Der Extrempunkt der Funktion f x. Was sind Extrema einer Funktion: kritische Punkte von Maximum und Minimum
Zunehmende und abnehmende Intervalle liefern sehr wichtige Informationen über das Verhalten einer Funktion. Sie zu finden ist Teil des Funktionserkundungs- und Plotprozesses. Darüber hinaus wird den Extrempunkten, an denen ein Wechsel von Zunahme zu Abnahme oder von Abnahme zu Zunahme stattfindet, besondere Aufmerksamkeit geschenkt, wenn die größten und kleinsten Werte der Funktion in einem bestimmten Intervall ermittelt werden.
In diesem Artikel werden wir die notwendigen Definitionen geben, einen ausreichenden Test für die Zunahme und Abnahme einer Funktion in einem Intervall und ausreichende Bedingungen für die Existenz eines Extremums formulieren und diese gesamte Theorie auf die Lösung von Beispielen und Problemen anwenden.
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Zunehmende und abnehmende Funktion in einem Intervall.
Definition einer steigenden Funktion.
Die Funktion y=f(x) nimmt im Intervall X zu, wenn für jedes und 
die Ungleichung ist erfüllt. Mit anderen Worten: Ein größerer Wert des Arguments entspricht einem größeren Wert der Funktion.
Abnehmende Funktionsdefinition.
Die Funktion y=f(x) nimmt im Intervall X ab, wenn für jedes und die Ungleichheit 
. Mit anderen Worten: Ein größerer Wert des Arguments entspricht einem kleineren Wert der Funktion.
ANMERKUNG: Wenn die Funktion an den Enden des Zunahme- oder Abnahmeintervalls (a;b) definiert und stetig ist, also bei x=a und x=b, dann sind diese Punkte im Zunahme- oder Abnahmeintervall enthalten. Dies widerspricht nicht den Definitionen einer steigenden und fallenden Funktion im Intervall X.
Aus den Eigenschaften der grundlegenden Elementarfunktionen wissen wir beispielsweise, dass y=sinx für alle reellen Werte des Arguments definiert und stetig ist. Daher können wir aus der Zunahme der Sinusfunktion im Intervall die Zunahme im Intervall behaupten.
Extrempunkte, Funktionsextreme.
Der Punkt heißt Maximalpunkt Funktion y=f(x), wenn die Ungleichung für alle x aus ihrer Umgebung gilt. Der Wert der Funktion am Maximalpunkt wird aufgerufen Funktion maximal und bezeichnen.
Der Punkt heißt Mindestpunktzahl Funktion y=f(x), wenn die Ungleichung für alle x aus ihrer Umgebung gilt. Der Wert der Funktion am Minimalpunkt wird aufgerufen Funktionsminimum und bezeichnen.
Unter der Umgebung eines Punktes versteht man das Intervall 
, wobei eine ausreichend kleine positive Zahl ist.
Es werden die minimalen und maximalen Punkte aufgerufen Extrempunkte, und die Funktionswerte, die den Extrempunkten entsprechen, werden aufgerufen Funktionsextreme.
Verwechseln Sie Funktionsextreme nicht mit den Maximal- und Minimalwerten der Funktion.
Auf dem ersten Bild Höchster Wert Die Funktion auf dem Segment wird am Maximalpunkt erreicht und ist gleich dem Maximum der Funktion, und in der zweiten Abbildung wird der Maximalwert der Funktion am Punkt x=b erreicht, der nicht der Maximalpunkt ist.
Ausreichende Bedingungen für zunehmende und abnehmende Funktionen.
Auf der Grundlage ausreichender Bedingungen (Vorzeichen) für die Zunahme und Abnahme der Funktion werden die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion ermittelt.
Hier sind die Formulierungen der Zeichen zunehmender und abnehmender Funktionen im Intervall:
- Wenn die Ableitung der Funktion y=f(x) für jedes x aus dem Intervall X positiv ist, dann erhöht sich die Funktion um X;
- Wenn die Ableitung der Funktion y=f(x) für jedes x aus dem Intervall X negativ ist, dann nimmt die Funktion auf X ab.
Um die Anstiegs- und Abfallintervalle einer Funktion zu bestimmen, ist es daher erforderlich:
Betrachten Sie ein Beispiel für die Ermittlung der Intervalle steigender und fallender Funktionen, um den Algorithmus zu verdeutlichen.
Beispiel.
Finden Sie die Anstiegs- und Abfallintervalle der Funktion.
Lösung.
Der erste Schritt besteht darin, den Umfang der Funktion zu ermitteln. In unserem Beispiel sollte der Ausdruck im Nenner daher nicht verschwinden.
Fahren wir mit der Ermittlung der Ableitung der Funktion fort: 
Um die Anstiegs- und Abfallintervalle einer Funktion anhand eines ausreichenden Kriteriums zu bestimmen, lösen wir die Ungleichungen und im Definitionsbereich. Lassen Sie uns eine Verallgemeinerung der Intervallmethode verwenden. Die einzige echte Wurzel des Zählers ist x = 2 und der Nenner verschwindet bei x=0 . Diese Punkte unterteilen den Definitionsbereich in Intervalle, in denen die Ableitung der Funktion ihr Vorzeichen behält. Markieren wir diese Punkte auf dem Zahlenstrahl. Mit Plus und Minus bezeichnen wir bedingt die Intervalle, in denen die Ableitung positiv oder negativ ist. Die Pfeile unten zeigen schematisch die Zunahme bzw. Abnahme der Funktion im entsprechenden Intervall. 
Auf diese Weise, 
Und 
.
Am Punkt x=2 ist die Funktion definiert und stetig, daher muss sie sowohl zum aufsteigenden als auch zum absteigenden Intervall addiert werden. Am Punkt x=0 ist die Funktion nicht definiert, sodass dieser Punkt nicht in den erforderlichen Intervallen enthalten ist.
Wir präsentieren den Graphen der Funktion, um die erhaltenen Ergebnisse damit zu vergleichen.
Antworten:
Die Funktion erhöht sich um 
, nimmt im Intervall (0;2] ab.
Ausreichende Bedingungen für das Extremum einer Funktion.
Um die Maxima und Minima einer Funktion zu ermitteln, können Sie natürlich jedes der drei Extremwertzeichen verwenden, sofern die Funktion ihre Bedingungen erfüllt. Das gebräuchlichste und bequemste ist das erste davon.
Die erste hinreichende Bedingung für ein Extremum.
Die Funktion y=f(x) sei in einer Umgebung des Punktes differenzierbar und am Punkt selbst stetig.
Mit anderen Worten:
Algorithmus zum Finden von Extremumpunkten anhand des ersten Vorzeichens eines Funktionsextremums.
- Den Umfang der Funktion ermitteln.
- Wir finden die Ableitung der Funktion im Definitionsbereich.
- Wir bestimmen die Nullstellen des Zählers, die Nullstellen des Nenners der Ableitung und die Punkte des Definitionsbereichs, in denen die Ableitung nicht existiert (alle aufgelisteten Punkte werden aufgerufen). Punkte möglichen Extremums Durch diese Punkte kann die Ableitung einfach ihr Vorzeichen ändern.
- Diese Punkte unterteilen den Funktionsbereich in Intervalle, in denen die Ableitung ihr Vorzeichen behält. Wir bestimmen die Vorzeichen der Ableitung in jedem der Intervalle (z. B. indem wir den Wert der Ableitung der Funktion an jedem Punkt eines einzelnen Intervalls berechnen).
- Wir wählen Punkte aus, an denen die Funktion stetig ist und durch die die Ableitung das Vorzeichen ändert – das sind die Extrempunkte.
Zu viele Worte, betrachten wir ein paar Beispiele für das Finden von Extrempunkten und Extremwerten einer Funktion mithilfe der ersten hinreichenden Bedingung für das Extremwert einer Funktion.
Beispiel.
Finden Sie die Extrema der Funktion.
Lösung.
Der Umfang der Funktion umfasst die gesamte Menge der reellen Zahlen mit Ausnahme von x=2 .
Wir finden die Ableitung: 
Die Nullstellen des Zählers sind die Punkte x=-1 und x=5, der Nenner geht bei x=2 auf Null. Markieren Sie diese Punkte auf dem Zahlenstrahl 
Wir bestimmen die Vorzeichen der Ableitung in jedem Intervall, dazu berechnen wir den Wert der Ableitung an jedem Punkt jedes Intervalls, zum Beispiel an den Punkten x=-2, x=0, x=3 und x= 6 .
Daher ist die Ableitung im Intervall positiv (in der Abbildung haben wir über dieses Intervall ein Pluszeichen gesetzt). Ähnlich 
Deshalb schreiben wir über das zweite Intervall ein Minus, über das dritte ein Minus und über das vierte ein Plus.
Es müssen noch die Punkte ausgewählt werden, an denen die Funktion stetig ist und ihre Ableitung das Vorzeichen ändert. Dies sind die Extrempunkte.
Am Punkt x=-1 Die Funktion ist stetig und die Ableitung ändert das Vorzeichen von Plus nach Minus. Daher ist x=-1 gemäß dem ersten Vorzeichen des Extremums der Maximalpunkt und entspricht dem Maximum der Funktion 
.
Am Punkt x=5 die Funktion ist stetig und die Ableitung ändert das Vorzeichen von Minus nach Plus, daher ist x=-1 der Minimalpunkt, er entspricht dem Minimum der Funktion 
.
Grafische Illustration.
Antworten:
BITTE BEACHTEN: Das erste hinreichende Vorzeichen eines Extremums erfordert nicht, dass die Funktion am Punkt selbst differenzierbar ist.
Beispiel.
Finden Sie Extrempunkte und Extrema einer Funktion 
.
Lösung.
Der Definitionsbereich der Funktion ist die gesamte Menge der reellen Zahlen. Die Funktion selbst kann wie folgt geschrieben werden: 
Finden wir die Ableitung der Funktion: 
Am Punkt x=0 Die Ableitung existiert nicht, da die Werte einseitiger Grenzen nicht zusammenfallen, wenn das Argument gegen Null tendiert: 
Gleichzeitig ist die ursprüngliche Funktion im Punkt x=0 stetig (siehe Abschnitt zur Untersuchung einer Funktion auf Stetigkeit): 
Finden Sie die Werte des Arguments, bei dem die Ableitung verschwindet: 
Wir markieren alle erhaltenen Punkte auf der reellen Linie und bestimmen das Vorzeichen der Ableitung in jedem der Intervalle. Dazu berechnen wir die Werte der Ableitung an beliebigen Punkten jedes Intervalls, zum Beispiel wann x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.
Also, 
Entsprechend dem ersten Anzeichen eines Extremums beträgt die Mindestpunktzahl 
, die maximale Punktzahl beträgt 
.
Wir berechnen die entsprechenden Minima der Funktion 
Wir berechnen die entsprechenden Maxima der Funktion 
Grafische Illustration.
Antworten:
.
Das zweite Zeichen des Extremums der Funktion.
Wie Sie sehen, erfordert dieses Vorzeichen des Extremums der Funktion die Existenz einer Ableitung mindestens bis zur zweiten Ordnung im Punkt .
Einführung
In vielen Bereichen der Wissenschaft und praktische Tätigkeiten Man stößt oft auf das Problem, das Extremum einer Funktion zu finden. Tatsache ist, dass viele technische, wirtschaftliche usw. Prozesse werden durch eine Funktion oder mehrere Funktionen modelliert, die von Variablen abhängen – Faktoren, die den Zustand des modellierten Phänomens beeinflussen. Es ist erforderlich, die Extrema solcher Funktionen zu finden, um den optimalen (rationalen) Zustand der Prozesssteuerung zu bestimmen. So werden in der Wirtschaft oft die Probleme der Kostenminimierung oder Gewinnmaximierung gelöst – die mikroökonomische Aufgabe des Unternehmens. In dieser Arbeit betrachten wir keine Modellierungsprobleme, sondern betrachten nur Algorithmen zum Finden von Funktionsextremen in der einfachsten Version, wenn den Variablen keine Einschränkungen auferlegt werden (bedingungslose Optimierung) und das Extremum nur für eine Zielfunktion gesucht wird.
EXTREMA DER FUNKTION
Betrachten Sie den Graphen einer stetigen Funktion y=f(x) in der Abbildung dargestellt. Funktionswert am Punkt X 1 ist größer als die Werte der Funktion an allen benachbarten Punkten sowohl links als auch rechts davon X 1 . In diesem Fall spricht man von einer Funktion im Punkt X 1 max. Am Punkt X Die 3-Funktion hat natürlich auch ein Maximum. Wenn wir den Punkt bedenken X 2 , dann ist der Wert der darin enthaltenen Funktion kleiner als alle benachbarten Werte. In diesem Fall spricht man von einer Funktion im Punkt X Mindestens 2. Ebenso für den Punkt X 4 .
Funktion y=f(x) am Punkt X 0 hat maximal, wenn der Wert der Funktion an diesem Punkt größer ist als ihre Werte an allen Punkten eines Intervalls, das den Punkt enthält X 0 , d.h. wenn es eine solche Umgebung des Punktes gibt X 0 , was für alle gilt X ≠X 0 , Da wir zu dieser Nachbarschaft gehören, haben wir die Ungleichung f(x) <f(x 0 ) .
Funktion y=f(x) Es hat Minimum am Punkt X 0 , wenn es eine solche Umgebung des Punktes gibt X 0 , was für jeden da ist X ≠X 0 zu dieser Nachbarschaft gehört, haben wir die Ungleichung f(x) >f(x0 .
Die Punkte, an denen die Funktion ihr Maximum und Minimum erreicht, werden Extrempunkte genannt, und die Werte der Funktion an diesen Punkten sind die Extrema der Funktion.
Beachten wir die Tatsache, dass eine auf einem Segment definierte Funktion ihr Maximum und Minimum nur an Punkten erreichen kann, die innerhalb des betrachteten Segments liegen.
Beachten Sie, dass wenn eine Funktion an einem Punkt ein Maximum hat, dies nicht bedeutet, dass die Funktion an diesem Punkt den Maximalwert im gesamten Bereich hat. In der oben besprochenen Abbildung ist die Funktion an dem Punkt X 1 hat ein Maximum, obwohl es Punkte gibt, an denen die Werte der Funktion größer sind als am Punkt X 1 . Insbesondere, F (X 1) < F (X 4) d.h. Das Minimum der Funktion ist größer als das Maximum. Aus der Definition des Maximums folgt nur, dass es das Meiste ist sehr wichtig Funktionen an Punkten, die ausreichend nahe am Maximalpunkt liegen.
Satz 1. (Eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums.) Wenn eine differenzierbare Funktion y=f(x) hat auf den Punkt x= x 0 Extremum, dann verschwindet seine Ableitung an diesem Punkt.
Nachweisen. Lassen Sie uns der Sicherheit halber auf den Punkt kommen X 0 hat die Funktion ein Maximum. Dann gilt für hinreichend kleine Inkremente Δ X wir haben f(x
0
+ Δ X)
Übergabe dieser Ungleichungen an den Grenzwert als Δ X→ 0 und unter Berücksichtigung der Ableitung F "(X 0) existiert, und daher hängt der Grenzwert auf der linken Seite nicht davon ab, wie Δ X→ 0 erhalten wir: für Δ X → 0 – 0 F" (X 0) ≥ 0 und bei Δ X → 0 + 0 F" (X 0) ≤ 0. Da F" (X 0) eine Zahl definiert, dann sind diese beiden Ungleichungen nur dann kompatibel, wenn F" (X 0) = 0.
Der bewiesene Satz besagt, dass die Maximal- und Minimalpunkte nur zu den Werten des Arguments gehören können, für die die Ableitung verschwindet.
Wir haben den Fall betrachtet, dass eine Funktion an allen Punkten eines bestimmten Segments eine Ableitung hat. Was passiert, wenn das Derivat nicht existiert? Betrachten Sie Beispiele.
j =|X |.
Die Funktion hat an einem Punkt keine Ableitung X=0 (an diesem Punkt hat der Graph der Funktion keinen bestimmten Tangens), aber an diesem Punkt hat die Funktion ein Minimum, da j(0)=0 und für alle X ≠ 0j > 0.
hat keine Ableitung bei X=0, da es ins Unendliche geht, wenn X=0. Aber an diesem Punkt hat die Funktion ein Maximum. 
hat keine Ableitung bei X=0 weil 
bei X→0. Zu diesem Zeitpunkt hat die Funktion weder ein Maximum noch ein Minimum. Wirklich, f(x)=0 und bei X
<0f(x)
<0, а при X
>0f(x)
>0.
Aus den gegebenen Beispielen und dem formulierten Satz geht somit klar hervor, dass die Funktion nur in zwei Fällen ein Extremum haben kann: 1) an den Punkten, an denen die Ableitung existiert und gleich Null ist; 2) an dem Punkt, an dem die Ableitung nicht existiert.
Wenn jedoch irgendwann X 0 das wissen wir f"(x 0 ) =0, dann kann hieraus nicht auf das geschlossen werden X 0 hat die Funktion ein Extremum.
Zum Beispiel.
.
Aber Punkt X=0 ist kein Extrempunkt, da links von diesem Punkt die Funktionswerte unterhalb der Achse liegen Ochse, und oben rechts.
Es werden Werte eines Arguments aus dem Definitionsbereich einer Funktion aufgerufen, für die die Ableitung der Funktion verschwindet oder nicht existiert kritische Punkte .
Aus dem Vorstehenden folgt, dass die Extrempunkte einer Funktion zu den kritischen Punkten zählen, allerdings ist nicht jeder kritische Punkt ein Extrempunkt. Um das Extremum der Funktion zu ermitteln, müssen Sie daher alle kritischen Punkte der Funktion ermitteln und dann jeden dieser Punkte separat auf Maximum und Minimum untersuchen. Hierzu dient der folgende Satz.
Satz 2. (Eine hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extremums.) Die Funktion sei in einem Intervall, das den kritischen Punkt enthält, stetig X 0 und ist an allen Punkten dieses Intervalls differenzierbar (außer vielleicht am Punkt selbst). X 0). Wenn beim Durchgang von links nach rechts durch diesen Punkt die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, dann an diesem Punkt X = X 0 hat die Funktion ein Maximum. Wenn, bei der Durchreise X 0 von links nach rechts ändert die Ableitung das Vorzeichen von Minus nach Plus, dann hat die Funktion an dieser Stelle ein Minimum.
Also, wenn
f"(x)>0 um X <X 0 und f"(x)< 0 um x > x 0 also X 0 - Höchstpunktzahl;
bei X <X 0 und f "(x)> 0 um x > x 0 also X 0 ist der Mindestpunkt.
Nachweisen. Nehmen wir zunächst einmal an, dass es sich um eine Durchreise handelt X 0 ändert die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus, d. h. für alle X nah am Punkt X 0 f "(x)> 0 für X< x 0 , f"(x)< 0 für x > x 0 . Wenden wir den Satz von Lagrange auf die Differenz an f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), wo C liegt zwischen X Und X 0 .
Lassen X< x 0 . Dann C< x 0 und f "(c)> 0. Deshalb f "(c)(x-x 0)< 0 und daher
f(x) - f(x 0 )< 0, d.h. f(x)< f(x 0 ).
Lassen x > x 0 . Dann c>x 0 und f"(c)< 0. Bedeutet f "(c)(x-x 0)< 0. Deshalb f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .
Also für alle Werte X nah genug dran X 0 f(x) < f(x 0 ) . Und das bedeutet auf den Punkt gebracht X 0 hat die Funktion ein Maximum.
Der zweite Teil des Minimumsatzes wird auf ähnliche Weise bewiesen.
Lassen Sie uns die Bedeutung dieses Theorems in der Abbildung veranschaulichen. Lassen f"(x 1 ) =0 und für alle X, nah genug dran X 1, die Ungleichungen
f"(x)< 0 um X< x 1 , f "(x)> 0 um x > x 1 .
Dann links vom Punkt X 1 Die Funktion steigt und fällt rechts, also wann X = X 1 Funktion geht von steigend nach fallend, das heißt, sie hat ein Maximum.
Ebenso kann man die Punkte berücksichtigen X 2 und X 3 .
Schematisch lässt sich alles oben Genannte im Bild darstellen:
Die Regel zum Studieren der Funktion y=f(x) für ein Extremum
Finden Sie den Umfang einer Funktion f(x).
Finden Sie die erste Ableitung einer Funktion f"(x) .
Bestimmen Sie hierfür kritische Punkte:
Finden Sie die wahren Wurzeln der Gleichung f"(x) =0;
Finden Sie alle Werte X unter dem die Ableitung f"(x) existiert nicht.
Bestimmen Sie das Vorzeichen der Ableitung links und rechts vom kritischen Punkt. Da das Vorzeichen der Ableitung zwischen zwei kritischen Punkten konstant bleibt, genügt es, das Vorzeichen der Ableitung an einem beliebigen Punkt links und an einem Punkt rechts vom kritischen Punkt zu bestimmen.
Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Extrempunkten.
Bevor Sie lernen, die Extrema einer Funktion zu finden, müssen Sie verstehen, was ein Extremum ist. Die allgemeinste Definition eines Extremums ist, dass es sich um den kleinsten oder größten Wert einer in der Mathematik verwendeten Funktion auf einer bestimmten Menge einer Zahlenlinie oder eines Diagramms handelt. Wo das Minimum ist, erscheint das Extremum des Minimums, und dort, wo das Maximum ist, erscheint das Extremum des Maximums. Auch in einer Disziplin wie der mathematischen Analysis werden lokale Extrema einer Funktion unterschieden. Schauen wir uns nun an, wie man Extremwerte findet.
Extreme in der Mathematik gehören zu den wichtigsten Merkmalen einer Funktion, sie zeigen ihren größten und kleinsten Wert. Die Extrema finden sich hauptsächlich an den kritischen Punkten der gefundenen Funktionen. Es ist erwähnenswert, dass die Funktion am Extrempunkt ihre Richtung radikal ändert. Wenn wir die Ableitung des Extrempunkts berechnen, muss dieser laut Definition gleich Null sein, sonst fehlt er vollständig. Um also zu lernen, wie man das Extremum einer Funktion ermittelt, müssen Sie zwei aufeinanderfolgende Aufgaben ausführen:
- Finden Sie die Ableitung für die Funktion, die durch die Aufgabe bestimmt werden muss.
- Finden Sie die Wurzeln der Gleichung.
Die Reihenfolge der Suche nach dem Extremum
- Schreiben Sie die gegebene Funktion f(x) auf. Finden Sie die Ableitung erster Ordnung f "(x). Setzen Sie den resultierenden Ausdruck mit Null gleich.
- Jetzt müssen Sie die resultierende Gleichung lösen. Die resultierenden Lösungen sind die Wurzeln der Gleichung sowie die kritischen Punkte der zu definierenden Funktion.
- Nun bestimmen wir, welche kritischen Punkte (Maximum oder Minimum) die gefundenen Wurzeln sind. Nachdem wir gelernt haben, wie man die Extrempunkte einer Funktion findet, besteht der nächste Schritt darin, die zweite Ableitung der gewünschten Funktion f "(x) zu finden. Es wird notwendig sein, die Werte der gefundenen kritischen Punkte zu ersetzen in eine bestimmte Ungleichung umwandeln und dann berechnen, was passiert. Wenn sich herausstellt, dass die zweite Ableitung am kritischen Punkt größer als Null ist, dann ist dies der minimale Punkt, andernfalls der maximale Punkt.
- Es bleibt noch der Wert der Anfangsfunktion an den erforderlichen Maximal- und Minimalpunkten der Funktion zu berechnen. Dazu setzen wir die erhaltenen Werte in die Funktion ein und berechnen. Es ist jedoch zu beachten, dass, wenn sich herausstellt, dass der kritische Punkt ein Maximum ist, das Extremum maximal ist, und wenn es ein Minimum ist, dann wird es analog ein Minimum sein.
Algorithmus zum Finden eines Extremums
Um die gewonnenen Erkenntnisse zusammenzufassen, erstellen wir einen kurzen Algorithmus zum Finden von Extrempunkten.
- Wir finden den Definitionsbereich der gegebenen Funktion und ihre Intervalle, die genau bestimmen, in welchen Intervallen die Funktion stetig ist.
- Wir finden die Ableitung der Funktion f "(x).
- Wir berechnen die kritischen Punkte der Gleichung y = f (x).
- Wir analysieren die Richtungsänderungen der Funktion f (x) sowie das Vorzeichen der Ableitung f "(x), wobei die kritischen Punkte den Definitionsbereich dieser Funktion trennen.
- Jetzt bestimmen wir, ob jeder Punkt im Diagramm ein Maximum oder ein Minimum ist.
- Wir finden die Werte der Funktion an den Punkten, die Extrema sind.
- Wir fixieren das Ergebnis dieser Studie – Extrema und Intervalle der Monotonie. Das ist alles. Jetzt haben wir darüber nachgedacht, wie man in jedem Intervall ein Extremum findet. Wenn Sie ein Extremum für ein bestimmtes Intervall einer Funktion finden müssen, geschieht dies auf ähnliche Weise, wobei nur die Grenzen der durchgeführten Studie berücksichtigt werden müssen.
Wir haben also darüber nachgedacht, wie man die Extrempunkte einer Funktion findet. Mit Hilfe einfacher Berechnungen sowie Kenntnissen über die Suche nach Ableitungen können Sie jedes Extremum finden und berechnen sowie grafisch bezeichnen. Das Finden von Extremen ist einer der wichtigsten Bereiche der Mathematik, sowohl in der Schule als auch an einer Hochschule. Wenn Sie also lernen, sie richtig zu bestimmen, wird das Lernen viel einfacher und interessanter.
In diesem Artikel erfährt der Leser, was ein Extremum des funktionalen Wertes ist und welche Merkmale es in der Praxis hat. Das Studium eines solchen Konzepts ist äußerst wichtig für das Verständnis der Grundlagen der höheren Mathematik. Dieses Thema ist von grundlegender Bedeutung für ein tiefergehendes Studium des Kurses.
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Was ist ein Extrem?
Im Schulunterricht werden viele Definitionen des Begriffs „Extremum“ gegeben. Dieser Artikel soll denjenigen, die sich mit dem Thema nicht auskennen, das tiefste und klarste Verständnis des Begriffs vermitteln. Unter dem Begriff versteht man also, inwieweit das Funktionsintervall bei einem bestimmten Satz einen minimalen oder maximalen Wert annimmt.
Das Extremum ist gleichzeitig der Minimalwert und das Maximum der Funktion. Es gibt einen Minimalpunkt und einen Maximalpunkt, also die Extremwerte des Arguments im Diagramm. Die wichtigsten Wissenschaften, in denen dieses Konzept verwendet wird:
- Statistiken;
- Maschinensteuerung;
- Ökonometrie.
Extrempunkte spielen eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Reihenfolge einer gegebenen Funktion. Das Koordinatensystem im Diagramm zeigt am besten die Änderung der Extremposition in Abhängigkeit von der Änderung der Funktionalität.
Extrema der Ableitungsfunktion
Es gibt auch so etwas wie ein „Derivat“. Es ist notwendig, den Extrempunkt zu bestimmen. Es ist wichtig, die minimalen oder maximalen Punkte nicht mit den größten und kleinsten Werten zu verwechseln. Dies sind unterschiedliche Konzepte, auch wenn sie ähnlich erscheinen mögen.
Der Wert der Funktion ist der Hauptfaktor bei der Bestimmung, wie der Maximalpunkt ermittelt wird. Die Ableitung wird nicht aus den Werten gebildet, sondern ausschließlich aus ihrer Extremposition in der einen oder anderen Reihenfolge.
Die Ableitung selbst wird anhand der Daten der Extrempunkte bestimmt und nicht anhand des größten oder kleinsten Wertes. In russischen Schulen ist die Grenze zwischen diesen beiden Konzepten nicht klar gezogen, was das Verständnis dieses Themas im Allgemeinen beeinträchtigt.
Betrachten wir nun so etwas wie ein „scharfes Extremum“. Bisher gibt es einen akuten Minimalwert und einen akuten Maximalwert. Die Definition erfolgt gemäß der russischen Klassifikation kritischer Punkte einer Funktion. Das Konzept eines Extrempunkts ist die Grundlage für die Suche nach kritischen Punkten in einem Diagramm.
Um ein solches Konzept zu definieren, wird der Satz von Fermat verwendet. Es ist das wichtigste bei der Untersuchung von Extrempunkten und vermittelt eine klare Vorstellung von ihrer Existenz in der einen oder anderen Form. Um die Extremität zu gewährleisten, ist es wichtig, bestimmte Bedingungen für das Absinken oder Ansteigen im Diagramm zu schaffen.
Um die Frage „Wie finde ich den Maximalpunkt“ genau zu beantworten, müssen Sie die folgenden Bestimmungen befolgen:
- Finden des genauen Definitionsbereichs im Diagramm.
- Suchen Sie nach der Ableitung einer Funktion und einem Extrempunkt.
- Lösen Sie Standardungleichungen für den Definitionsbereich des Arguments.
- Beweisen können, in welchen Funktionen ein Punkt auf einem Graphen definiert und stetig ist.
Aufmerksamkeit! Die Suche nach einem kritischen Punkt einer Funktion ist nur möglich, wenn eine Ableitung mindestens zweiter Ordnung vorliegt, was durch einen hohen Anteil des Vorhandenseins eines Extrempunkts gewährleistet ist.
Notwendige Bedingung für das Extremum der Funktion
Damit ein Extremum existiert, ist es wichtig, dass es sowohl Mindestpunkte als auch Höchstpunkte gibt. Wird diese Regel nur teilweise beachtet, ist die Bedingung für die Existenz eines Extremums verletzt.
Jede Funktion an jeder Position muss differenziert werden, um ihre neue Bedeutung zu identifizieren. Es ist wichtig zu verstehen, dass der Fall, dass ein Punkt verschwindet, nicht das Hauptprinzip für die Suche nach einem differenzierbaren Punkt ist.
Ein scharfes Extremum sowie ein Funktionsminimum sind ein äußerst wichtiger Aspekt bei der Lösung eines mathematischen Problems mithilfe von Extremwerten. Um diese Komponente besser zu verstehen, ist es wichtig, sich für die Zuordnung des Funktionals auf die Tabellenwerte zu beziehen.
| Eine vollständige Erforschung der Bedeutung | Einen Wert darstellen |
| 1. Bestimmung der Anstiegs- und Abfallpunkte der Werte. 2. Finden von Bruchpunkten, Extremum und Schnittpunkten mit Koordinatenachsen. 3. Der Prozess der Bestimmung von Positionsänderungen auf der Karte. 4. Bestimmung des Index und der Richtung der Konvexität und Konvexität unter Berücksichtigung des Vorhandenseins von Asymptoten. 5. Erstellung einer Übersichtstabelle der Studie im Hinblick auf die Bestimmung ihrer Koordinaten. 6. Finden von Anstiegs- und Abfallintervallen extremer und akuter Punkte. 7. Bestimmung der Konvexität und Konkavität der Kurve. 8. Durch die Erstellung eines Diagramms auf Grundlage der Studie können Sie ein Minimum oder Maximum ermitteln. |
Das Hauptelement, wenn es darum geht, mit Extrema zu arbeiten, ist die genaue Konstruktion des Graphen. Schullehrer schenken einem so wichtigen Aspekt oft nicht die größtmögliche Aufmerksamkeit, was einen groben Verstoß gegen den Bildungsprozess darstellt. Das Diagramm wird nur auf der Grundlage der Ergebnisse der Untersuchung funktionaler Daten, der Definition scharfer Extrema sowie der Punkte im Diagramm erstellt. Scharfe Extrema der Ableitung einer Funktion werden in einem Diagramm exakter Werte unter Verwendung des Standardverfahrens zur Bestimmung von Asymptoten angezeigt. |
Der Extrempunkt einer Funktion ist der Punkt im Funktionsbereich, an dem der Wert der Funktion einen minimalen oder maximalen Wert annimmt. Die Funktionswerte an diesen Punkten werden Extrema (Minimum und Maximum) der Funktion genannt.
Definition. Punkt X1 Funktionsumfang F(X) wird genannt Maximalpunkt der Funktion , wenn der Wert der Funktion an diesem Punkt größer ist als die Werte der Funktion an Punkten, die nahe genug daran liegen und sich rechts und links davon befinden (d. h. die Ungleichung). F(X0 ) > F(X 0 + Δ X) X1 maximal.
Definition. Punkt X2 Funktionsumfang F(X) wird genannt Minimalpunkt der Funktion, wenn der Wert der Funktion an diesem Punkt kleiner ist als die Werte der Funktion an Punkten, die nahe genug daran liegen und sich rechts und links davon befinden (d. h. die Ungleichung). F(X0 ) < F(X 0 + Δ X) ). In diesem Fall spricht man von einer Funktion im Punkt X2 Minimum.
Sagen wir es auf den Punkt X1 - Maximalpunkt der Funktion F(X). Dann im Intervall bis X1 Funktion erhöht, also ist die Ableitung der Funktion größer als Null ( F "(X) > 0 ), und im Intervall danach X1 die Funktion nimmt also ab Funktionsableitung weniger als Null ( F "(X) < 0 ). Тогда в точке X1
Nehmen wir auch an, dass der Punkt X2 - Minimalpunkt der Funktion F(X). Dann im Intervall bis X2 Die Funktion nimmt ab und die Ableitung der Funktion ist kleiner als Null ( F "(X) < 0 ), а в интервале после X2 die Funktion steigt und die Ableitung der Funktion ist größer als Null ( F "(X) > 0 ). In diesem Fall auch an der Stelle X2 Die Ableitung der Funktion ist Null oder existiert nicht.
Satz von Fermat (ein notwendiges Kriterium für die Existenz eines Extremums einer Funktion). Wenn Punkt X0 - Extrempunkt der Funktion F(X), dann ist die Ableitung der Funktion an diesem Punkt gleich Null ( F "(X) = 0 ) oder existiert nicht.
Definition. Es werden die Punkte aufgerufen, an denen die Ableitung einer Funktion gleich Null ist oder nicht existiert kritische Punkte .
Beispiel 1 Betrachten wir eine Funktion.
Am Punkt X= 0 ist die Ableitung der Funktion gleich Null, also der Punkt X= 0 ist der kritische Punkt. Wie man jedoch am Graphen der Funktion erkennen kann, nimmt sie im gesamten Definitionsbereich, also dem Punkt, zu X= 0 ist kein Extrempunkt dieser Funktion.
Somit sind die Bedingungen, dass die Ableitung einer Funktion an einem Punkt gleich Null ist oder nicht existiert, notwendige Bedingungen für ein Extremum, aber nicht ausreichend, da außer der Funktion auch andere Beispiele für Funktionen angegeben werden können, für die diese Bedingungen erfüllt sind hat am entsprechenden Punkt kein Extremum. Deshalb Es müssen ausreichende Hinweise vorhanden sein, die es ermöglichen zu beurteilen, ob an einem bestimmten kritischen Punkt ein Extremum vorliegt und welches - ein Maximum oder ein Minimum.
Satz (das erste ausreichende Kriterium für die Existenz eines Extremums einer Funktion). Kritischer Punkt X0 F(X) , wenn die Ableitung der Funktion beim Durchgang durch diesen Punkt das Vorzeichen ändert und wenn sich das Vorzeichen von „Plus“ nach „Minus“ ändert, dann der Maximalpunkt, und wenn von „Minus“ nach „Plus“, dann der Minimalpunkt .
Wenn in der Nähe des Punktes X0 , links und rechts davon behält die Ableitung ihr Vorzeichen, das bedeutet, dass die Funktion in einer Umgebung des Punktes entweder nur abnimmt oder nur zunimmt X0 . In diesem Fall an der Stelle X0 es gibt kein Extremum.
So, Um die Extrempunkte der Funktion zu bestimmen, müssen Sie Folgendes tun :
- Finden Sie die Ableitung einer Funktion.
- Setzen Sie die Ableitung mit Null gleich und bestimmen Sie die kritischen Punkte.
- Markieren Sie gedanklich oder auf Papier die kritischen Punkte auf der Zahlenachse und bestimmen Sie die Vorzeichen der Ableitung der Funktion in den resultierenden Intervallen. Ändert sich das Vorzeichen der Ableitung von „Plus“ nach „Minus“, dann ist der kritische Punkt der Maximalpunkt, und wenn von „Minus“ nach „Plus“, dann ist der kritische Punkt der Minimalpunkt.
- Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Extrempunkten.
Beispiel 2 Finden Sie Extrema einer Funktion 
.
Lösung. Finden wir die Ableitung der Funktion:
Setzen Sie die Ableitung mit Null gleich, um die kritischen Punkte zu finden:
.
Da für alle Werte von „x“ der Nenner ungleich Null ist, setzen wir den Zähler mit Null gleich:
Ich habe einen kritischen Punkt X= 3 . Wir bestimmen das Vorzeichen der Ableitung in den durch diesen Punkt begrenzten Intervallen:
im Bereich von minus unendlich bis 3 - Minuszeichen, d. h. die Funktion nimmt ab,
im Bereich von 3 bis plus Unendlich - ein Pluszeichen, das heißt, die Funktion nimmt zu.
Das heißt, Punkt X= 3 ist der Mindestpunkt.
Finden Sie den Wert der Funktion am Minimalpunkt:
Somit wird der Extrempunkt der Funktion gefunden: (3; 0) und es ist der Minimalpunkt.
Satz (das zweite ausreichende Kriterium für die Existenz eines Extremums einer Funktion). Kritischer Punkt X0 ist der Extrempunkt der Funktion F(X), wenn die zweite Ableitung der Funktion an dieser Stelle ungleich Null ist ( F ""(X) ≠ 0 ), außerdem, wenn die zweite Ableitung größer als Null ist ( F ""(X) > 0 ), dann der Maximalpunkt, und wenn die zweite Ableitung kleiner als Null ist ( F ""(X) < 0 ), то точкой минимума.
Bemerkung 1. Wenn an einem Punkt X0 Wenn sowohl die erste als auch die zweite Ableitung verschwinden, ist es zu diesem Zeitpunkt unmöglich, das Vorhandensein eines Extremums anhand des zweiten ausreichenden Vorzeichens zu beurteilen. In diesem Fall müssen Sie das erste ausreichende Kriterium für das Extremum der Funktion verwenden.
Bemerkung 2. Das zweite hinreichende Kriterium für das Extremum einer Funktion ist auch dann nicht anwendbar, wenn die erste Ableitung am stationären Punkt nicht existiert (dann existiert auch die zweite Ableitung nicht). In diesem Fall ist es auch erforderlich, das erste ausreichende Kriterium für das Extremum der Funktion zu verwenden.
Die lokale Natur der Extrema der Funktion
Aus den obigen Definitionen folgt, dass das Extremum einer Funktion lokaler Natur ist – dies ist der größte und kleinste Wert der Funktion im Vergleich zu den nächstgelegenen Werten.
Angenommen, Sie betrachten Ihr Einkommen in einem Zeitraum von einem Jahr. Wenn Sie im Mai 45.000 Rubel, im April 42.000 Rubel und im Juni 39.000 Rubel verdient haben, dann ist der Mai-Verdienst das Maximum der Verdienstfunktion im Vergleich zu den nächstgelegenen Werten. Aber im Oktober haben Sie 71.000 Rubel verdient, im September 75.000 Rubel und im November 74.000 Rubel, sodass der Oktoberverdienst das Minimum der Verdienstfunktion im Vergleich zu nahegelegenen Werten darstellt. Und Sie können leicht erkennen, dass das Maximum der Werte von April-Mai-Juni unter dem Minimum von September-Oktober-November liegt.
Im Allgemeinen kann eine Funktion in einem Intervall mehrere Extrema haben, und es kann sich herausstellen, dass jedes Minimum der Funktion größer als jedes Maximum ist. Für die in der Abbildung oben gezeigte Funktion gilt also .
Das heißt, man sollte nicht denken, dass das Maximum und das Minimum der Funktion jeweils ihre Maximal- und Minimalwerte für das gesamte betrachtete Segment sind. Am Punkt des Maximums hat die Funktion den größten Wert nur im Vergleich zu den Werten, die sie an allen Punkten hat, die ausreichend nahe am Maximalpunkt liegen, und am Minimalpunkt den kleinsten Wert nur im Vergleich zu diesen Werten dass es an allen Punkten ausreichend nahe am Minimalpunkt liegt.
Daher können wir das Konzept der Extrempunkte einer oben angegebenen Funktion verfeinern und die Minimalpunkte als lokale Minimalpunkte und die Maximalpunkte als lokale Maximalpunkte bezeichnen.
Wir suchen gemeinsam nach den Extrema der Funktion
Beispiel 3
Lösung: Die Funktion ist auf dem gesamten Zahlenstrahl definiert und stetig. Seine Ableitung 
existiert auch auf dem gesamten Zahlenstrahl. Daher in dieser Fall nur diejenigen, bei denen d. h. , woher und . Kritische Punkte und unterteilen Sie den gesamten Funktionsbereich in drei Intervalle der Monotonie: . Wir wählen in jedem von ihnen einen Kontrollpunkt aus und ermitteln das Vorzeichen der Ableitung an diesem Punkt.
Für das Intervall kann der Referenzpunkt sein: Wir finden. Wenn wir einen Punkt im Intervall nehmen, erhalten wir, und wenn wir einen Punkt im Intervall nehmen, erhalten wir. Also, in den Intervallen und und im Intervall. Gemäß dem ersten ausreichenden Vorzeichen eines Extremums gibt es an dem Punkt kein Extremum (da die Ableitung ihr Vorzeichen im Intervall behält) und die Funktion hat an dem Punkt ein Minimum (da die Ableitung beim Passieren ihr Vorzeichen von Minus nach Plus ändert). bis zu diesem Punkt). Finden Sie die entsprechenden Werte der Funktion: , und . Im Intervall nimmt die Funktion ab, da in diesem Intervall, und im Intervall nimmt sie zu, da in diesem Intervall.
Um den Aufbau des Graphen zu verdeutlichen, ermitteln wir dessen Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Wenn wir eine Gleichung erhalten, deren Wurzeln und , d. h. zwei Punkte (0; 0) und (4; 0) des Funktionsgraphen gefunden werden. Aus allen erhaltenen Informationen erstellen wir ein Diagramm (siehe am Anfang des Beispiels).
Beispiel 4 Finden Sie die Extrema der Funktion und erstellen Sie ihren Graphen.
Der Definitionsbereich der Funktion ist der gesamte Zahlenstrahl mit Ausnahme des Punktes, d. h. .
Um die Studie zu verkürzen, können wir die Tatsache nutzen, dass diese Funktion gerade ist, da 
. Daher ist sein Graph symmetrisch zur Achse Oy und die Studie kann nur für das Intervall durchgeführt werden.
Die Ableitung finden 
und kritische Punkte der Funktion:
1) 
;
2) 
,
Da die Funktion an diesem Punkt jedoch unterbrochen wird, kann es sich nicht um einen Extrempunkt handeln.
Somit hat die gegebene Funktion zwei kritische Punkte: und . Unter Berücksichtigung der Parität der Funktion prüfen wir nur den Punkt anhand des zweiten ausreichenden Vorzeichens des Extremums. Dazu ermitteln wir die zweite Ableitung 
und bestimmen Sie sein Vorzeichen bei : Wir erhalten . Da und ist dann der Minimalpunkt der Funktion, während 
.
Um ein vollständigeres Bild des Funktionsgraphen zu erhalten, wollen wir sein Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs herausfinden:
(Hier zeigt das Symbol den Wunsch an X rechts auf Null und X bleibt positiv; bedeutet in ähnlicher Weise Streben X auf Null links und X bleibt negativ). Also wenn, dann. Als nächstes finden wir
,
diese. wenn, dann .
Der Graph der Funktion hat keine Schnittpunkte mit den Achsen. Das Bild befindet sich am Anfang des Beispiels.
Wir suchen weiterhin gemeinsam nach Extrema der Funktion
Beispiel 8 Finden Sie die Extrema der Funktion.
Lösung. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion. Da die Ungleichung gelten muss, erhalten wir aus .
Finden wir die erste Ableitung der Funktion:
Lassen Sie uns die kritischen Punkte der Funktion finden.
