, вважає, що ймовірність його власного порятунку стала не 1/3, а 1/2. У той же час в'язень C стверджує, що ця ймовірність його порятунку стала 2/3, а для A нічого не змінилося. Хто з них правий?»

Однак і Гарднер був не першим, тому що ще в 1889 році у своєму «Обчисленні ймовірностей» французький математик Жозеф Бертран (не плутати з англійцем Бертраном Расселом!) пропонує схоже завдання (див. Bertrand's box paradox): «Є три ящики, у кожному з яких лежать дві монети: дві золотих у першому, дві срібних у другому, і дві різних - у третьому.З навмання обраної скриньки навмання витягли монету, яка виявилася золотою.

Якщо зрозуміти рішення всіх трьох завдань, легко помітити схожість їхніх ідей; математично ж їх об'єднує поняття умовної ймовірності, тобто ймовірності події A, якщо відомо, що подія B сталося. Найпростіший приклад: ймовірність того, що на звичайному гральному кубику випала одиниця, дорівнює 1/6; проте якщо відомо, що число, що випало - непарно, то ймовірність того, що це - одиниця, буде вже 1/3. Завдання Монті Холла, як і дві інші завдання, показують, що поводитися з умовними ймовірностями потрібно акуратно.

Ці завдання також нерідко називають парадоксами: парадокс Монті Холла, парадокс ящиків Бертрана (останній не слід плутати зі справжнім парадоксом Бертрана, наведеним у тій же книзі, який доводив неоднозначність існуючого на той момент поняття ймовірності) - що передбачає деяке протиріччя феномен Лжеца» фраза «це твердження - хибно» суперечить закону виключеного третього). В даному випадку, однак, жодної суперечності із суворими твердженнями немає. Натомість є явна суперечність із «громадською думкою» чи просто «очевидним вирішенням» завдання. Дійсно, більшість людей, дивлячись на завдання, вважають, що після відкриття одного з дверей ймовірність знаходження Приза за будь-яким із двох, що залишилися закритими, дорівнює 1/2. Тим самим вони стверджують, що немає різниці, чи погоджуватися чи не погоджуватися змінити своє рішення. Більше того, багато людей важко усвідомлюють відповідь, відмінну від цього, навіть після того, як їм було розказано докладне рішення.

Відповідь Монті Холла Стіву Селвіну

Пану Стіву Селвіну,
доценту біостатистики,
Каліфорнійський університет, Берклі.

Шановний Стів,

Дякую Вам за те, що надіслали мені завдання із «Американського статистика».

Хоча я й не вивчав статистику в університеті, я знаю, що цифри завжди можна використовувати на свою користь, якби я хотів ними маніпулювати. Ваші міркування не враховують однієї істотної обставини: після того, як перша скринька виявляється порожньою, учасник уже не може змінити свій вибір. Так що ймовірності залишаються тими самими: один із трьох, чи не так? Ну і, звичайно, після того, як одна з ящиків виявляється порожньою, шанси не стають 50 на 50, а залишаються тими ж - одна з трьох. Учаснику тільки здається, що, позбавившись однієї скриньки, він отримує більше шансів. Зовсім ні. Два до одного проти нього, як було, так і лишилося. І якщо Ви раптом прийдете до мене на шоу, правила залишаться тими самими і для Вас: жодної зміни ящиків після вибору.

Уявіть, що банкір пропонує вам вибрати одну з трьох закритих коробочок. В одній із них 50 центів, в іншій – один долар, у третій – 10 тисяч доларів. Яку виберете, та вам і дістанеться як приз.

Ви вибираєте навмання, скажімо, коробочку №1. І тут банкір (який, звичайно, знає, де що) прямо на ваших очах відкриває коробочку з одним доларом (припустимо, це №2), після чого пропонує вам поміняти спочатку обрану коробочку №1 на коробочку №3.

Чи варто вам міняти своє рішення? Чи збільшаться ваші шанси отримати 10 тисяч?

Це і є парадокс Монті Холла – завдання теорії ймовірності, вирішення якої, на перший погляд, суперечить здоровому глузду. Над цим завданням люди ламають голови із 1975 року.

Парадокс отримав назву на честь провідного популярного американського телешоу Let's Make a Deal. У цьому телешоу були схожі правила, лише учасники обирали двері, за двома з яких ховалися кози, за третьою – Каділлак.

Більшість гравців міркували, що після того, як зачинених дверей залишилося дві і за однією з них знаходиться Каділлак, то шанси його отримати 50-50. Поміняєте ви рішення або не поміняєте, ваші шанси все одно дорівнюватимуть 50 відсоткам. Адже так?

Виявляється, що ні. Насправді, змінивши рішення, ви подвоїте шанси на успіх. Чому?

Найбільш просте пояснення цієї відповіді полягає у наступному міркуванні. Для того, щоб виграти автомобіль без зміни вибору, гравець повинен відразу вгадати двері, за якими стоїть автомобіль. Імовірність цього дорівнює 1/3. Якщо ж гравець спочатку потрапляє на двері, за якими стоїть коза (а ймовірність цієї події 2/3, оскільки є дві кози і лише один автомобіль), то він може однозначно виграти автомобіль, змінивши своє рішення, оскільки залишаються автомобіль і одна коза, а двері з козою ведучий уже відчинив.

Таким чином, без зміни вибору гравець залишається при своїй початковій ймовірності виграшу 1/3, а при зміні початкового вибору, гравець обертає собі на користь вдвічі більшу ймовірність того, що на початку він не вгадав.

Також інтуїтивно зрозуміле пояснення можна зробити, помінявши подекуди дві події. Перша подія – ухвалення рішення гравцем про зміну дверей, друга подія – відкриття зайвих дверей. Це припустимо, оскільки відкриття зайвих дверей не дає гравцеві ніякої нової інформації (доки див. у цій статті). Тоді завдання можна звести до наступного формулювання. У перший момент часу гравець ділить двері на дві групи: у першій групі одні двері (та що він вибрав), у другій групі дві двері, що залишилися. Наступного часу гравець робить вибір між групами. Очевидно, що для першої групи ймовірність виграшу 1/3 для другої групи 2/3. Гравець обирає другу групу. У другій групі він може відчинити обидві двері. Одну відкриває ведучий, а другу – сам гравець.

Спробуємо дати «найзрозуміліше» пояснення. Переформулюємо завдання: Чесний ведучий оголошує гравцю, що за одним із трьох дверей — автомобіль, і пропонує йому спочатку вказати на одне з дверей, а після цього вибрати одну з двох дій: відкрити вказані двері (у старому формулюванні це називається «не змінювати свого вибору ») або відкрити дві інші (у старому формулюванні це якраз і «змінитиме вибір». Подумайте, тут і укладено ключ до розуміння!). Зрозуміло, що гравець вибере другу з двох дій, тому що ймовірність отримання автомобіля в цьому випадку вдвічі вища. А та дрібниця, що ведучий ще до вибору дії «показав козу», ніяк не допомагає і не заважає вибору, адже за одними з двох дверей завжди знайдеться коза і ведучий обов'язково її покаже за будь-якого ходу гри, так що гравець може на цю козу і не дивитися. Справа гравця, якщо він вибрав другу дію - сказати "дякую" ведучому за те, що він позбавив його від праці самому відкривати одну з двох дверей, і відкрити іншу. Ну, чи ще простіше. Уявімо цю ситуацію з погляду ведучого, який робить подібну процедуру з десятками гравців. Оскільки він чудово знає, що знаходиться за дверима, то, в середньому, у двох випадках із трьох, він заздалегідь бачить, що гравець вибрав «не ті» двері. Тому вже для нього точно немає ніякого парадоксу в тому, що правильна стратегія полягає у зміні вибору після відкриття перших дверей: адже тоді в тих же двох випадках із трьох гравець виїжджатиме зі студії на новій машині.

Зрештою, «найнаївніший» доказ. Нехай той, хто стоїть на своєму виборі, називається «Упертим», а той, хто дотримується вказівок ведучого, зветься «Уважним». Тоді впертий виграє, якщо він спочатку вгадав автомобіль (1/3), а уважний — якщо він спочатку промахнувся і потрапив на козу (2/3). Адже тільки в цьому випадку він потім вкаже на двері з автомобілем.

Монті Холл, продюсер та ведучий шоу Let’s Make a Dealз 1963 по 1991 рік.

У 1990 році це завдання та її рішення були опубліковані в американському журналі “Parade”. Публікація викликала шквал обурених відгуків читачів, багато з яких мали наукові ступені.

Головна претензія полягала в тому, що не всі умови завдання було обумовлено, і будь-який нюанс міг вплинути на результат. Наприклад, ведучий міг запропонувати змінити рішення лише в тому випадку, якщо гравець першим ходом вибрав автомобіль. Очевидно, що зміна початкового вибору у такій ситуації призведе до гарантованого програшу.

Проте за весь час існування телешоу Монті Холла люди, які змінювали рішення, справді вигравали вдвічі частіше.

З 30 гравців, які змінили початкове рішення, Каділлак виграли 18 - тобто 60%

З 30 гравців, які залишилися при своєму виборі, Каділлак виграли 11 - тобто приблизно 36%

Тож наведені у вирішенні міркування, хоч би якими нелогічними вони здавалися, підтверджуються практикою.

Збільшення кількості дверей

Для того, щоб легше зрозуміти суть того, що відбувається, можна розглянути випадок, коли гравець бачить перед собою не три двері, а, наприклад, сто. При цьому за одним із дверей знаходиться автомобіль, а за рештою 99 — кози. Гравець обирає одну з дверей, причому в 99% випадків він вибере двері з козою, а шанси відразу вибрати двері з автомобілем дуже малі - вони становлять 1%. Після цього ведучий відкриває 98 дверей з козами і пропонує гравцеві вибрати двері, що залишилися. При цьому в 99% випадків автомобіль перебуватиме за цими дверима, оскільки шанси на те, що гравець відразу вибрав правильні двері, дуже малі. Зрозуміло, що в цій ситуації гравець, що раціонально мислить, повинен завжди приймати пропозицію ведучого.

При розгляді збільшеної кількості дверей нерідко виникає питання: якщо в оригінальному завданні ведучий відкриває одну з трьох (тобто 1/3 від загальної кількості дверей), то чому потрібно припускати, що у випадку 100 дверей ведучий відкриє 98 дверей з козами, а не 33 ? Це міркування зазвичай є однією з істотних причин того, чому парадокс Монті Холла входить у протиріччя з інтуїтивним сприйняттям ситуації. Передбачати відкриття 98 дверей буде правильною тому, що істотною умовою завдання є наявність лише одного альтернативного варіанту вибору для гравця, який пропонується ведучим. Тому для того, щоб завдання були аналогічними, у випадку 4 дверей ведучий повинен відчиняти 2 двері, у випадку 5 дверей — 3, і так далі, щоб завжди залишалися одні відкриті двері крім тих, які спочатку вибрав гравець. Якщо ведучий буде відкривати меншу кількість дверей, то завдання вже не буде аналогічним до оригінального завдання Монті Холла.

Слід зазначити, що у разі безлічі дверей, навіть якщо ведучий залишатиме зачиненими не одну двері, а кілька, і пропонуватиме гравцеві вибрати одну з них, то при зміні початкового вибору шанси гравця виграти автомобіль все одно будуть збільшуватися, хоча й не так значно. Наприклад, розглянемо ситуацію, коли гравець вибирає одні двері зі ста, і потім ведучий відкриває тільки одну з тих, що залишилися, пропонуючи гравцеві змінити свій вибір. При цьому шанси на те, що автомобіль знаходиться за спочатку обраними гравцем дверима, залишаються колишніми — 1/100, а для інших дверей шанси змінюються: сумарна ймовірність того, що автомобіль знаходиться за одним із дверей (99/100), що залишилися, розподіляється тепер не на 99 дверей, а на 98. Тому ймовірність знаходження автомобіля за кожним з цих дверей дорівнюватиме не 1/100, а 99/9800. Приріст ймовірності складе приблизно 1%.

Дерево можливих рішень гравця і ведучого, що показує ймовірність кожного результату Більше формально сценарій гри може бути описаний за допомогою дерева прийняття рішень. У перших двох випадках, коли гравець спочатку вибрав двері, за якими знаходиться коза, зміна вибору призводить до виграшу. У двох останніх випадках, коли гравець спочатку вибрав двері з автомобілем, зміна вибору призводить до програшу.

Якщо вам незрозуміло все одно, плюньте на формули і простоперевірте все статистично. Ще один варіант пояснення:

Гравець, чия стратегія полягала б у тому, щоб щоразу змінювати обрані двері, програватиме лише в тому випадку, якщо він спочатку вибирає двері, за якими знаходиться автомобіль.
Оскільки ймовірність вибрати автомобіль з першої спроби становить один до трьох (або 33%), то шанс не вибрати автомобіль, якщо гравець змінюватиме свій вибір, також дорівнює один до трьох (або 33%).
Це означає, що гравець, який використовував стратегію міняти двері, виграє з ймовірністю 66% або два до трьох.
Це подвоїть шанси на виграш гравця, чия стратегія щоразу не змінювати свій вибір.

Досі не вірите? Припустимо, що ви вибрали двері №1. Тут представлені всі можливі варіанти того, що може статися у цьому випадку.

Зустрів її під назвою "Парадокс Монті Холла", і треба ж, вирішив її інакше, а саме: довів, що це псевдопарадокс.

Друзі, буду радий вислухати критику моєму спростування даного пародоксу (псевдопарадоксу, якщо я правий). І тоді я на власні очі переконаюся, що моя логіка кульгає, перестану думати себе мислителем і задумаюся про зміну виду діяльності на більш ліричний:о). Отже, ось зміст завдання. Пропоноване рішення та моє спростування нижче.

Уявіть, що ви стали учасником гри, в якій ви перебуваєте перед трьома дверима. Ведучий, про якого відомо, що він чесний, помістив за одним із дверей автомобіль, а за двома іншими дверима - по козі. У вас немає жодної інформації про те, що за якими дверима знаходиться.

Ведучий каже вам: «Спочатку ви повинні вибрати одну з дверей. Після цього я відкрию одну з дверей, за якою знаходиться коза. Потім я запропоную вам змінити свій початковий вибір і вибрати закриті двері замість тих, які ви вибрали спочатку. Ви можете наслідувати мою пораду і вибрати інші двері, або підтвердити свій початковий вибір. Після цього я відчиню двері, які ви обрали, і ви виграєте те, що знаходиться за цими дверима.»

Ви вибираєте двері номер 3. Ведучий відкриває двері номер 1 і показує, що за ними знаходиться коза. Потім ведучий пропонує вам вибрати двері номер 2.

Чи збільшаться ваші шанси виграти автомобіль, якщо ви підете його пораді?
Парадокс Монті Холла - одне з відомих завдань теорії ймовірностей, вирішення якої, на перший погляд, суперечить здоровому глузду.
При вирішенні цього завдання зазвичай розмірковують приблизно так: після того, як ведучий відкрив двері, за якою знаходиться коза, автомобіль може бути тільки за однією з двох дверей, що залишилися. Оскільки гравець не може отримати жодної додаткової інформації про те, за якими дверима знаходиться автомобіль, то ймовірність знаходження автомобіля за кожним із дверей однакова, і зміна початкового вибору дверей не дає гравцеві жодних переваг. Проте такий перебіг міркувань невірний.
Якщо ведучий завжди знає, за якими дверима що знаходиться, завжди відкриває ту з дверей, за якою знаходиться коза, і завжди пропонує гравцеві змінити свій вибір, то ймовірність того, що автомобіль знаходиться за обраними гравцями дверима, дорівнює 1/3, і, відповідно, ймовірність того, що автомобіль знаходиться за дверима, що залишилася, дорівнює 2/3. Таким чином, зміна початкового вибору збільшує шанси гравця виграти автомобіль у 2 рази. Цей висновок суперечить інтуїтивному сприйняттю ситуації більшістю людей, тому описане завдання називається парадоксом Монті Холла.

Мені здається, що шанси зміняться, тобто. ніякого феномена немає.

І ось чому: перший та другий вибори дверей – це незалежніподії. Все одно що кидати монету 2 рази: те, що випаде вдруге, не залежить від того, що випало в 1-й.

Так і тут: після відкриття дверей з козою гравець опиняється в нової ситуації, коли у нього 2 двері та ймовірність вибору машини або кози 1/2.

Ще раз: після відкриття одних дверей з трьох ймовірність того, що автомобіль знаходиться за дверима, що залишилися, не дорівнює 2/3, т.к. 2/3 - це можливість того, що автомобіль знаходиться за будь-якими двома дверима. Невірно приписувати цю ймовірність відчинених дверей і відчинених. Довідкриття дверей був такий розклад імовірностей, але післявідкриття одних дверей, всі ці ймовірності стають нікчемними, т.к. ситуація змінилася, а тому потрібний новий підрахунок ймовірності, Які звичайні люди правильно проводять, відповідаючи, що нічого від зміни вибору не зміниться.

Додавання: 1) міркування, що:

а) ймовірність знайти машину за вибраними дверима становить 1/3,

б) ймовірність, що машина за двома іншими невибраними дверима, 2/3,

в) т.к. ведучий відкрив двері з козою, то ймовірність 2/3 повністю переходить на одну невибрану (і невідчинені) двері,

а тому треба міняти вибір на інші двері, щоб ймовірність з 1/3 стала 2/3, не вірно, але хибно, а саме: у пункті "в", Бо спочатку ймовірність 2/3 стосується будь-яких двох дверей, включаючи 2 залишилися не відчиненими, а якщо двері відкрили, то ця ймовірність поділиться порівну між 2 не відчиненими, тобто. ймовірність буде рівна, а вибір інших дверей не збільшить.

2) умовні ймовірності розраховують, якщо є 2 і більше випадкових подій, і для кожної події окремо розраховують ймовірність, а потім вираховують ймовірність спільного наступу 2 і більше подій. Тут спочатку ймовірність вгадати була 1/3, але щоб розрахувати ймовірність того, що машина не за тими дверима, які були обрані, але за іншими не відчиненими, не потрібно розраховувати умовну ймовірність, а потрібно обчислити просту ймовірність, яка дорівнює 1 з 2, тобто. 1/2.

3) Таким чином, це не парадокс, а помилка! (19.11.2009)

Додавання 2: Учора додумався до найпростішого пояснення, що стратегія перевибору все ж таки є більш виграшною(парадокс вірний!): при першому виборі потрапити в козу в 2 рази ймовірніше, ніж в авто, адже кіз дві, а тому при другому виборі треба міняти вибір. Це так очевидно:о)

Або інакше: треба не мітити в авто, але відбракувати кіз, і в цьому допомагає ведучий, відкриваючи козу. А на початку гри з ймовірністю 2 з 3 це вийде і у того, хто грає, так що, відбракувавши кіз, треба змінювати вибір. І це теж дуже очевидно раптом стало: о)

Тож усе, що я писав досі, було псевдоспростуванням. Що ж, ще одна ілюстрація до того, що треба бути скромнішою, поважати чужу точку зору і не довіряти запевненням своєї логіки, що її рішення кристально логічні.

Парадокс Монті Холла - одне з відомих завдань теорії ймовірностей, вирішення якої, на перший погляд, суперечить здоровому глузду. Завдання формулюється як опис гіпотетичної гри, заснованої на американському телешоу Let's Make a Deal, і названа на честь ведучого цієї передачі. Найбільш поширене формулювання цього завдання, опубліковане в 1990 році в журналі Parade Magazine, звучить так:

Уявіть, що ви стали учасником гри, в якій вам потрібно вибрати одну з трьох дверей. За одним із дверей знаходиться автомобіль, за двома іншими дверима — кози. Ви вибираєте одну з дверей, наприклад, номер 1, після цього ведучий, який знає, де знаходиться автомобіль, а де — кози, відкриває одну з дверей, наприклад, номер 3, за якою знаходиться коза. Після цього він запитує вас, чи не бажаєте ви змінити свій вибір і вибрати двері номер 2. Чи збільшаться ваші шанси виграти автомобіль, якщо ви приймете пропозицію ведучого та зміните свій вибір?

Хоча дане формулювання завдання є найвідомішим, воно дещо проблематичне, оскільки залишає деякі важливі умови завдання невизначеними. Нижче наводиться повніше формулювання.

При вирішенні цього завдання зазвичай розмірковують приблизно так: після того, як ведучий відкрив двері, за якою знаходиться коза, автомобіль може бути тільки за однією з двох дверей, що залишилися. Оскільки гравець не може отримати жодної додаткової інформації про те, за якими дверима знаходиться автомобіль, то ймовірність знаходження автомобіля за кожним із дверей однакова, і зміна початкового вибору дверей не дає гравцеві жодних переваг. Проте такий перебіг міркувань невірний. Якщо ведучий завжди знає, за якими дверима що знаходиться, завжди відкриває ту з дверей, за якою знаходиться коза, і завжди пропонує гравцеві змінити свій вибір, то ймовірність того, що автомобіль знаходиться за обраними гравцями дверима, дорівнює 1/3, і, відповідно, ймовірність того, що автомобіль знаходиться за дверима, що залишилася, дорівнює 2/3. Таким чином, зміна початкового вибору збільшує шанси гравця виграти автомобіль у 2 рази. Цей висновок суперечить інтуїтивному сприйняттю ситуації більшістю людей, тому описане завдання називається парадоксом Монті Холла.

Словесне рішення

Правильною відповіддю до цього завдання є таке: так, шанси виграти автомобіль збільшуються в 2 рази, якщо гравець дотримуватиметься поради ведучого і змінить свій початковий вибір.

Тоді завдання можна звести до наступного формулювання. У перший момент часу гравець ділить двері на дві групи: у першій групі одні двері (та що він вибрав), у другій групі дві двері, що залишилися. Наступного часу гравець робить вибір між групами. Очевидно, що для першої групи ймовірність виграшу 1/3 для другої групи 2/3. Гравець обирає другу групу. У другій групі він може відчинити обидві двері. Одну відкриває ведучий, а другу – сам гравець.

Спробуємо дати "найзрозуміліше" пояснення. Переформулюємо завдання: Чесний ведучий оголошує гравцеві, що за одним із трьох дверей — автомобіль, і пропонує йому спочатку вказати на одне з дверей, а після цього вибрати одну з двох дій: відкрити вказані двері (у старому формулюванні це називається "не змінювати свого вибору" ") або відкрити дві інші (у старому формулюванні це якраз і буде "змінити вибір". Подумайте, тут і є ключ до розуміння!). Зрозуміло, що гравець вибере другу з двох дій, тому що ймовірність отримання автомобіля в цьому випадку вдвічі вища. А та дрібниця, що ведучий ще до вибору дії "показав козу", ніяк не допомагає і не заважає вибору, адже за одним із двох дверей завжди знайдеться коза і ведучий обов'язково її покаже при будь-якому ході гри, так що гравець може на цю козу і не дивитися. Справа гравця, якщо він вибрав другу дію - сказати "дякую" ведучому за те, що він позбавив його від праці самому відкривати одну з двох дверей, і відкрити іншу. Ну, чи ще простіше. Уявімо цю ситуацію з погляду ведучого, який робить подібну процедуру з десятками гравців. Оскільки він чудово знає, що знаходиться за дверима, то, в середньому, у двох випадках із трьох, він заздалегідь бачить, що гравець вибрав "не ті" двері. Тому вже для нього точно немає ніякого парадоксу в тому, що правильна стратегія полягає у зміні вибору після відкриття перших дверей: адже тоді в тих же двох випадках із трьох гравець виїжджатиме зі студії на новій машині.

Зрештою, "найнаївніший" доказ. Нехай той, хто стоїть на своєму виборі, називається "Упертим", а той, хто дотримується вказівок ведучого, зветься "Уважним". Тоді впертий виграє, якщо він спочатку вгадав автомобіль (1/3), а уважний — якщо він спочатку промахнувся і потрапив на козу (2/3). Адже тільки в цьому випадку він потім вкаже на двері з автомобілем.

Ключі до розуміння

Незважаючи на простоту пояснення цього явища, багато людей інтуїтивно вважають, що ймовірність виграшу не змінюється за зміни гравцем свого вибору. Зазвичай неможливість зміни ймовірності виграшу мотивується тим, що при обчисленні ймовірності події, що відбулися в минулому, не мають значення, як це відбувається, наприклад, при підкиданні монетки — ймовірність випадання орла або решки не залежить від того, скільки разів до цього випав орел або решка. Тому багато хто вважає, що в момент вибору гравцем одних дверей з двох вже не має значення, що в минулому мав місце вибір одних дверей з трьох, і ймовірність виграти автомобіль однакова як при зміні вибору, так і при залишенні початкового вибору.

Проте, хоча такі міркування вірні у разі підкидання монетки, вони вірні задля всіх ігор. У цьому випадку має бути проігноровано відкриття дверей провідним. Гравець по суті обирає між тими одними дверима, які він вибрав спочатку, і рештою двох - відкриття однієї з них служить лише для відволікання уваги гравця. Відомо, що є один автомобіль та дві кози. Початковий вибір гравцем одного з дверей ділить можливі результати гри на дві групи: або автомобіль знаходиться за дверима, обраними гравцем (імовірність цього 1/3), або за однією з двох інших (імовірність цього 2/3). При цьому вже відомо, що в будь-якому випадку за однією з двох дверей, що залишилися, знаходиться коза, і, відкриваючи ці двері, ведучий не дає гравцеві ніякої додаткової інформації про те, що знаходиться за обраними гравцем дверима. Таким чином, відкриття ведучим дверей з козою не змінює ймовірності (2/3) того, що автомобіль знаходиться за однією з дверей, що залишилися. А оскільки вже відчинені двері гравець не вибере, то вся ця ймовірність виявляється зосереджена в тій події, що автомобіль знаходиться за закритими дверима, що залишилися.

Інтуїтивніше зрозуміла міркування: Нехай гравець діє за стратегією «змінити вибір». Тоді програє він лише у тому випадку, якщо спочатку вибере автомобіль. А ймовірність цього – одна третина. Отже, можливість виграшу: 1-1/3=2/3. Якщо ж гравець діє за стратегією "не змінювати вибір", то він виграє тоді і тільки тоді, коли спочатку вибрав автомобіль. А ймовірність цього – одна третина.

Уявімо цю ситуацію з погляду ведучого, який робить подібну процедуру з десятками гравців. Оскільки він чудово знає, що знаходиться за дверима, то, в середньому, у двох випадках із трьох, він заздалегідь бачить, що гравець вибрав "не ті" двері. Тому вже для нього точно немає ніякого парадоксу в тому, що правильна стратегія полягає у зміні вибору після відкриття перших дверей: адже тоді в тих же двох випадках із трьох гравець виїжджатиме зі студії на новій машині.

Інша часта причина важкого розуміння вирішення цього завдання полягає в тому, що нерідко люди уявляють собі трохи іншу гру - коли заздалегідь невідомо, чи ведучий відкриватиме двері з козою і пропонуватиме гравцеві змінити свій вибір. У цьому випадку гравець не знає тактики ведучого (тобто по суті не знає всіх правил гри) і не може зробити оптимальний вибір. Наприклад, якщо ведучий пропонуватиме зміну варіанта лише у випадку, коли гравець спочатку вибрав двері з автомобілем, то, очевидно, гравець повинен залишати початкове рішення без зміни. Саме тому важливо мати на увазі точне формулювання завдання Монті Холла. (при такому варіанті ведучий з різними стратегіями може досягти будь-якої ймовірності між дверима, у загальному випадку буде 1/2 на 1/2).

Збільшення кількості дверей

При розгляді збільшеної кількості дверей нерідко виникає питання: якщо в оригінальному завданні ведучий відкриває одну з трьох (тобто 1/3 від загальної кількості дверей), то чому потрібно припускати, що у випадку 100 дверей ведучий відкриє 98 дверей з козами, а не 33? Це міркування зазвичай є однією з істотних причин того, чому парадокс Монті Холла входить у протиріччя з інтуїтивним сприйняттям ситуації. Передбачати відкриття 98 дверей буде правильною тому, що істотною умовою завдання є наявність лише одного альтернативного варіанту вибору для гравця, який пропонується ведучим. Тому для того, щоб завдання були аналогічними, у випадку 4 дверей ведучий повинен відчиняти 2 двері, у випадку 5 дверей — 3, і так далі, щоб завжди залишалися одні відкриті двері крім тих, які спочатку вибрав гравець. Якщо ведучий буде відкривати меншу кількість дверей, то завдання вже не буде аналогічним до оригінального завдання Монті Холла.

Дерево прийняття рішень

Дерево можливих рішень гравця та ведучого, що показує ймовірність кожного результату

Більш формально сценарій гри може бути описаний за допомогою дерева прийняття рішень.

У перших двох випадках, коли гравець спочатку вибрав двері, за якими знаходиться коза, зміна вибору призводить до виграшу. У двох останніх випадках, коли гравець спочатку вибрав двері з автомобілем, зміна вибору призводить до програшу.

Сумарна ймовірність того, що зміна вибору призведе до виграшу, еквівалентна сумі ймовірностей перших двох результатів, тобто

Відповідно, ймовірність того, що відмова від зміни вибору призведе до виграшу, дорівнює

Проведення схожого експерименту

Існує простий спосіб переконатися в тому, що зміна початкового вибору призводить до виграшу у двох випадках із трьох у середньому. Для цього можна зімітувати гру, описану в задачі Монті Холла, за допомогою гральних карт. Одна людина (роздає карти) при цьому відіграє роль ведучого Монті Холла, а друга - роль гравця. Для гри беруться три карти, з яких одна зображує двері з автомобілем (наприклад, туз пік), а дві інші, однакові (наприклад, дві червоні двійки) - двері з козами.

Ведучий викладає три карти сорочкою вгору, пропонуючи гравцю взяти одну з карток. Після того, як гравець вибере карту, ведучий дивиться в дві карти, що залишилися, і відкриває червону двійку. Після цього відкриваються карти, що залишилися у гравця та у ведучого, і якщо обрана гравцем карта - туз пік, то записується очко на користь варіанта, коли гравець не змінює свій вибір, а якщо у гравця виявляється червона двійка, а у ведучого залишається туз пік, то записується очко на користь варіанта, коли гравець змінює свій вибір. Якщо провести безліч таких раундів гри, співвідношення між очками на користь двох варіантів досить добре відобразить співвідношення ймовірностей цих варіантів. При цьому виявляється, що кількість очок на користь зміни початкового вибору приблизно вдвічі більше.

Такий експеримент дозволяє не тільки переконатися, що ймовірність виграшу при зміні вибору вдвічі більша, але й добре ілюструє, чому так відбувається. У той момент, коли гравець вибрав собі карту, вже визначено, перебуває в руці туз пік чи ні. Подальше відкриття ведучим однієї зі своїх карток не змінює ситуації — гравець уже тримає картку в руці, і вона залишається там незалежно від дій ведучого. Імовірність для гравця вибрати туз пік з трьох карт дорівнює, очевидно, 1/3, і, таким чином, ймовірність його не вибрати (і тоді гравець виграє, якщо змінить початковий вибір) дорівнює 2/3.

Згадка

У фільмі Двадцять один викладач, Мікі Роса, пропонує головному герою, Бену, вирішити завдання: за трьома дверима два самокати та один автомобіль, необхідно вгадати двері, щоб виграти автомобіль. Після першого вибору Мікі пропонує змінити вибір. Бен погоджується та математично аргументує своє рішення. Так він мимоволі проходить тест до команди Мікі.

У романі Сергія Лук'яненка «Недотепа» головні герої за допомогою такого прийому виграють карету та можливість продовжити свою подорож.

У телесеріалі "4ісла" (13 епізод 1 сезону "Man Hunt") один з головних героїв, Чарлі Еппс, на популярній лекції з математики пояснює парадокс Монті Холла, наочно ілюструючи його за допомогою маркерних дощок, на зворотних сторонах яких намальовані кози та автомобіль. Чарлі справді знаходить автомобіль, змінивши вибір. Однак слід зазначити, що він проводить лише один експеримент, тоді як перевага стратегії зміни вибору є статистичною, і для коректної ілюстрації слід проводити серію експериментів.

http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/36146

Популярне в рубриці: